معادلات غير عقلانية للدمى. حل المعادلات غير المنطقية، طرق الحل، الأمثلة

إجابة: س = 3.

8 طريقة. تطبيق المشتقة في حل المعادلات غير المنطقية

الطريقة الأكثر شيوعًا لحل المعادلات باستخدام الطريقة المشتقة هي طريقة التقدير.

المثال 15:

حل المعادلة: (1)

الحل: منذ https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">، أو (2). خذ بعين الاعتبار الوظيفة ..gif" width = "400" height = "23 src = ">.gif" width = "215" height = "49"> على الإطلاق، وبالتالي يزيد. وبالتالي المعادلة يعادل معادلة لها جذر هو جذر المعادلة الأصلية.

إجابة:

المثال 16:

حل المعادلة غير المنطقية:

مجال الدالة هو قطعة. دعونا نجد أعظم و أصغر قيمةقيم هذه الدالة على الفاصل الزمني. للقيام بذلك، نجد مشتقة الدالة F(س): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. فلنجد قيم الوظيفة F(س)في نهايات المقطع وعند النقطة: إذن، وبالتالي، المساواة ممكنة فقط إذا https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. يظهر الفحص أن الرقم 3 هو جذر هذه المعادلة.

إجابة:س = 3.

9 طريقة. وظيفي

في الامتحانات، يطلبون منك أحيانًا حل المعادلات التي يمكن كتابتها على الصورة، أين الدالة.

على سبيل المثال بعض المعادلات: 1) 2) . في الواقع، في الحالة الأولى ، في الحالة الثانية . لذلك، قم بحل المعادلات غير المنطقية باستخدام العبارة التالية: إذا كانت الدالة تزايدية بشكل صارم في المجموعة Xوبالنسبة لأي، فإن المعادلات وما إلى ذلك متكافئة في المجموعة X .

حل المعادلة غير المنطقية: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> يزيد بشكل صارم على المجموعة ص،و https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width = "45" height = "24 src = ">..gif" width = "104" height = "24 src = " > والتي لها جذر واحد، وبالتالي فإن المعادلة (1) المكافئة لها لها جذر واحد أيضًا

إجابة:س = 3.

المثال 18:

حل المعادلة غير المنطقية: (1)

بحكم تعريف الجذر التربيعي، نحصل على أنه إذا كانت المعادلة (1) لها جذور، فإنها تنتمي إلى المجموعة https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" الارتفاع = "47" >.(2)

خذ بعين الاعتبار الوظيفة https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> تزيد بشكل صارم على هذه المجموعة لأي ..gif" width="100" height ="41"> الذي له جذر واحد وبالتالي، وما يعادله في المجموعة Xالمعادلة (1) لها جذر واحد

إجابة: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width = "145" height = "27 src = ">

الحل: هذه المعادلة تعادل نظام مختلط

الجزء الأول من المادة في هذه المقالة يشكل فكرة المعادلات غير المنطقية. وبعد دراستها ستتمكن بسهولة من تمييز المعادلات غير المنطقية عن المعادلات من الأنواع الأخرى. يتناول الجزء الثاني بالتفصيل الطرق الرئيسية لحل المعادلات غير المنطقية ويقدم حلولاً تفصيلية لعدد كبير من الأمثلة النموذجية. إذا أتقنت هذه المعلومات، فمن المؤكد أنك ستتعامل تقريبًا مع أي معادلة غير عقلانية من دورة الرياضيات المدرسية. حظا سعيدا في اكتساب المعرفة!

ما هي المعادلات غير العقلانية؟

دعونا أولا نوضح ما هي المعادلات غير المنطقية. للقيام بذلك، سنجد التعريفات المناسبة في الكتب المدرسية التي أوصت بها وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي.

يتم إجراء محادثة مفصلة حول المعادلات غير المنطقية وحلها في دروس الجبر وبدأ تحليلها في المدرسة الثانوية. ومع ذلك، قدم بعض المؤلفين معادلات من هذا النوع في وقت سابق. على سبيل المثال، أولئك الذين يدرسون باستخدام الكتب المدرسية Mordkovich A. G. يتعلمون عن المعادلات غير المنطقية بالفعل في الصف الثامن: ينص الكتاب المدرسي على ذلك

هناك أيضًا أمثلة على المعادلات غير المنطقية، , ، وما إلى ذلك وهلم جرا. من الواضح أن كل من المعادلات المذكورة أعلاه تحتوي على متغير x تحت علامة الجذر التربيعي، مما يعني أنه وفقا للتعريف أعلاه، فإن هذه المعادلات غير منطقية. هنا نناقش على الفور إحدى الطرق الرئيسية لحلها -. لكننا سنتحدث عن طرق الحل أقل قليلا، ولكن في الوقت الحالي سنقدم تعريفات للمعادلات غير المنطقية من الكتب المدرسية الأخرى.

في الكتب المدرسية لـ A. N. Kolmogorov و Yu.M.Kolyagin.

تعريف

غير منطقيهي المعادلات التي يوجد فيها متغير تحت علامة الجذر.

دعونا ننتبه إلى الفرق الأساسي بين هذا التعريف والتعريف السابق: فهو ببساطة يقول الجذر، وليس الجذر التربيعي، أي أن درجة الجذر التي يقع تحتها المتغير غير محددة. هذا يعني أن الجذر لا يمكن أن يكون مربعًا فحسب، بل أيضًا ثالثًا ورابعًا وما إلى ذلك. درجات. وبالتالي، فإن التعريف الأخير يحدد مجموعة أوسع من المعادلات.

يطرح سؤال طبيعي: لماذا نبدأ في استخدام هذا التعريف الأوسع للمعادلات غير المنطقية في المدرسة الثانوية؟ كل شيء مفهوم وبسيط: عندما نتعرف على المعادلات غير المنطقية في الصف الثامن، فإننا نعرف جيدًا فقط الجذر التربيعي، وليس عن أي جذور مكعبة أو جذور للربع أو أكثر درجات عاليةلا نعرف بعد. وفي المدرسة الثانوية يتم تعميم مفهوم الجذر، ونتعرف عليه، وعندما نتحدث عن المعادلات غير المنطقية لم نعد نقتصر على الجذر التربيعي، بل نعني جذر الدرجة التعسفية.

من أجل الوضوح، سوف نعرض عدة أمثلة للمعادلات غير المنطقية. - هنا يقع المتغير x تحت علامة الجذر التكعيبي، وبالتالي فإن هذه المعادلة غير منطقية. مثال آخر: - هنا المتغير x يقع تحت إشارة كل من الجذر التربيعي والجذر الرابع، أي أن هذه أيضًا معادلة غير منطقية. فيما يلي بعض الأمثلة الإضافية للمعادلات غير المنطقية نوع معقد: و .

تتيح لنا التعريفات المذكورة أعلاه أن نلاحظ أنه في تدوين أي معادلة غير منطقية توجد علامات للجذور. ومن الواضح أيضًا أنه إذا لم تكن هناك علامات للجذور، فإن المعادلة ليست غير منطقية. ومع ذلك، ليست كل المعادلات التي تحتوي على علامات الجذر غير منطقية. في الواقع، في المعادلة غير المنطقية يجب أن يكون هناك متغير تحت علامة الجذر، إذا لم يكن هناك متغير تحت علامة الجذر، فإن المعادلة ليست غير منطقية. على سبيل المثال، نعطي أمثلة على المعادلات التي تحتوي على جذور، ولكنها ليست غير نسبية. المعادلات و ليست غير منطقية، لأنها لا تحتوي على متغيرات تحت علامة الجذر - هناك أرقام تحت الجذور، ولكن لا توجد متغيرات تحت علامة الجذر، وبالتالي فإن هذه المعادلات ليست غير منطقية.

ومن الجدير بالذكر عدد المتغيرات التي يمكن أن تشارك في كتابة المعادلات غير النسبية. جميع المعادلات غير المنطقية المذكورة أعلاه تحتوي على متغير واحد x، أي أنها معادلات ذات متغير واحد. ومع ذلك، لا شيء يمنعنا من التفكير في المعادلات غير النسبية التي تحتوي على اثنين، أو ثلاثة، وما إلى ذلك. المتغيرات. دعونا نعطي مثالا على معادلة غير عقلانية ذات متغيرين ومع ثلاثة متغيرات.

لاحظ أنه يتعين عليك في المدرسة بشكل أساسي التعامل مع معادلات غير منطقية بمتغير واحد. المعادلات غير المنطقية ذات المتغيرات المتعددة أقل شيوعًا. يمكن العثور عليها في التكوين، على سبيل المثال، في مهمة "حل نظام المعادلات". "أو، على سبيل المثال، في الوصف الجبري للأشياء الهندسية، فإن نصف دائرة مركزها عند نقطة الأصل، ونصف قطرها 3 وحدات، تقع في النصف العلوي من المستوى، يتوافق مع المعادلة.

تحتوي بعض مجموعات المسائل الخاصة بالتحضير لامتحان الدولة الموحدة في قسم "المعادلات غير المنطقية" على مهام لا يكون فيها المتغير تحت علامة الجذر فحسب، بل أيضًا تحت علامة بعض الوظائف الأخرى، على سبيل المثال، المعامل، واللوغاريتم، وما إلى ذلك . هنا مثال ، مأخوذ من الكتاب، ولكن هنا - من المجموعة. في المثال الأول، المتغير x يقع تحت العلامة اللوغاريتمية، واللوغاريتم أيضًا تحت علامة الجذر، أي أن لدينا، إذا جاز التعبير، معادلة لوغاريتمية غير عقلانية (أو لوغاريتمية غير عقلانية). وفي المثال الثاني، المتغير موجود تحت علامة المعامل، والمقياس أيضًا تحت علامة الجذر، وبعد إذنك، سنسميها معادلة غير نسبية بمقياس.

هل يجب اعتبار المعادلات من هذا النوع غير منطقية؟ سؤال جيد. ويبدو أن هناك متغيراً تحت إشارة الجذر، ولكن من المحير أنه ليس في "صورته النقية"، بل تحت إشارة دالة واحدة أو أكثر. بمعنى آخر، يبدو أنه لا يوجد تناقض في كيفية تعريفنا للمعادلات غير المنطقية أعلاه، ولكن هناك درجة معينة من عدم اليقين بسبب وجود وظائف أخرى. من وجهة نظرنا، لا ينبغي للمرء أن يكون متعصبا بشأن "تسمية الأشياء بأسمائها". ومن الناحية العملية، يكفي أن نقول ببساطة "معادلة" دون تحديد نوعها. وكل هذه الإضافات "غير منطقية" و"لوغاريتمية" وما إلى ذلك. تخدم في الغالب لتسهيل العرض وتجميع المواد.

في ضوء المعلومات الواردة في الفقرة الأخيرة، فإن تعريف المعادلات غير المنطقية الوارد في الكتاب المدرسي من تأليف أ. ج. موردكوفيتش للصف الحادي عشر هو أمر مثير للاهتمام

تعريف

غير منطقيهي المعادلات التي يوجد فيها المتغير تحت علامة الجذر أو تحت إشارة رفع إلى قوة كسرية.

هنا، بالإضافة إلى المعادلات ذات المتغير تحت إشارة الجذر، تعتبر المعادلات ذات المتغيرات تحت إشارة الرفع إلى قوة كسرية أيضًا غير منطقية. على سبيل المثال، وفقا لهذا التعريف، المعادلة تعتبر غير عقلانية. لماذا فجأة؟ لقد اعتدنا بالفعل على الجذور في المعادلات غير المنطقية، ولكن هنا ليس جذرًا، بل درجة، وهل تفضل تسمية هذه المعادلة، على سبيل المثال، بمعادلة القوة بدلاً من معادلة غير عقلانية؟ كل شيء بسيط: يتم تحديده من خلال الجذور، وعلى المتغير x لمعادلة معينة (بشرط x 2 +2·x≥0) يمكن إعادة كتابته باستخدام الجذر كـ والمساواة الأخيرة هي معادلة غير منطقية مألوفة مع متغير تحت علامة الجذر. وطرق حل المعادلات ذات المتغيرات في أساس القوى الكسرية هي تمامًا نفس طرق حل المعادلات غير المنطقية (سيتم مناقشتها في الفقرة التالية). لذلك من المناسب أن نسميها غير عقلانية ونعتبرها في ضوء ذلك. لكن لنكن صادقين مع أنفسنا: في البداية لدينا المعادلة ، لكن لا ، واللغة ليست على استعداد تام لتسمية المعادلة الأصلية بأنها غير عقلانية بسبب عدم وجود جذر في التدوين. نفس الأسلوب يسمح لنا بتجنب مثل هذه القضايا المثيرة للجدل فيما يتعلق بالمصطلحات: نطلق على المعادلة ببساطة معادلة دون أي توضيحات محددة.

