في هذا الدرس ، سنلقي نظرة على عمليتين أخريين باستخدام المتجهات: عبر المنتج من النواقلو منتج مختلط من النواقل (رابط فوري لمن يحتاجها). لا بأس ، يحدث ذلك أحيانًا من أجل السعادة الكاملة ، بالإضافة إلى حاصل الضرب النقطي للناقلات، هناك حاجة إلى المزيد والمزيد. هذا هو إدمان النواقل. قد يحصل المرء على انطباع بأننا ندخل إلى غابة الهندسة التحليلية. هذا خطأ. في هذا القسم من الرياضيات العليا ، يوجد القليل بشكل عام من الحطب ، ربما باستثناء ما يكفي لبينوكيو. في الواقع ، المادة شائعة جدًا وبسيطة - بالكاد تكون أكثر صعوبة من نفس المادة منتج عددي، حتى أنه سيكون هناك عدد أقل من المهام المعتادة. الشيء الرئيسي في الهندسة التحليلية ، كما سيراه الكثيرون أو رأوه بالفعل ، هو عدم الخطأ في الحسابات. كرر مثل التعويذة ، وستكون سعيدًا =)

إذا كانت المتجهات تتألق في مكان ما بعيدًا ، مثل البرق في الأفق ، فلا يهم ، ابدأ بالدرس ناقلات للدمىلاستعادة أو استعادة المعرفة الأساسية حول النواقل. يمكن للقراء الأكثر استعدادًا التعرف على المعلومات بشكل انتقائي ، لقد حاولت جمع أكثر مجموعة كاملة من الأمثلة التي توجد غالبًا في العمل التطبيقي

ما الذي يجعلك سعيدا؟ عندما كنت صغيرًا ، كان بإمكاني التوفيق بين اثنين وحتى ثلاث كرات. عملت بشكل جيد. الآن ليست هناك حاجة للتوفيق على الإطلاق ، لأننا سننظر نواقل الفضاء فقط، وسيتم استبعاد المتجهات المسطحة ذات الإحداثيين. لماذا؟ هذه هي الطريقة التي ولدت بها هذه الإجراءات - يتم تعريف المتجه والمنتج المختلط للمتجهات ويعملان في مساحة ثلاثية الأبعاد. بالفعل أسهل!

في هذه العملية ، بنفس طريقة المنتج القياسي ، نواقل اثنين. فليكن رسائل لا تفسد.

العمل نفسه يعنيبالطريقة الآتية: . هناك خيارات أخرى ، لكنني معتاد على تحديد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات بهذه الطريقة ، بين قوسين مربعين مع تقاطع.

وعلى الفور سؤال: إذا كان في حاصل الضرب النقطي للناقلاتمتجهان متورطان ، وهنا يتم أيضًا ضرب متجهين ، إذن ماهو الفرق؟ فرق واضح ، أولاً وقبل كل شيء ، في النتيجة:

نتيجة المنتج العددي للمتجهات هو رقم:

نتيجة حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات هي ناقل: ، أي أننا نضرب المتجهات ونحصل على متجه مرة أخرى. نادي مغلق. في الواقع ، ومن هنا جاء اسم العملية. في الأدبيات التعليمية المختلفة ، قد تختلف التسميات أيضًا ، سأستخدم الحرف.

تعريف المنتج المتقاطع

أولاً ، سيكون هناك تعريف بالصورة ، ثم التعليقات.

تعريف: المنتوج الوسيط غير متداخلةثلاثة أبعاد ، مأخوذة بهذا الترتيب، يسمى VECTOR ، طولوهو عدديا يساوي مساحة متوازي الأضلاع، مبنية على هذه النواقل ؛ المتجه متعامد مع النواقل، ويتم توجيهها بحيث يكون للأساس التوجه الصحيح:

نحن نحلل التعريف بالعظام ، هناك الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام!

لذلك ، يمكننا إبراز النقاط المهمة التالية:

1) نواقل المصدر ، المشار إليها بأسهم حمراء ، حسب التعريف لا تربطه علاقة خطية متداخلة. سيكون من المناسب النظر في حالة النواقل الخطية بعد قليل.

2) النواقل المأخوذة بترتيب صارم: – يتم ضرب "a" بـ "be"، وليس "تكون" على "أ". نتيجة الضرب المتجههو VECTOR ، والذي يشار إليه باللون الأزرق. إذا تم ضرب المتجهات بترتيب عكسي ، فسنحصل على متجه متساوٍ في الطول ومعاكسًا في الاتجاه (لون قرمزي). هذا هو ، المساواة .

3) الآن دعنا نتعرف على المعنى الهندسي للمنتج المتجه. هذه نقطة مهمة جدا! طول المتجه الأزرق (وبالتالي ، المتجه القرمزي) يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات. في الشكل ، متوازي الأضلاع هذا مظلل باللون الأسود.

ملحوظة : الرسم تخطيطي ، وبالطبع ، الطول الاسمي للمنتج المتقاطع لا يساوي مساحة متوازي الأضلاع.

نتذكر إحدى الصيغ الهندسية: مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب الأضلاع المتجاورة وجيب الزاوية بينهما. لذلك ، بناءً على ما سبق ، فإن معادلة حساب الطول لمنتج متجه صالحة:

أؤكد أنه في الصيغة نتحدث عن طول المتجه ، وليس عن المتجه نفسه. ما هو المعنى العملي؟ والمعنى هو أنه في مشاكل الهندسة التحليلية ، غالبًا ما يتم العثور على مساحة متوازي الأضلاع من خلال مفهوم المنتج المتجه:

نحصل على الصيغة الثانية المهمة. قطري متوازي الأضلاع (الخط الأحمر المنقط) يقسمه إلى قسمين مثلث متساوي. لذلك ، يمكن إيجاد مساحة المثلث المبني على المتجهات (التظليل الأحمر) بالصيغة:

4) هناك حقيقة لا تقل أهمية وهي أن المتجه متعامد مع المتجهات ، أي . بالطبع ، المتجه الموجه عكسيا (السهم القرمزي) متعامد أيضًا مع المتجهات الأصلية.

