X \ u003d X cf X

مطلق

خطأ

نسبي

خطأ

أ + ب

أ + ب

شروط خطأ في القياسو خطأ في القياستستخدم كمرادفات.) من الممكن فقط تقدير حجم هذا الانحراف ، على سبيل المثال ، باستخدام الأساليب الإحصائية. في نفس الوقت ، ل قيمة حقيقيةيتم أخذ متوسط ​​القيمة الإحصائية التي تم الحصول عليها من خلال المعالجة الإحصائية لنتائج سلسلة من القياسات. هذه القيمة التي تم الحصول عليها ليست دقيقة ، ولكنها الأكثر احتمالا. لذلك ، من الضروري الإشارة في القياسات إلى دقتها. للقيام بذلك ، إلى جانب النتيجة التي تم الحصول عليها ، يشار إلى خطأ القياس. على سبيل المثال ، الإدخال T = 2.8 ± 0.1ج. يعني أن القيمة الحقيقية للكمية تيتقع في الفترة من 2.7 ثانية.قبل 2.9 ثانية.بعض الاحتمالات المحددة (انظر فترة الثقة ، احتمال الثقة ، الخطأ المعياري).

في عام 2006 ، تم اعتماد وثيقة جديدة على المستوى الدولي ، تملي شروط إجراء القياسات ووضع قواعد جديدة لمقارنة معايير الدولة. أصبح مفهوم "الخطأ" قديمًا ، وبدلاً من ذلك تم تقديم مفهوم "عدم اليقين في القياس".

تعريف الخطأ

اعتمادًا على خصائص الكمية المقاسة ، يتم استخدام طرق مختلفة لتحديد خطأ القياس.

• تتكون طريقة Kornfeld من اختيار فاصل ثقة يتراوح من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى لنتيجة القياس ، وخطأ بنصف الفرق بين نتيجة القياس القصوى والدنيا:

• واسطة خطأ مربع:

• متوسط ​​الخطأ التربيعي للمتوسط ​​الحسابي:

تصنيف الخطأ

حسب شكل العرض

• الخطأ المطلق - Δ Xهو تقدير لخطأ القياس المطلق. تعتمد قيمة هذا الخطأ على طريقة حسابه ، والتي بدورها تتحدد بتوزيع المتغير العشوائي X مهأس . في هذه الحالة ، المساواة:

Δ X = | X رصشه − X مهأس | ,

أين X رصشه هي القيمة الحقيقية ، و X مهأس - القيمة المقاسة ، يجب أن يتم إجراؤها مع بعض الاحتمالات قريبة من 1. إذا قيمة عشوائية X مهأس موزعة وفقًا للقانون العادي ، إذن ، عادة ، يتم اعتبار انحرافها المعياري خطأً مطلقًا. يقاس الخطأ المطلق بنفس وحدات القيمة نفسها.

• خطأ نسبي- نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة التي تؤخذ على أنها صحيحة:

الخطأ النسبي هو كمية بلا أبعاد ، أو يقاس بالنسبة المئوية.

• تم تقليل الخطأ- الخطأ النسبي ، معبراً عنه بنسبة الخطأ المطلق لجهاز القياس إلى القيمة المقبولة شرطيًا للكمية ، والتي تكون ثابتة على مدى القياس بأكمله أو في جزء من النطاق. محسوبة حسب الصيغة

أين X ن- قيمة التطبيع ، والتي تعتمد على نوع مقياس أداة القياس ويتم تحديدها من خلال تخرجها:

إذا كان حجم الجهاز من جانب واحد ، أي إذن ، يكون الحد الأدنى للقياس صفرًا X نيتم تحديده على قدم المساواة مع الحد الأعلى للقياسات ؛
- إذا كان مقياس الجهاز ذو وجهين ، فإن قيمة التسوية تساوي عرض نطاق القياس للجهاز.

الخطأ المعطى هو قيمة بلا أبعاد (يمكن قياسها كنسبة مئوية).

بسبب حدوثه

• أخطاء مفيدة / مفيدة- الأخطاء التي يتم تحديدها من خلال أخطاء أدوات القياس المستخدمة والناجمة عن النقص في مبدأ التشغيل وعدم دقة مقياس التدرج وعدم وضوح الجهاز.
• أخطاء منهجية- أخطاء ناجمة عن خلل في الأسلوب ، فضلاً عن التبسيط الذي تقوم عليه المنهجية.
• أخطاء شخصية / عامل تشغيل / شخصية- أخطاء بسبب درجة الانتباه والتركيز والاستعداد والصفات الأخرى للمشغل.

