حلل ثلاثي الحدود المربع إلى ذي الحدين. أمثلة على تحليل كثيرات الحدود

يبدو أحيانًا أن توسيع كثيرات الحدود للحصول على منتج أمر مربك. لكن الأمر ليس بهذه الصعوبة إذا فهمت العملية خطوة بخطوة. تفاصيل المقالة كيفية تحليل ثلاثي الحدود المربع.

كثيرون لا يفهمون كيفية تحليل ثلاثي الحدود المربع ، ولماذا يتم ذلك. في البداية قد يبدو أن هذا تمرين عديم الفائدة. لكن في الرياضيات ، لا يتم فعل شيء على هذا النحو. التحويل ضروري لتبسيط التعبير وسهولة الحساب.

كثير حدود لها الشكل - ax² + bx + c ، يسمى ثلاثي الحدود المربع.يجب أن يكون المصطلح "a" سالبًا أو موجبًا. في الممارسة العملية ، يسمى هذا التعبير معادلة من الدرجة الثانية. لذلك ، في بعض الأحيان يقولون بشكل مختلف: كيفية توسيع معادلة من الدرجة الثانية.

مثير للاهتمام!تسمى كثيرة الحدود المربعة بسبب أكبر درجة لها - مربع. وثلاثية الحدود - بسبب المصطلحات المكونة الثلاثة.

بعض الأنواع الأخرى من كثيرات الحدود:

• ذات الحدين الخطي (6x + 8) ؛
• مكعب رباعي (x³ + 4x²-2x + 9).

تحليل مربع ثلاثي الحدود إلى عوامل

أولًا ، التعبير يساوي صفرًا ، إذن عليك إيجاد قيم الجذور x1 و x2. قد لا يكون هناك جذور ، قد يكون هناك واحد أو اثنين من الجذور. يتم تحديد وجود الجذور من خلال المميز. يجب أن تُعرف صيغته عن ظهر قلب: D = b²-4ac.

إذا كانت نتيجة D سالبة ، فلا توجد جذور. إذا كانت موجبة ، فهناك جذران. إذا كانت النتيجة صفرًا ، يكون الجذر واحدًا. يتم حساب الجذور أيضًا بواسطة الصيغة.

إذا كان حساب المميز ينتج صفرًا ، فيمكنك تطبيق أي من الصيغ. في الممارسة العملية ، يتم اختصار الصيغة ببساطة: -b / 2a.

الصيغ الخاصة بـ قيم مختلفةمميزة مختلفة.

إذا كانت D موجبة:

إذا كانت D تساوي صفرًا:

حاسبات على الإنترنت

الإنترنت آلة حاسبة على الانترنت. يمكن استخدامه للتحليل. توفر بعض الموارد الفرصة لرؤية الحل خطوة بخطوة. تساعد مثل هذه الخدمات على فهم الموضوع بشكل أفضل ، ولكن عليك محاولة الفهم جيدًا.

فيديو مفيد: تحليل ثلاثي الحدود المربع

أمثلة

نقترح النظر في أمثلة بسيطة لكيفية تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل.

مثال 1

يتضح هنا بوضوح أن النتيجة ستكون اثنين x ، لأن D موجب. يجب استبدالها في الصيغة. إذا كانت الجذور سالبة ، تنعكس الإشارة في الصيغة.

نحن نعرف صيغة تحليل ثلاثي الحدود المربع: a (x-x1) (x-x2). نضع القيم بين قوسين: (س + 3) (س + 2/3). لا يوجد رقم قبل المصطلح في الأس. هذا يعني أن هناك وحدة ، يتم إنزالها.

مثال 2

يوضح هذا المثال بوضوح كيفية حل معادلة لها جذر واحد.

استبدل القيمة الناتجة:

مثال 3

معطى: 5x² + 3x + 7

أولاً ، نحسب المميز ، كما في الحالات السابقة.

د = 9-4 * 5 * 7 = 9-140 = -131.

المميز سالب ، مما يعني عدم وجود جذور.

بعد الحصول على النتيجة ، يجدر فتح الأقواس والتحقق من النتيجة. يجب أن تظهر الثلاثية الأصلية.

حل بديل

بعض الناس لم يتمكنوا من تكوين صداقات مع الشخص المُميِّز. هناك طريقة أخرى لتحليل ثلاثي الحدود المربع. للراحة ، يتم عرض الطريقة في مثال.