أبسط المعادلات غير المنطقية

ومن الجدير بالذكر ما يسمى أبسط المعادلات غير المنطقية. لنفترض على الفور أن هذا المصطلح لا يظهر في الكتب المدرسية الرئيسية للجبر والتحليل الأولي، ولكنه يوجد أحيانًا في كتب المسائل وأدلة التدريب، كما هو الحال على سبيل المثال. ولا ينبغي اعتباره مقبولاً بشكل عام، ولكن لا يضر معرفة ما يُفهم عادةً من أبسط المعادلات غير المنطقية. هذا هو عادة الاسم الذي يطلق على المعادلات غير المنطقية من النموذج ، حيث f(x) وg(x) بعض. في ضوء ذلك، يمكن تسمية أبسط معادلة غير عقلانية، على سبيل المثال، بالمعادلة أو .

كيف يمكن تفسير ظهور اسم مثل "أبسط المعادلات غير العقلانية"؟ على سبيل المثال، لأن حل المعادلات غير المنطقية غالبًا ما يتطلب اختزالها الأولي إلى النموذج و مزيد من التطبيقأي طرق الحل القياسية. تسمى المعادلات غير المنطقية في هذا النموذج بالأبسط.

الطرق الأساسية لحل المعادلات غير المنطقية

حسب تعريف الجذر

تعتمد إحدى طرق حل المعادلات غير المنطقية على. وبمساعدتها، عادة ما يتم حل المعادلات غير المنطقية ذات الشكل الأبسط ، حيث f(x) وg(x) بعض منها التعبيرات العقلانية(لقد قدمنا ​​تعريف أبسط المعادلات غير المنطقية في). يتم حل المعادلات غير المنطقية للنموذج بطريقة مماثلة ، ولكن فيها f(x) و/أو g(x) عبارة عن تعبيرات غير عقلانية. ومع ذلك، في كثير من الحالات يكون حل هذه المعادلات بطرق أخرى أكثر ملاءمة، والتي سيتم مناقشتها في الفقرات التالية.

ولتسهيل عرض المادة، نقوم بفصل المعادلات غير النسبية ذات الأسس الزوجية، أي المعادلات ، 2·ك=2، 4، 6، … ، من المعادلات ذات الأسس الجذرية الفردية ، 2·ك+1=3، 5، 7، … دعونا نحدد على الفور طرق حلها:

الأساليب المذكورة أعلاه تتبع مباشرة من و .

لذا، طريقة لحل المعادلات غير المنطقية حسب تعريف الجذر على النحو التالي:

من خلال تعريف الجذر، يكون من الأكثر ملاءمة حل أبسط المعادلات غير المنطقية ذات الأرقام الموجودة على الجوانب اليمنى، أي معادلات النموذج حيث C هو رقم معين. عندما يكون هناك رقم على الجانب الأيمن من المعادلة، فحتى لو كان الأس الجذر زوجيًا، ليست هناك حاجة للذهاب إلى النظام: إذا كان C رقمًا غير سالب، فعندئذٍ، بحكم التعريف، جذر زوجي الدرجة، وإذا كان C رقمًا سالبًا، فيمكننا أن نستنتج على الفور أنه لا توجد جذور للمعادلة، بعد كل شيء، بحكم التعريف، جذر الدرجة الزوجية هو رقم غير سالب، مما يعني أن المعادلة لا تتحول إلى مساواة عددية حقيقية لأي قيم حقيقية للمتغير x.

دعنا ننتقل إلى حل الأمثلة النموذجية.

سوف ننتقل من البسيط إلى المعقد. لنبدأ بحل أبسط معادلة غير منطقية، على الجانب الأيسر منها يوجد جذر لدرجة زوجية، وعلى الجانب الأيمن - رقم موجب، عدد إيجابيأي من حل معادلة من الشكل حيث C هو رقم موجب. يتيح لك تحديد الجذر الانتقال من حل معادلة غير منطقية معينة إلى حل معادلة أبسط بدون جذور С 2·k =f(x) .

يتم حل أبسط المعادلات غير المنطقية التي يكون فيها الصفر على الجانب الأيمن بطريقة مماثلة عن طريق تحديد الجذر.

دعونا نتناول بشكل منفصل المعادلات غير المنطقية، التي يوجد على الجانب الأيسر منها جذر درجة زوجية مع وجود متغير تحت علامتها، وعلى الجانب الأيمن يوجد رقم سالب. مثل هذه المعادلات ليس لها حلول على مجموعة الأعداد الحقيقية (سنتحدث عن الجذور المعقدة بعد التعرف عليها ارقام مركبة ). هذا واضح تمامًا: الجذر الزوجي هو حسب التعريف رقم غير سالب، مما يعني أنه لا يمكن أن يكون مساويًا لرقم سالب.

الأطراف اليسرى للمعادلات غير المنطقية من الأمثلة السابقة كانت جذورًا للقوى الزوجية، والجوانب اليمنى كانت أرقامًا. الآن دعونا نفكر في الأمثلة التي تحتوي على متغيرات على الجانب الأيمن، أي أننا سنحل المعادلات غير المنطقية من الصورة . لحلها، من خلال تحديد الجذر، يتم الانتقال إلى النظام ، والتي لها نفس مجموعة الحلول للمعادلة الأصلية.

ويجب أن يؤخذ في الاعتبار أن النظام ، إلى الحل الذي يتم فيه تقليل حل المعادلة غير المنطقية الأصلية ، يُنصح بالحل ليس بطريقة ميكانيكية ، ولكن بعقلانية إن أمكن. من الواضح أن هذا سؤال أكثر من الموضوع " حل النظم"، لكننا لا نزال ندرج ثلاثة مواقف نواجهها بشكل متكرر مع أمثلة توضحها:

1. على سبيل المثال، إذا كانت معادلتها الأولى g 2 k (x)=f(x) ليس لها حلول، فلا فائدة من حل المتراجحة g(x)≥0، لأنه من عدم وجود حلول للمعادلة يمكن استنتاجها أنه لا توجد حلول للنظام.

1. وبالمثل، إذا لم يكن للمتباينة g(x)≥0 أي حلول، فليس من الضروري حل المعادلة g 2·k (x)=f(x)، لأنه حتى بدون ذلك فمن الواضح أنه في هذه الحالة النظام ليس لديه حلول.

1. في كثير من الأحيان، لا يتم حل المتباينة g(x)≥0 على الإطلاق، ولكن يتم فقط التحقق من أي من جذور المعادلة g 2·k (x)=f(x) يحققها. مجموعة كل ما يحقق المتراجحة هي حل للنظام، مما يعني أنها أيضًا حل للمعادلة غير المنطقية الأصلية المكافئة لها.

يكفي الحديث عن المعادلات ذات الأسس الزوجية للجذور. حان الوقت للانتباه إلى المعادلات غير المنطقية ذات جذور القوى الفردية للنموذج . وكما قلنا من قبل، لحلها ننتقل إلى المعادلة المكافئة والتي يمكن حلها بأي طريقة متاحة.

وفي ختام هذه النقطة نذكر فحص الحلول. طريقة حل المعادلات غير المنطقية عن طريق تحديد الجذر تضمن تكافؤ التحولات. هذا يعني أنه ليس من الضروري التحقق من الحلول الموجودة. يمكن أن تعزى هذه النقطة إلى المزايا هذه الطريقةحل المعادلات غير المنطقية، لأنه في معظم الطرق الأخرى، يعد التحقق مرحلة إلزامية من الحل، مما يسمح لك بقطع الجذور الدخيلة. ولكن يجب أن نتذكر أن التحقق من خلال استبدال الحلول التي تم العثور عليها في المعادلة الأصلية ليس غير ضروري على الإطلاق: فقد تسلل خطأ حسابي فجأة.

ونلاحظ أيضًا أن مسألة فحص وتصفية الجذور الدخيلة مهمة جدًا عند حل المعادلات غير المنطقية، لذلك سنعود إليها في إحدى الفقرات التالية من هذا المقال.

طريقة رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة

يفترض العرض الإضافي أن لدى القارئ فكرة عن المعادلات المكافئة والمعادلات الطبيعية.

تعتمد طريقة رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة على العبارة التالية:

إفادة

رفع طرفي المعادلة لنفس القوة الزوجية يعطي معادلة طبيعية، ورفع طرفي المعادلة لنفس القوة الفردية يعطي معادلة مكافئة.

دليل

دعونا نثبت ذلك للمعادلات ذات متغير واحد. بالنسبة للمعادلات ذات المتغيرات المتعددة، فإن مبادئ الإثبات هي نفسها.

اجعل A(x)=B(x) هي المعادلة الأصلية وx 0 هو جذرها. بما أن x 0 هو جذر هذه المعادلة، فإن A(x 0)=B(x 0) – المساواة العددية الحقيقية. نحن نعرف خاصية التساويات العددية هذه: ضرب التساويات العددية الحقيقية بكل حد يعطي مساواة عددية حقيقية. دعونا نضرب الحد في الحد 2·k، حيث k هو عدد طبيعي، من المعادلات العددية الصحيحة A(x 0)=B(x 0)، وهذا سيعطينا المساواة العددية الصحيحة A 2·k (x 0)= ب 2·ك (× 0) . والمساواة الناتجة تعني أن x 0 هو جذر المعادلة A 2·k (x)=B 2·k (x)، والتي يتم الحصول عليها من المعادلة الأصلية عن طريق رفع كلا الطرفين إلى نفس القوة الطبيعية الزوجية 2·k .

لتبرير إمكانية وجود جذر للمعادلة A 2·k (x)=B 2·k (x) ، وهو ليس جذر المعادلة الأصلية A(x)=B(x) ، فهو يكفي لإعطاء مثال. النظر في المعادلة غير المنطقية والمعادلة ، والتي تم الحصول عليها من الأصل عن طريق تربيع كلا الجزأين. من السهل التحقق من أن الصفر هو جذر المعادلة ، حقًا، أن نفس الشيء 4=4 هو المساواة الحقيقية. لكن في الوقت نفسه، الصفر هو جذر غريب للمعادلة لأنه بعد التعويض بالصفر نحصل على المساواة ، وهو نفس 2=−2 ، وهو غير صحيح. وهذا يثبت أن المعادلة التي تم الحصول عليها من المعادلة الأصلية عن طريق رفع كلا الطرفين إلى نفس القوة الزوجية يمكن أن يكون لها جذور غريبة عن المعادلة الأصلية.

لقد ثبت أن رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الطبيعية يؤدي إلى معادلة طبيعية.

ويبقى إثبات أن رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الطبيعية الفردية يعطي معادلة متكافئة.

دعونا نبين أن كل جذر للمعادلة هو جذر المعادلة التي تم الحصول عليها من الأصل عن طريق رفع طرفيها إلى قوة فردية، وعلى العكس من ذلك، فإن كل جذر للمعادلة يتم الحصول عليه من الأصل عن طريق رفع كلا جزأيها إلى قوة فردية القوة هي جذر المعادلة الأصلية.

دعونا نحصل على المعادلة A(x)=B(x) . دع x 0 هو جذره. إذن فإن المساواة العددية A(x 0)=B(x 0) صحيحة. أثناء دراستنا لخصائص المساواة العددية الحقيقية، تعلمنا أن المساواة العددية الحقيقية يمكن ضربها حدًا بعد حد. بضرب الحد في الحد 2·k+1، حيث k عدد طبيعي، فإن المساواة العددية الصحيحة A(x 0)=B(x 0) نحصل على المساواة العددية الصحيحة A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) , مما يعني أن x 0 هو جذر المعادلة A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . عاد الآن. دع x 0 هو جذر المعادلة A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . وهذا يعني أن المساواة العددية A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 (x 0) صحيحة. ونظرًا لوجود جذر فردي لأي عدد حقيقي وتفرده، فإن المساواة ستكون صحيحة أيضًا. وهذا بدوره يرجع إلى الهوية ، حيث a هو أي رقم حقيقي يتبع خصائص الجذور والقوى، ويمكن إعادة كتابته بالشكل A(x 0)=B(x 0) . هذا يعني أن x 0 هو جذر المعادلة A(x)=B(x) .

لقد ثبت أن رفع طرفي المعادلة غير النسبية إلى قوة فردية يعطي معادلة مكافئة.

البيان المثبت يجدد الترسانة المعروفة لدينا المستخدمة لحل المعادلات بتحويل آخر للمعادلات - رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الطبيعية. رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الفردية هو تحويل يؤدي إلى معادلة طبيعية، ورفعها إلى قوة زوجية هو تحويل مكافئ. تعتمد طريقة رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة على هذا التحويل.

