X \u003d X cf X

mutlak

hata

Akraba

hata

bir+ b

bir+ b

şartlar ölçüm hatası ve ölçüm hatası eşanlamlı olarak kullanılır.) Bu sapmanın büyüklüğünü, örneğin istatistiksel yöntemler kullanarak tahmin etmek mümkündür. için aynı zamanda gerçek değer bir dizi ölçümün sonuçlarının istatistiksel olarak işlenmesiyle elde edilen ortalama istatistiksel değer alınır. Elde edilen bu değer kesin değil, yalnızca en olası olanıdır. Bu nedenle, ölçümlerde doğruluklarının ne olduğunu belirtmek gerekir. Bunu yapmak için elde edilen sonuçla birlikte ölçüm hatası belirtilir. Örneğin, giriş T=2,8±0,1 c. miktarın gerçek değeri anlamına gelir T aralığında yer alır 2,7 saniyeönceki 2,9 sn. belirli bir olasılık (bkz. güven aralığı, güven olasılığı, standart hata).

2006 yılında, uluslararası düzeyde, ölçüm yapma koşullarını belirleyen ve devlet standartlarını karşılaştırmak için yeni kurallar belirleyen yeni bir belge kabul edildi. "Hata" kavramı geçerliliğini yitirdi, onun yerine "ölçüm belirsizliği" kavramı getirildi.

error'un tanımı

Ölçülen büyüklüğün özelliklerine bağlı olarak, ölçüm hatasını belirlemek için çeşitli yöntemler kullanılır.

• Kornfeld yöntemi, minimumdan maksimum ölçüm sonucuna kadar değişen bir güven aralığı ve maksimum ve minimum ölçüm sonucu arasındaki farkın yarısı kadar bir hata seçmekten oluşur:

• Orta kare hatası:

• Aritmetik ortalamanın ortalama kare hatası:

Hata sınıflandırması

Sunum şekline göre

• Mutlak hata - Δ X mutlak ölçüm hatasının bir tahminidir. Bu hatanın değeri, sırayla rastgele değişkenin dağılımı ile belirlenen hesaplama yöntemine bağlıdır. X meas . Bu durumda eşitlik:

Δ X = | X trsene − X meas | ,

nerede X trsene gerçek değerdir ve X meas - ölçülen değer, 1'e yakın bir olasılıkla gerçekleştirilmelidir. rastgele değer X meas normal yasaya göre dağıtılırsa, genellikle standart sapması mutlak bir hata olarak alınır. Mutlak hata, değerin kendisiyle aynı birimlerde ölçülür.

• bağıl hata- mutlak hatanın doğru olarak alınan değere oranı:

Bağıl hata, boyutsuz bir niceliktir veya yüzde olarak ölçülür.

• Azaltılmış hata- bağıl hata, ölçüm aletinin mutlak hatasının, tüm ölçüm aralığı boyunca veya aralığın bir kısmında sabit olan, miktarın koşullu olarak kabul edilen değerine oranı olarak ifade edilir. Formüle göre hesaplanır

nerede X n- ölçüm aleti ölçeğinin tipine bağlı olan ve derecelendirmesiyle belirlenen normalleştirme değeri:

Cihazın terazisi tek taraflı ise, yani alt ölçüm limiti sıfırdır, o zaman X nölçümlerin üst sınırına eşit olarak belirlenir;
- cihazın ölçeği çift taraflı ise, normalleştirme değeri cihazın ölçüm aralığının genişliğine eşittir.

Verilen hata boyutsuz bir değerdir (yüzde olarak ölçülebilir).

meydana gelmesi nedeniyle

• Enstrümantal / Enstrümantal Hatalar- Kullanılan ölçü aletlerinin hataları ile belirlenen ve çalışma prensibinin tam olmamasından, ölçek derecelendirmesinin yanlışlığından ve cihazın görünür olmamasından kaynaklanan hatalar.
• Metodolojik hatalar- yöntemin kusurlu olmasından kaynaklanan hatalar ve metodolojinin altında yatan basitleştirmeler.
• Sübjektif / operatör / kişisel hatalar- operatörün dikkat derecesi, konsantrasyonu, hazırlığı ve diğer niteliklerinden kaynaklanan hatalar.

