ما يسمى خطأ القياس المطلق. أخطاء القياس المطلقة والنسبية

الخطأ المطلقالرقم التقريبي هو معامل الاختلاف بين هذا الرقم وقيمته الدقيقة. . ويترتب على ذلك أنه مغلق داخل أو.

مثال 1هناك 1284 عامل وموظف في المؤسسة. عندما يتم تقريب هذا الرقم إلى 1300 ، يكون الخطأ المطلق | 1300-1284 | = 16. عند التقريب إلى 1280 ، يكون الخطأ المطلق هو | 1280 - 1284 | = 4.
خطأ نسبيالرقم التقريبي هو نسبة الخطأ المطلق للرقم التقريبي إلى معامل قيمة الرقم .
مثال 2 . المدرسة 197 طالبا. نقرب هذا الرقم إلى 200. الخطأ المطلق هو | 200 - 197 | = 3. الخطأ النسبي هو 3 / | 197 | أو 1.5٪.

في معظم الحالات من المستحيل معرفة ذلك القيمة الدقيقةالعدد التقريبي ، ومن ثم القيمة الدقيقة للخطأ. ومع ذلك ، فمن الممكن دائمًا إثبات أن الخطأ (المطلق أو النسبي) لا يتجاوز رقمًا معينًا.

مثال 3يزن البائع البطيخ بميزان. في مجموعة الأوزان أصغرها 50 جم ، والوزن 3600 جم وهذا الرقم تقريبي. الوزن الدقيق للبطيخ غير معروف. لكن الخطأ المطلق لا يتعدى 50 جرام والخطأ النسبي لا يتجاوز 50/3600 1.4٪.

في المثال 3 ، يمكن اعتبار 50 جم بمثابة الخطأ المطلق المحدد ، ويمكن اعتبار 1.4٪ بمثابة الخطأ النسبي المحدد.
يُشار إلى الخطأ المطلق بالحرف اليوناني Δ ("دلتا") أو د أ؛ خطأ نسبي - الحرف اليوناني δ ("دلتا صغيرة"). إذا تم الإشارة إلى الرقم التقريبي بالحرف A ، ثم δ = Δ / | A |.

رقم كبيرالرقم التقريبي A هو أي رقم في تمثيله العشري بخلاف الصفر ، والصفر إذا كان محصورًا بين أرقام ذات دلالة أو يمثل منزلة عشرية مخزنة

مثال.أ = 0.002080. هنا فقط الأصفار الثلاثة الأولى ليست ذات دلالة.

نأول أرقام ذات دلالة من الرقم التقريبي أ هي مخلص، إذا كان الخطأ المطلق لهذا الرقم لا يتجاوز نصف الرقم المعبر عنه ن- الرقم المعنوي ، العد من اليسار إلى اليمين. يتم استدعاء الأرقام غير الصحيحة مشكوك فيه.

مثال.إذا كان بين أ= 0.03450 كل الأرقام صحيحة.

نتيجة العمليات ذات الأرقام التقريبية هي أيضًا رقم تقريبي. في الوقت نفسه ، قد تكون هذه الأرقام التي تم الحصول عليها من خلال العمليات على الأرقام الدقيقة لهذه الأرقام غير دقيقة أيضًا.

مثال 5يتم ضرب العددين التقريبيين 60.2 و 80.1. من المعروف أن جميع الأرقام المكتوبة صحيحة ، بحيث قد تختلف القيم الحقيقية عن القيم التقريبية فقط بالمئات والألف وما إلى ذلك. في المنتج نحصل على 4822.02. هنا ، ليس فقط أعداد المئات والأعشار ، ولكن أيضًا أعداد الوحدات يمكن أن تكون غير صحيحة. دعنا ، على سبيل المثال ، يتم الحصول على العوامل بتقريب الأرقام الدقيقة 60.25 و 80.14. ثم سيكون الناتج الدقيق هو 4828.435 ، وبالتالي فإن رقم الوحدات في المنتج التقريبي (2) يختلف عن الرقم الدقيق (8) في 6 وحدات.

