Öz
Mutlak ve bağıl hata
giriiş
Mutlak hata - mutlak ölçüm hatasının bir tahminidir. Hesaplanmış Farklı yollar. Hesaplama yöntemi rastgele değişkenin dağılımı ile belirlenir. Buna göre, rastgele değişkenin dağılımına bağlı olarak mutlak hatanın büyüklüğü farklı olabilir. Eğer bir ölçülen değerdir ve - gerçek değer, sonra eşitsizlik 1'e yakın bir olasılıkla tatmin edilmelidir. rastgele değer normal yasaya göre dağıtılırsa, genellikle standart sapması mutlak hata olarak alınır. Mutlak hata, değerin kendisiyle aynı birimlerde ölçülür.
Bir niceliği mutlak hatasıyla birlikte yazmanın birkaç yolu vardır.
· Genellikle işaretli gösterim kullanılır ± . Örneğin, 1983'te belirlenen 100m rekoru 9,930±0,005 sn.
· Ölçülen değerleri çok yüksek doğrulukla kaydetmek için başka bir gösterim kullanılır: hataya karşılık gelen sayılar son rakamlar mantis parantez içinde eklenir. Örneğin, Boltzmann sabitinin ölçülen değeri 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, ayrıca çok daha uzun yazılabilir 1.380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K.
bağıl hata - mutlak ölçüm hatasının ölçülen miktarın gerçek veya ortalama değerine oranı olarak ifade edilen ölçüm hatası (RMG 29-99):.
Bağıl hata, boyutsuz bir niceliktir veya yüzde olarak ölçülür.
1. Yaklaşık değer ne denir?
Çok fazla ve çok az? Hesaplama sürecinde, genellikle yaklaşık sayılarla uğraşmak gerekir. İzin vermek ANCAK- Kesin değer bundan böyle bir miktar olarak anılacaktır tam sayı A.Miktarın yaklaşık değeri altında ANCAK,veya yaklaşık sayılarbir numara aradı amiktarın tam değerinin yerine geçen ANCAK.Eğer bir a< ANCAK,sonra asayının yaklaşık değeri denir Ve eksiklik için.Eğer bir a> ANCAK,- sonra aşırıÖrneğin, 3.14 yaklaşık bir sayıdır. ? eksikliğe göre ve fazlalığa göre 3.15. Bu yaklaşımın doğruluk derecesini karakterize etmek için kavram kullanılır. hatalar veya hatalar.
hata ?ayaklaşık sayı aform farkı denir
?bir = bir - bir,
nerede ANCAKkarşılık gelen tam sayıdır.
Şekil AB doğru parçasının uzunluğunun 6 cm ile 7 cm arasında olduğunu göstermektedir.
Bu, 6'nın AB segmentinin uzunluğunun yaklaşık değeri (santimetre cinsinden)\u003e bir eksiklik ve 7'nin bir fazlalık olduğu anlamına gelir.
Segmentin uzunluğunu y harfiyle belirterek şunu elde ederiz: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина bölümAB (bkz. Şekil 149) 6 cm'ye 7 cm'den daha yakındır, yaklaşık 6 cm'ye eşittir, 6 sayısının segmentin uzunluğunu tam sayılara yuvarlayarak elde edildiğini söylerler.
. Yaklaşım hatası nedir?
a) mutlak mı?
B) Akraba mı?
A) Mutlak yaklaşım hatası, bir niceliğin gerçek değeri ile yaklaşık değeri arasındaki farkın modülüdür. |x - x_n|, burada x gerçek değerdir, x_n yaklaşık değerdir. Örneğin: Bir A4 kağıdının uzunluğu (29,7 ± 0,1) cm ve St.Petersburg'dan Moskova'ya olan mesafe (650 ± 1) km'dir. İlk durumda mutlak hata bir milimetreyi ve ikincisinde - bir kilometreyi geçmez. Soru, bu ölçümlerin doğruluğunu karşılaştırmaktır.
