حساب الخطأ المنهجي. حساب الأخطاء في القياسات غير المباشرة

حساب الأخطاء لمباشرة و القياسات غير المباشرة

يُفهم القياس على أنه مقارنة للقيمة المقاسة بقيمة أخرى ، تؤخذ كوحدة قياس. يتم إجراء القياسات تجريبياً باستخدام وسائل تقنية خاصة.

تسمى القياسات المباشرة القياسات ، ويتم الحصول على نتيجة مباشرة من البيانات التجريبية (على سبيل المثال ، قياس الطول باستخدام مسطرة ، والوقت باستخدام ساعة توقيت ، ودرجة الحرارة باستخدام مقياس حرارة). القياسات غير المباشرة هي قياسات يتم فيها العثور على القيمة المرغوبة للكمية على أساس علاقة معروفة بين هذه الكمية والكميات التي يتم الحصول على قيمها في عملية القياسات المباشرة (على سبيل المثال ، تحديد السرعة على طول المسافة المقطوعة والوقت http://pandia.ru/text/78/ 464 / images / image002_23.png "width =" 65 "height =" 21 src = ">).

أي قياس ، بغض النظر عن مدى دقة تنفيذه ، يكون مصحوبًا بالضرورة بخطأ (خطأ) - ينتج عن انحراف القياس عن القيمة الحقيقية للكمية المقاسة.

الأخطاء المنهجية هي أخطاء ، يكون حجمها هو نفسه في جميع القياسات التي يتم إجراؤها بنفس الطريقة باستخدام نفس أدوات القياس ، وفي ظل نفس الظروف. تحدث أخطاء منهجية:

نتيجة لعيوب الأدوات المستخدمة في القياسات (على سبيل المثال ، قد تنحرف إبرة مقياس التيار عن الانقسام الصفري في غياب التيار ؛ قد يكون لشعاع التوازن أذرع غير متساوية ، وما إلى ذلك) ؛

نتيجة للتطور غير الكافي لنظرية طريقة القياس ، أي أن طريقة القياس تحتوي على مصدر للأخطاء (على سبيل المثال ، يحدث خطأ عند فقدان الحرارة في بيئةأو عند إجراء الوزن على ميزان تحليلي دون مراعاة قابلية الطفو في الهواء) ؛

نتيجة لحقيقة أن التغيير في ظروف التجربة لا يؤخذ في الاعتبار (على سبيل المثال ، أثناء مرور التيار على المدى الطويل عبر الدائرة ، نتيجة للتأثير الحراري للتيار ، المعلمات الكهربائية من تغيير الدائرة).

يمكن التخلص من الأخطاء المنهجية إذا تمت دراسة ميزات الأدوات ، وتم تطوير نظرية التجربة بشكل كامل ، وعلى أساس ذلك ، يتم إجراء تصحيحات على نتائج القياس.

الأخطاء العشوائية هي أخطاء يختلف حجمها حتى بالنسبة للقياسات التي تتم بالطريقة نفسها. تكمن أسبابهم في كل من النقص في حواسنا ، وفي العديد من الظروف الأخرى المصاحبة للقياسات ، والتي لا يمكن أخذها في الاعتبار مسبقًا (تحدث أخطاء عشوائية ، على سبيل المثال ، إذا تم ضبط المساواة بين مجالات الإضاءة في مقياس الضوء بالعين. ؛ إذا تم تحديد لحظة الانحراف الأقصى للبندول الرياضي بالعين ؛ عند إيجاد لحظة رنين الصوت بالأذن ؛ عند قياس الوزن على ميزان تحليلي ، إذا كانت اهتزازات الأرضية والجدران تنتقل إلى الميزان ، إلخ.) .

لا يمكن تجنب الأخطاء العشوائية. يتجلى حدوثها في حقيقة أنه عند تكرار قياسات نفس الكمية بنفس العناية ، يتم الحصول على نتائج رقمية تختلف عن بعضها البعض. لذلك ، إذا أسفر تكرار القياسات نفس القيم، هذا لا يدل على الغياب أخطاء عشوائية، ولكن على حساسية غير كافية لطريقة القياس.

تغير الأخطاء العشوائية النتيجة في اتجاه واحد وفي الاتجاه الآخر من القيمة الحقيقية ، لذلك ، من أجل تقليل تأثير الأخطاء العشوائية على نتيجة القياس ، عادة ما يتم تكرار القياسات عدة مرات ويكون المتوسط ​​الحسابي لجميع نتائج القياس هو مأخوذ.

