أمثلة الدوال الأسية. دالة أسية وخصائصها ورسم بياني لها - هايبر ماركت المعرفة

تركيز الانتباه:

تعريف. وظيفة الأنواع تسمى دالة أسية .

تعليق. الاستبعاد الأساسي أالأرقام 0 ؛ 1 و القيم السالبة أموضحًا بالظروف التالية:

التعبير التحليلي نفسه فأسفي هذه الحالات ، يحتفظ بمعناه ويمكن مواجهته في حل المشكلات. على سبيل المثال ، للتعبير س صنقطة س = 1 ؛ ذ = 1 المدرجة في المنطقة القيم المسموح بها.

بناء الرسوم البيانية للوظائف: و.

رسم بياني للدالة الأسية
ص =أ x، أ> 1	ص =أ x , 0< a < 1

خصائص الوظيفة الأسية

خصائص الوظيفة الأسية	ص =أ x، أ> 1	ص =أ x , 0< a < 1
نطاق الوظيفة
2. مجموعة من القيم الدالة
3. فترات المقارنة مع الوحدة	في x> 0 ، أ x > 1	في x > 0, 0< a x < 1
	في x < 0, 0< a x < 1	في x < 0, a x > 1
4. الزوجية والغريبة.	الوظيفة ليست زوجية ولا فردية (وظيفة عامة).
5. رتابة.	يزيد بشكل رتيب ص	ينخفض ​​بشكل رتيب بواسطة ص
6. النهايات.	دالة أسيةليس له أي تطرف.
7- خط التقارب	المحور O xهو خط مقارب أفقي.
8. لأية قيم حقيقية xو ذ;

عندما يتم ملء الجدول ، يتم حل المهام بالتوازي مع التعبئة.

رقم المهمة 1. (للعثور على مجال الوظيفة).

ما هي قيم الوسيطة الصالحة للوظائف:

رقم المهمة 2. (للعثور على نطاق الوظيفة).

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لوظيفة. حدد نطاق الوظيفة ونطاقها:

رقم المهمة 3. (للإشارة إلى فترات المقارنة مع الوحدة).

قارن كل من القوى التالية بواحد:

رقم المهمة 4. (لدراسة وظيفة الرتابة).

قارن الأعداد الحقيقية بالحجم مو نلو:

رقم المهمة 5. (لدراسة وظيفة الرتابة).

توصل إلى استنتاج حول الأساس أ، لو:

ص (س) = 10 س ؛ و (خ) = 6 س ؛ ض (س) - 4x

كيف هي الرسوم البيانية للدوال الأسية بالنسبة لبعضها البعض من أجل x> 0 ، x = 0 ، x< 0?

في مستوى إحداثي واحد ، يتم رسم الرسوم البيانية للوظائف:

ص (خ) = (0،1) س ؛ و (خ) = (0.5) س ؛ ض (س) = (0.8) س.

كيف هي الرسوم البيانية للدوال الأسية بالنسبة لبعضها البعض من أجل x> 0 ، x = 0 ، x< 0?

رقم من أهم الثوابت في الرياضيات. بحكم التعريف ، هو يساوي حد التسلسل مع غير محدود زيادة . تعيين هقدَّم ليونارد اويلر في عام 1736. قام بحساب أول 23 رقمًا من هذا الرقم بالتدوين العشري ، وسمي الرقم نفسه باسم نابير "الرقم غير النظير". رقم هيلعب دورًا خاصًا في التحليل الرياضي. دالة أسية مع القاعدة ه, يسمى الأس والمشار إليها ص = ه س. العلامات الأولى أعداد هسهل التذكر: اثنان ، فاصلة ، سبعة ، سنة ولادة ليو تولستوي - مرتان ، خمسة وأربعون ، وتسعون ، وخمسة وأربعون.

العمل في المنزل:

كولموغوروف ص 35 ؛ رقم 445-447 ؛ 451 ؛ 453.

كرر الخوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على متغير تحت علامة الوحدة.

يرتبط حل معظم المشكلات الرياضية بطريقة ما بتحويل التعبيرات العددية أو الجبرية أو الوظيفية. هذا ينطبق بشكل خاص على الحل. في متغيرات الاستخدام في الرياضيات ، يتضمن هذا النوع من المهام ، على وجه الخصوص ، المهمة C3. تعلم كيفية حل مهام C3 مهم ليس فقط لغرض النجاح اجتياز الامتحان، ولكن أيضًا لسبب أن هذه المهارة مفيدة عند دراسة مادة الرياضيات في التعليم العالي.

أداء المهام C3 ، عليك أن تقرر أنواع مختلفةالمعادلات وعدم المساواة. من بينها عقلاني ، غير منطقي ، أسي ، لوغاريتمي ، مثلث ، يحتوي على وحدات (قيم مطلقة) ، بالإضافة إلى وحدات مجمعة. تتناول هذه المقالة الأنواع الرئيسية من المعادلات الأسية وعدم المساواة ، وكذلك أساليب مختلفةقراراتهم. اقرأ عن حل الأنواع الأخرى من المعادلات وعدم المساواة تحت العنوان "" في المقالات المخصصة لطرق حل مشكلات C3 من خيارات الاستخدامالرياضيات.

قبل الشروع في تحليل محدد المعادلات الأسية وعدم المساواة، بصفتي مدرسًا للرياضيات ، أقترح عليك تحسين بعض الأمور مادة نظريةالذي سنحتاجه.

دالة أسية

ما هي الوظيفة الأسية؟

عرض وظيفة ذ = فأس، أين أ> 0 و أ≠ 1 ، يسمى دالة أسية.

رئيسي خصائص الدالة الأسية ذ = فأس:

رسم بياني للدالة الأسية

الرسم البياني للدالة الأسية هو عارض:

الرسوم البيانية للدوال الأسية (الأس)

حل المعادلات الأسية

دلاليتسمى المعادلات التي يوجد فيها المتغير المجهول فقط في أسس أي قوى.

