متوسط القيمة الحسابية لسلسلة من القياسات
كلما زاد n ، متوسط القيمة
يمكن اشتقاق صيغة غاوس من الافتراضات التالية:
- يمكن أن تأخذ أخطاء القياس سلسلة متواصلة من القيم ؛
- في أعداد كبيرةأخطاء الملاحظة من نفس الحجم ، ولكن علامة مختلفةيجتمعون في كثير من الأحيان
- الاحتمال ، أي التكرار النسبي لحدوث الأخطاء ، يتناقص مع زيادة حجم الخطأ. بعبارة أخرى، أخطاء كبيرةأقل شيوعًا من الأصغر.
يتم وصف قانون التوزيع العادي بالوظيفة التالية:
أين σ هو جذر متوسط الخطأ التربيعي ؛ σ2 هو تباين القياس ؛ X ist - القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة.
يوضح تحليل الصيغة (1.13) أن دالة التوزيع العادية متماثلة فيما يتعلق بالخط المستقيم X = X صحيح ولها حد أقصى عند X = X صحيح. نجد قيمة إحداثيات هذا الحد الأقصى بوضع الجانب الأيمن من المعادلة (1.13) X ist بدلاً من X. نحصل على
,
ومن هنا يتبع ذلك أنه كلما تناقص ، زاد y (X). المنطقة الواقعة تحت المنحنى
يجب أن تظل ثابتة وتساوي 1 ، نظرًا لأن احتمال أن تكون القيمة المقاسة لـ X في النطاق من-إلى + تساوي 1 (تسمى هذه الخاصية شرط تسوية الاحتمالية).
على التين. 1.1 يوضح الرسوم البيانية لثلاث وظائف توزيع عادية لثلاث قيم σ (σ 3> σ 2> σ 1) وواحد X ist. يتميز التوزيع الطبيعي بمعاملتين: القيمة المتوسطة متغير عشوائيالتي لا حصر لها بأعداد كبيرةالقياسات (n → ∞) تتطابق مع قيمتها الحقيقية ، والتباين σ. تميز القيمة σ انتشار الأخطاء بالنسبة لمتوسط القيمة المأخوذة على أنها صحيحة. عند القيم الصغيرة لـ ، تكون المنحنيات أكثر حدة وتكون قيم الكبيرة أقل احتمالية ، أي أن انحراف القياس ينتج عن قيمة حقيقيةأصغر في هذه الحالة.
هناك عدة طرق لتقدير حجم خطأ القياس العشوائي. التقدير الأكثر شيوعًا هو عن طريق معيار أو جذر متوسط الخطأ التربيعي. في بعض الأحيان يتم استخدام الخطأ الحسابي المتوسط.
يتم إعطاء الخطأ القياسي (جذر متوسط التربيع) للمتوسط عبر سلسلة من القياسات n من خلال:
إذا كان عدد الملاحظات كبيرًا جدًا ، فإن الكمية Sn التي تخضع لتقلبات عشوائية عشوائية تميل إلى بعض القيمة الثابتة σ ، والتي تسمى الحد الإحصائي Sn:
هذا هو الحد الذي يسمى جذر متوسط الخطأ التربيعي. كما هو مذكور أعلاه ، يسمى مربع هذه الكمية تباين القياس ، والذي يتم تضمينه في صيغة Gauss (1.13).
قيمة σ لها كبير قيمة عملية. دعنا ، نتيجة لقياسات كمية مادية معينة ، نجد المتوسط الحسابي<Х>وبعض الخطأ ΔX. إذا كانت الكمية المقاسة تخضع لخطأ عشوائي ، فلا يمكن الافتراض دون قيد أو شرط أن القيمة الحقيقية للكمية المقاسة تكمن في الفاصل الزمني (<Х>- ΔX ،<Х>+ ΔХ) أو (<Х>- ΔX)< Х < (<Х>+ ΔХ)). هناك دائمًا بعض الاحتمالات بأن القيمة الحقيقية تقع خارج هذه الفترة.