يتم استخدام رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الطبيعية بشكل أساسي لحل المعادلات غير المنطقية، لأنه في بعض الحالات يسمح هذا التحويل بالتخلص من علامات الجذور. على سبيل المثال، رفع طرفي المعادلة إلى قوة n يعطي المعادلة ، والتي يمكن تحويلها لاحقًا إلى المعادلة f(x)=g n (x) ، والتي لم تعد تحتوي على جذر في الجانب الأيسر. يوضح المثال أعلاه جوهر طريقة رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة: باستخدام التحويل المناسب، احصل على معادلة أبسط لا تحتوي على جذور في تدوينها، ومن خلال حلها، احصل على حل للمعادلة غير المنطقية الأصلية.

الآن يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى وصف طريقة رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الطبيعية. لنبدأ بخوارزمية لحل، باستخدام هذه الطريقة، أبسط المعادلات غير المنطقية ذات الأسس الزوجية، أي معادلات النموذج ، حيث k هو عدد طبيعي، وf(x) وg(x) عبارة عن تعبيرات عقلانية. خوارزمية لحل أبسط المعادلات غير النسبية ذات الأسس الجذرية الفردية، أي معادلات النموذج ، سنقدمها بعد قليل. ثم دعونا نذهب إلى أبعد من ذلك: دعونا نوسع طريقة رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة إلى معادلات غير منطقية أكثر تعقيدًا تحتوي على جذور تحت إشارات الجذور، وإشارات عديدة للجذور، وما إلى ذلك.

طريقة رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الزوجية:

من المعلومات المذكورة أعلاه يتضح أنه بعد الخطوة الأولى من الخوارزمية سنصل إلى معادلة تحتوي جذورها على جميع جذور المعادلة الأصلية، ولكن قد يكون لها أيضًا جذور غريبة عن المعادلة الأصلية. لذلك، تحتوي الخوارزمية على فقرة حول تصفية الجذور الدخيلة.

دعونا نلقي نظرة على تطبيق الخوارزمية المحددة لحل المعادلات غير المنطقية باستخدام الأمثلة.

لنبدأ بحل معادلة غير منطقية بسيطة ونموذجية إلى حد ما، يؤدي تربيع طرفيها إلى معادلة تربيعية ليس لها جذور.

فيما يلي مثال حيث تبين أن جميع جذور المعادلة التي تم الحصول عليها من المعادلة غير المنطقية الأصلية عن طريق تربيع كلا الطرفين غريبة عن المعادلة الأصلية. الخلاصة: ليس لها جذور.

المثال التالي أكثر تعقيدًا بعض الشيء. وحلها، على عكس الحلين السابقين، يتطلب رفع كلا الجزأين ليس إلى المربع، بل إلى القوة السادسة، وهذا لن يؤدي بعد الآن إلى معادلة خطية أو تربيعية، بل إلى معادلة تكعيبية. سيوضح لنا التحقق هنا أن جذورها الثلاثة كلها ستكون جذور المعادلة غير النسبية المعطاة في البداية.

وهنا سنذهب إلى أبعد من ذلك. للتخلص من الجذر، سيتعين عليك رفع طرفي المعادلة غير النسبية إلى القوة الرابعة، وهو ما سيؤدي بدوره إلى معادلة القوة الرابعة. سيظهر التحقق أن واحدًا فقط من الجذور الأربعة المحتملة سيكون الجذر المطلوب للمعادلة غير المنطقية، والباقي سيكون غريبًا.

توضح الأمثلة الثلاثة الأخيرة العبارة التالية: إذا كان رفع طرفي معادلة غير منطقية لنفس القوة الزوجية ينتج معادلة لها جذور، فإن التحقق اللاحق يمكن أن يوضح ذلك

• أو كلها جذور دخيلة للمعادلة الأصلية وليس لها جذور،
• أو لا يوجد بينها جذور خارجية على الإطلاق، وجميعها جذور للمعادلة الأصلية،
• أو أن بعضهم فقط من الغرباء.

لقد حان الوقت للانتقال إلى حل أبسط المعادلات غير المنطقية ذات الجذر الفردي، أي المعادلات ذات الشكل . دعنا نكتب الخوارزمية المقابلة.

خوارزمية لحل المعادلات غير المنطقية طريقة لرفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الفردية:

• يتم رفع كلا طرفي المعادلة غير المنطقية إلى نفس القوة الفردية 2·k+1.
• يتم حل المعادلة الناتجة. حلها هو حل المعادلة الأصلية.

يرجى ملاحظة: الخوارزمية المذكورة أعلاه، على عكس خوارزمية حل أبسط المعادلات غير المنطقية ذات الجذر الزوجي، لا تحتوي على بند يتعلق بإزالة الجذور الدخيلة. لقد بينا أعلاه أن رفع طرفي المعادلة إلى قوة فردية هو تحويل مكافئ للمعادلة، مما يعني أن مثل هذا التحويل لا يؤدي إلى ظهور جذور خارجية، فلا داعي لتصفيتها.

وبالتالي، يمكن حل المعادلات غير المنطقية عن طريق رفع كلا الطرفين إلى نفس القوة الفردية دون استبعاد العناصر الخارجية. وفي الوقت نفسه، لا تنس أنه عند الرفع إلى قوة متساوية، يلزم التحقق.

إن معرفة هذه الحقيقة تسمح لنا قانونًا بتجنب غربلة الجذور الدخيلة عند حل معادلة غير منطقية . علاوة على ذلك، في هذه الحالة، يرتبط الشيك بحسابات "غير سارة". لن يكون هناك جذور خارجية على أي حال، حيث أنه مرفوع إلى قوة فردية، أي إلى المكعب، وهو تحويل مكافئ. من الواضح أنه يمكن إجراء الفحص، ولكن أكثر من أجل ضبط النفس، من أجل التحقق بشكل أكبر من صحة الحل الذي تم العثور عليه.

دعونا نلخص النتائج المتوسطة. عند هذه النقطة، قمنا أولاً بتوسيع الترسانة المعروفة بالفعل لحل المعادلات المختلفة بتحويل آخر، وهو رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة. عند رفعه إلى قوة زوجية، قد يكون هذا التحويل غير متساوٍ، وعند استخدامه، من الضروري التحقق من تصفية الجذور الدخيلة. عند رفعه إلى قوة فردية، يكون التحويل المحدد مكافئًا، وليس من الضروري تصفية الجذور الدخيلة. وثانيًا، تعلمنا استخدام هذا التحويل لحل أبسط المعادلات غير النسبية من الصورة ، حيث n هو الأس الجذر، وf(x) وg(x) عبارة عن تعبيرات عقلانية.

حان الوقت الآن للنظر في رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة من منظور عام. سيسمح لنا ذلك بتوسيع طريقة حل المعادلات غير المنطقية بناءً عليها من أبسط المعادلات غير المنطقية إلى المعادلات غير المنطقية من النوع الأكثر تعقيدًا. هيا بنا نقوم بذلك.

في الواقع، عند حل المعادلات عن طريق رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة، يتم استخدام النهج العام المعروف لنا بالفعل: يتم تحويل المعادلة الأصلية، من خلال بعض التحولات، إلى معادلة أبسط، يتم تحويلها إلى معادلة أبسط واحد، وهكذا، حتى المعادلات التي يمكننا حلها. ومن الواضح أنه إذا لجأنا في سلسلة من هذه التحويلات إلى رفع طرفي المعادلة إلى نفس الأس، فيمكننا القول إننا نتبع نفس الطريقة في رفع طرفي المعادلة إلى نفس الأس. كل ما تبقى هو معرفة التحولات بالضبط وبأي تسلسل يجب تنفيذه لحل المعادلات غير المنطقية عن طريق رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة.

فيما يلي طريقة عامة لحل المعادلات غير المنطقية من خلال رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة:

• أولًا، علينا الانتقال من المعادلة غير المنطقية الأصلية إلى معادلة أكثر معادلة بسيطة، والذي يمكن تحقيقه عادةً عن طريق تنفيذ الإجراءات الثلاثة التالية بشكل دوري:
  • عزل الجذر (أو تقنيات مشابهة، على سبيل المثال، عزل حاصل ضرب الجذور، وعزل الكسر الذي يكون بسطه و/أو مقامه جذرًا، مما يسمح، عند رفع طرفي المعادلة لاحقًا إلى قوة، بـ تخلص من الجذر).
  • تبسيط شكل المعادلة.
• ثانيا، تحتاج إلى حل المعادلة الناتجة.
• أخيرًا، إذا كانت هناك انتقالات إلى المعادلات الطبيعية أثناء الحل (على وجه الخصوص، إذا تم رفع طرفي المعادلة إلى قوة زوجية)، فيجب إزالة الجذور الدخيلة.

دعونا نضع المعرفة المكتسبة موضع التنفيذ.

دعونا نحل مثالاً حيث تؤدي عزلة الجذر إلى جلب المعادلة غير المنطقية إلى أبسط صورها، وبعد ذلك كل ما تبقى هو تربيع كلا الجانبين، وحل المعادلة الناتجة والتخلص من الجذور الدخيلة باستخدام الاختيار.

يمكن حل المعادلة غير المنطقية التالية عن طريق فصل الكسر بجذر في المقام، والذي يمكن حذفه عن طريق التربيع اللاحق لطرفي المعادلة. وبعد ذلك يكون كل شيء بسيطًا: يتم حل المعادلة الكسرية الناتجة ويتم التحقق من استبعاد الجذور الدخيلة من إدخال الإجابة.

تعتبر المعادلات غير المنطقية التي تحتوي على جذرين نموذجية تمامًا. عادة ما يتم حلها بنجاح عن طريق رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة. إذا كانت الجذور لها نفس الدرجة، ولا توجد حدود أخرى غيرها، فيكفي للتخلص من الجذور عزل الجذر وإجراء الأسي مرة واحدة، كما في المثال التالي.

وهنا مثال يوجد فيه أيضًا جذرين، بجانبهما لا توجد حدود أيضًا، ولكن درجات الجذور مختلفة. في هذه الحالة، بعد عزل الجذر، من المستحسن رفع طرفي المعادلة إلى قوة تحذف كلا الجذرين في وقت واحد. تعمل هذه الدرجة، على سبيل المثال، كمؤشرات للجذور. في حالتنا، درجات الجذور هي 2 و3، LCM(2, 3) = 6، لذلك سنرفع كلا الطرفين إلى القوة السادسة. لاحظ أنه يمكننا أيضًا التصرف على طول المسار القياسي، لكن في هذه الحالة سيتعين علينا اللجوء إلى رفع كلا الجزأين إلى قوة مرتين: أولًا إلى الثاني، ثم إلى الثالث. سوف نعرض كلا الحلين.

في المزيد الحالات الصعبة، عند حل المعادلات غير المنطقية عن طريق رفع طرفي المعادلة لنفس القوة، عليك أن تلجأ إلى رفعها مرتين، أقل - ثلاث مرات، وحتى أقل - عدد أكبرمرة واحدة. المعادلة غير المنطقية الأولى، التي توضح ما قيل، تحتوي على جذرين وحد آخر.

يتطلب حل المعادلة غير المنطقية التالية أيضًا إجراء أسيين متتاليين. إذا كنت لا تنسى عزل الجذور، فإن الأسيين يكفيان للتخلص من الجذور الثلاثة الموجودة في تدوينها.

إن طريقة رفع طرفي المعادلة غير المنطقية إلى نفس القوة تسمح للمرء بالتعامل مع المعادلات غير المنطقية التي يوجد فيها جذر آخر تحت الجذر. هنا هو الحل لمثال نموذجي.

أخيرًا، قبل الانتقال إلى تحليل الطرق التالية لحل المعادلات غير المنطقية، من الضروري ملاحظة حقيقة أن رفع طرفي المعادلة غير المنطقية إلى نفس القوة يمكن، نتيجة لمزيد من التحويلات، أن يعطي معادلة لها عدد لا نهائي من الحلول . يتم الحصول على معادلة لها عدد لا نهائي من الجذور، على سبيل المثال، عن طريق تربيع طرفي المعادلة غير المنطقية والتبسيط اللاحق لشكل المعادلة الناتجة. ومع ذلك، لأسباب واضحة، لا يمكننا إجراء فحص الاستبدال. وفي مثل هذه الحالات عليك إما اللجوء إلى طرق التحقق الأخرى التي سنتحدث عنها، أو التخلي عن طريقة رفع طرفي المعادلة لنفس القوة لصالح طريقة حل أخرى، على سبيل المثال، لصالح طريقة هذا يفترض.

لقد درسنا حلول المعادلات غير المنطقية الأكثر شيوعًا عن طريق رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة. إن المنهج العام المدروس يجعل من الممكن التعامل مع المعادلات غير المنطقية الأخرى، إذا كانت طريقة الحل هذه مناسبة لها على الإطلاق.

