احتمالاً همه می دانند سهمی چیست. اما در زیر به نحوه استفاده صحیح و شایسته از آن در حل مسائل مختلف عملی خواهیم پرداخت.

ابتدا، اجازه دهید مفاهیم اساسی را که جبر و هندسه به این اصطلاح می دهند، بیان کنیم. بیایید همه چیز را در نظر بگیریم انواع ممکناین نمودار

بیایید تمام ویژگی های اصلی این تابع را دریابیم. بیایید اصول ساخت منحنی (هندسه) را درک کنیم. بیایید بیاموزیم که چگونه مقادیر بالای و سایر مقادیر اساسی یک نمودار از این نوع را پیدا کنیم.

بیایید دریابیم: نحوه درست ساخت منحنی مورد نظر با استفاده از معادله، آنچه باید به آن توجه کنید. بیایید اصول اولیه را ببینیم استفاده عملیاین ارزش منحصر به فرد در زندگی انسان

سهمی چیست و چه شکلی است؟

جبر: این اصطلاح به نمودار یک تابع درجه دوم اشاره دارد.

هندسه: این یک منحنی مرتبه دوم است که دارای تعدادی ویژگی خاص است:

معادله سهمی متعارف

شکل یک سیستم مختصات مستطیلی (XOY)، یک انتها، جهت شاخه های تابع رسم شده در امتداد محور آبسیسا را ​​نشان می دهد.

معادله متعارف:

y 2 = 2 * p * x،

که در آن ضریب p پارامتر کانونی سهمی (AF) است.

در جبر طور دیگری نوشته می شود:

y = a x 2 + b x + c (الگوی قابل تشخیص: y = x 2).

ویژگی ها و نمودار یک تابع درجه دوم

تابع دارای یک محور تقارن و یک مرکز (اخر). دامنه تعریف همه مقادیر محور آبسیسا است.

محدوده مقادیر تابع - (-∞، M) یا (M، ​​+∞) به جهت شاخه های منحنی بستگی دارد. پارامتر M در اینجا به معنای مقدار تابع در بالای خط است.

چگونه می توان تعیین کرد که شاخه های سهمی به کجا هدایت می شوند؟

برای پیدا کردن جهت یک منحنی از این نوع از یک عبارت، باید علامت را قبل از اولین پارامتر عبارت جبری تعیین کنید. اگر ˃ 0 باشد، آنها به سمت بالا هدایت می شوند. اگر برعکس است، پایین.

نحوه پیدا کردن راس سهمی با استفاده از فرمول

یافتن افراط گام اصلی در حل بسیاری از مشکلات عملی است. البته، شما می توانید باز کردن ویژه ماشین حساب های آنلاین، اما بهتر است خودتان بتوانید این کار را انجام دهید.

چگونه آن را تعیین کنیم؟ بخور فرمول خاص. وقتی b برابر 0 نیست، باید مختصات این نقطه را جستجو کنیم.

فرمول های پیدا کردن رأس:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

مثال.

یک تابع y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 وجود دارد. رئوس این تابع را پیدا می کنیم.

برای خطی مانند این:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

مختصات راس (-2، -41) را بدست می آوریم.

جابجایی سهمی

حالت کلاسیک زمانی است که در یک تابع درجه دوم y = a x 2 + b x + c، پارامترهای دوم و سوم برابر با 0 هستند و = 1 - راس در نقطه (0؛ 0) است.

حرکت در امتداد محورهای آبسیسا یا اردینات به ترتیب به دلیل تغییر در پارامترهای b و c است.خط روی صفحه دقیقاً با تعداد واحدهای برابر با مقدار پارامتر جابه‌جا می‌شود.

مثال.

ما داریم: b = 2، c = 3.

این به این معنی است که شکل کلاسیک منحنی 2 واحد واحد در امتداد محور آبسیسا و 3 در امتداد محور ارتین جابه‌جا می‌شود.

چگونه با استفاده از یک معادله درجه دوم سهمی بسازیم

برای دانش آموزان مدرسه مهم است که یاد بگیرند چگونه با استفاده از پارامترهای داده شده یک سهمی را به درستی ترسیم کنند.