نتائج غير صحيحة عن علم - تحدث الأخطاء بسبب انتهاك شروط القياس الأساسية ، نتيجة عدم انتباه أو إهمال المجرب. على سبيل المثال ، في الإضاءة السيئة ، اكتب "8" بدلاً من "3" ؛ نظرًا لحقيقة أن المجرب مشتت ، يمكنه أن يضل عند حساب عدد تقلبات البندول ؛ بسبب الإهمال أو الإهمال ، قد يربك جماهير الجماهير عند تحديد ثابت الربيع ، إلخ. علامة خارجيةالخطأ هو اختلاف حاد في الحجم من نتائج القياسات الأخرى. إذا تم اكتشاف خطأ ، فيجب التخلص من نتيجة القياس على الفور ، ويجب تكرار القياس نفسه. كما يساعد تحديد الأخطاء الفادحة في مقارنة نتائج القياس التي حصل عليها مجربون مختلفون.

لقياس الكمية المادية يعني إيجاد فاصل الثقة، والتي تحتوي على قيمتها الحقيقية http://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png "width =" 16 height = 21 "height =" 21 "> .. png" width = "21" height = "17 src =">. png "width =" 31 "height =" 21 src = "> الحالات ، تقع القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة ضمن فاصل الثقة. يتم التعبير عن القيمة إما بأجزاء من الوحدة أو نسبة مئوية.احتمال 0.9 أو 0.95 في بعض الأحيان ، عندما تكون هناك حاجة إلى درجة عالية للغاية من الموثوقية ، يتم إعطاء مستوى ثقة 0.999 إلى جانب مستوى الثقة ، غالبًا ما يتم استخدام مستوى الأهمية ، والذي يحدد احتمال أن تكون القيمة الحقيقية لا يقع ضمن فاصل الثقة. يتم تقديم نتيجة القياس في النموذج

حيث http://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png "width =" 23 "height =" 19 "> - الخطأ المطلق. وبالتالي ، فإن حدود الفاصل الزمني ، http://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png "width =" 16 "height =" 21 "> تقع داخل هذا الفاصل الزمني.

في معظم الحالات ، الهدف النهائي العمل المخبريهو حساب القيمة المرغوبة باستخدام بعض المعادلات ، والتي تشمل الكميات المقاسة بطريقة مباشرة. تسمى هذه القياسات غير المباشرة. كمثال ، نعطي صيغة الكثافة جسم صلبشكل أسطواني

أين ص هي كثافة الجسم ، م- كتلة الجسم، د- قطر الاسطوانة ، ح- منتشاه.

الاعتماد (A.5) في نظرة عامةيمكن تمثيلها على النحو التالي:

أين صهي كمية مقاسة بشكل غير مباشر ، في الصيغة (أ 5) هي الكثافة ص ؛ X 1 , X 2 ,... ,X نهي كميات مقاسة مباشرة ، في الصيغة (أ -5) هذه هي م, د، و ح.

لا يمكن أن تكون نتيجة القياس غير المباشر دقيقة ، لأن نتائج القياسات المباشرة للكميات X 1 , x2, ... ,X ندائما تحتوي على أخطاء. لذلك ، بالنسبة للقياسات غير المباشرة ، وكذلك للقياسات المباشرة ، من الضروري تقدير فاصل الثقة (الخطأ المطلق) للقيمة التي تم الحصول عليها DYو خطأ نسبيه.

عند حساب الأخطاء في حالة القياسات غير المباشرة ، من الملائم اتباع تسلسل الإجراءات التالي:

1) احصل على متوسط ​​قيم كل كمية مقاسة مباشرة á x1ñ, á x2ñ, …, á X نñ;

2) الحصول على متوسط ​​قيمة الكمية المقاسة بشكل غير مباشر á ص- بالتعويض في الصيغة (أ / 6) عن متوسط ​​قيم الكميات المقاسة مباشرة ؛

3) لتقييم الأخطاء المطلقة للكميات المقاسة مباشرة DX 1 , DX 2 , ..., DXn، باستخدام الصيغتين (أ -2) و (أ -3) ؛

4) بناءً على الشكل الصريح للدالة (A.6) ، احصل على صيغة لحساب الخطأ المطلق للقيمة المقاسة بشكل غير مباشر DYوحسابها

6) اكتب نتيجة القياس مع مراعاة الخطأ.

