محاضرة: "طرق حل المعادلات الأسية".

1 . المعادلات الأسية.

المعادلات التي تحتوي على مجاهيل في الأس تسمى المعادلات الأسية. أبسطها هو المعادلة ax = b ، حيث a> 0 و a ≠ 1.

1) لب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 دالة أسية، ليس له حل.

2) بالنسبة لـ b> 0 ، باستخدام رتابة الوظيفة ونظرية الجذر ، يكون للمعادلة جذر واحد. من أجل العثور عليه ، يجب تمثيل b على أنه b = aс ، ax = bс ó x = c أو x = logab.

المعادلات الأسية بواسطة التحولات الجبريةيؤدي إلى معادلات قياسية يتم حلها بالطرق التالية:

1) طريقة الاختزال إلى قاعدة واحدة ؛

2) طريقة التقييم.

3) طريقة الرسم.

4) طريقة إدخال المتغيرات الجديدة.

5) طريقة التحليل.

6) معادلات القوة الأسية ؛

7) أسي مع معلمة.

2 . طريقة الاختزال إلى أساس واحد.

تعتمد الطريقة على خاصية الدرجات التالية: إذا كانت درجتان متساويتان وقواعدهما متساوية ، فإن الأسس متساويان ، أي يجب محاولة اختزال المعادلة إلى النموذج

أمثلة. حل المعادلة:

1 . 3 س = 81 ؛

لنمثل الجانب الأيمن من المعادلة بالصيغة 81 = 34 ونكتب المعادلة المكافئة للقيمة الأصلية 3 × = 34 ؛ س = 4. الإجابة: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "width =" 52 "height =" 49 "> وانتقل إلى معادلة الأس 3x + 1 = 3-5x ؛ 8x = 4 ؛ س = 0.5 الإجابة: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "width =" 105 "height =" 47 ">

لاحظ أن الأرقام 0.2 و 0.04 و 5 و 25 هي قوى لـ 5. لنستفيد من هذا ونحول المعادلة الأصلية على النحو التالي:

, من أين 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 ، ومن هنا نجد الحل x = -1. الجواب: -1.

5. 3x = 5. حسب تعريف اللوغاريتم ، x = log35. الجواب: log35.

6. 62 س + 4 = 33 س. 2x + 8.

دعونا نعيد كتابة المعادلة على النحو التالي: 32x + 4.22x + 4 = 32x.2x + 8 ، أي .. png "width =" 181 "height =" 49 src = "> ومن ثم x - 4 = 0 ، x = 4. الإجابة: 4.

7 . 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x = 9. باستخدام خصائص القوى ، نكتب المعادلة بالصيغة e. x + 1 = 2، x = 1. الجواب: 1.

بنك المهام رقم 1.

حل المعادلة:

رقم الاختبار 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3 ؛ 1 2) -3 ؛ -1 3) 0 ؛ 2 4) لا جذور
	1) 7 ؛ 1 2) بلا جذور 3) -7 ؛ 1 4) -1 ؛ -7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
أ 6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

اختبار رقم 2

أ 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
أ 2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2؛ -1 2) بدون جذور 3) 0 4) -2؛ 1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 طريقة التقييم.

نظرية الجذر: إذا زادت الدالة f (x) (تنقص) في الفترة I ، فإن الرقم a هو أي قيمة مأخوذة بواسطة f في هذه الفترة الزمنية ، فإن المعادلة f (x) = a لها جذر واحد في الفترة I.

عند حل المعادلات بطريقة التقدير ، يتم استخدام هذه النظرية وخصائص الرتابة للوظيفة.

أمثلة. حل المعادلات: 1. 4 س = 5 - س.

حل. لنعد كتابة المعادلة بالصيغة 4x + x = 5.

1. إذا كانت x \ u003d 1 ، إذن 41 + 1 \ u003d 5 ، 5 \ u003d 5 صحيحة ، فإن 1 هو جذر المعادلة.

تتزايد الدالة f (x) = 4x على R و g (x) = x تتزايد على R => h (x) = f (x) + g (x) على R كمجموع وظائف متزايدة ، إذن ، x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة 4x = 5 - x. الجواب: 1.

2.

حل. نعيد كتابة المعادلة بالصورة .

1. إذا كانت x = -1 ، إذن ، 3 = 3-true ، لذا فإن x = -1 هو جذر المعادلة.

2. إثبات أنها فريدة من نوعها.

3. الدالة f (x) = - تنقص في R ، و g (x) = - x - تنقص في R => h (x) = f (x) + g (x) - تنقص في R ، كمجموع من الوظائف المتناقصة. إذن ، من خلال نظرية الجذر ، فإن x = -1 هو الجذر الوحيد للمعادلة. الجواب: -1.

بنك المهام رقم 2. حل المعادلة

أ) 4x + 1 = 6 - س ؛

ب)

ج) 2 س - 2 = 1 - س ؛

4. طريقة إدخال متغيرات جديدة.

تم وصف الطريقة في القسم 2.1. عادة ما يتم إدخال متغير جديد (استبدال) بعد عمليات التحويل (التبسيط) لشروط المعادلة. ضع في اعتبارك الأمثلة.

أمثلة. صأكل المعادلة: 1. .