با تجزیه و تحلیل عبارات و معادلات می توانید موارد زیر را مشاهده کنید:

1. نقطه تلاقی خط مورد نظر با بردار مختصات مقداری برابر با c خواهد داشت.
2. تمام نقاط نمودار (در امتداد محور x) نسبت به منتهی الیه اصلی تابع متقارن خواهند بود.

علاوه بر این، نقاط تقاطع با OX را می توان با دانستن تفکیک (D) چنین تابعی پیدا کرد:

D = (b 2 - 4 * a * c).

برای این کار باید عبارت را با صفر برابر کنید.

وجود ریشه های سهمی بستگی به نتیجه دارد:

• D ˃ 0، سپس x 1، 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D = 0، سپس x 1، 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0، پس هیچ نقطه تقاطعی با بردار OX وجود ندارد.

الگوریتم ساخت سهمی را بدست می آوریم:

• تعیین جهت شاخه ها؛
• مختصات راس را پیدا کنید.
• محل تقاطع را با محور ترتیب پیدا کنید.
• محل تقاطع را با محور x پیدا کنید.

مثال 1.

با توجه به تابع y = x 2 - 5 * x + 4. ساختن سهمی ضروری است. ما الگوریتم را دنبال می کنیم:

1. a = 1، بنابراین، شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند.
2. مختصات افراطی: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. در مقدار y = 4 با محور ارتین تلاقی می کند.
4. بیایید متمایز را پیدا کنیم: D = 25 - 16 = 9;
5. به دنبال ریشه ها:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4، 0)؛
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

مثال 2.

برای تابع y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 باید یک سهمی بسازید. ما طبق الگوریتم داده شده عمل می کنیم:

1. a = 3، بنابراین، شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند.
2. مختصات افراطی: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. با محور y در مقدار y = -1 تلاقی خواهد کرد.
4. بیایید متمایز را پیدا کنیم: D = 4 + 12 = 16. بنابراین ریشه ها عبارتند از:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3؛ 0).

با استفاده از نقاط به دست آمده می توانید سهمی بسازید.

جهت، گریز از مرکز، تمرکز سهمی

بر اساس معادله متعارف، کانون F دارای مختصاتی است (p/2، 0).

خط مستقیم AB یک جهت (نوعی وتر سهمی با طول معین) است. معادله آن: x = -p/2 است.

خروج از مرکز (ثابت) = 1.

نتیجه

ما به موضوعی نگاه کردیم که دانش‌آموزان در آن درس می‌خوانند دبیرستان. حالا با نگاه کردن به تابع درجه دوم سهمی، می‌دانید که چگونه راس آن را پیدا کنید، شاخه‌ها به کدام سمت هدایت می‌شوند، آیا جابه‌جایی در امتداد محورها وجود دارد یا خیر، و با داشتن یک الگوریتم ساخت، می‌توانید نمودار آن را رسم کنید.

همانطور که تمرین نشان می دهد، وظایف مربوط به ویژگی ها و نمودارهای یک تابع درجه دوم مشکلات جدی ایجاد می کند. این کاملاً عجیب است، زیرا آنها تابع درجه دوم را در کلاس هشتم مطالعه می کنند و سپس در طول سه ماهه اول کلاس نهم ویژگی های سهمی را "عذاب" می کنند و نمودارهای آن را برای پارامترهای مختلف می سازند.

این به این دلیل است که هنگام وادار کردن دانش آموزان به ساخت سهمی، آنها عملاً زمانی را به "خواندن" نمودارها اختصاص نمی دهند، یعنی درک اطلاعات دریافت شده از تصویر را تمرین نمی کنند. ظاهراً فرض بر این است که پس از ساخت یک دوجین یا دو نمودار، خود یک دانش آموز باهوش رابطه بین ضرایب موجود در فرمول و فرمول را کشف و فرموله خواهد کرد. ظاهرهنرهای گرافیکی در عمل این کار نمی کند. برای چنین تعمیم، تجربه جدی در تحقیقات کوچک ریاضی لازم است، که البته اکثر دانش آموزان کلاس نهم از آن بی بهره هستند. در همین حال، سازمان بازرسی دولتی پیشنهاد می کند که علائم ضرایب را با استفاده از برنامه تعیین کند.

ما از دانش آموزان غیرممکن را مطالبه نخواهیم کرد و به سادگی یکی از الگوریتم های حل چنین مشکلاتی را ارائه خواهیم داد.

