I. المعادلات التفاضلية العادية
1.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية
المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين متغير مستقل س، الوظيفة المطلوبة ذومشتقاته أو تفاضلاته.
رمزياً، تتم كتابة المعادلة التفاضلية على النحو التالي:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
تسمى المعادلة التفاضلية عادية إذا كانت الدالة المطلوبة تعتمد على متغير مستقل واحد.
حل المعادلة التفاضليةتسمى دالة تحول هذه المعادلة إلى هوية.
ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب أعلى مشتق مدرج في هذه المعادلة
أمثلة.
1. النظر في معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى
حل هذه المعادلة هو الدالة y = 5 ln x. في الواقع، استبدال ذ"في المعادلة نحصل على الهوية.
وهذا يعني أن الدالة y = 5 ln x– هي حل لهذه المعادلة التفاضلية.
2. النظر في المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ص" - 5ص" +6ص = 0. الدالة هي الحل لهذه المعادلة
حقًا، .
باستبدال هذه التعبيرات في المعادلة نحصل على: - الهوية.
وهذا يعني أن الدالة هي حل هذه المعادلة التفاضلية.
تكامل المعادلات التفاضليةهي عملية إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية.
الحل العام للمعادلة التفاضليةتسمى وظيفة النموذج 
، والذي يتضمن العديد من الثوابت التعسفية المستقلة مثل ترتيب المعادلة.
الحل الجزئي للمعادلة التفاضليةهو الحل الذي تم الحصول عليه من الحل العام للقيم العددية المختلفة للثوابت التعسفية. تم العثور على قيم الثوابت التعسفية عند قيم أولية معينة للوسيطة والوظيفة.
يسمى الرسم البياني لحل معين لمعادلة تفاضلية منحنى متكامل.
أمثلة
1. أوجد حلاً محددًا لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى
xdx + ydy = 0، لو ذ= 4 في س = 3.
حل. بتكامل طرفي المعادلة، نحصل على
تعليق. يمكن تمثيل الثابت التعسفي C الذي تم الحصول عليه نتيجة للتكامل بأي شكل مناسب لمزيد من التحويلات. في هذه الحالة، مع الأخذ في الاعتبار المعادلة القانونية للدائرة، من المناسب تمثيل ثابت تعسفي C في النموذج .
- الحل العام للمعادلة التفاضلية.
حل خاص للمعادلة يستوفي الشروط الأولية ذ = 4 في س = 3 يمكن إيجاده من العام عن طريق استبدال الشروط الأولية في الحل العام: 3 2 + 4 2 = C 2 ; ج = 5.
بالتعويض بـ C=5 في الحل العام، نحصل على × 2 + ص 2 = 5 2 .
هذا حل خاص لمعادلة تفاضلية تم الحصول عليها من حل عام في ظل ظروف أولية معينة.
2. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
حل هذه المعادلة هو أي دالة من الشكل حيث C ثابت اختياري. وبالتعويض في المعادلات نحصل على: , .
وبالتالي، فإن هذه المعادلة التفاضلية لها عدد لا نهائي من الحلول، لأنه بالنسبة لقيم مختلفة للثابت C، فإن المساواة تحدد حلولاً مختلفة للمعادلة.
على سبيل المثال، عن طريق الاستبدال المباشر يمكنك التحقق من أن الوظائف 
هي حلول للمعادلة.
مشكلة تحتاج فيها إلى إيجاد حل معين للمعادلة ص" = و(س، ص)استيفاء الشرط الأولي ص(س 0) = ص 0تسمى مشكلة كوشي.
حل المعادلة ص" = و(س، ص)، استيفاء الشرط الأولي، ص(س 0) = ص 0، ويسمى حل لمشكلة كوشي.
حل مشكلة كوشي له معنى هندسي بسيط. وبالفعل، وبحسب هذه التعريفات، لحل مشكلة كوشي ص" = و(س، ص)بشرط ص(س 0) = ص 0يعني إيجاد المنحنى التكاملي للمعادلة ص" = و(س، ص)الذي يمر عبر نقطة معينة م 0 (× 0,ص 0).
ثانيا. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى
2.1. مفاهيم أساسية
المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة من الشكل F(x,y,y") = 0.
تتضمن المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى المشتق الأول ولا تتضمن مشتقات من الدرجة الأعلى.