5) يتم توجيه المتجه بحيث أساسلديها يمينتوجيه. في درس عن الانتقال إلى أساس جديدلقد تحدثت بالتفصيل عن اتجاه الطائرة، والآن سنكتشف ما هو اتجاه الفضاء. سأشرح على أصابعك اليد اليمنى . الجمع عقليا السبابة مع ناقل و الاصبع الوسطىمع ناقل. البنصر والإصبع الصغيراضغط في راحة يدك. نتيجة ل إبهام - سيبحث منتج المتجه. هذا هو الأساس الصحيح المنحى (موجود في الشكل). الآن قم بتبديل النواقل ( السبابة والأصابع الوسطى) في بعض الأماكن ، نتيجة لذلك ، سوف يستدير الإبهام ، وسوف ينظر منتج المتجه إلى الأسفل بالفعل. هذا هو أيضا أساس الحق المنحى. ربما لديك سؤال: ما هو الأساس الذي له التوجه الصحيح؟ "تعيين" نفس الأصابع اليد اليسرىالمتجهات ، والحصول على الأساس الأيسر واتجاه المساحة اليسرى (في هذه الحالة ، سيتم وضع الإبهام في اتجاه المتجه السفلي). من الناحية المجازية ، فإن هذه القواعد "تلف" أو توجه الفضاء في اتجاهات مختلفة. ولا ينبغي اعتبار هذا المفهوم شيئًا بعيد المنال أو مجردًا - على سبيل المثال ، تغير المرآة الأكثر شيوعًا اتجاه الفضاء ، وإذا قمت "بسحب الكائن المنعكس من المرآة" ، فلن يكون من الممكن بشكل عام ادمجه مع "الأصل". بالمناسبة ، أحضر ثلاثة أصابع إلى المرآة وحلل الانعكاس ؛-)

... ما مدى جودة ما تعرفه الآن يمينًا ويسارًا موجهًاالقواعد ، لأن أقوال بعض المحاضرين حول تغيير الاتجاه فظيعة =)

حاصل الضرب المتجه للناقلات الخطية

تم وضع التعريف بالتفصيل ، ويبقى معرفة ما يحدث عندما تكون المتجهات على خط واحد. إذا كانت المتجهات خطية ، فيمكن وضعها على خط مستقيم واحد ، كما يمكن أن "يطوي" متوازي الأضلاع في خط مستقيم واحد. مجال مثل هذا ، كما يقول علماء الرياضيات ، تتدهورمتوازي الأضلاع هو صفر. نفس الشيء يتبع من الصيغة - جيب صفر أو 180 درجة يساوي صفرًا ، مما يعني أن المنطقة تساوي صفرًا

وهكذا ، إذا ، إذن . بالمعنى الدقيق للكلمة ، فإن حاصل الضرب التبادلي نفسه يساوي المتجه الصفري ، ولكن من الناحية العملية ، غالبًا ما يتم إهماله ويكتب أنه ببساطة يساوي الصفر.

الحالة الخاصة هي المنتج المتجه للمتجه ونفسه:

باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي ، يمكنك التحقق من العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ثلاثية الأبعاد ، و هذه المهمةمن بين أمور أخرى ، سوف نحلل أيضًا.

لحل الأمثلة العملية ، قد يكون ذلك ضروريًا الجدول المثلثيلإيجاد قيم الجيب منه.

حسنًا ، لنبدأ حريقًا:

مثال 1

أ) أوجد طول منتج المتجه للمتجهات إذا

ب) أوجد مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات إذا

حل: لا ، هذا ليس خطأ إملائي ، لقد جعلت البيانات الأولية في عناصر الحالة كما هي. لأن تصميم الحلول سيكون مختلفًا!

أ) وفقًا للشرط ، يلزم البحث طولناقلات (ناقل المنتج). وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

نظرًا لأنه سئل عن الطول ، فإننا نشير في الإجابة إلى البعد - الوحدات.

ب) حسب الحالة ، يلزم البحث مربعمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات. مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي عدديًا طول الضرب الاتجاهي:

إجابة:

يرجى ملاحظة أنه في الإجابة عن منتج المتجه ، لا يوجد حديث على الإطلاق ، وقد سئلنا عنه منطقة الشكل، على التوالي ، البعد هو الوحدات المربعة.

نحن دائمًا ننظر إلى ما هو مطلوب توفره الحالة ، وبناءً على ذلك ، نقوم بصياغته واضحإجابة. قد يبدو الأمر وكأنه حرفية ، ولكن هناك ما يكفي من الحرفيين بين المعلمين ، وستتم إعادة المهمة ذات الفرص الجيدة للمراجعة. على الرغم من أن هذا ليس أمرًا صعبًا بشكل خاص - إذا كانت الإجابة غير صحيحة ، فسيكون لدى المرء انطباع بأن الشخص لا يفهم الأشياء البسيطة و / أو لم يفهم جوهر المهمة. يجب دائمًا التحكم في هذه اللحظة ، وحل أي مشكلة في الرياضيات العليا ، وفي المواد الأخرى أيضًا.