أدناه ، بدون اشتقاق ، يتم إعطاء صيغة تسمح للشخص بالحصول على صيغ لحساب الخطأ المطلق ، إذا كان الشكل الصريح للدالة (A.6) معروفًا:

أين ¶Y¤¶ x1الخ - المشتقات الجزئية لـ Y فيما يتعلق بجميع الكميات المقاسة مباشرة X 1 , X 2 , …, X n (عند أخذ مشتق جزئي ، على سبيل المثال X 1 ، ثم جميع الكميات الأخرى X طتعتبر ثابتة في الصيغة) ، د X ط- الأخطاء المطلقة للكميات المقاسة مباشرة محسوبة على (أ / 3).

بعد حساب DY ، وجدوا الخطأ النسبي.

ومع ذلك ، إذا كانت الوظيفة (A.6) أحادية الحد ، فمن الأسهل بكثير حساب الخطأ النسبي أولاً ، ثم الخطأ المطلق.

في الواقع ، قسمة طرفي المساواة (أ / 7) على ص، نحن نحصل

.

لكن منذ ، ثم يمكننا الكتابة

الآن ، بمعرفة الخطأ النسبي ، حدد المطلق.

كمثال ، نحصل على صيغة لحساب الخطأ في كثافة مادة ما ، تحددها الصيغة (أ 5). بما أن (أ -5) أحادية الحد ، إذن ، كما ذكر أعلاه ، من الأسهل أولاً حساب خطأ القياس النسبي وفقًا لـ (أ -8). في (A.8) ، تحت الجذر لدينا مجموع مربعات المشتقات الجزئية لـ اللوغاريتمالقيمة المقاسة ، لذلك نجد أولاً اللوغاريتم الطبيعيص:

ln r = ln 4 + ln م- ln p –2 ln د–ln ح,

ثم نستخدم الصيغة (أ 8) ونحصل عليها

. (ص 9)

كما يتضح ، في (أ -9) ، يتم استخدام متوسط ​​قيم الكميات المقاسة مباشرة وأخطاءها المطلقة ، المحسوبة بطريقة القياسات المباشرة وفقًا لـ (أ -3). لا يؤخذ الخطأ الناتج عن الرقم p في الاعتبار ، حيث يمكن دائمًا أخذ قيمته بدقة تتجاوز دقة القياس لجميع الكميات الأخرى. حساب البريد نجد.

إذا كانت القياسات غير المباشرة مستقلة (تختلف شروط كل تجربة لاحقة عن شروط التجربة السابقة) ، فإن قيم الكمية صمحسوبة لكل تجربة فردية. بعد أن أنتجت نالخبرات ، احصل عليها نقيم نعم أنا. علاوة على ذلك ، أخذ كل من القيم نعم أنا(أين أنا- رقم الخبرة) للنتيجة القياس المباشر، احسب á صñ و د صوفقًا للصيغتين (A.1) و (A.2) على التوالي.

يجب أن تبدو النتيجة النهائية للقياسات المباشرة وغير المباشرة كما يلي:

(أ 10).

أين م- الأس ، ش- وحدات القياس ص.

حساب الأخطاء في قياسات الكميات الفيزيائية

في القياسات المباشرة الكميات الفيزيائية (يتم تحديد قيمة الكمية مباشرة بواسطة جهاز القياس) ، يمكن السماح بثلاثة أنواع من الأخطاء (أخطاء القياس): أ) منهجية (منهجية وأدوات) ؛

ب) عشوائي.

ج) الإجمالي (يخطئ).

أخطاء جسيمة(أو يخطئ) بحاجة لذات مرة استبعادوأخذ قياسات جديدة.

أخطاء منهجية وعشوائيةبحاجة ل يعتبر.

خطأ تقليدي قياسات الحجم Xمحسوبة بالصيغة:

X= , (1)

أين  X النظام- معيار منهجي خطأ و  X sl- معيار عشوائي خطأ.

منهجي منهجي الأخطاء ضرورية إن أمكن اِسْتَبْعَد أو خذ حساب بإدخال عوامل تصحيح خاصة للقيمة المقاسة X.

