أمثلة قسمة الكسور المختلطة. وضع نظام المعادلات

§ 87. إضافة الكسور.

إضافة الكسور لها أوجه تشابه كثيرة مع جمع الأعداد الصحيحة. إضافة الكسور هو إجراء يتكون من حقيقة أن عدة أرقام (مصطلحات) يتم دمجها في رقم واحد (مجموع) ، والذي يحتوي على جميع الوحدات وكسور وحدات المصطلحات.

سننظر في ثلاث حالات بدورها:

1. جمع الكسور مع نفس القواسم.
2. جمع الكسور مع قواسم مختلفة.
3. جمع الأعداد الكسرية.

1. جمع كسور لها نفس القواسم.

فكر في مثال: 1/5 + 2/5.

خذ المقطع AB (الشكل 17) ، وخذها كوحدة وقسمها إلى 5 أجزاء متساوية ، ثم سيساوي الجزء AC من هذا المقطع 1/5 من المقطع AB ، والجزء من نفس المقطع CD سيساوي 2/5 AB.

يتضح من الرسم أنه إذا أخذنا المقطع AD ، فسيكون مساوياً لـ 3/5 AB ؛ لكن الجزء AD هو بالضبط مجموع المقاطع AC و CD. لذلك يمكننا أن نكتب:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

بالنظر إلى هذه المصطلحات والمبلغ الناتج ، نرى أنه تم الحصول على بسط المجموع عن طريق إضافة بسط المصطلحات ، وبقي المقام دون تغيير.

من هذا نحصل على القاعدة التالية: لإضافة كسور لها نفس المقامات ، يجب أن تجمع البسط وتترك نفس المقام.

فكر في مثال:

2. جمع الكسور ذات القواسم المختلفة.

دعنا نجمع الكسور: 3/4 + 3/8 أولاً يجب اختزالها إلى القاسم المشترك الأصغر:

متوسط 6/8 + 3/8 لا يمكن كتابتها ؛ لقد كتبناه هنا لمزيد من الوضوح.

لذلك ، لإضافة كسور ذات مقامات مختلفة ، يجب عليك أولاً إحضارهم إلى المقام المشترك الأصغر ، وإضافة البسط والتوقيع على المقام المشترك.

فكر في مثال (سنكتب عوامل إضافية على الكسور المقابلة):

3. جمع الأعداد الكسرية.

لنجمع الأرقام: 2 3/8 + 3 5/6.

دعنا أولاً نحضر الأجزاء الكسرية من أعدادنا إلى مقام مشترك ونعيد كتابتها مرة أخرى:

الآن أضف العدد الصحيح والجزء الكسري بالتسلسل:

§ 88. طرح الكسور.

يتم تعريف طرح الكسور بنفس طريقة طرح الأعداد الصحيحة. هذا إجراء يتم من خلاله العثور على مصطلح آخر ، نظرًا لمجموع فترتين وأحدهما. لننظر في ثلاث حالات بدورها:

1. طرح الكسور من نفس القواسم.
2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة.
3. طرح الأعداد الكسرية.

1. طرح الكسور من نفس القواسم.

فكر في مثال:

13 / 15 - 4 / 15

لنأخذ المقطع AB (الشكل 18) ، ونأخذها كوحدة ونقسمها إلى 15 جزءًا متساويًا ؛ ثم سيكون الجزء AC من هذا المقطع 1/15 من AB ، وسيتوافق الجزء AD من نفس المقطع مع 13/15 AB. لنضع جانبًا مقطعًا آخر ED ، يساوي 4/15 AB.

علينا طرح 4/15 من 13/15. في الرسم ، هذا يعني أنه يجب طرح الجزء ED من المقطع AD. نتيجة لذلك ، سيبقى الجزء AE ، وهو 9/15 من المقطع AB. حتى نتمكن من كتابة:

يوضح المثال الذي قدمناه أنه تم الحصول على بسط الفرق بطرح البسط ، وبقي المقام كما هو.

لذلك ، لطرح الكسور ذات المقامات نفسها ، عليك أن تطرح بسط المطروح من بسط المطروح وتترك نفس المقام.

2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة.

مثال. 3/4 - 5/8

أولاً ، لنختصر هذه الكسور إلى أصغر مقام مشترك:

الرابط الوسيط 6/8 - 5/8 مكتوب هنا للتوضيح ، لكن يمكن تخطيه في المستقبل.

لذلك ، من أجل طرح كسر من كسر ، يجب عليك أولاً إحضاره إلى أصغر مقام مشترك ، ثم طرح بسط المطروح من بسط الحد الأدنى وتوقيع المقام المشترك تحت الفرق بينهما.

فكر في مثال:

3. طرح الأعداد الكسرية.

مثال. 10 3/4 - 7 2/3.

لنجلب الأجزاء الكسرية من المطروح والجزء الفرعي إلى القاسم المشترك الأصغر:

لقد طرحنا الكل من الكل وكسرًا من كسر. ولكن هناك حالات يكون فيها الجزء الكسري من المطروح أكبر من الجزء الكسري من المطروح. في مثل هذه الحالات ، تحتاج إلى أخذ وحدة واحدة من الجزء الصحيح من الجزء المصغر ، وتقسيمها إلى تلك الأجزاء التي يتم فيها التعبير عن الجزء الكسري ، وإضافتها إلى الجزء الكسري من الجزء المصغر. وبعد ذلك سيتم إجراء الطرح بنفس الطريقة كما في المثال السابق:

§ 89. ضرب الكسور.

عند دراسة ضرب الكسور ، سننظر في الأسئلة التالية:

1. ضرب الكسر في عدد صحيح.
2. إيجاد كسر من رقم معين.
3. ضرب عدد صحيح في كسر.
4. ضرب كسر في كسر.
5. ضرب الأعداد الكسرية.
6. مفهوم الفائدة.
7. إيجاد النسب المئوية لعدد معين. دعونا نعتبرها بالتسلسل.

1. ضرب الكسر في عدد صحيح.

ضرب الكسر في عدد صحيح له نفس معنى ضرب عدد صحيح في عدد صحيح. يعني ضرب الكسر (المضاعف) في عدد صحيح (المضاعف) تكوين مجموع المصطلحات المتطابقة ، حيث يكون كل مصطلح مساويًا للمضاعف ، وعدد المصطلحات يساوي المضاعف.

لذلك ، إذا كنت بحاجة إلى ضرب 1/9 في 7 ، فيمكن القيام بذلك على النحو التالي:

لقد حصلنا على النتيجة بسهولة ، حيث تم تقليل الإجراء إلى إضافة كسور لها نفس القواسم. لذلك،

يُظهر النظر في هذا الإجراء أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعادل زيادة هذا الكسر عدة مرات حيث توجد وحدات في العدد الصحيح. وبما أن الزيادة في الكسر تتحقق إما بزيادة البسط

أو بإنقاص قاسمها ، إذن يمكننا إما ضرب البسط في العدد الصحيح ، أو قسمة المقام عليه ، إذا كان مثل هذا القسمة ممكنًا.

من هنا نحصل على القاعدة:

لضرب كسر في عدد صحيح ، تحتاج إلى ضرب البسط في هذا العدد الصحيح وترك المقام كما هو ، أو ، إن أمكن ، قسمة المقام على هذا الرقم ، مع ترك البسط دون تغيير.

عند الضرب ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

2. إيجاد كسر من رقم معين.هناك العديد من المشاكل التي يجب عليك فيها إيجاد أو حساب جزء من رقم معين. الفرق بين هذه المهام والمهام الأخرى هو أنها تعطي عددًا من العناصر أو وحدات القياس وتحتاج إلى العثور على جزء من هذا الرقم ، والذي يشار إليه أيضًا هنا بجزء معين. لتسهيل الفهم ، سنقدم أولاً أمثلة على مثل هذه المشكلات ، ثم نقدم طريقة حلها.

مهمة 1.كان لدي 60 روبل. 1/3 من هذه الأموال التي أنفقتها على شراء الكتب. كم تكلفة الكتب؟

المهمة 2.يجب أن يقطع القطار المسافة بين المدينتين A و B تساوي 300 كم. لقد قطع بالفعل ثلثي تلك المسافة. كم كيلومتر هذا؟

المهمة 3.يوجد في القرية 400 منزل ، 3/4 منها من الطوب والباقي من الخشب. كم عدد البيوت المبنية من الطوب؟

فيما يلي بعض المشكلات العديدة التي يتعين علينا التعامل معها لإيجاد جزء من رقم معين. يطلق عليهم عادة مشاكل لإيجاد كسر من رقم معين.

