In questa lezione esamineremo altre due operazioni con i vettori: prodotto vettoriale di vettori E prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che per la completa felicità, oltre a prodotto scalare di vettori, ne serve sempre di più. Questa è la dipendenza da vettori. Si può avere l'impressione di entrare nella giungla della geometria analitica. Questo è sbagliato. In questa sezione di matematica superiore, generalmente c'è poca legna da ardere, tranne forse abbastanza per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più difficile dello stesso prodotto scalare, anche ci saranno meno attività tipiche. La cosa principale in geometria analitica, come molti vedranno o hanno già visto, è NON SBAGLIARE I CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini ripristinare o riacquisire conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo, ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso in lavoro pratico

Cosa ti renderà felice? Quando ero piccolo, potevo destreggiarmi tra due e anche tre palle. Ha funzionato bene. Ora non c'è bisogno di destreggiarsi affatto, poiché considereremo solo vettori spaziali, e i vettori piatti con due coordinate verranno omessi. Perché? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto dei vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. Già più facile!

In questa operazione, allo stesso modo del prodotto scalare, due vettori. Lascia che siano lettere imperiture.

L'azione stessa denotato nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a designare il prodotto incrociato dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E immediatamente domanda: se dentro prodotto scalare di vettori sono coinvolti due vettori, e qui si moltiplicano anche due vettori qual è la differenza? Una netta differenza, prima di tutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare di vettori è un NUMERO:

Il risultato del prodotto vettoriale dei vettori è un VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo di nuovo un vettore. Circolo chiuso. In realtà, da qui il nome dell'operazione. In varie pubblicazioni educative, anche le designazioni possono variare, userò la lettera .

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi i commenti.

Definizione: prodotto incrociato non collineare vettori , prese in questo ordine, si chiama VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonali ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione per ossa, ci sono molte cose interessanti!

Quindi, possiamo evidenziare i seguenti punti significativi:

1) Vettori sorgente , indicati da frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare un po' più avanti il ​​caso dei vettori collineari.

2) Vettori presi in un ordine rigoroso: – "a" è moltiplicato per "essere", non "essere" ad "a". Il risultato della moltiplicazione vettorialeè VECTOR , che è indicato in blu. Se i vettori vengono moltiplicati in ordine inverso, otteniamo un vettore uguale in lunghezza e opposto nella direzione (colore cremisi). Cioè, l'uguaglianza .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori . Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, ovviamente, la lunghezza nominale del prodotto vettoriale non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto di lati adiacenti e il seno dell'angolo tra di loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per il calcolo della LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che nella formula stiamo parlando della LUNGHEZZA del vettore e non del vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è tale che nei problemi di geometria analitica l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale del parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangolo uguale. Pertanto, l'area di un triangolo costruita su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata dalla formula:

4) Un fatto altrettanto importante è che il vettore è ortogonale ai vettori , cioè . Naturalmente, il vettore diretto in modo opposto (freccia cremisi) è anche ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è orientato in modo che base Esso ha Giusto orientamento. In una lezione su transizione verso una nuova base di cui ho parlato in dettaglio orientamento del piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento dello spazio. Spiegherò sulle tue dita mano destra . Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con il vettore. Anulare e mignolo premere nel palmo della mano. Di conseguenza pollice - il prodotto vettoriale cercherà. Questa è la base orientata a destra (è nella figura). Ora scambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza, il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Forse hai una domanda: quale base ha un orientamento a sinistra? "Assegna" le stesse dita mano sinistra vettori e ottieni la base sinistra e l'orientamento dello spazio sinistro (in questo caso, il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi "torcono" o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto: ad esempio, lo specchio più ordinario cambia l'orientamento dello spazio e se "tiri fuori l'oggetto riflesso dallo specchio", in generale non sarà possibile combinalo con l '"originale". A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

... quanto è bello quello che ora conosci orientato a destra e a sinistra basi, perché le dichiarazioni di alcuni docenti sul cambio di orientamento sono terribili =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata elaborata in dettaglio, resta da scoprire cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una linea retta e anche il nostro parallelogramma si "piega" in una linea retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare il parallelogramma è zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora . A rigor di termini, il prodotto incrociato stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo viene spesso trascurato e scritto che è semplicemente uguale a zero.

Un caso speciale è il prodotto vettoriale di un vettore e se stesso:

Usando il prodotto incrociato, puoi verificare la collinearità dei vettori tridimensionali e questo compito tra l'altro, analizzeremo anche.