المعادلة ص" = و(س، ص)تسمى معادلة من الدرجة الأولى تم حلها بالنسبة للمشتقة.
الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هو دالة من النموذج الذي يحتوي على ثابت اختياري واحد.
مثال.خذ بعين الاعتبار معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.
حل هذه المعادلة هو الدالة.
وبالفعل، نستبدل هذه المعادلة بقيمتها
إنه 3س=3س
ولذلك، فإن الدالة هي حل عام للمعادلة لأي ثابت C.
أوجد حلاً محددًا لهذه المعادلة يحقق الشرط الأولي ص(1)=1استبدال الشروط الأولية س = 1، ص =1في الحل العام للمعادلة، نصل من أين ج = 0.
وهكذا نحصل على حل خاص من الحل العام عن طريق استبدال القيمة الناتجة في هذه المعادلة ج = 0– الحل الخاص .
2.2. المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل
المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة هي معادلة من الشكل: ذ"=و(س)ز(ذ)أو من خلال الفروق، حيث و (خ)و ز (ص)- وظائف محددة.
لأولئك ذ، والتي المعادلة ذ"=و(س)ز(ذ)يعادل المعادلة، 
فيها المتغير ذيوجد فقط على الجانب الأيسر، والمتغير x موجود فقط على الجانب الأيمن. يقولون: "في المعادلة. y"=f(x)g(yدعونا نفصل بين المتغيرات."
معادلة النموذج تسمى معادلة متغيرة منفصلة.
دمج طرفي المعادلة بواسطة س، نحن نحصل ز(ص) = و(خ) + جهو الحل العام للمعادلة حيث ز(ص)و و(خ)- بعض المشتقات العكسية للوظائف و و (خ), جثابت تعسفي.
خوارزمية لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بمتغيرات قابلة للفصل
مثال 1
حل المعادلة ص" = س ص
حل. مشتق من وظيفة ذ"استبدله ب
دعونا نفصل بين المتغيرات
دعونا ندمج طرفي المساواة:
مثال 2
2yy" = 1- 3x2، لو ص 0 = 3في × 0 = 1
هذه معادلة متغيرة منفصلة. دعونا نتخيل ذلك في الفروق. للقيام بذلك، نعيد كتابة هذه المعادلة في الصورة 
من هنا 
ونجد تكامل طرفي المساواة الأخيرة
استبدال القيم الأولية س 0 = 1، ص 0 = 3سوف نجد مع 9=1-1+ج، أي. ج = 9.
وبالتالي فإن التكامل الجزئي المطلوب هو 
أو 
مثال 3
اكتب معادلة منحنى يمر بنقطة م(2;-3)ولها مماس مع معامل الزاوي
حل. حسب الحالة
هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. وبتقسيم المتغيرات نحصل على: 
وبتكامل طرفي المعادلة نحصل على: 
باستخدام الشروط الأولية س = 2و ص = - 3سوف نجد ج:
وبالتالي فإن المعادلة المطلوبة لها الشكل 
2.3. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى
المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة من الشكل ص" = و(س)ص + ز(س)
أين و (خ)و ز (خ)- بعض الوظائف المحددة.
لو ز(س)=0تسمى المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة ولها الشكل: ذ" = و(س)ص
إذا كانت المعادلة ص" = و(س)ص + ز(س)تسمى غير متجانسة.
الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذ" = و(س)صيتم إعطاؤه بالصيغة: أين مع- ثابت تعسفي.
على وجه الخصوص، إذا ج = 0،فالحل هو ص = 0إذا كانت المعادلة الخطية المتجانسة لها الشكل ص" = كيأين كبعض الثوابت، فإن حلها العام يكون على الصورة: .
الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة ص" = و(س)ص + ز(س)تعطى بواسطة الصيغة 
,
أولئك. يساوي مجموع الحل العام للمعادلة المتجانسة الخطية المقابلة والحل الخاص لهذه المعادلة.
للحصول على معادلة خطية غير متجانسة من النموذج ص" = ك س + ب,
أين كو ب- بعض الأرقام وحل معين سيكون دالة ثابتة. ولذلك فإن الحل العام له الشكل .