عن الحلول المعادلات الأسيةتحتاج إلى معرفة النظرية البسيطة التالية والقدرة على استخدامها:

نظرية 1.المعادلة الأسية أ F(x) = أ ز(x) (أين أ > 0, أ≠ 1) تعادل المعادلة F(x) = ز(x).

بالإضافة إلى ذلك ، من المفيد تذكر الصيغ والإجراءات الأساسية بالدرجات:

Title = "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com">!}

مثال 1حل المعادلة:

حل:استخدم الصيغ والاستبدال أعلاه:

ثم تصبح المعادلة:

تمييز تلقى معادلة من الدرجة الثانيةإيجابي:

Title = "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com">!}

هذا يعني أن هذه المعادلة لها جذران. نجدهم:

بالعودة إلى التبديل ، نحصل على:

المعادلة الثانية ليس لها جذور ، لأن الدالة الأسية موجبة بشكل صارم على كامل مجال التعريف. لنحل الحل الثاني:

مع الأخذ في الاعتبار ما قيل في النظرية 1 ، ننتقل إلى المعادلة المكافئة: x= 3. سيكون هذا هو الجواب على المهمة.

إجابة: x = 3.

مثال 2حل المعادلة:

حل:المعادلة ليس لها قيود على مجال القيم المقبولة ، لأن التعبير الراديكالي يكون منطقيًا لأي قيمة x(دالة أسية ذ = 9 4 -xموجب ولا يساوي الصفر).

نحل المعادلة بتحويلات مكافئة باستخدام قواعد الضرب وتقسيم القوى:

تم تنفيذ الانتقال الأخير وفقًا للنظرية 1.

إجابة:x= 6.

مثال 3حل المعادلة:

حل:يمكن قسمة طرفي المعادلة الأصلية على 0.2 x. سيكون هذا الانتقال مكافئًا ، لأن هذا التعبير أكبر من الصفر لأي قيمة x(الدالة الأسية إيجابية تمامًا في مجالها). ثم تأخذ المعادلة الشكل:

إجابة: x = 0.

مثال 4حل المعادلة:

حل:نقوم بتبسيط المعادلة إلى معادلة أولية من خلال تحويلات مكافئة باستخدام قواعد القسمة وضرب القوى المعطاة في بداية المقال:

قسمة طرفي المعادلة على 4 x، كما في المثال السابق ، هو تحويل مكافئ ، لأن هذا التعبير لا يساوي صفرًا لأي قيم x.

إجابة: x = 0.

مثال 5حل المعادلة:

حل:وظيفة ذ = 3x، يقف على الجانب الأيسر من المعادلة ، آخذ في الازدياد. وظيفة ذ = —x-2/3 ، الوقوف على الجانب الأيمن من المعادلة ، آخذ في التناقص. هذا يعني أنه إذا تقاطعت الرسوم البيانية لهذه الوظائف ، فعندئذٍ في نقطة واحدة على الأكثر. في هذه الحالة ، من السهل تخمين أن الرسوم البيانية تتقاطع عند النقطة x= -1. لن يكون هناك جذور أخرى.

إجابة: x = -1.

مثال 6حل المعادلة:

حل:نبسط المعادلة بتحويلات مكافئة ، مع الأخذ في الاعتبار في كل مكان أن الدالة الأسية أكبر من الصفر لأي قيمة xواستخدام قواعد حساب حاصل الضرب والصلاحيات الجزئية المعطاة في بداية المقال:

إجابة: x = 2.

حل المتباينات الأسية

دلاليتسمى عدم المساواة حيث المتغير المجهول موجود فقط في أسس بعض القوى.

عن الحلول عدم المساواة الأسيةمطلوب معرفة النظرية التالية:

نظرية 2.لو أ> 1 ، ثم المتباينة أ F(x) > أ ز(x) يعادل عدم المساواة بنفس المعنى: F(x) > ز(x). إذا كان 0< أ < 1, то عدم المساواة الأسية أ F(x) > أ ز(x) يعادل عدم المساواة بالمعنى المعاكس: F(x) < ز(x).

مثال 7حل المتباينة:

حل:تمثل عدم المساواة الأصلية في الشكل:

قسّم طرفي هذه المتباينة على 3 2 x، و (بسبب ايجابية الوظيفة ذ= 3 2x) علامة عدم المساواة لن تتغير:

دعنا نستخدم البديل:

ثم تأخذ عدم المساواة الشكل:

إذن ، حل المتباينة هو الفترة الزمنية:

بالانتقال إلى التبديل العكسي ، نحصل على:

يتم تحقيق عدم المساواة اليسرى ، بسبب إيجابية الدالة الأسية ، تلقائيًا. باستخدام الخاصية المعروفة للوغاريتم ، نمرر إلى المتباينة المكافئة:

نظرًا لأن أساس الدرجة هو رقم أكبر من واحد ، فإن المكافئ (بواسطة النظرية 2) سيكون الانتقال إلى المتباينة التالية:

حتى نحصل عليه في النهاية إجابة:

المثال 8حل المتباينة:

حل:باستخدام خصائص الضرب وقسمة القوى ، نعيد كتابة المتباينة بالصيغة:

دعنا نقدم متغير جديد:

مع هذا الاستبدال ، تأخذ عدم المساواة الشكل:

اضرب بسط الكسر ومقامه في 7 ، نحصل على المتباينة المكافئة التالية:

لذلك ، يتم استيفاء عدم المساواة بالقيم التالية للمتغير ر:

بعد ذلك ، بالعودة إلى التبديل ، نحصل على:

نظرًا لأن أساس الدرجة هنا أكبر من واحد ، فإنه يكافئ (بواسطة النظرية 2) المرور إلى المتباينة:

أخيرا نحصل إجابة:

المثال 9حل المتباينة:

حل:

نقسم كلا جانبي عدم المساواة بالتعبير:

دائمًا ما تكون أكبر من الصفر (لأن الدالة الأسية موجبة) ، لذلك لا يلزم تغيير علامة عدم المساواة. نحن نحصل:

t ، والتي تقع في الفترة الزمنية:

