Ölçüm, ölçülen değerin bir ölçü birimi olarak alınan başka bir değerle karşılaştırılması olarak anlaşılır. Ölçüm yaparken, üç ardışık işlem gerçekleştirmeniz gerekir:
1) cihazları kontrol etmek ve kurmak;
2) tanıklıklarının gözlemlenmesi ve sayılması;
3) ölçüm sonuçlarından istenen değerin hesaplanması ve hatanın tahmini.
Ölçümler doğrudan ve dolaylı olarak ikiye ayrılır. Doğrudan ölçümlerde belirlenecek miktar, ölçü birimi ile ya doğrudan ya da uygun birimlerde kalibre edilmiş bir ölçü aleti ile karşılaştırılır. Bu tür ölçümler arasında bir cetvel, kumpas, mikrometre ile uzunluk ölçümleri; ilgili cihazın ölçeğine göre vücut ağırlığının, zaman aralıklarının, voltajın veya akımın ölçümü.
saat dolaylı ölçümler ilgilendiğimiz fiziksel miktar, ilgili formüle göre hesaplama ile belirlenir. Spesifik formül, doğrudan ölçümlerle belirlenen bir dizi parametreyi içerir.
Örneğin, hacmi belirlerken V silindir, çapını ölçmeniz gerekiyor D ve yükseklik H ve sonra formüle göre V = π HD 2/4 hacmi hesaplayın.
Hesaplama formülüne dahil edilen bazı fiziksel miktarlar değişmeden kalır (ölçüm ayar parametreleri, fiziksel ve matematiksel sabitler) ve bazı miktarlar x ben bir dizi deney sırasında ölçülür. Ayrıca, genel durumda, deneylerin her birinde, ölçülen miktarın değerleri x 1 , x 2 , …, x n farklı olabilir.
Bu, herhangi bir miktarı ölçerken, her zaman bu miktarın doğru değerini değil, yaklaşık değerini almamız gerçeğiyle açıklanır. Sebebi, hem kullanılan alet ve cihazların ölçüm doğruluğu ile hem de her şeyi hesaba katmanın imkansızlığı ile bağlantılıdır. dış faktörler nihai ölçüm sonucunu etkileyen
Aynı koşullar altında ve aynı aletleri kullanarak aynı miktarın tekrarlanan ölçümleri bile biraz farklı sonuçlar verir. Bu nedenle, herhangi bir ölçüm her zaman hata veya hata ile yapılır.
Ölçüm hatası (veya hatası), belirli bir ölçüm sonucunun gerçek değerölçülen fiziksel miktar.
İş bitimi -
Bu konu şunlara aittir:
GENEL BİLGİ
Fiziksel büyüklüklerin ölçüm hataları Ölçüm, ölçülen büyüklüğün ... ile karşılaştırılması olarak anlaşılmaktadır ... Ölçüm hatalarının sınıflandırılması ...
Bu konuyla ilgili ek materyale ihtiyacınız varsa veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:
Alınan malzeme ile ne yapacağız:
Bu materyalin sizin için yararlı olduğu ortaya çıktıysa, sosyal ağlarda sayfanıza kaydedebilirsiniz:
| cıvıldamak |
Bu bölümdeki tüm konular:
İş emri
1. Bilyaların eksenel kurulumunu ayarlayın. Bunu yapmak için, topların üzerindeki riskler aynı seviyede olacak şekilde yukarıda bulunan topu çevirin. 2. Ayarlama
Balistik sarkaç, M kütleli bir silindirdir.