Mühendislikte, aletler yalnızca önceden belirlenmiş belirli bir doğrulukla ölçmek için kullanılır - normalin izin verdiği ana hata normal koşullar Bu alet için işlem.

Cihaz normalden farklı koşullarda çalıştırılırsa, cihazın genel hatasını artıran ek bir hata oluşur. Ek hatalar şunları içerir: sıcaklık, sıcaklık sapmasından kaynaklanır çevre normalden, kurulum, cihazın konumunun normal çalışma konumundan sapması nedeniyle vb. Başına normal sıcaklık ortam havası normal olarak 20°C olarak alınmıştır. atmosfer basıncı 01.325 kPa.

Ölçüm cihazlarının genelleştirilmiş bir özelliği, izin verilen ana sınır değerleri tarafından belirlenen doğruluk sınıfıdır ve ek hatalar, ölçüm cihazlarının doğruluğunu etkileyen diğer parametrelerin yanı sıra; parametrelerin değeri, belirli ölçüm cihazı türleri için standartlar tarafından belirlenir. Ölçüm cihazlarının doğruluk sınıfı, doğruluk özelliklerini karakterize eder, ancak bu cihazlar kullanılarak gerçekleştirilen ölçümlerin doğruluğunun doğrudan bir göstergesi değildir, çünkü doğruluk aynı zamanda ölçüm yöntemine ve bunların uygulama koşullarına da bağlıdır. İzin verilen temel hatasının sınırları indirgenmiş temel (bağıl) hatalar şeklinde verilen ölçüm aletlerine, aşağıdaki sayılardan seçilen doğruluk sınıfları atanır: (1; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 4.0) ;5.0;6.0)*10n, burada n = 1; 0; -bir; -2 vb.

Tezahürün doğasına göre

• rastgele hata- ölçümden ölçüme değişen (büyüklük ve işaret olarak) hata. Rastgele hatalar cihazların kusurlu olması (mekanik cihazlarda sürtünme vb.), kentsel koşullarda sallanması, ölçüm nesnesinin kusurlu olması (örneğin, tamamen sahip olmayan ince bir telin çapını ölçerken) ile ilişkilendirilebilir. üretim sürecinin kusurlu olmasının bir sonucu olarak yuvarlak kesit), ölçülen değerin kendi özellikleriyle (örneğin, bir Geiger sayacından dakikada geçen temel parçacıkların sayısını ölçerken).
• Sistematik hata- belirli bir yasaya göre zamanla değişen bir hata (özel bir durum sabit hata, zamanla değişmez). Sistematik hatalar deneyi yapan kişi tarafından açıklanmayan alet hatalarıyla (yanlış ölçek, kalibrasyon vb.) ilişkilendirilebilir.
• Aşamalı (sürüklenme) hatası zaman içinde yavaşça değişen öngörülemeyen bir hatadır. Durağan olmayan rastgele bir süreçtir.
• Brüt hata (eksik)- deneyi yapan kişinin dikkatsizliğinden veya ekipmanın arızalanmasından kaynaklanan bir hata (örneğin, deneyi yapan kişi cihazın ölçeğindeki bölme numarasını yanlış okuduysa, elektrik devresinde bir kısa devre varsa).

1. Giriş

Kimyagerlerin, fizikçilerin ve diğer doğa bilimi mesleklerinin temsilcilerinin çalışmaları genellikle çeşitli niceliklerin niceliksel ölçümlerinin performansıyla ilişkilendirilir. Bu, elde edilen değerlerin güvenilirliğini analiz etme, doğrudan ölçüm sonuçlarını işleme ve doğrudan ölçülen özelliklerin değerlerini kullanan hesaplama hatalarını tahmin etme sorununu gündeme getirir (son işleme aynı zamanda sonuçların işlenmesi denir) dolaylıölçümler). Bir dizi nesnel nedenden dolayı, Moskova Devlet Üniversitesi Kimya Fakültesi mezunlarının hataların hesaplanması hakkındaki bilgileri her zaman için yeterli değildir. doğru işleme Alınan veri. olmaması bu sebeplerden biridir. MüfredatÖlçme sonuçlarının istatistiksel işlenmesi üzerine dersin fakültesi.