في الهندسة ، تُستخدم الأدوات للقياس فقط بدقة معينة محددة مسبقًا - الخطأ الرئيسي المسموح به في الوضع العادي الظروف الطبيعيةالعملية لهذه الأداة.

إذا تم تشغيل الجهاز في ظروف غير عادية ، فسيحدث خطأ إضافي ، مما يؤدي إلى زيادة الخطأ الكلي للجهاز. تتضمن الأخطاء الإضافية: درجة الحرارة الناتجة عن الانحراف في درجة الحرارة بيئةعن الوضع الطبيعي ، التثبيت ، بسبب انحراف موضع الجهاز عن وضع التشغيل العادي ، إلخ. خلف درجة الحرارة العاديةيُؤخذ الهواء المحيط عند درجة حرارة 20 درجة مئوية ، في الحالة الطبيعية الضغط الجوي 01.325 كيلو باسكال.

السمة المعممة لأدوات القياس هي فئة الدقة ، التي تحددها القيم الحدية للأداة الرئيسية و أخطاء إضافية، بالإضافة إلى المعلمات الأخرى التي تؤثر على دقة أدوات القياس ؛ يتم تحديد قيمة المعلمات من خلال المعايير لأنواع معينة من أدوات القياس. تحدد فئة الدقة لأجهزة القياس خصائص دقتها ، ولكنها ليست مؤشرًا مباشرًا على دقة القياسات التي يتم إجراؤها باستخدام هذه الأدوات ، حيث تعتمد الدقة أيضًا على طريقة القياس وشروط تنفيذها. أدوات القياس ، حدود الخطأ الأساسي المسموح به والتي ترد في شكل أخطاء أساسية (نسبية) مخفضة ، يتم تعيين فئات دقة مختارة من عدد من الأرقام التالية: (1 ؛ 1.5 ؛ 2.0 ؛ 2.5 ؛ 3.0 ؛ 4.0 ؛ 5.0 ؛ 6.0) * 10n ، حيث ن = 1 ؛ 0 ؛ -1 ؛ -2 إلخ.

حسب طبيعة التجلّي

• خطأ عشوائي- خطأ ، تغيير (في الحجم وعلامة الدخول) من القياس إلى القياس. أخطاء عشوائيةقد تترافق مع عيب في الأجهزة (الاحتكاك في الأجهزة الميكانيكية ، وما إلى ذلك) ، والاهتزاز في الظروف الحضرية ، مع عيب كائن القياس (على سبيل المثال ، عند قياس قطر سلك رفيع ، والذي قد لا يحتوي بشكل كامل على المقطع العرضي المستدير نتيجة لعيوب عملية التصنيع) ، مع ميزات القيمة المقاسة نفسها (على سبيل المثال ، عند قياس عدد الجسيمات الأولية التي تمر في الدقيقة عبر عداد جيجر).
• خطأ منهجي- خطأ يختلف في الوقت حسب قانون معين (حالة خاصة خطأ مستمرالتي لا تتغير بمرور الوقت). أخطاء منهجيةقد تترافق مع أخطاء في الجهاز (مقياس غير صحيح ، معايرة ، إلخ) لم يحسبها المجرب.
• خطأ تدريجي (انحراف)هو خطأ غير متوقع يتغير ببطء بمرور الوقت. إنها عملية عشوائية غير ثابتة.
• الخطأ الإجمالي (Miss)- خطأ ناتج عن إشراف المجرب أو عطل في الجهاز (على سبيل المثال ، إذا قرأ المجرب رقم القسمة بشكل غير صحيح على مقياس الجهاز ، إذا كانت هناك دائرة كهربائية قصيرة في الدائرة الكهربائية).

1 المقدمة

غالبًا ما يرتبط عمل الكيميائيين والفيزيائيين وممثلي مهن العلوم الطبيعية الأخرى بأداء القياسات الكمية بكميات مختلفة. يثير هذا مسألة تحليل موثوقية القيم التي تم الحصول عليها ومعالجة نتائج القياسات المباشرة وتقدير أخطاء الحسابات التي تستخدم قيم الخصائص المقاسة مباشرة (تسمى العملية الأخيرة أيضًا معالجة النتائج غير مباشرقياسات). لعدد من الأسباب الموضوعية ، فإن معرفة خريجي كلية الكيمياء بجامعة موسكو الحكومية حول حساب الأخطاء ليست كافية دائمًا من أجل المعالجة الصحيحةالبيانات التي وردت. أحد هذه الأسباب هو عدم وجود مقرركلية الدورة في المعالجة الإحصائية لنتائج القياس.