حل المعادلات غير المنطقية عن طريق إدخال متغير جديد

يخرج الطرق العامة لحل المعادلات. أنها تسمح لك بحل المعادلات أنواع مختلفة. على وجه الخصوص، يتم استخدام الطرق العامة لحل المعادلات غير المنطقية. في هذه الفقرة سننظر في إحدى الطرق الشائعة - طريقة إدخال متغير جديدأو بالأحرى استخدامه في حل المعادلات غير المنطقية. جوهر وتفاصيل الطريقة نفسها معروضة في المقالة، الرابط الذي يرد في الجملة السابقة. وسنركز هنا على الجانب العملي، أي أننا سنقوم بتحليل حلول المعادلات غير المنطقية القياسية عن طريق إدخال متغير جديد.

تم تخصيص الفقرات التالية من هذه المقالة لحل المعادلات غير المنطقية باستخدام طرق عامة أخرى.

أولا نعطي خوارزمية لحل المعادلات عن طريق إدخال متغير جديد. وسنقدم التوضيحات اللازمة بعد ذلك مباشرة. لذلك، الخوارزمية:

الآن للتوضيحات الموعودة.

تعتبر الخطوات الثانية والثالثة والرابعة للخوارزمية تقنية بحتة وليست صعبة في كثير من الأحيان. والفائدة الرئيسية هي الخطوة الأولى - إدخال متغير جديد. النقطة هنا هي أنه غالبًا ما يكون من غير الواضح كيفية إدخال متغير جديد، وفي كثير من الحالات يكون من الضروري إجراء بعض التحويلات للمعادلة حتى يكون التعبير g(x) مناسبًا للاستبدال بـ t إلى يظهر. بمعنى آخر، غالبًا ما يكون إدخال متغير جديد عملية إبداعية، وبالتالي عملية معقدة. سنحاول بعد ذلك أن نتطرق إلى الأمثلة الأساسية والنموذجية التي تشرح كيفية إدخال متغير جديد عند حل المعادلات غير المنطقية.

سنلتزم بتسلسل العرض التالي:

لذا، لنبدأ بأبسط حالات إدخال متغير جديد عند حل المعادلات غير المنطقية.

دعونا نحل المعادلة غير المنطقية ، والذي ذكرناه بالفعل كمثال أعلاه. من الواضح أنه في هذه الحالة يكون الاستبدال ممكنًا. سيقودنا إلى معادلة عقلانية، والتي، كما اتضح، لها جذرين، والتي، عند استبدالها بشكل عكسي، ستعطي مجموعة من معادلتين غير عقلانيتين بسيطتين، حلهما ليس صعبًا. وللمقارنة، سنعرض حلا بديلا من خلال إجراء التحويلات التي ستؤدي إلى أبسط معادلة غير منطقية.

في المعادلة غير المنطقية التالية، من الواضح أيضًا إمكانية إدخال متغير جديد. ولكن من اللافت للنظر أنه عند حلها لا يتعين علينا العودة إلى المتغير الأصلي. والحقيقة هي أن ما يتم الحصول عليه بعد المقدمة معادلة متغيرةليس لها حلول، مما يعني أن المعادلة الأصلية ليس لها حلول.

معادلة غير عقلانية ، مثل الحل السابق، يمكن حله بسهولة عن طريق إدخال متغير جديد. علاوة على ذلك، فهو، مثل الحل السابق، ليس له حلول. لكن عدم وجود الجذور يتم تحديده بوسائل أخرى: هنا المعادلة التي تم الحصول عليها بعد إدخال المتغير لها حل، لكن مجموعة المعادلات المكتوبة أثناء الاستبدال العكسي ليس لها حل، وبالتالي فإن المعادلة الأصلية ليس لها حل أيضاً. دعونا نحلل حل هذه المعادلة.

دعونا نكمل سلسلة الأمثلة التي يكون فيها الاستبدال واضحًا، بمعادلة غير منطقية تبدو معقدة تحتوي على جذر تحت الجذر في الترميز. إدخال متغير جديد غالبا ما يجعل بنية المعادلة أكثر وضوحا، وهذا ينطبق بشكل خاص على هذا المثال. في الواقع، إذا قبلنا ، ثم يتم تحويل المعادلة غير المنطقية الأصلية إلى معادلة غير منطقية أبسط والتي يمكن حلها، على سبيل المثال، عن طريق تربيع طرفي المعادلة. نقدم الحل عن طريق إدخال متغير جديد، وللمقارنة سنعرض أيضا الحل عن طريق تربيع طرفي المعادلة.

تحتوي سجلات جميع الأمثلة السابقة على عدة تعبيرات متطابقة، والتي اتخذناها كمتغير جديد. كان كل شيء بسيطًا وواضحًا: نرى تعبيرات متطابقة مناسبة ونقوم بدلاً من ذلك بإدخال متغير جديد، والذي يعطي معادلة أبسط بمتغير جديد. سننتقل الآن إلى أبعد من ذلك بقليل - سنكتشف كيفية حل المعادلات غير المنطقية التي لا يكون فيها التعبير المناسب للاستبدال واضحًا جدًا، ولكنه يمكن رؤيته بسهولة تامة ويتم تمييزه بوضوح باستخدام تحويلات بسيطة.

دعونا نفكر في التقنيات الأساسية التي تسمح لك بتحديد تعبير مناسب بشكل صريح لإدخال متغير جديد. الأول هو هذا. دعونا نوضح ما قيل.

ومن الواضح، في المعادلة غير العقلانية من أجل إدخال متغير جديد، يكفي أن تأخذ x 2 +x=t. هل من الممكن أيضًا إدخال متغير جديد في المعادلة؟ ؟ وهذا الاحتمال ظاهر، لأنه ظاهر ذلك . تتيح لنا المساواة الأخيرة إجراء تحويل مكافئ للمعادلة، والذي يتمثل في استبدال التعبير بتعبير متساوٍ تمامًا لا يغير ODZ، مما يجعل من الممكن الانتقال من المعادلة الأصلية إلى معادلة مكافئة وتقرر ذلك بالفعل. دعونا نعرض الحل الكامل للمعادلة غير المنطقية وذلك من خلال إدخال متغير جديد.

ما الذي يسمح لنا، إلى جانب وضع العامل المشترك بين قوسين، أن نحدد بوضوح في معادلة غير منطقية تعبيرًا مناسبًا لإدخال متغير جديد؟ في بعض الحالات، يكون هذا و . دعونا نلقي نظرة على الأمثلة النموذجية.

كيف يمكننا إدخال متغير جديد عند حل معادلة غير منطقية؟ ؟ بالطبع سوف نقبل. ماذا لو كانت المهمة هي حل معادلة غير منطقية هل من الممكن إدخال متغير جديد مثل ؟ صراحة - غير مرئية، ولكن مثل هذا الاحتمال مرئي، لأنه في ODZ للمتغير x لهذه المعادلة، بسبب تعريف الجذر وخصائص الجذور، تكون المساواة صالحة، مما يسمح لنا بالذهاب إلى معادلة مكافئة .

دعونا نسمح لأنفسنا بتعميم بسيط بناءً على المثال السابق. في الحالات التي يكون فيها مؤشر جذر واحد مضاعفًا لمؤشر جذر آخر (k·n وk)، عادةً ما يلجأون إلى المساواة وإدخال متغير جديد باسم . وهكذا تابعنا حل المعادلة . سنتحدث بعد ذلك قليلاً عن كيفية حل المعادلات غير المنطقية ذات الأسس الجذرية غير المتساوية وغير المتعددة.

من المفيد أن نتناول بإيجاز إدخال متغير جديد في المعادلات غير المنطقية التي تحتوي على جذر، بالإضافة إلى تعبير جذري و/أو درجة ما منه. في هذه الحالات، من الواضح أنه يجب اعتبار الجذر هو المتغير الجديد. على سبيل المثال، عند حل المعادلة سوف نقبل ، من خلال تعريف الجذر، من شأنه أن يحول المعادلة الأصلية إلى النموذج وبعد إدخال متغير جديد سنصل إلى المعادلة التربيعية 2·t 2 +3·t−2=0.

في الحالات الأكثر تعقيدًا قليلًا، قد تكون هناك حاجة إلى تحويل إضافي آخر للمعادلة لعزل التعبير الذي يتطابق مع الجذر. دعونا نشرح هذا. كيف يمكننا إدخال متغير جديد في المعادلة ؟ من الواضح أن التعبير x 2 +5 يتطابق مع التعبير الجذري، وبالتالي، وفقًا للمعلومات الواردة في الفقرة السابقة، وبناءً على تعريف الجذر، ننتقل إلى المعادلة المكافئة وسيقدم متغيرًا جديدًا كـ . كيف يمكننا إدخال متغير جديد إذا لم نكن نتعامل مع المعادلة ومع المعادلة ؟ نعم ايضا. إنه أولًا علينا تمثيل x 2 +1 كـ x 2 +5−4 من أجل إبراز التعبير الجذري x 2 +5 بشكل صريح. وهذا يعني أننا سنفعل ذلك من المعادلة غير المنطقية مرت إلى المعادلة المكافئة ، ثم إلى المعادلة ، وبعد ذلك يمكننا بسهولة إدخال متغير جديد.

في مثل هذه الحالات، هناك نهج آخر أكثر عالمية لإدخال متغير جديد: خذ الجذر كمتغير جديد، وعلى أساس هذه المساواة، قم بالتعبير عن المتغيرات القديمة المتبقية من خلال المتغير الجديد. للمعادلة سنقبل، من هذه المساواة سنعبر عن x 2 إلى t كـ t 2 −5 (، , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), حيث x 2 +1=t 2 −4 . هذا يسمح لنا بالانتقال إلى معادلة بمتغير جديد t 2 −4+3·t=0. لممارسة مهاراتنا، سوف نقوم بحل معادلة غير عقلانية نموذجية.

إن إدخال متغير جديد في مثل هذه الأمثلة يمكن أن يؤدي إلى ظهور تعبيرات تحت إشارات الجذور التي هي عبارة عن مربعات كاملة. على سبيل المثال، إذا أخذنا معادلة غير منطقية، فسيؤدي ذلك إلى معادلة حيث التعبير الجذري الأول هو مربع ذات الحدين الخطيين t−2، والتعبير الجذري الثاني هو مربع ذات الحدين الخطيين t−3. ومن الأفضل الانتقال من هذه المعادلات إلى المعادلات ذات الوحدات: , , . ويرجع ذلك إلى أن مثل هذه المعادلات يمكن أن يكون لها عدد لا نهائي من الجذور، في حين أن حلها عن طريق تربيع طرفي المعادلة لن يسمح بالاختبار عن طريق الاستبدال، والحل عن طريق تحديد الجذر سيؤدي إلى ضرورة حل متباينة غير عقلانية . سنعرض الحل لمثل هذا المثال أدناه في قسم الانتقال من معادلة غير عقلانية إلى معادلة ذات معامل.

متى لا يزال من السهل رؤية إمكانية إدخال متغير جديد؟ عندما تحتوي المعادلة على كسور "مقلوبة" و (بعد إذنك، سنسميها معكوسة بشكل متبادل قياسًا على ). كيف يمكننا حل معادلة عقلانية بها كسور كهذه؟ سنأخذ أحد هذه الكسور كمتغير جديد t، بينما سيتم التعبير عن الكسر الآخر من خلال المتغير الجديد بـ 1/t. في المعادلات غير المنطقية، فإن إدخال متغير جديد بهذه الطريقة ليس عمليا تماما، لأنه من أجل التخلص من الجذور، على الأرجح، سيتعين عليك إدخال متغير آخر. من الأفضل قبولها على أنها جديدة على الفور جذر متغيرمن الكسر. حسنًا، قم بتحويل المعادلة الأصلية باستخدام إحدى المعادلتين و ، مما سيسمح لك بالانتقال إلى معادلة بمتغير جديد. لنلقي نظرة على مثال.

لا تنس خيارات الاستبدال المعروفة بالفعل. على سبيل المثال، قد يظهر التعبير x+1/x و x 2 +1/x 2 في تسجيل معادلة غير منطقية، مما يجعل المرء يفكر في إمكانية إدخال متغير جديد x+1/x=t. هذا الفكر لا ينشأ بالصدفة، لأننا فعلنا ذلك بالفعل عندما قررنا ذلك المعادلات المتبادلة. يجب أن نأخذ هذه الطريقة لإدخال متغير جديد، مثل الطرق الأخرى المعروفة لنا، في الاعتبار عند حل المعادلات غير المنطقية، وكذلك المعادلات من الأنواع الأخرى.

ننتقل إلى معادلات غير عقلانية أكثر تعقيدًا، حيث يصعب تمييز تعبير مناسب لإدخال متغير جديد. ودعنا نبدأ بالمعادلات التي تكون فيها التعبيرات الجذرية متماثلة، ولكن على عكس الحالة التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن الأس الأكبر لجذر واحد لا يتم قسمته بالكامل على الأس الأصغر للجذر الآخر. دعونا نتعرف على كيفية اختيار التعبير المناسب لإدخال متغير جديد في مثل هذه الحالات.