İle şimdiki an Hataların hesaplanması konusu elbette kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. var çok sayıda metodolojik gelişmeler hataların hesaplanması hakkında bilgi alabileceğiniz ders kitapları vb. Ne yazık ki, bu çalışmaların çoğu ek ve her zaman gerekli olmayan bilgilerle aşırı yüklenmiştir. Özellikle öğrenci atölye çalışmalarının çoğu, örneklerin karşılaştırılması, yakınsamanın değerlendirilmesi vb. eylemleri gerektirmez. Bu nedenle, en sık kullanılan hesaplamalar için algoritmaları özetleyen kısa bir geliştirme oluşturmak uygun görünmektedir, bu geliştirmenin amacı da budur. adamıştır.

2. Bu yazıda kabul edilen notasyon

Ölçülen değer, - ölçülen değerin ortalama değeri, - ölçülen değerin ortalama değerinin mutlak hatası, - ölçülen değerin ortalama değerinin bağıl hatası.

3. Doğrudan ölçüm hatalarının hesaplanması

Öyleyse var olduğunu varsayalım n aynı koşullar altında aynı miktarın ölçülmesi. Bu durumda, ölçümlerde bu miktarın ortalama değerini hesaplayabilirsiniz:

(1)

Hata nasıl hesaplanır? Aşağıdaki formüle göre:

(2)

Bu formül Student katsayısını kullanır. Farklı güven olasılıkları için değerleri ve değerleri .

3.1. Doğrudan ölçümlerin hatalarını hesaplamaya bir örnek:

Bir görev.

Metal çubuğun uzunluğu ölçüldü. 10 ölçüm yapıldı ve şu değerler elde edildi: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Ölçülen değerin (çubuğun uzunluğu) ortalama değerini ve hatasını bulmak gerekir.

Çözüm.

Formül (1)'i kullanarak şunları buluruz:

mm

Şimdi, formülü (2) kullanarak, ortalama değerin mutlak hatasını bir güven olasılığı ve serbestlik derecesi sayısı ile buluyoruz (şuradan alınan \u003d 2.262 değerini kullanıyoruz):

Sonucu yazalım:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Dolaylı ölçüm hatalarının hesaplanması

Deney sırasında değerlerin ölçüldüğünü varsayalım. , ve daha sonra c elde edilen değerleri kullanarak, değer formül ile hesaplanır . Bu durumda, doğrudan ölçülen değerlerin hataları, paragraf 3'te açıklandığı gibi hesaplanır.

Miktarın ortalama değerinin hesaplanması bağımsız değişkenlerin ortalama değerleri kullanılarak bağımlılığa göre yapılır.

Büyüklük hatası aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

,(3)

bağımsız değişkenlerin sayısı, işlevin bağımsız değişkenlere göre kısmi türevleridir, bağımsız değişkenin ortalama değerinin mutlak hatasıdır.

Mutlak hata, doğrudan ölçümlerde olduğu gibi, formülle hesaplanır.

4.1. Doğrudan ölçümlerin hatalarını hesaplamaya bir örnek:

Bir görev.

Beş doğrudan ölçüm ve yapıldı. Elde edilen değerler için: 50, 51, 52, 50, 47; değer için elde edilen değerler: 500, 510, 476, 354, 520. Formül ile belirlenen değerin değerinin hesaplanması ve elde edilen değerin hatasını bulmak istenmektedir.

Mutlak ve bağıl hata

Hata teorisinin unsurları

Tam ve yaklaşık sayılar

Tamsayı veri değerleri söz konusu olduğunda (2 kalem, 100 ağaç) sayının doğruluğu genellikle şüphe götürmez. Ancak çoğu durumda, bir sayının tam değerini belirtmenin imkansız olduğu durumlarda (örneğin, bir nesneyi cetvelle ölçerken, bir cihazdan sonuç alırken vb.), yaklaşık verilerle uğraşıyoruz.

Yaklaşık değer, tam değerden biraz farklı olan ve hesaplamalarda onun yerini alan bir sayıdır. Bir sayının yaklaşık değeri ile tam değeri arasındaki farkın derecesi ile karakterize edilir. hata .