بنابراین، تابعی از فرم y = تبر 2 + bx + cبه نام درجه دوم، نمودار آن سهمی است. همانطور که از نام آن پیداست، اصطلاح اصلی است تبر 2. به این معنا که آنباید برابر با صفر باشد، ضرایب باقیمانده ( بو با) می تواند برابر با صفر باشد.

بیایید ببینیم که چگونه علائم ضرایب آن بر ظاهر یک سهمی تأثیر می گذارد.

ساده ترین وابستگی برای ضریب آ. اکثر دانش‌آموزان با اطمینان پاسخ می‌دهند: «اگر آ> 0، سپس شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند و اگر آ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой آ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

در این مورد آ = 0,5

و اکنون برای آ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

در این مورد آ = - 0,5

تاثیر ضریب بادنبال کردن آن نیز بسیار آسان است. بیایید تصور کنیم که می خواهیم مقدار یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم ایکس= 0. صفر را جایگزین فرمول کنید:

y = آ 0 2 + ب 0 + ج = ج. معلوم می شود که y = c. به این معنا که بامنتخب نقطه تقاطع سهمی با محور y است. به طور معمول، این نقطه به راحتی در نمودار پیدا می شود. و تعیین کنید که بالای صفر است یا پایین. به این معنا که با> 0 یا با < 0.

با > 0:

y = x 2 + 4x + 3

با < 0

y = x 2 + 4x - 3

بر این اساس، اگر با= 0، پس سهمی لزوماً از مبدا عبور می کند:

y = x 2 + 4x

با پارامتر مشکل تر است ب. نقطه ای که ما آن را پیدا خواهیم کرد نه تنها به آن بستگی دارد ببلکه از آ. این قسمت بالای سهمی است. آبسیسا آن (مختصات محور ایکس) با فرمول پیدا می شود x در = - b/(2a). بدین ترتیب، b = - 2ax in. یعنی به صورت زیر عمل می کنیم: راس سهمی را روی نمودار پیدا می کنیم، علامت آبسیسا آن را تعیین می کنیم، یعنی به سمت راست صفر نگاه می کنیم ( x در> 0) یا به سمت چپ ( x در < 0) она лежит.

با این حال، این همه چیز نیست. باید به علامت ضریب هم توجه کنیم آ. یعنی ببینید شاخه های سهمی به کجا هدایت می شوند. و تنها پس از آن، طبق فرمول b = - 2ax inعلامت را تعیین کنید ب.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، یعنی آ> 0، سهمی محور را قطع می کند درزیر صفر یعنی با < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x در> 0. بنابراین b = - 2ax in = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: آ > 0, ب < 0, با < 0.

را مواد روش شناختیفقط برای مرجع است و برای طیف گسترده ای از موضوعات کاربرد دارد. این مقاله مروری بر نمودارهای توابع ابتدایی اولیه ارائه می دهد و مهمترین موضوع را در نظر می گیرد - چگونه یک نمودار را به درستی و سریع بسازیم. در دوره تحصیل ریاضیات عالی بدون آگاهی از نمودارهای توابع ابتدایی ابتدایی دشوار خواهد بود، بنابراین بسیار مهم است که به یاد داشته باشید نمودارهای سهمی، هذلولی، سینوس، کسینوس و غیره چگونه هستند و برخی از آنها را به خاطر بسپارید. از معانی توابع همچنین در مورد برخی از ویژگی های توابع اصلی صحبت خواهیم کرد.

من ادعای کامل بودن و دقیق بودن علمی مطالب را ندارم، اول از همه بر روی تمرین تأکید می شود - مواردی که با آنها انسان به معنای واقعی کلمه در هر مرحله، در هر مبحثی از ریاضیات عالی، با آن مواجه می شود. نمودار برای آدمک ها؟ یکی می تواند اینطور بگوید.

به دلیل درخواست های متعدد خوانندگان فهرست مطالب قابل کلیک:

علاوه بر این، یک خلاصه فوق العاده کوتاه در مورد این موضوع وجود دارد
- با مطالعه شش صفحه بر 16 نوع نمودار مسلط شوید!