مثال. حل المعادلة ص" + 2ص +3 = 0
حل. دعونا نمثل المعادلة في النموذج ص" = -2ص - 3أين ك = -2، ب= -3يتم إعطاء الحل العام بواسطة الصيغة.
لذلك، حيث C هو ثابت تعسفي.
2.4. حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بطريقة برنولي
إيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى ص" = و(س)ص + ز(س)يقلل من حل معادلتين تفاضليتين بمتغيرات منفصلة باستخدام الاستبدال ذ = الأشعة فوق البنفسجية، أين شو الخامس- وظائف غير معروفة من س. طريقة الحل هذه تسمى طريقة برنولي.
خوارزمية لحل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى
ص" = و(س)ص + ز(س)
1. أدخل الاستبدال ذ = الأشعة فوق البنفسجية.
2. التمييز بين هذه المساواة ص" = ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية"
3. البديل ذو ذ"في هذه المعادلة: ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية" =و(خ)الأشعة فوق البنفسجية + ز(خ)أو u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. قم بتجميع شروط المعادلة بحيث شأخرجه من بين قوسين:
5. من القوس الذي يساوي الصفر، ابحث عن الدالة
هذه معادلة قابلة للفصل: 
نقسم المتغيرات ونحصل على: 
أين 
.
.
6. استبدل القيمة الناتجة الخامسفي المعادلة (من الخطوة 4):
وإيجاد الدالة هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل:
7. اكتب الحل العام على الصورة: 
، أي. .
مثال 1
أوجد حلًا محددًا للمعادلة ص" = -2ص +3 = 0لو ص =1في س = 0
حل. دعونا نحلها باستخدام الاستبدال ص = الأشعة فوق البنفسجية،.ص" = ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية"
أستعاض ذو ذ"في هذه المعادلة نحصل على
ومن خلال تجميع الحدين الثاني والثالث في الجانب الأيسر من المعادلة، نخرج العامل المشترك ش خارج الأقواس
نحن نساوي التعبير بين قوسين بالصفر، وبعد حل المعادلة الناتجة، نجد الدالة ت = ت(خ)
نحصل على معادلة ذات متغيرات منفصلة. دعونا ندمج طرفي هذه المعادلة: أوجد الدالة الخامس:
دعونا نستبدل القيمة الناتجة الخامسفي المعادلة نحصل على:
هذه معادلة متغيرة منفصلة. دعونا ندمج طرفي المعادلة: 
دعونا نجد الوظيفة ش = ش (س، ج) 
دعونا نجد الحل العام: 
دعونا نجد حلاً معينًا للمعادلة يحقق الشروط الأولية ص = 1في س = 0:
ثالثا. المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى
3.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية
المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هي معادلة تحتوي على مشتقات لا تزيد عن الدرجة الثانية. في الحالة العامة، يتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي: F(x,y,y",y") = 0
الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هو دالة من النموذج الذي يتضمن ثابتين اعتباطيين ج1و ج2.
الحل الخاص لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية هو الحل الذي يتم الحصول عليه من الحل العام لقيم معينة من الثوابت التعسفية ج1و ج2.
3.2. المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة.
معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتةتسمى معادلة النموذج ص" + الحمر" +qy = 0، أين صو س- القيم الثابتة.
خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة
1. اكتب المعادلة التفاضلية بالصيغة: ص" + الحمر" +qy = 0.
2. قم بإنشاء معادلتها المميزة بالدلالة ذ"خلال ص 2, ذ"خلال ص, ذفي 1: ص 2 + العلاقات العامة + ف = 0
غالبًا ما يؤدي حل المشكلات الهندسية والفيزيائية والهندسية المختلفة إلى معادلات تربط المتغيرات المستقلة التي تميز مشكلة معينة ببعض دوال هذه المتغيرات ومشتقات هذه الدالة ذات الرتب المختلفة.
على سبيل المثال، يمكننا أن ننظر إلى أبسط حالة للحركة المتسارعة بشكل منتظم لنقطة مادية.
من المعروف أن إزاحة نقطة مادية أثناء الحركة المتسارعة بشكل منتظم هي دالة للزمن ويتم التعبير عنها بالصيغة:
بدوره، التسارع أمشتق بالنسبة للوقت رمن السرعة الخامس, وهو أيضًا مشتق من الوقت رمن التحرك س. أولئك.