معطى: x² + 3x-10

نحن نعلم أنه يجب أن ينتهي بنا الأمر بقوسين: (_) (_). عندما يبدو التعبير هكذا: x² + bx + c ، نضع x في بداية كل قوس: (x_) (x_). الرقمان المتبقيان هما المنتج الذي يعطي "c" ، أي -10 في هذه الحالة. لمعرفة ماهية هذه الأرقام ، يمكنك فقط استخدام طريقة الاختيار. يجب أن تتطابق الأرقام المستبدلة مع المصطلح المتبقي.

على سبيل المثال ، ينتج عن ضرب الأرقام التالية -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1) (x + 10) = x2 + 10x-x-10 = x2 + 9x-10. لا.
2. (x-10) (x + 1) = x2 + x-10x-10 = x2-9x-10. لا.
3. (x-5) (x + 2) = x2 + 2x-5x-10 = x2-3x-10. لا.
4. (x-2) (x + 5) = x2 + 5x-2x-10 = x2 + 3x-10. تناسبها.

إذن ، يبدو تحويل التعبير x2 + 3x-10 كما يلي: (x-2) (x + 5).

مهم!يجب أن تكون حريصًا على عدم الخلط بين العلامات.

تحلل ثلاثي معقد

إذا كانت "a" أكبر من واحد ، تبدأ الصعوبات. لكن كل شيء ليس صعبًا كما يبدو.

من أجل التحليل إلى عوامل ، يجب على المرء أولاً معرفة ما إذا كان من الممكن تحليل شيء ما.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى التعبير: 3x² + 9x-30. هنا يتم إخراج الرقم 3 من الأقواس:

3 (x² + 3x-10). والنتيجة هي الثلاثية المعروفة بالفعل. تبدو الإجابة كما يلي: 3 (x-2) (x + 5)

كيف تتحلل إذا كان المصطلح التربيع سلبيًا؟ في هذه الحالة ، يتم إخراج الرقم -1 من القوس. على سبيل المثال: -x²-10x-8. سيبدو التعبير بعد ذلك كما يلي:

يختلف المخطط قليلاً عن المخطط السابق. لا يوجد سوى القليل من الأشياء الجديدة. لنفترض أن التعبير معطى: 2x² + 7x + 3. الإجابة مكتوبة أيضًا بين قوسين ، والتي يجب ملؤها بـ (_) (_). X مكتوب في القوس الثاني ، وما تبقى في الأول. يبدو كالتالي: (2x _) (x_). خلاف ذلك ، يتم تكرار المخطط السابق.

الرقم 3 يعطي الأرقام:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

نحل المعادلات بالتعويض عن الأعداد المعطاة. الخيار الأخير يناسب. لذا فإن تحويل التعبير 2x² + 7x + 3 يبدو كما يلي: (2x + 1) (x + 3).

حالات اخرى

ليس من الممكن دائمًا تحويل تعبير. في الطريقة الثانية ، حل المعادلة غير مطلوب. لكن يتم التحقق من إمكانية تحويل المصطلحات إلى منتج فقط من خلال أداة التمييز.

يستحق ممارسة اتخاذ القرار المعادلات التربيعيةبحيث لا توجد صعوبات عند استخدام الصيغ.

فيديو مفيد: تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل

خاتمة

يمكنك استخدامه بأي شكل من الأشكال. لكن من الأفضل العمل على حد سواء من أجل الأتمتة. أيضًا ، يحتاج أولئك الذين يربطون حياتهم بالرياضيات إلى تعلم كيفية حل المعادلات التربيعية جيدًا وتحلل كثيرات الحدود إلى عوامل. كل المواضيع الرياضية التالية مبنية على هذا.

تطوير درس مفتوح

الجبر في الصف الثامن

حول موضوع: "ثلاثي الحدود المربع. تحلل ثلاثي الحدود المربع إلى عوامل.

مدرس الرياضيات KSU الثانوي رقم 16 من Karaganda

بيكينوفا ج.

كاراجاندا 2015

"الرياضيات لا يمكن تعلمها عن طريق الملاحظة."

لاري نيفن - أستاذ الرياضيات

موضوع الدرس:

ثلاثي الحدود المربع.

تحليل مربع ثلاثي الحدود إلى عوامل.

أهداف الدرس:

1. أن نحقق من جميع الطلاب في الفصل التطوير والتطبيق الناجح للمعرفة في تحلل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل.