تسمح نظرية الحسابات التقريبية بما يلي:

1) معرفة درجة دقة البيانات ، وتقييم درجة دقة النتائج حتى قبل تنفيذ الإجراءات ؛

2) أخذ البيانات بدرجة مناسبة من الدقة ، كافية لتوفير الدقة المطلوبة للنتيجة ، ولكنها ليست كبيرة جدًا لحفظ الآلة الحاسبة من الحسابات غير المجدية ؛

3) ترشيد عملية الحساب نفسها ، وتحريرها من تلك الحسابات التي لن تؤثر على الأرقام الدقيقة للنتيجة.

خطأ القياس المطلقتسمى القيمة التي يحددها الفرق بين نتيجة القياس xوالقيمة الحقيقية للكمية المقاسة x 0:

Δ x = |x – x 0 |.

تسمى القيمة δ ، التي تساوي نسبة خطأ القياس المطلق إلى نتيجة القياس ، الخطأ النسبي:

مثال 2.1.القيمة التقريبية للرقم π هي 3.14. ثم خطأه يساوي 0.00159…. يمكن اعتبار الخطأ المطلق يساوي 0.0016 والخطأ النسبي يساوي 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051٪.

أعداد كبيرة. إذا كان الخطأ المطلق لا يتجاوز وحدة واحدة من الرقم آخر رقمرقم أ ، ثم نقول أن الرقم يحتوي على جميع العلامات صحيحة. يجب تدوين الأرقام التقريبية ، مع الاحتفاظ بالإشارات الصحيحة فقط. على سبيل المثال ، إذا كان الخطأ المطلق للرقم 52400 يساوي 100 ، فيجب كتابة هذا الرقم ، على سبيل المثال ، في الشكل 524 10 2 أو 0.524 10 5. يمكنك تقدير خطأ رقم تقريبي بالإشارة إلى عدد الأرقام المعنوية الحقيقية التي يحتوي عليها. عند حساب الأرقام المعنوية ، لا يتم حساب الأصفار على الجانب الأيسر من الرقم.

على سبيل المثال ، يحتوي 0.0283 على ثلاثة أرقام معنوية صالحة ، ويحتوي 2.5400 على خمسة أرقام معنوية صالحة.

قواعد تقريب الأرقام. إذا كان الرقم التقريبي يحتوي على أحرف إضافية (أو غير صحيحة) ، فيجب تقريبه. عندما يحدث التقريب خطأ إضافي، بما لا يتجاوز نصف رقم الوحدة لآخر رقم مهم ( د) رقم مدور. عند التقريب ، يتم الحفاظ على العلامات الصحيحة فقط ؛ يتم تجاهل الأحرف الزائدة ، وإذا كان الرقم الأول المهمل أكبر من أو يساوي د/ 2 ، ثم يتم زيادة آخر رقم مخزن بمقدار واحد.

يتم استبدال الأرقام الإضافية في الأعداد الصحيحة بالأصفار ، وفي الكسور العشريةيتم تجاهلها (بالإضافة إلى الأصفار الإضافية). على سبيل المثال ، إذا كان خطأ القياس 0.001 مم ، فسيتم تقريب النتيجة 1.07005 إلى 1.070. إذا كان أول رقم من الأرقام غير المعدلة والمهملة أقل من 5 ، فلن يتم تعديل الأرقام المتبقية. على سبيل المثال ، الرقم 148،935 بدقة قياس 50 له تقريب قدره 148،900. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم استبداله بالأصفار أو تم إهماله هو 5 ، ولا يتبعه أي أرقام أو أصفار ، فسيتم التقريب لأقرب زوج رقم. على سبيل المثال ، يتم تقريب الرقم 123.50 إلى ما يصل إلى 124. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم استبداله بالأصفار أو تم إهماله أكبر من 5 أو يساوي 5 ، ولكن متبوعًا برقم معنوي ، فسيتم زيادة آخر رقم متبقٍ بمقدار واحد. على سبيل المثال ، يتم تقريب الرقم 6783.6 لأعلى إلى 6784.

مثال 2.2. عند تقريب الرقم 1284 إلى 1300 ، يكون الخطأ المطلق 1300 - 1284 = 16 ، وعند التقريب إلى 1280 ، يكون الخطأ المطلق 1280-1284 = 4.