أين ذهب الحرف الكبير "en"؟ من حيث المبدأ ، يمكن أن يكون عالقًا أيضًا في الحل ، لكن من أجل تقصير السجل ، لم أفعل. آمل أن يفهم الجميع ذلك ويتم تعيين نفس الشيء.

مثال شائع لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 2

أوجد مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

يتم إعطاء صيغة إيجاد مساحة المثلث من خلال المنتج المتجه في التعليقات على التعريف. الحل والجواب في نهاية الدرس.

من الناحية العملية ، فإن المهمة شائعة جدًا حقًا ، ويمكن بشكل عام تعذيب المثلثات.

لحل المشاكل الأخرى ، نحتاج إلى:

خواص حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات

لقد درسنا بالفعل بعض خصائص منتج المتجه ، ومع ذلك ، سأدرجها في هذه القائمة.

بالنسبة إلى المتجهات التعسفية والرقم التعسفي ، فإن الخصائص التالية صحيحة:

1) في مصادر المعلومات الأخرى ، لا يتم تمييز هذا العنصر عادةً في الخصائص ، ولكنه مهم جدًا من الناحية العملية. لذا فليكن.

2) - تمت مناقشة العقار أيضًا أعلاه ، وأحيانًا يطلق عليه مضاد. بمعنى آخر ، ترتيب النواقل مهم.

3) - مزيج أو ترابطيناقلات قوانين المنتج. يتم إخراج الثوابت بسهولة من حدود منتج المتجه. حقا ، ماذا يفعلون هناك؟

4) - التوزيع أو توزيعناقلات قوانين المنتج. لا توجد مشاكل مع فتح الأقواس أيضًا.

كتوضيح ، ضع في اعتبارك مثالًا قصيرًا:

مثال 3

ابحث عما إذا كان

حل:حسب الحالة ، مطلوب مرة أخرى العثور على طول منتج المتجه. دعونا نرسم المنمنمات لدينا:

(1) وفقًا للقوانين الترابطية ، نخرج الثوابت التي تتجاوز حدود منتج المتجه.

(2) نخرج الثابت من الوحدة النمطية ، بينما "تأكل" الوحدة النمطية علامة الطرح. لا يمكن أن يكون الطول سالبًا.

(3) ما يلي واضح.

إجابة:

حان وقت رمي ​​الحطب على النار:

مثال 4

احسب مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

حل: أوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة . العقبة هي أن المتجهين "ce" و "te" يتم تمثيلهما كمجموع من النواقل. الخوارزمية هنا قياسية وتذكرنا إلى حد ما بالأمثلة رقم 3 و 4 من الدرس. حاصل الضرب النقطي للناقلات. دعنا نقسمها إلى ثلاث خطوات للتوضيح:

1) في الخطوة الأولى ، نعبر عن المنتج المتجه من خلال منتج المتجه ، في الواقع ، التعبير عن المتجه من حيث المتجه. لا توجد كلمة مطولة حتى الآن!

(1) نحن نستبدل تعبيرات المتجهات.

(2) باستخدام قوانين التوزيع ، افتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.

(3) باستخدام القوانين الترابطية ، نحذف جميع الثوابت خارج حاصل الضرب المتجه. مع قليل من الخبرة ، يمكن تنفيذ الإجراءين 2 و 3 في وقت واحد.

(4) الحد الأول والأخير يساوي الصفر (متجه صفري) بسبب الخاصية الممتعة. في المصطلح الثاني ، نستخدم خاصية anticommutativity للمنتج المتجه:

(5) نقدم شروط مماثلة.

نتيجة لذلك ، تبين أن المتجه يتم التعبير عنه من خلال ناقل ، وهو ما كان مطلوبًا لتحقيقه:

2) في الخطوة الثانية ، نجد طول المنتج المتجه الذي نحتاجه. هذا الفعلتذكر بالمثال 3:

3) ابحث عن مساحة المثلث المطلوب:

يمكن ترتيب الخطوات 2-3 من الحل في سطر واحد.

إجابة:

المشكلة المدروسة شائعة جدًا في مراقبة العمل، إليك مثال لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 5

ابحث عما إذا كان

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس. دعونا نرى مدى انتباهك عند دراسة الأمثلة السابقة ؛-)

حاصل ضرب المتجهات في الإحداثيات

، معطى في الأساس المتعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:

الصيغة بسيطة حقًا: نكتب متجهات الإحداثيات في السطر العلوي للمحدد ، و "نحزم" إحداثيات المتجهات في السطر الثاني والثالث ، ونضع بترتيب صارم- أولاً ، إحداثيات المتجه "ve" ، ثم إحداثيات المتجه "double-ve". إذا كانت المتجهات بحاجة إلى الضرب بترتيب مختلف ، فيجب أيضًا تبديل السطور:

المثال 10

تحقق مما إذا كانت متجهات الفضاء التالية على خط واحد:
أ)
ب)

حل: يعتمد الاختبار على إحدى العبارات الواردة في هذا الدرس: إذا كانت المتجهات خطية ، فإن حاصل الضرب التبادلي هو صفر (متجه صفري): .

أ) ابحث عن منتج المتجه:

لذا فإن المتجهات ليست على علاقة خطية واحدة.

ب) ابحث عن منتج المتجه:

إجابة: أ) غير خطية ، ب)

هنا ، ربما ، هي جميع المعلومات الأساسية حول المنتج المتجه للمتجهات.

لن يكون هذا القسم كبيرًا جدًا ، نظرًا لوجود عدد قليل من المشكلات حيث يتم استخدام المنتج المختلط من المتجهات. في الواقع ، كل شيء يعتمد على التعريف ، المعنى الهندسيواثنين من صيغ العمل.