حل المشكلة 1.من 60 روبل. قضيت 1/3 على الكتب. لذا ، للعثور على تكلفة الكتب ، عليك قسمة الرقم 60 على 3:

حل المشكلة 2.معنى المشكلة أنك تحتاج إلى إيجاد 2/3 لمسافة 300 كم. احسب 1/3 الأول من 300 ؛ ويتحقق ذلك بقسمة 300 كيلومتر على 3:

300: 3 = 100 (أي 1/3 من 300).

لإيجاد ثلثي 300 ، تحتاج إلى مضاعفة حاصل القسمة الناتج ، أي الضرب في 2:

100 × 2 = 200 (أي 2/3 من 300).

حل المشكلة 3.هنا تحتاج إلى تحديد عدد المنازل المبنية من الطوب ، وهي 3/4 من 400. لنجد أولاً 1/4 من 400 ،

400: 4 = 100 (أي 1/4 من 400).

لحساب ثلاثة أرباع 400 ، يجب مضاعفة حاصل القسمة الناتج ثلاث مرات ، أي مضروبًا في 3:

100 × 3 = 300 (3/4 من 400).

بناءً على حل هذه المشكلات يمكننا استنباط القاعدة التالية:

لإيجاد قيمة كسر من رقم معين ، عليك قسمة هذا الرقم على مقام الكسر وضرب الناتج الناتج في البسط.

3. ضرب عدد صحيح في كسر.

في وقت سابق (§ 26) ، تم التأكد من أن مضاعفة الأعداد الصحيحة يجب أن تُفهم على أنها إضافة مصطلحات متطابقة (5 × 4 \ u003d 5 + 5 + 5 + 5 \ u003d 20). في هذه الفقرة (الفقرة 1) ، تم التأكيد على أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعني إيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة التي تساوي هذا الكسر.

في كلتا الحالتين ، يتكون الضرب من إيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة.

ننتقل الآن إلى ضرب عدد صحيح في كسر. هنا سنلتقي بمثل هذا ، على سبيل المثال ، الضرب: 9 2/3. من الواضح تمامًا أن التعريف السابق للضرب لا ينطبق على هذه الحالة. يتضح هذا من حقيقة أنه لا يمكننا استبدال هذا الضرب بإضافة أعداد متساوية.

لهذا السبب ، سيتعين علينا تقديم تعريف جديد للضرب ، أي بمعنى آخر ، للإجابة على السؤال حول ما يجب فهمه عن طريق الضرب في كسر ، وكيف ينبغي فهم هذا الإجراء.

معنى ضرب عدد صحيح في كسر واضح من التعريف التالي: إن ضرب عدد صحيح (مضاعف) بكسر (مضاعف) يعني إيجاد هذا الكسر من المضاعف.

أي أن ضرب 9 في 2/3 يعني إيجاد 2/3 من تسع وحدات. في الفقرة السابقة تم حل هذه المشاكل. لذلك من السهل معرفة أننا سنحصل على 6

ولكن الآن يطرح سؤال مهم ومثير للاهتمام: لماذا هذا للوهلة الأولى نشاطات متنوعةكيف تجد المجموع أعداد متساويةوإيجاد كسر العدد في الحساب تسمى نفس الكلمة "الضرب"؟

يحدث هذا لأن الإجراء السابق (تكرار الرقم مع المصطلحات عدة مرات) والإجراء الجديد (إيجاد كسر الرقم) يعطي إجابة لأسئلة متجانسة. هذا يعني أننا ننطلق هنا من الاعتبارات القائلة بأن الأسئلة أو المهام المتجانسة يتم حلها من خلال نفس الإجراء.

لفهم هذا ، ضع في اعتبارك المشكلة التالية: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم ستكون تكلفة 4 متر من قطعة القماش هذه؟

يتم حل هذه المشكلة بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (4) ، أي 50 × 4 = 200 (روبل).

لنأخذ نفس المشكلة ، ولكن سيتم التعبير عن كمية القماش في صورة عدد كسري: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم سيكلف 3/4 م من هذا القماش؟

يجب حل هذه المشكلة أيضًا بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (3/4).

يمكنك أيضًا تغيير الأرقام الموجودة فيه عدة مرات دون تغيير معنى المشكلة ، على سبيل المثال ، خذ 9/10 م أو 2 3/10 م ، إلخ.

نظرًا لأن هذه المشكلات لها نفس المحتوى وتختلف فقط في الأرقام ، فإننا نطلق على الإجراءات المستخدمة في حلها نفس الكلمة - الضرب.

كيف يتم ضرب عدد صحيح في كسر؟

لنأخذ الأرقام التي تمت مواجهتها في المشكلة الأخيرة:

وفقًا للتعريف ، يجب أن نجد 3/4 من 50. أولاً نجد 1/4 من 50 ، ثم 3/4.

1/4 من 50 هي 50/4 ؛

3/4 من 50 هو.

لذلك.

فكر في مثال آخر: 12 5/8 =؟

1/8 من 12 هي 12/8 ،

5/8 من العدد 12 هو.

لذلك،

من هنا نحصل على القاعدة:

لضرب عدد صحيح في كسر ، تحتاج إلى ضرب العدد الصحيح في بسط الكسر وجعل هذا المنتج هو البسط ، وتوقيع مقام الكسر المعطى كمقام.

نكتب هذه القاعدة باستخدام الحروف:

لتوضيح هذه القاعدة تمامًا ، يجب أن نتذكر أنه يمكن اعتبار الكسر حاصلًا للقسمة. لذلك ، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها بقاعدة ضرب رقم في حاصل القسمة ، والتي تم تحديدها في الفقرة 38

يجب أن نتذكر أنه قبل إجراء الضرب ، يجب أن تفعل (إن أمكن) التخفيضات، على سبيل المثال:

4. ضرب كسر في كسر.ضرب الكسر في كسر له نفس معنى ضرب عدد صحيح في كسر ، أي عند ضرب كسر في كسر ، تحتاج إلى إيجاد الكسر في المضاعف من الكسر الأول (مضاعف).

أي أن ضرب 3/4 في 1/2 (نصف) يعني إيجاد نصف 3/4.

كيف تضرب كسرًا في كسر؟

لنأخذ مثالاً: 3/4 مرات 5/7. هذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد 5/7 من 3/4. أوجد أول 1/7 من 3/4 ثم 5/7

سيتم التعبير عن 1/7 من 3/4 على النحو التالي:

5/7 الأرقام 3/4 سيتم التعبير عنها على النحو التالي:

هكذا،

مثال آخر: 5/8 ضرب 4/9.

1/9 من 5/8 هو ،

4/9 أرقام 5/8 هي.

هكذا،

من هذه الأمثلة يمكن استنتاج القاعدة التالية:

لضرب كسر في كسر ، عليك أن تضرب البسط في البسط والمقام في المقام وتجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والحاصل الضرب الثاني مقام حاصل الضرب.

هذه هي القاعدة في نظرة عامةيمكن كتابتها على هذا النحو:

عند الضرب ، من الضروري إجراء تخفيضات (إن أمكن). خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

5. ضرب الأعداد الكسرية.لأن أعداد مختلطةيمكن استبدالها بسهولة بكسور غير صحيحة ، وعادة ما يتم استخدام هذا الظرف عند ضرب الأعداد الكسرية. هذا يعني أنه في الحالات التي يتم فيها التعبير عن المضاعف أو المضاعف أو كلا العاملين كأرقام مختلطة ، يتم استبدالهم بكسور غير صحيحة. اضرب ، على سبيل المثال ، الأعداد الكسرية: 2 1/2 و 3 1/5. نحول كل منها إلى كسر غير فعلي ثم نضرب الكسور الناتجة وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في كسر:

قاعدة.لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في الكسر.

ملحوظة.إذا كان أحد العوامل عددًا صحيحًا ، فيمكن إجراء الضرب بناءً على قانون التوزيع على النحو التالي:

6. مفهوم الفائدة.عند حل المسائل وإجراء العمليات الحسابية المختلفة ، نستخدم جميع أنواع الكسور. لكن يجب على المرء أن يضع في اعتباره أن العديد من الكميات لا تقبل أي تقسيمات فرعية طبيعية لها. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ مائة (1/100) من الروبل ، فستكون بنسًا واحدًا ، ومئتان تساوي 2 كوبيل ، وثلاث مائة تساوي 3 كوبيل. يمكنك أن تأخذ 1/10 من الروبل ، سيكون "10 كوبيل ، أو عشرة سنتات. يمكنك أن تأخذ ربع الروبل ، أي 25 كوبيل ، نصف روبل ، أي 50 كوبيل (خمسون كوبيل). لكنهم لا يفعلون ذلك عمليًا. لنأخذ ، على سبيل المثال ، 2/7 روبل لأن الروبل لا يقسم إلى سبعة.