İş emri
1. Mermi ve sarkacın kütlesi tesisat üzerinde belirtilmiştir. 2. Askı noktasından ipliğin sarkaçla bağlantı noktasına kadar olan l mesafesini bir cetvelle ölçün. 3. Sarkacı içeri getirin
İş emri
1. Bir masanın üzerinde bulunan bir tabancadan zeminde bulunan bir kutu kum veya bir kağıda 5 el ateş edin. Her atıştan sonra kurşunun kumdaki veya levha üzerindeki işaretinde,
Kurulum ve ölçüm yönteminin açıklaması
Volan, büyük bir disk ve bir mile monte edilmiş bir kasnaktan oluşur. Mil, yataklara sabitlenmiştir. Kasnağa bir iplik sarılır (bazı kurulumlarda, kasnağın rolü mil tarafından oynanır), serbest
İş emri
1. İpliğin uzunluğunu, ağırlık sehpa tabanına değmeyecek şekilde ayarlayın. 2. Bir kumpas ile kasnağın çapını ölçün, yükün kütlesini belirleyin m. Sonuçları şuraya kaydedin:
Kurulum ve ölçüm yönteminin açıklaması
Kurulum cihazı, Şek. 1. Taban 1, ayarlanabilir
İş emri
1. Sarkaç diskinde, isteğe bağlı olarak seçilen bir halkayı sabitleyin. 2. Sarkaçın kurulumunu, ekseninin tabana paralel olmasına dikkat ederek düzeltin.
VE SÜRTÜNME KUVVETİ MOMENTİNİN BELİRLENMESİ
Çalışmanın amaçları: volan için açısal ivme b'nin Mn çekme kuvveti anına bağımlılığının bir grafiğini oluşturmak ve ondan sürtünme kuvvetinin anını belirlemek
Kurulum ve ölçüm yönteminin açıklaması
Volan, mil üzerine monte edilmiş disk 1 ve kasnak 2'den oluşur (Şekil 1). şaft
İş emri
1. Bir kumpas ile kasnağın D çapını ölçün. 2. Volanı çevirerek ipte asılı olan yükü h yüksekliğine yükseltin. Yüksekliği bir cetvelle ölçün (aşağıya doğru sayın)
Kurulum ve ölçüm yönteminin açıklaması
Oberbeck sarkacı (Şek. 1) bağlı bir volandır.
İş emri
1. m1 ve m2 yüklerinin kütlesini belirleyin (m1'i m2'nin yaklaşık iki katı kadar alın). Hangi h yüksekliğini belirleyin
Kurulum ve ölçüm yönteminin açıklaması
Elastik bir dişe asılan rijit bir gövde, askı ipi ile çakışan dikey eksene göre belirli bir açıyla döndürülürse burulma titreşimleri gerçekleştirecektir ve
İş emri
1. Alt diski çevirerek sistemi salınım hareketine getirin. Diskin kütle merkezinin yana doğru hareket etmediğinden, yani dikey hareket ettiğinden emin olun. salınım genliği
Kurulum ve ölçüm yönteminin açıklaması
İş emri
1. Destek prizmasını çubuğun ucuna takın. Sarkacı destek prizmasının kenarı ile bir stand üzerine yerleştirin ve salınım genliği ~ 6'yı geçmeyecek şekilde salınım hareketine ayarlayın.
Dış güçlerin etkisi altında her şey sağlam deforme olmuş, yani şeklini ve boyutunu değiştirir. Elastik deformasyon, kuvvetin sona ermesiyle kaybolan bir deformasyondur. Evet, sıkı
Fonksiyon (2)'yi zamana göre iki kez farklılaştırarak, şunu elde ederiz:
a = − w2Acos(wt + a) = − w2x. (4) (4)'ü (3) ile değiştirdikten sonra w = buluruz.
İş emri
GÖREV № 1 Şek. 1 Çalışmanın amacı: Hooke yasasını kontrol etmek. 1. Yayın alt ucuna m kütleli farklı ağırlıkları asın
Kısa teorik bilgi
İvmeyi ölçmek için en dolaylı yöntemler serbest düşüş g, dönem formülünü kullanmaya dayanmaktadır harmonik titreşimler fiziksel sarkaç &nb
Kurulum ve ölçüm yönteminin açıklaması
Sütun 2, taban 1'de sabitlenmiştir (Şekil 1);
İş emri
1. Bir ağırlığı çubuğun ucuna ve diğerini çubuğun ortasına yakın bir yere takın. 2. Prizmaları birbirine bakacak şekilde takın. Bunlardan birini yakına yerleştirin
Kısa teorik bilgi
Bir ipi gerer ve içindeki titreşimleri heyecanlandırırsanız, dalgalar ip boyunca ilerleyecektir, bu da sabit uçlardan yansıyan ve birbiriyle toplanarak karmaşık bir titreşim modeli oluşturur.