دعنا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "width =" 128 "height =" 48 src = "> ie..png" width = "210" height = "45">

حل. دعنا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف:

أشر إلى https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "width =" 245 "height =" 57 "> - غير مناسب.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "width =" 268 "height =" 51 "> - معادلة غير منطقية. لاحظنا ذلك

حل المعادلة هو x = 2.5 ≤ 4 ، لذا فإن 2.5 هو جذر المعادلة. الجواب: 2.5.

حل. دعونا نعيد كتابة المعادلة بالصورة ونقسم كلا الطرفين على 56x + 6 ≠ 0. نحصل على المعادلة

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2 (x2-3x-4) +1 ، لذا .. png "width =" 118 "height =" 56 ">

جذور المعادلة التربيعية - t1 = 1 و t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

حل . نعيد كتابة المعادلة بالصورة

ولاحظ أنها معادلة متجانسة من الدرجة الثانية.

قسّم المعادلة على 42x ، نحصل على

استبدل https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "width =" 16 "height =" 41 src = ">.

الجواب: 0؛ 0.5

بنك المهام # 3. حل المعادلة

ب)

ز)

اختبار # 3 مع اختيار الإجابات. المستوى الأدنى.

أ 1	1) -0.2 ؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0.	1) 2 ؛ 1 2) -1 ؛ 0 3) بلا جذور 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بلا جذور. 2) 2 ؛ 4 3) 3 4) -1 ؛ 2

اختبار رقم 4 مع اختيار الإجابات. مستوى عام.

أ 1	1) 2 ؛ 1 2) ½ ؛ 0 3) 2 ؛ 0 4) 0
А2 2x - (0.5) 2x - (0.5) x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0 ؛ 1 4) لا جذور

5. طريقة التحليل إلى عوامل.

1. حل المعادلة: ٥ س + ١ - ٥ س - ١ = ٢٤.

الحل..png "العرض =" 169 "الارتفاع =" 69 "> ، من أين

2. 6 س + 6 س + 1 = 2 س + 2 س + 1 + 2 س + 2.

حل. لنخرج 6x في الجانب الأيسر من المعادلة و 2 x في الجانب الأيمن. نحصل على المعادلة 6 س (1 + 6) = 2 س (1 + 2 + 4) ó 6 س = 2 س.

بما أن 2x> 0 لكل x ، يمكننا قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على 2x دون الخوف من فقدان الحلول. نحصل على 3 س = 1 س = 0.

3.

حل. نحل المعادلة بالتحليل.

نختار مربع ذات الحدين

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "width =" 500 "height =" 181 ">

x = -2 هو جذر المعادلة.

المعادلة x + 1 = 0 "style =" border-collapse: collapse؛ border: none ">

أ 1 5 س -1 + 5 س -5 س + 1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

أ 2 3 س + 1 + 3 س -1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x + 1-108 = 0.x = 1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x = 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

اختبار رقم 6 مستوى عام.

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) = 7.	1) ½ 2) 2 3) -1 ؛ 3 4) 0.2
أ 2	1) 2.5 2) 3 ؛ 4 3) سجل 43/2 4) 0
A3 2x-1-3x = 3x-1-2x + 2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. الأسي - معادلات القوة.

ترتبط المعادلات الأسية بما يسمى معادلات القوة الأسية ، أي معادلات النموذج (f (x)) g (x) = (f (x)) h (x).

إذا كان معروفًا أن f (x)> 0 و f (x) ≠ 1 ، فإن المعادلة ، مثل المعادلة الأسية ، يتم حلها عن طريق معادلة الأس g (x) = f (x).

إذا كان الشرط لا يستبعد إمكانية f (x) = 0 و f (x) = 1 ، فعلينا النظر في هاتين الحالتين عند حل معادلة القوة الأسية.

1..png "width =" 182 "height =" 116 src = ">

2.

حل. x2 + 2x-8 - منطقي لأي x ، لأن كثيرة الحدود ، لذا فإن المعادلة تكافئ المجموعة

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "width =" 137 "height =" 35 ">

ب)

7. المعادلات الأسية مع المعلمات.

1. ما هي قيم المعلمة p التي تحتوي المعادلة 4 (5 - 3) 2 + 4p2–3p = 0 (1) على حل فريد؟

حل. دعونا نقدم التغيير 2x = t ، t> 0 ، ثم المعادلة (1) ستأخذ الشكل t2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p = 0. (2)

مميز المعادلة (2) هو D = (5p - 3) 2-4 (4p2 - 3p) = 9 (p - 1) 2.

المعادلة (1) لها حل فريد إذا كانت المعادلة (2) لها جذر موجب واحد. هذا ممكن في الحالات التالية.

1. إذا كانت D = 0 ، أي ، p = 1 ، فإن المعادلة (2) ستأخذ الشكل t2 - 2t + 1 = 0 ، وبالتالي t = 1 ، لذلك ، فإن المعادلة (1) لها حل فريد x = 0.

2. إذا كان p1 ، ثم 9 (p - 1) 2> 0 ، فإن المعادلة (2) لها جذرين مختلفين t1 = p ، t2 = 4p - 3. مجموعة الأنظمة تفي بشرط المشكلة

لدينا استبدال t1 و t2 في الأنظمة

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt =" (! LANG: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

حل. يترك ثم المعادلة (3) ستأخذ الشكل t2 - 6t - a = 0. [4)

دعونا نجد قيم المعلمة a التي يلبي فيها جذر واحد على الأقل من المعادلة (4) الشرط t> 0.