تسمح وحدة قياس الوزن ، أي الكيلوغرام ، أولاً وقبل كل شيء ، بالتقسيمات العشرية ، على سبيل المثال ، 1/10 كجم ، أو 100 جم. وكسور الكيلوغرام مثل 1/6 ، 1/11 ، 1 / 13 غير شائعة.

بشكل عام ، تكون مقاييسنا (المترية) عشرية وتسمح بالتقسيمات الفرعية العشرية.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أنه من المفيد للغاية والملائم في مجموعة متنوعة من الحالات استخدام نفس الطريقة (الموحدة) لتقسيم الكميات. سنوات من الخبرةأظهر أن مثل هذا التقسيم المبرر هو تقسيم "المئات". لنأخذ في الاعتبار بعض الأمثلة المتعلقة بأكثر مجالات الممارسة البشرية تنوعًا.

1. انخفض سعر الكتب بنسبة 12/100 عن السعر السابق.

مثال. السعر السابق للكتاب 10 روبل. نزلت بمقدار 1 روبل. 20 كوب.

2. تقوم بنوك الادخار خلال العام بدفع 2/100 للمودعين من المبلغ الذي يتم ادخاره.

مثال. يتم وضع 500 روبل في مكتب النقدية ، والدخل من هذا المبلغ للسنة هو 10 روبل.

3. بلغ عدد خريجي مدرسة واحدة 5/100 من إجمالي عدد الطلاب.

مثال فقط 1200 طالب درسوا في المدرسة ، 60 منهم تخرجوا من المدرسة.

يُطلق على المائة من الرقم نسبة مئوية..

كلمة "النسبة المئوية" مستعارة من لاتينيوجذره "سنت" يعني مائة. مع حرف الجر (pro centum) ، هذه الكلمة تعني "لمائة". يأتي معنى هذا التعبير من حقيقة أنه في البداية في روما القديمة كانت الفائدة هي الأموال التي يدفعها المدين للمقرض "لكل مائة". يتم سماع كلمة "cent" في مثل هذه الكلمات المألوفة: centner (مائة كيلوغرام) ، السنتيمتر (يقولون سم).

على سبيل المثال ، بدلاً من القول إن المصنع أنتج 1/100 من جميع المنتجات التي أنتجها خلال الشهر الماضي ، سنقول هذا: أنتج المصنع واحد بالمائة من المرفوضات خلال الشهر الماضي. وبدلاً من القول: أنتج المصنع 4/100 منتجًا أكثر من الخطة الموضوعة ، سنقول: المصنع تجاوز الخطة بنسبة 4 بالمائة.

يمكن التعبير عن الأمثلة المذكورة أعلاه بشكل مختلف:

1. انخفض سعر الكتب بنسبة 12 بالمائة عن السعر السابق.

2. تدفع بنوك الادخار للمودعين 2 في المائة سنويًا من المبلغ الذي يتم توفيره في المدخرات.

3. بلغ عدد خريجي مدرسة واحدة 5٪ من مجموع الطلاب في المدرسة.

لتقصير الحرف ، من المعتاد كتابة علامة٪ بدلاً من كلمة "نسبة مئوية".

ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن علامة النسبة المئوية لا تُكتب عادةً في الحسابات ، ويمكن كتابتها في بيان المشكلة وفي النتيجة النهائية. عند إجراء العمليات الحسابية ، تحتاج إلى كتابة كسر مقامه 100 بدلاً من كتابة عدد صحيح باستخدام هذه الأيقونة.

يجب أن تكون قادرًا على استبدال عدد صحيح بالأيقونة المحددة بكسر مقام 100:

بالمقابل ، يجب أن تعتاد على كتابة عدد صحيح بالأيقونة المشار إليها بدلاً من كسر مقامه 100:

7. إيجاد النسب المئوية لعدد معين.

مهمة 1.استقبلت المدرسة 200 متر مكعب. متر من الحطب ، مع حطب خشب البتولا الذي يمثل 30 ٪. كم كان خشب البتولا هناك؟

معنى هذه المشكلة هو أن حطب البتولا لم يكن سوى جزء من الحطب الذي تم تسليمه إلى المدرسة ، ويتم التعبير عن هذا الجزء كجزء من 30/100. لذا ، فإننا نواجه مهمة إيجاد كسر من رقم. لحلها ، يجب علينا ضرب 200 في 30/100 (يتم حل المهام الخاصة بإيجاد كسر الرقم بضرب رقم في كسر.).

إذن 30٪ من 200 يساوي 60.

يمكن تقليل الكسر 30/100 الذي تم العثور عليه في هذه المشكلة بمقدار 10. سيكون من الممكن إجراء هذا التخفيض من البداية ؛ لن يتغير حل المشكلة.

المهمة 2.كان هناك 300 طفل من مختلف الأعمار في المخيم. الأطفال بعمر 11 سنة 21٪ ، الأطفال بعمر 12 سنة 61٪ وأخيراً 13 سنة 18٪. كم عدد الأطفال من كل عمر في المخيم؟

في هذه المشكلة ، تحتاج إلى إجراء ثلاث عمليات حسابية ، أي إيجاد عدد الأطفال الذين تبلغ أعمارهم 11 عامًا ، ثم 12 عامًا ، وأخيرًا 13 عامًا.

لذا ، من الضروري هنا إيجاد كسر للعدد ثلاث مرات. دعنا نقوم به:

1) كم يبلغ عدد الأطفال 11 سنة؟

2) كم عدد الأطفال بعمر 12 سنة؟

3) كم يبلغ عدد الأطفال 13 سنة؟

بعد حل المشكلة ، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة ؛ يجب أن يكون مجموعهم 300:

63 + 183 + 54 = 300

يجب أيضًا الانتباه إلى حقيقة أن مجموع النسب المئوية المعطاة في حالة المشكلة هو 100:

21% + 61% + 18% = 100%

هذا يشير إلى أن الرقم الإجماليتم أخذ الأطفال الذين كانوا في المخيم بنسبة 100٪.

3 أ دا تشا 3.تلقى العامل 1200 روبل شهريًا. ومن بين هؤلاء ، أنفق 65٪ على الطعام ، و 6٪ على الشقة والتدفئة ، و 4٪ على الغاز والكهرباء والراديو ، و 10٪ على الاحتياجات الثقافية و 15٪ على الادخار. ما مقدار الأموال التي تم إنفاقها على الاحتياجات المشار إليها في المهمة؟

لحل هذه المسألة ، عليك إيجاد كسر من العدد 1200 5 مرات ، لنفعل ذلك.

1) ما مقدار المال الذي يتم إنفاقه على الطعام؟ تقول المهمة أن هذه المصروفات تمثل 65٪ من إجمالي الأرباح ، أي 65/100 من العدد 1200. لنقم بالحساب:

2) كم من المال تم دفعه لشقة مع تدفئة؟ بجدل مثل السابق ، نصل إلى الحساب التالي:

3) كم من المال دفعته مقابل الغاز والكهرباء والراديو؟

4) ما مقدار الأموال التي يتم إنفاقها على الاحتياجات الثقافية؟

5) ما مقدار المال الذي وفره العامل؟

للتحقق ، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة في هذه الأسئلة الخمسة. يجب أن يكون المبلغ 1200 روبل. يتم أخذ جميع الأرباح على أنها 100٪ ، وهو أمر يسهل التحقق منه عن طريق إضافة النسب المئوية الواردة في بيان المشكلة.

لقد حللنا ثلاث مشاكل. على الرغم من أن هذه المهام كانت تتعلق بأمور مختلفة (توصيل الحطب للمدرسة ، وعدد الأطفال من مختلف الأعمار ، ونفقات العامل) ، فقد تم حلها بنفس الطريقة. حدث هذا لأنه كان من الضروري في جميع المهام العثور على نسبة قليلة من الأرقام المحددة.

§ 90. تقسيم الكسور.

عند دراسة قسمة الكسور ، سننظر في الأسئلة التالية:

1. قسّم عددًا صحيحًا على عدد صحيح.
2. قسمة الكسر على عدد صحيح
3. قسمة عدد صحيح على كسر.
4. قسمة الكسر على كسر.
5. تقسيم الأعداد الكسرية.
6. إيجاد رقم بمعلومية كسره.
7. إيجاد رقم بنسبته المئوية.

دعونا نعتبرها بالتسلسل.

1. قسّم عددًا صحيحًا على عدد صحيح.

كما هو موضح في قسم الأعداد الصحيحة ، فإن القسمة هي الإجراء الذي يتكون من حقيقة أنه ، بالنظر إلى ناتج عاملين (المقسوم) وأحد هذه العوامل (المقسوم) ، تم العثور على عامل آخر.