2. تعزيز: أ) تنمية ضبط النفس والتعلم الذاتي ،

ب) القدرة على استخدام السبورة التفاعلية ،

ج) تنمية المعرفة الرياضية والدقة.

3. تنمية القدرة على التعبير عن أفكار الفرد بكفاءة وإيجاز ، والتسامح مع وجهة نظر زملائه في الفصل ، والحصول على الرضا من النتائج التي يتم تحقيقها.

نوع الدرس:درس مشترك مع نهج متباين وفردي ، مع عناصر التعلم التنموي والمتقدم.

موقع الدرس:الدرس الثالث حول هذا الموضوع (رئيسي) ، في أول طالبين تعلموا تعريف ثلاثي الحدود المربع ، وتعلموا كيفية العثور على جذوره ، وتعرفوا على خوارزمية لتحليل ثلاثي الحدود المربع ، وهذا سيساعد في المستقبل حل المعادلات، اختزال الكسور ، تحويل التعبيرات الجبرية.

هيكل الدرس:

1 تحديث المعرفة بنهج متباين للطلاب.

2 التحكم هو فحص ذاتي للمعرفة المكتسبة سابقًا.

3 عرض المواد الجديدة هو جزئيا طريقة بحث.

4 التوحيد الأساسي للنهج المدروس والمتباين بشكل فردي.

5 الاستيعاب وتعميم المعرفة.

6 تحديد الواجبات المنزلية من خلال التعلم القائم على حل المشكلات.

معدات: السبورة التفاعلية ، السبورة البيضاء العادية ، بطاقات المهام ، كتاب الجبر 8 ، ورق الكربون والأوراق الفارغة ، الرموز الفيزيائية.

خلال الفصول

تنظيم الوقت (1 دقيقة).

1. تحية الطلاب. التحقق من استعدادهم للدرس.

2. الاتصال لغرض الدرس.

أنا مرحلة.

“التكرار أم التعلم ".

1. فحص الواجبات المنزلية. رقم 476 (ب ، د) ، رقم 474 ، رقم 475

2. عمل فردي على بطاقات (4 أشخاص) (أثناء تدقيق الواجب المنزلي) (5 دقائق)

المرحلة الثانية.

"ثق ولكن تحقق"

اختبر العمل بضبط النفس.

عمل الاختبار (من خلال ورق الكربون) باختبار ذاتي.

أنا الخيار متغير الثاني

1) 2)

2. تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:

الإجابات

ل عمل التحقق

"ثق ولكن تحقق".

1. أوجد جذور مثلث ثلاثي الحدود:

أنا الخيار الثاني الخيار نتي

2. تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:

1) (X-3) (X + 5) ؛ 1) (X + 9) (X-7)

2) 9X (X-14) ؛ 2) 8X (X-16) ؛

3) 4 (X-6) (X + 6). 3) 7 (X-3) (X + 3).

بعض الإجابات الواضحة للملاحظة.

سؤال للطلاب:

أين تعتقد أنه يمكنك تطبيق عامل ثلاثي الحدود المربع؟

صواب: عند حل المعادلات ،

عند تقليل الكسور ،

في تحويل التعبيرات الجبرية.

المرحلة الثالثة

” المهارة والعمل سيطحنان كل شيء "(10 دقائق)

1. ضع في اعتبارك تطبيق عامل ثلاثي الحدود التربيعي في اختزال الكسور. عمل الطلاب على السبورة.

تقليل الكسر:

2. والآن دعونا ننظر في تطبيق عامل ثلاثي الحدود المربع في تحويلات التعبيرات الجبرية.

كتاب مدرسي. الجبر 8. ص 126 رقم 570 (ب)

وضح الآن كيف تقوم بتطبيق عامل ثلاثي الحدود التربيعي.

المرحلة الرابعة

"اطرق على الحديد وهو ساخن!"

عمل مستقل (١٣ دقيقة).

І خيار І أنا الخيار

تقليل الكسر:

5. أدركت أن …….

6. الآن أستطيع …….

7. شعرت أن… ..

8. اشتريت….

9. تعلمت …….

10. حصلت عليه .........

11. تمكنت من….

12. سأحاول .......

13. فوجئت ...

14. درس أعطاني مدى الحياة….

15. أردت ...

معلومات حول العمل في المنزل: للدرس التالي ، أحضر الواجب المنزلي الذي تلقيته قبل أسبوع.