جدی، شش، حتی من تعجب کردم. این خلاصه شامل گرافیک بهبود یافته است و با هزینه اسمی در دسترس است؛ نسخه آزمایشی قابل مشاهده است. چاپ فایل راحت است تا نمودارها همیشه در دسترس باشند. با تشکر برای حمایت از پروژه!

و بیایید بلافاصله شروع کنیم:

چگونه محورهای مختصات را به درستی بسازیم؟

در عمل، آزمون ها تقریباً همیشه توسط دانش آموزان در دفترچه های جداگانه، که در یک مربع ردیف شده اند، تکمیل می شود. چرا به علامت های شطرنجی نیاز دارید؟ پس از همه، کار، در اصل، می تواند بر روی ورق های A4 انجام شود. و قفس فقط برای طراحی با کیفیت و دقیق نقشه ها ضروری است.

هر رسم نمودار تابع با محورهای مختصات شروع می شود.

نقاشی ها می توانند دو بعدی یا سه بعدی باشند.

بیایید ابتدا مورد دو بعدی را در نظر بگیریم سیستم مختصات مستطیلی دکارتی:

1) محورهای مختصات را رسم کنید. محور نامیده می شود محور x ، و محور است محور y . ما همیشه سعی می کنیم آنها را ترسیم کنیم مرتب و بدون کج بودن. همچنین پیکان ها نباید شبیه ریش پاپا کارلو باشند.

2) محورها را با حروف بزرگ "X" و "Y" امضا می کنیم. برچسب زدن محورها را فراموش نکنید.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید: یک صفر و دو یک را رسم کنید. هنگام ایجاد یک نقاشی، راحت ترین و پرکاربردترین مقیاس این است: 1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ) - در صورت امکان، به آن بچسبید. با این حال، هر از گاهی اتفاق می افتد که نقاشی روی برگه نوت بوک قرار نمی گیرد - سپس مقیاس را کاهش می دهیم: 1 واحد = 1 سلول (نقاشی در سمت راست). نادر است، اما اتفاق می افتد که مقیاس نقاشی باید حتی بیشتر کاهش یابد (یا افزایش یابد)

نیازی به "مسلسله" نیست …-5، -4، -3، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، ….زیرا هواپیمای مختصات یادبود دکارت نیست و دانش آموز کبوتر نیست. ما گذاشتیم صفرو دو واحد در امتداد محورها. گاهی بجایواحدها، "علامت گذاری" مقادیر دیگر، به عنوان مثال، "دو" در محور آبسیسا و "سه" در محور مختصات راحت است - و این سیستم (0، 2 و 3) همچنین شبکه مختصات را به طور منحصر به فرد تعریف می کند.

بهتر است قبل از ساخت نقشه، ابعاد تخمین زده شده را تخمین بزنید. بنابراین، برای مثال، اگر کار مستلزم ترسیم مثلث با رئوس، , , باشد، کاملاً واضح است که مقیاس محبوب 1 واحد = 2 سلول کار نخواهد کرد. چرا؟ بیایید به این نکته نگاه کنیم - در اینجا باید پانزده سانتی متر به پایین اندازه گیری کنید، و بدیهی است که نقاشی روی یک برگه نوت بوک قرار نمی گیرد (یا به سختی جا می شود). بنابراین، بلافاصله یک مقیاس کوچکتر را انتخاب می کنیم: 1 واحد = 1 سلول.

به هر حال، حدود سانتی متر و سلول های نوت بوک. آیا این درست است که 30 سلول نوت بوک حاوی 15 سانتی متر است؟ برای سرگرمی، 15 سانتی متر را در دفترچه یادداشت خود با خط کش اندازه بگیرید. در اتحاد جماهیر شوروی ممکن است این موضوع درست بوده باشد... جالب است بدانید که اگر همین سانتی متر ها را به صورت افقی و عمودی اندازه بگیرید، نتایج (در سلول ها) متفاوت می شود! به بیان دقیق، نوت بوک های مدرن شطرنجی نیستند، بلکه مستطیلی هستند. این ممکن است مزخرف به نظر برسد، اما کشیدن، به عنوان مثال، یک دایره با قطب نما در چنین شرایطی بسیار ناخوشایند است. صادقانه بگویم، در چنین لحظاتی شما شروع به فکر کردن به درستی رفیق استالین می کنید که برای کار هک در تولید به اردوگاه ها فرستاده شده بود، نه به صنعت خودروسازی داخلی، سقوط هواپیماها یا انفجار نیروگاه ها.