ثم نحصل على: 
- تربط المعادلة الدالة f(t) بالمتغير المستقل t والمشتقة الثانية للدالة f(t).
تعريف. المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين المتغيرات المستقلة ووظائفها ومشتقاتها (أو تفاضلاتها).
تعريف. إذا كانت المعادلة التفاضلية تحتوي على متغير مستقل واحد، فإنها تسمى المعادلة التفاضلية العادية , إذا كان هناك متغيرين مستقلين أو أكثر، تسمى هذه المعادلة التفاضلية المعادلة التفاضلية الجزئية.
تعريف. يسمى أعلى ترتيب للمشتقات التي تظهر في المعادلة ترتيب المعادلة التفاضلية .
مثال.
- معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى. بشكل عام هو مكتوب 
.
- معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية. بشكل عام هو مكتوب 
- معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى.
تعريف. الحل العام المعادلة التفاضلية هي دالة قابلة للتفاضل y = (x, C)، والتي عند استبدالها في المعادلة الأصلية بدلاً من دالة غير معروفة، تحول المعادلة إلى الهوية
خصائص الحل العام.
1) لأن الثابت C هو قيمة عشوائية، وبصفة عامة فإن المعادلة التفاضلية لها عدد لا نهائي من الحلول.
2) في ظل أي شروط أولية x = x 0, y(x 0) = y 0، هناك قيمة C = C 0 حيث يكون حل المعادلة التفاضلية هو الدالة y = (x, C 0).
تعريف. يسمى الحل بالصيغة y = (x, C 0). حل خاص المعادلة التفاضلية.
تعريف. مشكلة كوشي (أوغستين لويس كوشي (1789-1857) - عالم رياضيات فرنسي) هو إيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية من الشكل y = (x, C 0)، مع استيفاء الشروط الأولية y(x 0) = y 0.
نظرية كوشي. (نظرية وجود وتفرد الحل لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى)
إذا كانت الوظيفةF(س,
ذ) مستمر في بعض المناطقدفي الطائرةXOYوله مشتق جزئي مستمر في هذه المنطقة 
، ثم مهما كانت النقطة (x 0
، ذ 0
) في المنطقةد، لايوجد الا حل واحد 
المعادلات 
، محددة في بعض الفاصل الزمني الذي يحتوي على النقطة x 0
، مع الأخذ في x = x 0
معنى
(x 0
) = ذ 0
، أي. هناك حل فريد للمعادلة التفاضلية.
تعريف.
أساسي
المعادلة التفاضلية هي أي معادلة لا تحتوي على مشتقات وتكون المعادلة التفاضلية المعطاة نتيجة لها. 
مثال.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية 
.
يتم البحث عن الحل العام للمعادلة التفاضلية من خلال دمج الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلة، والتي تم تحويلها سابقاً على النحو التالي:
الآن دعونا ندمج: 
هو الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية.
لنفترض أن بعض الشروط الأولية معطاة: x 0 = 1; ص 0 = 2، إذن لدينا
من خلال استبدال قيمة الثابت التي تم الحصول عليها في الحل العام، نحصل على حل خاص للشروط الأولية المحددة (حل مشكلة كوشي).
تعريف. منحنى متكامل يسمى الرسم البياني y = (x) لحل المعادلة التفاضلية على المستوى XOY.
تعريف. بقرار خاص المعادلة التفاضلية هي مثل هذا الحل في جميع النقاط التي تسمى حالة تفرد كوشي (انظر. نظرية كوشي.) لم يتم الوفاء به، أي. يوجد في جوار نقطة ما (x، y) منحنيان متكاملان على الأقل.
الحلول الخاصة لا تعتمد على الثابت C.
لا يمكن الحصول على حلول خاصة من الحل العام لأي قيمة للثابت C. إذا قمنا ببناء عائلة من منحنيات التكامل لمعادلة تفاضلية، فسيتم تمثيل الحل الخاص بخط يمس منحنى تكامل واحد على الأقل عند كل نقطة .
لاحظ أنه ليس لكل معادلة تفاضلية حلول خاصة.
مثال.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية: 
البحث عن حل خاص إذا كان موجودا.