Mutlak hata 1 mm'yi geçmediği için levhanın uzunluğunun daha hassas ölçüldüğünü düşünüyorsanız. O zaman yanılıyorsun. Bu değerler doğrudan karşılaştırılamaz. Biraz mantık yürütelim.
Bir levhanın uzunluğunu ölçerken, mutlak hata 0,1 cm'ye 29,7 cm'yi geçmez, yani yüzde olarak ölçülen değerin 0,1 / 29,7 * %100 = %0,33'üdür.
Petersburg'dan Moskova'ya olan mesafeyi ölçtüğümüzde, mutlak hata 650 km'de 1 km'yi geçmez, bu da yüzde olarak ölçülen değerin 1/650 * %100 = %0,15'idir. Şehirler arası mesafenin bir A4 kağıdının uzunluğundan daha doğru ölçüldüğünü görüyoruz.
B) Göreceli yaklaşım hatası, mutlak hatanın, miktarın yaklaşık değerinin modülüne oranıdır.
matematiksel hata kesri
burada x gerçek değerdir, x_n yaklaşık değerdir.
Bağıl hata genellikle yüzde olarak adlandırılır.
Örnek. 24.3 sayısını birime yuvarlamak 24 sayısını verir.
Bağıl hata eşittir. Bu durumda göreceli hatanın% 12,5 olduğunu söylüyorlar.
) Ne tür yuvarlamaya yuvarlama denir?
A) dezavantajlı mı?
b) Çok mu?
A) aşağı yuvarlama
Ondalık kesir olarak ifade edilen bir sayıyı 10^(-n) içinde bir eksiklikle yuvarlarken, ondalık noktadan sonraki ilk n basamak korunur ve sonraki basamaklar atılır.
Örneğin, 12.4587'yi bir uyarı ile en yakın binde birliğe yuvarlamak 12.458 sonucunu verir.
B) Yuvarlama
Ondalık kesir olarak ifade edilen bir sayıyı 10^(-n'ye kadar) yuvarlarken, ondalık noktadan sonraki ilk n basamak fazlalıkla korunur ve sonraki basamaklar atılır.
Örneğin, 12.4587'yi bir uyarı ile en yakın binde birliğe yuvarlamak 12.459 sonucunu verir.
) Ondalık sayıları yuvarlama kuralı.
Kural. Yuvarlamak ondalık tamsayı veya kesirli kısmın belirli bir basamağına kadar, tüm küçük basamaklar sıfırlarla değiştirilir veya atılır ve yuvarlama sırasında atılan basamaktan önceki basamak, ardından 0, 1, 2, 3 sayıları geliyorsa değerini değiştirmez , 4 ve sayılar 5, 6, 7, 8, 9 ise 1 (bir) artar.
Örnek. 93.70584 kesirini şuna yuvarlayın:
onbinde bir: 93.7058
binde bir: 93.706
yüzde biri: 93.71
onda bir: 93.7
tamsayı: 94
onlar: 90
Mutlak hataların eşitliğine rağmen, çünkü ölçülen miktarlar farklıdır. Ölçülen boyut ne kadar büyük olursa, sabit bir mutlakta bağıl hata o kadar küçük olur.
İş emri
Uzmanlarımız, Anti-intihal sisteminde benzersizlik için zorunlu kontrol içeren bir makale yazmanıza yardımcı olacaktır.
Başvuru yapmak gereksinimleri ile şu anda maliyet ve yazma olasılığını öğrenmek için.
Genellikle hayatta çeşitli yaklaşık değerlerle uğraşmak zorunda kalırız. Yaklaşık hesaplamalar her zaman biraz hatalı hesaplamalardır.
mutlak hata kavramı
Yaklaşık değerin mutlak hatası, tam değer ile yaklaşık değer arasındaki farkın modülüdür.
Yani, tam değerden yaklaşık değeri çıkarmanız ve elde edilen modulo sayısını almanız gerekir. Bu nedenle, mutlak hata her zaman pozitiftir.
