Esej
Absolútna a relatívna chyba
Úvod
Absolútna chyba - je odhad absolútnej chyby merania. Vypočítané rôzne cesty. Spôsob výpočtu je určený rozdelením náhodnej premennej. Podľa toho veľkosť absolútnej chyby závisí od rozdelenia náhodnej premennej môže byť iný. Ak je nameraná hodnota a - skutočnú hodnotu, potom nerovnosť musí byť spokojný s nejakou pravdepodobnosťou blízkou 1. Ak náhodná hodnota rozdelené podľa normálneho zákona, potom sa zvyčajne jeho smerodajná odchýlka berie ako absolútna chyba. Absolútna chyba sa meria v rovnakých jednotkách ako samotná hodnota.
Existuje niekoľko spôsobov, ako zapísať množstvo spolu s jeho absolútnou chybou.
· Zvyčajne sa používa podpísaná notácia ± . Napríklad rekord na 100 m z roku 1983 je 9,930±0,005 s.
· Na zaznamenávanie hodnôt nameraných s veľmi vysokou presnosťou sa používa iný zápis: čísla zodpovedajúce chybe posledné číslice mantisa sú pridané v zátvorkách. Napríklad nameraná hodnota Boltzmannovej konštanty je 1,380 6488 (13) × 10?23 J/K, čo sa dá písať aj oveľa dlhšie ako 1 380 6 488 × 10?23 ± 0,000 0013 × 10?23 J/K.
Relatívna chyba - chyba merania, vyjadrená ako pomer absolútnej chyby merania k skutočnej alebo priemernej hodnote meranej veličiny (RMG 29-99):.
Relatívna chyba je bezrozmerná veličina alebo sa meria v percentách.
1. Čo sa nazýva približná hodnota?
Príliš veľa a príliš málo? V procese výpočtov sa často musíme zaoberať približnými číslami. Nechaj A- presná hodnota nejaké množstvo, ďalej len ako presné číslo a.Pod približnú hodnotu množstva A,alebo približné číslazavolal na číslo A, ktorý nahrádza presnú hodnotu množstva A.Ak A< A,To Asa nazýva približná hodnota čísla A pre nedostatok.Ak A> A,- To v prebytku.Napríklad 3,14 je aproximácia čísla ? nedostatkom a 3,15 nadbytkom. Na charakterizáciu stupňa presnosti tejto aproximácie sa používa koncept chyby alebo chyby.
chyba ?Apribližné číslo Asa nazýva odlišnosť formy
?a = A - a,
Kde Aje zodpovedajúce presné číslo.
Obrázok ukazuje, že dĺžka segmentu AB je medzi 6 cm a 7 cm.
To znamená, že 6 je približná hodnota dĺžky segmentu AB (v centimetroch)\u003e s nedostatkom a 7 je s prebytkom.
Označením dĺžky úsečky písmenom y dostaneme: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentAB (pozri obr. 149) je bližšie k 6 cm ako k 7 cm. Približne sa rovná 6 cm. Hovoria, že číslo 6 sme získali zaokrúhlením dĺžky segmentu na celé čísla.
. Čo je chyba aproximácie?
A) absolútne?
B) Relatívna?
A) Absolútna chyba aproximácie je modul rozdielu medzi skutočnou hodnotou veličiny a jej približnou hodnotou. |x - x_n|, kde x je skutočná hodnota, x_n je približná hodnota. Napríklad: Dĺžka listu papiera A4 je (29,7 ± 0,1) cm a vzdialenosť z Petrohradu do Moskvy je (650 ± 1) km. Absolútna chyba v prvom prípade nepresahuje jeden milimeter av druhom - jeden kilometer. Otázkou je porovnanie presnosti týchto meraní.
Ak si myslíte, že dĺžka listu sa meria presnejšie, pretože absolútna chyba nepresahuje 1 mm. Potom sa mýlite. Tieto hodnoty sa nedajú priamo porovnávať. Urobme si nejaké úvahy.
Pri meraní dĺžky listu nepresahuje absolútna chyba 0,1 cm x 29,7 cm, to znamená, že v percentách je to 0,1 / 29,7 * 100 % = 0,33 % nameranej hodnoty.
Keď meriame vzdialenosť z Petrohradu do Moskvy, absolútna chyba nepresahuje 1 km na 650 km, čo je 1/650 * 100 % = 0,15 % nameranej hodnoty v percentách. Vidíme, že vzdialenosť medzi mestami sa meria presnejšie ako dĺžka listu A4.