الأجهزة منهجي يتم تحديد الأخطاء من خلال فئة دقة الجهاز. هناك سبع فئات من دقة الجهاز - 0.1 ؛ 0.2 ؛ 0.5 ؛ 1.0 ؛ 1.5 ؛ 2.5 ؛ 4.0

لو فئة الدقة على مقياس الصك محاطة بدائرة (تم تطبيع الجهاز عن طريق الخطأ النسبي) ، على سبيل المثال ، 0.5 ، إذن

X النظام =  X آر = 0,01 . ل . X، (2 أ)

أين ل- فئة دقة الجهاز ، X- القيمة المقاسة لكمية مادية.

لو فئة الدقة على مقياس الصك غير محاطة بدائرة (يتم تطبيع الجهاز وفقًا للخطأ المخفض) ، إذن  X النظام =  X آر = 0,01 . ل . X الأعلى، (2 ب)

أين X الأعلى- الحد الأعلى لقياسات الجهاز.

لو فصل دقة الصك مجهول ، الذي - التي خطأ تأخذ على قدم المساواة نصف سعر أصغر تقسيم مقياس أداة المؤشر ، وقسم واحد أصغر من مقياس الأداة الرقمية. إذا كان مؤشر الأداة يتحرك على طول المقياس في قدم وساق ، على سبيل المثال ، مع ساعة توقيت يدوية ، إذن خطأ آلي تأخذ على قدم المساواة سعر القسمة المقابل ل سهم قفزة واحد .

لتحديد خطأ عشوائي يتم إجراء القياسات بشكل متكرر.

فى المعظم قيمة حقيقية الكمية المادية المقاسة مباشرة Xخذ متوسط ​​الكل نقياسات:

< X>=

. (3)

معيار خطأ عشوائي مساوي ل:

Xsl = ر  ن

, (4)

أين  X أنا = |< X> - X أنا | - الخطأ المطلق أناالبعد الثالث ر  ن - معامل الطالب ، اعتمادا علي عدد القياسات ن ومن المطلوب مصداقية  النتيجة التي تم الحصول عليها ، يحددها جدول خاص (انظر أدناه). مع عدد القياسات ن 5 مع الموثوقية  =2/3 معامل الطالب ر  ن = 1 .

خطأ القياس النسبي Xالكمية تسمى:

X= . (5)

Xمع الموثوقية  يقع في الفاصل الزمني [  X -  X ، X +  X]، أين  X يتم تحديده بواسطة الصيغة (3) ، و  X- الصيغة (1) مع استبدال القيم  X النظامو  X slمحسوبة بالصيغتين (2) و (4). تقليديا ، هذا مكتوب على النحو التالي:

X = < X>  ΔX . (6)

في القياسات غير المباشرة معنى الكمية الماديةعازم خلال القياسات المباشرة للكميات الفيزيائية الأخرى ، وكذلك استخدام ملفات المعلمات المعروفة إعداد القياس و البيانات المرجعية مع مزيد من استبدال هذه القيم في صيغة العمل والحسابات المقابلة.

على سبيل المثال، ص = و (أ ، ب ، ج ، د)، أين أ = أ   أ ، ب = ب   ب ، ج = ج   ج ، د = د   د.

أقرب إلى قيمة حقيقيةسوف:

ص = F( أ , ب , ج , د ), (7)

والمعيار خطأ  ص تؤخذ على قدم المساواة مع:

ص= . (8)

في حالات بسيطة ، على سبيل المثال ، ص = أ  ب  ج  ، من الملائم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:

. (9)

القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة صيقع في الفاصل الزمني [  ص -  ص,  ص +  ص ] ، أين  ص يتم تحديده بواسطة الصيغة (7) ، و  ص- الصيغة (8) أو (9). وبالتالي يمكن تمثيل النتيجة بالشكل القياسي (6):

ص = < ص>   ص .

عند تسجيل نتيجة القياس في شكل قياسي ، من الضروري مراقبتها

قواعد التقريب :

القاعدة الأولى - أخطاء  Xأو  صيتم تقريبها ما يصل إلى رقمين مهمين إذا كان الرقم الأول هو واحد ، و ما يصل إلى رقم واحد مهم في جميع الحالات الأخرى ؛

القاعدة الثانية - متوسط ​​قيم الكميات المقاسة  X أو < ص> يتم تقريبها حتى آخر منزلة عشرية ، والذي يستخدم عند الكتابة أخطاء .

معاملات الطالب ر  ن

تجميع MU بواسطة Assoc. بيترينكو إل.