هذه المعادلة التفاضلية لها أيضًا حل خاص في= 0. لا يمكن الحصول على هذا الحل من الحل العام، ولكن عند التعويض في المعادلة الأصلية نحصل على هوية. الرأي أن الحل ذ = 0 يمكن الحصول عليها من الحل العام مع مع 1 = 0 خطأ، لأن ج 1 = ه ج 0.
المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تربط بين متغير مستقل، دالة غير معروفة لهذا المتغير ومشتقاته (أو تفاضلاته) ذات الرتب المختلفة.
ترتيب المعادلة التفاضلية ويسمى ترتيب المشتق الأعلى الموجود فيه.
بالإضافة إلى المعادلات العادية، يتم أيضًا دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية. هي معادلات تتعلق بمتغيرات مستقلة، دالة غير معروفة لهذه المتغيرات ومشتقاتها الجزئية بالنسبة لنفس المتغيرات. لكننا سوف ننظر فقط المعادلات التفاضلية العادية ولذلك، ومن باب الاختصار، سنحذف كلمة "عادي".
أمثلة على المعادلات التفاضلية:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
المعادلة (1) من الدرجة الرابعة، المعادلة (2) من الدرجة الثالثة، المعادلتان (3) و (4) من الدرجة الثانية، المعادلة (5) من الدرجة الأولى.
المعادلة التفاضلية نليس من الضروري أن يحتوي الترتيب الرابع على دالة صريحة، جميع مشتقاتها من الأول إلى ن-الترتيب والمتغير المستقل. قد لا تحتوي بشكل صريح على مشتقات لأوامر معينة أو دالة أو متغير مستقل.
على سبيل المثال، في المعادلة (1) من الواضح أنه لا توجد مشتقات من الدرجة الثالثة والثانية، وكذلك دالة؛ في المعادلة (2) - المشتقة من الدرجة الثانية والدالة؛ في المعادلة (4) - المتغير المستقل؛ في المعادلة (5) - الدوال. فقط المعادلة (3) تحتوي بشكل صريح على جميع المشتقات والدالة والمتغير المستقل.
حل المعادلة التفاضلية يتم استدعاء كل وظيفة ص = و(س)، عند استبدالها في المعادلة تتحول إلى هوية.
تسمى عملية إيجاد حل للمعادلة التفاضلية اندماج.
مثال 1.أوجد حل المعادلة التفاضلية.
حل. لنكتب هذه المعادلة في الشكل . الحل هو إيجاد الدالة من مشتقتها. الدالة الأصلية، كما هو معروف من حساب التكامل، هي مشتق عكسي لـ، أي.
هذا ما هو عليه حل هذه المعادلة التفاضلية . تغير فيه ج، سوف نحصل على حلول مختلفة. لقد اكتشفنا أن هناك عدد لا نهائي من الحلول لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.
الحل العام للمعادلة التفاضلية نالترتيب الرابع هو حلها، معبرا عنه صراحة فيما يتعلق بالدالة المجهولة والاحتواء نالثوابت التعسفية المستقلة، أي.
حل المعادلة التفاضلية في المثال 1 هو حل عام.
الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية يسمى الحل الذي يتم فيه إعطاء الثوابت التعسفية قيم عددية محددة.
مثال 2.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية والحل الخاص لـ 
.
حل. دعونا ندمج طرفي المعادلة عدة مرات يساوي ترتيب المعادلة التفاضلية.
,
.
ونتيجة لذلك، حصلنا على حل عام -
لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثالثة.
الآن دعونا نجد حلاً معينًا في ظل الظروف المحددة. للقيام بذلك، استبدل قيمها بدلا من المعاملات التعسفية واحصل على
.
إذا، بالإضافة إلى المعادلة التفاضلية، تم إعطاء الشرط الأولي في النموذج، ثم تسمى هذه المشكلة مشكلة كوشي . استبدل القيم في الحل العام للمعادلة وأوجد قيمة ثابت اعتباطي ج، ثم حل معين للمعادلة للقيمة التي تم العثور عليها ج. هذا هو الحل لمشكلة كوشي.
مثال 3.حل مشكلة كوشي للمعادلة التفاضلية من المثال 1 مع مراعاة .
حل. دعونا نستبدل القيم من الحالة الأولية ذ = 3, س= 1. نحصل على
نكتب حل مشكلة كوشي لهذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى:
يتطلب حل المعادلات التفاضلية، حتى أبسطها، مهارات تكامل واشتقاق جيدة، بما في ذلك الدوال المعقدة. ويمكن ملاحظة ذلك في المثال التالي.
