Compito 1(sul calcolo dell'area trapezio curvilineo).

Nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari xOy, viene data una figura (vedi figura), delimitata dall'asse x, linee rette x \u003d a, x \u003d b (un trapezio curvilineo. È necessario calcolare l'area di \ il trapezio curvilineo.
Soluzione. La geometria ci fornisce ricette per calcolare le aree dei poligoni e alcune parti di un cerchio (settore, segmento). Utilizzando considerazioni geometriche, saremo in grado di trovare solo un valore approssimativo dell'area richiesta, argomentando come segue.

Dividiamo il segmento [a; b] (base di un trapezio curvilineo) in n parti uguali; questa partizione è fattibile con l'aiuto dei punti x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Tracciamo linee attraverso questi punti parallele all'asse y. Quindi il dato trapezio curvilineo sarà diviso in n parti, in n colonne strette. L'area dell'intero trapezio è uguale alla somma delle aree delle colonne.

Considera separatamente la colonna k-esima, cioè trapezio curvilineo, la cui base è un segmento. Sostituiamolo con un rettangolo con la stessa base e altezza pari a f(x k) (vedi figura). L'area del rettangolo è \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), dove \(\Delta x_k \) è la lunghezza del segmento; è naturale considerare il prodotto compilato come un valore approssimativo dell'area della k-esima colonna.

Se ora facciamo lo stesso con tutte le altre colonne, allora arriviamo al seguente risultato: l'area S di un dato trapezio curvilineo è approssimativamente uguale all'area S n di una figura a gradini composta da n rettangoli (vedi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Qui, per motivi di uniformità della notazione, consideriamo che a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - lunghezza del segmento , \(\Delta x_1 \) - lunghezza del segmento , ecc; mentre, come concordato sopra, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Quindi, \(S \circa S_n \), e questa uguaglianza approssimativa è tanto più accurata quanto più grande è n.
Per definizione, si presume che l'area desiderata del trapezio curvilineo sia uguale al limite della sequenza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Compito 2(sullo spostamento di un punto)
Un punto materiale si muove lungo una linea retta. La dipendenza della velocità dal tempo è espressa dalla formula v = v(t). Trova lo spostamento di un punto nell'intervallo di tempo [a; B].
Soluzione. Se il moto fosse uniforme, allora il problema sarebbe risolto molto semplicemente: s = vt, cioè s = v(b-a). Per il moto irregolare si devono usare le stesse idee su cui si basava la soluzione del problema precedente.
1) Dividi l'intervallo di tempo [a; b] in n parti uguali.
2) Consideriamo un intervallo di tempo e assumiamo che durante questo intervallo di tempo la velocità sia costante, come all'istante t k . Quindi, assumiamo che v = v(t k).
3) Trova il valore approssimato dello spostamento del punto nell'intervallo di tempo , questo valore approssimato sarà indicato con s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Trovare il valore approssimato dello spostamento s:
\(s \circa S_n \) dove
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Lo spostamento richiesto è pari al limite della successione (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Riassumiamo. Le soluzioni di vari problemi sono state ridotte allo stesso modello matematico. Molti problemi provenienti da vari campi della scienza e della tecnologia portano allo stesso modello nel processo di soluzione. Così questo modello matematico devono essere studiati appositamente.

Il concetto di integrale definito

Diamo una descrizione matematica del modello che è stato costruito nei tre problemi considerati per la funzione y = f(x), che è continua (ma non necessariamente non negativa, come si è ipotizzato nei problemi considerati) sul segmento [ UN; B]:
1) dividere il segmento [a; b] in n parti uguali;
2) somma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcola $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Nel corso dell'analisi matematica, è stato dimostrato che questo limite esiste nel caso di una funzione continua (o continua a tratti). Egli è chiamato un integrale definito della funzione y = f(x) sul segmento [a; B] e sono indicati in questo modo:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
I numeri aeb sono chiamati i limiti di integrazione (inferiore e superiore, rispettivamente).

Torniamo ai compiti discussi sopra. La definizione di area data nel problema 1 può ora essere riscritta come segue:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
qui S è l'area del trapezio curvilineo mostrato nella figura sopra. Questo è ciò significato geometrico dell'integrale definito.

La definizione dello spostamento s di un punto che si muove in linea retta con una velocità v = v(t) nell'intervallo di tempo da t = a a t = b, data nel Problema 2, può essere riscritta come segue:

Formula di Newton-Leibniz

Per cominciare, rispondiamo alla domanda: qual è la relazione tra un integrale definito e un'antiderivata?