فاصل الثقة هو نطاق القيم (<Х>- ΔX ،<Х>+ ΔХ) للقيمة X ، والتي ، بحكم التعريف ، تنخفض قيمتها الحقيقية X sr مع احتمال معين.
موثوقية نتيجة سلسلة من القياسات هو احتمال أن القيمة الحقيقية للكمية المقاسة تقع ضمن فاصل ثقة معين. يتم التعبير عن موثوقية نتيجة القياس أو مستوى الثقة في صورة جزء من وحدة أو نسبة مئوية.
دع α تشير إلى احتمال اختلاف نتيجة القياس عن القيمة الحقيقية بمقدار لا يزيد عن ΔX. عادة ما يكتب هذا على النحو التالي:
ص ((<Х>- ΔX)< Х < (<Х>+ ΔХ)) = α
يعني التعبير (1.16) أنه مع وجود احتمال يساوي α ، فإن نتيجة القياس لا تتجاوز فاصل الثقة من<Х>- ΔХ تصل إلى<Х>+ ΔX. كلما زاد فاصل الثقة ، أي كلما زاد الخطأ المحدد لنتيجة القياس ΔX ، زادت موثوقية القيمة المطلوبة X التي تقع في هذه الفترة. بطبيعة الحال ، تعتمد قيمة α على عدد القياسات n. وكذلك على الخطأ المحدد ΔХ.
وبالتالي ، لتوصيف حجم الخطأ العشوائي ، من الضروري تحديد رقمين ، وهما:
- حجم الخطأ نفسه (أو فاصل الثقة) ؛
- قيمة مستوى الثقة(مصداقية).
إن تحديد حجم الخطأ فقط دون تحديد احتمال الثقة المقابل لا معنى له إلى حد كبير ، لأننا في هذه الحالة لا نعرف مدى موثوقية بياناتنا. تتيح لك معرفة مستوى الثقة تقييم درجة موثوقية النتيجة.
يتم تحديد درجة الموثوقية المطلوبة من خلال طبيعة التغييرات التي يتم إجراؤها. يتوافق متوسط الخطأ التربيعي S n مع احتمال ثقة قدره 0.68 ، ويتوافق متوسط الخطأ التربيعي المضاعف (2) مع احتمال ثقة يبلغ 0.95 ، والثالث (3) يتوافق مع 0.997.
إذا تم اختيار الفاصل الزمني (X - σ، X +) باعتباره فاصل الثقة ، فيمكننا القول أنه من بين مائة نتيجة قياس ، سيكون 68 بالضرورة ضمن هذه الفترة (الشكل 1.2). إذا عند القياس الخطأ المطلق∆Х> 3σ ، يجب أن يُعزى هذا القياس إلى أخطاء جسيمة أو خطأ. عادة ما تؤخذ قيمة 3σ على أنها الخطأ المطلق المحدد لقياس واحد (في بعض الأحيان ، بدلاً من 3σ ، يتم أخذ الخطأ المطلق لجهاز القياس).
لأي قيمة لفاصل الثقة ، يمكن حساب احتمال الثقة المقابل باستخدام صيغة غاوس. تم إجراء هذه الحسابات وتم تلخيص نتائجها في الجدول. 1.1
احتمالات الثقة α لفاصل الثقة معبرًا عنها ككسر من جذر الخطأ التربيعي المتوسط ε = ΔX /.
صفحة 1
يتم حساب متوسط الخطأ الحسابي ft للتحقق - وجود أخطاء منهجية. إذا تم الحصول على نتائج متباينة بشكل كبير عند حساب قدم باستخدام كل من الصيغتين (7) و (7 أ) ، فهناك سبب لافتراض وجود أخطاء منهجية.
يتم حساب متوسط الخطأ الحسابي للقياسات الحرجة عند افتراض الأخطاء المنهجية.
خطأ المتوسط الحسابي القيمة الحقيقية A للكمية المقاسة غير معروفة دائمًا تقريبًا ، وبالتالي لا يمكن تحديد خطأ كل قياس فردي بالفرق (2.1).
