Ders: "Üslü denklemleri çözme yöntemleri."
1 . üstel denklemler.
Üssü bilinmeyenler içeren denklemlere üstel denklemler denir. Bunların en basiti a > 0 ve a ≠ 1 olan ax = b denklemidir.
1) b için< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 üstel fonksiyon, çözümü yok.
2) b > 0 için, fonksiyonun monotonluğu ve kök teoremi kullanılarak denklemin tek bir kökü vardır. Bulmak için b, b = aс, ax = bс ó x = c veya x = logab olarak temsil edilmelidir.
üstel denklemler cebirsel dönüşümler aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülen standart denklemlere yol açar:
1) bir tabana indirgeme yöntemi;
2) değerlendirme yöntemi;
3) grafik yöntemi;
4) yeni değişkenleri tanıtma yöntemi;
5) çarpanlara ayırma yöntemi;
6) üstel - güç denklemleri;
7) bir parametre ile üstel.
2 . Bir esasa indirgeme yöntemi.
Yöntem, derecelerin şu özelliğine dayanmaktadır: eğer iki derece eşitse ve tabanları eşitse, üsleri eşittir, yani denklem forma indirilmeye çalışılmalıdır.
Örnekler. Denklemi çözün:
1 . 3x=81;
Denklemin sağ tarafını 81=34 şeklinde gösterelim ve denklemi orijinal 3x=34'e denk yazalım; x = 4. Cevap: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> ve 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Cevap: 0,5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
0.2, 0.04, √5 ve 25 sayılarının 5'in kuvvetleri olduğuna dikkat edin. Bundan yararlanalım ve orijinal denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim:
,
buradan 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, buradan x = -1 çözümünü buluruz. Cevap 1.
5. 3x = 5. Logaritmanın tanımına göre, x = log35. Cevap: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Denklemi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, yani..png" width="181" height="49 src="> Dolayısıyla x - 4 =0, x = 4 olarak yeniden yazalım. Cevap: dört.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Kuvvet özelliklerini kullanarak denklemi e.x+1 = 2, x =1 şeklinde yazıyoruz. Cevap 1.
1 numaralı görev bankası.
Denklemi çözün:
Test numarası 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) kök yok |
1) 7;1 2) kök yok 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
2. Test
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) kök yok 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Değerlendirme yöntemi.
kök teoremi: f (x) fonksiyonu I aralığında artarsa (azalırsa), a sayısı f tarafından bu aralıkta alınan herhangi bir değerdir, o zaman f (x) = a denkleminin I aralığında tek bir kökü vardır.
Denklemler tahmin yöntemiyle çözülürken bu teorem ve fonksiyonun monotonluk özellikleri kullanılır.
Örnekler. Denklemleri Çöz: 1. 4x = 5 - x.
Çözüm. Denklemi 4x + x = 5 olarak yeniden yazalım.
1. x \u003d 1 ise, 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 doğrudur, o zaman denklemin kökü 1'dir.
f(x) = 4x fonksiyonu R üzerinde artıyor ve g(x) = x R üzerinde artıyor => h(x)= f(x)+g(x), artan fonksiyonların toplamı olarak R üzerinde artıyor, yani x = 1, 4x = 5 – x denkleminin tek köküdür. Cevap 1.
2.
Çözüm. Denklemi formda yeniden yazıyoruz 
.
1. x = -1 ise, o zaman 
, 3 = 3-doğru, yani x = -1 denklemin köküdür.
2. benzersiz olduğunu kanıtlayın.
3. f(x) = - fonksiyonu R üzerinde azalır ve g(x) = - x - R üzerinde azalır => h(x) = f(x) + g(x) - R üzerinde azalır, toplam olarak azalan fonksiyonların Yani kök teoremine göre, x = -1 denklemin tek köküdür. Cevap 1.
2 numaralı görev bankası. denklemi çözün
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.
Yöntem, bölüm 2.1'de açıklanmıştır. Yeni bir değişkenin (ikame) eklenmesi genellikle denklemin terimlerinin dönüşümlerinden (basitleştirme) sonra gerçekleştirilir. Örnekleri düşünün.
Örnekler.
R yemek denklemi: 1.
.
Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Çözüm. Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım: 
https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> belirtin - uygun değil.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrasyonel denklem. şunu not ediyoruz 
Denklemin çözümü x = 2.5 ≤ 4'tür, yani 2.5 denklemin köküdür. Cevap: 2.5.
Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım ve her iki tarafı da 56x+6 ≠ 0'a bölelim. Denklemi elde ederiz.
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, yani..png" width="118" height="56">
İkinci dereceden denklemin kökleri - t1 = 1 ve t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Çözüm . Denklemi formda yeniden yazıyoruz
ve bunun ikinci dereceden homojen bir denklem olduğuna dikkat edin.
Denklemi 42x'e bölersek 
https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> değiştirin.
Cevap: 0; 0,5.
Görev Bankası #3. denklemi çözün
b) 
G) 
Test #3 cevap seçenekleriyle. Asgari seviye.
A1 | 1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) kök yok 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) kök yok 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
4 numaralı test cevap seçenekleriyle. Genel seviye.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) kök yok |
5. Çarpanlara ayırma yöntemi.
1. Denklemi çözün: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solution..png" width="169" height="69"> , nereden
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Çözüm. Denklemin sol tarafında 6x, sağ tarafında 2x çıkaralım. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) - 6x = 2x denklemini elde ederiz.
Tüm x için 2x >0 olduğuna göre, bu denklemin her iki tarafını da çözümleri kaybetme korkusu olmadan 2x'e bölebiliriz. 3x = 1ó x = 0 elde ederiz.
3. 
Çözüm. Denklemi çarpanlara ayırarak çözüyoruz.
Binomun karesini seçiyoruz 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 denklemin köküdür.
Denklem x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test #6 Genel seviye.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Üstel - güç denklemleri.
Üstel denklemler, üstel-kuvvet denklemleri olarak adlandırılanlarla, yani (f(x))g(x) = (f(x))h(x) biçimindeki denklemlerle birleştirilir.
f(x)>0 ve f(x) ≠ 1 olduğu biliniyorsa, o zaman denklem, üstel denklem gibi, g(x) = f(x) üslerini eşitleyerek çözülür.
Koşul, f(x)=0 ve f(x)=1 olasılığını dışlamıyorsa, üstel güç denklemini çözerken bu durumları dikkate almalıyız.
1..png" genişlik="182" yükseklik="116 kaynak=">
2. 
Çözüm. x2 +2x-8 - herhangi bir x için anlamlıdır, çünkü bir polinom, yani denklem kümeye eşdeğerdir
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Parametreli üstel denklemler.
1. p parametresinin hangi değerleri için denklem 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) benzersiz bir çözüme sahiptir?
Çözüm. 2x = t, t > 0 değişimini sunalım, o zaman denklem (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 şeklini alacaktır. (2)
(2) denkleminin diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2'dir.
Denklem (2)'nin bir pozitif kökü varsa, Denklem (1)'in benzersiz bir çözümü vardır. Bu, aşağıdaki durumlarda mümkündür.
1. D = 0 ise, yani p = 1 ise, o zaman denklem (2) t2 – 2t + 1 = 0, dolayısıyla t = 1 biçimini alacaktır, bu nedenle denklem (1)'in x = 0 benzersiz bir çözümü vardır.
2. Eğer p1 ise 9(p – 1)2 > 0 ise, o zaman denklem (2) iki farklı köke sahiptir t1 = p, t2 = 4p – 3. Sistem kümesi problemin koşulunu sağlar
t1 ve t2'yi sistemlerde yerine koyarsak,
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Çözüm. İzin vermek 
o zaman denklem (3) t2 – 6t – a = 0 şeklini alacaktır. (4)
En az bir denklem kökünün (4) t > 0 koşulunu sağladığı a parametresinin değerlerini bulalım.
f(t) = t2 – 6t – a fonksiyonunu tanıtalım. Aşağıdaki durumlar mümkündür.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kare üç terimli f(t);
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Durum 2. Denklem (4), aşağıdaki durumlarda benzersiz bir pozitif çözüme sahiptir:
D = 0, eğer a = – 9 ise, o zaman denklem (4) (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 şeklini alacaktır.
Durum 3. Denklem (4)'ün iki kökü vardır, ancak bunlardan biri t > 0 eşitsizliğini sağlamaz.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17)" width="267" height="63">!}
Böylece, a 0 denkleminde (4) tek bir pozitif kök vardır 
. O zaman denklem (3) benzersiz bir çözüme sahiptir 
için< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
Eğer bir< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ise, x = – 1;
a 0 ise, o zaman
(1) ve (3) denklemlerini çözme yöntemlerini karşılaştıralım. (1) denklemini çözerken, diskriminantı tam kare olan ikinci dereceden bir denkleme indirgendiğini unutmayın; böylece, denklem (2)'nin kökleri, ikinci dereceden denklemin köklerinin formülü ile hemen hesaplandı ve ardından bu köklerle ilgili sonuçlar çıkarıldı. Denklem (3), diskriminantı tam bir kare olmayan ikinci dereceden bir denkleme (4) indirgenmiştir, bu nedenle, denklem (3)'ü çözerken, bir kare trinomialin köklerinin konumu üzerinde teoremlerin kullanılması tavsiye edilir ve bir grafik modeli. Denklem (4)'ün Vieta teoremi kullanılarak çözülebileceğini unutmayın.
Daha karmaşık denklemleri çözelim.
Görev 3. Denklemi çözün 
Çözüm. ODZ: x1, x2.
Bir yedek tanıtalım. 2x = t, t > 0 olsun, dönüşümler sonucunda denklem t2 + 2t – 13 – a = 0 şeklini alacaktır. (*) En az bir kökü olan a değerlerini bulalım. (*) denklemi t > 0 koşulunu sağlar.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Cevap: a > - 13 ise, a 11, a 5 ise, o zaman a - 13 ise,
a = 11, a = 5 ise kök yoktur.
Bibliyografya.
1. Guzeev eğitim teknolojisinin temelleri.
2. Guzeev teknolojisi: resepsiyondan felsefeye.
M. "Okul Müdürü" No. 4, 1996
3. Guzeev ve örgütsel eğitim biçimleri.
4. Guzeev ve bütünleyici eğitim teknolojisi uygulaması.
M. "Halkın eğitimi", 2001
5. Guzeev ders formlarından - seminer.
2 No'lu okulda matematik, 1987, s. 9 - 11.
6. Selevko eğitim teknolojileri.
M. "Halkın eğitimi", 1998
7. Episheva okul çocukları matematik öğrenir.
M. "Aydınlanma", 1990
8. Ivanov dersleri hazırlamak için - atölye çalışmaları.
6 Nolu Okulda Matematik, 1990, s. 37-40.
9. Smirnov matematik öğretim modeli.
1 Nolu Okulda Matematik, 1997, s. 32-36.
10. Tarasenko pratik çalışmaları organize etmenin yolları.
1 Nolu Okulda Matematik, 1993, s. 27 - 28.
11. Bireysel çalışma türlerinden biri hakkında.
2 Nolu Okulda Matematik, 1994, s. 63 - 64.
12. Okul çocuklarının Khazankin yaratıcı yetenekleri.
2 Nolu Okulda Matematik, 1989, s. on.
13. Scanavi. Yayıncı, 1997
14. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı. didaktik malzemeler için
15. Matematikte Krivonogov görevleri.
M. "Birinci Eylül", 2002
16. Çerkasov. Lise öğrencileri için el kitabı ve
üniversitelere girmek. "AST - basın okulu", 2002
17. Üniversitelere başvuranlar için Zhevnyak.
Minsk ve RF "İnceleme", 1996
18. Yazılı D. Matematikte sınava hazırlanmak. M. Rolf, 1999
19. ve diğerleri Denklemleri ve eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmek.
M. "Akıl - Merkez", 2003
20. ve diğerleri E G E'ye hazırlanmak için eğitim ve öğretim materyalleri.
M. "Akıl - Merkez", 2003 ve 2004
21 ve diğerleri CMM'nin varyantları. Rusya Federasyonu Savunma Bakanlığı Test Merkezi, 2002, 2003
22. Goldberg denklemleri. "Kuantum" No. 3, 1971
23. Volovich M. Matematik başarıyla nasıl öğretilir.
Matematik, 1997 No. 3.
24 Okunev ders için çocuklar! M. Aydınlanma, 1988
25. Yakimanskaya - odaklı öğrenme okulda.
26. Sınırlar derste çalışır. M. Bilgi, 1975
Tüm yeni video derslerden haberdar olmak için sitemizin youtube kanalına.
İlk olarak, derecelerin temel formüllerini ve özelliklerini hatırlayalım.
Bir sayının çarpımı a kendi başına n kez olur, bu ifadeyi a … a=a n şeklinde yazabiliriz.
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. bir n bir m = bir n + m
4. (bir n) m = bir nm
5. bir n b n = (ab) n
7. bir n / a m \u003d bir n - m
Güç veya üstel denklemler- bunlar, değişkenlerin kuvvetlerde (veya üslerde) olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.
Üstel denklem örnekleri:
Bu örnekte, 6 sayısı tabandır, her zaman alttadır ve değişken x derece veya ölçü.
Daha fazla üstel denklem örneği verelim.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım.
Basit bir denklem alalım:
2 x = 2 3
Böyle bir örnek akılda bile çözülebilir. x=3 olduğu görülebilir. Sonuçta, sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekir.
Şimdi bu kararın nasıl verilmesi gerektiğine bakalım:
2 x = 2 3
x = 3
Bu denklemi çözmek için kaldırdık aynı gerekçe(yani ikililer) ve kalanları yazdı, bunlar derecelerdir. Aradığımız cevabı aldık.
Şimdi çözümümüzü özetleyelim.
Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor aynısı Sağda ve solda denklemin tabanları olsun. Gerekçeler aynı değilse, bu örneği çözmek için seçenekler arıyoruz.
2. Bazlar aynı olduktan sonra, kıyaslanmak derece ve elde edilen yeni denklemi çözün.
Şimdi birkaç örnek çözelim:
Basitten başlayalım.
Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, bu da tabanı atıp derecelerini eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.
x+2=4 En basit denklem ortaya çıktı.
x=4 - 2
x=2
Cevap: x=2
Aşağıdaki örnekte tabanların farklı olduğunu görebilirsiniz, bunlar 3 ve 9'dur.
3 3x - 9x + 8 = 0
Başlamak için, dokuzu sağ tarafa aktarıyoruz, şunu elde ediyoruz:
Şimdi aynı üsleri yapmanız gerekiyor. 9=3 2 olduğunu biliyoruz. (a n) m = a nm güç formülünü kullanalım.
3 3x \u003d (3 2) x + 8
9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 alıyoruz
3 3x \u003d 3 2x + 16 şimdi bunu solda görebilirsiniz ve Sağ Taraf tabanlar aynı ve üçe eşit, yani onları atabilir ve dereceleri eşitleyebiliriz.
3x=2x+16 en basit denklemi elde etti
3x-2x=16
x=16
Cevap: x=16.
Aşağıdaki örneğe bakalım:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Öncelikle üslere bakıyoruz, üsler farklı iki ve dört. Ve aynı olmamız gerekiyor. Dörtlü (a n) m = a nm formülüne göre dönüştürüyoruz.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanırız:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Denkleme ekleyin:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Ancak diğer 10 ve 24 sayıları bize müdahale ediyor, onlarla ne yapmalı? Yakından bakarsanız, sol tarafta 2 2x tekrarladığımızı görebilirsiniz, işte cevap - 2 2x'i parantezlerin dışına koyabiliriz:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Tüm denklemi 6'ya böleriz:
4=2 2 düşünün:
2 2x \u003d 2 2 taban aynıdır, onları atın ve dereceleri eşitleyin.