Kurulum Açıklaması
Tel titreşimlerini uyarmak için çalışmada rezonans yöntemi kullanılmıştır. İp, manyetik alanda akım taşıyan bir iletkene etki eden bir kuvvet tarafından harekete geçirilir. kalıcı manyetik p
İş emri
1. Üniteyi 220 V ağa bağlayın "AĞ" düğmesine basın. 2. Elektronik ünitenin 1-2 dakika içinde moda girmesine izin verin. 3. İp gerginliğini ayarlayın F =
Kısa teorik bilgi
Elastik bir ortamda titreşimin yayılma sürecine dalga denir. Bir dalganın salınım periyoduna eşit bir sürede yayıldığı mesafeye dalga boyu denir. Uzunluk
Kurulum Açıklaması
Kurulumun genel görünümü şekil 2'de gösterilmektedir. 2. Bir mikrofon 2, metal bir borunun 1 ucuna sabit bir şekilde sabitlenmiştir. Elektrodinamik bir g, bir çubuk 3 yardımıyla boru boyunca serbestçe hareket edebilir.
İş emri
1. Hoparlörü ses frekans üretecine ve mikrofonu osiloskopa bağlayın. Jeneratörü ve osiloskopu ağa bağlayın. Jeneratör frekans seti örneği
İş emri
Aτ, derece
HESAP CİHAZINDA RASTGELE HATA HESAPLAMASI
Rastgele hata, nihai ölçüm sonucunu etkiler, ya fazla tahmin eder ya da hafife alır. Bu nedenle, aralığı sayısal eksende belirtmek gerekir (bkz. s. 8), içinde
§ mekanik titreşimler temel formülleri
Gazların moleküler-kinetik teorisi temel formüller
I. yaklaşık hesaplamalar hakkında
Temel Formüller
Temel Formüller
§ mekanikteki kuvvetler
§ 10. İstatistiksel fiziğin unsurları
§ 11. Termodinamiğin fiziksel temelleri
1. ÖLÇÜM TÜRLERİ. HATALARIN SINIFLANDIRILMASI
Fiziksel miktar - Bu, fiziksel bir nesnenin (sistem, fenomen veya süreç) özelliklerinden birinin özelliğidir. Niteliksel olarak, aynı fiziksel nicelik farklı bir nicel ifadeye sahip olabilir. Belirli bir maddi nesnenin doğasında bulunan fiziksel bir niceliğin nicel kesinliği, büyüklüğü ile karakterize edilir. Fiziksel bir miktarın değeri, bu miktarın kabul edilen belirli sayıda birim biçimindeki büyüklüğünün bir tahminidir. Fiziksel bir niceliğin değeri, bu nicelik için seçilen birimin sayısal değerinin çarpımı olarak ifade edilir. Sayısal bir değer soyut bir sayıdır. Fiziksel bir niceliğin birimi, geleneksel olarak 1'e eşit bir sayısal değer atanan fiziksel bir niceliktir.
Astar vurmak p: Uzunluk değeri L = 0.202 m = 20,2 cm = 202 mm olarak ifade edilebilir. Sonuç olarak, fiziksel bir niceliğin sayısal değeri, birimin boyutundaki bir değişiklikle değişir. Değerin boyutu ve değeri aynı olacaktır.
Ayırt etmek doğru maddi bir nesnenin özelliklerini ideal olarak yansıtan fiziksel bir niceliğin değeri ve gerçek - deneysel olarak bulunan değerdir.
Fiziksel bir niceliğin ölçümü h Bu miktarın değerini kullanım için en uygun biçimde elde etmek için ölçülen miktarın birimiyle karşılaştırmasından oluşur. Ölçüm, birimi depolayan veya fiziksel bir miktarın ölçeğini yeniden üreten teknik araçlar kullanılarak gerçekleştirilir.