صحبت از کیفیت، یا یک توصیه کوتاه در مورد لوازم التحریر. امروزه، بیشتر نوت‌بوک‌هایی که به فروش می‌رسند، دست‌کم، کاملاً مزخرف هستند. به این دلیل که خیس می شوند و نه تنها از قلم های ژل، بلکه از قلم های توپی نیز! روی کاغذ پول پس انداز می کنند. برای ثبت نام تست هامن توصیه می کنم از نوت بوک های کارخانه خمیر و کاغذ آرخانگلسک (18 ورق، شبکه) یا "Pyaterochka" استفاده کنید، اگرچه گران تر است. بهتر است یک خودکار ژل انتخاب کنید؛ حتی ارزان‌ترین ژل پرکننده چینی بسیار بهتر از خودکار است که کاغذ را لکه می‌کند یا پاره می‌کند. تنها "رقابتی" قلم توپیبه یاد من "اریش کراوز" است. او واضح، زیبا و پیوسته می نویسد – چه با هسته کامل و چه با هسته تقریباً خالی.

علاوه بر این: دید یک سیستم مختصات مستطیلی از نگاه هندسه تحلیلی در مقاله پوشش داده شده است. وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها، اطلاعات دقیق در مورد یک چهارم مختصات را می توانید در پاراگراف دوم درس بیابید نابرابری های خطی.

کیس سه بعدی

اینجا هم تقریبا همینطوره

1) محورهای مختصات را رسم کنید. استاندارد: محور اعمال می شود - جهت به سمت بالا، محور - جهت به سمت راست، محور - جهت به سمت پایین به سمت چپ موکدادر زاویه 45 درجه

2) محورها را برچسب بزنید.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید. مقیاس در امتداد محور دو برابر کوچکتر از مقیاس در امتداد محورهای دیگر است. همچنین توجه داشته باشید که در نقاشی سمت راست از یک "بریدگی" غیر استاندارد در امتداد محور استفاده کردم (این امکان قبلاً در بالا ذکر شد). از نظر من، این دقیق تر، سریع تر و از نظر زیبایی شناسی دلپذیرتر است - نیازی به جستجوی وسط سلول در زیر میکروسکوپ نیست و واحدی نزدیک به مبدأ مختصات "مجسمه سازی" است.

هنگام ساخت یک طراحی سه بعدی، مجدداً اولویت را به مقیاس بدهید
1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ).

همه این قوانین برای چیست؟ قوانین برای شکستن ساخته شده است. این کاری است که من اکنون انجام خواهم داد. واقعیت این است که نقشه های بعدی مقاله توسط من در اکسل انجام می شود و محورهای مختصات از نظر نادرست به نظر می رسند. طراحی صحیح. من می‌توانم تمام نمودارها را با دست ترسیم کنم، اما ترسیم آنها واقعاً ترسناک است زیرا اکسل تمایلی به ترسیم دقیق‌تر آنها ندارد.

نمودارها و ویژگی های اساسی توابع ابتدایی

تابع خطیبا معادله داده می شود. نمودار توابع خطی است مستقیم. برای ایجاد یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است.

مثال 1

یک نمودار از تابع بسازید. بیایید دو نکته را پیدا کنیم. انتخاب صفر به عنوان یکی از نقاط سودمند است.

اگر پس از آن

نکته دیگری را در نظر بگیریم، مثلاً 1.

اگر پس از آن

هنگام تکمیل وظایف، مختصات نقاط معمولاً در یک جدول خلاصه می شود:

و مقادیر خود به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس، یک ماشین حساب محاسبه می شوند.

دو نکته پیدا شد، بیایید یک نقاشی بکشیم:

هنگام تهیه نقاشی، همیشه گرافیک را امضا می کنیم.

یادآوری موارد خاص یک تابع خطی مفید خواهد بود:

توجه کنید که چگونه امضاها را گذاشتم، هنگام مطالعه نقاشی، امضاها نباید مغایرت داشته باشند. در این مورد، قرار دادن یک امضا در کنار نقطه تلاقی خطوط یا در پایین سمت راست بین نمودارها بسیار نامطلوب بود.