Aşağıdaki ana hata kaynakları vardır:

1. Problemin formülasyonundaki hatalar gerçek bir olgunun matematik açısından yaklaşık olarak tanımlanmasının bir sonucu olarak ortaya çıkan.

2. Yöntem hataları iyi bilinen ve erişilebilir bir çözüm yöntemi uygulayabilmeniz ve istenene yakın bir sonuç alabilmeniz için sorunu çözmenin ve benzer bir çözümle değiştirmenin zorluğu veya imkansızlığı ile ilişkilidir.

3. Ölümcül hatalar, ilk verilerin yaklaşık değerleri ile ilişkili ve yaklaşık sayılar üzerinde hesaplamaların yapılması nedeniyle.

4. Yuvarlama hataları hesaplama araçlarının kullanımıyla elde edilen ilk verilerin, ara ve nihai sonuçların değerlerinin yuvarlanmasıyla ilişkilendirilir.

Mutlak ve bağıl hata

Hataların muhasebeleştirilmesi önemli yön sayısal yöntemlerin uygulanması, çünkü tüm problemi çözmenin nihai sonucunun hatası, her tür hatanın etkileşiminin ürünüdür. Bu nedenle, hata teorisinin ana görevlerinden biri, ilk verilerin doğruluğuna dayalı olarak sonucun doğruluğunu tahmin etmektir.

ise tam bir sayı ve yaklaşık değeri ise, yaklaşık değerin hatası (hatası), değerinin tam değerine yakınlık derecesidir.

En basit nicel hata ölçüsü, şu şekilde tanımlanan mutlak hatadır:

(1.1.2-1)

Formül 1.1.2-1'den görülebileceği gibi, mutlak hata, değerle aynı ölçü birimlerine sahiptir. Bu nedenle, mutlak hatanın büyüklüğüne göre, yaklaşımın kalitesi hakkında doğru bir sonuca varmak her zaman mümkün olmaktan uzaktır. Örneğin, eğer ve bir makine parçasından bahsediyoruz, o zaman ölçümler çok kaba ve geminin boyutundan bahsediyorsak, o zaman çok doğrular. Bu sebeple kavram bağıl hata mutlak hatanın değerinin yaklaşık değerin modülü ile ilişkili olduğu ( ).

(1.1.2-2)

Göreceli hataların kullanılması özellikle uygundur, çünkü bunlar değer ölçeğine ve veri birimlerine bağlı değildir. Bağıl hata, kesirler veya yüzdelerle ölçülür. Örneğin, eğer

,a , sonra , farzedelim ve ,

e sonra .

Bir fonksiyonun hatasını sayısal olarak değerlendirmek için, eylemlerin hatasını hesaplamak için temel kuralları bilmeniz gerekir:

· sayıları toplarken ve çıkarırken sayıların mutlak hataları toplanır

· sayıları çarparken ve bölerken göreceli hataları üst üste istiflenir

· yaklaşık bir sayının gücüne yükseltildiğinde göreceli hatası üs ile çarpılır

Örnek 1.1.2-1. Bir işlev verildiğinde: . Değerler varsa, değerin mutlak ve göreli hatalarını (aritmetik işlemleri gerçekleştirme sonucunun hatası) bulun bilinir ve 1 tam bir sayıdır ve hatası sıfırdır.

Göreceli hatanın değeri bu şekilde belirlendikten sonra, mutlak hatanın değeri şu şekilde bulunabilir: , değerin yaklaşık değerler için formülle hesaplandığı yer

Miktarın tam değeri genellikle bilinmediği için hesaplama ve yukarıdaki formüllere göre imkansızdır. Bu nedenle uygulamada formun marjinal hataları şu şekilde değerlendirilir:

(1.1.2-3)

nerede ve - mutlak ve bağıl hataların üst sınırları olan bilinen değerler, aksi takdirde bunlar - sınırlayıcı mutlak ve sınırlayıcı göreli hatalar olarak adlandırılır. Bu nedenle, kesin değer içinde yer alır:

eğer değer bilinen, o zaman ve değeri biliniyorsa , sonra