ومع ذلك ، فإن الخطأ الحسابي لا يعكس بشكل كامل تأثير الأخطاء الكبيرة على دقة نتيجة القياس. النظرية الحديثةيوضح أن التقدير الأكثر دقة هو ما يسمى بخطأ الجذر التربيعي.
ميزة متوسط الخطأ الحسابي r هي بساطة حسابه. ومع ذلك ، في معظم الحالات ، يتم استخدام S في كثير من الأحيان أكثر من r لأن S هو مقدر فعال للتباين.
خصائص التشتت هي خطأ المتوسط الحسابي ، المتوسط خطأ مربع، مجموعة من نتائج القياس. نظرًا لأن التشتت احتمالي بطبيعته ، عند الإشارة إلى قيم الخطأ العشوائي ، يتم تحديد الاحتمال.
توضح الصيغة (6) أنه يمكن حساب متوسط الخطأ الحسابي من نتائج القياس دون تربيع الأخطاء المتبقية.
تصور الأشكال البيضاوية الرأسية الضيقة بالقرب من الدوائر قيم أخطاء المتوسط الحسابي في تحديد إحداثيات النقاط.
خطأ المتوسط الحسابي (حسب قيمه مطلقه) ومجموعة من القراءات.
تخضع قيم p / z للرفض ، حيث تكون قيمة الخطأ أكبر من أو تساوي ثلاثة أضعاف قيمة الخطأ الحسابي المتوسط. الحسابات التي أجريت على الطريقة المذكورة أعلاه لم تكشف عن الحاجة إلى رفض البيانات الأولية للحقول قيد النظر.
صيغ المجموعة الثانية ذات معلمة واحدة وتسمح بتقدير RC عندما لا توجد نتائج دراسة ديناميكية حرارية لنظام تكثيف الغاز. تختلف أخطاء المتوسط الحسابي في الحسابات وفقًا لصيغ المجموعة الثالثة قليلاً عن بعضها البعض. دقة الصيغ (III.116) - (III.118) منخفضة ، فهي تعطي انخفاضًا في الخطأ في الحساب بنسبة 3 - 16٪ فقط من المتوسط الحسابي التقريبي pk. الصيغتان (III.119) و (III.120) عمليًا لا تقللان الانحراف المعياري الأولي.
لتقييم دقة القياس النظرية أخطاء عشوائيةيتضمن أيضًا ما يسمى بالخطأ المحتمل g وخطأ المتوسط الحسابي § لسلسلة من القياسات.
لنفترض الآن أنه في السلسلة قيد الدراسة لا يوجد بعد ثانٍ (271 3) ، والذي أعطى أكبر انحراف (u - 6 3) عن المتوسط الحسابي. مقارنة هذين آخر الأرقاممع قيم الأخطاء المماثلة للمثال الأول ، نلاحظ أن متوسط الخطأ الحسابي للسلسلة أقل حساسية بكثير لوجود الفرد أخطاء كبيرة، جذر شام يعني خطأ تربيعي أ. هذا عيب كبير في تقييم موثوقية القياسات بطريقة الخطأ الحسابي المتوسط للسلسلة. لذلك ، على الرغم من ميزة البساطة ، نادرًا ما تستخدم طريقة الخطأ الحسابي نسبيًا.
دع المقاس يكون قيمة معروفةضخامة X. بطبيعة الحال ، تم العثور على القيم الفردية لهذه الكمية في عملية القياس x1 , x2 ,… xnمن الواضح أنه ليس دقيقًا تمامًا ، أي لا تتطابق مع X. ثم ستكون القيمة هي الخطأ المطلق أناالبعد ال. ولكن منذ القيمة الحقيقية للنتيجة X, كقاعدة ، غير معروف ، ثم التقدير الحقيقي للخطأ المطلق باستخدام بدلاً من X متوسط , والتي يتم حسابها بواسطة الصيغة:
 |
ومع ذلك ، بالنسبة لأحجام العينات الصغيرة ، بدلاً من
يفضل استخدامه الوسيط. الوسيط (أنا)تسمى قيمة المتغير العشوائي x ، حيث يكون لنصف النتائج قيمة أقل من ، والآخر أكبر من أنا. لكي يحسب أنايتم ترتيب النتائج بترتيب تصاعدي ، أي أنها تشكل ما يسمى بسلسلة التباين. بالنسبة لعدد فردي من القياسات n ، فإن الوسيط يساوي قيمة الحد الأوسط من السلسلة. على سبيل المثال،
لـ n = 3
حتى n ، القيمة أنايساوي نصف مجموع قيم المتوسطين. على سبيل المثال،
لـ n = 4
للحساب ساستخدام نتائج تحليل غير مدروسة مع مكان عشري أخير غير دقيق.