Kavram eşitlenmemeli ölçüm konsept ile ölçüm sırasında gözlem - gerçekleştirilen deneysel işlem işlemölçümler. Gözlemin sonucu tek bir değerdir ( Geri sayım)ölçülmüş değer. Ölçüm sonucu, tüm okumaların matematiksel olarak işlenmesinden sonra elde edilir.
Tek gözlemlerle ölçüm Her okumanın ölçülen miktarla ilişkili fiziksel niceliklerin farklı değerlerinde elde edildiği bir ölçüm denir.
Örnek:üzerlerinde sabit bir kuvvetin etkisi altında çeşitli kütlelerin cisimlerinin ivmesinin ölçülmesi.
Çoklu gözlemlerle ölçümölçülen miktarla ilişkili fiziksel niceliklerin sabit değerlerinde tüm okumaların elde edildiği bir ölçüm denir.
Örnek: deney tekrarlanarak aynı kuvvetin etkisi altında belirli bir kütleye sahip bir cismin ivmesinin ölçümü.
İki ana ölçüm türü vardır: dümdüz ve dolaylı.
Doğrudan ölçüm değerinin doğrudan deneysel verilerden bulunduğu fiziksel bir niceliğin ölçümü olarak adlandırılır.
Örnekler: bir cetvelle uzunluk ölçümü; ohm direnç ölçümü
Dolaylı ölçümle Değeri, bu miktar ile değerleri doğrudan ölçümlerle elde edilen miktarlar arasında bilinen bir ilişki temelinde bulunan fiziksel bir miktarın ölçümü olarak adlandırılır.
Astar vurmak p: sırasıyla bir voltmetre ve bir ampermetre ile ölçülen voltaj ve akım ile direncin belirlenmesi.
Bağlantı Bu tür ölçümler, aralarındaki ilişkiyi bulmak veya bu ilişkinin parametrelerini belirlemek için iki veya daha fazla homojen olmayan miktarın aynı anda ölçüldüğü ölçümlere denir.
Örnek: Ohm yasasını test etmek için çeşitli voltajlarda akımın ölçülmesi.
Ölçüm nesnesi modeli gerçek bir nesnenin soyut, genellikle idealize edilmiş görüntüsü olarak adlandırılır.
Örnekler: malzeme noktası, kesinlikle rijit gövde, ideal gaz, homojen iletken.
Ölçüm metoduÖlçülen bir niceliği kendi birimiyle karşılaştırmak için bir dizi yöntem. Ölçüm yöntemi, ölçüm nesnesinin modeline ve mevcut teknik araçlara göre gerçekleştirilir.
Gerçek ölçüm hatası, fiziksel bir niceliğin (gerçek değer) ölçüm sonucunun gerçek değerinden sapmasıdır. Ölçüm yaparken, kural olarak, ölçülen miktarın gerçek değeri bilinmez. Ölçüm sonucu seviyeçoğu zaman onunla uyuşmayan gerçek değer. Gerçek değerin bilinip bilinmediğine bakılmaksızın, hatayı sözde tarafından karakterize etmek kabul edilir. güven aralığı, belirli bir kesinlik derecesiyle gerçek değeri içerir. Bu aralığın ortası, gerçek değerin tahmini ile çakışmaktadır (Şekil 1).
Hata olarak ifade edilir mutlak ve akraba hatalar.
Mutlak hata tahmin ve aralığın sınırı arasındaki farkın modülüne eşit , şunlar. güven aralığının yarı genişliği.
göreli hata mutlak hatanın gerçek değerin tahminine oranına eşittir. Kural olarak, bu hata yüzde olarak ifade edilir. Göreceli hatanın tersi denir kesinlikölçümler.
Şekil 1. Ölçüm sonucu x=(±?x).Örneğin F=(53,2±0,3) H.
Aynı fiziksel niceliğin ölçüm sonuçlarını karşılaştırırken aşağıdakileri yapın. Eğer bir güvenilirlik aralığıörtüşüyor, diyoruz ki farklılıklar önemsiz ve ölçüm sonuçları tutarlıdır. Aksi takdirde, farklılıklar dikkate alınır anlamlı ve ölçüm sonuçları eşleşmiyor.