قسمة عدد صحيح على عدد صحيح اعتبرناه في قسم الأعداد الصحيحة. التقينا هناك حالتين من الانقسام: قسمة بدون باقي ، أو "بالكامل" (150: 10 = 15) ، والقسمة مع الباقي (100: 9 = 11 و 1 في الباقي). لذلك يمكننا القول أنه في عالم الأعداد الصحيحة ، ليس من الممكن دائمًا القسمة الدقيقة ، لأن المقسوم ليس دائمًا حاصل ضرب المقسوم عليه والعدد الصحيح. بعد إدخال الضرب على الكسر ، يمكننا اعتبار أي حالة من حالات قسمة الأعداد الصحيحة قدر الإمكان (يتم استبعاد القسمة على الصفر فقط).

على سبيل المثال ، قسمة 7 على 12 يعني إيجاد رقم يكون حاصل ضربه في 12 هو 7. هذا الرقم هو الكسر 7/12 لأن 7/12 12 = 7. مثال آخر: 14: 25 = 14/25 لأن 14/25 25 = 14.

وبالتالي ، لقسمة عدد صحيح على عدد صحيح ، تحتاج إلى عمل كسر ، بسطه يساوي المقسوم ، والمقام هو المقسوم عليه.

2. قسمة الكسر على عدد صحيح.

قسّم الكسر 6/7 على 3. وفقًا لتعريف القسمة الموضح أعلاه ، لدينا هنا المنتج (6/7) وأحد العوامل (3) ؛ مطلوب إيجاد عامل ثانٍ ، عند ضربه في 3 ، سيعطي المنتج المحدد 6/7. من الواضح أنه يجب أن يكون أصغر بثلاث مرات من هذا المنتج. هذا يعني أن المهمة التي أمامنا كانت تقليل الكسر 6/7 بمقدار 3 مرات.

نعلم بالفعل أنه يمكن تصغير الكسر إما بإنقاص البسط أو زيادة مقامه. لذلك يمكنك كتابة:

في هذه الحالة ، البسط 6 يقبل القسمة على 3 ، لذلك يجب تقليل البسط بمقدار 3 مرات.

لنأخذ مثالًا آخر: 5/8 مقسومًا على 2. هنا البسط 5 غير قابل للقسمة على 2 ، مما يعني أنه يجب ضرب المقام في هذا الرقم:

وبناءً على ذلك يمكننا أن نذكر القاعدة: لقسمة كسر على عدد صحيح ، تحتاج إلى قسمة بسط الكسر على هذا العدد الصحيح(إذا كان ذلك ممكنا)، مع ترك نفس المقام ، أو اضرب مقام الكسر في هذا العدد ، مع ترك نفس البسط.

3. قسمة عدد صحيح على كسر.

دعنا نطلب قسمة 5 على 1/2 ، أي العثور على رقم ، بعد ضربه في 1/2 ، سيعطي المنتج 5. من الواضح أن هذا الرقم يجب أن يكون أكبر من 5 ، لأن 1/2 هو كسر صحيح ، وعند ضرب رقم في كسر مناسب ، يجب أن يكون حاصل الضرب أقل من المضاعف. لتوضيح الأمر ، دعنا نكتب أفعالنا على النحو التالي: 5: 1/2 = X ، لذلك × 1/2 \ u003d 5.

يجب أن نجد مثل هذا الرقم X ، والتي ، عند ضربها في 1/2 ، تعطي 5. نظرًا لأن ضرب رقم معين في 1/2 يعني إيجاد 1/2 من هذا العدد ، إذن ، 1/2 من الرقم المجهول X هو 5 والعدد الصحيح X ضعف ذلك ، أي 5 2 \ u003d 10.

إذن 5: 1/2 = 5 2 = 10

دعونا تحقق:

لنفكر في مثال آخر. دعه يطلب قسمة 6 على 2/3. دعنا نحاول أولاً العثور على النتيجة المرجوة باستخدام الرسم (الشكل 19).

الشكل 19

ارسم قطعة AB ، تساوي 6 من بعض الوحدات ، وقسم كل وحدة إلى 3 أجزاء متساوية. في كل وحدة ، ثلاثة أثلاث (3/3) في المقطع AB بأكمله أكبر 6 مرات ، أي هـ. 18/3. نحن نتواصل بمساعدة الأقواس الصغيرة التي تم الحصول عليها 18 مقطعًا من 2 ؛ سيكون هناك 9 أجزاء فقط. هذا يعني أن الكسر 2/3 موجود في وحدات b 9 مرات ، أو بعبارة أخرى ، الكسر 2/3 أقل 9 مرات من 6 وحدات صحيحة. لذلك،

كيف تحصل على هذه النتيجة بدون رسم باستخدام الحسابات فقط؟ سنناقش على النحو التالي: مطلوب قسمة 6 على 2/3 ، أي مطلوب الإجابة على السؤال ، كم مرة يتم احتواء 2/3 في 6. دعنا نكتشف أولاً: كم مرة هو 1/3 الواردة في 6؟ في الوحدة الكاملة - 3 أثلاث ، وفي 6 وحدات - 6 مرات أكثر ، أي 18 ثلثًا ؛ لإيجاد هذا الرقم ، يجب أن نضرب 6 في 3. وبالتالي ، يتم احتواء 1/3 في وحدات b 18 مرة ، و 2/3 موجود في وحدات b ليس 18 مرة ، ولكن نصف عدد المرات ، أي 18: 2 = 9 لذلك ، عند قسمة 6 على 2/3 فعلنا ذلك الإجراءات التالية:

من هنا نحصل على قاعدة قسمة عدد صحيح على كسر. لقسمة عدد صحيح على كسر ، تحتاج إلى ضرب هذا العدد الصحيح في مقام الكسر المحدد ، وجعل هذا المنتج هو البسط ، وقسمته على بسط الكسر المحدد.

نكتب القاعدة بالحروف:

لتوضيح هذه القاعدة تمامًا ، يجب أن نتذكر أنه يمكن اعتبار الكسر حاصلًا للقسمة. لذلك ، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها بقاعدة قسمة رقم على حاصل القسمة ، والتي تم تحديدها في الفقرة 38. لاحظ أنه تم الحصول على نفس الصيغة هناك.

عند القسمة ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

4. قسمة الكسر على كسر.

دعه مطلوبًا لتقسيم 3/4 على 3/8. ماذا سيشير إلى الرقم الذي سيتم الحصول عليه نتيجة القسمة؟ سيجيب على السؤال: كم مرة يحتوي الكسر 3/8 في الكسر 3/4. لفهم هذه المشكلة ، دعنا نرسم (الشكل 20).

خذ المقطع AB ، واعتبره وحدة ، وقسمه إلى 4 أجزاء متساوية وحدد 3 أجزاء من هذا القبيل. سيساوي الجزء AC 3/4 الجزء AB. دعونا الآن نقسم كل جزء من الأجزاء الأربعة الأولية إلى نصفين ، ثم يتم تقسيم الجزء AB إلى 8 أجزاء متساوية وسيكون كل جزء مساويًا لـ 1/8 من المقطع AB. نقوم بتوصيل 3 مقاطع من هذا القبيل بأقواس ، ثم يكون كل جزء من المقاطع AD و DC مساوياً لـ 3/8 من المقطع AB. يوضح الرسم أن الجزء الذي يساوي 3/8 موجود في المقطع الذي يساوي 3/4 مرتين بالضبط ؛ لذلك يمكن كتابة نتيجة القسمة على النحو التالي:

3 / 4: 3 / 8 = 2

لنفكر في مثال آخر. فليطلب قسمة 15/16 على 3/32:

يمكننا أن نفكر على هذا النحو: نحتاج إلى إيجاد رقم ، بعد ضربه في 3/32 ، سيعطي حاصلًا يساوي 15/16. لنكتب الحسابات مثل هذا:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 رقم غير معروف X مكياج 15/16

1/32 رقم غير معروف X يكون ،

32/32 رقمًا X ماكياج .

لذلك،

وهكذا ، لقسمة كسر على كسر ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني ، وضرب مقام الكسر الأول في بسط الثاني ، وجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والبسط. ثاني المقام.

لنكتب القاعدة باستخدام الحروف:

عند القسمة ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

5. تقسيم الأعداد الكسرية.

عند قسمة الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير صحيحة ، ومن ثم يجب تقسيم الكسور الناتجة وفقًا لقواعد قسمة الأعداد الكسرية. فكر في مثال:

تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية:

الآن دعنا نقسم:

وبالتالي ، لتقسيم الأعداد الكسرية ، تحتاج إلى تحويلها إلى كسور غير صحيحة ثم القسمة وفقًا لقاعدة قسمة الكسور.