دعونا نقدم الوظيفة f (t) = t2 - 6t - a. الحالات التالية ممكنة.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} ثلاثي الحدود مربعو (ر) ؛

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

الحالة 2. المعادلة (4) لها حل إيجابي فريد إذا

D = 0 ، إذا كانت a = - 9 ، فإن المعادلة (4) ستأخذ الشكل (t - 3) 2 = 0 ، t = 3 ، x = - 1.

الحالة الثالثة: للمعادلة (4) جذران ، لكن أحدهما لا يفي بالمتباينة t> 0. هذا ممكن إذا

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt =" (! LANG: no35_17" width="267" height="63">!}

وهكذا ، في المعادلة (4) a 0 لها جذر موجب واحد . ثم المعادلة (3) لها حل فريد

ل< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اذا كان< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
إذا كانت أ = - 9 ، إذن س = - 1 ؛

إذا كانت 0 ، إذن

دعونا نقارن طرق حل المعادلتين (1) و (3). لاحظ أنه عند حل المعادلة (1) تم اختزاله إلى معادلة تربيعية ، يكون المميز منها مربعًا كاملًا ؛ وهكذا ، تم حساب جذور المعادلة (2) على الفور من خلال صيغة جذور المعادلة التربيعية ، ثم تم استخلاص النتائج المتعلقة بهذه الجذور. تم اختزال المعادلة (3) إلى معادلة تربيعية (4) ، ومميزها ليس مربعًا كاملًا ، لذلك ، عند حل المعادلة (3) ، يُنصح باستخدام النظريات حول موقع جذور مربع ثلاثي الحدود و نموذج رسومي. لاحظ أنه يمكن حل المعادلة (4) باستخدام نظرية فييتا.

لنحل المعادلات الأكثر تعقيدًا.

المهمة 3. حل المعادلة

حل. ODZ: x1 ، x2.

دعونا نقدم بديل. لنفترض أن 2x = t ، t> 0 ، وكنتيجة للتحولات ، ستأخذ المعادلة الشكل t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) دعونا نجد قيم a التي لها جذر واحد على الأقل من المعادلة (*) تفي بالشرط t> 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

الجواب: إذا كانت a> - 13 ، a 11 ، a 5 ، ثم إذا a - 13 ،

أ = 11 ، أ = 5 ، فلا توجد جذور.

فهرس.

1. أسس جوزيف لتكنولوجيا التعليم.

2. تقنية جوزيف: من الاستقبال إلى الفلسفة.

M. "Headmaster" No. 4، 1996

3. أشكال التعليم Guzeev والتنظيمية.

4. جوزيف وممارسة تقنية تعليمية متكاملة.

M. "تعليم الناس" ، 2001

5. جوزيف من أشكال الدرس - ندوة.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1987 ، ص 9-11.

6. تقنيات التعليم Selevko.

M. "تعليم الناس" ، 1998

7. أطفال مدارس Episheva يتعلمون الرياضيات.

م. "التنوير" ، 1990

8. إيفانوف لإعداد الدروس - ورش العمل.

الرياضيات في المدرسة رقم 6 ، 1990 ، ص. 37-40.

9. نموذج سميرنوف لتعليم الرياضيات.

الرياضيات في المدرسة رقم 1 ، 1997 ، ص. 32-36.

10. Tarasenko طرق تنظيم العمل العملي.

الرياضيات في المدرسة رقم 1 ، 1993 ، ص. 27 - 28.

11. حول أحد أنواع العمل الفردي.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1994 ، ص 63 - 64.

12. القدرات الإبداعية لخزانكين لأطفال المدارس.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1989 ، ص. 10.

13. سكانافي. الناشر ، 1997

14. وآخرون. الجبر وبدايات التحليل. المواد التعليميةل

15. مهام Krivonogov في الرياضيات.

م "الأول من سبتمبر" 2002

16. تشيركاسوف. كتيب لطلاب المدارس الثانوية و

دخول الجامعات. - مدرسة الصحافة عام 2002

17. Zhevnyak للمتقدمين للجامعات.

مينسك و RF "مراجعة" ، 1996

18. كتابي د. التحضير لامتحان الرياضيات. إم رولف ، 1999

19. وغيرها تعلم حل المعادلات وعدم المساواة.

م. "مركز الفكر" 2003

20. وغيرها. المواد التعليمية والتدريبية للتحضير ل E G E.

م. "الفكر - المركز" ، 2003 و 2004

21 وغيرها. مركز الاختبارات التابع لوزارة الدفاع الروسية ، 2002 ، 2003

22. معادلات جولدبيرج. "كوانتوم" رقم 3 ، 1971

23. Volovich M. كيف تدرس الرياضيات بنجاح.

الرياضيات ، 1997 رقم 3.

24 أوكونيف للدرس يا أطفال! التنوير ، 1988

25- ياكيمانسكايا - التعلم الموجهفي المدرسة.

26. Liimets العمل في الدرس. م. المعرفة ، 1975

إلى قناة اليوتيوب الخاصة بموقعنا لتكون على علم بجميع دروس الفيديو الجديدة.

أولًا ، لنتذكر الصيغ الأساسية للدرجات وخصائصها.