B) Relatívna chyba aproximácie je pomer absolútnej chyby k modulu približnej hodnoty veličiny.
zlomok matematickej chyby
kde x je skutočná hodnota, x_n je približná hodnota.
Relatívna chyba sa zvyčajne označuje ako percento.
Príklad. Zaokrúhlením čísla 24,3 na jednotky dostaneme číslo 24.
Relatívna chyba je rovnaká. Hovorí sa, že relatívna chyba v tomto prípade je 12,5%.
) Aké zaokrúhľovanie sa nazýva zaokrúhľovanie?
A) s nevýhodou?
b) Príliš veľa?
A) zaokrúhľovanie nadol
Pri zaokrúhľovaní čísla vyjadreného ako desatinný zlomok s presnosťou na 10^(-n) s nedostatkom sa prvých n číslic za desatinnou čiarkou zachová a nasledujúce sa zahodia.
Napríklad zaokrúhlenie 12,4587 na najbližšiu tisícinu s mínusom má za následok 12,458.
B) Zaokrúhľovanie nahor
Pri zaokrúhľovaní čísla vyjadreného ako desatinný zlomok až na 10^(-n) sa prvých n číslic za desatinnou čiarkou zachová s prebytkom a ďalšie sa zahodia.
Napríklad zaokrúhlenie 12,4587 na najbližšiu tisícinu s mínusom má za následok 12,459.
) Pravidlo pre zaokrúhľovanie desatinných miest.
Pravidlo. Na zaokrúhlenie nahor desiatkový do určitej číslice celého čísla alebo zlomkovej časti sa všetky menšie číslice nahradia nulami alebo sa vyradia, pričom číslica pred číslicou vyradenou pri zaokrúhľovaní nemení svoju hodnotu, ak za ňou nasledujú čísla 0, 1, 2, 3 , 4 a zvýši sa o 1 (jedna), ak sú čísla 5, 6, 7, 8, 9.
Príklad. Zaokrúhlite zlomok 93,70584 na:
desaťtisíciny: 93,7058
tisíciny: 93,706
stotiny: 93,71
desatiny: 93,7
celé číslo: 94
desiatky: 90
Napriek rovnosti absolútnych chýb, od r merané veličiny sú rôzne. Čím väčšia je nameraná veľkosť, tým menšia je relatívna chyba pri konštantnej absolútnej hodnote.
Ponuka práce
Naši odborníci vám pomôžu napísať prácu s povinnou kontrolou jedinečnosti v systéme Anti-plagiarism
Odoslať žiadosť s požiadavkami práve teraz zistiť cenu a možnosť písania.
V živote sa často musíme zaoberať rôznymi približnými hodnotami. Približné výpočty sú vždy výpočty s určitou chybou.
Koncept absolútnej chyby
Absolútna chyba približnej hodnoty je modul rozdielu medzi presnou hodnotou a približnou hodnotou.
To znamená, že od presnej hodnoty musíte odpočítať približnú hodnotu a vziať výsledné číslo modulo. Absolútna chyba je teda vždy kladná.
Ako vypočítať absolútnu chybu
Ukážeme si, ako to môže vyzerať v praxi. Napríklad máme graf určitej hodnoty, nech je to parabola: y=x^2.
Z grafu vieme v niektorých bodoch určiť približnú hodnotu. Napríklad pri x=1,5 je hodnota y približne 2,2 (y≈2,2).
Pomocou vzorca y=x^2 nájdeme presnú hodnotu v bode x=1,5 y= 2,25.
Teraz vypočítame absolútnu chybu našich meraní. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.
Absolútna chyba je 0,05. V takýchto prípadoch tiež hovoria, že hodnota je vypočítaná s presnosťou 0,05.
Často sa stáva, že nie vždy sa podarí nájsť presnú hodnotu, a preto nie je vždy možné nájsť absolútnu chybu.
Ak napríklad vypočítame vzdialenosť medzi dvoma bodmi pomocou pravítka, alebo uhol medzi dvoma priamkami pomocou uhlomeru, potom dostaneme približné hodnoty. Presná hodnota sa však nedá vypočítať. V tomto prípade môžeme zadať číslo, ktoré nemôže prekročiť hodnotu absolútnej chyby.
V praxi sú čísla, na ktorých sa robia výpočty, zvyčajne približné hodnoty určitých veličín. Kvôli stručnosti sa približná hodnota množstva nazýva približné číslo. Skutočná hodnota množstva sa nazýva presné číslo. Približné číslo má praktickú hodnotu len vtedy, keď vieme určiť, s akou mierou presnosti sa uvádza, t.j. vyhodnotiť jeho chybu. Pripomeňte si základné pojmy z všeobecný kurz matematiky.