بالانتقال إلى التبديل العكسي ، نجد أن المتباينة الأصلية تنقسم إلى حالتين:

المتباينة الأولى ليس لها حلول بسبب إيجابية الدالة الأسية. لنحل الحل الثاني:

المثال 10حل المتباينة:

حل:

فروع القطع المكافئ ذ = 2x+2-x 2 يتم توجيهها إلى أسفل ، ومن ثم فهي مقيدة من الأعلى بالقيمة التي تصل إلى ذروتها:

فروع القطع المكافئ ذ = x 2 -2x+2 ، الموجودة في المؤشر ، موجهة للأعلى ، مما يعني أنها مقيدة من أسفل بالقيمة التي تصل إلى قمتها:

في الوقت نفسه ، تبين أن الوظيفة مقيدة من الأسفل ذ = 3 x 2 -2x+2 في الجانب الأيمن من المعادلة. تصل إليها أصغر قيمةعند نفس نقطة القطع المكافئ في الأس ، وهذه القيمة هي 3 1 = 3. لذلك ، لا يمكن أن تكون المتباينة الأصلية صحيحة إلا إذا كانت الدالة على اليسار والدالة اليمنى تأخذ القيمة 3 عند نقطة واحدة (بواسطة عبور نطاقات هذه الوظائف هو فقط هذا الرقم). يتم استيفاء هذا الشرط في نقطة واحدة x = 1.

إجابة: x= 1.

لتعلم كيفية حلها المعادلات الأسيةوعدم المساواةتحتاج إلى التدريب باستمرار في حلها. يمكن أن تساعدك الوسائل التعليمية المختلفة ، وكتب مسائل الرياضيات الابتدائية ، ومجموعات المشكلات التنافسية ، وفصول الرياضيات في المدرسة ، بالإضافة إلى الدروس الفردية مع معلم محترف في هذه المهمة الصعبة. أتمنى مخلصًا لك النجاح في التحضير والنتائج الرائعة في الامتحان.

سيرجي فاليريفيتش

ملاحظة: ضيوفنا الأعزاء! من فضلك لا تكتب طلبات لحل المعادلات الخاصة بك في التعليقات. لسوء الحظ ، ليس لدي وقت لهذا على الإطلاق. سيتم حذف مثل هذه الرسائل. يرجى قراءة المقال. ربما ستجد فيه إجابات للأسئلة التي لم تسمح لك بحل مهمتك بنفسك.

هايبر ماركت المعرفة >> الرياضيات >> الرياضيات للصف العاشر >>

الوظيفة الأسية وخصائصها والرسم البياني

ضع في اعتبارك التعبير 2x وابحث عن قيمه لمختلف القيم المنطقية للمتغير x ، على سبيل المثال ، لـ x = 2 ؛

بشكل عام ، بغض النظر عن القيمة المنطقية التي نعطيها للمتغير x ، يمكننا دائمًا حساب القيمة العددية المقابلة للتعبير 2x. وبالتالي ، يمكن للمرء أن يتحدث عن الأسي المهام y = 2 x المحدد في المجموعة Q من الأرقام المنطقية:

لنفكر في بعض خصائص هذه الوظيفة.

خاصية 1.هي دالة متزايدة. نقوم بالإثبات على مرحلتين.
المرحلة الأولى.دعونا نثبت أنه إذا كانت r موجبة رقم منطقي، ثم 2 ص> 1.
هناك حالتان ممكنتان: 1) r عدد طبيعي ، r = n ؛ 2) غير قابل للاختزال العادي جزء,

على الجانب الأيسر من آخر متباينة لدينا ، وعلى الجانب الأيمن 1. ومن ثم ، يمكن إعادة كتابة آخر متباينة على النحو التالي

وبالتالي ، على أي حال ، فإن المتباينة 2 r> 1 تبقى كما هو مطلوب.

المرحلة الثانية.لنفترض أن x 1 و x 2 عددان ، و x 1 و x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(أشرنا إلى الفرق x 2 -x 1 بالحرف r).

بما أن r رقم منطقي موجب ، إذن ، من خلال ما تم إثباته في المرحلة الأولى ، 2 r> 1 ، أي ، 2 ص -1> 0. الرقم 2x "موجب أيضًا ، مما يعني أن المنتج 2 x-1 (2 Г -1) موجب أيضًا. وبالتالي ، فقد أثبتنا ذلك عدم المساواة 2 Xr -2x "\ u003e 0.

إذن ، من المتباينة x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

خاصية 2.محدود من الأسفل وليس مقصوراً من الأعلى.
تأتي حدود الدالة أدناه من المتباينة 2 x> 0 ، وهي صالحة لأية قيم لـ x من مجال الوظيفة. في نفس الوقت ، أيا كان رقم موجب، عدد إيجابيخذ لا M ، يمكنك دائمًا اختيار مؤشر x بحيث تتحقق المتباينة 2 x> M - والتي تميز عدم حدود الوظيفة من الأعلى. دعنا نعطي بعض الأمثلة.

الملكية 3.ليس له قيمة دنيا ولا قصوى.

من الواضح أن هذه الوظيفة ليست ذات أهمية قصوى ، لأنها ، كما رأينا للتو ، ليست مقيدة من الأعلى. لكنها محدودة من الأسفل ، فلماذا لا تملك أصغر قيمة؟

افترض أن 2r هي أصغر قيمة للدالة (r هي بعض مؤشر منطقي). خذ عددًا منطقيًا q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

كل هذا جيد ، كما تقول ، ولكن لماذا نعتبر الدالة y-2 x فقط في مجموعة الأعداد المنطقية ، فلماذا لا نعتبرها ، مثل الدوال الأخرى المعروفة ، على خط الأعداد بأكمله أو في فترة متواصلة من خط الأعداد؟ ما الذي يمنعنا؟ دعونا نفكر في الموقف.