ناتج رقم أيحدث على نفسه n مرة ، يمكننا كتابة هذا التعبير على أنه a… a = a n

1. أ 0 = 1 (أ ≠ 0)

3. أ ن أ م = أ ن + م

4. (أ ن) م = أ نانومتر

5. أ ن ب ن = (أب) ن

7. a n / a m \ u003d a n - m

معادلات القوة أو الأسية- هذه معادلات تكون فيها المتغيرات في القوى (أو الأسس) ، والأساس عبارة عن رقم.

أمثلة على المعادلات الأسية:

في هذا المثال ، الرقم 6 هو الأساس ، وهو دائمًا في الأسفل ، والمتغير xدرجة أو قياس.

دعونا نعطي المزيد من الأمثلة على المعادلات الأسية.
2 × * 5 = 10
16x-4x-6 = 0

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حل المعادلات الأسية؟

لنأخذ معادلة بسيطة:

2 س = 2 3

يمكن حل مثل هذا المثال حتى في العقل. يمكن ملاحظة أن x = 3. بعد كل شيء ، لكي يتساوى الجانبان الأيسر والأيمن ، عليك وضع الرقم 3 بدلاً من x.
لنرى الآن كيف يجب اتخاذ هذا القرار:

2 س = 2 3
س = 3

لحل هذه المعادلة ، أزلنا نفس الأسباب(أي التعادل) وكتب ما تبقى ، هذه هي الدرجات. حصلنا على الإجابة التي كنا نبحث عنها.

لنلخص الحل الآن.

خوارزمية لحل المعادلة الأسية:
1. تحتاج إلى التحقق نفس الشيءسواء كانت قواعد المعادلة على اليمين واليسار. إذا لم تكن الأسباب هي نفسها ، فنحن نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.
2. بعد القواعد هي نفسها ، تعادلدرجة وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

لنحل الآن بعض الأمثلة:

لنبدأ ببساطة.

القواعد الموجودة على الجانبين الأيسر والأيمن تساوي الرقم 2 ، مما يعني أنه يمكننا تجاهل القاعدة ومساواة درجاتها.

x + 2 = 4 ظهرت أبسط معادلة.
س = 4 - 2
س = 2
الجواب: س = 2

في المثال التالي ، يمكنك أن ترى أن القواعد مختلفة ، وهما 3 و 9.

3 3 س - 9 س + 8 = 0

بادئ ذي بدء ، ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن ، نحصل على:

الآن أنت بحاجة إلى إنشاء نفس القواعد. نعلم أن 9 = 3 2. دعنا نستخدم صيغة القوة (أ ن) م = أ نانومتر.

3 3x \ u003d (3 2) × + 8

نحصل على 9 × + 8 \ u003d (3 2) × + 8 \ u003d 3 2 × + 16

3 3x \ u003d 3 2x + 16 الآن يمكنك رؤية ذلك في اليسار و الجانب الأيمنالقواعد هي نفسها وتساوي ثلاثة ، مما يعني أنه يمكننا التخلص منها ومعادلة الدرجات.

3x = 2x + 16 حصلنا على أبسط معادلة
3 س -2 س = 16
س = 16
الجواب: س = 16.

لنلقِ نظرة على المثال التالي:

2 2x + 4-10 4 x \ u003d 2 4

بادئ ذي بدء ، ننظر إلى الأسس ، فالقاعدتان مختلفتان عن اثنين وأربعة. وعلينا أن نكون متشابهين. نقوم بتحويل الرباعي وفقًا للصيغة (a n) m = a nm.

4 س = (2 2) س = 2 2 س

ونستخدم أيضًا صيغة واحدة أ ن أ م = أ ن + م:

2 2 س + 4 = 2 2 س 2 4

أضف إلى المعادلة:

2 2x 2 4-10 2 2x = 24

قدمنا ​​مثالا لنفس الأسباب. لكن الأرقام الأخرى 10 و 24 تتداخل معنا ، فماذا نفعل بهم؟ إذا نظرت عن كثب ، يمكنك أن ترى أنه على الجانب الأيسر نكرر 2 2x ، وإليك الإجابة - يمكننا وضع 2 2x من الأقواس:

2 2x (2 4-10) = 24

دعنا نحسب التعبير بين قوسين:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

نقسم المعادلة بأكملها على 6:

تخيل 4 = 2 2:

2 2x \ u003d 2 2 قاعدتان متماثلتان ، وتجاهلهما وقم بمساواة الدرجات.
2x \ u003d 2 هي أبسط معادلة. نقسمها على 2 ، نحصل عليها
س = 1
الجواب: س = 1.

لنحل المعادلة:

9 س - 12 * 3 س + 27 = 0

دعنا نتحول:
9 س = (3 2) س = 3 2 س

نحصل على المعادلة:
3 2 س - 12 3 س +27 = 0

قواعدنا هي نفسها ، تساوي ثلاثة ، في هذا المثال ، من الواضح أن الثلاثية الأولى لها درجة ضعف (2x) من الثانية (x فقط). في هذه الحالة ، يمكنك أن تقرر طريقة الاستبدال. يتم استبدال الرقم ذي الدرجة الأصغر بما يلي:

ثم 3 2x \ u003d (3 x) 2 \ u003d t 2

نستبدل جميع الدرجات بـ x في المعادلة بـ t:

ر 2-12 طن + 27 \ u003d 0
نحصل على معادلة من الدرجة الثانية. نحل من خلال المميز ، نحصل على:
د = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

رجوع إلى المتغير x.