Per risolvere esempi pratici, potrebbe essere necessario tavola trigonometrica per trovare i valori dei seni da esso.

Bene, accendiamo un fuoco:

Esempio 1

a) Trovare la lunghezza del prodotto vettoriale di vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, non si tratta di un errore di battitura, ho intenzionalmente reso uguali i dati iniziali nelle voci della condizione. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) Secondo la condizione, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto vettoriale). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Poiché è stato chiesto della lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione - unità.

b) Secondo la condizione, è necessario trovare piazza parallelogramma costruito su vettori . L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale:

Risposta:

Tieni presente che nella risposta sul prodotto vettoriale non si parla affatto, ci è stato chiesto zona della figura, rispettivamente, la dimensione è in unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA deve essere trovato dalla condizione e, sulla base di questo, formuliamo chiaro risposta. Può sembrare letteralismo, ma ci sono abbastanza letteralisti tra gli insegnanti e il compito con buone possibilità verrà restituito per la revisione. Sebbene questo non sia un pignolo particolarmente teso, se la risposta non è corretta, si ha l'impressione che la persona non capisca cose semplici e / o non abbia compreso l'essenza del compito. Questo momento dovrebbe essere sempre tenuto sotto controllo, risolvendo qualsiasi problema in matematica superiore, e anche in altre materie.

Dov'è finita la grande lettera "en"? In linea di principio, potrebbe essere ulteriormente attaccato alla soluzione, ma per abbreviare il record, non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano ed è la designazione della stessa cosa.

Un esempio popolare per una soluzione fai-da-te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo attraverso il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

In pratica, il compito è davvero molto comune, i triangoli possono generalmente essere torturati.

Per risolvere altri problemi, abbiamo bisogno di:

Proprietà del prodotto vettoriale di vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, valgono le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione, questo elemento di solito non è distinto nelle proprietà, ma è molto importante in termini pratici. Quindi lascia che sia.

2) - la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l'ordine dei vettori conta.

3) - combinazione o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti possono essere facilmente portate fuori dai limiti del prodotto vettoriale. Davvero, cosa ci fanno lì?

4) - distribuzione o distribuzione leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

A dimostrazione, consideriamo un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: Per condizione, è nuovamente necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, eliminiamo le costanti oltre i limiti del prodotto vettoriale.

(2) Togliamo la costante dal modulo, mentre il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Quanto segue è chiaro.

Risposta:

È ora di gettare legna sul fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area di un triangolo usando la formula . Il problema è che i vettori "ce" e "te" sono essi stessi rappresentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione. Prodotto scalare di vettori. Dividiamolo in tre passaggi per chiarezza:

1) Al primo passo esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimere il vettore in termini di vettore. Ancora nessuna parola sulla lunghezza!

(1) Sostituiamo le espressioni dei vettori .

(2) Utilizzando le leggi distributive, aprire le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, eliminiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con poca esperienza, le azioni 2 e 3 possono essere eseguite contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà piacevole . Nel secondo termine, usiamo la proprietà anticommutatività del prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore si è rivelato espresso attraverso un vettore, che era ciò che era necessario ottenere:

2) Al secondo passaggio, troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione ricorda l'esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo desiderato:

I passaggi 2-3 della soluzione potrebbero essere disposti in una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune in lavoro di controllo, ecco un esempio per una soluzione fai-da-te:

Esempio 5

Trova se

Soluzione breve e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento nello studiare gli esempi precedenti ;-)

Prodotto incrociato di vettori in coordinate

, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:

La formula è molto semplice: scriviamo i vettori delle coordinate nella riga superiore del determinante, “impacchettamo” le coordinate dei vettori nella seconda e terza riga, e mettiamo in rigoroso ordine- prima le coordinate del vettore "ve", quindi le coordinate del vettore "doppio-ve". Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, anche le linee dovrebbero essere scambiate:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
UN)
B)

Soluzione: Il test si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, allora il loro prodotto incrociato è zero (vettore zero): .

a) Trova il prodotto vettoriale:

Quindi i vettori non sono collineari.

b) Trova il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Qui, forse, ci sono tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché ci sono pochi problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. Infatti, tutto si baserà sulla definizione, senso geometrico e un paio di formule funzionanti.