لا يحتوي خط الأعداد على أرقام منطقية فحسب ، بل يحتوي أيضًا على أرقام غير منطقية. بالنسبة للوظائف التي تمت دراستها مسبقًا ، لم يزعجنا هذا. على سبيل المثال ، وجدنا قيم الدالة y \ u003d x 2 بسهولة متساوية لكل من القيم المنطقية وغير المنطقية لـ x: كان ذلك كافياً لتربيع القيمة المعطاة لـ x.

ولكن مع الوظيفة y \ u003d 2 x ، يكون الوضع أكثر تعقيدًا. إذا أعطيت الوسيطة x قيمة منطقية ، فيمكن حساب x من حيث المبدأ (العودة إلى بداية الفقرة ، حيث فعلنا ذلك بالضبط). وإذا أعطيت السعة x قيمة غير منطقية؟ كيف ، على سبيل المثال ، لحساب؟ لا نعرف هذا بعد.
وجد علماء الرياضيات طريقة للخروج ؛ هكذا تحدثوا.

ومن المعروف أن ضع في اعتبارك سلسلة من الأرقام المنطقية - التقريب العشري لرقم عن طريق النقص:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

واضح أن 1.732 = 1.7320 و 1.732050 = 1.73205. لتجنب مثل هذه التكرارات ، نتجاهل أعضاء التسلسل التي تنتهي بالرقم 0.

ثم نحصل على تسلسل متزايد:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

في المقابل ، يزيد التسلسل أيضًا.

جميع أعضاء هذا التسلسل أرقام موجبة أقل من 22 ، أي هذا التسلسل محدود. وفقًا لنظرية Weierstrass (انظر الفقرة 30) ، إذا كان التسلسل يتزايد ويحد ، فإنه يتقارب. علاوة على ذلك ، من الفقرة 30 ، نعلم أنه إذا تقارب التسلسل ، فعندئذٍ فقط إلى حد واحد. تم الاتفاق على أن هذا الحد الفردي يعتبر قيمة للتعبير العددي. ولا يهم أنه من الصعب جدًا العثور حتى على قيمة تقريبية للتعبير العددي 2 ؛ من المهم أن يكون هذا رقمًا محددًا (بعد كل شيء ، لم نكن خائفين من القول ، على سبيل المثال ، هو جذر المعادلة المنطقية ، جذر المعادلة المثلثية ، دون التفكير حقًا في ماهية هذه الأرقام بالضبط:
لذلك ، اكتشفنا المعنى الذي وضعه علماء الرياضيات في الرمز 2 ^. وبالمثل ، يمكن للمرء تحديد ما هو a وبشكل عام ما هو a ، حيث a هو رقم غير نسبي و> 1.
ولكن ماذا عن عندما 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
الآن يمكننا التحدث ليس فقط عن القوى ذات الأسس المنطقية التعسفية ، ولكن أيضًا عن القوى ذات الأسس الحقيقية التعسفية. ثبت أن الدرجات مع أي أس حقيقي لها جميع الخصائص المعتادة للدرجات: عند ضرب الدرجات بنفس القواعد ، يتم إضافة الأس ، عند القسمة ، يتم طرحها ، عند رفع درجة إلى قوة ، يتم ضربهم ، إلخ. . لكن الشيء الأكثر أهمية هو أنه يمكننا الآن التحدث عن الدالة y-ax المحددة في مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
دعنا نعود إلى الوظيفة y \ u003d 2 x ، نبني الرسم البياني الخاص بها. للقيام بذلك ، سنقوم بتجميع جدول قيم الوظائف \ u200b \ u200b \ u003d 2 ×:

دعونا نلاحظ النقاط على مستوى الإحداثيات (الشكل 194) ، فهي تحدد خطًا معينًا ، وترسمه (الشكل 195).

خصائص الوظيفة y - 2 x:
1)
2) ليست زوجية ولا فردية ؛ 248
3) الزيادات ؛

5) ليس له أكبر ولا أصغر القيم ؛
6) مستمر
7)
8) محدب لأسفل.

يتم تقديم أدلة صارمة على الخصائص المدرجة للدالة y-2 x في سياق الرياضيات العليا. بعض هذه الخصائص التي ناقشناها سابقًا بدرجة أو بأخرى ، وبعضها موضح بوضوح من خلال الرسم البياني المركب (انظر الشكل 195). على سبيل المثال ، يرتبط غياب التكافؤ أو الغرابة في دالة هندسيًا بنقص التناظر في الرسم البياني ، على التوالي ، حول المحور y أو حول الأصل.

أي دالة بالصيغة y = a x ، حيث a> 1 ، لها خصائص مماثلة. على التين. تم إنشاء 196 في نظام إحداثي واحد ، الرسوم البيانية للدوال y = 2 x ، y = 3 x ، y = 5 x.

الآن دعنا نفكر في الوظيفة ، دعنا نصنع جدولًا لقيمها:

دعنا نحدد النقاط على مستوى الإحداثيات (الشكل 197) ، نحدد خطًا معينًا ، ونرسمه (الشكل 198).

خصائص الوظيفة

1)
2) ليست زوجية ولا فردية ؛
3) النقصان.
4) لا يقتصر على ما سبق ، محدود من الأسفل ؛
5) لا توجد أكبر ولا أصغر القيم ؛
6) مستمر
7)
8) محدب لأسفل.
أي دالة على شكل y \ u003d a x ، حيث O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
يرجى ملاحظة: الرسوم البيانية للوظائف أولئك. ص \ u003d 2 س ، متماثل حول المحور ص (الشكل 201). هذا نتيجة للبيان العام (انظر الفقرة 13): الرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و y = f (-x) متناظرة حول المحور y. وبالمثل ، فإن الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d 3 x و

تلخيصًا لما قيل ، سنقدم تعريفًا للدالة الأسية ونبرز أهم خصائصها.

تعريف.وظيفة العرض تسمى الوظيفة الأسية.
الخصائص الرئيسية للدالة الأسية y \ u003d a x

يظهر الرسم البياني للوظيفة y \ u003d a x لـ a> 1 في الشكل. 201 و 0<а < 1 - на рис. 202.