المنتج المختلط من النواقل منتج من ثلاثةثلاثة أبعاد:

هذه هي الطريقة التي يصطفون بها مثل القطار وينتظرون ، لا يمكنهم الانتظار حتى يتم حسابهم.

أولا مرة أخرى التعريف والصورة:

تعريف: منتج مختلط غير متحد المستوىثلاثة أبعاد ، مأخوذة بهذا الترتيب، يسمى حجم خط الموازي، مبني على هذه النواقل ، ومجهز بعلامة "+" إذا كان الأساس صحيحًا ، وعلامة "-" إذا كان الأساس متروكًا.

لنقم بالرسم. يتم رسم الخطوط غير المرئية بخط منقط:

دعنا نتعمق في التعريف:

2) النواقل المأخوذة بترتيب معين، أي أن تبديل النواقل في المنتج ، كما قد تتخيل ، لا يمر دون عواقب.

3) قبل التعليق على المعنى الهندسي ، سوف ألاحظ الحقيقة الواضحة: المنتج المختلط للناقلات هو رقم:. في الأدبيات التعليمية ، قد يكون التصميم مختلفًا نوعًا ما ، فقد اعتدت على تعيين منتج مختلط من خلال ، ونتيجة الحسابات بالحرف "pe".

الدير المنتج المختلط هو حجم خط الموازي، مبني على نواقل (الشكل مرسوم بمتجهات حمراء وخطوط سوداء). أي أن الرقم يساوي حجم خط الموازي المحدد.

ملحوظة : الرسم تخطيطي.

4) دعونا لا نهتم مرة أخرى بمفهوم اتجاه الأساس والفضاء. معنى الجزء الأخير هو أنه يمكن إضافة علامة الطرح إلى المجلد. بكلمات بسيطة، يمكن أن يكون المنتج المختلط سلبيًا:.

صيغة حساب حجم خط متوازي مبني على المتجهات تتبع مباشرة من التعريف.

تعريف. المنتج المتجه للمتجه a (المضاعف) بواسطة المتجه (المضاعف) غير المتصل به هو المتجه الثالث c (المنتج) ، والذي يتم إنشاؤه على النحو التالي:

1) وحدتها عدديا مساوية للمنطقةمتوازي الأضلاع في الشكل. 155) ، مبنية على متجهات ، أي أنها تساوي الاتجاه العمودي على مستوى متوازي الأضلاع المذكور ؛

3) في هذه الحالة ، يتم اختيار اتجاه المتجه c (من اثنين ممكنين) بحيث تشكل المتجهات c نظامًا لليمين (الفقرة 110).

التعيين: أو

إضافة إلى التعريف. إذا كانت المتجهات على خط واحد ، فعندئذٍ بالنظر إلى الشكل باعتباره متوازي أضلاع (مشروطًا) ، فمن الطبيعي تعيين منطقة صفرية. لذلك ، يعتبر منتج المتجه للمتجهات الخطية مساويًا للمتجه الصفري.

نظرًا لأنه يمكن تعيين المتجه الفارغ لأي اتجاه ، فإن هذا الاصطلاح لا يتعارض مع البندين 2 و 3 من التعريف.

ملاحظة 1. في المصطلح "منتج متجه" ، تشير الكلمة الأولى إلى أن نتيجة إجراء ما هي متجه (على عكس منتج قياسي ؛ راجع § 104 ، الملاحظة 1).

مثال 1. أوجد حاصل الضرب المتجه حيث المتجهات الرئيسية لنظام الإحداثيات الصحيح (الشكل 156).

1. نظرًا لأن أطوال المتجهات الرئيسية تساوي وحدة القياس ، فإن مساحة متوازي الأضلاع (المربع) تساوي واحدًا عدديًا. ومن ثم ، فإن معامل حاصل الضرب المتجه يساوي واحدًا.

2. بما أن المحور العمودي على المستوى هو المحور ، فإن المنتج المتجه المطلوب هو خط متجه متجه إلى المتجه k ؛ وبما أن كلاهما لهما المعامل 1 ، فإن حاصل الضرب العرضي المطلوب هو إما k أو -k.

3. من هذين المتجهين المحتملين ، يجب اختيار الأول ، حيث أن المتجهات k تشكل نظامًا صحيحًا (والمتجهات تشكل نظامًا يسارًا).

مثال 2. أوجد حاصل الضرب التبادلي

حل. كما في المثال 1 ، نستنتج أن المتجه إما k أو -k. لكننا الآن نحتاج إلى اختيار -k ، لأن المتجهات تشكل النظام الصحيح (والمتجهات تشكل اليسار). لذا،

مثال 3 أطوال المتجهات 80 و 50 cm ، على التوالي ، وتشكل زاوية 30 °. بأخذ المتر كوحدة للطول ، أوجد طول منتج المتجه أ

حل. مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات تساوي طول منتج المتجه المطلوب يساوي

مثال 4. أوجد طول حاصل الضرب الاتجاهي لنفس المتجهات ، بأخذ سنتيمتر كوحدة طول.

حل. نظرًا لأن مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات تساوي طول منتج المتجه 2000 سم ، أي

من مقارنة الأمثلة 3 و 4 ، يمكن ملاحظة أن طول المتجه لا يعتمد فقط على أطوال العوامل ، ولكن أيضًا على اختيار وحدة الطول.

المعنى المادي للمنتج المتجه.من كثرة كميات فيزيائية، الذي يمثله منتج متجه ، ضع في اعتبارك فقط لحظة القوة.