1) تابع خطی شکل () تناسب مستقیم نامیده می شود. مثلا، . یک نمودار تناسب مستقیم همیشه از مبدا عبور می کند. بنابراین، ساخت یک خط مستقیم ساده شده است - کافی است فقط یک نقطه را پیدا کنید.

2) یک معادله شکل، یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع بلافاصله و بدون یافتن هیچ نقطه ای رسم می شود. یعنی ورودی باید به صورت زیر درک شود: "y همیشه برابر با -4 برای هر مقدار x است."

3) یک معادله شکل، یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع نیز بلافاصله رسم می شود. ورودی باید به صورت زیر درک شود: "x همیشه، برای هر مقدار y، برابر با 1 است."

برخی خواهند پرسید چرا کلاس ششم را به یاد می آوریم؟! همین‌طور است، شاید هم همین‌طور باشد، اما در طول سال‌ها تمرین، با ده‌ها دانش‌آموز آشنا شدم که از کار ساختن نموداری مانند یا گیج شده بودند.

ایجاد یک خط مستقیم رایج ترین اقدام در هنگام ساختن نقشه ها است.

خط مستقیم در درس هندسه تحلیلی به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد و علاقه مندان می توانند به مقاله مراجعه کنند. معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

نمودار یک تابع درجه دوم، مکعب، نمودار یک چند جمله ای

سهمی. نمودار یک تابع درجه دوم () یک سهمی را نشان می دهد. مورد معروف را در نظر بگیرید:

بیایید برخی از ویژگی های تابع را به یاد بیاوریم.

بنابراین، حل معادله ما: - در این نقطه است که راس سهمی قرار دارد. چرایی این چنین است را می توان از مقاله نظری مشتق و درس خارج تابع فهمید. در ضمن، بیایید مقدار "Y" مربوطه را محاسبه کنیم:

بنابراین، راس در نقطه است

اکنون نقاط دیگری را می یابیم، در حالی که گستاخانه از تقارن سهمی استفاده می کنیم. لازم به ذکر است که تابع – یکنواخت نیست، اما، با این وجود، هیچ کس تقارن سهمی را لغو نکرد.

فکر می کنم از جدول نهایی مشخص شود که به چه ترتیب امتیازهای باقی مانده را پیدا کنید:

این الگوریتمساخت و سازها را می توان به طور مجازی یک "مسافرت" یا یک اصل "پیش و عقب" با آنفیسا چخوا نامید.

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

از نمودارهای بررسی شده، ویژگی مفید دیگری به ذهن متبادر می شود:

برای تابع درجه دوم () موارد زیر درست است:

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند.

دانش عمیق در مورد منحنی را می توان در درس Hyperbola و Parabola بدست آورد.

سهمی مکعبی با تابع داده می شود. در اینجا یک نقاشی آشنا از مدرسه است:

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع را فهرست کنیم

نمودار یک تابع

نشان دهنده یکی از شاخه های سهمی است. بیایید نقاشی را انجام دهیم:

ویژگی های اصلی تابع:

در این مورد، محور است مجانب عمودی برای نمودار هذلولی در .

این یک اشتباه فاحش خواهد بود اگر هنگام ترسیم یک نقاشی، بی دقت اجازه دهید نمودار با مجانبی قطع شود.

همچنین محدودیت های یک طرفه به ما می گویند که هذلولی از بالا محدود نمی شودو از پایین محدود نمی شود.

بیایید تابع را در بی‌نهایت بررسی کنیم، یعنی اگر در امتداد محور به سمت چپ (یا راست) به سمت بی‌نهایت حرکت کنیم، «بازی‌ها» با گامی منظماراده بی نهایت نزدیکنزدیک به صفر، و بر این اساس، شاخه های هذلولی بی نهایت نزدیکبه محور نزدیک شوید

پس محور است مجانب افقی برای نمودار یک تابع، اگر "x" به مثبت یا منفی بی نهایت تمایل داشته باشد.

تابع است فرد، و بنابراین، هذلول نسبت به مبدا متقارن است. این واقعیت از نقاشی آشکار است، علاوه بر این، به راحتی به صورت تحلیلی تأیید می شود: .