6. إيجاد رقم بمعلومية كسره.

من بين المهام المختلفة على الكسور ، هناك أحيانًا تلك التي يتم فيها إعطاء قيمة جزء من عدد غير معروف ويكون مطلوبًا للعثور على هذا الرقم. هذا النوع من المسائل سيكون معكوسًا لمشكلة إيجاد كسر من رقم معين ؛ تم إعطاء رقم وكان مطلوبًا العثور على جزء من هذا الرقم ، هنا تم إعطاء كسر من رقم ومطلوب لإيجاد هذا الرقم نفسه. ستصبح هذه الفكرة أكثر وضوحًا إذا لجأنا إلى حل هذا النوع من المشاكل.

مهمة 1.في اليوم الأول ، قامت الزجاجات بزجاج 50 نافذة ، أي 1/3 من جميع نوافذ المنزل المبني. كم عدد النوافذ في هذا المنزل؟

حل.تشير المشكلة إلى أن 50 نافذة زجاجية تشكل ثلث جميع نوافذ المنزل ، مما يعني أن هناك نوافذ أكثر بثلاث مرات في المجموع ، أي

كان المنزل يحتوي على 150 نافذة.

المهمة 2.باع المحل 1500 كيلوغرام من الدقيق ، أي 3/8 من إجمالي مخزون الدقيق في المحل. ما هو العرض الأولي للدقيق من المتجر؟

حل.يتضح من حالة المشكلة أن 1500 كجم من الدقيق المباع تشكل 3/8 من إجمالي المخزون ؛ هذا يعني أن 1/8 من هذا السهم سيكون أقل بثلاث مرات ، أي لحسابه ، تحتاج إلى تقليل 1500 بمقدار 3 مرات:

1500: 3 = 500 (أي 1/8 السهم).

من الواضح أن المخزون بالكامل سيكون أكبر بمقدار 8 مرات. لذلك،

500 8 = 4000 (كجم).

كان العرض الأولي للدقيق في المتجر 4000 كجم.

من خلال النظر في هذه المشكلة ، يمكن استنتاج القاعدة التالية.

لإيجاد رقم بقيمة معينة من كسره ، يكفي قسمة هذه القيمة على بسط الكسر وضرب الناتج في مقام الكسر.

حللنا مشكلتين لإيجاد عدد بمعلومية كسره. يتم حل مثل هذه المشكلات ، كما هو واضح بشكل خاص من المشكلة الأخيرة ، من خلال إجراءين: القسمة (عند العثور على جزء واحد) والضرب (عند العثور على العدد الصحيح).

ومع ذلك ، بعد أن درسنا تقسيم الكسور ، يمكن حل المشكلات المذكورة أعلاه في إجراء واحد ، وهو: القسمة على كسر.

على سبيل المثال ، يمكن حل المهمة الأخيرة في إجراء واحد مثل هذا:

في المستقبل ، سنحل مشكلة إيجاد رقم بكسره في إجراء واحد - القسمة.

7. إيجاد رقم بنسبته المئوية.

في هذه المهام ، ستحتاج إلى العثور على رقم ، مع معرفة نسبة مئوية قليلة من هذا الرقم.

مهمة 1.في بداية هذا العام ، تلقيت 60 روبل من بنك التوفير. الدخل من المبلغ الذي أدخلته في المدخرات قبل عام. كم من المال وضعته في بنك التوفير؟ (تمنح المكاتب النقدية المودعين 2٪ من الدخل سنويًا).

معنى المشكلة هو أن مبلغًا معينًا من المال تم وضعه من قبلي في بنك التوفير ووضعه هناك لمدة عام. بعد عام ، تلقيت 60 روبل منها. الدخل ، وهو 2/100 من الأموال التي أضعها. كم من المال قمت بإيداعه؟

لذلك ، بمعرفة جزء هذا المال ، معبراً عنه بطريقتين (بالروبل والكسور) ، يجب أن نجد المبلغ بالكامل ، غير المعروف حتى الآن. هذه مشكلة عادية لإيجاد رقم بمعلومية كسره. يتم حل المهام التالية عن طريق التقسيم:

لذلك ، تم وضع 3000 روبل في بنك الادخار.

المهمة 2.في غضون أسبوعين ، حقق الصيادون الخطة الشهرية بنسبة 64٪ بعد أن أعدوا 512 طنًا من الأسماك. ماذا كانت خطتهم؟

من حالة المشكلة ، من المعروف أن الصيادين أكملوا جزءًا من الخطة. هذا الجزء يساوي 512 طن أي 64٪ من الخطة. كم أطنان من الأسماك يجب حصادها وفقًا للخطة ، لا نعرف. سيتكون حل المشكلة من إيجاد هذا الرقم.

يتم حل هذه المهام عن طريق قسمة:

لذلك ، وفقًا للخطة ، تحتاج إلى تحضير 800 طن من الأسماك.

المهمة 3.ذهب القطار من ريغا إلى موسكو. عندما تجاوز الكيلومتر 276 ، سأل أحد الركاب المحصل المار عن مقدار الرحلة التي قطعوها بالفعل. أجاب المحصل على ذلك: "لقد غطينا بالفعل 30٪ من الرحلة بأكملها." ما هي المسافة من ريغا الى موسكو؟

يتضح من حالة المشكلة أن 30٪ من الرحلة من ريغا إلى موسكو تبلغ 276 كم. نحتاج إلى إيجاد المسافة الكاملة بين هذه المدن ، أي في هذا الجزء ، أوجد الكل:

§ 91. الأعداد المتبادلة. استبدال القسمة بالضرب.

خذ الكسر 2/3 وأعد ترتيب البسط إلى مكان المقام ، نحصل على 3/2. حصلنا على كسر ، مقلوب هذا الكسر.

من أجل الحصول على مقلوب كسر لكسر ما ، عليك أن تضع بسطه مكان المقام ، والمقام مكان البسط. بهذه الطريقة ، يمكننا الحصول على كسر هو مقلوب أي كسر. على سبيل المثال:

3/4 ، عكس 4/3 ؛ 5/6 ، عكس 6/5

يسمى كسران لهما خاصية أن بسط الأول هو مقام الثاني ومقام الأول هو بسط الثاني. متبادل معكوس.

لنفكر الآن في الكسر الذي سيكون مقلوب 1/2. من الواضح أنه سيكون 2/1 ، أو 2. عند البحث عن مقلوب هذا ، حصلنا على عدد صحيح. وهذه الحالة ليست معزولة. على العكس من ذلك ، بالنسبة لجميع الكسور ذات البسط 1 (واحد) ، سيكون المقلوب أعدادًا صحيحة ، على سبيل المثال:

1/3 ، معكوس 3 ؛ 1/5 ، عكس 5

نظرًا لأننا التقينا أيضًا بأعداد صحيحة عند إيجاد المعادلات ، فلن نتحدث في المستقبل عن المعاملة بالمثل ، بل عن المعاملة بالمثل.

لنتعرف على كيفية كتابة مقلوب عدد صحيح. بالنسبة للكسور ، يتم حل ذلك ببساطة: تحتاج إلى وضع المقام في مكان البسط. بنفس الطريقة ، يمكنك الحصول على مقلوب عدد صحيح ، لأن أي عدد صحيح يمكن أن يكون له مقام 1. لذلك ، مقلوب 7 سيكون 1/7 ، لأن 7 \ u003d 7/1 ؛ بالنسبة للرقم 10 ، يكون العكس هو 1/10 لأن 10 = 10/1

يمكن التعبير عن هذه الفكرة بطريقة أخرى: يتم الحصول على مقلوب رقم معين بقسمة واحد على الرقم المحدد. هذه العبارة صحيحة ليس فقط للأعداد الصحيحة ، ولكن أيضًا على الكسور. في الواقع ، إذا كنت تريد كتابة رقم مقلوب للكسر 5/9 ، فيمكننا أخذ 1 وقسمته على 5/9 ، أي

الآن دعنا نشير إلى واحد ملكيةأرقام متبادلة متبادلة ، والتي ستكون مفيدة لنا: حاصل ضرب الأعداد المتبادلة يساوي واحدًا.بالفعل:

باستخدام هذه الخاصية ، يمكننا إيجاد المعادلات بالطريقة التالية. لنوجد مقلوب 8.

دعنا نشير إليها بالحرف X ، ثم 8 X = 1 ، وبالتالي X = 1/8. لنجد رقمًا آخر ، وهو معكوس 7/12 ، ونرمز إليه بحرف X ، ثم 7/12 X = 1 ، وبالتالي X = 1: 7/12 أو X = 12 / 7 .