عندما تكون التعبيرات الجذرية هي نفسها، والأس الأكبر لجذر واحد k 1 لا يتم قسمته بالكامل على الأس الأصغر للجذر الآخر k 2 ، يمكن اعتبار جذر الدرجة LCM (k 1 ، k 2) بمثابة متغير جديد، حيث LCM هو . على سبيل المثال، في معادلة غير منطقية الجذور تساوي 2 و3، ثلاثة ليس من مضاعفات الاثنين، LCM(3, 2)=6، لذلك يمكن إدخال متغير جديد كـ . علاوة على ذلك، فإن تعريف الجذر، وكذلك خصائص الجذور، يسمح لك بتحويل المعادلة الأصلية من أجل تحديد التعبير بشكل صريح ثم استبداله بمتغير جديد. نقدم حلا كاملا ومفصلا لهذه المعادلة.

وباستخدام مبادئ مماثلة، يتم تقديم متغير جديد في الحالات التي تختلف فيها التعبيرات الموجودة تحت الجذور في الدرجات. على سبيل المثال، إذا كان المتغير موجودًا في معادلة غير منطقية فقط تحت الجذور، وكانت الجذور نفسها لها الشكل و، فيجب عليك حساب المضاعف المشترك الأصغر للجذور LCM(3, 4) = 12 وخذ . علاوة على ذلك، وفقا لخصائص الجذور والقوى، يجب أن تتحول الجذور كما و وفقًا لذلك، مما سيسمح لك بإدخال متغير جديد.

يمكنك التصرف بطريقة مماثلة في المعادلات غير المنطقية، حيث يوجد تحت الجذور ذات الأسس المختلفة كسور عكسية متبادلة و . أي أنه من المستحسن أخذ جذر بمؤشر يساوي LCM للمؤشرات الجذرية كمتغير جديد. حسنًا، ننتقل بعد ذلك إلى المعادلة ذات المتغير الجديد، وهو ما يتيح لنا إجراء عمليات التساوي و ، تعريف الجذر، وكذلك خصائص الجذور والقوى. لنلقي نظرة على مثال.

الآن دعونا نتحدث عن المعادلات التي لا يمكن الشك فيها إلا في إمكانية إدخال متغير جديد، والتي، في حالة نجاحها، لا تفتح إلا بعد تحولات خطيرة للغاية. على سبيل المثال، فقط بعد سلسلة من التحولات غير الواضحة، يتم إحضار معادلة غير منطقية إلى النموذج، مما يفتح الطريق للاستبدال . دعونا نعطي الحل لهذا المثال.

أخيرًا، دعونا نضيف القليل من الغرابة. في بعض الأحيان يمكن حل المعادلة غير المنطقية بإدخال أكثر من متغير واحد. تم اقتراح هذا النهج لحل المعادلات في الكتاب المدرسي. هناك لحل المعادلة غير المنطقية يقترح إدخال متغيرين . يقدم الكتاب المدرسي حلا قصيرا، دعونا نستعيد التفاصيل.

حل المعادلات غير المنطقية باستخدام طريقة التحليل

بالإضافة إلى طريقة إدخال متغير جديد، يتم استخدام طرق عامة أخرى لحل المعادلات غير النسبية، على وجه الخصوص، طريقة التخصيم. المقال الموجود على الرابط المشار إليه في الجملة السابقة يناقش بالتفصيل متى يتم استخدام طريقة التحليل وما هو جوهرها وعلى ماذا تعتمد. نحن هنا مهتمون أكثر ليس بالطريقة نفسها، ولكن باستخدامها في حل المعادلات غير المنطقية. لذلك، سنقدم المادة على النحو التالي: سنذكر بإيجاز الأحكام الرئيسية للطريقة، وبعد ذلك سنحلل بالتفصيل حلول المعادلات غير العقلانية المميزة باستخدام طريقة التحليل.

تستخدم طريقة التحليل لحل المعادلات التي يوجد فيها حاصل الضرب في الطرف الأيسر والأصفار في الطرف الأيمن، أي لحل المعادلات من الصورة و 1 (س) و 2 (س) و ن (س)=0، حيث f 1، f 2، …، f n هي بعض الوظائف. جوهر الطريقة هو استبدال المعادلة و 1 (س) و 2 (س) و ن (س)=0على المتغير x للمعادلة الأصلية.

الجزء الأول من الجملة الأخيرة حول الانتقال إلى الكلية يتبع من المعروف مدرسة إبتدائيةحقيقة: حاصل ضرب عدة أرقام يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد الأرقام على الأقل يساوي الصفر. يفسر وجود الجزء الثاني حول ODZ بحقيقة الانتقال من المعادلة و 1 (س) و 2 (س) و ن (س)=0لمجموعة من المعادلات f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0قد تكون غير متكافئة وتؤدي إلى ظهور جذور دخيلة، والتي في هذه الحالة يمكن القضاء عليها من خلال مراعاة ODZ. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن إجراء فحص الجذور الدخيلة، إذا كان ذلك مناسبًا، ليس فقط من خلال ODZ، ولكن أيضًا بطرق أخرى، على سبيل المثال، عن طريق التحقق عن طريق استبدال الجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

إذن لحل المعادلة و 1 (س) و 2 (س) و ن (س)=0باستخدام طريقة التخصيم، بما في ذلك غير العقلاني، فمن الضروري

• انتقل إلى مجموعة المعادلات f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• حل المجموعة المكونة
• إذا لم يكن لمجموعة الحلول، فاستنتج أن المعادلة الأصلية ليس لها جذور. إذا كانت هناك جذور، تخلص من الجذور الدخيلة.

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي.

الجوانب اليسرى من المعادلات غير المنطقية النموذجية، والتي يتم حلها عن طريق التحليل، هي منتجات العديد من التعبيرات الجبرية، وعادة ما تكون ذات الحدين الخطية و ثلاثية الحدود مربعة، وعدة جذور تحتها تعبيرات جبرية. هناك أصفار على الجانب الأيمن. تعتبر هذه المعادلات مثالية لاكتساب المهارات الأولية في حلها. سنبدأ بحل معادلة مماثلة. ومن خلال ذلك سنحاول تحقيق هدفين:

• النظر في جميع خطوات خوارزمية طريقة التحليل عند حل معادلة غير عقلانية،
• تذكر الطرق الثلاث الرئيسية لغربلة الجذور الدخيلة (بواسطة ODZ، وشروط ODZ، واستبدال الحلول مباشرة في المعادلة الأصلية).

تعتبر المعادلة غير المنطقية التالية نموذجية بمعنى أنه عند حلها باستخدام طريقة التحليل، يكون من المناسب تصفية الجذور الدخيلة وفقًا لشروط ODZ، وليس وفقًا لـ ODZ في شكل مجموعة رقمية، حيث فمن الصعب الحصول على ODZ في شكل عامل عددي. تكمن الصعوبة في أن أحد الشروط التي تحدد DL هو عدم المساواة غير العقلانية . هذا النهج في غربلة الجذور الدخيلة يجعل من الممكن الاستغناء عن حلها، علاوة على ذلك، في بعض الأحيان في الدورة المدرسية لا يتم تدريس علماء الرياضيات على الإطلاق حول حل عدم المساواة غير العقلانية.

من الجيد أن تحتوي المعادلة على حاصل الضرب في الطرف الأيسر وصفر في الطرف الأيمن. في هذه الحالة، يمكنك الانتقال فورًا إلى مجموعة المعادلات وحلها والعثور على الجذور الدخيلة على المعادلة الأصلية والتخلص منها، مما سيعطي الحل المطلوب. ولكن في كثير من الأحيان يكون للمعادلات شكل مختلف. إذا كانت هناك فرصة في نفس الوقت لتحويلها إلى شكل مناسب لتطبيق طريقة التحليل، فلماذا لا نحاول إجراء التحولات المناسبة. على سبيل المثال، للحصول على المنتج على الجانب الأيسر من المعادلة غير المنطقية التالية، يكفي اللجوء إلى فرق المربعات.

هناك فئة أخرى من المعادلات التي يتم حلها عادة عن طريق التحليل. ويتضمن معادلات يكون طرفاها عبارة عن منتجات لها نفس العامل على شكل تعبير بمتغير. هذه، على سبيل المثال، المعادلة غير المنطقية . يمكنك المضي بقسمة طرفي المعادلة على نفس العامل، لكن يجب ألا تنسى التحقق بشكل منفصل من القيم التي تجعل هذه التعبيرات تختفي، وإلا فقد تفقد الحلول، لأن قسمة طرفي المعادلة على نفس التعبير قد يكون تحولا غير متكافئ. يعد استخدام طريقة التحليل أكثر موثوقية، مما يجعل من الممكن ضمان عدم فقدان الجذور أثناء الحل الصحيح الإضافي. من الواضح أنه للقيام بذلك، عليك أولاً الحصول على حاصل الضرب على الجانب الأيسر من المعادلة، والصفر على الجانب الأيمن. الأمر سهل: ما عليك سوى تحريك التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار، وتغيير علامته، وإخراج العامل المشترك من الأقواس. دعونا نعرض الحل الكامل لمعادلة غير منطقية مشابهة ولكنها أكثر تعقيدًا.

من المفيد البدء في حل أي معادلة (كما هو الحال في الواقع، حل العديد من المشكلات الأخرى) من خلال إيجاد ODZ، خاصة إذا كان من السهل العثور على ODZ. دعونا نقدم بعض الحجج الأكثر وضوحا لصالح هذا.

لذا، بعد أن تلقيت مهمة حل المعادلة، لا ينبغي عليك التسرع في التحويلات والحسابات دون النظر إلى الوراء، ربما مجرد إلقاء نظرة على ODZ؟ ويتجلى ذلك بوضوح من خلال المعادلة غير المنطقية التالية.

طريقة الرسم الوظيفية

طريقة الرسم الوظيفية- وهذا واحد آخر الطريقة العامةحل المعادلات. مثل أي طريقة عامة، فهي تسمح لك بحل المعادلات من مختلف الأنواع، على وجه الخصوص، يمكن استخدامها لحل المعادلات غير المنطقية. إن تطبيق طريقة الرسم الوظيفي هو الذي يهمنا أكثر في إطار المقالة الحالية.

تتضمن الطريقة الرسومية الوظيفية الوظائف وخصائصها ورسومها البيانية في عملية حل المعادلات. هذه أداة قوية جدًا. ومثل أي أداة قوية، عادة ما يتم اللجوء إليها عندما تكون الأدوات الأبسط عاجزة.

هناك ثلاثة اتجاهات رئيسية للطريقة الرسومية الوظيفية لحل المعادلات:

• الأول هو استخدام الرسوم البيانية الوظيفية. ويسمى هذا الاتجاه الطريقة الرسومية.
• والثاني هو استخدام خصائص الدوال المتزايدة والتناقصية.
• والثالث هو استخدام خصائص الوظائف المحدودة. ربما في ظل طريقة التقييم، والتي في مؤخراعن طريق الأذن، يفهمون بالضبط هذا الاتجاه من طريقة الرسم الوظيفي.

هذه الاتجاهات الثلاثة تجعل من الممكن التعامل مع الغالبية العظمى من المعادلات غير المنطقية، والتي تكون الطريقة الرسومية الوظيفية مناسبة لها بشكل عام. في التسلسل المحدد - استخدام الرسوم البيانية، واستخدام التزايد والتناقص، واستخدام خصائص الوظائف المحدودة - سنقوم بتحليل الحلول للأمثلة الأكثر نموذجية.

طريقة رسومية

لذا، لنبدأ بالطريقة الرسومية لحل المعادلات غير المنطقية.

وفقًا للطريقة الرسومية التي تحتاجها:

• أولاً، في نظام إحداثي واحد، قم بإنشاء رسوم بيانية للدالتين f وg المقابلة للجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة التي يتم حلها،
• ثانيًا، بناءً على موقعهم النسبي، استخلص استنتاجات حول جذور المعادلة:
  • إذا كانت الرسوم البيانية للدوال لا تتقاطع، فإن المعادلة ليس لها حلول،
  • إذا كانت الرسوم البيانية للدوال تحتوي على نقاط تقاطع، فإن جذور المعادلة هي حدود هذه النقاط.

حل المعادلات غير المنطقية من خلال ODZ

في كثير من الأحيان يكون هذا جزءًا من عملية حل المعادلات. يمكن أن تكون الأسباب التي تجبرك على البحث عن DL مختلفة: من الضروري إجراء تحويلات للمعادلة، وكما هو معروف، يتم تنفيذها على DL، تتضمن طريقة الحل المختارة إيجاد DL، والتحقق باستخدام DL ، إلخ. وفي بعض الحالات، لا يعمل ODZ كأداة مساعدة أو تحكم فحسب، بل يسمح أيضًا بالحصول على حل للمعادلة. نعني هنا حالتين: عندما تكون ODZ مجموعة فارغة وعندما تكون ODZ مجموعة محدودة من الأرقام.