Il prodotto misto di vettori è prodotto di tre vettori:

È così che si sono messi in fila come un treno e aspettano, non possono aspettare finché non vengono calcolati.

Prima di nuovo la definizione e l'immagine:

Definizione: Prodotto misto non complanare vettori , prese in questo ordine, è chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di segno "+" se la base è destra, e di segno "-" se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee a noi invisibili sono tracciate da una linea tratteggiata:

Entriamo nella definizione:

2) Vettori presi in un certo ordine, cioè la permutazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non va senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, noterò il fatto ovvio: il prodotto misto di vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design può essere leggermente diverso, ero solito designare un prodotto misto attraverso e il risultato di calcoli con la lettera "pe".

A-priorato il prodotto misto è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè, il numero è uguale al volume del dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non preoccupiamoci più del concetto di orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che al volume può essere aggiunto un segno meno. In parole semplici, il prodotto misto può essere negativo: .

La formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori segue direttamente dalla definizione.

Definizione. Il prodotto vettoriale di un vettore a (moltiplicatore) per un vettore (moltiplicatore) che non è collineare ad esso è il terzo vettore c (prodotto), che è costruito come segue:

1) il suo modulo è numericamente uguale all'area parallelogramma in fig. 155), costruita su vettori, cioè uguale alla direzione perpendicolare al piano del citato parallelogramma;

3) in questo caso si sceglie la direzione del vettore c (tra due possibili) in modo che i vettori c formino un sistema destrorso (§ 110).

Designazione: o

Addendum alla definizione. Se i vettori sono collineari, allora considerando la figura come un parallelogramma (condizionato), è naturale assegnare area zero. Pertanto, il prodotto vettoriale di vettori collineari è considerato uguale al vettore nullo.

Poiché al vettore nullo può essere assegnata qualsiasi direzione, questa convenzione non contraddice i punti 2 e 3 della definizione.

Nota 1. Nel termine "prodotto vettoriale", la prima parola indica che il risultato di un'azione è un vettore (invece di un prodotto scalare; cfr. § 104, nota 1).

Esempio 1. Trova il prodotto vettoriale in cui i vettori principali del sistema di coordinate destro (Fig. 156).

1. Poiché le lunghezze dei vettori principali sono uguali all'unità di scala, l'area del parallelogramma (quadrato) è numericamente uguale a uno. Quindi, il modulo del prodotto vettoriale è uguale a uno.

2. Poiché la perpendicolare al piano è l'asse, il prodotto vettoriale desiderato è un vettore collineare al vettore k; e poiché entrambi hanno modulo 1, il prodotto incrociato richiesto è k o -k.

3. Di questi due possibili vettori, bisogna scegliere il primo, poiché i vettori k formano un sistema destro (ei vettori ne formano uno sinistro).

Esempio 2. Trova il prodotto vettoriale

Soluzione. Come nell'esempio 1, concludiamo che il vettore è k o -k. Ma ora dobbiamo scegliere -k, poiché i vettori formano il sistema di destra (e i vettori formano il sistema di sinistra). COSÌ,

Esempio 3 I vettori hanno lunghezze rispettivamente di 80 e 50 cm e formano un angolo di 30°. Prendendo un metro come unità di lunghezza, trova la lunghezza del prodotto vettoriale a

Soluzione. L'area di un parallelogramma costruito su vettori è uguale a La lunghezza del prodotto vettoriale desiderato è uguale a

Esempio 4. Trova la lunghezza del prodotto incrociato degli stessi vettori, prendendo un centimetro come unità di lunghezza.

Soluzione. Poiché l'area del parallelogramma costruita sui vettori è uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale è 2000 cm, cioè

Il confronto degli esempi 3 e 4 mostra che la lunghezza del vettore dipende non solo dalle lunghezze dei fattori, ma anche dalla scelta dell'unità di lunghezza.

Il significato fisico del prodotto vettoriale. Dei numerosi quantità fisiche, rappresentato da un prodotto vettoriale, considera solo il momento di forza.

Sia A il punto di applicazione della forza Il momento della forza relativo al punto O è chiamato prodotto vettoriale Poiché il modulo di questo prodotto vettoriale è numericamente uguale all'area del parallelogramma (Fig. 157), il modulo del momento è uguale al prodotto della base per l'altezza, cioè la forza moltiplicata per la distanza dal punto O alla retta lungo la quale agisce la forza.