نمودار تابعی از شکل () دو شاخه از هذلولی را نشان می دهد.

اگر، آنگاه هذلولی در ربع مختصات اول و سوم قرار دارد(تصویر بالا را ببینید).

اگر، هذلولی در ربع مختصات دوم و چهارم قرار دارد.

الگوی نشان‌داده‌شده سکونت هذلولی از دیدگاه تبدیل‌های هندسی نمودارها به راحتی قابل تحلیل است.

مثال 3

شاخه سمت راست هذلولی را بسازید

ما از روش ساخت نقطه‌ای استفاده می‌کنیم و انتخاب مقادیر به گونه‌ای مفید است که آنها بر یک کل تقسیم شوند:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

ساختن شاخه سمت چپ هذلولی دشوار نخواهد بود؛ عجیب بودن تابع در اینجا کمک خواهد کرد. به طور تقریبی در جدول ساخت نقطه ای به صورت ذهنی به هر عدد یک منهای اضافه می کنیم و نقاط مربوطه را قرار می دهیم و شاخه دوم را رسم می کنیم.

اطلاعات هندسی دقیق در مورد خط در نظر گرفته شده را می توان در مقاله Hyperbola and Parabola یافت.

نمودار یک تابع نمایی

در این بخش، من فوراً تابع نمایی را در نظر خواهم گرفت، زیرا در مسائل ریاضیات عالی در 95٪ موارد، نمایی است که ظاهر می شود.

به شما یادآوری کنم که این یک عدد غیر منطقی است: ، هنگام ساخت یک نمودار لازم است که در واقع بدون تشریفات آن را می سازم. سه نکته احتمالا کافی است:

بیایید فعلاً نمودار تابع را به حال خود رها کنیم و بعداً در مورد آن بیشتر توضیح خواهیم داد.

ویژگی های اصلی تابع:

نمودارهای تابع و غیره اساساً یکسان به نظر می رسند.

باید بگویم که مورد دوم در عمل کمتر اتفاق می افتد، اما اتفاق می افتد، بنابراین لازم دانستم آن را در این مقاله قرار دهم.

نمودار تابع لگاریتمی

تابعی را با در نظر بگیرید لگاریتم طبیعی.
بیایید یک نقاشی نقطه به نقطه انجام دهیم:

اگر فراموش کرده اید لگاریتم چیست، لطفاً به کتاب های درسی مدرسه خود مراجعه کنید.

ویژگی های اصلی تابع:

دامنه:

محدوده مقادیر: .

عملکرد از بالا محدود نمی شود: ، هرچند به کندی، اما شاخه لگاریتم تا بی نهایت بالا می رود.
اجازه دهید رفتار تابع نزدیک به صفر در سمت راست را بررسی کنیم: . پس محور است مجانب عمودی زیرا نمودار یک تابع به عنوان "x" از سمت راست به صفر میل می کند.

دانستن و به خاطر سپردن مقدار معمولی لگاریتم ضروری است: .

در اصل، نمودار لگاریتم به پایه یکسان است: , , (لگاریتم اعشاری به پایه 10) و غیره. علاوه بر این، هرچه پایه بزرگتر باشد، نمودار صاف تر خواهد بود.

ما این مورد را در نظر نخواهیم گرفت؛ آخرین باری که نموداری با چنین مبنایی ساختم را به خاطر نمی‌آورم. و لگاریتم به نظر می رسد مهمان بسیار نادری در مسائل ریاضیات عالی باشد.

در پایان این پاراگراف یک واقعیت دیگر را می گویم: تابع نمایی و تابع لگاریتمی- این دو تابع معکوس متقابل هستند. اگر به نمودار لگاریتم دقت کنید، می بینید که این همان توان است، فقط کمی متفاوت است.

نمودارهای توابع مثلثاتی

عذاب مثلثاتی در مدرسه از کجا شروع می شود؟ درست. از سینوس

بیایید تابع را رسم کنیم

این خط نامیده می شود سینوسی.

به شما یادآوری می کنم که "پی" یک عدد غیر منطقی است: و در مثلثات چشمان شما را خیره می کند.

ویژگی های اصلی تابع:

این تابع است تناوبیبا دوره . چه مفهومی داره؟ بیایید به بخش نگاه کنیم. در سمت چپ و راست آن، دقیقاً همان قطعه نمودار بی انتها تکرار می شود.