قدمنا هنا مفهوم الأعداد المتبادلة من أجل استكمال المعلومات حول قسمة الكسور بشكل طفيف.

عندما نقسم الرقم 6 على 3/5 ، فإننا نقوم بما يلي:

انتبه بشكل خاص للتعبير وقارنه بالتعبير المعطى:.

إذا أخذنا التعبير بشكل منفصل ، دون الاتصال بالتعبير السابق ، فمن المستحيل حل السؤال من أين أتى: من قسمة 6 على 3/5 أو من ضرب 6 في 5/3. في كلتا الحالتين النتيجة واحدة. لذلك يمكننا القول أن قسمة رقم على آخر يمكن استبدالها بضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

الأمثلة التي نقدمها أدناه تؤكد تمامًا هذا الاستنتاج.

تي نوع الفصل: ONZ (اكتشاف معرفة جديدة - وفقًا لتقنية أسلوب النشاط في التدريس).

الأهداف الأساسية:

استنتج طرق قسمة الكسر على عدد طبيعي ؛
لتكوين القدرة على إجراء قسمة الكسر على عدد طبيعي ؛
كرر ودمج قسمة الكسور ؛
تدريب القدرة على تقليل الكسور وتحليل المشكلات وحلها.

المواد التجريبية للمعدات:

1. مهام لتحديث المعرفة:

قارن التعبيرات:

مرجع:

2. المهمة التجريبية (الفردية).

1. أداء القسمة:

2. قم بإجراء القسمة دون إجراء سلسلة العمليات الحسابية بأكملها:.

مراجع:

عند قسمة كسر على عدد طبيعي ، يمكنك ضرب المقام في هذا الرقم وترك البسط كما هو.

إذا كان البسط قابلاً للقسمة على رقم طبيعي ، فعند قسمة كسر على هذا الرقم ، يمكنك قسمة البسط على الرقم ، وترك المقام كما هو.

خلال الفصول

أولا الدافع (تقرير المصير) ل نشاطات التعلم.

الغرض من المرحلة:

تنظيم تحقيق المتطلبات للطالب من جانب الأنشطة التعليمية ("must") ؛
تنظيم أنشطة الطلاب لإنشاء إطار موضوعي ("أنا أستطيع") ؛
لتهيئة الظروف للطالب ليكون لديه حاجة داخلية للاندماج في الأنشطة التعليمية ("أريد").

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الأولى.

مرحبًا! يسعدني أن أراكم جميعًا في فصل الرياضيات. آمل أن يكون متبادلاً.

يا رفاق ، ما هي المعرفة الجديدة التي اكتسبتموها في الدرس الأخير؟ (قسمة الكسور).

يمين. ما الذي يساعدك على قسمة الكسور؟ (حكم ، خصائص).

أين نحتاج هذه المعرفة؟ (في الأمثلة والمعادلات والمهام).

أحسنت! لقد أبليت بلاء حسنا في الدرس الأخير. هل ترغب في اكتشاف معرفة جديدة بنفسك اليوم؟ (نعم).

ثم اذهب! وشعار الدرس هو عبارة "لا يمكن تعلم الرياضيات بمشاهدة كيف يفعلها جارك!".

ثانيًا. تفعيل المعرفة وتثبيت صعوبة فردية في إجراء محاكمة.

الغرض من المرحلة:

لتنظيم تحقيق أساليب العمل المدروسة الكافية لبناء معرفة جديدة. إصلاح هذه الأساليب لفظيًا (في الكلام) ورمزًا (قياسيًا) وتعميمها ؛
تنظيم تحقيق العمليات العقلية و العمليات المعرفيةكافية لبناء معرفة جديدة ؛
التحفيز على إجراء محاكمة وتنفيذها وتبريرها بشكل مستقل ؛
تقديم مهمة فردية لإجراء تجريبي وتحليلها من أجل تحديد محتوى تعليمي جديد ؛
تنظيم تثبيت الهدف التربوي وموضوع الدرس ؛
تنظيم تنفيذ إجراء المحاكمة وتحديد الصعوبة ؛
قم بتنظيم تحليل للردود الواردة وسجل الصعوبات الفردية في تنفيذ إجراء تجريبي أو تبريره.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثانية.

أماميًا باستخدام الأجهزة اللوحية (اللوحات الفردية).

1. قارن التعبيرات:

(هذه التعبيرات متساوية)

ما الأشياء الشيقة التي لاحظتها؟ (يزداد بسط المقسوم ومقامه وبسط المقسوم عليه في كل تعبير ومقامه بنفس عدد المرات. وهكذا يتم تمثيل المقسوم والمقسوم في التعابير بكسور متساوية مع بعضها البعض).

ابحث عن معنى التعبير واكتبه على الجهاز اللوحي. (2)

كيف تكتب هذا الرقم في صورة كسر؟

كيف قمت بعمل القسمة؟ (ينطق الأطفال القاعدة ، المعلم يعلق الحروف على السبورة)

2. احسب وسجل النتائج فقط:

3. اجمع نتائجك واكتب إجابتك. (2)

ما اسم الرقم الذي تم الحصول عليه في المهمة 3؟ (طبيعي)

هل تعتقد أنه يمكنك قسمة كسر على عدد طبيعي؟ (نعم ، سنحاول)

جرب هذا.

4. مهمة فردية (تجريبية).

قم بالقسمة: (مثال فقط)

ما هي القاعدة التي استخدمتها للقسمة؟ (وفقًا لقاعدة قسمة الكسر على الكسر)

الآن اقسم الكسر على عدد طبيعي بطريقة بسيطة، دون إجراء سلسلة الحسابات بأكملها: (مثال ب). أعطيك 3 ثوان لهذا.

من فشل في إكمال المهمة في 3 ثوان؟

من صنعها؟ (لا يوجد مثل هذا)

لماذا؟ (لا نعرف الطريق)

على ماذا حصلت؟ (صعوبة)

ماذا تعتقد سنفعل في الفصل؟ (اقسم الكسور على الأعداد الطبيعية)

هذا صحيح ، افتح دفاتر ملاحظاتك واكتب موضوع الدرس "قسمة الكسر على عدد طبيعي".

لماذا يبدو هذا الموضوع جديدًا وأنت تعرف بالفعل كيفية قسمة الكسور؟ (بحاجة الى طريقة جديدة)

يمين. سنقوم اليوم بإنشاء تقنية تبسط قسمة الكسر على عدد طبيعي.

ثالثا. تحديد المكان وسبب الصعوبة.

الغرض من المرحلة:

تنظيم استعادة العمليات المنجزة وتحديد المكان (الشفهي والرمزي) - الخطوة ، العملية ، حيث نشأت الصعوبة ؛
لتنظيم ارتباط تصرفات الطلاب بالطريقة (الخوارزمية) المستخدمة والتثبيت في الكلام الخارجي لسبب الصعوبة - تلك المعارف أو المهارات أو القدرات المحددة التي لا تكفي لحل المشكلة الأولية من هذا النوع.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثالثة.

ما المهمة التي كان عليك إكمالها؟ (اقسم كسرًا على رقم طبيعي دون إجراء سلسلة العمليات الحسابية بالكامل)

ما الذي سبب لك صعوبة؟ (لا يمكن أن تقرر ل وقت قصيرالطريق السريع)

ما هو الغرض من درسنا؟ (يجد الطريق السريعقسمة الكسر على عدد طبيعي)

ماذا سيساعدك؟ (قاعدة معروفة بالفعل لقسمة الكسور)

رابعا. انشاء مشروع مخرج من الصعوبة.

الغرض من المرحلة:

توضيح الغرض من المشروع.
اختيار الطريقة (توضيح) ؛
تعريف الوسائل (الخوارزمية) ؛
بناء خطة لتحقيق الهدف.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الرابعة.

دعنا نعود إلى حالة الاختبار. هل قلت إنك قسمة على قاعدة قسمة الكسور؟ (نعم)

للقيام بذلك ، استبدل عددًا طبيعيًا بكسر؟ (نعم)

ما هي الخطوة (الخطوات) التي تعتقد أنه يمكنك تخطيها؟

(سلسلة الحل مفتوحة على السبورة:

تحليل واستنتاج. (الخطوة 1)

إذا لم تكن هناك إجابة ، فإننا نلخص من خلال الأسئلة:

أين ذهب المقسوم الطبيعي؟ (إلى المقام)

هل تغير البسط؟ (لا)

إذن ما هي الخطوة التي يمكن "حذفها"؟ (الخطوة 1)

خطة عمل:

اضرب مقام الكسر في العدد الطبيعي.
البسط لا يتغير.
نحصل على كسر جديد.