In meccanica, si dimostra che per l'equilibrio corpo solidoè necessario che non solo la somma dei vettori rappresentanti le forze applicate al corpo sia uguale a zero, ma anche la somma dei momenti delle forze. Nel caso in cui tutte le forze siano parallele allo stesso piano, l'addizione dei vettori che rappresentano i momenti può essere sostituita dall'addizione e sottrazione dei loro moduli. Ma per direzioni arbitrarie delle forze, tale sostituzione è impossibile. In accordo con ciò, il prodotto vettoriale è definito precisamente come un vettore e non come un numero.

7.1. Definizione di prodotto incrociato

Tre vettori non complanari a , b e c , presi nell'ordine indicato, formano una terna destra se dall'estremità del terzo vettore c si vede che la svolta più breve dal primo vettore a al secondo vettore b è antioraria, e a sinistra se in senso orario (vedi Fig. . 16).

Il prodotto vettoriale di un vettore a e di un vettore b è chiamato vettore c, che:

1. Perpendicolare ai vettori a e b, cioè c ^ a e c ^ B;

2. Ha una lunghezza numericamente uguale all'area del parallelogramma costruito sui vettori a eB come sui lati (vedi fig. 17), cioè

3. I vettori a , bec formano una terna destra.

prodotto vettoriale denotato a x b o [a,b]. Dalla definizione di un prodotto vettoriale, le seguenti relazioni tra le orts che seguo direttamente, J E K(vedi figura 18):

io x j \u003d k, j x k \u003d io, k x io \u003d j.
Proviamo, per esempio, che io xj \u003d k.

1) k ^ io , k ^ J;

2) |k |=1, ma | io x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vettori i , j e K formare una tripla destra (vedi Fig. 16).

7.2. Proprietà incrociate del prodotto

1. Quando i fattori vengono riorganizzati, il prodotto vettoriale cambia segno, cioè e xb \u003d (b xa) (vedi Fig. 19).

I vettori a xb e b xa sono collineari, hanno gli stessi moduli (l'area del parallelogramma rimane invariata), ma sono diretti in modo opposto (triple a, b, a xb e a, b, b x a di orientamento opposto). Questo è ax b = -(bxa).

2. Il prodotto vettoriale ha una proprietà di combinazione rispetto a un fattore scalare, ad es. l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Sia l >0. Il vettore l (a xb) è perpendicolare ai vettori a e b. Vettore ( l ascia Bè anche perpendicolare ai vettori a e B(vettori a, l ma giacciono sullo stesso piano). Quindi i vettori l(axb) e ( l ascia B collineare. È ovvio che le loro direzioni coincidono. Hanno la stessa lunghezza:

Ecco perché l(axb)= l un xb. Si dimostra analogamente per l<0.

3. Due vettori diversi da zero ae B sono collineari se e solo se il loro prodotto vettoriale è uguale al vettore nullo, cioè e ||b<=>e xb \u003d 0.

In particolare, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Il prodotto vettoriale ha una proprietà di distribuzione:

(a+b) xs = a xs + B xs.

Accetta senza prove.

7.3. Espressione del prodotto incrociato in termini di coordinate

Useremo la tabella del prodotto incrociato vettoriale i , J ek:

se la direzione del percorso più breve dal primo vettore al secondo coincide con la direzione della freccia, allora il prodotto è uguale al terzo vettore, se non corrisponde, il terzo vettore viene preso con un segno meno.

Siano due vettori a =a x i +a y J+az K e b=bx io+da J+bz K. Troviamo il prodotto vettoriale di questi vettori moltiplicandoli come polinomi (secondo le proprietà del prodotto vettoriale):

La formula risultante può essere scritta ancora più breve:

poiché il lato destro dell'uguaglianza (7.1) corrisponde allo sviluppo del determinante di terzo ordine in termini degli elementi della prima riga, l'uguaglianza (7.2) è facile da ricordare.

7.4. Alcune applicazioni del prodotto vettoriale

Determinazione della collinearità dei vettori

Trovare l'area di un parallelogramma e un triangolo

Secondo la definizione del prodotto vettoriale dei vettori UN e B |axb | =| un | * |b |sin g , cioè S par = |a x b |. E, quindi, DS \u003d 1/2 | a x b |.

Determinazione del momento di forza rispetto a un punto

Si applichi una forza nel punto A F=AB lasciarlo andare DI- un punto nello spazio (vedi Fig. 20).