Označiť: X- presné číslo (skutočná hodnota množstva), A- približné číslo (približná hodnota veličiny).
Definícia 1. Chyba (alebo skutočná chyba) približného čísla je rozdiel medzi číslom X a jeho približnú hodnotu A. Približná chyba A budeme označovať . takže,
Presné číslo X najčastejšie je neznámy, preto nie je možné nájsť pravdivé a absolútne chyby. Na druhej strane môže byť potrebné odhadnúť absolútnu chybu, t.j. uveďte číslo, ktoré nemôže prekročiť absolútna chyba. Napríklad pri meraní dĺžky predmetu týmto nástrojom si musíme byť istí, že chyba získanej číselnej hodnoty nepresiahne určité číslo, napríklad 0,1 mm. Inými slovami, musíme poznať hranicu absolútnej chyby. Táto hranica sa bude nazývať obmedzujúca absolútna chyba.
Definícia 3. Limitná absolútna chyba približného čísla A volal kladné číslo také, že t.j.
znamená, X nedostatkom, nadbytkom. Používa sa aj nasledujúci záznam:
| . | (2.5) |
Je jasné, že limitná absolútna chyba je určená nejednoznačne: ak je limitnou absolútnou chybou určité číslo, potom akákoľvek viac existuje aj okrajová absolútna chyba. V praxi sa snažia vybrať čo najmenšie a jednoduché (s 1-2 platnými číslicami) číslo, ktoré spĺňa nerovnosť (2.3).
Príklad.Určte skutočnú, absolútnu a hraničnú absolútnu chybu čísla a \u003d 0,17, ktorá sa berie ako približná hodnota čísla.
Skutočná chyba: 
Absolútna chyba: 
Pre obmedzujúcu absolútnu chybu si môžete vziať číslo a akékoľvek väčšie číslo. V desiatkovom zápise budeme mať: Nahradením tohto čísla veľkým a možno jednoduchším záznamom budeme akceptovať:
Komentujte. Ak A je približná hodnota čísla X a hraničná absolútna chyba sa rovná h, potom to hovoria A je približná hodnota čísla X až do h.
Poznanie absolútnej chyby nestačí na charakterizáciu kvality merania alebo výpočtu. Nech sa napríklad takéto výsledky získajú pri meraní dĺžky. Vzdialenosť medzi dvoma mestami S1=500 1 km a vzdialenosť medzi dvoma budovami v meste S2= 10 1 km. Hoci sú absolútne chyby oboch výsledkov rovnaké, podstatné je, že v prvom prípade absolútna chyba 1 km pripadá na 500 km, v druhom na 10 km. Kvalita merania v prvom prípade je lepšia ako v druhom. Kvalita výsledku merania alebo výpočtu je charakterizovaná relatívnou chybou.
Chyby sa pri priamom (okamžitom) meraní akejkoľvek fyzikálnej veličiny zvyčajne delia na hrubé (chyby), systematické a náhodné.
Hrubé chyby sú vylúčené;
Korekcie, ktoré mali byť určené (napríklad posun nulového dielika stupnice), sa vypočítajú a zahrnú do konečných výsledkov;
Systematické chyby sú určené nepresnosťou meracieho prístroja a sú uvedené v jeho technickom liste. Znak tejto chyby nie je vopred známy, preto ho treba zohľadniť pri konečnom výsledku merania.
Náhodné chyby sa znižujú so zvyšujúcim sa počtom meraní. Nech sa vykoná n meraní x. Potom pre najlepší odhad skutočná hodnota sa berie ako aritmetický priemer jednotlivých meraní
kde: x i - výsledok i-teho merania.
Existuje niekoľko spôsobov, ako odhadnúť náhodnú chybu. Najbežnejšia takzvaná kvadratická chyba aritmetického priemeru
(2)
Nech P znamená pravdepodobnosť, že sa výsledok merania líši od skutočnej hodnoty o ∆x , kde ∆x je celková chyba merania tejto veličiny: absolútna chyba. Potom sa dá písať
kde x ist je skutočná hodnota meranej veličiny, ktorá nie je vopred známa.
Pravdepodobnosť P sa nazýva pravdepodobnosť spoľahlivosti a interval od 
predtým 
- interval spoľahlivosti.
Ak sa obmedzíme na zohľadnenie iba náhodných chýb, potom pre malý počet meraní sa polovičná šírka intervalu spoľahlivosti rovná
(3)
kde t P , n sú Studentove koeficienty, ktoré sú tabelované v závislosti od P an. V našej práci sme nastavili P = 0,95. Potom pri n = 3 t 0,95;4 = 4,3, pri n = 4 t 0,95;4 = 3,2, pri n = 5 t 0,95;5 = 2,8.