خامسا - تنفيذ المشروع المبني.

الغرض من المرحلة:

تنظيم التفاعل التواصلي من أجل تنفيذ المشروع الذي تم إنشاؤه بهدف اكتساب المعرفة المفقودة ؛
تنظيم تثبيت طريقة العمل المركبة في الكلام والعلامات (بمساعدة معيار) ؛
تنظيم حل المشكلة الأصلية وتسجيل التغلب على الصعوبة ؛
نظِّم توضيحًا للطبيعة العامة للمعرفة الجديدة.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الخامسة.

الآن قم بتشغيل حالة الاختبار بالطريقة الجديدة بسرعة.

هل أنت قادر على إتمام المهمة بسرعة الآن؟ (نعم)

اشرح كيف فعلت ذلك؟ (الأطفال يتكلمون)

هذا يعني أننا تلقينا معرفة جديدة: قاعدة قسمة الكسر على عدد طبيعي.

أحسنت! قلها في أزواج.

ثم يتحدث أحد الطلاب إلى الفصل. نقوم بإصلاح خوارزمية القواعد شفهيًا وفي شكل معيار على السبورة.

أدخل الآن تسميات الحروف واكتب الصيغة الخاصة بقاعدتنا.

يكتب الطالب على السبورة ، ونطق القاعدة: عند قسمة كسر على رقم طبيعي ، يمكنك ضرب المقام في هذا الرقم ، وترك البسط كما هو.

(الجميع يكتب الصيغة في دفاتر الملاحظات).

والآن مرة أخرى نحلل سلسلة حل المهمة التجريبية ، مع إيلاء اهتمام خاص للإجابة. ماذا فعلوا؟ (بسط الكسر 15 تم قسمة (اختزال) على الرقم 3)

ما هذا الرقم؟ (طبيعي ، قاسم)

إذن كيف يمكنك قسمة كسر على عدد طبيعي؟ (تحقق: إذا كان بسط الكسر قابلاً للقسمة على هذا الرقم الطبيعي ، فيمكنك قسمة البسط على هذا الرقم ، وكتابة النتيجة في بسط الكسر الجديد ، وترك المقام كما هو)

اكتب هذه الطريقة في صورة معادلة. (يكتب الطالب القاعدة على السبورة. يكتب الجميع الصيغة في دفاتر الملاحظات.)

دعنا نعود إلى الطريقة الأولى. هل يمكن استخدامه إذا: n؟ (نعم انها الطريقة العامة)

ومتى تكون الطريقة الثانية ملائمة للاستخدام؟ (عندما يكون بسط الكسر قابلاً للقسمة على رقم طبيعي بدون باقي)

السادس. التوحيد الأساسي مع النطق في الكلام الخارجي.

الغرض من المرحلة:

لتنظيم استيعاب الأطفال لطريقة عمل جديدة عند حل المشكلات النموذجية المتعلقة بنطقهم في الكلام الخارجي (أماميًا ، في أزواج أو مجموعات).

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السادسة.

احسب بطريقة جديدة:

رقم 363 (أ ؛ د) - أداء على السبورة ، نطق القاعدة.
رقم 363 (د ؛ و) - في أزواج مع فحص العينة.

سابعا. العمل المستقل مع الاختبار الذاتي حسب المعيار.

الغرض من المرحلة:

لتنظيم إنجاز الطلاب المستقل للمهام من أجل طريقة عمل جديدة ؛
تنظيم الاختبار الذاتي على أساس المقارنة مع المعيار ؛
بناءً على نتائج العمل المستقل ، قم بتنظيم تفكير حول استيعاب طريقة عمل جديدة.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السابعة.

احسب بطريقة جديدة:

رقم 363 (ب ، ج)

يتحقق الطلاب من المعيار ، ويلاحظون صحة الأداء. يتم تحليل أسباب الأخطاء وتصحيح الأخطاء.

يسأل المعلم الطلاب الذين ارتكبوا أخطاء ، ما السبب؟

في هذه المرحلة ، من المهم أن يتحقق كل طالب من عمله بشكل مستقل.

ثامنا. الدمج في نظام المعرفة والتكرار.

الغرض من المرحلة:

تنظيم تحديد حدود تطبيق المعرفة الجديدة ؛
تنظيم تكرار المحتوى التعليمي الضروري لضمان استمرارية هادفة.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثامنة.

تنظيم تثبيت الصعوبات التي لم يتم حلها في الدرس كإتجاه لأنشطة التعلم المستقبلية ؛

تنظيم المناقشة وتسجيل الواجبات المنزلية.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة التاسعة.

1. حوار:

يا رفاق ، ما هي المعرفة الجديدة التي اكتشفتها اليوم؟ (تعلمنا قسمة الكسر على رقم طبيعي بطريقة بسيطة)

صياغة طريقة عامة. (يقولون)

بأي طريقة وفي أي حالات لا يزال بإمكانك استخدامه؟ (يقولون)

ما هي ميزة الطريقة الجديدة؟

هل وصلنا إلى هدفنا من الدرس؟ (نعم)

ما هي المعرفة التي استخدمتها لتحقيق الهدف؟ (يقولون)

هل نجحت؟

ما هي الصعوبات؟

2. العمل في المنزل: البند 3.2.4 ؛ رقم 365 (ل ، ن ، س ، ع) ؛ رقم 370.

3. مدرس:أنا سعيد لأن الجميع اليوم نشطوا ، وتمكنوا من إيجاد طريقة للخروج من الصعوبة. والأهم من ذلك ، أنهم لم يكونوا جيرانًا عندما تم فتح وتدعيم واحد جديد. شكرا على الدرس يا أطفال!

آخر مرة تعلمنا فيها كيفية جمع الكسور وطرحها (انظر الدرس "جمع وطرح الكسور"). كانت أصعب لحظة في تلك الإجراءات هي تحويل الكسور إلى قاسم مشترك.

حان الوقت الآن للتعامل مع الضرب والقسمة. الخبر السار هو أن هذه العمليات أسهل من الجمع والطرح. بادئ ذي بدء ، فكر في أبسط حالة ، عندما يكون هناك كسرين موجبين بدون جزء صحيح مميز.

لضرب كسرين ، عليك أن تضرب البسط والمقام بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد ، والثاني سيكون المقام.

لقسمة كسرين ، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول في الثانية "المقلوبة".

تعيين:

من التعريف يتبع ذلك أن قسمة الكسور تختزل إلى الضرب. لقلب كسر ، ما عليك سوى تبديل البسط والمقام. لذلك ، سننظر في الدرس بأكمله بشكل أساسي في الضرب.

نتيجة الضرب ، يمكن أن ينشأ كسر صغير (وغالبًا ما ينشأ) - بالطبع ، يجب تقليله. إذا تبين ، بعد كل التخفيضات ، أن الكسر غير صحيح ، فيجب تمييز الجزء بالكامل فيه. ولكن ما لن يحدث بالضبط مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق عرضية ، وعوامل قصوى ، ومضاعفات مشتركة أقل.

بالتعريف لدينا:

ضرب الكسور بعدد صحيح وكسور سالبة

إذا كان هناك جزء صحيح في الكسور ، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وعندها فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.

إذا كان هناك سالب في بسط الكسر ، في المقام أو أمامه ، فيمكن إزالته من حدود الضرب أو إزالته تمامًا وفقًا للقواعد التالية:

زائد ضرب ناقص يعطي ناقص ؛
سلبيتان تؤيدان الإيجاب.

حتى الآن ، تمت مواجهة هذه القواعد فقط عند جمع الكسور السالبة وطرحها ، عندما كان مطلوبًا التخلص من الجزء بالكامل. بالنسبة لمنتج ما ، يمكن تعميمها من أجل "حرق" عدة سلبيات في وقت واحد:

نقوم بشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالة القصوى ، يمكن أن يعيش ناقص واحد - الذي لم يجد تطابقًا ؛
إذا لم يكن هناك أي سلبيات متبقية ، فقد اكتملت العملية - يمكنك البدء في الضرب. إذا لم يتم شطب آخر ناقص ، لأنه لم يتم العثور على زوج ، فإننا نخرجه من حدود الضرب. تحصل على كسر سالب.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

نترجم كل الكسور إلى كسور غير صحيحة ، ثم نخرج السالب خارج حدود الضرب. ويضرب المتبقي حسب القواعد المعتادة. نحن نحصل:

دعني أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يأتي قبل الكسر بجزء صحيح مميز يشير تحديدًا إلى الكسر بأكمله ، وليس فقط إلى الجزء الصحيح (هذا ينطبق على المثالين الأخيرين).