مثال 2.3. عند تقريب الرقم 197 إلى 200 ، يكون الخطأ المطلق 200 - 197 = 3. الخطأ النسبي هو 3/197 ≈ 0.01523 أو حوالي 3/200 1.5٪.

مثال 2.4. يزن البائع البطيخ بميزان. في مجموعة الأوزان أصغرها 50 جم ، والوزن 3600 جم وهذا الرقم تقريبي. الوزن الدقيق للبطيخ غير معروف. لكن الخطأ المطلق لا يتعدى 50 جرام والخطأ النسبي لا يتجاوز 50/3600 = 1.4٪.

أخطاء في حل المشكلة الكمبيوتر

عادة ما تعتبر ثلاثة أنواع من الأخطاء المصادر الرئيسية للخطأ. هذه هي ما يسمى بأخطاء الاقتطاع وأخطاء التقريب وأخطاء الانتشار. على سبيل المثال ، عند استخدام الطرق التكرارية لإيجاد جذور المعادلات غير الخطية ، تكون النتائج تقريبية ، على عكس الطرق المباشرة التي تعطي حلًا دقيقًا.

أخطاء الاقتطاع

يرتبط هذا النوع من الخطأ بالخطأ المتأصل في المشكلة نفسها. قد يكون بسبب عدم الدقة في تعريف البيانات الأولية. على سبيل المثال ، إذا تم تحديد أي أبعاد في حالة المشكلة ، فعندئذٍ من الناحية العملية بالنسبة للأشياء الحقيقية ، تُعرف هذه الأبعاد دائمًا ببعض الدقة. الشيء نفسه ينطبق على أي معلمات فيزيائية أخرى. يتضمن هذا أيضًا عدم دقة معادلات الحساب والمعاملات العددية المضمنة فيها.

أخطاء في الانتشار

يرتبط هذا النوع من الخطأ باستخدام طريقة أو أخرى لحل المشكلة. في سياق العمليات الحسابية ، يحدث تراكم أو ، بعبارة أخرى ، انتشار الخطأ لا محالة. بالإضافة إلى حقيقة أن البيانات الأصلية نفسها ليست دقيقة ، ينشأ خطأ جديد عند مضاعفتها وإضافتها وما إلى ذلك. يعتمد تراكم الأخطاء على الطبيعة والكمية عمليات حسابيةالمستخدمة في الحساب.

أخطاء التقريب

هذا النوع من الخطأ يرجع إلى حقيقة أن قيمة حقيقيةلا يتم دائمًا تخزين الأرقام بدقة بواسطة الكمبيوتر. عندما يتم تخزين رقم حقيقي في ذاكرة الكمبيوتر ، يتم كتابته على هيئة الجزء العشري والأس بنفس الطريقة التي يتم بها عرض الرقم على الآلة الحاسبة.

قيمة حقيقية الكمية الماديةيكاد يكون من المستحيل تحديد بالضبط تمامًا ، لأن ترتبط أي عملية قياس بعدد من الأخطاء أو ، بخلاف ذلك ، أخطاء. يمكن أن تكون أسباب الأخطاء مختلفة جدًا. قد يكون حدوثها بسبب عدم الدقة في تصنيع وتعديل جهاز القياس ، بسبب خصائص فيزيائيةللكائن قيد الدراسة (على سبيل المثال ، عند قياس قطر سلك غير متجانس ، تعتمد النتيجة بشكل عشوائي على اختيار منطقة القياس) ، وأسباب عشوائية ، وما إلى ذلك.

تتمثل مهمة المجرب في تقليل تأثيره على النتيجة ، وكذلك للإشارة إلى مدى قرب النتيجة من النتيجة الحقيقية.

هناك مفاهيم الخطأ المطلق والنسبي.

تحت الخطأ المطلق سيفهم القياس الفرق بين نتيجة القياس والقيمة الحقيقية للكمية المقاسة:

∆x i = x i -x و (2)

حيث ∆x i هو الخطأ المطلق للقياس i ، x i _ نتيجة القياس i ، x i هي القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة.