من الواضح أنه إذا كانت ODZ للمعادلة، وخاصة المعادلة غير النسبية، عبارة عن مجموعة فارغة، فإن المعادلة ليس لها حلول. لذا فإن ODZ للمتغير x للمعادلة غير المنطقية التالية هي مجموعة فارغة، مما يعني أن المعادلة ليس لها حلول.

عندما يكون ODZ لمتغير في المعادلة عبارة عن مجموعة محدودة من الأرقام، فمن خلال التحقق التسلسلي عن طريق استبدال هذه الأرقام، يمكن للمرء الحصول على حل للمعادلة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك معادلة غير منطقية يتكون فيها ODZ من رقمين، ويظهر الاستبدال أن أحدهما فقط هو جذر المعادلة، ومن هنا نستنتج أن هذا الجذر هو الحل الوحيد للمعادلة.

حل المعادلات غير المنطقية على صيغة "الكسر يساوي صفر"

أي معادلة الصيغة "الكسر يساوي صفر"، على وجه الخصوص، غير عقلاني، على ODZ للمتغير x لهذه المعادلة يعادل المعادلة f(x)=0. من هذا البيان يتبع طريقتان لحل المعادلات من هذا النوع:

من الواضح أنه من الأفضل اللجوء إلى النهج الأول لحل المعادلة عندما يكون العثور على ODZ أسهل من حل المعادلة f(x)=0. في هذه الحالة، قد تكون ODZ مجموعة فارغة أو تتكون من عدة أرقام، في هذه الحالات سيكون من الممكن الاستغناء عن حل المعادلة f(x) = 0 (انظر). دعونا نحل معادلة غير عقلانية نموذجية.

يُفضل استخدام الطريقة الثانية لحل المعادلة عندما يكون حل المعادلة f(x) = 0 أمرًا سهلاً للغاية. بعد حل المعادلة f(x)=0، كل ما تبقى هو التحقق من الجذور التي تم العثور عليها، والتي يتم إجراؤها عادةً بإحدى الطرق التالية:

• من خلال التعويض في مقام المعادلة الأصلية، فإن الجذور الموجودة التي تحول المقام إلى صفر أو إلى تعبير لا معنى له ليست جذور، والجذور الموجودة التي تحول المقام إلى رقم غير الصفر هي جذور المعادلة الأصلية .
• مباشرة من ODZ (عندما يتم العثور على ODZ بسهولة تامة، في حين أن الطريقتين الأولى والثانية لحل المعادلات غير المنطقية من الشكل "الكسر يساوي الصفر" متكافئتان عمليًا)، فإن الجذور الموجودة التي تنتمي إلى ODZ هي جذور المعادلة الأصلية، وأولئك الذين لا ينتمون ليسوا كذلك.
• أو من خلال شروط ODZ (غالبًا ما يكون من السهل تدوين الشروط التي تحدد ODZ، ولكن من الصعب استخدامها للعثور على ODZ في شكل مجموعة رقمية)، تلك الجذور الموجودة التي تلبي جميع الشروط من ODZ هي جذور المعادلة الأصلية، والباقي ليس كذلك.

المعادلات غير العقلانية تختزل إلى المساواة العددية

انتقل إلى الوحدات

إذا كان في تدوين معادلة غير منطقية تحت علامة جذر الدرجة الزوجية هناك درجة من بعض التعبيرات ذات أس يساوي أس الجذر، فيمكنك الانتقال إلى المعامل. يحدث هذا التحويل بسبب إحدى الصيغ، حيث 2·m هو عدد زوجي، وa هو أي رقم حقيقي. ومن الجدير بالذكر أن هذا التحويل هو تحويل مكافئ للمعادلة. في الواقع، مع مثل هذا التحول، يتم استبدال الجذر بوحدة متساوية مماثلة، في حين لا يتغير ODZ.

دعونا ننظر في معادلة غير عقلانية مميزة، والتي يمكن حلها عن طريق المرور إلى المعامل.

هل يستحق دائمًا التبديل إلى الوحدات عندما يكون ذلك ممكنًا؟ وفي الغالبية العظمى من الحالات، يكون هذا التحول له ما يبرره. الاستثناء هو الحالات التي يكون فيها ذلك واضحًا طرق بديلةيتطلب حل معادلة غير عقلانية عملاً أقل نسبيًا. لنأخذ معادلة غير منطقية يمكن حلها من خلال الانتقال إلى الوحدات وبعض الطرق الأخرى، على سبيل المثال، عن طريق تربيع طرفي المعادلة أو عن طريق تحديد الجذر، ونرى أي حل سيكون الأبسط والأكثر إحكاما.

في المثال الذي تم حله، يبدو الحل لتحديد الجذر هو الأفضل: فهو أقصر وأبسط من الحل من خلال الانتقال إلى الوحدة، والحل عن طريق تربيع طرفي المعادلة. هل كان بإمكاننا معرفة ذلك قبل حل المعادلة باستخدام الطرق الثلاث؟ دعونا نواجه الأمر، لم يكن الأمر واضحا. لذا، عندما تنظر إلى عدة طرق للحل ولا يكون من الواضح على الفور أي منها تفضل، يجب أن تحاول الحصول على حل باستخدام أي منها. إذا نجح هذا، فهذا جيد. إذا لم تؤد الطريقة المختارة إلى نتائج أو تبين أن الحل صعب للغاية، فعليك تجربة طريقة أخرى.

في نهاية هذه النقطة، دعونا نعود إلى المعادلة غير المنطقية. لقد سبق أن حللناها في الفقرة السابقة ورأينا أن محاولة حلها من خلال عزل الجذر وتربيع طرفي المعادلة أدت إلى المساواة العددية 0=0 واستحالة استخلاص نتيجة حول الجذور. وكان حل تحديد الجذر يتضمن حل متباينة غير نسبية، وهو أمر صعب في حد ذاته. طريقة جيدةالحل لهذه المعادلة غير العقلانية هو الذهاب إلى الوحدات. دعونا نعطي حلا مفصلا.

تحويل المعادلات غير المنطقية

لا يكتمل حل المعادلات غير المنطقية أبدًا دون تحويلها. بحلول الوقت الذي ندرس فيه المعادلات غير المنطقية، نكون قد أصبحنا على دراية بالتحويلات المكافئة للمعادلات. عند حل المعادلات غير المنطقية، يتم استخدامها بنفس الطريقة المستخدمة عند حل أنواع المعادلات التي تمت دراستها مسبقًا. لقد رأيت أمثلة على مثل هذه التحولات في المعادلات غير العقلانية في الفقرات السابقة، وكما ترى، فقد تم إدراكها بشكل طبيعي تمامًا، لأنها مألوفة لنا. أعلاه، تعلمنا أيضًا عن تحويل جديد بالنسبة لنا - رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة، وهو أمر نموذجي بالنسبة للمعادلات غير المنطقية؛ وفي الحالة العامة، فهو غير متكافئ. يجدر الحديث عن كل هذه التحولات بالتفصيل من أجل معرفة كل النقاط الدقيقة التي تنشأ أثناء تنفيذها وتجنب الأخطاء.

سنقوم بتحليل تحويلات المعادلات غير المنطقية بالتسلسل التالي:

1. استبدال التعبيرات بتعبيرات متساوية مماثلة لا تغير ODZ.
2. إضافة نفس الرقم إلى طرفي المعادلة أو طرح نفس الرقم من طرفي المعادلة.
3. إضافة نفس التعبير، الذي لا يغير قيمة الخاصية، إلى طرفي المعادلة، أو طرح نفس التعبير، الذي لا يغير قيمة الخاصية، من طرفي المعادلة.
4. نقل الحدود من طرف المعادلة إلى آخر بإشارة معاكسة.
5. ضرب وقسمة طرفي المعادلة على نفس العدد غير الصفر.
6. ضرب وقسمة طرفي المعادلة بنفس التعبير، مما لا يغير مدى القيم المسموح بها للمتغير ولا يتحول إلى الصفر عليه.
7. رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة.

لذلك، تم تحديد نطاق الأسئلة. لنبدأ بفهمهم بالأمثلة.

التحويل الأول الذي يهمنا هو استبدال التعبيرات في المعادلة بتعبيرات متساوية متطابقة. نحن نعلم أنه مكافئ إذا كانت VA للمعادلة التي تم الحصول عليها نتيجة للتحويل هي نفس VA للمعادلة الأصلية. ومن هذا يتضح أن هناك سببين رئيسيين لحدوث الأخطاء عند إجراء هذا التحويل: الأول هو التغيير في OD الذي يحدث نتيجة التحويل، والثاني هو استبدال تعبير بتعبير وهذا ليس مساويا له. دعونا نتفحص هذه الجوانب بالتفصيل وبالترتيب، مع الأخذ في الاعتبار أمثلة التحولات النموذجية من هذا النوع.

أولاً، دعنا نتناول التحويلات النموذجية للمعادلات، والتي تتكون من استبدال تعبير بتعبير متساوٍ تمامًا، والذي يكون دائمًا متكافئًا. هنا القائمة ذات الصلة.

• إعادة ترتيب المصطلحات والعوامل. يمكن إجراء هذا التحويل على كلا الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة غير المنطقية. يمكن استخدامها، على سبيل المثال، لتجميع الحدود المتشابهة ثم تقليلها من أجل تبسيط شكل المعادلة. من الواضح أن إعادة ترتيب الحدود أو العوامل هو تحويل مكافئ للمعادلة. هذا أمر مفهوم: التعبير الأصلي والتعبير مع المصطلحات أو العوامل المعاد ترتيبها متساويان تمامًا (إذا تم تنفيذ إعادة الترتيب بشكل صحيح بالطبع)، ومن الواضح أن مثل هذا التحول لا يغير ODZ. دعونا نعطي مثالا. على الجانب الأيسر من المعادلة غير المنطقية في المنتج x·3·x، يمكنك تبديل العاملين الأول والثاني x و3، مما سيسمح لك لاحقًا بتمثيل كثير الحدود تحت علامة الجذر في شكل قياسي. وعلى الجانب الأيمن من المعادلة في المجموع 4+x+5، يمكنك تبديل الحدين 4 وx، مما سيسمح لك في المستقبل بإضافة الرقمين 4 و5. بعد عمليات إعادة الترتيب هذه، ستأخذ المعادلة غير النسبية الشكل، والمعادلة الناتجة تعادل المعادلة الأصلية.
• توسيع الأقواس. إن معادلة تحويل المعادلات هذا واضح: التعبيرات قبل وبعد فتح الأقواس متساوية تمامًا ولها نفس نطاق القيم المسموح بها. على سبيل المثال، لنأخذ المعادلة غير المنطقية . يتطلب حله فتح القوسين. وبفتح القوسين على الجانب الأيسر من المعادلة، وكذلك على الجانب الأيمن من المعادلة، نصل إلى معادلة مكافئة.
• تجميع المصطلحات و/أو العوامل. يمثل تحويل المعادلة هذا بشكل أساسي استبدال أي تعبير يمثل جزءًا من المعادلة بتعبير متساوٍ تمامًا بشروط أو عوامل مجمعة. من الواضح أن هذا لا يغير ODZ. وهذا يعني أن التحويل المشار إليه للمعادلة مكافئ. للتوضيح، لنأخذ معادلة غير عقلانية. إن إعادة ترتيب المصطلحات (تحدثنا عنها في فقرتين أعلاه) وتجميع المصطلحات يسمح لنا بالانتقال إلى معادلة مكافئة. إن الغرض من هذه المجموعة من المصطلحات واضح للعيان - وهو إجراء التحويل المكافئ التالي، والذي سيسمح بإدخال متغير جديد.
• حصر العامل المشترك بين قوسين. من الواضح أن التعبيرين قبل إخراج العامل المشترك بين القوسين وبعد إخراج العامل المشترك بين القوسين متساويان. ومن الواضح أيضًا أن وضع العامل المشترك بين قوسين لا يغير قيمة VA. ومن ثم، فإن إخراج العامل المشترك من الأقواس في التعبير الذي يعد جزءًا من المعادلة يعد تحويلًا مكافئًا للمعادلة. يستخدم هذا التحويل، على سبيل المثال، لتمثيل الجانب الأيسر من المعادلة كحاصل الضرب من أجل حلها عن طريق التحليل. هنا مثال محدد. النظر في المعادلة غير المنطقية. الجهه اليسرىيمكن تمثيل هذه المعادلة كحاصل ضرب؛ للقيام بذلك، عليك إخراج العامل المشترك من الأقواس. ونتيجة لهذا التحول، سيتم الحصول على المعادلة غير المنطقية ، أي ما يعادل الأصلي، والتي يمكن حلها عن طريق التحليل.
• استبدال التعبيرات الرقمية بقيمها. من الواضح أنه إذا كانت المعادلة تحتوي على تعبير عددي معين، وقمنا باستبدال هذا التعبير العددي بقيمته (محسوبة بشكل صحيح)، فإن هذا الاستبدال سيكون مكافئًا. في الواقع، يتم استبدال التعبير بشكل أساسي بتعبير متساوٍ تمامًا، وفي نفس الوقت لا يتغير ODZ للمعادلة. وبالتالي، استبدال في المعادلة غير المنطقية مجموع الرقمين −3 و 1 وقيمة هذا المجموع، الذي يساوي −2، نحصل على معادلة غير منطقية مكافئة. وبالمثل، يمكن إجراء تحويل مكافئ للمعادلة غير المنطقية إجراء العمليات على الأرقام تحت علامة الجذر (1+2=3 و )، وهذا التحويل سوف يقودنا إلى المعادلة المكافئة .
• إجراء العمليات مع وحيدات الحد ومتعددات الحدود الموجودة في تدوين المعادلة غير المنطقية. فمن الواضح أن التنفيذ الصحيحستؤدي هذه الإجراءات إلى معادلة مكافئة. في الواقع، في هذه الحالة سيتم استبدال التعبير بتعبير متساوٍ تمامًا ولن يتغير OD. على سبيل المثال، في المعادلة غير المنطقية يمكنك إضافة وحيدات الحد x 2 و 3 x 2 والانتقال إلى المعادلة المكافئة . مثال آخر: طرح كثيرات الحدود من الطرف الأيسر لمعادلة غير منطقية هو تحويل مكافئ يؤدي إلى معادلة مكافئة .