Örnek: izin ver çeşitli metodlar aynı kuvvetin ölçümlerinde aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir: F=240±8 N, F=250±5 N. Bu durumda 10 N'lik fark önemsizdir ve sonuçlar tutarlıdır. Her iki sonuç da F=242±2 N, F=249±3 N olsaydı, 7 N'lik fark anlamlı olurdu ve ölçüm sonuçları eşleşmezdi.
Ölçüm sonucu üzerindeki etkiye göre aşağıdaki hata sınıfları ayırt edilebilir:
Sistematik hata - ölçümler tekrarlandığında sabit kalan veya düzenli olarak değişen bir hata.
rastgele hata ölçümler tekrarlandığında rastgele değişen hatadır.
Özlemek (Hata ) - önemli ölçüde aşan bir hata
metodolojik hata - ölçüm yönteminin kusurlu olmasından kaynaklanan hata.
Alet hatası - ölçüm cihazlarının (aletlerin) hatası.
Ek hata - ölçüm nesnesinin modelinde dikkate alınmayan faktörlerin etkisinden kaynaklanan hata.
Sistematik hatayı hesaba katmak ve hariç tutmak (veya azaltmak) ölçüm teorisindeki en zor problemlerden biridir. Bu sorunu çözme yöntemleri, belirli ölçüm türlerine bağlıdır ve bunu çözmek için genel bir metodoloji yoktur. Kapsamlı bir yaklaşım sıklıkla kullanılır Teorik analiz kullanılan ekipmanın ölçüm prosedürleri ve özellikleri. Böyle bir analiz, sistematik hatanın sınırlarının bir tahminini verebilir. Doğru ölçümlerle, sistematik hata, farklı ekipman kullanılarak çeşitli, temelde bağımsız yöntemlerle istenen değerin ölçülmesinin sonuçlarına dayanarak tahmin edilir. Birçok modern yollar aparatı kullanarak sistematik hatanın analizi matematiksel istatistik(dağılım, regresyon, korelasyon, spektral analiz), karar teorisi, oyun teorisi vb. Bu konular özel bir metroloji dersinde daha ayrıntılı olarak ele alınmaktadır.
Çoğu durumda rastgele hata, ölçüm sonuçlarının nispeten basit istatistiksel işlenmesiyle azaltılabilir.
Kayıplar, diğerlerine üstün gelen bazı enterferans faktörlerinin ölçüm süreci üzerindeki kısa vadeli etkisinin sonucu olabilecek anormal ölçüm sonuçlarını ifade eder. Bir kayma, ölçümü yapan operatörün hatasından veya ölçüm ekipmanının arızasından kaynaklanabilir. Bu durumlarda, anormal sonuç atılmalıdır. Ancak anormal verilerin reddedilmesi, uzmanların üzerinde fikir birliğine varmadığı tartışmalı bir konudur. Örneğin, tarihten
Fizikçiler, büyük keşiflere yol açanın deneylerin anormal sonuçları olduğunu biliyorlar. Bu nedenle, ne zaman bilimsel araştırma ve çoğu teknik ölçümde, özellikle deneyi birçok kez tekrarlayarak, kaymanın nedenini dikkatli bir şekilde analiz etmek gerekir. Ancak, iyi çalışılmış bir durumda, kişi bulamazsa dış nedenözledim, anormal sayımın atılması sorunu, tüm deneysel verilerin işlenmesi temelinde çözülmelidir.
Fiziksel bir atölyenin laboratuvarındaki ölçümler sırasında deney şu şekilde organize edilir:
1. metodik hata ihmal edilebilir veya değeri tahmin edilebilir.
2. Araçsal hatanın yalnızca sistematik bir bileşeni vardır.
3. Ek hatanın yalnızca rastgele bir bileşeni vardır.
4. Ölçüm cihazlarının ve aletlerinin okumalarının doğruluğu garanti edilir.