Mutlak Hata Nasıl Hesaplanır?
Bunun pratikte nasıl görünebileceğini göstereceğiz. Örneğin, belirli bir değere sahip bir grafiğimiz var, bu bir parabol olsun: y=x^2.
Grafikten bazı noktalarda yaklaşık değeri belirleyebiliriz. Örneğin, x=1,5'te y'nin değeri yaklaşık 2,2'dir (y≈2,2).
y=x^2 formülünü kullanarak x=1,5 y= 2,25 noktasındaki tam değeri bulabiliriz.
Şimdi ölçümlerimizin mutlak hatasını hesaplıyoruz. |2,25-2,2|=|0,05| = 0.05.
Mutlak hata 0,05'tir. Bu gibi durumlarda değerin 0,05 doğrulukla hesaplandığını da söylüyorlar.
Genellikle tam değerin her zaman bulunamadığı ve bu nedenle mutlak hatanın bulunmasının her zaman mümkün olmadığı görülür.
Örneğin, bir cetvel kullanarak iki nokta arasındaki mesafeyi veya bir iletki kullanarak iki düz çizgi arasındaki açıyı hesaplarsak, o zaman yaklaşık değerler elde ederiz. Ancak kesin değer hesaplanamaz. Bu durumda mutlak hata değerini geçemeyecek bir sayı belirtebiliriz.
Uygulamada genellikle hesaplamaların yapıldığı sayılar belirli niceliklerin yaklaşık değerleridir. Kısaca, bir miktarın yaklaşık değerine yaklaşık sayı denir. Bir miktarın gerçek değerine tam sayı denir. Yaklaşık bir sayı, yalnızca ne derece doğrulukla verildiğini belirleyebildiğimizde pratik değere sahiptir, yani. hatasını değerlendirin. dan temel kavramları hatırlayın. genel kurs matematik.
Şunları belirtin: x- tam sayı (miktarın gerçek değeri), a- yaklaşık sayı (bir miktarın yaklaşık değeri).
tanım 1. Yaklaşık bir sayının hatası (veya gerçek hatası), sayı arasındaki farktır. x ve yaklaşık değeri a. yaklaşık hata a belirteceğiz. Yani,
Tam sayı xçoğu zaman bilinmez, bu nedenle doğru ve mutlak hataları bulmak mümkün değildir. Öte yandan, mutlak hatayı tahmin etmek gerekli olabilir, yani. mutlak hatanın geçemeyeceği bir sayıyı belirtin. Örneğin bir cismin uzunluğunu bu aletle ölçerken elde edilen sayısal değerin hatasının belirli bir sayıyı, örneğin 0,1 mm'yi geçemeyeceğinden emin olmalıyız. Başka bir deyişle, mutlak hatanın sınırını bilmeliyiz. Bu sınır, sınırlayıcı mutlak hata olarak adlandırılacaktır.
Tanım 3. Yaklaşık sayının sınırlayıcı mutlak hatası a aranan pozitif sayıöyle ki, yani
Anlamına geliyor, X eksiklikle, fazlalıkla. Aşağıdaki giriş de kullanılır:
| . | (2.5) |
Sınırlayıcı mutlak hatanın belirsiz bir şekilde belirlendiği açıktır: eğer belirli bir sayı sınırlayıcı mutlak hata ise, o zaman herhangi bir daha fazla marjinal bir mutlak hata da vardır. Uygulamada, eşitsizliği (2.3) sağlayan mümkün olan en küçük ve basit (1-2 anlamlı basamaklı) sayıyı seçmeye çalışırlar.
Örnek.Sayının yaklaşık değeri olarak alınan a \u003d 0.17 sayısının gerçek, mutlak ve sınırlayıcı mutlak hatalarını belirleyin.