مع عدد كبير جدًا من العينات ( ن>) يمكن وصف الأخطاء العشوائية باستخدام التوزيع الغوسي العادي. على مستوى صغير نقد يختلف التوزيع عن الطبيعي. في الإحصاء الرياضي ، يتم التخلص من عدم الموثوقية الإضافي هذا بواسطة تناظر معدل ر-توزيع. هناك بعض النسبة ر، يسمى معامل الطالب ، والذي ، اعتمادًا على عدد درجات الحرية ( F) ومستوى الثقة ( ص) يسمح لك بالانتقال من العينة إلى عامة السكان.
يتم تحديد الانحراف المعياري للنتيجة المتوسطة بواسطة الصيغة:
القيمة هي فاصل الثقة للمتوسط. بالنسبة للتحليلات التسلسلية ، يُفترض عادةً ص= 0,95.
الجدول 1. قيم معامل الطالب ( ر)
F |
||||
مثال 1 .
من عشرة تحديدات لمحتوى المنغنيز في العينة ، يلزم حساب الانحراف المعياري لتحليل واحد وفترة الثقة لمتوسط قيمة Mn٪: 0.69 ؛ 0.68 ؛ 0.70 ؛ 0.67 ؛ 0.67 ؛ 0.69 ؛ 0.66 ؛ 0.68 ؛ 0.67 ؛ 0.68.
حل. وفقًا للصيغة (1) ، يتم حساب متوسط قيمة التحليل
حسب الجدول 1 (تطبيق) ابحث عن f = n-1 = 9 معامل الطالب (P = 0.95) ر= 2.26 وحساب فاصل الثقة للمتوسط. وبالتالي ، يتم تحديد متوسط قيمة التحليل بالفاصل الزمني (0.679 ± 0.009) ٪ Mn.
مثال 2 .
متوسط تسعة قياسات لضغط بخار الماء على محلول كرباميد عند 20 درجة مئوية هو 2.02 كيلو باسكال. عينة الانحراف المعياري للقياسات s = 0.04 كيلو باسكال. حدد عرض فاصل الثقة للمتوسط تسعة والقياس الفردي المقابل لمستوى الثقة 95٪.
حل. معامل الطالب t لمستوى ثقة 0.95 و f = 8 هو 2.31. بشرط
و نجد:
- عرض الثقة. الفاصل الزمني للقيمة المتوسطة
- عرض الثقة. الفاصل الزمني لقياس قيمة واحدة
إذا كانت هناك نتائج تحليل عينات ذات محتوى مختلف ، ثم من المتوسطات الجزئية سعن طريق حساب المتوسط ، يمكنك حساب المتوسط العام س. نأخذ مالعينات ولكل عينة إجراء نيوجيرسيتعريفات متوازية ، يتم تقديم النتائج في شكل جدول:
رقم |
رقم التحليل |
||
خطأ - ينتج انحراف القياس عن القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة. اعتمادًا على الميزات المختلفة ، يتم تصنيف الأخطاء إلى أنواع (الشكل 2.9).
الخطأ المطلق () - الخطأ الذي يمثله الفرق بين القيمة المقاسة () والقيمة الحقيقية (الفعلية) والمعبر عنها بوحدات القيمة المقاسة
خطأ نسبي() - الخطأ ، ويمثله نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة الحقيقية (الحقيقية) للقيمة المقاسة ويُعبر عنها كنسبة مئوية
الخطأ المخفض () هو نسبة الخطأ المطلق إلى قيمة التسوية ().