لنفترض أن A هي نقطة تطبيق القوة. تسمى لحظة القوة بالنسبة للنقطة O منتج المتجه. نظرًا لأن الوحدة النمطية لهذا المنتج المتجه تساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع (الشكل 157) ، وحدة اللحظة تساوي ناتج القاعدة بالارتفاع ، أي القوة مضروبة في المسافة من النقطة O إلى الخط المستقيم الذي تعمل فيه القوة.

في الميكانيكا ، ثبت أنه من أجل التوازن جسم صلبمن الضروري ألا يكون مجموع المتجهات التي تمثل القوى المطبقة على الجسم مساويًا للصفر فحسب ، ولكن أيضًا مجموع لحظات القوى. في الحالة التي تكون فيها جميع القوى موازية لنفس المستوى ، يمكن استبدال إضافة المتجهات التي تمثل اللحظات بجمع وطرح وحداتها. لكن بالنسبة لتوجيهات القوات التعسفية ، فإن هذا الاستبدال مستحيل. وفقًا لهذا ، يتم تعريف الضرب التبادلي بدقة على أنه متجه وليس كرقم.

7.1 تعريف المنتج المتقاطع

ثلاثة نواقل غير متحد المستوى أ ، ب ، ج ، مأخوذة بالترتيب المشار إليه ، تشكل ثلاثية يمنى إذا كان من نهاية المتجه الثالث c أقصر انعطاف من المتجه الأول أ إلى المتجه الثاني ب يكون عكس اتجاه عقارب الساعة ، و أيسر إذا كان في اتجاه عقارب الساعة (انظر الشكل 16).

يسمى منتج المتجه للمتجه a والمتجه b المتجه c ، والذي:

1. عمودي على المتجهين أ وب ، أي ج ^ أ وج ^ ب؛

2. له طول يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهين a وبكما في الجوانب (انظر الشكل 17) ، أي

3. تشكل النواقل أ ، ب ، ج ثلاثية أيمن.

ناقلات المنتجتدل على أ س ب أو [أ ، ب]. من تعريف المنتج المتجه ، العلاقات التالية بين الأنواع التي أتبعها مباشرة ، يو ك(انظر الشكل 18):

i x j \ u003d k، j x k \ u003d i، k x i \ u003d j.
دعونا نثبت ذلك ، على سبيل المثالأنا xj \ u003d ك.

1) ك ^ ط ، ك ^ ي ؛

2) | ك | = 1 ، لكن | أنا x ي| = | أنا | | ي | الخطيئة (90 درجة) = 1 ؛

3) النواقل i و j و كتشكل ثلاثية أيمن (انظر الشكل 16).

7.2 عبر خصائص المنتج

1. عندما يتم إعادة ترتيب العوامل ، يتغير المنتج المتجه ، أي و xb \ u003d (ب xa) (انظر الشكل 19).

المتجهات a xb و b xa خطية ، ولها نفس الوحدات (تظل مساحة متوازي الأضلاع دون تغيير) ، ولكنها موجهة بشكل معاكس (ثلاثيات a ، b ، a xb و a ، b ، b x a ذات اتجاه معاكس). إنه اكسب = -(بكسا).

2. المنتج المتجه له خاصية مركبة فيما يتعلق بعامل قياسي ، أي l (a xb) \ u003d (l a) x b \ u003d a x (l b).

دع l> 0. المتجه l (a xb) عمودي على المتجهين a و b. المتجه ( لفأس بعمودي أيضًا على المتجهين a و ب(ناقلات أ ، للكن استلقي في نفس الطائرة). لذا فإن النواقل ل(أ x ب) و ( لفأس بعلاقة خطية متداخلة. من الواضح أن اتجاهاتهم تتوافق. لها نفس الطول:

لهذا ل(أ x ب) = لأ إكس ب. ثبت بالمثل ل ل<0.

3. متجهان غير صفريين أ و بتكون خطية متداخلة إذا وفقط إذا كان منتجها المتجه مساويًا للمتجه الصفري ، أي ، و || b<=>و xb \ u003d 0.

على وجه الخصوص ، i * i = j * j = k * k = 0.

4. للمنتج المتجه خاصية التوزيع:

(أ + ب) xs = a xs + ب xs.

تقبل بدون دليل.

7.3. عبر تعبير المنتج من حيث الإحداثيات

سوف نستخدم جدول الإنتاج المتجهي الأول ، يو ك:

إذا كان اتجاه أقصر مسار من المتجه الأول إلى الثاني يتزامن مع اتجاه السهم ، فإن المنتج يساوي المتجه الثالث ، وإذا لم يتطابق ، يتم أخذ المتجه الثالث بعلامة ناقص.

دع المتجهين a = a x i + a y ي+ az كو ب = ب س أنا+ بواسطة ي+ ب ك. لنجد حاصل الضرب المتجه لهذه المتجهات بضربها في صورة كثيرات حدود (وفقًا لخصائص منتج المتجه):

يمكن كتابة الصيغة الناتجة بشكل أقصر:

حيث أن الجانب الأيمن من المساواة (7.1) يتوافق مع توسيع محدد الدرجة الثالثة من حيث عناصر الصف الأول ، ومن السهل تذكر المساواة (7.2).

7.4. بعض تطبيقات المنتج المتقاطع

إنشاء علاقة خطية متداخلة من النواقل

إيجاد مساحة متوازي أضلاع ومثلث

وفقًا لتعريف المنتج المتقاطع للمتجهات أوب | a xb | =| أ | * | b | sin g ، ie S par = | a x b |. وبالتالي ، D S \ u003d 1/2 | a x b |.

تحديد لحظة القوة عند نقطة ما

دع القوة تطبق عند النقطة أ F = ABدعها تذهب عن- نقطة ما في الفضاء (انظر الشكل 20).