Gerçek hata: 
Mutlak hata: 
Sınırlayıcı mutlak hata için bir sayı ve daha büyük herhangi bir sayı alabilirsiniz. Ondalık gösterimde şunları elde edeceğiz: Bu sayıyı büyük ve muhtemelen daha basit bir kayıtla değiştirerek, şunları kabul edeceğiz:
Yorum. Eğer bir a sayının yaklaşık değeridir X ve sınırlayıcı mutlak hata şuna eşittir: h, sonra derler ki a sayının yaklaşık değeridir X kadar h.
Mutlak hatayı bilmek, bir ölçüm veya hesaplamanın kalitesini karakterize etmek için yeterli değildir. Örneğin, uzunluk ölçülürken bu tür sonuçlar elde edilsin. İki şehir arasındaki mesafe S1=500 1 km ve şehirdeki iki bina arası mesafe Ö2=10 1km. Her iki sonucun mutlak hataları aynı olsa da, ilk durumda 1 km'lik mutlak hatanın 500 km'ye, ikinci durumda - 10 km'ye düşmesi önemlidir. İlk durumda ölçüm kalitesi ikinciden daha iyidir. Bir ölçüm veya hesaplama sonucunun kalitesi, göreceli bir hata ile karakterize edilir.
Herhangi bir fiziksel niceliğin doğrudan (acil) ölçümleri yapılırken hatalar genellikle brüt (eksik), sistematik ve rastgele olarak ayrılır.
Büyük hatalar hariçtir;
Belirlenmesi gereken düzeltmeler (örneğin, ölçeğin sıfıra bölünmesinin ofseti) hesaplanır ve nihai sonuçlara dahil edilir;
Sistematik hatalar, ölçüm cihazının yanlışlığına göre belirlenir ve teknik veri sayfasında belirtilir. Bu hatanın işareti önceden bilinmediği için nihai ölçüm sonucunda dikkate alınması gerekir.
Rastgele hatalar, ölçüm sayısı arttıkça azalır. X'in n ölçümü yapılsın. Bundan dolayı en iyi tahmin gerçek değer, bireysel ölçümlerin aritmetik ortalaması olarak alınır
burada: x ben - i'inci ölçümün sonucu.
Rastgele hatayı tahmin etmenin birkaç yolu vardır. Aritmetik ortalamanın en yaygın sözde kök ortalama kare hatası
(2)
P, ölçüm sonucunun gerçek değerden ∆x kadar farklılık gösterme olasılığını ifade etsin; burada ∆x, bu niceliğin toplam ölçüm hatasıdır: mutlak hata. O zaman biri yazabilir
burada x ist, ölçülen miktarın önceden bilinmeyen gerçek değeridir.
P olasılığı, güven olasılığı olarak adlandırılır ve 
önceki 
- güven aralığı.
Kendimizi yalnızca rastgele hataları hesaba katmakla sınırlarsak, o zaman az sayıda ölçüm için güven aralığının yarı genişliği şuna eşittir:
(3)
burada t P , n, P ve n'ye bağlı olarak tablo haline getirilen Student katsayılarıdır. Çalışmamızda P = 0.95 olarak ayarladık. Daha sonra n = 3 t 0.95;4 = 4.3, n = 4 t 0.95;4 = 3.2, n = 5 t 0.95;5 = 2.8.
(4)
nerede ∆x pr - cihazın en büyük mutlak hatası; x N, alet ölçeğinin sınır değeridir.
(4)'ten şunu takip eder:
(5)
Dijital ölçü aletlerinin hataları her birinin pasaportunda verilmiştir.
Çoklu ölçümlerde, aletsel hata P = 0,95'in ortalama kare değeri aşağıdaki formülle belirlenir:
(6)
Birkaç ölçümde tutarlı bir şekilde aynı sonuçlar elde ediliyorsa, o zaman ∆x si ölçeğin bölme değerinin yarısı veya sonucun son basamağının birim basamağının yarısı olarak alınabilir.
Sonucun göreli hatası formülle bulunur.