ل اللحظة الحاليةمسألة حساب الأخطاء ، بالطبع ، تمت دراستها بشكل شامل. موجود عدد كبير من التطورات المنهجية، والكتب المدرسية ، وما إلى ذلك ، حيث يمكنك الحصول على معلومات حول حساب الأخطاء. لسوء الحظ ، فإن معظم هذه الأعمال مثقلة بمعلومات إضافية وليست ضرورية دائمًا. على وجه الخصوص ، لا تتطلب معظم أعمال ورش عمل الطلاب إجراءات مثل مقارنة العينات ، وتقييم التقارب ، وما إلى ذلك. لذلك ، يبدو من المناسب إنشاء تطوير موجز يحدد الخوارزميات للحسابات الأكثر استخدامًا ، وهو ما هذا التطور مكرس ل.

2. التدوين المعتمد في هذا العمل

القيمة المقاسة - متوسط ​​القيمة المقاسة - الخطأ المطلق لمتوسط ​​القيمة المقاسة - الخطأ النسبي لمتوسط ​​القيمة المقاسة.

3. حساب أخطاء القياسات المباشرة

لذلك لنفترض أنه كان هناكن قياسات نفس الكمية تحت نفس الظروف. في هذه الحالة ، يمكنك حساب متوسط ​​قيمة هذه الكمية في القياسات:

(1)

كيف تحسب الخطأ؟ حسب الصيغة التالية:

(2)

تستخدم هذه الصيغة معامل الطالب. يتم إعطاء قيمها لاحتمالات وقيم الثقة المختلفة في.

3.1. مثال على حساب أخطاء القياسات المباشرة:

مهمة.

تم قياس طول الشريط المعدني. تم إجراء 10 قياسات وتم الحصول على القيم التالية: 10 ملم ، 11 ملم ، 12 ملم ، 13 ملم ، 10 ملم ، 10 ملم ، 11 ملم ، 10 ملم ، 10 ملم ، 11 ملم. مطلوب إيجاد متوسط ​​القيمة المقاسة (طول الشريط) وخطأها.

حل.

باستخدام الصيغة (1) نجد:

مم

الآن ، باستخدام الصيغة (2) ، نجد الخطأ المطلق لمتوسط ​​القيمة عند مستوى الثقةوعدد درجات الحرية (نستخدم القيمة \ u003d 2.262 ، مأخوذة من):

لنكتب النتيجة:

10.8 ± 0.7 0.95 مم

4. حساب أخطاء القياسات غير المباشرة

لنفترض أنه تم قياس القيم أثناء التجربة ، وثمج باستخدام القيم التي تم الحصول عليها ، يتم حساب القيمة بواسطة الصيغة . في هذه الحالة ، يتم حساب أخطاء القيم المقاسة مباشرة على النحو الموصوف في الفقرة 3.

يتم حساب متوسط ​​قيمة الكمية وفقًا للاعتماد باستخدام متوسط ​​قيم الوسيطات.

يتم حساب خطأ المقدار باستخدام الصيغة التالية:

,(3)

أين هو عدد الحجج ، هي المشتقات الجزئية للوظيفة فيما يتعلق بالحجج ، هو الخطأ المطلق للقيمة المتوسطة للوسيطة.

يتم حساب الخطأ المطلق ، كما في حالة القياسات المباشرة ، بواسطة الصيغة.

4.1 مثال على حساب أخطاء القياسات المباشرة:

مهمة.

وأجريت خمسة قياسات مباشرة من و. للقيمة التي تم الحصول عليها: 50 ، 51 ، 52 ، 50 ، 47 ؛ القيم التي تم الحصول عليها للقيمة: 500 ، 510 ، 476 ، 354 ، 520. مطلوب حساب قيمة القيمة المحددة بواسطة الصيغة وإيجاد خطأ القيمة التي تم الحصول عليها.

الخطأ المطلق والنسبي

عناصر نظرية الأخطاء

أرقام دقيقة وتقريبية

دقة الرقم بشكل عام أمر لا شك فيه عندما يتعلق الأمر بقيم البيانات الصحيحة (قلمان ، 100 شجرة). ومع ذلك ، في معظم الحالات ، عندما يكون من المستحيل تحديد القيمة الدقيقة لرقم (على سبيل المثال ، عند قياس كائن باستخدام مسطرة ، أو أخذ النتائج من جهاز ، وما إلى ذلك) ، فإننا نتعامل مع بيانات تقريبية.