المنزل العمل المستقل.

І خيار І أنا الخيار

№ 560 (أ ، ج) رقم 560 (ب ، د)

№ 564 (أ ، ج) رقم 564 (ب ، د)

№ 566 (أ) رقم 566 (ب)

№ 569 (أ) رقم 569 (ب)

№ 571 (أ ، ج) رقم 571 (ب ، د)

الدرس انتهى.

تحليل مربع ثلاثي الحدود إلى عوامليمكن أن يكون مفيدًا عند حل المتباينات من المشكلة C3 أو مشكلة المعامل C5. أيضًا ، سيتم حل العديد من مشكلات الكلمات B13 بشكل أسرع إذا كنت تعرف نظرية فييتا.

هذه النظرية ، بالطبع ، يمكن اعتبارها من وجهة نظر الصف الثامن ، حيث يتم اجتيازها لأول مرة. لكن مهمتنا هي الاستعداد جيدًا للاختبار ومعرفة كيفية حل مهام الاختبار بأكبر قدر ممكن من الكفاءة. لذلك ، في هذا الدرس ، يختلف النهج قليلاً عن نهج المدرسة.

صيغة جذور المعادلة وفقًا لنظرية فييتاتعرف (أو على الأقل شاهدت) العديد:

$$ x_1 + x_2 = - \ frac (b) (a) ، \ quad x_1 x_2 = \ frac (c) (a) ، $$

حيث `a و b` و` c` هي معاملات المربع ثلاثي الحدود `ax ^ 2 + bx + c`.

لمعرفة كيفية استخدام النظرية بسهولة ، دعنا نفهم مصدرها (سيكون من الأسهل حقًا تذكرها بهذه الطريقة).

دعونا نحصل على المعادلة `ax ^ 2 + bx + c = 0`. لمزيد من الراحة ، نقسمها على `a` ونحصل على` x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0`. مثل هذه المعادلة يسمى المعادلة التربيعية المختزلة.

نقاط درس مهمة: يمكن أن تتحلل أي كثيرة حدود مربعة لها جذور إلى أقواس.لنفترض أنه يمكن تمثيلنا كـ `x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = (x + k) (x + l)` ، حيث `k` و` l` - بعض الثوابت.

دعونا نرى كيف يتم فتح الأقواس:

$$ (x + k) (x + l) = x ^ 2 + kx + lx + kl = x ^ 2 + (k + l) x + kl. $$

وبالتالي ، فإن `k + l = \ frac (b) (a) ، kl = \ frac (c) (a)`.

هذا يختلف قليلاً عن التفسير الكلاسيكي نظريات فييتا- فيه نبحث عن جذور المعادلة. أقترح البحث عن شروط توسعات قوس- لذلك لا تحتاج إلى تذكر الطرح من الصيغة (بمعنى `x_1 + x_2 = - \ frac (b) (a)`). يكفي اختيار رقمين من هذا القبيل ، مجموعهما يساوي متوسط ​​المعامل ، ويكون المنتج مساويًا للمصطلح المجاني.

إذا احتجنا إلى حل للمعادلة ، فمن الواضح: الجذور `x = -k` أو` x = -l` (لأنه في هذه الحالات ، سيكون أحد الأقواس صفرًا ، مما يعني أن التعبير الكامل سيكون يساوي الصفر).

على سبيل المثال ، سأعرض الخوارزمية ، كيفية تحليل مربع متعدد الحدود إلى أقواس.

مثال واحد. خوارزمية لتحليل ثلاثي الحدود المربع

المسار الذي لدينا هو ثلاثي الحدود المربع `x ^ 2 + 5x + 4`.

تم تقليله (معامل `x ^ 2` يساوي واحد). له جذور. (للتأكد ، يمكنك تقدير المميز والتأكد من أنه أكبر من الصفر.)

الخطوات التالية (يجب تعلمها من خلال القيام بكل شيء مهام التدريب):

1. قم بعمل التدوين التالي: $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x \ ldots) (x \ ldots). $$ اترك مساحة خالية بدلاً من النقاط ، سنضيف الأرقام والعلامات المناسبة هناك.
2. مشاهدة الكل الخيارات الممكنة، كيف يمكنك تحليل الرقم "4" إلى حاصل ضرب عددين. نحصل على أزواج من "المرشحين" لجذور المعادلة: "2 ، 2" و "1 ، 4".
3. تقدير من أي زوج يمكنك الحصول على متوسط ​​المعامل. من الواضح أنها "1 ، 4".
4. اكتب $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x \ quad 4) (x \ quad 1) $$.
5. الخطوة التالية هي وضع العلامات أمام الأرقام المدرجة.