(7)
veya genellikle yüzde olarak
(8)
Bu nedenle, doğrudan ölçümler için aşağıdaki işlem sırası önerilmiştir.
n ölçümün aritmetik ortalaması hesaplanır:
Aritmetik ortalamanın kök ortalama kare hatası belirlenir:
bulunan
Ölçüm sonucunun mutlak hatası belirlenir
Ölçüm sonucunun bağıl hatası tahmin edilir
Nihai sonuç olarak yazılır
; P = 0.95, n = 3÷5.
Dolaylı ölçüm hataları
Ölçülen niceliğin doğrudan ölçülen niceliklerin bir fonksiyonu olmasına izin verin
(9)
Hata teorisi, mutlak hata ∆y'nin formül tarafından bulunduğunu belirler.
(10)
burada ∂f/∂x i, kısmi türevi, yani x i argümanına göre f fonksiyonundan hesaplanan türevi belirtir ve diğer tüm argümanlar sabit kabul edilir.
Ölçülen değerler x i, ana formüle bir ürün olarak dahil edilirse, önce formülle göreli hatayı belirlemek uygundur.
(11)
ve sonra bul ve 
Örneklerle (10) ve (11) formüllerinin uygulamasını ele alalım.
.
ve formül (10) ile
ayrıca, ∆x 1 ve ∆x 2 ön formül (4) ile belirlenir.
.
Bu durumda önce doğal logaritmayı, sonra kısmi türevi buluruz:
(11) yerine koyarız, buluruz
Ön logaritmanın kısmi türevlerin biçimini önemli ölçüde basitleştirdiğini görmek kolaydır.
Dolaylı ölçüm sonucunun hatasını tahmin etmeye yönelik başka bir yaklaşım da mümkündür. Ortalama değer üzerinden istenilen değeri belirlemek yerine
Yapılan her deney için hesaplama yapmak mümkündür.
ve sonra bul 
aritmetik ortalama ve ardından formül (3)'e göre mutlak hata olarak.
Her iki yöntem de benzer sonuçlar verir.
Örneğin silindirik bir cismin yoğunluğunu bulalım:
p = 4m / πD 2 H,
ayrıca silindir D i'nin çapı ve yüksekliği Н i (i = 1, 2, 3) doğrudan üç kez belirlenir. O zaman hesaplayabilirsin
ρ i = 4 m / πD 2 i H i .
üç boyutun her biri için.
Yoğunluğun ortalama değeri, her zamanki gibi aşağıdaki formülle bulunabilir:
<ρ> =∑ ρ i /3,
ve mutlak hata şu şekilde tanımlanır:
Δρ = 4,3√[∑(< ρ > – ρ i ) /6].
Tablo 1.
Öğrenci katsayıları.
Yuvarlama sonucu
Ölçüm sonucu aşağıdaki kurallara göre yuvarlanır:
Mutlak hata, birincisi 1 veya 2 ise iki anlamlı rakamla alınır.
Mutlak hata, 3'ten büyük veya ona eşitse, bir anlamlı rakamla alınır.
Bu kural, matematiksel istatistik yasalarından kaynaklanmaktadır, çünkü 10 ölçümde bile, hatanın kendisinin göreli hatasının% 3'ü aştığı ortaya çıkmıştır (2'nin% 30'u 0,6'dır ve örneğin, 4 - 1,2'yi aşan) ilk rakamın birimi ).
Ölçüm sonucunun sayısal değeri, mutlak hatanın sayısal değeri ile aynı sırada bir basamakla bitmelidir.
Atılacak ilk basamak 5'ten büyük veya ona eşitse, kalan son basamak bir artırılır.
Atılan basamak 5'ten küçükse, tutulan son basamak değişmeden kalır.
Tam sayıları yuvarlarken, yuvarlama sırasında atılan tüm basamaklar 10 m çarpanı ile değiştirilir; burada m, atılan basamakların sayısıdır. Örneğin, iki anlamlı rakama yuvarlandığında 31127 sayısı 31×10 3 olur.