ومن المعروف من الفيزياء أن عزم الدوران F نسبة إلى هذه النقطة عنيسمى المتجه مالذي يمر بالنقطة عنو:

1) عموديًا على المستوى الذي يمر عبر النقاط س ، أ ، ب ؛

2) يساوي عدديًا ناتج القوة والذراع

3) تشكل ثلاثية صحيحة مع المتجهين OA و A B.

لذلك ، M \ u003d OA x F.

إيجاد السرعة الخطية للدوران

سرعة الخامسالنقطة M لجسم صلب يدور بسرعة زاوية ثحول محور ثابت ، يتم تحديده بواسطة صيغة أويلر v \ u003d w x r ، حيث r \ u003d OM ، حيث O هي نقطة ثابتة من المحور (انظر الشكل 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

قبل إعطاء مفهوم المنتج المتجه ، دعنا ننتقل إلى مسألة اتجاه الثلاثي المرتب من المتجهات a → ، b → ، c → في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

بادئ ذي بدء ، دعنا نضع المتجهات a → ، b → ، c → من نقطة واحدة. اتجاه الثلاثي a → ، b → ، c → يمينًا أو يسارًا ، اعتمادًا على اتجاه المتجه c →. من الاتجاه الذي يتم فيه أقصر دورة من المتجه a → إلى b → من نهاية المتجه c → ، سيتم تحديد شكل الثلاثي a → ، b → ، c →.

إذا كان أقصر دوران هو عكس اتجاه عقارب الساعة ، فسيتم استدعاء ثلاثية المتجهات a → ، b → ، c → يمينإذا في اتجاه عقارب الساعة - غادر.

بعد ذلك ، خذ متجهين غير خطيين a → و b →. دعونا بعد ذلك نؤجل المتجهات A B → = a → و A C → = b → من النقطة A. دعونا نبني متجهًا A D → = c → ، وهو متعامد في نفس الوقت على كل من A B → و A C →. وبالتالي ، عند إنشاء المتجه A D → = c → ، يمكننا القيام بأمرين ، إما بإعطائه اتجاهًا واحدًا أو العكس (انظر الشكل التوضيحي).

يمكن أن يكون الثلاثي المرتب للمتجهات a → ، b → ، c → ، كما اكتشفنا ، يمينًا أو يسارًا اعتمادًا على اتجاه المتجه.

مما سبق ، يمكننا تقديم تعريف المنتج المتجه. يتم إعطاء هذا التعريف لمتجهين محددين في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد.

التعريف 1

المنتج المتجه لمتجهين a → و b → سوف نسمي مثل هذا المتجه المعطى في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد مثل:

• إذا كانت النواقل a → و b → متداخلة ، فسيكون صفرًا ؛
• سيكون عموديًا على كل من المتجه a → والمتجه b → ie ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ؛
• يتم تحديد طوله بالصيغة: c → = a → b → sin ∠ a →، b →؛
• ثلاثية النواقل a → ، b → ، c → لها نفس اتجاه نظام الإحداثيات المحدد.

المنتج المتقاطع للمتجهات a → و b → له الترميز التالي: a → × b →.

عبر إحداثيات المنتج

نظرًا لأن أي متجه له إحداثيات معينة في نظام الإحداثيات ، فمن الممكن تقديم تعريف ثانٍ لمنتج المتجه ، والذي سيسمح لك بالعثور على إحداثياته ​​من الإحداثيات المحددة للمتجهات.

التعريف 2

في نظام إحداثيات مستطيل من الفضاء ثلاثي الأبعاد منتج متجه لمتجهين a → = (أ س ؛ أ ص ؛ أ ض) و ب → = (ب س ؛ ب ص ؛ ب ض) استدعاء المتجه c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → ، حيث i → ، j → ، k → هي متجهات إحداثية.

يمكن تمثيل منتج المتجه كمحدد لمصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة ، حيث يكون الصف الأول هو متجهات orta i → ، j → ، k → ، الصف الثاني يحتوي على إحداثيات المتجه a → ، والصف الثالث هي إحداثيات المتجه b → في نظام إحداثيات مستطيل معين ، يبدو محدد المصفوفة هذا على النحو التالي: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

بتوسيع هذا المحدد على عناصر الصف الأول ، نحصل على المساواة: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

عبر خصائص المنتج

من المعروف أن منتج المتجه في الإحداثيات يتم تمثيله كمحدد للمصفوفة c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ، ثم على القاعدة خصائص محدد المصفوفةالأتى ناقلات خصائص المنتج:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a → ؛
2. التوزيعية a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → أو a → × b (1) → + b (2) → = a → × ب (1) → + أ → × ب (2) → ؛
3. الارتباط λ a → × b → = λ a → × b → أو a → × (λ b →) = λ a → × b → ، حيث λ هو رقم حقيقي تعسفي.

هذه الخصائص ليس لها براهين معقدة.

على سبيل المثال ، يمكننا إثبات الخاصية المضادة لمنتج متجه.

دليل على منع الحركة

بحكم التعريف ، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z and b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. وإذا تم تبادل صفين من المصفوفة ، فيجب أن تتغير قيمة محدد المصفوفة إلى العكس ، لذلك ، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → ، والذي يثبت عدم قابلية التبادل للمنتج المتجه.

Vector Product - أمثلة وحلول

في معظم الحالات ، هناك ثلاثة أنواع من المهام.

في مسائل النوع الأول ، يتم تحديد أطوال متجهين والزاوية بينهما ، ولكن عليك إيجاد طول حاصل الضرب الاتجاهي. في هذه الحالة ، استخدم الصيغة التالية c → = a → b → sin ∠ a →، b →.