È noto dalla fisica che coppia F relativo al punto DI detto vettore M , che passa per il punto DI E:

1) perpendicolare al piano passante per i punti O, LA, SI;

2) numericamente uguale al prodotto della forza per il braccio

3) forma una terna destra con i vettori OA e A B .

Pertanto, M \u003d OA x F.

Trovare la velocità lineare di rotazione

Velocità v punto M di un corpo rigido rotante ad una velocità angolare w attorno a un asse fisso, è determinato dalla formula di Eulero v \u003d w x r, dove r \u003d OM, dove O è un punto fisso dell'asse (vedi Fig. 21).

Yandex.RTB RA-339285-1

Prima di dare il concetto di prodotto vettoriale, passiamo alla questione dell'orientamento della terna ordinata dei vettori a → , b → , c → nello spazio tridimensionale.

Per cominciare, mettiamo da parte i vettori a → , b → , c → da un punto. L'orientamento della tripla a → , b → , c → è destra o sinistra, a seconda della direzione del vettore c → . Dalla direzione in cui viene effettuata la svolta più breve dal vettore a → a b → dall'estremità del vettore c → , sarà determinata la forma della tripla a → , b → , c →.

Se la rotazione più breve è in senso antiorario, viene chiamata la tripla dei vettori a → , b → , c → Giusto se in senso orario - Sinistra.

Quindi, prendi due vettori non collineari a → e b → . Rimandiamo quindi i vettori A B → = a → e A C → = b → dal punto A. Costruiamo un vettore A D → = c → , che sia simultaneamente perpendicolare sia ad A B → che ad A C → . Quindi, quando costruiamo il vettore A D → = c →, possiamo fare due cose, dandogli o una direzione o quella opposta (vedi illustrazione).

Il trio ordinato di vettori a → , b → , c → può essere, come abbiamo scoperto, destro o sinistro a seconda della direzione del vettore.

Da quanto sopra, possiamo introdurre la definizione di un prodotto vettoriale. Questa definizione è data per due vettori definiti in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale.

Definizione 1

Il prodotto vettoriale di due vettori a → e b → chiameremo tale vettore dato in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale tale che:

• se i vettori a → e b → sono collineari, sarà zero;
• sarà perpendicolare sia al vettore a →​​ che al vettore b → cioè ∠ un → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• la sua lunghezza è determinata dalla formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• la tripletta di vettori a → , b → , c → ha lo stesso orientamento del dato sistema di coordinate.

Il prodotto incrociato dei vettori a → e b → ha la seguente notazione: a → × b → .

Coordinate incrociate del prodotto

Poiché ogni vettore ha determinate coordinate nel sistema di coordinate, è possibile introdurre una seconda definizione del prodotto vettoriale, che ti consentirà di trovare le sue coordinate dalle coordinate date dei vettori.

Definizione 2

In un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale prodotto vettoriale di due vettori a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) chiama il vettore c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , dove i → , j → , k → sono vettori di coordinate.

Il prodotto vettoriale può essere rappresentato come determinante di una matrice quadrata del terzo ordine, dove la prima riga sono i vettori orta i → , j → , k → , la seconda riga contiene le coordinate del vettore a → , e la terza è le coordinate del vettore b → in un dato sistema di coordinate rettangolari, questo determinante di matrice ha il seguente aspetto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Espandendo questo determinante sugli elementi della prima riga, otteniamo l'uguaglianza: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietà incrociate del prodotto

È noto che il prodotto vettoriale in coordinate è rappresentato come determinante della matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , quindi sulla base proprietà determinanti della matrice il seguente proprietà del prodotto vettoriale:

1. anticommutatività a → × b → = - b → × a → ;
2. distributività a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → o a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associatività λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b → , dove λ è un numero reale arbitrario.

Queste proprietà non hanno dimostrazioni complicate.

Ad esempio, possiamo dimostrare la proprietà di anticommutatività di un prodotto vettoriale.

Dimostrazione di anticommutatività

Per definizione, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z e b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . E se due righe della matrice vengono scambiate, allora il valore del determinante della matrice dovrebbe cambiare nell'opposto, quindi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , che e dimostra l'anticommutatività del prodotto vettoriale.

Prodotto vettoriale - Esempi e soluzioni

Nella maggior parte dei casi, esistono tre tipi di attività.