نأخذ تي 1:
ر 1 \ u003d 9 \ u003d 3 س

إنه،

3 س = 9
3 س = 3 2
× 1 = 2

تم العثور على جذر واحد. نبحث عن الثاني من ر 2:
ر 2 \ u003d 3 \ u003d 3 س
3 س = 3 1
× 2 = 1
الجواب: × 1 \ u003d 2 ؛ × 2 = 1.

على الموقع ، يمكنك في قسم المساعدة في اتخاذ القرار لطرح الأسئلة التي تهمك ، وسوف نجيب عليك بالتأكيد.

انضمام مجموعة

تسمى المعادلات الأسية إذا كان المجهول موجودًا في الأس. أبسط معادلة أسية لها الشكل: أ س \ u003d أ ب ، حيث أ> 0 ، و 1 ، س غير معروف.

الخصائص الرئيسية للدرجات ، والتي يتم من خلالها تحويل المعادلات الأسية: أ> 0 ، ب> 0.

عند حل المعادلات الأسية ، تُستخدم أيضًا الخصائص التالية للدالة الأسية: y = a x ، a> 0 ، a1:

لتمثيل رقم كقوة ، استخدم الأساس الهوية اللوغاريتمية: ب = ، أ> 0 ، أ 1 ، ب> 0.

المهام والاختبارات حول موضوع "المعادلات الأسية"

• المعادلات الأسية

  الدروس: 4 مهام: 21 اختبارات: 1

• المعادلات الأسية - موضوعات مهمة لإعادة الامتحان في الرياضيات

  المهام: 14

• نظم المعادلات الأسية واللوغاريتمية - الدوال الأسية واللوغاريتمية الصف 11

  الدروس: 1 فروض: 15 اختبارات: 1

• §2.1. حل المعادلات الأسية

  الدروس: 1 تكليفات: 27

• §7 المعادلات الأسية واللوغاريتمية وعدم المساواة - القسم 5. الدوال الأسية واللوغاريتمية الصف 10

  الدروس: 1 مهام: 17

لحل المعادلات الأسية بنجاح ، يجب أن تعرف الخصائص الأساسية للقوى ، وخصائص الدالة الأسية ، والهوية اللوغاريتمية الأساسية.

عند حل المعادلات الأسية ، يتم استخدام طريقتين رئيسيتين:

1. الانتقال من المعادلة a f (x) = a g (x) إلى المعادلة f (x) = g (x) ؛
2. إدخال خطوط جديدة.

أمثلة.

1. معادلات الاختزال إلى أبسط. يتم حلها بجلب طرفي المعادلة إلى قوة لها نفس الأساس.

3x \ u003d 9x - 2.

حل:

3 × \ u003d (3 2) × - 2 ؛
3 س = 3 2 س - 4 ؛
س = 2 س -4 ؛
س = 4.

إجابة: 4.

2. تحل المعادلات بوضع العامل المشترك بين أقواس.

حل:

3 س - 3 س - 2 = 24
3 × - 2 (3 2-1) = 24
3 × - 2 × 8 = 24
3 س - 2 = 3
س - 2 = 1
س = 3.

إجابة: 3.

3. حل المعادلات عن طريق تغيير المتغير.

حل:

2 2 س + 2 س - 12 = 0
نشير إلى 2 x \ u003d y.
ص 2 + ص - 12 = 0
ص 1 = - 4 ؛ ص 2 = 3.
أ) 2 س = - 4. ليس للمعادلة حلول ، لأن 2 ×> 0.
ب) 2 × = 3 ؛ 2 س = 2 سجل 2 3 ؛ س = سجل 2 3.

إجابة:سجل 2 3.

4. معادلات تحتوي على قوى ذات قاعدتين مختلفتين (غير قابلين للاختزال).

3 × 2 × + 1 - 2 × 5 × - 2 \ u003d 5 × + 2 × - 2.

3 × 2 × + 1 - 2 × - 2 = 5 × - 2 × 5 × - 2
2 س - 2 × 23 = 5 س - 2
× 23
2 س - 2 = 5 س - 2
(5/2) × 2 = 1
س - 2 = 0
س = 2.

إجابة: 2.

5. المعادلات المتجانسة بالنسبة إلى a x و b x.

الشكل العام: .

9 × + 4 × = 2.5 × 6 ×.

حل:

3 2x - 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x> 0
(3/2) 2 س - 2.5 × (3/2) × + 1 = 0.
دلالة (3/2) x = y.
ص 2 - 2.5y + 1 \ u003d 0 ،
ص 1 = 2 ؛ y2 = ½.

إجابة:سجل 3/2 2 ؛ - سجل 3/2 2.

استخدام المعادلات منتشر في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. معادلات القوة أو الأسية تسمى المعادلات التي تكون فيها المتغيرات في قوى ، والأساس عبارة عن رقم. على سبيل المثال:

ينخفض ​​حل المعادلة الأسية إلى خطوتين بسيطتين إلى حد ما:

1. من الضروري التحقق مما إذا كانت قواعد المعادلة على اليمين واليسار متطابقة. إذا لم تكن الأسس هي نفسها ، فإننا نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.

2. بعد أن تصبح القواعد كما هي ، نقوم بمساواة الدرجات وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

لنفترض أننا حصلنا على معادلة أسية بالشكل التالي:

يجدر البدء في حل هذه المعادلة بتحليل القاعدة. الأساسيان مختلفان - 2 و 4 ، وللحل نحتاج إلى أن يكونا متطابقين ، لذلك نقوم بتحويل 4 وفقًا للصيغة التالية - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

أضف إلى المعادلة الأصلية:

دعونا نخرج الأقواس \

يعبر \

نظرًا لأن الدرجات متشابهة ، فإننا نتجاهلها:

إجابة: \

أين يمكنني حل معادلة أسية عبر الإنترنت باستخدام محلل؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.