   كيف نفهم ونتذكر إلى الأبد ما هي العلامات التي يجب أن تكون أمام الأرقام بين قوسين؟ حاول توسيعها (الأقواس). المعامل قبل `x` للقوة الأولى سيكون` (± 4 ± 1) `(لا نعرف العلامات بعد - نحتاج إلى الاختيار) ، ويجب أن يساوي" 5 ". من الواضح أنه سيكون هناك إيجابيتان هنا $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1) $$.

   قم بإجراء هذه العملية عدة مرات (مرحبًا ، مهام التدريب!) ولن يكون هناك المزيد من المشاكل مع هذا.

إذا كنت بحاجة إلى حل المعادلة "x ^ 2 + 5x + 4" ، فإن حلها الآن ليس صعبًا. جذوره "-4، -1".

المثال الثاني. تحليل ثلاثي الحدود التربيعي بمعاملات علامات مختلفة

دعونا نحل المعادلة `x ^ 2-x-2 = 0`. مرتجلا ، فإن التمييز إيجابي.

نحن نتبع الخوارزمية.

1. $$ x ^ 2-x-2 = (x \ ldots) (x \ ldots). $$
2. يوجد عامل صحيح واحد فقط لـ 2: `2 · 1`.
3. نتخطى النقطة - لا يوجد شيء للاختيار من بينها.
4. $$ x ^ 2-x-2 = (x \ quad 2) (x \ quad 1). $$
5. حاصل ضرب أرقامنا سالب ("-2" مصطلح مجاني) ، مما يعني أن أحدهما سيكون سالبًا والآخر موجبًا.
   نظرًا لأن مجموعهم يساوي `-1` (معامل` س`) ، فإن `2` سيكون سالبًا (تفسير بديهي - اثنان هو أكبر الرقمين ، وسوف" يسحب "بقوة أكبر إلى الجانب السلبي). نحصل على $$ x ^ 2-x-2 = (x - 2) (x + 1). $$

المثال الثالث. تحليل مربع ثلاثي الحدود إلى عوامل

المعادلة `x ^ 2 + 5x -84 = 0`.

1. $$ x + 5x-84 = (x \ ldots) (x \ ldots). $$
2. تحليل 84 إلى عوامل عدد صحيح: `4 21، 6 14، 12 7، 2 42`.
3. نظرًا لأننا نحتاج إلى أن يكون الاختلاف (أو المجموع) في الأرقام 5 ، فإن الزوج `7 ، 12` سيفي بالغرض.
4. $$ x + 5x-84 = (x \ quad 12) (x \ quad 7). $$
5. $$ x + 5x-84 = (x + 12) (x - 7)

يأمل، تحلل ثلاثي الحدود هذا إلى أقواسانها واضحة.

إذا كنت بحاجة إلى حل للمعادلة ، فإليك ما يلي: "12 ، -7".

مهام التدريب

فيما يلي بعض الأمثلة التي يسهل القيام بها يتم حلها باستخدام نظرية فييتا.(أمثلة مأخوذة من الرياضيات ، 2002.)

1. `س ^ 2 + س -2 = 0`
2. `س ^ 2-س -2 = 0`
3. `س ^ 2 + س -6 = 0`
4. `س ^ 2-س -6 = 0`
5. `x ^ 2 + x-12 = 0`
6. `س ^ 2-س -12 = 0`
7. `س ^ 2 + س -20 = 0`
8. `س ^ 2-س -20 = 0`
9. `س ^ 2 + س -42 = 0`
10. `س ^ 2-س -42 = 0`
11. `س ^ 2 + س 56 = 0`
12. `س ^ 2-س 56 = 0`
13. `س ^ 2 + س -72 = 0`
14. `س ^ 2-س -72 = 0`
15. `x ^ 2 + x-110 = 0`
16. `س ^ 2-س -110 = 0`
17. `س ^ 2 + س -420 = 0`
18. `س ^ 2-س-420 = 0`

بعد عامين من كتابة المقال ، ظهرت مجموعة من 150 مهمة لتوسيع متعدد الحدود التربيعي باستخدام نظرية فييتا.

مثل وطرح الأسئلة في التعليقات!