Nei problemi del primo tipo, di solito vengono fornite le lunghezze di due vettori e l'angolo tra loro, ma è necessario trovare la lunghezza del prodotto incrociato. In questo caso, usa la seguente formula c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Esempio 1

Trova la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori a → e b → se a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 è noto.

Soluzione

Usando la definizione della lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori a → e b →, risolviamo questo problema: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Risposta: 15 2 2 .

I compiti del secondo tipo hanno una connessione con le coordinate dei vettori, contengono un prodotto vettoriale, la sua lunghezza, ecc. vengono cercati attraverso le coordinate note dei vettori dati a → = (a x ; a y ; a z) E b → = (b x ; b y ; b z) .

Per questo tipo di attività, puoi risolvere molte opzioni per le attività. Ad esempio, non le coordinate dei vettori a → e b → , ma le loro espansioni in vettori di coordinate della forma b → = b x io → + b y j → + b z k → e c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , oppure i vettori a → e b → possono essere dati dalle coordinate dei loro punti di inizio e fine.

Considera i seguenti esempi.

Esempio 2

Due vettori sono impostati in un sistema di coordinate rettangolare a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Trova il loro prodotto vettoriale.

Soluzione

Secondo la seconda definizione, troviamo il prodotto vettoriale di due vettori in coordinate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2k → .

Se scriviamo il prodotto vettoriale attraverso il determinante di matrice, allora la soluzione di questo esempio è la seguente: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Risposta: a → × b → = - 2 io → - 2 j → - 2 k → .

Esempio 3

Trova la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori i → - j → e i → + j → + k → , dove i → , j → , k → - orts di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Soluzione

Per prima cosa, troviamo le coordinate del dato prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → nel dato sistema di coordinate rettangolari.

È noto che i vettori i → - j → e i → + j → + k → hanno coordinate (1 ; - 1 ; 0) e (1 ; 1 ; 1) rispettivamente. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale usando il determinante di matrice, quindi abbiamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

Pertanto, il prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → ha coordinate (- 1 ; - 1 ; 2) nel dato sistema di coordinate.

Troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale con la formula (vedi la sezione su come trovare la lunghezza del vettore): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Risposta: io → - j → × io → + j → + k → = 6 . .

Esempio 4

Le coordinate di tre punti A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) sono date in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Trova un vettore perpendicolare ad A B → e A C → allo stesso tempo.

Soluzione

I vettori A B → e A C → hanno le seguenti coordinate (- 1 ; 2 ; 2) e (0 ; 4 ; 1) rispettivamente. Trovato il prodotto vettoriale dei vettori A B → e A C → , è ovvio che esso è un vettore perpendicolare per definizione sia ad A B → che ad A C → , cioè è la soluzione del nostro problema. Trovalo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Risposta: - 6 i → + j → - 4 k → . è uno dei vettori perpendicolari.

I problemi del terzo tipo sono incentrati sull'utilizzo delle proprietà del prodotto vettoriale di vettori. Dopo aver applicato quale, otterremo una soluzione al problema dato.

Esempio 5

I vettori a → e b → sono perpendicolari e le loro lunghezze sono rispettivamente 3 e 4. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Soluzione

Dalla proprietà di distribuzione del prodotto vettoriale, possiamo scrivere 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Per la proprietà dell'associatività, eliminiamo i coefficienti numerici oltre il segno dei prodotti vettoriali nell'ultima espressione: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

I prodotti vettoriali a → × a → e b → × b → sono uguali a 0, poiché a → × a → = a → a → sin 0 = 0 e b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , quindi 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Dall'anticommutatività del prodotto vettoriale segue - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Utilizzando le proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo l'uguaglianza 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Per condizione, i vettori a → e b → sono perpendicolari, cioè l'angolo tra loro è uguale a π 2 . Ora resta solo da sostituire i valori trovati nelle formule corrispondenti: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Risposta: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

La lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori per definizione è a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Poiché è già noto (dal corso scolastico) che l'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto delle lunghezze dei suoi due lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra questi lati. Pertanto, la lunghezza del prodotto vettoriale è uguale all'area di un parallelogramma - un triangolo raddoppiato, vale a dire il prodotto dei lati sotto forma di vettori a → e b → , licenziato da un punto, dal seno dell'angolo tra loro sin ∠ a → , b → .

Questo è il significato geometrico del prodotto vettoriale.