نتيجة أي البعد المادييؤخذ ليتم كتابته في النموذج:

أين هو المتوسط قيمة حسابيةمن القيمة المقاسة الأقرب إلى القيمة الحقيقية (صلاحية x و ستظهر أدناه) ، هو خطأ القياس المطلق.

يجب فهم المساواة (3) بطريقة تجعل القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة تقع في الفترة [- ، +].

الخطأ المطلق هو قيمة الأبعاد ، ولها نفس أبعاد القيمة المقاسة.

الخطأ المطلق لا يميز بشكل كامل دقة القياسات التي تم إجراؤها. في الواقع ، إذا قمنا بالقياس بنفس الخطأ المطلق لقطاعات ± 1 مم بطول 1 متر و 5 مم ، فإن دقة القياس ستكون لا تضاهى. لذلك ، جنبًا إلى جنب مع خطأ القياس المطلق ، يتم حساب الخطأ النسبي.

خطأ نسبيالقياسات هي نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة المقاسة نفسها:

الخطأ النسبي هو كمية بلا أبعاد. ويتم التعبير عنها كنسبة مئوية:

في المثال أعلاه ، الأخطاء النسبية هي 0.1٪ و 20٪. أنها تختلف بشكل ملحوظ ، على الرغم من القيم المطلقةهي نفسها. يعطي الخطأ النسبي معلومات حول الدقة

أخطاء القياس

وفقًا لطبيعة المظهر وأسباب ظهور الخطأ ، يمكن تقسيمه بشكل مشروط إلى الفئات التالية: آلي ، منهجي ، عشوائي ، ومخطئ (أخطاء جسيمة).

يرجع الخطأ إما إلى خلل في الجهاز ، أو إلى انتهاك المنهجية أو الشروط التجريبية ، أو ذات طبيعة ذاتية. في الممارسة العملية ، يتم تعريفها على أنها نتائج تختلف بشكل حاد عن النتائج الأخرى. للقضاء على مظهرها ، من الضروري مراعاة الدقة والشمول في العمل مع الأجهزة. يجب استبعاد النتائج التي تحتوي على أخطاء (تم تجاهلها).

أخطاء مفيدة. إذا كان جهاز القياس قابلاً للخدمة وتعديله ، فيمكن إجراء القياسات عليه بدقة محدودة ، يتم تحديدها حسب نوع الجهاز. من المقبول أن الخطأ الآلي لأداة المؤشر يعتبر مساويًا لنصف أصغر تقسيم في مقياسه. في الأجهزة ذات القراءة الرقمية ، يُعادل خطأ الأداة قيمة أصغر رقم واحد على مقياس الجهاز.

أخطاء منهجية- هذه أخطاء ، حجمها وإشاراتها ثابتان بالنسبة لسلسلة القياسات بأكملها التي يتم إجراؤها بنفس الطريقة وباستخدام نفس أدوات القياس.

عند إجراء القياسات ، من المهم ليس فقط مراعاة الأخطاء المنهجية ، ولكن من الضروري أيضًا تحقيق إزالتها.

تنقسم الأخطاء المنهجية بشكل مشروط إلى أربع مجموعات:

1) الأخطاء التي تعرف طبيعتها ويمكن تحديد حجمها بدقة تامة. مثل هذا الخطأ ، على سبيل المثال ، تغيير في الكتلة المقاسة في الهواء ، والتي تعتمد على درجة الحرارة والرطوبة وضغط الهواء وما إلى ذلك ؛

2) الأخطاء التي تعرف طبيعتها ولكن حجم الخطأ نفسه غير معروف. تتضمن مثل هذه الأخطاء أخطاء ناتجة عن جهاز القياس: عطل في الجهاز نفسه ، عدم امتثال المقياس للقيمة الصفرية ، فئة الدقة لهذا الجهاز ؛

3) الأخطاء ، التي قد لا يكون هناك شك في وجودها ، ولكن قد يكون حجمها كبيرًا في كثير من الأحيان. تحدث مثل هذه الأخطاء في أغلب الأحيان مع القياسات المعقدة. مثال بسيط على مثل هذا الخطأ هو قياس كثافة بعض العينات التي تحتوي على تجويف بداخلها ؛