المنحنى الموضح في الشكل. 201 أو 202 يسمى الأس. في الواقع ، يسمي علماء الرياضيات عادةً الدالة الأسية نفسها y = a x. لذا فإن مصطلح "الأس" يستخدم في معنيين: كلاهما لاسم الوظيفة الأسية ، ولاسم الرسم البياني للدالة الأسية. عادة ، من الواضح في المعنى ما إذا كنا نتحدث عن دالة أسية أم رسم بياني.

انتبه إلى السمة الهندسية للرسم البياني للوظيفة الأسية y \ u003d ax: المحور x هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني. صحيح ، عادة ما يتم تنقيح هذا البيان على النحو التالي.
المحور x هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة

بعبارة أخرى

أول ملاحظة مهمة. غالبًا ما يخلط تلاميذ المدارس بين المصطلحات: وظيفة القوة ، الوظيفة الأسية. يقارن:

هذه أمثلة على وظائف الطاقة ؛

هي أمثلة على الوظائف الأسية.

بشكل عام ، y \ u003d x r ، حيث r هو رقم محدد ، هي دالة طاقة (الوسيطة x موجودة في قاعدة الدرجة) ؛
y \ u003d a "، حيث a هو رقم محدد (موجب ويختلف عن 1) ، هو دالة أسية (الوسيطة x موجودة في الأس).

لا تعتبر الوظيفة "الغريبة" الهجومية مثل y = x "أسيًا ولا قانونًا للقوة (يطلق عليها أحيانًا وظيفة القوة الأسية).

الملاحظة الثانية المهمة. عادة ، لا يعتبر المرء دالة أسية ذات أساس أ = 1 أو بقاعدة إرضاء المتباينة أ<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 و a والحقيقة هي أنه إذا كانت a \ u003d 1 ، فعندئذٍ لأي قيمة x المساواة Ix \ u003d 1 صحيحة. وبالتالي ، فإن الوظيفة الأسية y \ u003d a "لـ a \ u003d 1" تنحط "إلى دالة ثابتة y \ u003d 1 - هذا ليس مثيرًا للاهتمام. إذا كان a \ u003d 0 ، ثم 0x \ u003d 0 لأي قيمة موجبة لـ x ، أي نحصل على الوظيفة y \ u003d 0 معرّفة لـ x \ u003e 0 - وهذا أيضًا غير مثير للاهتمام.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

قبل الانتقال إلى حل الأمثلة ، نلاحظ أن الوظيفة الأسية تختلف اختلافًا كبيرًا عن جميع الوظائف التي درستها حتى الآن. لدراسة كائن جديد بدقة ، يجب أن تفكر فيه من زوايا مختلفة ، وفي مواقف مختلفة ، لذلك سيكون هناك العديد من الأمثلة.
مثال 1

حل، أ) بعد رسم الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d 2 x و y \ u003d 1 في نظام إحداثيات واحد ، نلاحظ (الشكل 203) أن لديهم نقطة مشتركة واحدة (0 ؛ 1). إذن ، فإن المعادلة 2 س = 1 لها جذر واحد x = 0.

إذن ، من المعادلة 2 س = 2 درجة حصلنا على س = 0.

ب) بعد إنشاء الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d 2 x و y \ u003d 4 في نظام إحداثيات واحد ، نلاحظ (الشكل 203) أن لديهم نقطة مشتركة واحدة (2 ؛ 4). إذن ، فإن المعادلة 2 س = 4 لها جذر واحد x = 2.

لذلك ، من المعادلة 2 س \ u003d 2 2 حصلنا على س \ u003d 2.

ج) و د) بناءً على نفس الاعتبارات ، نستنتج أن المعادلة 2 × \ u003d 8 لها جذر واحد ، ولإيجاده ، قد لا يتم إنشاء الرسوم البيانية للوظائف المقابلة ؛

من الواضح أن x = 3 ، بما أن 2 3 = 8. وبالمثل ، نجد الجذر الوحيد للمعادلة

إذن ، من المعادلة 2 س = 2 3 حصلنا على س = 3 ، ومن المعادلة 2 س = 2 س حصلنا على س = -4.
هـ) يقع الرسم البياني للوظيفة y \ u003d 2 x أعلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d 1 لـ x \ u003e 0 - وهذا جيد القراءة في الشكل. 203. إذن ، حل المتباينة 2x> 1 هو الفترة
و) الرسم البياني للوظيفة y \ u003d 2 x يقع أسفل الرسم البياني للوظيفة y \ u003d 4 عند x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
ربما لاحظت أن أساس جميع الاستنتاجات التي تم التوصل إليها عند حل المثال 1 كان خاصية رتابة (زيادة) الوظيفة y \ u003d 2 x. يسمح لنا التفكير المماثل بالتحقق من صحة النظريتين التاليتين.

حل.يمكنك التصرف على هذا النحو: أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y-3 x ، ثم قم بمدها من المحور x بعامل 3 ، ثم ارفع الرسم البياني الناتج بمقدار وحدتي مقياس. لكن من الأنسب استخدام حقيقة أن 3- 3 * \ u003d 3 * + 1 ، وبالتالي ، ارسم الوظيفة y \ u003d 3 x * 1 + 2.

دعنا ننتقل ، كما فعلنا مرارًا وتكرارًا في مثل هذه الحالات ، إلى نظام إحداثيات إضافي مع الأصل عند النقطة (-1 ؛ 2) - الخطوط المنقطة x = - 1 و 1x = 2 في الشكل. 207. دعنا "نرفق" الوظيفة y = 3 * بنظام إحداثيات جديد. للقيام بذلك ، نختار نقاط التحكم للوظيفة ، لكننا لن نبنيها في القديم ، ولكن في نظام الإحداثيات الجديد (هذه النقاط موضحة في الشكل 207). ثم سنقوم ببناء الأس بالنقاط - سيكون هذا هو الرسم البياني المطلوب (انظر الشكل 207).
لإيجاد أكبر وأصغر قيم لدالة معينة في المقطع [-2 ، 2] ، نستخدم حقيقة أن الدالة المعطاة تتزايد ، وبالتالي تأخذ أصغر وأكبر قيمها ، على التوالي ، على اليسار و الأطراف اليمنى من المقطع.
لذا:

مثال 4حل المعادلة والمتباينات:

حل، أ) لنقم ببناء رسوم بيانية للوظائف y = 5 * و y = 6-x في نظام إحداثيات واحد (الشكل 208). تتقاطع عند نقطة واحدة. إذا حكمنا من خلال الرسم ، هذه هي النقطة (1 ؛ 5). يوضح الفحص أن النقطة (1 ؛ 5) تفي بالمعادلة y = 5 * والمعادلة y = 6x. تعمل حدود هذه النقطة كجذر وحيد للمعادلة المعطاة.