مثال 4.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية.
حل. المعادلة مكتوبة بشكل يمكنك من دمج الطرفين على الفور.
.
نطبق طريقة التكامل بتغيير المتغير (الاستبدال). فليكن بعد ذلك.
مطلوب أن تأخذ dxوالآن - انتبه - نحن نفعل ذلك وفقًا لقواعد تمايز دالة معقدة، منذ ذلك الحين سوهناك وظيفة معقدة ("تفاحة" - استخراج الجذر التربيعيأو ما هو نفس الشيء - الرفع إلى القوة "النصف" و "اللحم المفروم" هو التعبير نفسه الموجود تحت الجذر):
نجد التكامل :
العودة إلى المتغير س، نحن نحصل:
.
هذا هو الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.
لن تكون هناك حاجة إلى مهارات من الأقسام السابقة للرياضيات العليا فقط عند حل المعادلات التفاضلية، ولكن أيضًا مهارات من المرحلة الابتدائية، أي الرياضيات المدرسية. كما ذكرنا سابقًا، في معادلة تفاضلية من أي ترتيب قد لا يكون هناك متغير مستقل، أي متغير س. المعرفة حول النسب من المدرسة التي لم يتم نسيانها (ومع ذلك، اعتمادا على من) من المدرسة ستساعد في حل هذه المشكلة. هذا هو المثال التالي.
المعادلة التفاضلية (DE)
- هذه هي المعادلة
أين هي المتغيرات المستقلة، y هي الدالة وهي المشتقات الجزئية.
المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تفاضلية لها متغير مستقل واحد فقط.
المعادلة التفاضلية الجزئية هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغيرين مستقلين أو أكثر.
يمكن حذف الكلمتين "العادية" و"المشتقات الجزئية" إذا كان من الواضح المعادلة التي يتم النظر فيها. وفيما يلي النظر في المعادلات التفاضلية العادية.
ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى.
فيما يلي مثال لمعادلة من الدرجة الأولى:
فيما يلي مثال لمعادلة من الدرجة الرابعة:
في بعض الأحيان تتم كتابة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بدلالة التفاضلات:
في هذه الحالة، المتغيران x وy متساويان. أي أن المتغير المستقل يمكن أن يكون إما x أو y. في الحالة الأولى، y هي دالة لـ x. في الحالة الثانية، x هي دالة لـ y. إذا لزم الأمر، يمكننا تقليل هذه المعادلة إلى شكل يتضمن بشكل صريح المشتقة y'.
وبقسمة هذه المعادلة على dx نحصل على:
.
منذ و، يتبع ذلك
.
حل المعادلات التفاضلية
يتم التعبير عن مشتقات الوظائف الأولية من خلال الوظائف الأولية. غالبًا لا يتم التعبير عن تكاملات الوظائف الأولية من حيث الوظائف الأولية. مع المعادلات التفاضلية الوضع أسوأ. نتيجة للحل يمكنك الحصول على:
- الاعتماد الصريح للدالة على المتغير؛
حل المعادلة التفاضلية هي الدالة ذ = ش (خ)، والتي تم تعريفها، مرات n قابلة للتمييز، و .
- الاعتماد الضمني في شكل معادلة من النوع Φ (س، ص) = 0أو أنظمة المعادلات.
تكامل المعادلة التفاضلية هو حل لمعادلة تفاضلية لها شكل ضمني.
- يتم التعبير عن الاعتماد من خلال الوظائف الأولية والتكاملات منها؛
حل المعادلة التفاضلية في التربيعات - وهذا هو إيجاد الحل في شكل مجموعة من الوظائف الأولية وتكاملاتها.
- لا يجوز التعبير عن الحل من خلال الوظائف الأولية.
نظرًا لأن حل المعادلات التفاضلية يقتصر على حساب التكاملات، فإن الحل يتضمن مجموعة من الثوابت C 1، C 2، C 3، ... C n. عدد الثوابت يساوي ترتيب المعادلة. التكامل الجزئي للمعادلة التفاضلية هو التكامل العام لقيم معينة من الثوابت C 1، C 2، C 3، ...، C n.
مراجع:
في. ستيبانوف، دورة المعادلات التفاضلية، "LKI"، 2015.
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.