حل المعادلات الأسية. أمثلة.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

ماذا حدث المعادلة الأسية؟ هذه معادلة يكون فيها المجهول (س) والتعبيرات معهم المؤشراتبعض الدرجات. وفقط هناك! انه مهم.

ها أنت ذا أمثلة من المعادلات الأسية:

3 × 2 × = 8 × + 3

ملحوظة! في قواعد الدرجات (أدناه) - أرقام فقط. في المؤشراتدرجات (أعلاه) - مجموعة متنوعة من التعبيرات ذات x. إذا ظهر x فجأة في المعادلة في مكان آخر غير المؤشر ، على سبيل المثال:

ستكون هذه المعادلة نوع مختلط. مثل هذه المعادلات ليس لها قواعد واضحة للحل. لن نفكر فيها الآن. هنا سنتعامل مع حل المعادلات الأسيةفي أنقى صورها.

في الواقع ، حتى المعادلات الأسية البحتة لا تُحل دائمًا بوضوح. ولكن هناك أنواعًا معينة من المعادلات الأسية التي يمكن ويجب حلها. هذه هي الأنواع التي سننظر إليها.

حل أبسط المعادلات الأسية.

لنبدأ بشيء أساسي للغاية. على سبيل المثال:

حتى بدون أي نظرية ، من خلال الاختيار البسيط ، من الواضح أن x = 2. لا شيء أكثر ، أليس كذلك؟ لا توجد لفات قيمة x أخرى. والآن دعونا نلقي نظرة على حل هذه المعادلة الأسية الصعبة:

ماذا فعلنا؟ في الواقع ، لقد ألقينا للتو نفس القيعان (ثلاثة أضعاف). طرد تماما. وماذا يرضي ، اصطدم بالعلامة!

في الواقع ، إذا كان في المعادلة الأسية على اليسار وعلى اليمين نفس الشيءالأرقام بأي درجة ، يمكن إزالة هذه الأرقام وتساوي الأسس. تسمح الرياضيات. يبقى حل معادلة أبسط بكثير. إنه جيد ، أليس كذلك؟)

ومع ذلك ، دعونا نتذكر من المفارقات: يمكنك إزالة القواعد فقط عندما تكون الأرقام الأساسية على اليسار واليمين في عزلة رائعة!بدون أي جيران ومعاملات. دعنا نقول في المعادلات:

2 س +2 س + 1 = 2 3 ، أو

لا يمكنك إزالة الزوجي!

حسنًا ، لقد أتقننا أهم شيء. كيفية الانتقال من التعابير الأسية الشريرة إلى المعادلات الأبسط.

"ها هي تلك الأوقات!" - قول انت. "من سيعطي مثل هذه البدائية في الرقابة والامتحانات !؟"

أجبرت على الموافقة. لا أحد سيفعل. لكنك الآن تعرف إلى أين تتجه عند حل الأمثلة المربكة. من الضروري تذكر ذلك ، عندما يكون الرقم الأساسي نفسه على اليسار - على اليمين. ثم كل شيء سيكون أسهل. في الواقع ، هذه هي كلاسيكيات الرياضيات. نأخذ المثال الأصلي ونحوله إلى المطلوب نحنعقل. طبعا حسب قواعد الرياضيات.

ضع في اعتبارك الأمثلة التي تتطلب بعض الجهد الإضافي لجعلها أبسط. دعنا نسميهم معادلات أسية بسيطة.

حل المعادلات الأسية البسيطة. أمثلة.

عند حل المعادلات الأسية ، فإن القواعد الرئيسية هي الإجراءات مع السلطات.بدون معرفة هذه الإجراءات ، لن ينجح شيء.

إلى الإجراءات ذات الدرجات ، يجب على المرء إضافة الملاحظة الشخصية والبراعة. هل نحتاج إلى نفس الأعداد الأساسية؟ لذلك نحن نبحث عنها في المثال بصيغة صريحة أو مشفرة.

دعونا نرى كيف يتم ذلك عمليا؟

دعنا نعطينا مثالا:

2 2 س - 8 س + 1 = 0

أول نظرة على أسباب.هم ... هم مختلفون! اثنان وثمانية. لكن من السابق لأوانه الشعور بالإحباط. حان الوقت لتذكر ذلك

اثنان وثمانية أقارب في الدرجة.) من الممكن تمامًا كتابة:

8 س + 1 = (2 3) س + 1

إذا تذكرنا الصيغة من الأفعال ذات القوى:

(أ ن) م = أ نانومتر ،

بشكل عام يعمل بشكل رائع:

8 س + 1 = (2 3) س + 1 = 2 3 (س + 1)

يبدو المثال الأصلي كالتالي:

2 2 س - 2 3 (س + 1) = 0

ننقل 2 3 (× + 1)إلى اليمين (لم يلغ أحد الإجراءات الأولية للرياضيات!) ، نحصل على:

2 2 س \ u003d 2 3 (س + 1)

هذا كل شيء عمليا. إزالة القواعد:

نحل هذا الوحش ونحصل عليه

هذا هو الجواب الصحيح.