إذن ، المعادلة 5 س = 6-س لها جذر واحد س = 1.

ب) و ج) يقع الأس y-5x فوق الخط المستقيم y = 6-x ، إذا كانت x> 1 - يظهر هذا بوضوح في الشكل. 208. ومن ثم ، يمكن كتابة حل المتباينة 5 *> 6-x على النحو التالي: x> 1. وحل المتباينة 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
الجواب: أ) س = 1 ؛ ب) ×> 1 ؛ ج) x<1.

مثال 5إعطاء وظيفة اثبت ذلك
حل.بشرط لدينا.

أوجد قيمة التعبير عن القيم المنطقية المختلفة للمتغير x = 2 ؛ 0 ؛ -3 ؛ -

لاحظ أنه بغض النظر عن الرقم الذي نعوض به بدلاً من المتغير x ، يمكنك دائمًا إيجاد قيمة هذا التعبير. إذن ، نحن نفكر في دالة أسية (y يساوي ثلاثة أس x) ، معرفة في مجموعة الأعداد النسبية:.

لنقم ببناء رسم بياني لهذه الوظيفة عن طريق عمل جدول بقيمها.

لنرسم خطًا ناعمًا يمر عبر هذه النقاط (الشكل 1)

باستخدام الرسم البياني لهذه الدالة ، ضع في اعتبارك خصائصها:

3. يزيد على منطقة التعريف بأكملها.

1. تتراوح من صفر إلى زائد ما لا نهاية.

8. الوظيفة محدبة لأسفل.

إذا كان في نظام إحداثيات واحد لبناء الرسوم البيانية للوظائف ؛ y = (y يساوي اثنين أس x ، y يساوي خمسة أس x ، y يساوي سبعة أس x) ، يمكنك أن ترى أن لهما نفس خصائص y = (y يساوي ثلاثة أس x) ( الشكل 2) ، أي أن جميع الدوال بالصيغة y = (y تساوي a أس x ، مع أكبر من واحد) سيكون لها مثل هذه الخصائص

دعنا نرسم الوظيفة:

1. تجميع جدول قيمه.

نحتفل بالنقاط التي تم الحصول عليها على مستوى الإحداثيات.

لنرسم خطًا ناعمًا يمر عبر هذه النقاط (الشكل 3).

باستخدام الرسم البياني لهذه الوظيفة ، نشير إلى خصائصها:

1. مجال التعريف هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية.

2. ليست زوجية ولا فردية.

3. يتناقص على كامل مجال التعريف.

4. ليس له أكبر ولا أصغر القيم.

5. محدود من الأسفل ، ولكن ليس من أعلاه.

6. مستمر على كامل مجال التعريف.

7. تتراوح القيمة من صفر إلى زائد اللانهاية.

8. الوظيفة محدبة لأسفل.

وبالمثل ، إذا كان في نظام إحداثيات واحد لبناء الرسوم البيانية للوظائف ؛ y = (y يساوي ثانية واحدة للقوة x ، y يساوي خمس أس x ، y يساوي واحدًا على سبعة أس x) ، يمكنك أن ترى أن لهما نفس خصائص y = (y يساوي ثلث أس قوة x). x) (الشكل 4) ، أي جميع وظائف النموذج y \ u003d (y يساوي واحدًا مقسومًا على a أس x ، مع أكبر من صفر ولكن أقل من واحد) مثل هذه الخصائص

دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف في نظام إحداثيات واحد

هذا يعني أن الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d y \ u003d (y تساوي a أس x و y يساوي واحدًا مقسومًا على a أس x) ستكون أيضًا متماثلة لنفس قيمة a .

نلخص ما قيل من خلال تقديم تعريف للدالة الأسية وبيان خصائصها الرئيسية:

تعريف:دالة على شكل y \ u003d ، حيث (y تساوي a أس x ، حيث a موجبة ومختلفة عن واحد) ، تسمى دالة أسية.

من الضروري تذكر الاختلافات بين الدالة الأسية y = ودالة القدرة y =، a = 2،3،4،…. سمعيًا وبصريًا. الدالة الأسية Xهي درجة ، ووظيفة قوة Xهو الأساس.

مثال 1: حل المعادلة (ثلاثة أس x يساوي تسعة)

(y يساوي ثلاثة أس x و y يساوي تسعة) شكل 7

لاحظ أن لديهم نقطة مشتركة واحدة M (2 ؛ 9) (em بإحداثيات اثنين ؛ تسعة) ، مما يعني أن حدود النقطة ستكون جذر هذه المعادلة. أي أن المعادلة لها جذر واحد x = 2.

مثال 2: حل المعادلة

في نظام إحداثي واحد ، سنقوم ببناء رسمين بيانيين للدالة y \ u003d (y يساوي خمسة أس x و y يساوي واحدًا على خمسة وعشرين) الشكل 8. تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطة واحدة T (-2 ؛ (te بإحداثيات ناقص اثنين ؛ واحد على خمسة وعشرين) ، ومن ثم فإن جذر المعادلة هو x \ u003d -2 (رقم ناقص اثنين).

مثال 3: حل المتباينة

في نظام إحداثيات واحد ، نقوم ببناء رسمين بيانيين للوظيفة y \ u003d

(ص يساوي ثلاثة أس س وص يساوي سبعة وعشرين).

الشكل 9 يقع الرسم البياني للوظيفة أعلى الرسم البياني للدالة y = متى

إذن ، حل المتباينة هو الفترة (من سالب ما لا نهاية إلى ثلاثة)

مثال 4: حل المتباينة

في نظام إحداثي واحد ، سنقوم ببناء رسمين بيانيين للدالة y \ u003d (y يساوي ربع أس x و y يساوي ستة عشر). (الشكل 10). تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطة واحدة ك (-2 ؛ 16). هذا يعني أن حل عدم المساواة هو الفترة (-2 ؛ (من سالب اثنين إلى زائد ما لا نهاية) ، لأن الرسم البياني للدالة y \ u003d يقع أسفل الرسم البياني للدالة عند x

يسمح لنا تفكيرنا بالتحقق من صحة النظريات التالية:

Terem 1: إذا كان صحيحًا إذا وفقط إذا كان m = n.

النظرية 2: إذا كانت صحيحة إذا وفقط إذا ، فإن المتباينة تكون صحيحة إذا وفقط إذا (الشكل *)

النظرية 4: إذا كانت صحيحة إذا وفقط إذا (الشكل **) ، تكون المتباينة صحيحة إذا وفقط إذا كانت النظرية 3: إذا كانت صحيحة إذا وفقط إذا كانت m = n.

مثال 5: ارسم الدالة y =

نقوم بتعديل الوظيفة من خلال تطبيق خاصية الدرجة y =

دعونا نبني نظام إحداثيات إضافيًا وفي نظام الإحداثيات الجديد سنرسم الدالة y = (y يساوي اثنين أس x) الشكل 11.

مثال 6: حل المعادلة

في نظام إحداثيات واحد ، نقوم ببناء رسمين بيانيين للوظيفة y \ u003d

(Y يساوي سبعة أس x و Y يساوي ثمانية ناقص x) الشكل 12.

تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطة واحدة E (1 ؛ (مع إحداثيات واحد ؛ سبعة) ، ومن ثم فإن جذر المعادلة هو x = 1 (x يساوي واحدًا).

مثال 7: حل المتباينة

في نظام إحداثيات واحد ، نقوم ببناء رسمين بيانيين للوظيفة y \ u003d

(Y يساوي ربع أس x و Y يساوي x زائد خمسة). يقع الرسم البياني للدالة y = أسفل التمثيل البياني للدالة y = x + 5 at ، وحل المتباينة هو الفترة x (من سالب واحد إلى زائد ما لا نهاية).

درس #2

الموضوع: دالة أسية وخصائصها ورسم بياني.

هدف:التحقق من جودة استيعاب مفهوم "الوظيفة الأسية" ؛ لتكوين مهارات في التعرف على الوظيفة الأسية ، باستخدام خصائصها والرسوم البيانية ، لتعليم الطلاب استخدام الأشكال التحليلية والرسومية لتسجيل وظيفة أسية ؛ توفير بيئة عمل في الفصل.

معدات:المجلس والملصقات

شكل الدرس: قاعة الدراسة

نوع الدرس: درس عملي

نوع الدرس: درس تدريب على المهارات

خطة الدرس

1. لحظة تنظيمية

2. العمل المستقل والتدقيق في الواجبات المنزلية

3. حل المشكلات

4. تلخيص

5. الواجب المنزلي

خلال الفصول.

1. لحظة تنظيمية :

مرحبًا. افتح دفاتر الملاحظات ، اكتب تاريخ اليوم وموضوع الدرس "الوظيفة الأسية". سنواصل اليوم دراسة الوظيفة الأسية وخصائصها والرسم البياني.

2. العمل المستقل والتدقيق في الواجبات المنزلية .

هدف:التحقق من جودة استيعاب مفهوم "الوظيفة الأسية" والتحقق من تنفيذ الجزء النظري من الواجب المنزلي

طريقة:مهمة الاختبار ، المسح الأمامي

كواجب منزلي ، تم إعطاؤك أرقامًا من كتاب المشكلة وفقرة من الكتاب المدرسي. لن نتحقق من تنفيذ الأرقام من الكتاب المدرسي الآن ، لكنك ستسلم دفاتر ملاحظاتك في نهاية الدرس. الآن سيتم اختبار النظرية في شكل اختبار صغير. المهمة هي نفسها للجميع: يتم إعطاؤك قائمة بالوظائف ، يجب أن تعرف أي منها دالة (ضع خطًا تحتها). بجانب الدالة الأسية ، عليك كتابة ما إذا كانت تتزايد أم تتناقص.

الخيار 1 إجابة ب) د) - أسي متناقص	الخيار 2 إجابة د) - أسي متناقص د) - إرشادي متزايد
الخيار 3 إجابة أ) - إرشادي متزايد ب) - أسي متناقص	الخيار 4 إجابة أ) - أسي متناقص في) - إرشادي متزايد

الآن دعونا نتذكر معًا ما هي الوظيفة التي تسمى الأسي؟

تسمى دالة النموذج ، حيث و ، وظيفة أسية.

ما هو نطاق هذه الوظيفة؟

كل الأعداد الحقيقية.

ما هو نطاق الدالة الأسية؟

كل الأعداد الحقيقية الموجبة.

ينقص إذا كانت القاعدة أكبر من صفر ولكنها أقل من واحد.

متى تنخفض الدالة الأسية في مجالها؟

يزداد إذا كانت القاعدة أكبر من واحد.

3. حل المشكلات

هدف: لتكوين مهارات في التعرف على الوظيفة الأسية ، في استخدام خصائصها والرسوم البيانية ، لتعليم الطلاب استخدام الأشكال التحليلية والرسومية لتسجيل دالة أسية

طريقة: شرح من قبل المعلم لحل المشكلات النموذجية ، العمل الشفهي ، العمل على السبورة ، العمل في دفتر ملاحظات ، محادثة المعلم مع الطلاب.

يمكن استخدام خصائص الدالة الأسية عند مقارنة رقمين أو أكثر. على سبيل المثال: رقم 000. قارن القيم وإذا أ) ..gif "width =" 37 "height =" 20 src = "> ، فهذه مهمة صعبة للغاية: علينا أخذ الجذر التكعيبي للعددين 3 و 9 ، ومقارنتهما. لكننا نعلم أن هذا يزيد ، هذا في قائمة الانتظار الخاصة به يعني أنه عندما تزداد الوسيطة ، تزداد قيمة الوظيفة ، أي أنه يكفي بالنسبة لنا مقارنة قيم الحجة مع بعضها البعض ، ومن الواضح أن ذلك (يمكن إظهاره على ملصق بوظيفة أسية متزايدة). ودائمًا عند حل مثل هذه الأمثلة ، حدد أولاً أساس الدالة الأسية ، وقارن مع 1 ، وحدد الرتابة وانتقل إلى مقارنة الحجج. في حالة الدالة المتناقصة: مع زيادة الوسيطة ، تقل قيمة الدالة ، وبالتالي ، يتم تغيير علامة عدم المساواة عند الانتقال من عدم المساواة في الوسيطات إلى عدم المساواة في الوظائف. ثم نحل شفويا: ب)

-

في)

-

ز)

-

- رقم 000. قارن بين الأرقام: أ) و

لذلك ، فإن الوظيفة تتزايد ، إذن

لماذا ؟

زيادة وظيفة و

لذلك ، فإن الوظيفة تتناقص ، إذن

تزداد كلتا الوظيفتين على نطاق تعريفهما بالكامل ، نظرًا لأنهما أسيان بقاعدة أكبر من واحد.

ما معنى ذلك؟

نحن نبني الرسوم البيانية:

أي وظيفة تنمو بشكل أسرع عند السعي https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif "width =" 20 height = 25 "height =" 25 ">

أي وظيفة تتناقص بشكل أسرع عند السعي https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif "width =" 20 height = 25 "height =" 25 ">

في الفترة الزمنية ، أي من الدوال لها أكبر قيمة عند نقطة معينة؟

D) ، https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif "width =" 69 "height =" 57 src = ">. أولاً ، دعنا نكتشف نطاق هذه الوظائف. هل تزامن؟

نعم ، مجال هذه الوظائف هو كل الأعداد الحقيقية.

اسم نطاق كل من هذه الوظائف.

تتطابق نطاقات هذه الوظائف: جميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

حدد نوع الرتابة لكل وظيفة.

تتناقص جميع الوظائف الثلاثة على نطاق تعريفها بالكامل ، نظرًا لأنها أسية ذات قاعدة أقل من واحد وأكبر من الصفر.

ما هي النقطة المفردة في التمثيل البياني للدالة الأسية؟

ما معنى ذلك؟

مهما كانت قاعدة درجة الدالة الأسية ، إذا كان الأس يساوي 0 ، فإن قيمة هذه الدالة هي 1.

نحن نبني الرسوم البيانية:

دعنا نحلل الرسوم البيانية. كم عدد نقاط التقاطع في الرسوم البيانية الوظيفية؟

ما الوظيفة التي تنخفض بشكل أسرع عند السعي؟ https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

ما الوظيفة التي تنمو بشكل أسرع عند السعي؟ https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

في الفترة الزمنية ، أي من الدوال لها أكبر قيمة عند نقطة معينة؟

في الفترة الزمنية ، أي من الدوال لها أكبر قيمة عند نقطة معينة؟

لماذا الدوال الأسية ذات القواعد المختلفة لها نقطة تقاطع واحدة فقط؟

تكون الدوال الأسية رتيبة تمامًا على نطاق تعريفها بالكامل ، لذا لا يمكن أن تتقاطع إلا عند نقطة واحدة.

المهمة التالية سوف تركز على استخدام هذه الخاصية. № 000. أوجد أكبر وأصغر قيمة لدالة معينة في فترة زمنية معينة أ). تذكر أن دالة رتيبة بشكل صارم تأخذ قيمها الدنيا والقصوى في نهايات فترة زمنية معينة. وإذا كانت الدالة تتزايد ، فإن لها أعلى قيمةسيكون في الطرف الأيمن من المقطع ، والأصغر في الطرف الأيسر من المقطع (عرض توضيحي على الملصق ، باستخدام الوظيفة الأسية كمثال). إذا كانت الوظيفة تتناقص ، فستكون أكبر قيمة لها في الطرف الأيسر من المقطع ، وستكون أصغر قيمة في الطرف الأيمن من المقطع (عرض توضيحي على الملصق ، باستخدام الدالة الأسية كمثال). تتزايد الدالة ، لأن أصغر قيمة للدالة ستكون عند النقطة https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif "width =" 145 "height =" 29 " >. النقاط ب) ، الخامس) د) حل دفاتر الملاحظات بنفسك ، وسوف نتحقق من ذلك شفويا.

يقوم الطلاب بحل المشكلة في دفتر ملاحظاتهم

وظيفة المتناقصة

وظيفة المتناقصة أكبر قيمة للدالة في المقطع أصغر قيمة للدالة في المقطع

زيادة الوظيفة أصغر قيمة للدالة في المقطع أكبر قيمة للدالة في المقطع

- № 000. أوجد أكبر وأصغر قيمة لدالة معينة في فترة زمنية معينة أ) . هذه المهمة هي تقريبا نفس المهمة السابقة. لكن هنا لا يُعطى مقطعًا ، بل شعاعًا. نحن نعلم أن الدالة تتزايد ، ولا تحتوي على أكبر أو أصغر قيمة على خط الأعداد بأكمله https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif "width =" 68 "height = "20"> ، ويميل إلى ، أي على الشعاع ، الدالة عند تميل إلى 0 ، ولكن ليس لها أصغر قيمة ، ولكن لها أكبر قيمة عند النقطة . النقاط ب) ، الخامس) ، ز) قم بحل دفاتر الملاحظات الخاصة بك ، وسوف نتحقق منها شفوياً.