مثال 1

أوجد طول الضرب العرضي للمتجهات a → و b → إذا كان a → = 3 ، b → = 5 ، ∠ a → ، b → = π 4 معروف.

حل

باستخدام تعريف طول المنتج المتجه للمتجهات a → و b → ، نحل هذه المشكلة: a → × b → = a → b → sin ∠ a → ، b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

إجابة: 15 2 2 .

المهام من النوع الثاني لها اتصال بإحداثيات المتجهات ، فهي تحتوي على منتج متجه ، وطوله ، وما إلى ذلك. يتم البحث عنها من خلال الإحداثيات المعروفة للمتجهات المعينة أ → = (أ س ؛ أ ص ؛ أ ض) و ب → = (ب س ؛ ب ص ؛ ب ض) .

بالنسبة لهذا النوع من المهام ، يمكنك حل الكثير من خيارات المهام. على سبيل المثال ، ليس إحداثيات المتجهات a → و b → ، ولكن توسعاتها في متجهات تنسيق النموذج b → = b x i → + b y j → + b z k → و c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → ، أو يمكن إعطاء المتجهات a → و b → بواسطة إحداثياتهم نقطتا البداية والنهاية.

تأمل الأمثلة التالية.

مثال 2

يتم تعيين متجهين في نظام إحداثيات مستطيل a → = (2 ؛ 1 ؛ - 3) ، b → = (0 ؛ - 1 ؛ 1). ابحث عن منتجهم المتجه.

حل

وفقًا للتعريف الثاني ، نجد منتج المتجه لمتجهين في إحداثيات معينة: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0-2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 ك →.

إذا كتبنا منتج المتجه من خلال محدد المصفوفة ، فإن حل هذا المثال يكون كما يلي: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1-3 0-1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

إجابة: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

مثال 3

أوجد طول الناتج المتقاطع للمتجهات i → - j → و i → + j → + k → ، حيث i → ، j → ، k → - orts من نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل.

حل

أولاً ، لنجد إحداثيات منتج المتجه المحدد i → - j → × i → + j → + k → في نظام إحداثيات المستطيل المحدد.

من المعروف أن المتجهات i → - j → و i → + j → + k → لها إحداثيات (1 ؛ - 1 ؛ 0) و (1 ؛ 1 ؛ 1) على التوالي. أوجد طول منتج المتجه باستخدام محدد المصفوفة ، ثم لدينا i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 ك →.

لذلك ، فإن منتج المتجه i → - j → × i → + j → + k → له إحداثيات (- 1 ؛ - 1 ؛ 2) في نظام الإحداثيات المحدد.

نجد طول المنتج المتجه بالصيغة (انظر القسم الخاص بإيجاد طول المتجه): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

إجابة: i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

مثال 4

إحداثيات النقاط الثلاث أ (1 ، 0 ، 1) ، ب (0 ، 2 ، 3) ، ج (1 ، 4 ، 2) معطاة في نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل. ابحث عن متجه عمودي على ب ← و ج ← في نفس الوقت.

حل

المتجهات A B → و A C → لها الإحداثيات التالية (- 1 ؛ 2 ؛ 2) و (0 ؛ 4 ؛ 1) على التوالي. بعد العثور على منتج المتجه للمتجهات A B → و A C → ، من الواضح أنه متجه عمودي بالتعريف لكل من A B → و A C → ، أي أنه الحل لمشكلتنا. ابحث عنه A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

إجابة: - 6 i → + j → - 4 k →. هو أحد النواقل العمودية.

تركز مشاكل النوع الثالث على استخدام خصائص المنتج المتجه للمتجهات. بعد التقديم ، سنحصل على حل للمشكلة المحددة.

مثال 5

المتجهان a → و b → عموديان وأطوالهما 3 و 4 على التوالي. أوجد طول الضرب العرضي 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 أ → × - 2 ب → + - ب → × أ → + - ب → × - 2 ب →.

حل

من خلال خاصية التوزيع لمنتج المتجه ، يمكننا كتابة 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

من خلال خاصية الترابط ، نخرج المعاملات العددية التي تتجاوز علامة المنتجات المتجهة في التعبير الأخير: 3 أ → × أ → + 3 أ → × - 2 ب → + - ب → × أ → + - ب → × - 2 ب → = = 3 أ → × أ → + 3 (- 2) أ → × ب → + (- 1) ب → × أ → + (- 1) (- 2) ب → × ب → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

منتجات المتجه a → × a → و b → × b → تساوي 0 ، حيث أن a → × a → = a → a → sin 0 = 0 و b → × b → = b → b → sin 0 = 0 ، ثم 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. .

من anticommutativity للمنتج المتجه يتبع - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. .

باستخدام خصائص منتج المتجه ، نحصل على المساواة 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b →.

حسب الشرط ، يكون المتجهان a → و b → عموديين ، أي أن الزاوية بينهما تساوي π 2. الآن يبقى فقط استبدال القيم الموجودة في الصيغ المقابلة: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → الخطيئة (أ → ، ب →) = 5 3 4 خطيئة π 2 = 60.

إجابة: 3 أ ← - ب ← × أ ← - 2 ب ← = 60.

طول الناتج المتقاطع للمتجهات حسب التعريف هو a → × b → = a → · b → · sin ∠ a →، b →. بما أنه معروف بالفعل (من مقرر المدرسة) أن مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب أطوال ضلعيه مضروبًا في جيب الزاوية بين هذين الضلعين. لذلك ، فإن طول منتج المتجه يساوي مساحة متوازي الأضلاع - مثلث مضاعف ، أي ناتج الجوانب في شكل متجهات a → و b → ، تم تسريحه من نقطة واحدة ، بواسطة الجيب للزاوية بينهما sin ∠ a → ، b →.