انتبه أيضًا إلى أرقام سالبة: عند ضربها ، يتم وضعها بين قوسين. يتم ذلك لفصل السلبيات عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.

اختزال الكسور أثناء الطيران

الضرب عملية شاقة للغاية. الأرقام هنا كبيرة جدًا ، ولتسهيل المهمة ، يمكنك محاولة تقليل الكسر أكثر قبل الضرب. في الواقع ، من حيث الجوهر ، فإن البسط والمقام للكسور هي عوامل عادية ، وبالتالي ، يمكن اختزالها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

بالتعريف لدينا:

في جميع الأمثلة ، يتم تمييز الأرقام التي تم تقليلها وما تبقى منها باللون الأحمر.

يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى ، تم تقليل المضاعفات تمامًا. بقيت الوحدات في مكانها ، والتي ، بشكل عام ، يمكن حذفها. في المثال الثاني ، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل ، لكن المبلغ الإجمالي للحسابات لا يزال ينخفض.

ومع ذلك ، لا تستخدم هذه التقنية بأي حال من الأحوال عند جمع وطرح الكسور! نعم ، في بعض الأحيان توجد أرقام متشابهة تريد فقط تقليلها. هنا ، انظر:

لا يمكنك فعل ذلك!

يحدث الخطأ بسبب حقيقة أنه عند إضافة كسر ، يظهر المجموع في بسط الكسر ، وليس في حاصل ضرب الأرقام. لذلك ، من المستحيل تطبيق الخاصية الرئيسية لكسر ، لأن هذه الخاصية تتعامل على وجه التحديد مع مضاعفة الأرقام.

ببساطة لا يوجد سبب آخر لتقليل الكسور ، لذا فإن الحل الصحيح للمسألة السابقة يبدو كما يلي:

الحل الصحيح:

كما ترى ، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدًا. بشكل عام ، كن حذرا.

ضرب وقسمة الكسور.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

هذه العملية أجمل بكثير من الجمع والطرح! لأنه أسهل. أذكرك: لضرب الكسر في كسر ، تحتاج إلى ضرب البسط (سيكون هذا بسط النتيجة) والمقام (سيكون هذا هو المقام). إنه:

على سبيل المثال:

كل شيء بسيط للغاية. ورجاء لا تبحث عن قاسم مشترك! لا تحتاجه هنا ...

لقسمة كسر على كسر ، عليك أن تقلب ثانية(هذا مهم!) الكسر واضربهم ، أي:

على سبيل المثال:

إذا تم تسجيل الضرب أو القسمة بأعداد صحيحة وكسور ، فلا بأس بذلك. كما هو الحال مع الجمع ، نصنع كسرًا من عدد صحيح بوحدة في المقام - ونذهب! على سبيل المثال:

في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور من ثلاثة طوابق (أو حتى أربعة طوابق!). على سبيل المثال:

كيف نحضر هذا الكسر إلى شكل لائق؟ نعم ، سهل جدا! استخدم القسمة على نقطتين:

لكن لا تنس أمر التقسيم! على عكس الضرب ، هذا مهم جدًا هنا! بالطبع ، لن نخلط بين 4: 2 أو 2: 4. لكن في جزء من ثلاثة طوابق ، من السهل ارتكاب خطأ. يرجى ملاحظة ، على سبيل المثال:

في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):

في الثاني (التعبير على اليمين):

تشعر الفرق؟ 4 و 1/9!

ما هو ترتيب القسمة؟ أو أقواس ، أو (كما هو الحال هنا) طول الشرطات الأفقية. طور عين. وفي حالة عدم وجود أقواس أو شرطات ، مثل:

ثم قسمة وضرب بالترتيب ، من اليسار إلى اليمين!

وخدعة أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات مع الدرجات ، سيكون في متناول يديك! دعنا نقسم الوحدة على أي كسر ، على سبيل المثال ، على 13/15:

انقلبت الطلقة! وهذا يحدث دائمًا. عند قسمة 1 على أي كسر ، تكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوب فقط.

هذه هي كل الإجراءات مع الكسور. الأمر بسيط للغاية ، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. ملحوظة نصيحة عمليةوستكون (الأخطاء) أقل!

نصائح عملية:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه! ليس كلمات شائعة، ليست أمنيات طيبة! هذه حاجة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في الامتحان كمهمة كاملة ، مع التركيز والوضوح. من الأفضل أن تكتب اثنين خطوط اضافيةفي مسودة من أن تفسد عند الحساب في العقل.

2. في الأمثلة مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور إلى نقطة التوقف.

4. متعدد الطوابق تعبيرات كسريةنختزل إلى النقاط العادية باستخدام القسمة على نقطتين (نتبع ترتيب القسمة!).

5. نقسم الوحدة إلى كسر في أذهاننا ، وذلك ببساطة عن طريق قلب الكسر.

فيما يلي المهام التي تحتاج إلى إكمالها. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم مواد هذا الموضوع والنصائح العملية. قدر عدد الأمثلة التي يمكنك حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! بدون آلة حاسبة! واستخلاص الاستنتاجات الصحيحة ...

تذكر الإجابة الصحيحة تم الحصول عليها من المرة الثانية (خاصة الثالثة) - لا تحسب!هذه هي الحياة القاسية.

لذا، حل في وضع الامتحان ! بالمناسبة ، هذا هو التحضير للامتحان. نحل مثالًا ، نتحقق ، نحل ما يلي. قررنا كل شيء - تحققنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. لكن فقط ثمانظر إلى الإجابات.

احسب:

قررتم؟

أبحث عن إجابات تطابق إجابتك. لقد كتبتها على وجه التحديد في فوضى ، بعيدًا عن الإغراء ، إذا جاز التعبير ... ها هي الإجابات ، مكتوبة بفاصلة منقوطة.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

والآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء - سعيد من أجلك! الحسابات الابتدائية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك القيام بأشياء أكثر جدية. ان لم...

إذن لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) نقص المعرفة و (أو) عدم الانتباه. لكن هذا قابل للحل مشاكل.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

لحل المهام المختلفة من مسار الرياضيات ، يجب على الفيزياء قسمة الكسور. من السهل جدًا القيام بذلك إذا كنت تعرف قواعد معينة لإجراء هذه العملية الحسابية.

قبل الانتقال إلى صياغة قاعدة حول كيفية قسمة الكسور ، دعنا نتذكر بعض المصطلحات الرياضية:

يسمى الجزء العلوي من الكسر بالبسط ويسمى الجزء السفلي المقام.
عند القسمة ، تسمى الأرقام على النحو التالي: المقسوم: المقسوم عليه \ u003d الحاصل

كيفية قسمة الكسور: الكسور البسيطة

لقسمة كسرين بسيطين ، اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه. يسمى هذا الكسر أيضًا بطريقة أخرى ، لأنه يتم الحصول عليه نتيجة تبديل البسط والمقام. على سبيل المثال:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

كيفية قسمة الكسور: الكسور المختلطة

إذا كان علينا قسمة الكسور المختلطة ، فسيكون كل شيء أيضًا بسيطًا وواضحًا هنا. أولاً ، قم بتحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي غير فعلي. للقيام بذلك ، نضرب مقام هذا الكسر في عدد صحيح ونضيف البسط إلى الناتج الناتج. نتيجة لذلك ، حصلنا على بسط جديد للكسر المختلط ، وسيظل مقامه كما هو. سيتم إجراء قسمة أخرى للكسور بنفس طريقة قسمة الكسور البسيطة. على سبيل المثال:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

كيفية قسمة الكسر على رقم

من أجل قسمة كسر بسيط على رقم ، يجب كتابة الأخير ككسر (غير لائق). من السهل جدًا القيام بذلك: هذا الرقم مكتوب بدلاً من البسط ومقام هذا الكسر يساوي واحد. يتم إجراء المزيد من التقسيم بالطريقة المعتادة. لنلقِ نظرة على هذا بمثال:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

كيفية قسمة الكسور العشرية

في كثير من الأحيان ، يواجه الشخص البالغ صعوبة ، إذا لزم الأمر ، دون مساعدة الآلة الحاسبة ، في تقسيم عدد صحيح أو كسر عشري إلى كسر عشري.

لذلك ، من أجل قسمة الكسور العشرية ، ما عليك سوى شطب الفاصلة في المقسوم عليه والتوقف عن الالتفات إليها. في القسم القابل للقسمة ، يجب نقل الفاصلة إلى اليمين تمامًا بعدد الأحرف الذي كان عليه في الجزء الكسري من المقسوم عليه ، مع إضافة الأصفار إذا لزم الأمر. وتواصل انتاجها التقسيم العاديإلى عدد صحيح. لتوضيح ذلك ، لنأخذ المثال التالي.