يتم أخذ قيمة التطبيع مساوية للحد الأعلى للقياسات في وجود قيمة صفرية للمقياس أحادي الجانب للجهاز أو نطاق القياس في حالة مقياس مكون من رقمين للجهاز.
خطأ منهجي - خطأ يظل ثابتًا أثناء القياسات المتكررة أو يختلف حسب العدد.
دائم أخطاء منهجيةعادة ما تشير إلى مؤشرات عالية أو غير كافية لموثوقية أجهزة القياس ، ويمكن تحديدها وإزالتها.في بعض الأحيان يتم تقديم جدول تصحيح لإزالة الأخطاء المنهجية.
تحدث الأخطاء المنهجية التي تظهر بانتظام بسبب عمليات الشيخوخة لأدوات القياس ، حيث تحدث عمليات محو الأسطح والأكسدة وما إلى ذلك. يستلزم وجود مثل هذه الأخطاء التحقق من أدوات القياس ومعايرتها
خطأ عشوائي - أخطاء تتغير عشوائيًا أثناء القياسات المتكررة. لا يمكن التنبؤ بهذه الأخطاء ، وبالتالي فهي غير قابلة للقياس ولا يمكن إزالتها. ومع ذلك ، يمكن تقليل تأثيرها عن طريق القياسات المتكررة مع التحديد اللاحق لخصائص الخطأ العشوائي بالطرق الإحصاء الرياضي. يسمى القرب من الصفر للأخطاء العشوائية بتقارب القياسات.
الأخطاء الثابتة - خطأ أدوات القياس ، عندما لا تتغير القيمة المقاسة أثناء القياسات. من المفترض في هذه الحالة أن القيمة الفعلية للكمية المقاسة لا تتغير ، ويظل الخطأ المطلق ثابتًا.
خطأ ديناميكي - خطأ أدوات القياس ، عندما تتغير القيمة المقاسة أثناء القياس. على سبيل المثال ، عند قياس درجة الحرارة باستخدام مقياس حرارة ، يجب أن يمر الوقت حتى يغير الزئبق درجة حرارته ، ويصل عمود الزئبق إلى العلامة المقابلة على المقياس. إذا تغيرت درجة حرارة الجسم المقاس خلال هذا الوقت ، فسيحدث خطأ ديناميكي.
الأخطاء القابلة للإزالة هي أخطاء منهجية يمكن تحديدها والتخلص منها. تتضمن الأشياء غير القابلة للإزالة أخطاء منهجية وعشوائية ، ولكن لا يمكن إزالة جزء معين من الأخطاء العشوائية ، ومن ثم عشوائية أي نتيجة قياس.
الأخطاء الأساسية - الأخطاء المقابلة ل الظروف الطبيعيةتطبيق أدوات القياس. تم تعيين هذه الشروط الوثائق المعياريةعلى أنواع أدوات القياس أو أنواعها الفردية. غالبًا ما يتم ضبط الظروف الخارجية التالية: درجة الحرارة المحيطة والرطوبة النسبية والضغط الجوي. يعد عزل الخطأ الأساسي المطابق لشروط الاستخدام القياسية واحدًا من عوامل مهمةضمان توحيد القياسات.
خطأ إضافي - الخطأ الذي يحدث عندما تنحرف عن أحد الكميات المؤثرة قيمة عادية. من المعتاد التمييز أخطاء إضافيةللعوامل الفردية: خطأ إضافي في درجة الحرارة ، خطأ بسبب التغيرات الضغط الجويوما إلى ذلك وهلم جرا.
أخطاء أدوات القياس - أخطاء أدوات القياس ، تحددها عيوبها وتصميمها وخصائصها التكنولوجية وتأثير الظروف الخارجية ، مثل التداخل. تعد الأخطاء الآلية أحد أهم مكونات الخطأ ويمكن أن تكون منتظمة أو عشوائية.
خطأ منهجي - خطأ يحدده النقص في أسلوب القياس المطبق. تشمل الأخطاء المنهجية أيضًا استحالة الاستنساخ المثالي لنموذج كائن القياس. في معظم الحالات أخطاء منهجيةنظامية.