(4)
kde ∆x pr - najväčšia absolútna chyba prístroja; x N je hraničná hodnota stupnice prístroja.
Z (4) vyplýva, že
(5)
Chyby digitálnych meracích prístrojov sú uvedené v pase každého z nich.
Pri viacerých meraniach sa stredná kvadratická hodnota inštrumentálnej chyby P = 0,95 určí podľa vzorca:
(6)
Ak sa rovnaké výsledky získajú pri viacerých meraniach, potom ∆x si možno brať ako polovicu hodnoty dielika stupnice alebo polovicu jednotkovej číslice poslednej číslice výsledku.
Relatívna chyba výsledku sa zistí podľa vzorca
(7)
alebo často v percentách
(8)
Preto je navrhnuté nasledujúce poradie operácií pre priame merania.
Vypočíta sa aritmetický priemer n meraní:
Stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru sa určí:
Nachádza
Určí sa absolútna chyba výsledku merania
Odhaduje sa relatívna chyba výsledku merania
Konečný výsledok je zapísaný ako
; P = 0,95, n = 3÷5.
Chyby nepriamych meraní
Nech je meraná veličina funkciou priamo meraných veličín
(9)
Teória chýb určuje, že absolútnu chybu ∆y nájdeme pomocou vzorca
(10)
kde ∂f/∂x i označuje takzvanú parciálnu deriváciu, teda deriváciu, ktorá je vypočítaná z funkcie f vzhľadom na argument x i a všetky ostatné argumenty sa považujú za konštantné.
Ak sú namerané hodnoty x i zahrnuté v hlavnom vzorci ako produkt, potom je vhodné najprv určiť relatívnu chybu pomocou vzorca
(11)
a potom nájsť a 
Uvažujme o použití vzorcov (10) a (11) s príkladmi.
.
a podľa vzorca (10)
navyše ∆x 1 a ∆x 2 sú predbežne určené vzorcom (4).
.
V tomto prípade najprv nájdeme prirodzený logaritmus a potom parciálne derivácie:
Dosadíme do (11), nájdeme
Je ľahké vidieť, že predbežný logaritmus výrazne zjednodušuje formu parciálnych derivácií.
Je možný aj iný prístup k odhadu chyby nepriameho merania. Namiesto určenia požadovanej hodnoty cez priemernú hodnotu
Je možné vypočítať pre každý vykonaný experiment
a potom nájsť 
ako aritmetický priemer a potom absolútnu chybu podľa vzorca (3).
Obe metódy poskytujú podobné výsledky.
Nájdite napríklad hustotu valcového telesa:
p = 4m / πD 2 H,
navyše priemer valca D i a jeho výška Н i (i = 1, 2, 3) sú priamo určené trikrát. Potom môžete počítať
ρ i = 4 m / πD 2 i H i .
pre každý z troch rozmerov.
Priemernú hodnotu hustoty možno nájsť ako obvykle podľa vzorca:
<ρ> =∑ ρ i /3,
a absolútna chyba je definovaná ako
Δρ = 4,3√[∑(< ρ > – ρ i ) /6].
Stôl 1.
Študentské koeficienty.
Výsledok zaokrúhlenia
Výsledok merania sa zaokrúhľuje podľa nasledujúcich pravidiel:
Absolútna chyba sa berie s dvoma platnými číslicami, ak je prvá z nich 1 alebo 2.
Absolútna chyba sa berie s jednou platnou číslicou, ak je väčšia alebo rovná 3.
Toto pravidlo vyplýva zo zákonov matematickej štatistiky, keďže sa ukazuje, že aj pri 10 meraniach presahuje relatívna chyba samotnej chyby 3 % (30 % z 2 je 0,6 a napr. od 4 do 1,2, čo presahuje jednotka prvej číslice).
Číselná hodnota výsledku merania musí končiť číslicou rovnakého rádu ako číselná hodnota absolútnej chyby.
Ak je prvá číslica, ktorá sa má vyradiť, väčšia alebo rovná 5, potom sa posledná číslica, ktorá sa má ponechať, zvýši o jednu.
Ak je vyradená číslica menšia ako 5, posledná zachovaná číslica zostane nezmenená.
Pri zaokrúhľovaní celých čísel sa všetky číslice vyradené počas zaokrúhľovania nahradia koeficientom 10 m , kde m je počet vyradených číslic. Napríklad po zaokrúhlení na dve platné číslice sa číslo 31127 zmení na 31×10 3 .