La risposta può essere trovata nel problema 2. Da un lato, lo spostamento s di un punto che si muove lungo una retta con una velocità v = v(t) in un intervallo di tempo da t = a a t = b ed è calcolato da la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

D'altra parte, la coordinata del punto in movimento è l'antiderivata per la velocità - indichiamola con s(t); quindi lo spostamento s è espresso dalla formula s = s(b) - s(a). Di conseguenza, otteniamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
dove s(t) è l'antiderivata per v(t).

Il seguente teorema è stato dimostrato nel corso dell'analisi matematica.
Teorema. Se la funzione y = f(x) è continua sul segmento [a; b], poi la formula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
dove F(x) è l'antiderivata per f(x).

Questa formula è solitamente chiamata Formula di Newton-Leibniz in onore del fisico inglese Isaac Newton (1643-1727) e del filosofo tedesco Gottfried Leibniz (1646-1716), che lo ricevettero indipendentemente l'uno dall'altro e quasi contemporaneamente.

In pratica, invece di scrivere F(b) - F(a), usano la notazione \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a volte viene chiamata doppia sostituzione) e, di conseguenza, riscrivi la formula di Newton-Leibniz in questa forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \sinistra. F(x)\destra|_a^b \)

Calcolando un integrale definito, trova prima l'antiderivata, quindi esegui una doppia sostituzione.

Sulla base della formula di Newton-Leibniz, si possono ottenere due proprietà di un integrale definito.

Proprietà 1. L'integrale della somma delle funzioni è uguale alla somma degli integrali:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Proprietà 2. Il fattore costante può essere tolto dal segno integrale:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcolo delle aree delle figure piane usando un integrale definito

Usando l'integrale, puoi calcolare l'area non solo dei trapezi curvilinei, ma anche delle figure piatte più di tipo complesso, come quella mostrata in figura. La figura P è delimitata da rette x = a, x = b e grafici di funzioni continue y = f(x), y = g(x), e sul segmento [a; b] vale la disuguaglianza \(g(x) \leq f(x) \). Per calcolare l'area S di tale figura, procederemo come segue:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Quindi, l'area S della figura delimitata dalle rette x = a, x = b e i grafici delle funzioni y = f(x), y = g(x), continue sul segmento e tali che per ogni x da il segmento [a; b] la disuguaglianza \(g(x) \leq f(x) \) è soddisfatta, si calcola con la formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabella degli integrali indefiniti (antiderivati) di alcune funzioni