خطأ شخصي - خطأ حساب ناتج عن الخصائص الفرديةالموضوع (المشغل) الذي يجري القياسات. يتم تحديد هذا الخطأ من خلال درجة الانتباه وتركيز المشغلين ، ويمكن أن يكون منهجيًا وعشوائيًا.
الخطأ المسموح به هو خطأ ، يتم تحديد حجمه من خلال المستندات التنظيمية والفنية أو تحديده عن طريق الحساب.
الخطأ غير المقبول هو الخطأ الذي تكون فيه نتيجة القياس غير موثوقة ولا يمكن أخذها في الاعتبار.
يتم استدعاء الأخطاء غير المقبولة غير مهذبأو أخطاء اخطاء.يعد الكشف عن الأخطاء الجسيمة والتخلص منها في الوقت المناسب أمرًا مهمًا.
يمكن أن تحدث الأخطاء الإجمالية تحت تأثير أي عامل يؤثر على نتيجة القياس. ومع ذلك ، غالبًا ما يكون مصدر الخطأ الإجمالي هو القراءة غير الصحيحة لقراءات الأداة أو التغييرات غير المتوقعة في البيئة الخارجية.
هناك نوعان رئيسيان طريقة اكتشاف الأخطاء الجسيمة:
في قياسات مفردةيمكن اكتشاف خطأ إذا كانت نتيجة القياس المتوقعة معروفة تقريبًا ، على سبيل المثال ، عند فحص أدوات القياس العاملة باستخدام المعايير والمقاييس ، أو عند القياس المنتظم لشيء ما ، الكمية الماديةالذي لا يتغير عمليا ؛
في قياسات متعددةيمكن إثبات الخطأ من خلال التحليل الإحصائي لنتائج الملاحظات. على سبيل المثال ، عند تحديد الخسارة الطبيعية لمنتجات الفاكهة والخضروات ، يتم قياس كتلة 10 أشياء أو أكثر. الفرق الناتج بين القياسات الأولية والنهائية يعطي خسارة الوزن. يلفت المختبر الانتباه على الفور إلى "السقوط" الرقم الإجمالينتائج.
طرق التخلص من الأخطاء الجسيمة:
1. يمكن التخلص من الأخطاء الإجمالية التي تم الكشف عنها أثناء القياسات الفردية عن طريق تكرار القياسات وتحويلها إلى عدة قياسات.
2. متى قياسات متعددةيتم التخلص من الأخطاء الإجمالية بتطبيق الطرق التالية:
ثلاث قواعد سيجما ؛
المعالجة الرياضية لنتائج القياس.
تنص قاعدة سيجما الثلاثة على أن الخطأ الفادح هو أكثر من ثلاثة سيجما.
سيجما () - الانحراف المعياري ، محسوبًا بالمعادلة
أين هي القيمة الفعلية للكمية في قياس واحد ؛ - متوسط القيمة الحسابية للكمية المقاسة أثناء القياس المتكرر ؛ - عدد القياسات.
هذا يحسب فترة الثقة. يتضمن قيم الكمية المقاسة ، والتي ، وفقًا لقانون التوزيع العادي ، يتم التعرف عليها على أنها موثوقة. تعتبر القيم خارج هذا الفاصل الزمني خاطئة ويتم استبعادها على أنها غير موثوقة. يتم إعادة حساب نتيجة القياس مع مراعاة القيم المستبعدة.
على سبيل المثال ، عند قياس متوسط وزن المكسرات ، تم وزن 10 نسخ. تم الحصول على النتائج التالية: 15 ، 19 ، 20 ، 21 ، 22 ، 18 ، 22 ، 20 ، 25 ، 17 جم متوسط وزن المكسرات 19.9 جرام. = 2. فاصل الثقةتساوي (20 2 أو 18.2 ..22.2). خارجها القيم 15 ؛ 17 ؛ 18 و 25 ، اللذان تم استبعادهما ، ويتم الحصول على نتيجة دقيقة ، تساوي 20.7 جم.
المعالجة الرياضيةيتم تنظيم نتائج القياس وفقًا للمعيار.