في هذا المثال ، ساعدتنا معرفة قوى العدد اثنين. نحن المحددةفي الثمانية ، الشيطان المشفر. هذه التقنية (ترميز القواعد المشتركة بأرقام مختلفة) هي خدعة شائعة جدًا في المعادلات الأسية! نعم ، حتى في اللوغاريتمات. يجب أن يكون المرء قادرًا على التعرف على قوى الأعداد الأخرى في الأرقام. هذا مهم للغاية لحل المعادلات الأسية.

الحقيقة هي أن رفع أي رقم إلى أي قوة ليس مشكلة. اضرب ، حتى على قطعة من الورق ، وهذا كل شيء. على سبيل المثال ، يمكن للجميع رفع 3 إلى القوة الخامسة. 243 سيظهر إذا كنت تعرف جدول الضرب.) ولكن في المعادلات الأسية ، غالبًا ما يكون من الضروري عدم رفعها إلى قوة ، ولكن العكس ... ما الرقم إلى أي مدىيختبئ خلف الرقم 243 ، أو ، على سبيل المثال ، 343 ... لن تساعدك هنا أي آلة حاسبة.

أنت بحاجة إلى معرفة قوى بعض الأرقام عن طريق البصر ، نعم ... هل نتدرب؟

حدد ما هي القوى وما هي الأرقام هي الأرقام:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

الإجابات (في حالة فوضى ، بالطبع!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

إذا نظرت عن كثب ، يمكنك أن ترى حقيقة غريبة. هناك إجابات أكثر من الأسئلة! حسنًا ، هذا يحدث ... على سبيل المثال ، 2 6 ، 4 3 ، 8 2 هو الكل 64.

لنفترض أنك قد لاحظت المعلومات المتعلقة بالتعرف على الأرقام.) دعني أذكرك أنه لحل المعادلات الأسية ، نطبق الكلمخزون المعرفة الرياضية. بما في ذلك من الطبقات المتوسطة الدنيا. أنت لم تذهب مباشرة إلى المدرسة الثانوية ، أليس كذلك؟

على سبيل المثال ، عند حل المعادلات الأسية ، غالبًا ما يساعد وضع العامل المشترك خارج الأقواس (مرحبًا بالصف السابع!). دعنا نرى مثالا:

3 2 س + 4-11 9 س = 210

ومرة أخرى ، النظرة الأولى - على أرض الواقع! قواعد الدرجات مختلفة ... ثلاثة وتسعة. ونريدهم أن يكونوا متشابهين. حسنًا ، في هذه الحالة ، تكون الرغبة ممكنة تمامًا!) للأسباب التالية:

9 س = (3 2) س = 3 2 س

وفقًا لنفس قواعد الإجراءات ذات الدرجات:

3 2 س + 4 = 3 2 س 3 4

هذا رائع ، يمكنك أن تكتب:

3 2 س 3 4 - 11 3 2 س = 210

قدمنا ​​مثالا لنفس الأسباب. إذن ، ماذا بعد !؟ لا يمكن رمي الثلاثات ... طريق مسدود؟

مُطْلَقاً. تذكر قاعدة القرار الأكثر عالمية وقوة الجميعمهام الرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل ، فافعل ما تستطيع!

انظر ، كل شيء تم تشكيله).

ما هو في هذه المعادلة الأسية يستطيعيفعل؟ نعم ، يسأل الجانب الأيسر مباشرة عن الأقواس! يشير العامل المشترك 3 2x بوضوح إلى هذا. لنجرب ، وبعد ذلك سنرى:

3 2x (3 4-11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

المثال يتحسن باستمرار!

نتذكر أنه من أجل حذف القواعد ، نحتاج إلى درجة صافية ، بدون أي معاملات. الرقم 70 يزعجنا. لذلك نقسم كلا طرفي المعادلة على 70 ، نحصل على:

Op-pa! كل شيء على ما يرام!

هذه هي الإجابة النهائية.

ومع ذلك ، يحدث أن يتم الحصول على سيارات الأجرة على نفس الأسس ، ولكن لا يتم تصفيتها. يحدث هذا في المعادلات الأسية من نوع آخر. دعونا نحصل على هذا النوع.

تغيير المتغير في حل المعادلات الأسية. أمثلة.

لنحل المعادلة:

٤ س - ٣ ٢ س +2 = ٠

أولا - كالعادة. دعنا ننتقل إلى القاعدة. إلى الشيطان.

4 س = (2 2) س = 2 2 س

نحصل على المعادلة:

2 2 س - 3 2 س +2 = 0

وهنا سنعلق. لن تعمل الحيل السابقة ، بغض النظر عن كيفية قلبك لها. سيتعين علينا الخروج من ترسانة وسيلة أخرى قوية ومتعددة الاستخدامات. تسمى استبدال متغير.

جوهر الطريقة بسيط بشكل مدهش. بدلاً من رمز واحد معقد (في حالتنا ، 2 x) ، نكتب رمزًا آخر أبسط (على سبيل المثال ، t). مثل هذا الاستبدال الذي يبدو بلا معنى يؤدي إلى نتائج مذهلة!) يصبح كل شيء واضحًا ومفهومًا!