هذا هو المعنى الهندسي للمنتج المتجه.

المعنى المادي للمنتج المتجه

في الميكانيكا ، أحد فروع الفيزياء ، بفضل حاصل الضرب الاتجاهي ، يمكنك تحديد لحظة القوة بالنسبة إلى نقطة في الفضاء.

التعريف 3

تحت لحظة القوة F → ، المطبقة على النقطة B ، بالنسبة للنقطة A ، سوف نفهم المنتج المتجه التالي A B → × F →.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

حتى النصر- هذا المتجه، القيمة المطلقة (المعامل) التي تساوي واحدًا. للإشارة إلى متجه الوحدة ، سنستخدم الرمز e ، لذلك ، إذا تم توفير متجه أ، فسيكون متجه الوحدة هو المتجه أهـ- يشير متجه الوحدة هذا في نفس اتجاه المتجه نفسه أ، ومعامله يساوي واحدًا ، أي e \ u003d 1.

بوضوح، أ= أ أهـ (أ - معامل ناقل أ). هذا يتبع القاعدة التي من خلالها يتم تنفيذ عملية ضرب عددي بواسطة متجه.

ناقلات الوحدةغالبًا ما ترتبط بمحاور إحداثيات نظام الإحداثيات (على وجه الخصوص ، مع محاور نظام الإحداثيات الديكارتية). اتجاهات هؤلاء ثلاثة أبعادتتطابق مع اتجاهات المحاور المقابلة ، وغالبًا ما يتم دمج أصولها مع أصل نظام الإحداثيات.

دعني أذكرك بذلك نظام الإحداثيات الديكارتيةفي الفضاء يُطلق عليه تقليديًا ثلاثة محاور عمودية متبادلة تتقاطع عند نقطة تسمى الأصل. عادةً ما يتم الإشارة إلى محاور الإحداثيات بالأحرف X و Y و Z وتسمى محور الإحداثي ، والمحور الإحداثي ، والمحور المطبق ، على التوالي. استخدم ديكارت نفسه محورًا واحدًا فقط ، حيث تم رسم الأحراج. ميزة الاستخدام الأنظمةالفؤوس ملك لطلابه. لذلك العبارة نظام الإحداثيات الديكارتيةتاريخيا خطأ. كلام افضل مستطيلي نظام الإحداثياتأو نظام إحداثيات متعامد. ومع ذلك ، لن نغير التقاليد وسنفترض في المستقبل أن أنظمة الإحداثيات الديكارتية والمستطيلة (المتعامدة) متماثلة.

حتى النصر، الموجهة على طول المحور X ، يتم الإشارة إليها أنا, حتى النصر، الموجه على طول المحور Y ، يشار إليه ي، أ حتى النصر، الموجهة على طول المحور Z ، يشار إليها ك. ثلاثة أبعاد أنا, ي, كمُسَمًّى orts(الشكل 12 ، يسار) ، لديهم وحدات مفردة ، أي
أنا = 1 ، ي = 1 ، ك = 1.

محاور و orts نظام إحداثيات مستطيلفي بعض الحالات لديهم أسماء وتسميات أخرى. لذلك ، يمكن تسمية المحور السيني X بالمحور المماس ، ويتم الإشارة إلى متجه الوحدة τ (الحرف اليوناني الصغير tau) ، المحور y هو المحور العادي ، يتم الإشارة إلى متجه الوحدة ن، المحور المطبق هو محور ثنائي الشكل ، يتم الإشارة إلى متجه الوحدة ب. لماذا تغير الأسماء إذا بقي الجوهر كما هو؟

الحقيقة هي أنه ، على سبيل المثال ، في الميكانيكا ، عند دراسة حركة الأجسام ، يتم استخدام نظام إحداثيات مستطيل في كثير من الأحيان. لذلك ، إذا كان نظام الإحداثيات نفسه ثابتًا ، وتم تتبع التغيير في إحداثيات جسم متحرك في هذا النظام غير المتحرك ، فعادةً ما تشير المحاور إلى X و Y و Z و ortsعلى التوالى أنا, ي, ك.

ولكن في كثير من الأحيان ، عندما يتحرك كائن ما على طول مسار منحني (على سبيل المثال ، على طول دائرة) ، يكون أكثر ملاءمة للنظر في العمليات الميكانيكية في نظام إحداثيات يتحرك مع هذا الكائن. بالنسبة لنظام الإحداثيات المتحرك هذا ، يتم استخدام أسماء أخرى للمحاور ومتجهات الوحدة الخاصة بها. لقد قبلت للتو. في هذه الحالة ، يتم توجيه المحور X بشكل عرضي إلى المسار عند النقطة التي هذه اللحظةيقع هذا الكائن. ومن ثم لم يعد يسمى هذا المحور المحور X ، ولكن المحور المماس ، ولم يعد يتم الإشارة إلى متجه الوحدة أنا، أ τ . يتم توجيه المحور Y على طول نصف قطر انحناء المسار (في حالة الحركة في دائرة - إلى مركز الدائرة). وبما أن نصف القطر عمودي على المماس ، فإن المحور يسمى محور العمودي (العمودي والعادي هما نفس الشيء). لم يعد يتم الإشارة إلى ort من هذا المحور ي، أ ن. المحور الثالث (Z السابق) عمودي على المحورين السابقين. هذا هو ثنائي مع متجه ب(الشكل 12 ، يمين). بالمناسبة ، في هذه الحالة نظام إحداثيات مستطيلغالبًا ما يشار إليه على أنه "طبيعي" أو طبيعي.