2. DOĞRUDAN ÖLÇÜMLERİN İŞLENMESİ
2.1. Alet hatası
Cihazın hatasını belirleme yöntemi pasaportunda verilmiştir. Çoğu cihazı karakterize etmek için konsept sıklıkla kullanılır. azaltılmış hata, ölçüm ölçeği aralığının yüzdesindeki mutlak hataya eşittir. Verilen hataya göre cihazlar doğruluk sınıflarına ayrılır. Doğruluk sınıfı gösterge tablosunda gösterilir ve aşağıdaki değer aralığını alabilir:
0.05; 0.1; 0.2; 0.5 - kesinlik; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0 - teknik cihazlar.
En büyük mutlak enstrümantal hata
A=K A/100, (1)
K doğruluk sınıfı olduğunda, A en yüksek değer alet ölçeği.
Formül (1)'den, ölçülen değer gösterge okunu tam ölçeğe atarsa, bağıl hatanın minimum olacağı sonucu çıkar. Bu nedenle, enstrümanın optimal kullanımı için limiti şu şekilde seçilir: ölçülen değerin değeri ölçeğin sonuna düştü.
Metrolojide, formül (1)'e ek olarak, özellikle eşit olmayan ölçeklere sahip aletler için, aletsel hatanın diğer, daha karmaşık tanımları ve ilişkili doğruluk sınıfı kullanılır.
Doğrusal boyutları ölçmek için aletlerin aletsel hatası, aletin kendisinde mutlak bir hata veya bir bölme değeri olarak gösterilir. Cihazda ne doğruluk sınıfı ne de mutlak hata belirtilmiyorsa, en küçük bölümün fiyatının yarısına eşit alınır.
Ölçülen değerlerin dijital olarak okunduğu cihazlar için, cihazın pasaport verilerinde hatayı hesaplama yöntemi verilmiştir. Bu veriler mevcut değilse, göstergenin son dijital basamağının yarısına eşit bir değer mutlak hata olarak alınır.
Enstrümantal hata azaltılamaz
okumaların istatistiksel işlenmesi.
Çeşitli enstrümanların skalalarından okuma örnekleri, Şek. 2 - 7.
Sürmeli cihazın prensibi Ek 5'te tartışılmaktadır.
2.2. rastgele hata
Rastgele hataların varlığında, ölçülen miktarın çoklu ölçümlerde gözlenen değerleri, gerçek değerine göre rastgele dağılır. Bu durumda, gerçek değer, bir dizi okumanın en olası değeri olarak bulunur ve hata, belirli bir olasılıkla gerçek değeri kapsayan aralığın genişliği ile karakterize edilir. Aşağıdaki hükümlerin matematiksel doğrulaması, literatürde fizikteki pratik çalışma ile ilgili olarak 6, 7 ve 8. bölümlerde ve literatürde sunulmuştur.
Pirinç. 3. Kaliper.
Pirinç. 7. Dijital ohmmetre.
Miktarın gerçek değerinin en iyi tahmini X dır-dir
örnek ortalama
,
(2)
Neresi x n- değer okuma X, N okuma sayısıdır.
Ölçüm sırasında okumaların dağılımını tahmin etmek için
numunelerin numune standart sapması
, (3)
Örnek ortalaması rastgele bir değişkendir ve ölçülen değerin gerçek değerine göre yayılımı tahmin edilir
ortalamanın örnek standart sapması
.
(4)
Ortalamanın standart sapmasıNokumalar içinde 
bir okumanın standart sapmasından kat daha az
Güven aralığı aralık denir
Hangi, belirli bir kesinlikle, ölçülen değerin gerçek değerini içerir (Şekil 1).
Güven Olasılığı(güvenilirlik) Bir dizi gözlemin sonucu, güven aralığının ölçülen miktarın gerçek değerini içerdiği olasılık olarak adlandırılır.
Hatanın rastgele bileşeni genellikle güven aralığının yarı genişliği olarak ifade edilir. Güven aralığının boyutu genellikle aşağıdakilerin bir katı olarak verilir. 
değerler. O zamanlar
çoklu ölçüm hatasının rastgele bileşeni
, (5)
nerede
- boyutsuz güven katsayısı(Öğrenci katsayısı).