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Considera un trapezio curvilineo delimitato dall'asse del Bue, una curva y \u003d f (x) e due linee rette: x \u003d a e x \u003d b (Fig. 85). Prendi un valore arbitrario di x (solo non a e non b). Diamogli un incremento h = dx e consideriamo una striscia delimitata dalle rette AB e CD, dall'asse Ox, e da un arco BD appartenente alla curva considerata. Questa striscia sarà chiamata la striscia elementare. L'area di una striscia elementare differisce dall'area di un rettangolo ACQB da un triangolo curvilineo BQD, e l'area di quest'ultimo meno zona rettangolo BQDM di lati BQ = h=dx) QD=Ay e area uguale a hAy = Ay dx. Al diminuire del lato h diminuisce anche il lato Du che, contemporaneamente ad h, tende a zero. Pertanto, l'area di BQDM è infinitesimale del secondo ordine. L'area della striscia elementare è l'incremento dell'area e l'area del rettangolo ACQB, pari a AB-AC==/(x) dx> è il differenziale dell'area. Pertanto, troviamo l'area stessa integrando il suo differenziale. Nei limiti della figura in esame, la variabile indipendente l: cambia da a a b, quindi l'area richiesta 5 sarà pari a 5= \f (x) dx. (I) Esempio 1. Calcola l'area delimitata dalla parabola y - 1 -x *, le rette X \u003d - Fj-, x \u003d 1 e l'asse O * (Fig. 86). alla fig. 87. fig. 86. 1 Qui f(x) = 1 - l?, i limiti di integrazione a = - e t = 1, quindi 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Esempio 2. Calcolare l'area delimitata dalla sinusoide y = sinXy, l'asse Ox e la retta (Fig. 87). Applicando la formula (I), otteniamo L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf con l'asse Ox (ad esempio tra l'origine e il punto con l'ascissa i). Si noti che da considerazioni geometriche è chiaro che quest'area sarà il doppio dell'area dell'esempio precedente. Comunque facciamo i calcoli: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o In effetti, la nostra ipotesi si è rivelata giusta. Esempio 4. Calcolare l'area delimitata dalla sinusoide e dall'asse ^ Ox su un periodo (Fig. 88). I giudizi preliminari di ras-figure suggeriscono che l'area risulterà essere quattro volte più grande rispetto al pr 2. Tuttavia, dopo aver eseguito i calcoli, otteniamo "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Questo risultato richiede chiarimenti. Per chiarire l'essenza della questione, calcoliamo anche l'area delimitata dalla stessa sinusoide y \u003d sin l: e l'asse Ox che va da l a 2n. Applicando la formula (I), otteniamo Quindi, vediamo che quest'area si è rivelata negativa. Confrontandola con l'area calcolata nell'Es. 3, troviamo che i loro valori assoluti sono gli stessi, ma i segni sono diversi. Se applichiamo la proprietà V (vedi Cap. XI, § 4), allora otteniamo per caso. Sempre l'area al di sotto dell'asse x, a patto che la variabile indipendente cambi da sinistra a destra, si ottiene calcolando con integrali negativi. In questo corso considereremo sempre le aree non segnalate. Pertanto, la risposta nell'esempio appena analizzato sarà la seguente: l'area richiesta è pari a 2 + |-2| = 4. Esempio 5. Calcoliamo l'area del BAB mostrato in Fig. 89. Quest'area è delimitata dall'asse Ox, dalla parabola y = - xr e dalla retta y - = -x + \. Area di un trapezio curvilineo L'area ricercata OAB è composta da due parti: OAM e MAB. Poiché il punto A è il punto di intersezione della parabola e della retta, troveremo le sue coordinate risolvendo il sistema di equazioni 3 2 Y \u003d mx. (dobbiamo solo trovare l'ascissa del punto A). Risolvendo il sistema, troviamo l; =~. Pertanto, l'area deve essere calcolata in parti, primo pl. OAM, e poi pl. MAV: .... SOL 3 2, 3 SOL xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [sostituzione:

] =

Quindi l'integrale improprio converge e vale .

Integrale definito. Come calcolare l'area di una figura

Passiamo ora alla considerazione delle applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo un compito tipico e più comune. Come utilizzare un integrale definito per calcolare l'area di una figura piana. Infine, coloro che cercano un significato nella matematica superiore, possano trovarlo. Non si sa mai. Nella vita reale, dovrai approssimare un cottage estivo con funzioni elementari e trovare la sua area usando un certo integrale.

Per padroneggiare con successo il materiale, devi:

1) capire integrale indefinito almeno a un livello medio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima leggere la lezione Non.

2) Saper applicare la formula di Newton-Leibniz e calcolare l'integrale definito. Puoi stabilire relazioni cordiali e amichevoli con alcuni integrali sulla pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Infatti, per trovare l'area di una figura, non è necessaria tanta conoscenza dell'integrale indefinito e definito. Il compito "calcolare l'area usando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi le tue conoscenze e abilità di disegno saranno una questione molto più rilevante. A questo proposito è utile rinfrescare la memoria dei grafici delle principali funzioni elementari, e, come minimo, riuscire a costruire una retta, una parabola e un'iperbole. Questo può essere fatto (molti ne hanno bisogno) con l'aiuto di materiale metodologico e articoli sulle trasformazioni geometriche dei grafici.

In realtà, tutti hanno familiarità con il problema di trovare l'area usando un integrale definito fin dai tempi della scuola, e andremo un po' avanti curriculum scolastico. Questo articolo potrebbe non esistere affatto, ma il fatto è che il problema si verifica in 99 casi su 100, quando uno studente è tormentato da un'odiata torre con entusiasmo che padroneggia un corso di matematica superiore.

I materiali di questo workshop sono presentati in modo semplice, dettagliato e con un minimo di teoria.

Iniziamo con un trapezio curvilineo.

Trapezio curvilineo chiamato una figura piatta delimitata dall'asse , linee rette e il grafico di una funzione continua su un segmento che non cambia segno su questo intervallo. Lascia che questa figura sia localizzata non meno ascissa:

Poi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale. Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. Alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni Ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di dichiararne un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA.

Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Ad esempio, consideriamo l'integrale definito . L'integrando definisce una curva sul piano che si trova sopra l'asse (chi lo desidera può completare il disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

Questa è una tipica dichiarazione di attività. Primo e punto cruciale soluzioni - disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Quando crei un progetto, raccomando il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le linee (se ce ne sono) e solo Poi- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. I grafici delle funzioni sono più redditizi da costruire punto per punto, la tecnica della costruzione puntuale può essere trovata in materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Facciamo un disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Non schiuderò un trapezio curvilineo, è ovvio di quale area stiamo parlando qui. La soluzione continua così:

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:

Risposta:

Chi ha difficoltà a calcolare l'integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz , fare riferimento alla conferenza Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, "a occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitate circa 9, sembra essere vero. È abbastanza chiaro che se avessimo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta si è rivelata negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 2

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , e l'asse

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto asse?

Esempio 3

Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.

Soluzione: Facciamo un disegno:

Se si trova il trapezio curvilineo sotto asse(o quantomeno non superiore dato l'asse), allora la sua area può essere trovata dalla formula:
In questo caso:

Attenzione! Non confondere i due tipi di attività:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza nessuno significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché il meno appare nella formula appena considerata.

In pratica, il più delle volte la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa ad esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee , .

Soluzione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore dell'integrazione, il limite superiore dell'integrazione.
È meglio non utilizzare questo metodo se possibile..

È molto più redditizio e veloce costruire le linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come “da soli”. La tecnica di costruzione punto per punto per vari grafici è discussa in dettaglio nella guida Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.

Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo un disegno:

Ripeto che con la costruzione puntuale, i limiti dell'integrazione vengono spesso scoperti “automaticamente”.

E ora la formula di lavoro: Se c'è qualche funzione continua sull'intervallo Maggiore o uguale qualche funzione continua, quindi l'area della figura delimitata dai grafici di queste funzioni e linee rette, può essere trovata dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura - sopra l'asse o sotto l'asse e, grosso modo, importa quale grafico è SOPRA(rispetto ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura desiderata è limitata da una parabola dall'alto e da una linea retta dal basso.
Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

In effetti, la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è un caso speciale della formula . Poiché l'asse è dato dall'equazione e si trova il grafico della funzione non superiore assi, quindi

E ora un paio di esempi per una soluzione indipendente

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area della figura racchiusa dalle linee , .

Nel corso della risoluzione dei problemi per il calcolo dell'area utilizzando un certo integrale, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato eseguito correttamente, i calcoli erano corretti, ma per disattenzione ... trovato l'area della figura sbagliata, è così che il tuo servo obbediente ha sbagliato più volte. Ecco un caso reale:

Esempio 7

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .

Soluzione: Facciamo prima un disegno:

…Eh, il disegno è venuto fuori una cazzata, ma sembra tutto leggibile.

La cifra di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu.(guarda attentamente la condizione: come la cifra è limitata!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, si verifica spesso un "problema tecnico", che è necessario trovare l'area della figura che è ombreggiata in verde!

Questo esempio è utile anche in quanto in esso l'area della figura viene calcolata utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico a linee rette;

2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico iperbole.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Passiamo a un compito più significativo.

Esempio 8

Calcola l'area di una figura delimitata da linee,
Presentiamo le equazioni in una forma "scolastica" ed eseguiamo un disegno punto per punto:

Si può vedere dal disegno che il nostro limite superiore è “buono”: .
Ma qual è il limite inferiore? È chiaro che questo non è un numero intero, ma cosa? Forse ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia realizzato con perfetta accuratezza, potrebbe benissimo risultare così. O radice. E se non riuscissimo a ottenere il grafico giusto?

In tali casi, è necessario dedicare più tempo e affinare analiticamente i limiti dell'integrazione.

Troviamo i punti di intersezione della retta e della parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:


,

Veramente, .

L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più facili.

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Ebbene, in conclusione della lezione, considereremo due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , ,

Soluzione: Disegna questa figura nel disegno.

Accidenti, ho dimenticato di firmare il programma e rifare la foto, scusa, non hotz. Non un disegno, insomma, oggi è un giorno =)

Per la costruzione puntuale, devi sapere aspetto sinusoidi (e in generale è utile sapere grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori del seno, possono essere trovati in tavola trigonometrica. In alcuni casi (come in questo caso), è consentito costruire un disegno schematico, sul quale grafici e limiti di integrazione devono essere visualizzati in linea di principio correttamente.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui, seguono direttamente dalla condizione: - "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento, il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi: