Tanım. Bir a vektörünün (çarpan) kendisine eşdoğrusal olmayan bir vektör (çarpan) ile vektörel çarpımı, aşağıdaki gibi oluşturulan üçüncü vektör c'dir (çarpım):

1) modülü sayısaldır alana eşitŞekil l'deki paralelkenar 155), vektörler üzerine inşa edilmiştir, yani bahsedilen paralelkenarın düzlemine dik olan yöne eşittir;

3) bu durumda, c vektörünün yönü (iki olası yön arasından) c vektörlerinin sağ elli bir sistem oluşturacağı şekilde seçilir (§ 110).

atama: veya

Tanıma ek. Vektörler eşdoğrusal ise, şekli (şartlı olarak) bir paralelkenar olarak düşünürsek, sıfır alan atamak doğaldır. Bu yüzden vektör ürünü doğrusal vektörler boş vektöre eşit kabul edilir.

Sıfır vektörü herhangi bir yöne atanabileceğinden, bu kural tanımın 2. ve 3. maddeleriyle çelişmez.

Açıklama 1. "Vektör çarpımı" terimindeki ilk kelime, bir eylemin sonucunun bir vektör olduğunu belirtir (skaler çarpımın aksine; bkz. § 104, açıklama 1).

Örnek 1. Doğru koordinat sisteminin ana vektörlerinin bulunduğu vektör çarpımını bulun (Şek. 156).

1. Ana vektörlerin uzunlukları ölçek birimine eşit olduğu için paralelkenarın (karenin) alanı sayısal olarak bire eşittir. Yani vektör çarpımının modülü bire eşit.

2. Düzleme dik eksen eksen olduğu için, istenen vektör çarpımı k vektörüne doğrusal bir vektördür; ve her ikisinin de modülü 1 olduğundan, gerekli çapraz çarpım ya k ya da -k'dir.

3. Bu iki olası vektörden ilki seçilmelidir, çünkü k vektörleri bir sağ sistem oluşturur (ve vektörler bir sol sistem oluşturur).

Örnek 2. Çapraz çarpımı bulun

Çözüm. Örnek 1'de olduğu gibi, vektörün k veya -k olduğu sonucuna varıyoruz. Ama şimdi -k'yi seçmemiz gerekiyor, çünkü vektörler doğru sistemi oluşturuyor (ve vektörler solu oluşturuyor). Bu yüzden,

Örnek 3 Vektörlerin uzunlukları sırasıyla 80 ve 50 cm'dir ve 30°'lik bir açı oluştururlar. Uzunluk birimi olarak bir metre alarak, vektör çarpımının uzunluğunu bulun a

Çözüm. Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanı eşittir İstenen vektör çarpımının uzunluğu eşittir

Örnek 4. Uzunluk birimi olarak bir santimetre alarak aynı vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm. Vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın alanı, vektör çarpımının uzunluğuna eşit olduğundan 2000 cm'dir, yani

Örnek 3 ve 4'ün karşılaştırılması, vektörün uzunluğunun sadece faktörlerin uzunluklarına değil, aynı zamanda uzunluk birimi seçimine de bağlı olduğunu göstermektedir.

Vektör çarpımının fiziksel anlamı. sayısız fiziksel özellikler, bir vektör çarpımı ile temsil edilir, yalnızca kuvvet momentini dikkate alın.

A, kuvvetin uygulama noktası olsun O noktasına göre kuvvet momentine vektör ürünü denir.Bu vektör ürününün modülü sayısal olarak paralelkenarın alanına eşittir (Şekil 157), momentin modülü, taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir, yani kuvvet ile O noktasından kuvvetin etki ettiği düz çizgiye olan mesafenin çarpımıdır.

Mekanikte, denge için kanıtlanmıştır sağlam vücut sadece cisme uygulanan kuvvetleri temsil eden vektörlerin toplamının değil, aynı zamanda kuvvetlerin momentlerinin toplamının da sıfıra eşit olması gerekir. Tüm kuvvetlerin aynı düzleme paralel olması durumunda, momentleri temsil eden vektörlerin toplamı, modüllerinin toplanması ve çıkarılması ile değiştirilebilir. Ancak keyfi güç yönleri için böyle bir değiştirme imkansızdır. Buna göre, çapraz çarpım bir sayı olarak değil, tam olarak bir vektör olarak tanımlanır.

Birim vektör- Bu vektör, mutlak değeri (modülü) bire eşittir. Bir birim vektörü belirtmek için, e alt simgesini kullanacağız.Yani, eğer bir vektör verilirse A, o zaman birim vektörü vektör olacaktır A e. Bu birim vektör, vektörün kendisi ile aynı yönü gösterir. A ve modülü bire eşittir, yani a e \u003d 1'dir.

Açıkça, A= bir A e (bir - vektör modülü A). Bu, bir skalayı bir vektörle çarpma işleminin gerçekleştirildiği kuraldan çıkar.

birim vektörler genellikle koordinat sisteminin koordinat eksenleriyle (özellikle Kartezyen koordinat sisteminin eksenleriyle) ilişkilendirilir. Bunların yönleri vektörler karşılık gelen eksenlerin yönleriyle çakışır ve orijinleri genellikle koordinat sisteminin orijini ile birleştirilir.

sana şunu hatırlatayım Kartezyen koordinat sistemi uzayda geleneksel olarak orijin adı verilen bir noktada kesişen karşılıklı dik eksenlerin üçlüsü olarak adlandırılır. Koordinat eksenleri genellikle X, Y, Z harfleriyle gösterilir ve sırasıyla apsis ekseni, ordinat ekseni ve ilgili eksen olarak adlandırılır. Descartes'ın kendisi, apsislerin çizildiği yalnızca bir eksen kullandı. kullanım değeri sistemler baltalar öğrencilerine aittir. Bu nedenle ifade Kartezyen koordinat sistemi tarihsel olarak yanlış Daha iyi konuş dikdörtgen koordinat sistemi veya ortogonal koordinat sistemi. Yine de gelenekleri değiştirmeyeceğiz ve gelecekte Kartezyen ve dikdörtgen (ortogonal) koordinat sistemlerinin bir ve aynı olduğunu varsayacağız.

Birim vektör X ekseni boyunca yönlendirilen , gösterilir Ben, birim vektör Y ekseni boyunca yönlendirilen , gösterilir J, A birim vektör Z ekseni boyunca yönlendirilen , gösterilir k. Vektörler Ben, J, k isminde ortlar(Şekil 12, sol), tekli modülleri vardır, yani
ben = 1, j = 1, k = 1.

eksenler ve ortlar dikdörtgen koordinat sistemi bazı durumlarda başka isimleri ve tanımları vardır. Böylece, apsis ekseni X teğet eksen olarak adlandırılabilir ve birim vektörü gösterilir. τ (Yunanca küçük harf tau), y ekseni normal eksendir, birim vektörü gösterilir N, uygulama ekseni binormalin eksenidir, birim vektörü gösterilir B. Öz aynı kalırsa neden isimleri değiştirelim?

Gerçek şu ki, örneğin mekanikte, cisimlerin hareketini incelerken, çok sık bir dikdörtgen koordinat sistemi kullanılır. Dolayısıyla, koordinat sisteminin kendisi hareketsizse ve hareketli bir nesnenin koordinatlarındaki değişiklik bu hareketsiz sistemde izleniyorsa, genellikle eksenler X, Y, Z'yi ve bunların koordinatlarını gösterir. ortlar sırasıyla Ben, J, k.

Ancak çoğu zaman, bir nesne bir tür eğrisel yörünge boyunca hareket ettiğinde (örneğin, bir daire boyunca), mekanik süreçleri bu nesneyle birlikte hareket eden bir koordinat sisteminde düşünmek daha uygundur. Böyle bir hareketli koordinat sistemi için eksenlerin diğer adları ve birim vektörleri kullanılır. Sadece kabul edildi. Bu durumda, X ekseni yörüngeye teğet olarak şu noktada yönlendirilir: şu an bu nesne bulunur. Ve sonra bu eksene artık X ekseni değil, teğet ekseni denir ve birim vektörü artık gösterilmez Ben, A τ . Y ekseni, yörüngenin eğrilik yarıçapı boyunca yönlendirilir (bir daire içinde hareket durumunda - dairenin merkezine). Ve yarıçap teğete dik olduğundan, eksene normalin ekseni denir (dikey ve normal aynı şeydir). Bu eksenin ort'u artık gösterilmiyor J, A N. Üçüncü eksen (eski Z), önceki iki eksene diktir. Bu bir vektör ile bir binormal B(Şek. 12, sağ). Bu arada, bu durumda dikdörtgen koordinat sistemi genellikle "doğal" veya doğal olarak anılır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir vektör çarpımı kavramını vermeden önce, a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsünün üç boyutlu uzayda yönelimi sorusuna dönelim.

Başlangıç ​​olarak a → , b → , c → vektörlerini bir noktadan ayıralım. a → , b → , c → üçlüsünün yönü, c → vektörünün yönüne bağlı olarak sağ veya soldur. a → vektörünün sonundan b → vektörüne en kısa dönüşün yapıldığı yönden c → , a → , b → , c → üçlüsünün formu belirlenir.

En kısa dönüş saat yönünün tersine ise, a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü denir Sağ saat yönünde ise - sol.

Ardından, doğrusal olmayan iki vektör a → ve b → alın. O halde A noktasından A B → = a → ve AC → = b → vektörlerini erteleyelim. Hem AB → hem de AC → 'ye aynı anda dik olan bir A D → = c → vektörü oluşturalım. Böylece, AD → = c → vektörünü oluştururken, ona bir yön veya ters yön vererek iki şey yapabiliriz (şekle bakın).

a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsü, öğrendiğimiz gibi, vektörün yönüne bağlı olarak sağ veya sol olabilir.

Yukarıdan, bir vektör çarpımının tanımını sunabiliriz. Bu tanım, üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan iki vektör için verilmiştir.

tanım 1

İki vektörün vektör ürünü a → ve b → üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde verilen böyle bir vektöre şöyle diyeceğiz:

• a → ve b → vektörleri eşdoğrusal ise, sıfır olacaktır;
• hem a →​​ vektörüne hem de b → vektörüne dik olacaktır, yani ∠ bir → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• uzunluğu şu formülle belirlenir: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü, ile aynı oryantasyona sahiptir. bu sistem koordinatlar.

a → ve b → vektörlerinin çapraz çarpımı aşağıdaki gösterime sahiptir: a → × b → .

Çapraz ürün koordinatları

Herhangi bir vektörün koordinat sisteminde belirli koordinatları olduğundan, vektör çarpımının ikinci bir tanımını yapmak mümkündür; bu, vektörlerin verilen koordinatlarından koordinatlarını bulmanızı sağlar.

Tanım 2

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektörün vektör çarpımı a → = (a x ; a y ; a z) ve b → = (b x ; b y ; bz) c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , burada i → , j → , k → koordinat vektörleridir.

Vektör çarpımı, üçüncü dereceden bir kare matrisin determinantı olarak temsil edilebilir; burada birinci sıra orta vektörler i → , j → , k → , ikinci sıra vektörün koordinatlarını içerir a → , ve üçüncü sıra belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde b → vektörünün koordinatlarıdır, bu matris determinantı şuna benzer: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantı ilk satırın elemanları üzerine genişleterek eşitliği elde ederiz: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z by y b z ben → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) ben → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Çapraz ürün özellikleri

Koordinatlardaki vektör ürününün, c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y bz matrisinin determinantı olarak temsil edildiği bilinmektedir. matris belirleyici özellikler aşağıdaki vektörel ürün özellikleri:

1. değişmelilik a → × b → = - b → × a → ;
2. dağılım a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → veya a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ilişkilendirme λ a → × b → = λ a → × b → veya a → × (λ b →) = λ a → × b → , burada λ keyfi bir gerçek sayıdır.

Bu özelliklerin karmaşık kanıtları yoktur.

Örneğin, bir vektör çarpımının değişme karşıtı özelliğini ispatlayabiliriz.

Karşıt değişmeliliğin kanıtı

Tanım olarak, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ve b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ve matrisin iki satırı değiştirilirse, matrisin determinantının değeri tersine değişmelidir, bu nedenle a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , bu vektör çarpımının ters değişmeliliğini kanıtlar.

Vektör Çarpımı - Örnekler ve Çözümler

Çoğu durumda, üç tür görev vardır.

Birinci tür problemlerde, genellikle iki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir, ancak çapraz çarpımın uzunluğunu bulmanız gerekir. Bu durumda, aşağıdaki formülü kullanın c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

örnek 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 biliniyorsa a → ve b → vektörlerinin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm

a → ve b → vektörlerinin vektörel çarpımının uzunluğunun tanımını kullanarak şu sorunu çözüyoruz: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Cevap: 15 2 2 .

İkinci tür görevler, vektörlerin koordinatlarıyla bağlantılıdır, bir vektör ürünü, uzunluğu vb. içerirler. verilen vektörlerin bilinen koordinatları üzerinden aranır bir → = (bir x ; bir y ; bir z) Ve b → = (b x ; b y ; b z) .

Bu tür görevler için, görevler için birçok seçeneği çözebilirsiniz. Örneğin, a → ve b → vektörlerinin koordinatları değil, ancak formun koordinat vektörlerindeki açılımları b → = b x ben → + b y j → + b z k → ve c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x by y - a y b x) k → , veya a → ve b → vektörleri koordinatlarıyla verilebilir. başlangıç ​​ve bitiş noktaları.

Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun.

Örnek 2

İki vektör dikdörtgen bir koordinat sisteminde ayarlanır a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Vektörel çarpımlarını bulun.

Çözüm

İkinci tanıma göre, verilen koordinatlarda iki vektörün vektör çarpımını buluyoruz: a → × b → = (a y bz - a z b y) i → + (a z bx - a x bz) j → + (a x b y - a y bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) ben → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Vektör çarpımını matris determinantı üzerinden yazarsak, bu örneğin çözümü şu şekildedir: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Cevap: a → × b → = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Örnek 3

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminin i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun; burada i → , j → , k → - orts.

Çözüm

İlk olarak, verilen vektörel çarpımın i → - j → × i → + j → + k → koordinatlarını verilen dikdörtgen koordinat sisteminde bulalım.

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin sırasıyla (1 ; - 1 ; 0) ve (1 ; 1 ; 1) koordinatlarına sahip olduğu bilinmektedir. Matris determinantını kullanarak vektör çarpımının uzunluğunu bulun, sonra i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Bu nedenle, i → - j → × i → + j → + k → vektör çarpımı verilen koordinat sisteminde (- 1 ; - 1 ; 2) koordinatlara sahiptir.

Vektör çarpımının uzunluğunu formülle buluruz (vektörün uzunluğunu bulma bölümüne bakın): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Cevap: ben → - j → × ben → + j → + k → = 6 . .

Örnek 4

A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) üç noktasının koordinatları dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir. Aynı anda A B → ve AC →'ye dik bir vektör bulun.

Çözüm

A B → ve AC → vektörleri sırasıyla (- 1 ; 2 ; 2) ve (0 ; 4 ; 1) aşağıdaki koordinatlara sahiptir. A B → ve A C → vektörlerinin vektör çarpımını bulduktan sonra, bunun hem AB → hem de A C → vektörlerine tanım gereği dik bir vektör olduğu, yani problemimizin çözümü olduğu açıktır. Bul A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 ben → + j → - 4 k → .

Cevap: - 6 ben → + j → - 4 k → . dikey vektörlerden biridir.

Üçüncü tip problemler, vektörlerin vektör çarpımının özelliklerini kullanmaya odaklanır. Hangisini uyguladıktan sonra, verilen soruna bir çözüm elde edeceğiz.

Örnek 5

a → ve b → vektörleri diktir ve uzunlukları sırasıyla 3 ve 4'tür. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → çapraz çarpımının uzunluğunu bulun + 3 bir → × - 2 b → + - b → × bir → + - b → × - 2 b → .

Çözüm

Vektörel çarpımın dağılım özelliği ile 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yazabiliriz. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

İlişkilendirilebilirlik özelliği ile, son ifadedeki vektör çarpımlarının işaretinin ötesindeki sayısal katsayıları çıkarıyoruz: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → ve b → × b → vektör ürünleri 0'a eşittir, çünkü a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ve b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , o zaman 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Vektör çarpımının ters değişmeliliğinden şu sonuç çıkar - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Vektör çarpımının özelliklerini kullanarak, 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → eşitliğini elde ederiz.

Koşullu olarak, a → ve b → vektörleri diktir, yani aralarındaki açı eşittir π 2 . Şimdi geriye kalan tek şey, bulunan değerleri karşılık gelen formüllerle değiştirmektir: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → günah (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Cevap: 3 bir → - b → × bir → - 2 b → = 60 .

Tanım gereği vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğu şu şekildedir: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Zaten bilindiği için (okul kursundan), bir üçgenin alanı, iki kenarının uzunluklarının çarpımının yarısına ve bu taraflar arasındaki açının sinüsüne eşittir. Bu nedenle, vektör ürününün uzunluğu bir paralelkenarın alanına eşittir - iki katına çıkmış bir üçgen, yani a → ve b → vektörleri biçimindeki kenarların çarpımı , bir noktadan sinüs tarafından atılır sin ∠ a → , b → .

Bu vektör çarpımının geometrik anlamıdır.

Vektör ürününün fiziksel anlamı

Fiziğin dallarından biri olan mekanikte vektörel çarpım sayesinde uzayda bir noktaya göre kuvvet momentini belirleyebilirsiniz.

Tanım 3

A noktasına göre B noktasına uygulanan F → kuvveti momenti altında, aşağıdaki A B → × F → vektör ürününü anlayacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin çapraz çarpımı Ve vektörlerin karışık ürünü (ihtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam mutluluk için olur, ek olarak vektörlerin iç çarpımı, daha fazlasına ihtiyaç var. Bu vektör bağımlılığıdır. Analitik geometri ormanına girdiğimiz izlenimi edinilebilir. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki de Pinokyo için yeterli olan dışında, genellikle çok az yakacak odun vardır. Aslında, malzeme çok yaygın ve basittir - aynısından neredeyse daha zor skaler çarpım, hatta daha az tipik görev olacaktır. Analitik geometrideki en önemli şey, birçok kişinin göreceği veya daha önce görmüş olacağı gibi, HESAPLAMALARDA YANLIŞ OLMAMAKTIR. Bir büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzakta bir yerde ufukta şimşek gibi parlıyorsa önemli değil, dersten başlayın Aptallar için vektörler vektörler hakkında temel bilgileri geri yüklemek veya yeniden elde etmek. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilir, genellikle bulunan en eksiksiz örnek koleksiyonunu toplamaya çalıştım. pratik iş

Seni ne mutlu edecek? Ben küçükken iki ve hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi çalıştı. Düşüneceğimiz için artık hokkabazlık yapmaya gerek yok. sadece uzay vektörleri ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık ürünü tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!

Bu işlemde, skaler çarpımda olduğu gibi, iki vektör. Ölümsüz harfler olsun.

Eylemin kendisi belirtilen Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var ama ben vektörlerin çapraz çarpımını bu şekilde, artı işaretiyle köşeli parantez içinde belirtmeye alışkınım.

Ve derhal soru: içinde ise vektörlerin iç çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, sonra fark ne? Her şeyden önce SONUÇ'ta net bir fark:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu bir SAYIdır:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu bir VEKTÖR'dür: , yani vektörleri çarparız ve tekrar bir vektör elde ederiz. Kapalı kulüp. Aslında, dolayısıyla operasyonun adı. Çeşitli eğitim literatüründe, atamalar da değişebilir, mektubu kullanacağım .

çapraz ürünün tanımı

Önce resimli bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Çapraz ürün doğrusal olmayan vektörler, bu sırayla alınan, VEKTÖR olarak adlandırılır, uzunluk hangisi sayısal olarak paralelkenarın alanına eşittir, bu vektörler üzerine kurulu; vektör vektörlere ortogonal, ve temel doğru yönde olacak şekilde yönlendirilir:

Tanımı kemiklere göre analiz ediyoruz, pek çok ilginç şey var!

Böylece, aşağıdaki önemli noktaları vurgulayabiliriz:

1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen kaynak vektörler eşdoğrusal değil. Doğrusal vektörler durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) Alınan vektörler sıkı bir sırayla: – "a", "be" ile çarpılır, "a" için "olmak" değil. Vektör çarpmasının sonucu mavi ile gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ters sırada çarpılırsa, eşit uzunlukta ve zıt yönde (kızıl renk) bir vektör elde ederiz. Yani, eşitlik .

3) Şimdi vektörel çarpımın geometrik anlamını öğrenelim. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kırmızı vektörün) UZUNLUĞU sayısal olarak vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenarın ALANINA eşittir. Şekilde, bu paralelkenar siyahla gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve elbette çapraz çarpımın nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Geometrik formüllerden birini hatırlıyoruz: bir paralelkenarın alanı, bitişik kenarların ürününe ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör çarpımının UZUNLUĞUNU hesaplama formülü geçerlidir:

Formülde vektörün UZUNLUĞU hakkında konuştuğumuzu ve vektörün kendisinden bahsetmediğimizi vurguluyorum. Pratik anlamı nedir? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde, bir paralelkenarın alanı genellikle bir vektör çarpımı kavramı aracılığıyla bulunur:

İkinci önemli formülü elde ediyoruz. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu ikiye böler eşit üçgen. Bu nedenle, vektörler üzerine inşa edilmiş bir üçgenin alanı (kırmızı gölgeleme) aşağıdaki formülle bulunabilir:

4) Eşit derecede önemli bir gerçek, vektörün vektörlere ortogonal olmasıdır, yani . Tabii ki, ters yönlü vektör (kızıl ok) da orijinal vektörlere ortogonaldir.

5) Vektör şu şekilde yönlendirilir: temel sahip Sağ oryantasyon. hakkında bir derste yeni bir temele geçiş hakkında ayrıntılı olarak konuştum düzlem oryantasyonu, ve şimdi uzayın yönünün ne olduğunu anlayacağız. parmaklarına açıklayacağım sağ el . Zihinsel olarak birleştirin işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuza bastırın. Sonuç olarak baş parmak - vektör çarpımı yukarı bakacaktır. Bu doğru yönelimli temeldir (şekildedir). Şimdi vektörleri değiştirin ( işaret ve orta parmaklar) bazı yerlerde sonuç olarak başparmak dönecek ve vektör çarpımı çoktan aşağı bakacaktır. Bu da hak odaklı bir temeldir. Belki de bir sorunuz var: Sola yönelimin temeli nedir? Aynı parmakları "atayın" sol el vektörler ve sol temel ve sol boşluk yönlendirmesini alın (bu durumda, başparmak alt vektör yönünde konumlandırılacaktır). Mecazi olarak konuşursak, bu tabanlar uzayı farklı yönlere "büker" veya yönlendirir. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, en sıradan ayna uzayın yönünü değiştirir ve "yansıyan nesneyi aynadan çıkarırsanız", o zaman genel olarak mümkün olmayacaktır. "orijinal" ile birleştirin. Bu arada, üç parmağınızı aynaya getirin ve yansımayı analiz edin ;-)

... hakkında bilgi sahibi olmanız ne kadar iyi sağ ve sol odaklı bazlar, çünkü bazı öğretim üyelerinin yön değişikliği ile ilgili açıklamaları korkunç =)

Doğrusal vektörlerin vektör ürünü

Tanım ayrıntılı olarak çalışılmıştır, geriye vektörler eşdoğrusal olduğunda ne olduğunu bulmak kalır. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgi üzerine yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgiye “katlanır”. Böyle bir alan, matematikçilerin dediği gibi, dejenere paralelkenar sıfırdır. Aynı şey formülden de çıkar - sıfırın sinüsü veya 180 derece sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir

Böylece, eğer , o zaman . Kesin olarak, çapraz çarpımın kendisi sıfır vektörüne eşittir, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve basitçe sıfıra eşit olduğu yazılır.

Özel bir durum, bir vektörün ve kendisinin vektör ürünüdür:

Çapraz çarpımı kullanarak, üç boyutlu vektörlerin doğrusallığını kontrol edebilirsiniz ve bu görev diğerleri arasında ayrıca analiz edeceğiz.

Pratik örnekleri çözmek için gerekli olabilir. trigonometrik tablo ondan sinüslerin değerlerini bulmak için.

Pekala, bir ateş yakalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektörel çarpımının uzunluğunu bulun:

b) Eğer vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanını bulun

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, koşul öğelerindeki ilk verileri kasıtlı olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Şarta göre bulunması zorunludur. uzunluk vektör (vektör ürünü). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk sorulduğundan, cevapta boyutu - birimleri belirtiyoruz.

b) Şarta göre bulunması zorunludur. kare vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı sayısal olarak çapraz çarpımın uzunluğuna eşittir:

Cevap:

Lütfen vektör çarpımıyla ilgili yanıtta hiç konuşma olmadığını, bize şu soru soruldu: şekil alanı, sırasıyla boyut kare birimlerdir.

Her zaman koşul tarafından bulunması gereken NE'ye bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz temizlemek cevap. Literalizm gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında yeterince literalist var ve şansı yüksek olan görev, revizyon için iade edilecek. Bu özellikle gergin bir nitpick olmasa da - cevap yanlışsa, o zaman kişinin basit şeyleri anlamadığı ve / veya görevin özünü anlamadığı izlenimi edinilir. Bu an her zaman kontrol altında tutulmalı, yüksek matematikte ve diğer konularda herhangi bir problemi çözmelidir.

Büyük "en" harfi nereye gitti? Prensip olarak, çözüme ek olarak yapıştırılabilirdi, ancak rekoru kısaltmak için yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve aynı şeyin tanımıdır.

Kendin yap çözümü için popüler bir örnek:

Örnek 2

Eğer vektörler üzerine inşa edilmiş bir üçgenin alanını bulun

Vektör çarpımından bir üçgenin alanını bulma formülü, tanımdaki yorumlarda verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Uygulamada, görev gerçekten çok yaygın, üçgenler genellikle işkence edilebilir.

Diğer sorunları çözmek için şunlara ihtiyacımız var:

Vektörlerin çapraz çarpımının özellikleri

Vektör çarpımının bazı özelliklerini zaten ele aldık, ancak bunları bu listeye ekleyeceğim.

İsteğe bağlı vektörler ve isteğe bağlı bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) Diğer bilgi kaynaklarında, bu madde genellikle özelliklerde ayırt edilmez, ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) - özellik yukarıda da tartışılmaktadır, bazen buna denir antideğişimlilik. Başka bir deyişle, vektörlerin sırası önemlidir.

3) - kombinasyon veya çağrışımsal vektör çarpım yasaları. Sabitler kolayca vektör çarpımının limitlerinden çıkarılır. Gerçekten, orada ne yapıyorlar?

4) - dağıtım veya dağıtım vektör çarpım yasaları. Parantez açmada da sorun yok.

Bir gösteri olarak, kısa bir örnek düşünün:

Örnek 3

bul eğer

Çözüm: Koşula göre yine vektör çarpımının uzunluğunu bulmak gerekiyor. Minyatürümüzü çizelim:

(1) İlişkisel yasalara göre, vektör çarpımının sınırlarının ötesindeki sabitleri çıkarırız.

(2) Modül eksi işaretini “yerken” sabiti modülden çıkarıyoruz. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Bundan sonrası açıktır.

Cevap:

Ateşe odun atma zamanı:

Örnek 4

Eğer vektörler üzerine inşa edilmiş bir üçgenin alanını hesaplayın

Çözüm: Formülü kullanarak bir üçgenin alanını bulun . Buradaki engel, "ce" ve "te" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak temsil edilmesidir. Buradaki algoritma standarttır ve bir şekilde dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini anımsatır. Vektörlerin iç çarpımı. Anlaşılır olması için bunu üç adıma ayıralım:

1) İlk adımda vektörel çarpımı vektörel çarpım üzerinden ifade ediyoruz aslında, vektörü vektör cinsinden ifade edin. Uzunluk hakkında henüz bir kelime yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştiririz.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açıyoruz.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak, vektör çarpımlarının ötesindeki tüm sabitleri çıkarırız. Çok az deneyimle, 2. ve 3. eylemler aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Hoş özelliği nedeniyle ilk ve son terim sıfıra (sıfır vektörü) eşittir. İkinci terimde, vektör çarpımının değişme karşıtı özelliğini kullanıyoruz:

(5) Benzer terimler sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün, elde edilmesi gereken şey olan bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu hareketÖrnek 3'ü anımsatan:

3) İstediğiniz üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3 adımları tek bir satırda düzenlenebilir.

Cevap:

Ele alınan sorun oldukça yaygındır kontrol işi, işte kendin yap çözümü için bir örnek:

Örnek 5

bul eğer

Kısa çözüm ve cevap dersin sonunda. Önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli olduğunuzu görelim ;-)

Koordinatlarda vektörlerin çapraz çarpımı

ortonormal bazda verilen , formül ile ifade edilir:

Formül gerçekten basit: koordinat vektörlerini determinantın en üst satırına yazıyoruz, vektörlerin koordinatlarını ikinci ve üçüncü satırlara “paketliyoruz” ve kesin sırayla- önce "ve" vektörünün koordinatları, ardından "double-ve" vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırayla çarpılması gerekiyorsa, satırlar da değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
A)
B)

Çözüm: Test, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: eğer vektörler eşdoğrusal ise, çapraz çarpımları sıfırdır (sıfır vektör): .

a) Vektörel çarpımı bulun:

Yani vektörler doğrusal değildir.

b) Vektörel çarpımı bulun:

Cevap: a) eşdoğrusal değil, b)

Burada, belki de, vektörlerin vektörel çarpımı hakkında tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Bu bölüm çok geniş olmayacak çünkü vektörlerin karışık çarpımının kullanıldığı birkaç problem var. Aslında, her şey tanım, geometrik anlam ve birkaç çalışma formülüne dayanacaktır.

Vektörlerin karışık ürünü üçlü ürün vektörler:

İşte böyle tren gibi dizilip beklerler, hesaplanana kadar bekleyemezler.

İlk olarak yine tanım ve resim:

Tanım: Karışık ürün eş düzlemli olmayan vektörler, bu sırayla alınan, denir paralel yüzlü hacmi, bu vektörler üzerine inşa edilmiş, taban sağ ise "+" işareti ve temel sol ise "-" işareti ile donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bizim göremediğimiz çizgiler noktalı bir çizgi ile çizilir:

Gelelim tanımına:

2) Alınan vektörler belirli bir sırayla yani, çarpımdaki vektörlerin permütasyonu, tahmin edebileceğiniz gibi, sonuçsuz gitmez.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce, bariz gerçeği not edeceğim: vektörlerin karışık çarpımı bir SAYIdır: . Eğitim literatüründe, tasarım biraz farklı olabilir, karma bir ürünü "pe" harfi ile hesaplamaların sonucu olarak belirlerdim.

bir manastır karışık ürün paralelyüzün hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani, sayı verilen paralelyüzün hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Taban ve uzayın yönelimi kavramıyla tekrar uğraşmayalım. Son bölümün anlamı, hacme eksi işareti eklenebilmesidir. Basit kelimelerle, karışık çarpım negatif olabilir: .

Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralel borunun hacmini hesaplama formülü, doğrudan tanımdan gelir.

Tanım Gerçek sayıların (x 1 , x 2 , ... , x n) sıralı bir koleksiyonuna denir n boyutlu vektör, ve sayılar x ben (i = ) - bileşenler veya koordinatlar,

Örnek. Örneğin, bir otomobil fabrikasının vardiya başına 50 araba, 100 kamyon, 10 otobüs, 50 takım otomobil yedek parçası ve 150 takım kamyon ve otobüs üretmesi gerekiyorsa, bu fabrikanın üretim programı şu şekilde yazılabilir: beş bileşene sahip vektör (50, 100 , 10, 50, 150).

Gösterim. Vektörler kalın harflerle gösterilmiştir küçük harf veya üstünde çubuk veya ok bulunan harfler, örneğin, A veya. İki vektör denir eşit eğer aynı sayıda bileşene sahiplerse ve bunlara karşılık gelen bileşenler eşitse.

Vektör bileşenleri değiştirilemez, örneğin (3, 2, 5, 0, 1) ve (2, 3, 5, 0, 1) farklı vektörler.
Vektörler üzerinde işlemler. iş X= (x 1 , x 2 , ... ,x n)'den gerçek bir sayıyaλ vektör denirλ X= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

toplamX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ve y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) vektör olarak adlandırılır x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektörlerin uzayı. N -boyutlu vektör uzayı R n, gerçek sayılarla çarpma ve toplama işlemlerinin tanımlandığı tüm n-boyutlu vektörlerin kümesi olarak tanımlanır.

Ekonomik illüstrasyon. n-boyutlu bir vektör uzayının ekonomik bir gösterimi: mal alanı (mal). Altında emtia belli bir zamanda belli bir yerde satışa çıkmış bazı mal veya hizmetleri anlayacağız. Mevcut n sınırlı sayıda mal olduğunu varsayalım; tüketici tarafından satın alınan her birinin miktarı, bir dizi mal ile karakterize edilir.

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

burada x i, tüketici tarafından satın alınan i. malın miktarını ifade eder. Tüm malların keyfi bölünebilirlik özelliğine sahip olduğunu varsayacağız, böylece her birinin negatif olmayan herhangi bir miktarı satın alınabilir. O zaman tüm olası mal kümeleri, mal uzayının vektörleridir C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x ben ≥ 0, ben = ).

Doğrusal bağımsızlık. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n boyutlu vektörler denir lineer bağımlı böyle sayılar varsaλ 1 , λ 2 , ... , λ m en az biri sıfır olmayan, eşitliği sağlayanλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; aksi takdirde, bu vektörler sistemine denir Doğrusal bağımsız yani bu eşitlik ancak tüm . geometrik anlamda vektörlerin lineer bağımlılığı R 3 , yönlü segmentler olarak yorumlanarak aşağıdaki teoremleri açıklayınız.

teorem 1. Tek bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektör sıfırsa doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2. İki vektörün lineer olarak bağımlı olması için bunların eşdoğrusal (paralel) olmaları gerekli ve yeterlidir.

teorem 3 . Üç vektörün doğrusal olarak bağımlı olması için eş düzlemli (aynı düzlemde uzanan) olmaları gerekli ve yeterlidir.

Vektörlerin sol ve sağ üçlüleri. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü bir, b, c isminde Sağ, eğer gözlemci ortak kökenlerinden vektörlerin uçlarını atlarsa bir, b, c bu sırada saat yönünde ilerliyor gibi görünüyor. Aksi takdirde bir, b, c -sol üçlü. Tüm sağ (veya sol) vektörlerin üçlüleri denir eşit olarak odaklı.

Temel ve koordinatlar. Troyka e 1, e 2 , e 3 eş düzlemli olmayan vektör R 3 aradı temel ve vektörlerin kendileri e 1, e 2 , e 3 - temel. herhangi bir vektör A temel vektörler açısından benzersiz bir şekilde genişletilebilir, yani şu şekilde temsil edilebilir:

A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

genişletmedeki (1.1) x 1 , x 2 , x 3 sayıları çağrılır koordinatlarA temelde e 1, e 2 , e 3 ve gösterilir A(x 1 , x 2 , x 3).

Ortonormal taban. eğer vektörler e 1, e 2 , e 3 çiftler halinde diktir ve her birinin uzunluğu bire eşittir, o zaman tabana denir ortonormal ve x 1 , x 2 , x 3 - koordinatları dikdörtgen. Bir ortonormal bazın temel vektörleri gösterilecektir ben, j, k.

Uzayda olduğunu varsayacağız R 3 doğru Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi (0, ben, j, k}.

Vektör ürünü. vektör sanatı A vektör başına B vektör denir C, aşağıdaki üç koşul tarafından belirlenir:

1. Vektör uzunluğu C vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenarın alanına sayısal olarak eşittir A Ve B, yani
C= |a||b| günah( A^B).

2. Vektör C vektörlerin her birine dik A Ve B.

3. Vektörler A, B Ve C, bu sırayla alındığında, bir sağ üçlü oluşturur.

Vektör ürünü için C atama tanıtıldı c=[ab] veya
c = bir × B.

eğer vektörler A Ve B eşdoğrusaldır, o zaman sin( a^b) = 0 ve [ ab] = 0, özellikle, [ aa] = 0. Ortların vektör çarpımı: [ ben]=k, [jk] = Ben, [ki]=J.

eğer vektörler A Ve B temelde verilen ben, j, k koordinatlar A(bir 1 , bir 2 , bir 3), B(b 1 , b 2 , b 3), sonra

Karışık iş. İki vektörün çapraz çarpımı ise A Ve B skaler çarpı üçüncü vektör C, o zaman üç vektörün böyle bir ürününe denir karışık ürün ve sembolü ile gösterilir A M.Ö.

eğer vektörler bir, b Ve C temelde ben, j, k koordinatlarına göre belirlenir
A(bir 1 , bir 2 , bir 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3), sonra

.

Karışık çarpımın basit bir geometrik yorumu vardır - verilen üç vektör üzerine inşa edilmiş bir paralelyüzün hacmine eşit mutlak değerde bir skalerdir.

Vektörler bir sağ üçlü oluşturuyorsa, bunların karışık çarpımı, belirtilen hacme eşit pozitif bir sayıdır; eğer üç a, b, c - sola, sonra bir b c<0 и V = - bir b c, dolayısıyla V =|a bc|.

Birinci bölümdeki problemlerde karşılaşılan vektörlerin koordinatlarının sağ ortonormal tabana göre verildiği varsayılmıştır. Vektöre eş yönlü birim vektörü A, sembolü ile gösterilir AÖ. Sembol R=om M noktasının yarıçap vektörü ile gösterilir, a, AB veya|a|, | AB |vektörlerin modülleri gösterilir A Ve AB.

Örnek 1.2. Vektörler arasındaki açıyı bulun A= 2M+4N Ve B= m-n, Nerede M Ve N- birim vektörler ve arasındaki açı M Ve N 120 o'ya eşittir.

Çözüm. Elimizde: çünkü φ = ab/ab, ab=(2M+4N) (m-n) = 2M 2 - 4N 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; bir = ; A 2 = (2M+4N) (2M+4N) =
= 4M 2 +16mn+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, yani a = . b= ; B 2 =
= (m-n)(m-n) = M 2 -2mn+N 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, yani b = . Sonunda elimizde: çünküφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Örnek 1.3.vektörleri bilmek AB(-3,-2.6) ve M.Ö(-2,4,4), ABC üçgeninin AD yüksekliğini hesaplayınız.

Çözüm. ABC üçgeninin alanını S ile göstererek, şunu elde ederiz:
S = 1/2 M.Ö. Daha sonra AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, böylece vektör AC koordinatları var
. .

Örnek 1.4 . Verilen iki vektör A(11,10,2) ve B(4,0,3). birim vektörü bulun C, vektörlere ortogonal A Ve B ve vektörlerin sıralı üçlüsü olacak şekilde yönlendirildi bir, b, c haklıydı.

Çözüm.Vektörün koordinatlarını gösterelim C x, y, z cinsinden verilen dik ortonormal tabana göre.

Çünkü C ⊥ AC ⊥B, O CA= 0, cb= 0. Problemin durumuna göre c = 1 ve bir b c >0.

için bir denklem sistemimiz var. x,y,z bulma: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x2 + y2 + z2 = 0.

Sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden z = -4/3x, y = -5/6x elde ederiz. Üçüncü denklemde y ve z'yi yerine koyarsak, şunu elde ederiz: x 2 = 36/125, buradan
x=± . Kullanım koşulu a bc > 0, eşitsizliği elde ederiz

z ve y için ifadeleri dikkate alarak, ortaya çıkan eşitsizliği şu şekilde yeniden yazarız: 625/6 x > 0, buradan x>0 olur. Yani x = , y = - , z = - .