2x \u003d 2 en basit denklem olduğu ortaya çıktı. 2'ye bölersek,
x = 1
Cevap: x=1.
Denklemi çözelim:
9 x - 12*3 x +27= 0
Hadi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Tabanlarımız aynı, üçe eşit.Bu örnekte, ilk üçlünün ikinciden (sadece x) iki kat (2x) dereceye sahip olduğu açıktır. Bu durumda karar verebilirsiniz ikame yöntemi. Derecesi en küçük olan sayı şu şekilde değiştirilir:
Sonra 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
t ile denklemde tüm dereceleri x'lerle değiştiririz:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
İkinci dereceden bir denklem elde ederiz. Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Değişkene Geri Dön x.
1'i alıyoruz:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Yani,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Bir kök bulundu. t 2'den ikincisini arıyoruz:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 \u003d 2; x2 = 1.
Sitede YARDIM KARAR VER bölümünden merak ettiğiniz soruları sorabilirsiniz, size kesinlikle cevap vereceğiz.
Gruba katılmak
Üs içinde bilinmeyen varsa, denklemlere üstel denir. En basit üstel denklem şu şekildedir: a x \u003d a b, burada a> 0 ve 1, x bir bilinmeyendir.
Üstel denklemlerin dönüştürüldüğü derecelerin ana özellikleri: a>0, b>0.
Üstel denklemleri çözerken, üstel fonksiyonun aşağıdaki özellikleri de kullanılır: y = a x , a > 0, a1:
Bir sayıyı kuvvet olarak göstermek için tabanı kullanın. logaritmik kimlik: b = , a > 0, a1, b > 0.
"Üslü Denklemler" konulu görevler ve testler
- üstel denklemler
Dersler: 4 Ödev: 21 Test: 1
- üstel denklemler - Matematikte sınav tekrarı için önemli konular
Görevler: 14
- Üstel ve logaritmik denklem sistemleri - Üstel ve logaritmik fonksiyonlar Sınıf 11
Dersler: 1 Ödev: 15 Test: 1
- §2.1. Üstel denklemlerin çözümü
Dersler: 1 Ödevler: 27
- §7 Üstel ve logaritmik denklemler ve eşitsizlikler - Bölüm 5. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar Derece 10
Dersler: 1 Ödevler: 17
Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için, güçlerin temel özelliklerini, üstel bir fonksiyonun özelliklerini ve temel logaritmik özdeşliği bilmelisiniz.
Üstel denklemleri çözerken iki ana yöntem kullanılır:
- a f(x) = a g(x) denkleminden f(x) = g(x) denklemine geçiş;
- yeni hatların tanıtımı.
Örnekler.
1. En Basite İndirgenen Denklemler. Denklemin her iki tarafını aynı tabana sahip bir kuvvete getirerek çözülürler.
3x \u003d 9x - 2.
Çözüm:
3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.
Cevap: 4.
2. Ortak çarpanın parantez içine alınmasıyla çözülen denklemler.
Çözüm:
3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.
Cevap: 3.
3. Değişken Değiştirerek Çözülen Denklemler.
Çözüm:
2 2x + 2x - 12 = 0
2 x \u003d y'yi belirtiriz.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Denklemin çözümü yoktur, çünkü 2x > 0.
b) 2x = 3; 2 x = 2 günlük 2 3 ; x = günlük 2 3.
Cevap: kayıt 2 3.
4. İki farklı (birbirine indirgenemeyen) tabanlı kuvvetler içeren denklemler.
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.
3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.
Cevap: 2.
5. a x ve b x'e göre homojen denklemler.
Genel form: .
9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .
Çözüm:
3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y'yi belirtin.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½. 
Cevap: kayıt 3/2 2; - kayıt 3/2 2.
Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. Denklemler eski zamanlardan beri insan tarafından kullanılmaktadır ve o zamandan beri kullanımları sadece artmıştır. Kuvvet veya üstel denklemlere, değişkenlerin kuvvetlerde olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemler denir. Örneğin:
Üstel denklemi çözmek, oldukça basit 2 adıma iner:
1. Sağdaki ve soldaki denklemin tabanlarının aynı olup olmadığını kontrol etmek gerekir. Bazlar aynı değilse, bu örneği çözmek için seçenekler arıyoruz.
2. Tabanlar aynı olduktan sonra dereceleri eşitliyoruz ve ortaya çıkan yeni denklemi çözüyoruz.
Aşağıdaki formun üstel bir denkleminin verildiğini varsayalım:
Bu denklemin çözümüne bazın analizi ile başlamaya değer. Bazlar farklıdır - 2 ve 4 ve çözüm için aynı olmalarına ihtiyacımız var, bu nedenle 4'ü aşağıdaki formüle göre dönüştürüyoruz - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]
Orijinal denkleme ekleyin:
Parantezleri çıkaralım \
İfade etmek \
Dereceler aynı olduğundan, onları atıyoruz:
Cevap: \
Bir çözücü ile çevrimiçi olarak üstel bir denklemi nerede çözebilirim?
Denklemi https://site web sitemizden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, herhangi bir karmaşıklığın çevrimiçi denklemini saniyeler içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken verilerinizi çözücüye girmek. Ayrıca videolu anlatımı izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini web sitemizden öğrenebilirsiniz. Ve herhangi bir sorunuz varsa, bunları Vkontakte grubumuza http://vk.com/pocketteacher sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size her zaman yardımcı olmaktan mutluluk duyarız.
Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Ne üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x) ve onlarla birlikte ifadelerin olduğu bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.
İşte buradasın üstel denklem örnekleri:
3 x 2 x = 8 x + 3
Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. AT göstergeler derece (yukarıda) - x ile çok çeşitli ifadeler. Birdenbire denklemde göstergeden başka bir yerde bir x belirirse, örneğin:
bu denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için net kuralları yoktur. Şimdilik onları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemlerin çözümü en saf haliyle.
Aslında, saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmez. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli üstel denklem türleri vardır. Bakacağımız türler bunlar.
En basit üstel denklemlerin çözümü.
Çok temel bir şeyle başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir teori olmadan bile, basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Daha fazlası değil, değil mi!? Başka x değeri rulosu yok. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:
Ne yaptık? Aslında, aynı dipleri (üçlü) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve ne mutlu, işareti vur!
Gerçekten de, eğer soldaki ve sağdaki üstel denklemde ise aynısı herhangi bir derecede sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşittir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. İyi, değil mi?)
Ancak ironik bir şekilde hatırlayalım: tabanları ancak sol ve sağdaki taban sayıları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Komşular ve katsayılar olmadan. Diyelim ki denklemlerde:
2 x +2 x + 1 = 2 3 veya
Çiftleri kaldıramazsınız!
Neyse, en önemli konuda ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?
"İşte o zamanlar!" - diyorsun. "Kontrol ve sınavlarda böyle bir ilkelliği kim verecek!?"
Anlaşmaya zorlandı. Kimse yapmaz. Ama artık kafa karıştırıcı örnekleri çözerken nereye gideceğinizi biliyorsunuz. Aynı taban numarası solda - sağda olduğunda akla getirmek gerekir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında, bu matematiğin klasiğidir. Orijinal örneği alıp istenen şekle dönüştürüyoruz. biz zihin. Elbette matematik kurallarına göre.
Onları en basitine getirmek için biraz ek çaba gerektiren örnekleri düşünün. onları arayalım basit üstel denklemler.
Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.
Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: yetkileri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.
Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve ustalık eklenmelidir. Aynı temel sayılara ihtiyacımız var mı? Bu yüzden onları örnekte açık veya şifreli bir biçimde arıyoruz.
Bakalım pratikte bu nasıl yapılıyor?
Bize bir örnek verelim:
2 2x - 8 x+1 = 0
İlk bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretini kırmak için çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi
İki ve sekiz derece akrabadır.) Yazmak oldukça mümkündür:
8 x+1 = (2 3) x+1
Güçleri olan eylemlerden formülü hatırlarsak:
(bir n) m = bir nm ,
genellikle harika çalışıyor:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Orijinal örnek şöyle görünür:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağa (kimse matematiğin temel eylemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Hemen hemen hepsi bu. Bazların çıkarılması:
Bu canavarı çözüyoruz ve
Bu doğru cevap.
Bu örnekte, ikisinin güçlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde, şifreli ikili. Bu teknik (ortak tabanları farklı sayılar altında kodlamak) üstel denklemlerde çok popüler bir numaradır! Evet, logaritmalarda bile. Sayılardaki diğer sayıların güçlerini tanıyabilmelidir. Bu, üstel denklemleri çözmek için son derece önemlidir.
Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir güce yükseltmek sorun değil. Bir kağıt parçası üzerinde bile çarpın, hepsi bu. Örneğin, herkes 3'ü beşinci güce yükseltebilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 ortaya çıkacaktır.) Ancak üstel denklemlerde, çok daha sık bir güce yükseltmemek gerekir, bunun tersi de geçerlidir ... hangi sayı ne ölçüde 243, ya da diyelim ki 343'ün arkasına saklanıyor... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olmaz.
Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekiyor, evet... Pratik yapalım mı?
Hangi güçlerin ve hangi sayıların sayı olduğunu belirleyin:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Cevaplar (tabii ki karışıklık içinde!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Yakından bakarsan görebilirsin garip gerçek. Sorulardan çok cevaplar var! Şey, olur... Örneğin, 2 6 , 4 3 , 8 2'nin tamamı 64'tür.
Sayılarla tanışma ile ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için uyguladığımızı hatırlatalım. bütün matematiksel bilgi stoku. Alt-orta sınıflar dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?
Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantezlerin dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örnek görelim:
3 2x+4 -11 9x = 210
Ve yine, ilk bakış - gerekçesiyle! Derecelerin tabanları farklı... Üç ve dokuz. Ve biz onların aynı olmasını istiyoruz. Eh, bu durumda, arzu oldukça uygulanabilir!) Çünkü:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dereceli eylemler için aynı kurallara göre:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Bu harika, şunu yazabilirsiniz:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki, sırada ne var!? Üçler atılamaz ... Çıkmaz mı?
Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlamak tüm matematik görevleri:
Ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!
Bakıyorsun, her şey oluşuyor).
Bu üstel denklemde ne var? Yapabilmek yapmak? Evet, sol taraf doğrudan parantez istiyor! 3 2x'in ortak çarpanı bunu açıkça göstermektedir. Deneyelim ve sonra göreceğiz:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Örnek daha iyi ve daha iyi olmaya devam ediyor!
Bazları elemek için katsayısız saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:
Op-pa! Her şey yolunda gitti!
Bu son cevap.
Bununla birlikte, aynı gerekçelerle taksiye binme elde edilir, ancak bunların tasfiyesi gerçekleşmez. Bu, başka bir tür üstel denklemlerde olur. Bu türü alalım.
Üstel denklemlerin çözümünde değişken değişimi. Örnekler.
Denklemi çözelim:
4 x - 3 2 x +2 = 0
İlk - her zamanki gibi. Üsse geçelim. İkiliye.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Denklemi elde ederiz:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Ve burada asılacağız. Nasıl çevirirseniz çevirin, önceki numaralar çalışmayacaktır. Cephanelikten başka bir güçlü ve çok yönlü yol almamız gerekecek. denir değişken ikame.
Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Karmaşık bir simge yerine (bizim durumumuzda 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin, t). Böyle görünüşte anlamsız bir değiştirme, şaşırtıcı sonuçlara yol açar!) Her şey net ve anlaşılır hale geliyor!
Öyleyse izin ver
Sonra 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Denklemimizde tüm güçleri x'lerle t ile değiştiririz:
Peki, şafak söküyor mu?) ikinci dereceden denklemler hala unutmadın mı Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:
Burada asıl mesele, olduğu gibi durmamaktır ... Bu henüz cevap değil, x'e ihtiyacımız var, t'ye değil. X'lere dönüyoruz, yani. değiştirme yapmak. t 1 için ilk:
Yani,
Bir kök bulundu. t 2'den ikincisini arıyoruz:
Um... Sol 2 x, Sağ 1... Bir aksama mı? Evet, hiç de değil! (Dereceli eylemlerden, evet ...) bir birliğin olduğunu hatırlamak yeterlidir. hiç sayı sıfır. Hiç. Neye ihtiyacın varsa onu koyarız. İkiye ihtiyacımız var. Anlamına geliyor:
Şimdi hepsi bu. 2 kök var:
Cevap bu.
saat üstel denklemleri çözme sonunda, bazen garip bir ifade elde edilir. Tip:
Yediden ikiye kadar basit dereceçalışmıyor. Akraba değiller... Nasıl burada olabilirim? Birinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece dikkatli bir şekilde gülümse ve kesinlikle doğru cevabı sağlam bir el ile yaz:
Sınavdaki "B" görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Belirli bir sayı gereklidir. Ancak "C" görevlerinde - kolayca.
Bu ders, en yaygın üstel denklemleri çözme örnekleri sağlar. Ana olanı vurgulayalım.
1. Her şeyden önce, zemin derece. bakalım yapamayacaklar mı aynısı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. yetkileri olan eylemler. Unutmayın ki x'siz sayılar da dereceye çevrilebilir!
2. Sol ve sağ olduğunda üstel denklemi forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir dereceye kadar sayılar. Kullanırız yetkileri olan eylemler ve çarpanlara ayırma. Sayılarla ne sayılabilir - sayarız.
3. İkinci tavsiye işe yaramadıysa, değişken ikamesini uygulamaya çalışırız. Sonuç, kolayca çözülebilen bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kareye indirgeyen kesirli.
4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların derecelerini "görerek" bilmeniz gerekir.
Her zamanki gibi, dersin sonunda biraz çözmeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.
Üstel denklemleri çözün:
Daha zor:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Köklerin ürününü bulun:
2 3-x + 2x = 9
Olmuş?
İyi o zaman en zor örnek(ancak akılda karar verdi ...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
Daha ilginç olan nedir? O zaman işte size kötü bir örnek. Artan zorlukta oldukça çekiyor. Bu örnekte, tüm matematiksel görevleri çözmek için yaratıcılığın ve en evrensel kuralın kurtardığını ima edeceğim.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Gevşeme için bir örnek daha basittir):
9 2 x - 4 3 x = 0
Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Evet evet! Bu karma tip bir denklemdir! Bu derste dikkate almadık. Ve onları ne düşünmeli, çözülmesi gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Eh, marifet gereklidir ... Ve evet, yedinci sınıf size yardımcı olacaktır (bu bir ipucu!).
Yanıtlar (düzensiz, noktalı virgülle ayrılmış):
bir; 2; 3; dört; çözüm yok; 2; -2; -5; dört; 0.
Her şey başarılı mı? Harika.
Bir problem var? Sorun değil! Özel Bölüm 555'te, tüm bu üstel denklemler şu şekilde çözülür: detaylı açıklamalar. Ne, neden ve neden. Ve elbette, her türden üstel denklemle çalışma konusunda ek değerli bilgiler var. Sadece bunlarla değil.)
Dikkate alınması gereken son bir eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında bir şey söylemedim? Bu arada denklemlerde bu çok önemli bir şey...
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.