نواصل النظر في تحويلات المعادلات، والتي تتمثل في استبدال التعبيرات بتعبيرات متساوية تمامًا. قد تكون هذه التحولات أيضا غير متكافئة، لأنها يمكن أن تغير ODZ. على وجه الخصوص، قد يكون هناك توسع في ODZ. يمكن أن يحدث هذا عند تقليل المصطلحات المشابهة، عند تقليل الكسور، عند استبدال منتج بعدة عوامل صفرية أو جزء ببسط يساوي صفر على صفر، وفي أغلب الأحيان عند استخدام الصيغ المقابلة لخصائص الجذور. بالمناسبة، يمكن أن يؤدي الاستخدام المهمل لخصائص الجذور أيضًا إلى تضييق منطقة ODZ. وإذا كانت التحولات التي توسع ODZ مقبولة عند حل المعادلات (يمكن أن تسبب ظهور جذور غريبة، والتي يتم التخلص منها بطريقة معينة)، فيجب التخلي عن التحولات التي تضيق ODZ، لأنها يمكن أن تسبب فقدان الجذور. دعونا نتناول هذه النقاط.

المعادلة غير المنطقية الأولى هي . يبدأ حلها بتحويل المعادلة إلى النموذج بناء على إحدى خصائص الدرجات. هذا التحويل مكافئ، حيث يتم استبدال التعبير بتعبير متساوٍ بشكل مماثل، ولا يتغير ODZ. لكن الانتقال التالي إلى المعادلة، والذي يتم على أساس تعريف الجذر، قد يكون بالفعل تحويلاً غير متكافئ للمعادلة، لأنه مع هذا التحول يتم توسيع ODZ. دعونا نوضح الحل الكامل لهذه المعادلة.

المعادلة غير المنطقية الثانية، مناسبة تمامًا لتوضيح أن تحويلات المعادلات غير المنطقية باستخدام خصائص الجذور وتعريف الجذر يمكن أن تكون غير متساوية، هي من الشكل . من الجيد ألا تسمح لنفسك ببدء الحل بهذه الطريقة

أو هكذا

لنبدأ بالحالة الأولى. التحول الأول هو الانتقال من المعادلة غير العقلانية الأصلية إلى المعادلة يتكون من استبدال التعبير x+3 بالتعبير . هذه التعبيرات متساوية تمامًا. ولكن مع هذا الاستبدال، تضيق ODZ من المجموعة (−∞, −3)∪[−1, +∞) إلى المجموعة [−1, +∞) . واتفقنا على التخلي عن الإصلاحات التي تعمل على تضييق المنطقة المجردة من المياه، لأنها يمكن أن تؤدي إلى فقدان الجذور.

ما الخطأ في الحالة الثانية؟ توسيع ODZ خلال الفترة الانتقالية الأخيرة من إلى الرقم −3؟ ليس هذا فقط. ومما يثير القلق الكبير الانتقال الأول من المعادلة غير العقلانية الأصلية إلى المعادلة . جوهر هذا الانتقال هو استبدال التعبير x+3 بالتعبير . لكن هذه التعبيرات ليست متساوية تمامًا: بالنسبة لـ x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата ، ومنه يترتب على ذلك .

فكيف إذن نحل هذه المعادلة غير المنطقية؟ ؟ من الأفضل هنا إدخال متغير جديد على الفور ، في هذه الحالة (x+3)·(x+1)=t 2. دعونا نعطي حلا مفصلا.

دعونا نلخص أول تحويلات المعادلات التي يتم تحليلها - استبدال التعبير الذي يمثل جزءًا من المعادلة بتعبير مماثل له. في كل مرة يتم تنفيذها، يجب استيفاء شرطين: الأول، أن يتم استبدال التعبير بتعبير متساوٍ بشكل مماثل، وثانيًا، عدم حدوث تضييق في ODZ. إذا لم يغير هذا الاستبدال ODZ، فستكون نتيجة التحويل معادلة مكافئة. إذا توسعت ODZ أثناء هذا الاستبدال، فقد تظهر جذور غريبة، ويجب توخي الحذر لتصفيتها.

دعنا ننتقل إلى التحويل الثاني للقائمة - إضافة نفس الرقم إلى طرفي المعادلة وطرح نفس الرقم من طرفي المعادلة. وهذا تحويل مكافئ للمعادلة. نلجأ إليها عادةً عندما تكون هناك أرقام متطابقة على طرفي المعادلة الأيمن والأيسر، فطرح هذه الأرقام من طرفي المعادلة يسمح لنا بالتخلص منها في المستقبل. على سبيل المثال، على كلا الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة غير المنطقية هناك مصطلح 3. يؤدي طرح ثلاثية من طرفي المعادلة إلى الحصول على معادلة تأخذ الشكل بعد إجراء عمليات معالجة بالأرقام ومزيد من التبسيط إلى . ووفقا للنتيجة، فإن التحويل المعني له شيء مشترك مع نقل حد من جزء من المعادلة إلى آخر بعلامة معاكسة، ولكن المزيد عن هذا التحول بعد ذلك بقليل. هناك أمثلة أخرى على هذا التحول المستخدم. على سبيل المثال، في المعادلة غير المنطقية، من الضروري إضافة الرقم 3 إلى كلا الطرفين لتنظيم مربع كامل على الجانب الأيسر من المعادلة وإجراء تحويل إضافي للمعادلة لإدخال متغير جديد.

تعميم التحويل الذي تمت مناقشته للتو هو إضافة إلى طرفي المعادلة أو طرح نفس التعبير من طرفي المعادلة. هذا التحويل للمعادلات يكون مكافئًا عندما لا يتغير ODZ. يتم إجراء هذا التحويل بشكل أساسي للتخلص لاحقًا من المصطلحات المتطابقة الموجودة في نفس الوقت على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة. دعونا نعطي مثالا. لنفترض أن لدينا معادلة غير عقلانية. من الواضح أن هناك حدًا في كلا الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة. ومن المعقول طرح هذا التعبير من طرفي المعادلة: . في حالتنا، لا يغير مثل هذا الانتقال ODZ، وبالتالي فإن التحويل الذي يتم إجراؤه يكون مكافئًا. ويتم ذلك من أجل الانتقال إلى معادلة غير عقلانية أبسط.

التحويل التالي للمعادلات، والذي سنتطرق إليه في هذه الفقرة، هو نقل الحدود من جزء من المعادلة إلى جزء آخر بإشارة معاكسة. هذا التحويل للمعادلة يكون متكافئًا دائمًا. نطاق تطبيقه واسع جدًا. وبمساعدتها، يمكنك، على سبيل المثال، عزل الجذر أو جمع الحدود المتشابهة في جزء واحد من المعادلة، بحيث يمكنك بعد ذلك تقليلها وبالتالي تبسيط شكل المعادلة. دعونا نعطي مثالا. لحل معادلة غير منطقية يمكنك نقل الحدود −1 إلى الجانب الأيمن، مع تغيير إشارتها، وهذا سيعطي معادلة مكافئة ، والتي يمكن حلها بشكل أكبر، على سبيل المثال، عن طريق تربيع طرفي المعادلة.

ننتقل أكثر على طريق النظر في تحويلات المعادلات لضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد، بخلاف الصفر. هذا التحويل هو تحويل مكافئ للمعادلة. يتم استخدام ضرب طرفي المعادلة بنفس الرقم بشكل أساسي للانتقال من الكسور إلى الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال، وذلك في المعادلة غير العقلانية للتخلص من الكسور، يجب عليك ضرب كلا الجزأين في 8، وهو ما يعطي معادلة متكافئة ، والذي يتم تقليله أيضًا إلى النموذج . يتم إجراء تقسيم طرفي المعادلة بشكل أساسي بغرض تقليل المعاملات العددية. على سبيل المثال، كلا طرفي المعادلة غير المنطقية ومن المستحسن القسمة على المعاملات العددية 18 و12، أي على 6، مثل هذه القسمة تعطي معادلة مكافئة والتي يمكننا من خلالها الانتقال لاحقًا إلى المعادلة ، والتي لها معاملات أصغر ولكن أيضًا عدد صحيح.

التحويل التالي للمعادلة هو ضرب وقسمة طرفي المعادلة بنفس التعبير. يكون هذا التحويل مكافئًا عندما لا يغير التعبير الذي يتم به الضرب أو القسمة نطاق القيم المسموح بها للمتغير ولا يتحول إلى الصفر عليه. عادةً ما يكون ضرب كلا الطرفين في نفس التعبير مشابهًا لأغراض ضرب طرفي المعادلة في نفس الرقم. في أغلب الأحيان، يتم اللجوء إلى هذا التحول من أجل التخلص من الكسور عن طريق مزيد من التحولات. دعونا نعرض هذا مع مثال.

لن نتجاهل المعادلات غير المنطقية، التي لحلها علينا اللجوء إلى قسمة طرفي المعادلة على نفس التعبير. لقد لاحظنا أعلى قليلاً أن مثل هذا التقسيم يعد تحويلاً مكافئًا إذا لم يؤثر على ODZ ولا يختفي هذا التعبير على ODZ. لكن في بعض الأحيان يجب أن يتم التقسيم من خلال تعبير يختفي في ODZ. من الممكن تمامًا القيام بذلك إذا قمت في نفس الوقت بفحص أصفار هذا التعبير بشكل منفصل لمعرفة ما إذا كان هناك أي جذور للمعادلة التي يتم حلها فيما بينها، وإلا فقد يتم فقد هذه الجذور أثناء هذا التقسيم.

التحويل الأخير للمعادلات غير المنطقية الذي سنتطرق إليه في هذه الفقرة هو رفع طرفي المعادلة إلى نفس الأس. يمكن تسمية هذا التحويل بأنه نموذجي للمعادلات غير المنطقية، لأنه لا يستخدم عمليا عند حل المعادلات من الأنواع الأخرى. لقد ذكرنا هذا التحول بالفعل في المقالة الحالية عندما درسنا. هناك أيضًا العديد من الأمثلة على هذا التحول. لن نكرر أنفسنا هنا، ولكن فقط نذكر أنه في الحالة العامة، هذا التحويل ليس متكافئًا. يمكن أن يؤدي إلى ظهور جذور غريبة. لذلك، إذا تحولنا أثناء عملية الحل إلى هذا التحول، فيجب التحقق من الجذور الموجودة فيما بينها لوجود جذور غريبة.

عن فقدان الجذور

ما الذي يمكن أن يسبب فقدان الجذور عند حل المعادلة؟ السبب الرئيسي لفقدان الجذور هو تحويل المعادلة، مما يضيق OD. لفهم هذه النقطة، دعونا ننظر إلى مثال.

لنأخذ المعادلة غير المنطقية ، والتي قمنا بحلها بالفعل ضمن المقالة الحالية. لقد بدأنا بحلها مع التحذير من إجراء التحويلات التالية للمعادلة

التحول الأول هو الانتقال من المعادلة إلى المعادلة - يضيق ODZ. في الواقع، ODZ للمعادلة الأصلية هو (−∞, −3)∪[−1, +∞) ، وللمعادلة الناتجة هو [−1, +∞) . وهذا يستلزم استبعاد الفترة (−∞, −3) من الاعتبار، ونتيجة لذلك، فقدان جميع جذور المعادلة من هذه الفترة. في حالتنا، عند إجراء هذا التحويل، سيتم فقدان جميع جذور المعادلة، والتي يوجد منها اثنان و .