القيمة التقريبية هي رقم يختلف قليلاً عن القيمة الدقيقة ويستبدلها في العمليات الحسابية. تتميز درجة الاختلاف بين القيمة التقريبية للرقم وقيمته الدقيقة بـ خطأ .

هناك المصادر الرئيسية التالية للأخطاء:

1. أخطاء في صياغة المشكلةتنشأ كنتيجة لوصف تقريبي لظاهرة حقيقية من حيث الرياضيات.

2. أخطاء الأسلوبيرتبط بصعوبة أو استحالة حل المشكلة واستبدالها بأخرى مماثلة ، بحيث يمكنك تطبيق طريقة حل معروفة ويمكن الوصول إليها والحصول على نتيجة قريبة من المطلوب.

3. أخطاء فادحة، المرتبطة بالقيم التقريبية للبيانات الأولية وبسبب أداء الحسابات على الأرقام التقريبية.

4. أخطاء التقريبالمرتبطة بتقريب قيم البيانات الأولية والنتائج الوسيطة والنهائية التي تم الحصول عليها باستخدام الأدوات الحسابية.

الخطأ المطلق والنسبي

المحاسبة للأخطاء هي جانب مهمتطبيق الطرق العددية ، حيث أن خطأ النتيجة النهائية لحل المشكلة برمتها هو نتاج تفاعل جميع أنواع الأخطاء. لذلك ، فإن إحدى المهام الرئيسية لنظرية الأخطاء هي تقدير دقة النتيجة بناءً على دقة البيانات الأولية.

إذا كان رقمًا دقيقًا وكانت قيمته التقريبية ، فإن الخطأ (خطأ) القيمة التقريبية هو درجة الاقتراب من قيمتها بالضبط.

أبسط مقياس كمي للخطأ هو الخطأ المطلق ، والذي يتم تعريفه على أنه

(1.1.2-1)

كما يتضح من الصيغة 1.1.2-1 ، فإن الخطأ المطلق له نفس وحدات القياس مثل القيمة. لذلك ، من خلال حجم الخطأ المطلق ، ليس من الممكن دائمًا استخلاص نتيجة صحيحة حول جودة التقريب. على سبيل المثال ، إذا ، ونحن نتحدث عن جزء من الآلة ، فإن القياسات تقريبية للغاية ، وإذا كنا نتحدث عن حجم الوعاء ، فهي دقيقة للغاية. لهذا السبب ، المفهوم خطأ نسبي، حيث ترتبط قيمة الخطأ المطلق بمعامل القيمة التقريبية ( ).

(1.1.2-2)

يعد استخدام الأخطاء النسبية مناسبًا ، على وجه الخصوص ، لأنها لا تعتمد على مقياس القيم ووحدات البيانات. يقاس الخطأ النسبي في الكسور أو النسب المئوية. لذلك ، على سبيل المثال ، إذا

،أ ، الذي - التي , و إذا و ,

وماذا بعد .

لتقييم خطأ دالة عدديًا ، تحتاج إلى معرفة القواعد الأساسية لحساب خطأ الإجراءات:

· عند جمع وطرح الأرقام تضيف الأخطاء المطلقة للأرقام

· عند ضرب وقسمة الأعداد أخطائهم النسبية مكدسة فوق بعضها البعض

· عند رفعه إلى قوة عدد تقريبي يتم ضرب الخطأ النسبي في الأس

مثال 1.1.2-1. إعطاء وظيفة: . أوجد الأخطاء المطلقة والنسبية للقيمة (خطأ نتيجة إجراء العمليات الحسابية) ، إذا كانت القيم معروفة ، و 1 رقم دقيق وخطأها صفر.

بعد تحديد قيمة الخطأ النسبي بهذه الطريقة ، يمكن للمرء أن يجد قيمة الخطأ المطلق كـ , حيث يتم حساب القيمة بواسطة صيغة القيم التقريبية

نظرًا لأن القيمة الدقيقة للكمية غير معروفة عادة ، فإن الحساب و وفقا للصيغ أعلاه أمر مستحيل. لذلك ، في الممارسة العملية ، يتم تقييم الأخطاء الهامشية في النموذج:

(1.1.2-3)

أين و - القيم المعروفة ، وهي الحدود العليا للأخطاء المطلقة والنسبية ، وإلا يطلق عليها - الحد من الأخطاء النسبية المطلقة والمحدودة. وبالتالي ، تكمن القيمة الدقيقة في:

إذا كانت القيمة معروف ، إذن ، وإذا كانت القيمة معروفة ، الذي - التي