دامنه: یعنی برای هر مقدار "x" یک مقدار سینوسی وجود دارد.

محدوده مقادیر: . تابع است محدود: یعنی همه «بازی‌ها» به شدت در بخش قرار می‌گیرند.
این اتفاق نمی افتد: یا به عبارت دقیق تر، اتفاق می افتد، اما این معادلات راه حلی ندارند.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

- — [] تابع درجه دوم تابع شکل y= ax2 + bx + c (a ? 0). نمودار K.f. - سهمی که راس آن دارای مختصات [b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] است، با a>0 شاخه های سهمی ... ...

تابع درجه دوم، یک تابع ریاضی که مقدار آن به مربع متغیر مستقل x بستگی دارد و به ترتیب با یک چند جمله ای درجه دوم، برای مثال: f(x) = 4x2 + 17 یا f(x) = x2 + 3x داده می شود. + 2. همچنین به مربع معادله مراجعه کنید… فرهنگ دانشنامه علمی و فنی

تابع درجه دوم - تابع درجه دومتابعی از شکل y= ax2 + bx + c (a ≠ 0) است. نمودار K.f. - سهمی که راس آن دارای مختصات [b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] است، برای a> 0 شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند، برای a< 0 –вниз… …

- تابعی با شکل زیر: y=ax2+bx+c، که در آن a≠0 و بالاترین درجه x یک مربع است. معادله درجه دوم y=ax2 +bx+c=0 را نیز می توان با استفاده از فرمول زیر حل کرد: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. این ریشه ها واقعی هستند... فرهنگ لغت اقتصادی

یک تابع درجه دوم افین در فضای افین S هر تابع Q است: S→K، که به صورت برداری به شکل Q(x)=q(x)+l(x)+c است، که در آن q یک تابع درجه دوم، l است. یک تابع خطی است، c یک ثابت است. مطالب 1 تغییر نقطه مرجع 2 ... ... ویکی پدیا

تابع درجه دوم افین در یک فضای افین به هر تابعی گفته می شود که شکل آن به صورت برداری شده باشد، جایی که یک ماتریس متقارن، یک تابع خطی، یک ثابت باشد. مطالب ... ویکی پدیا

تابعی در فضای برداری که با یک چند جمله ای همگن درجه دوم در مختصات بردار تعریف می شود. مطالب 1 تعریف 2 تعاریف مرتبط ... ویکی پدیا

- تابعی است که در تئوری تصمیم گیری های آماری، زیان های ناشی از تصمیم گیری نادرست بر اساس داده های مشاهده شده را مشخص می کند. اگر مشکل تخمین پارامتر سیگنال در پس زمینه نویز حل شود، تابع تلفات معیاری برای اختلاف است... ... ویکی پدیا

تابع هدف- - [Ya.N.Luginsky، M.S.Fezi Zhilinskaya، Yu.S.Kabirov. فرهنگ لغت انگلیسی-روسی مهندسی برق و مهندسی قدرت، مسکو، 1999] تابع هدف در مسائل شدید، تابعی که حداقل یا حداکثر آن مورد نیاز است. این… … راهنمای مترجم فنی

تابع هدف- در مسائل افراطی، تابعی که حداقل یا حداکثر آن باید پیدا شود. این یک مفهوم کلیدی در برنامه نویسی بهینه است. پس از پیدا کردن اکستروم C.f. و بنابراین، با تعیین مقادیر متغیرهای کنترل شده ای که به آن می روند... ... فرهنگ لغت اقتصادی و ریاضی

کتاب ها

• مجموعه میز. ریاضیات. نمودار توابع (10 جدول)، . آلبوم آموزشی 10 برگ. تابع خطی. تخصیص گرافیکی و تحلیلی توابع. تابع درجه دوم. تبدیل نمودار یک تابع درجه دوم. تابع y=sinx. تابع y=cosx.…
• مهمترین تابع ریاضی مدرسه درجه دوم است - در مسائل و راه حل ها، Petrov N.N. تابع درجه دوم تابع اصلی درس ریاضی مدرسه است. جای تعجب نیست. از یک سو سادگی این کارکرد و از سوی دیگر معنای عمیق. بسیاری از وظایف مدرسه ...