لذا دع

ثم 2 2x \ u003d 2 x2 \ u003d (2 x) 2 \ u003d t 2

نستبدل في معادلتنا جميع القوى بـ x بـ t:

حسنًا ، لقد بزغت؟) المعادلات التربيعيةلم تنسى بعد؟ نحل من خلال المميز ، نحصل على:

هنا ، الشيء الرئيسي هو عدم التوقف ، كما يحدث ... هذه ليست الإجابة بعد ، فنحن بحاجة إلى x ، وليس t. نعود إلى Xs ، أي صنع بديل. الأول لـ t 1:

إنه،

تم العثور على جذر واحد. نبحث عن الثاني من ر 2:

أم ... يسار 2 × ، يمين 1 ... عقبة؟ نعم لا على الاطلاق! يكفي أن نتذكر (من الأفعال ذات الدرجات ، نعم ...) أن الوحدة هي أيالرقم إلى الصفر. أي. كل ما تحتاجه ، سنضعه. نحن بحاجة إلى اثنين. وسائل:

الآن هذا كل شيء. حصلت على 2 جذور:

هذا هو الجواب.

في حل المعادلات الأسيةفي النهاية ، يتم الحصول على بعض التعبيرات المحرجة أحيانًا. يكتب:

من سبعة ، من خلال اثنين درجة بسيطةلا يعمل. هم ليسوا أقارب ... كيف يمكنني أن أكون هنا؟ قد يكون شخص ما في حيرة من أمره ... لكن الشخص الذي قرأ في هذا الموقع موضوع "ما هو اللوغاريتم؟" ابتسم باعتدال واكتب بيد قوية الإجابة الصحيحة تمامًا:

لا يمكن أن تكون هناك إجابة من هذا القبيل في المهام "ب" في الامتحان. هناك عدد محدد مطلوب. ولكن في المهام "ج" - بسهولة.

يقدم هذا الدرس أمثلة على حل أكثر المعادلات الأسية شيوعًا. دعنا نسلط الضوء على الرئيسي.

نصائح عملية:

1. بادئ ذي بدء ، ننظر إلى أسبابدرجات. دعونا نرى ما إذا كان لا يمكن فعل ذلك نفس الشيء.دعنا نحاول القيام بذلك عن طريق استخدام الإجراءات مع السلطات.لا تنس أن الأرقام بدون x يمكن أيضًا تحويلها إلى درجات!

2. نحاول إحضار المعادلة الأسية إلى الشكل عندما يكون اليسار واليمين كذلك نفس الشيءالأرقام إلى أي درجة. نحن نستخدم الإجراءات مع السلطاتو التحليل إلى عوامل.ما يمكن عده بالأرقام - نحسب.

3. إذا لم تنجح النصيحة الثانية ، نحاول تطبيق استبدال المتغير. يمكن أن تكون النتيجة معادلة يمكن حلها بسهولة. في أغلب الأحيان - مربع. أو كسري ، مما يقلل أيضًا إلى مربع.

4. لحل المعادلات الأسية بنجاح ، تحتاج إلى معرفة درجات بعض الأرقام "عن طريق البصر".

كالعادة ، في نهاية الدرس ، أنت مدعو لحل القليل) بنفسك. من البسيط إلى المعقد.

حل المعادلات الأسية:

أكثر صعوبة:

2 × + 3 - 2 × + 2 - 2 × \ u003d 48

9 × - 8 3 × = 9

2 س - 2 0.5 س + 1-8 = 0

ابحث عن منتج الجذور:

2 3-س + 2 س = 9

حدث؟

حسنا اذن اصعب مثال(قرر ، مع ذلك ، في العقل ...):

7 0.13 س + 13 0.7 س + 1 + 2 0.5 س + 1 = -3

ما هو أكثر إثارة للاهتمام؟ ثم هذا مثال سيء بالنسبة لك. سحب شديد على زيادة الصعوبة. سألمح إلى أنه في هذا المثال ، يحفظ البراعة والقاعدة الأكثر عالمية لحل جميع المهام الرياضية.)

2 5 س -1 3 3 س -1 5 2 س -1 = 720 س

مثال أبسط من أجل الاسترخاء):

9 2 س - 4 3 س = 0

وللحلوى. أوجد مجموع جذور المعادلة:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

نعم نعم! هذه معادلة من النوع المختلط! وهو ما لم نأخذه بعين الاعتبار في هذا الدرس. وما يجب مراعاتها في الاعتبار ، يجب حلها!) هذا الدرس كافٍ تمامًا لحل المعادلة. حسنًا ، هناك حاجة إلى الإبداع ... ونعم ، سوف يساعدك الصف السابع (هذا تلميح!).

الإجابات (في حالة فوضى ، مفصولة بفواصل منقوطة):

1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ لا توجد حلول 2 ؛ -2 ؛ -5 ؛ 4 ؛ 0.

هل كل شيء ناجح؟ عظيم.

هناك مشكلة؟ لا مشكلة! في القسم الخاص 555 ، يتم حل كل هذه المعادلات الأسية باستخدام شروحات مفصلة. ماذا ولماذا ولماذا. وبالطبع ، هناك معلومات قيمة إضافية حول العمل مع جميع أنواع المعادلات الأسية. ليس فقط مع هؤلاء.)

سؤال أخير ممتع يجب مراعاته. في هذا الدرس ، عملنا باستخدام المعادلات الأسية. لماذا لم أنطق بكلمة واحدة عن ODZ هنا؟بالمناسبة ، هذا شيء مهم جدًا في المعادلات ...

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.