Il significato fisico del prodotto vettoriale

In meccanica, una delle branche della fisica, grazie al prodotto vettoriale si può determinare il momento di forza relativo ad un punto nello spazio.

Definizione 3

Sotto il momento di forza F → , applicato al punto B , relativo al punto A capiremo il seguente prodotto vettoriale A B → × F → .

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Vettore unitario- Questo vettore, il cui valore assoluto (modulo) è uguale a uno. Per denotare un vettore unitario, useremo il pedice e. Quindi, se viene dato un vettore UN, allora il suo vettore unitario sarà il vettore UN e. Questo vettore unitario punta nella stessa direzione del vettore stesso UN, e il suo modulo è uguale a uno, cioè a e \u003d 1.

Ovviamente, UN= un UN e (a - modulo vettoriale UN). Ciò deriva dalla regola con cui viene eseguita l'operazione di moltiplicazione di uno scalare per un vettore.

Vettori unitari spesso associato agli assi di coordinate del sistema di coordinate (in particolare, agli assi del sistema di coordinate cartesiane). Indicazioni di questi vettori coincidono con le direzioni degli assi corrispondenti e le loro origini sono spesso combinate con l'origine del sistema di coordinate.

Lascia che te lo ricordi Sistema di coordinate cartesiano nello spazio è tradizionalmente chiamato un triplo di assi mutuamente perpendicolari che si intersecano in un punto chiamato origine. Gli assi delle coordinate sono solitamente indicati dalle lettere X, Y, Z e sono chiamati rispettivamente asse delle ascisse, asse delle ordinate e asse applicato. Lo stesso Descartes usava un solo asse, sul quale venivano tracciate le ascisse. merito d'uso sistemi assi appartiene ai suoi studenti. Quindi la frase Sistema di coordinate cartesiano storicamente sbagliato. Meglio parlare rettangolare sistema di coordinate O sistema di coordinate ortogonali. Tuttavia, non cambieremo le tradizioni e in futuro assumeremo che i sistemi di coordinate cartesiane e rettangolari (ortogonali) siano la stessa cosa.

Vettore unitario, diretto lungo l'asse X, è denotato io, vettore unitario, diretto lungo l'asse Y, è denotato J, UN vettore unitario, diretto lungo l'asse Z, è denotato K. Vettori io, J, K chiamato orts(Fig. 12, a sinistra), hanno moduli singoli, cioè
io = 1, j = 1, k = 1.

assi e orts sistema di coordinate rettangolari in alcuni casi hanno altri nomi e designazioni. Quindi, l'asse delle ascisse X può essere chiamato asse tangente e il suo vettore unitario è indicato τ (lettera greca minuscola tau), l'asse y è l'asse normale, il suo vettore unitario è indicato N, l'asse applicato è l'asse del binormale, il suo vettore unitario è denotato B. Perché cambiare i nomi se l'essenza rimane la stessa?

Il fatto è che, ad esempio, in meccanica, quando si studia il moto dei corpi, viene utilizzato molto spesso un sistema di coordinate rettangolari. Quindi, se il sistema di coordinate stesso è immobile e il cambiamento nelle coordinate di un oggetto in movimento viene tracciato in questo sistema immobile, di solito gli assi indicano X, Y, Z e i loro orts rispettivamente io, J, K.

Ma spesso, quando un oggetto si muove lungo una sorta di traiettoria curvilinea (ad esempio, lungo un cerchio), è più conveniente considerare i processi meccanici in un sistema di coordinate che si muovono con questo oggetto. È per un tale sistema di coordinate mobili che vengono utilizzati altri nomi degli assi e dei loro vettori unitari. È solo accettato. In questo caso, l'asse X è diretto tangenzialmente alla traiettoria nel punto in cui questo momento si trova questo oggetto. E poi questo asse non è più chiamato l'asse X, ma l'asse tangente, e il suo vettore unitario non è più denotato io, UN τ . L'asse Y è diretto lungo il raggio di curvatura della traiettoria (nel caso di movimento in un cerchio - al centro del cerchio). E poiché il raggio è perpendicolare alla tangente, l'asse è chiamato asse della normale (perpendicolare e normale sono la stessa cosa). L'ort di questo asse non è più indicato J, UN N. Il terzo asse (l'ex Z) è perpendicolare ai due precedenti. Questo è un binormale con un vettore B(Fig. 12, a destra). A proposito, in questo caso sistema di coordinate rettangolari spesso indicato come "naturale" o naturale.