لذلك، إذا أدى تحويل المعادلة إلى تضييق OD، فسيتم فقدان جميع جذور المعادلة الموجودة في الجزء الذي حدث فيه التضييق. ولهذا السبب ندعو إلى عدم اللجوء إلى الإصلاحات التي تضيق المنطقة الجغرافية. ومع ذلك، هناك تحذير واحد.

تنطبق هذه الجملة على التحويلات التي يتم فيها تضييق ODZ برقم واحد أو أكثر. التحويل الأكثر شيوعًا، الذي تسقط فيه عدة أرقام فردية من ODZ، هو تقسيم طرفي المعادلة بنفس التعبير. من الواضح أنه عند إجراء مثل هذا التحويل، يمكن فقدان فقط الجذور الموجودة ضمن هذه المجموعة المحدودة من الأرقام التي تسقط عند تضييق ODZ. لذلك، إذا قمت بفحص جميع الأرقام في هذه المجموعة بشكل منفصل لمعرفة ما إذا كانت هناك جذور للمعادلة التي يتم حلها فيما بينها، على سبيل المثال، عن طريق الاستبدال، وقمت بتضمين الجذور الموجودة في الإجابة، فيمكنك بعد ذلك إجراء التحويل المقصود دون خوف من فقدان الجذور. دعونا توضيح ذلك مع مثال.

لنفكر في المعادلة غير المنطقية، والتي تم حلها بالفعل في الفقرة السابقة. لحل هذه المعادلة عن طريق إدخال متغير جديد، من المفيد أولاً قسمة طرفي المعادلة على 1+x. مع هذا التقسيم، يسقط الرقم −1 من ODZ. استبدال هذه القيمة في المعادلة الأصلية يعطي المساواة العددية غير الصحيحة ()، مما يعني أن −1 ليس جذر المعادلة. بعد هذا الفحص، يمكنك تنفيذ التقسيم المقصود بأمان دون خوف من فقدان الجذر.

في ختام هذه النقطة، نلاحظ أنه في أغلب الأحيان، عند حل المعادلات غير المنطقية، يؤدي تقسيم طرفي المعادلة بنفس التعبير، وكذلك التحويلات المستندة إلى خصائص الجذور، إلى تضييق OD. لذلك عليك أن تكون حذرًا للغاية عند إجراء مثل هذه التحولات وعدم السماح بفقدان الجذور.

حول الجذور الدخيلة وطرق فحصها

يتم حل العدد الهائل من المعادلات من خلال تحويل المعادلات. يمكن أن تؤدي بعض التحولات إلى معادلات طبيعية، ومن بين حلول المعادلة الطبيعية قد تكون هناك جذور غريبة عن المعادلة الأصلية. الجذور الدخيلة ليست جذورًا للمعادلة الأصلية، لذا لا ينبغي أن تظهر في الإجابة. وبعبارة أخرى، يجب التخلص منهم.

لذا، إذا كانت هناك معادلة طبيعية واحدة على الأقل في سلسلة تحويلات المعادلة التي يتم حلها، فأنت بحاجة إلى الاهتمام باكتشاف وتصفية الجذور الدخيلة.

تعتمد طرق اكتشاف وفحص الجذور الأجنبية على الأسباب التي تسبب ظهورها المحتمل. وهناك سببان لاحتمال ظهور جذور غريبة عند حل المعادلات غير المنطقية: الأول هو توسيع ODZ نتيجة تحويل المعادلة، والثاني هو رفع طرفي المعادلة إلى قوة زوجية. دعونا نلقي نظرة على الطرق المقابلة.

لنبدأ بطرق غربلة الجذور الدخيلة، عندما يكون سبب ظهورها المحتمل هو مجرد توسيع ODZ. في هذه الحالة، يتم فحص الجذور الدخيلة بإحدى الطرق الثلاث التالية:

• بحسب ODZ. للقيام بذلك، تم العثور على ODZ للمتغير للمعادلة الأصلية والتحقق من انتماء الجذور الموجودة. تلك الجذور التي تنتمي إلى ODZ هي جذور المعادلة الأصلية، وتلك التي لا تنتمي إلى ODZ هي جذور غريبة للمعادلة الأصلية.
• من خلال شروط ODZ. يتم تدوين الشروط التي تحدد ODZ للمتغير في المعادلة الأصلية، ويتم استبدال الجذور الموجودة فيها واحدًا تلو الآخر. تلك الجذور التي تحقق جميع الشروط هي جذور، وتلك التي لا تحقق شرطًا واحدًا على الأقل هي جذور خارجية للمعادلة الأصلية.
• من خلال الاستبدال في المعادلة الأصلية (أو في أي معادلة مكافئة). يتم استبدال الجذور الموجودة بدورها في المعادلة الأصلية، وتلك التي عند استبدالها تتحول المعادلة إلى مساواة عددية صحيحة هي جذور، وتلك التي عند استبدالها يتم الحصول على تعبير لا معنى له ، هي جذور غريبة للمعادلة الأصلية.

عند حل المعادلة غير المنطقية التالية، دعونا نقوم بتصفية الجذور الدخيلة باستخدام كل من الطرق المشار إليها للحصول على فكرة عامة عن كل منها.

من الواضح أننا لن نحدد ونتخلص من الجذور الدخيلة في كل مرة باستخدام جميع الطرق المعروفة. للتخلص من الجذور الدخيلة، سنختار الطريقة الأنسب في كل حالة محددة. على سبيل المثال، في المثال التالي، من الأكثر ملاءمة تصفية الجذور الدخيلة من خلال شروط ODZ، لأنه في ظل هذه الظروف يكون من الصعب العثور على ODZ في شكل مجموعة رقمية.

الآن دعونا نتحدث عن غربلة الجذور الدخيلة، عندما يتم حل معادلة غير منطقية عن طريق رفع طرفي المعادلة إلى قوة زوجية. هنا، لن يساعد الغربلة من خلال شروط ODZ أو ODZ، لأنه لن يسمح لنا بالتخلص من الجذور الدخيلة التي تنشأ لسبب آخر - بسبب رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة. لماذا تظهر الجذور الدخيلة عندما يتم رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة الزوجية؟ يأتي ظهور الجذور الدخيلة في هذه الحالة من حقيقة أن رفع كلا جزأين المساواة العددية غير الصحيحة إلى نفس القوة الزوجية يمكن أن يعطي مساواة عددية صحيحة. على سبيل المثال، المساواة العددية غير الصحيحة 3=−3 بعد تربيع كلا الطرفين تصبح المساواة العددية الصحيحة 3 2 =(−3) 2، وهي نفسها 9=9.

لقد اكتشفنا أسباب ظهور الجذور الدخيلة عند رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة. يبقى أن نشير إلى كيفية إزالة الجذور الدخيلة في هذه الحالة. يتم إجراء الفحص بشكل أساسي عن طريق استبدال الجذور المحتملة الموجودة في المعادلة الأصلية أو في أي معادلة مكافئة لها. دعونا نوضح ذلك بمثال.

ولكن من المفيد أن نأخذ في الاعتبار طريقة أخرى تسمح لك بالتخلص من الجذور الدخيلة في الحالات التي يتم فيها رفع طرفي المعادلة غير المنطقية ذات الجذر الانفرادي إلى نفس القوة الزوجية. عند حل المعادلات غير العقلانية ، حيث 2·k هو رقم زوجي، من خلال رفع طرفي المعادلات إلى نفس القوة، يمكن التخلص من الجذور الدخيلة من خلال الشرط g(x)≥0 (أي حل معادلة غير عقلانية عن طريق تحديد جذر). غالبًا ما تنقذ هذه الطريقة عندما يتبين أن تصفية الجذور الدخيلة من خلال الاستبدال تتضمن حسابات معقدة. المثال التالي هو مثال جيد على ذلك.

الأدب

1. موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف 8. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
2. موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبداية التحليل الرياضي. الصف 11. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (مستوى الملف الشخصي) / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الثانية، محذوفة. - م: منيموسين، 2008. - 287 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01027-2.
3. الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف - الطبعة الرابعة عشرة - م: التعليم، 2004. - 384 صفحة: مريض - ISBN 5-09-013651-3.
4. الجبروبداية التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [يو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ حررت بواسطة أ.ب. زيزتشينكو. - الطبعة الثالثة. - م: التعليم، 2010.- 368 ص: مريض-ردمك 978-5-09-022771-1.
5. الرياضيات. زيادة مستوى امتحان الدولة الموحدة 2012 (C1، C3). الاختبارات المواضيعية. المعادلات، عدم المساواة، الأنظمة / تحرير إف إف ليسينكو، إس يو كولابوخوف. - روستوف على نهر الدون: Legion-M، 2011. - 112 ص. - (التحضير لامتحان الدولة الموحدة) ISBN 978-5-91724-094-7
6. خريج عام 2004. الرياضيات. مجموعة من المشاكل للتحضير لامتحان الدولة الموحدة. الجزء 1. I. V. Boykov، L. D. Romanova.

المعادلة غير المنطقية هي أي معادلة تحتوي على دالة تحت علامة الجذر. على سبيل المثال:

يتم حل هذه المعادلات دائمًا في ثلاث خطوات:

1. عزل الجذر. بمعنى آخر، إذا كانت هناك أرقام أو وظائف أخرى على يسار علامة المساواة، بالإضافة إلى الجذر، فيجب نقل كل هذا إلى اليمين، مما يؤدي إلى تغيير العلامة. في هذه الحالة، يجب أن يبقى الراديكالي فقط على اليسار - دون أي معاملات.
2. 2. قم بتربيع طرفي المعادلة. وفي الوقت نفسه، نتذكر أن نطاق قيم الجذر هو كل الأرقام غير السالبة. لذلك، الوظيفة على اليمين معادلة غير عقلانيةيجب أن تكون أيضًا غير سالبة: g(x) ≥ 0.
3. الخطوة الثالثة تتبع منطقيًا الخطوة الثانية: تحتاج إلى إجراء فحص. الحقيقة هي أنه في الخطوة الثانية قد يكون لدينا جذور إضافية. ومن أجل قطعها، تحتاج إلى استبدال الأرقام المرشحة الناتجة في المعادلة الأصلية والتحقق: هل تم الحصول على المساواة العددية الصحيحة بالفعل؟

حل معادلة غير عقلانية

دعونا نلقي نظرة على المعادلة غير المنطقية التي قدمناها في بداية الدرس. هنا الجذر معزول بالفعل: على يسار علامة التساوي لا يوجد شيء سوى الجذر. مربع الجانبين:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
س 2 − 4س − 12 = 0

نحل المعادلة التربيعية الناتجة من خلال المميز:

د = ب 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
س 1 = 6؛ س 2 = −2

كل ما تبقى هو استبدال هذه الأرقام في المعادلة الأصلية، أي. إجراء الفحص. ولكن حتى هنا يمكنك فعل الشيء الصحيح لتبسيط القرار النهائي.

كيفية تبسيط الحل

دعونا نفكر: لماذا نقوم حتى بإجراء فحص في نهاية حل معادلة غير عقلانية؟ نريد التأكد من أنه عندما نعوض بالجذور، سيكون هناك عدد غير سالب على يمين علامة التساوي. بعد كل شيء، نحن نعرف بالفعل على وجه اليقين أن هناك رقمًا غير سالب على اليسار، لأن الجذر التربيعي الحسابي (وهذا هو سبب تسمية معادلتنا غير عقلانية) بحكم التعريف لا يمكن أن يكون أقل من الصفر.

ولذلك، كل ما نحتاج إلى التحقق منه هو أن الدالة g (x) = 5 − x، التي تقع على يمين علامة التساوي، ليست سالبة:

ز(خ) ≥ 0

نعوض بجذورنا في هذه الدالة ونحصل على:

ز (س 1) = ز (6) = 5 − 6 = −1< 0
ز (× 2) = ز (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

ويترتب على القيم التي تم الحصول عليها أن الجذر x 1 = 6 لا يناسبنا، لأنه عند الاستبدال في الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية نحصل على رقم سالب. لكن الجذر x 2 = −2 مناسب تمامًا لنا، لأنه:

1. هذا الجذر هو حل المعادلة التربيعية التي يتم الحصول عليها عن طريق رفع كلا الطرفين معادلة غير عقلانيةفي مربع.
2. عند استبدال الجذر x 2 = −2، يتحول الجانب الأيمن من المعادلة غير المنطقية الأصلية إلى رقم موجب، أي. يتراوح الجذر الحسابيغير مكسورة.

هذه هي الخوارزمية بأكملها! كما ترون، حل المعادلات ذات الجذور ليس بالأمر الصعب. الشيء الرئيسي هو عدم نسيان التحقق من الجذور المستلمة، وإلا فإن هناك احتمال كبير جدًا لتلقي إجابات غير ضرورية.