Güven oranı belirli sayıda ölçümle sonuçlarının belirli bir güvenilirliğini elde etmek için ortalamanın standart sapmasını kaç kez artırmanın gerekli olduğunu gösterir. Güven faktörü, güvenilirliğe ve ölçüm sayısına karmaşık bir şekilde bağlıdır ve değeri istatistiksel tablolardan belirlenir (Ek 1).
Rastgele hatalar hesaplanırken, (ölçüm amaçlarına ve gereksinimlerine bağlı olarak) 0,9'a eşit alınan ölçümlerin güvenilirliği ile verilir; 0.95; 0.96; 0.98; 0.99; 0,997; 0,999.
Güven düzeyi ne kadar yüksekse, o kadar güvenilir
aralığın bir tahmini ve aynı zamanda sınırından daha geniş.
toplam hata 
doğrudan ölçümler, bileşenlerinin ikinci dereceden toplamına eşittir: enstrümantal - 
ve rastgele -
, (6)
2.3. özlüyor
Kayıplar için okumaları kontrol ederek doğrudan ölçümleri işlemeye başlamanız önerilir. Eksikleri belirlemek ve atmak için birçok kriter vardır, ancak bunların hiçbiri evrensel değildir. Kriter seçimi, ölçümlerin amacına bağlıdır, ancak bazı verileri çıkarma kararı nihai olarak her zaman özneldir.
Sözde formüle edelim Chauvenet kriteri . N numune içeren elde edilen seriden anormal bir numune seçilir - x k ve ortalama değerden sapma modülü, numune standart sapmasının kesirlerinde hesaplanır:
, (7)
Daha sonra, bu sapmanın olasılığı ve ayrıca, konununkinden daha az olmayan bir Z sapması ile okumalar verecek olan beklenen n ölçüm sayısı hesaplanır. alınırsa n
M>N ise, x k örneği bir kayıp olarak kabul edilir. M ve Z arasındaki ilişki Ek 3'te verilmiştir.
Doğrudan ölçümleri işlemek için algoritma
1. Enstrümantal hatayı belirleyin.
2. Bir dizi ölçümün ortalama değerini hesaplayın - formül (2)
3. Okumanın standart sapmasını hesaplayın - formül (3)
Eksik düzeltilirse, 5'e gidin;
aksi halde 4'e kadar
4. Kayıplar için okumaları kontrol edin:
anormal bir okuma seçin;
göreli sapmasını hesapla - formül (7)
arasında beklenen okuma sayısını belirleyin.
bu sayı, sayım sayısından daha büyük,
2'ye git; başka 5'e git.
5. Örnek Ortalama Kareyi Hesapla
ortalama değerin sapması - formül (4)
6. Belirli bir güven faktörünü belirleyin
güvenilirlik ve elde edilen okuma sayısı - Ek 1
7. Rastgele Hata Hesapla - formül (5)
8. Toplam Hatayı Hesapla - formül (6)
9. Yuvarlamadan sonra, işlem ölçümlerinin sonucu şu şekilde yazılmalıdır:
; 
; ?
Bazen aynı fiziksel niceliğin birkaç dizi doğrudan ölçümünün sonuçlarını birleştirmek gerekir. Bu sorun aşağıdaki şekilde çözülebilir. Sonuçlara izin ver Mölçümler formda sunulur 
, 
, … , 
. En iyi değeri 
Ve hatası ∆ x ve hatası aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
, 
, (8)
-
nerede 
- her ölçüm serisinin istatistiksel ağırlığı.
3. DOLAYLI ÖLÇÜMLERİN İŞLENMESİ
olsun u= f(x, y,…)- ölçülen değer arasındaki fonksiyonel ilişki sen ve miktarlar x, y,... , değerleri doğrudan ölçümlerle bulunan. Gerçek değer 
şu şekilde tanımlanır:
. (9)
∆ hatası için bir ifade elde ederiz. sen. Biri hariç tüm argümanların değerlerini düzeltirseniz, örneğin x, ardından bağımsız değişkeni değiştiğinde işlevin artışı şu şekilde olur:
∆ değeri ise x küçük, sonra aralıkta [ 
, 
] işlev u=f(x) doğrusal olarak kabul edilebilir ve
. (11)
∆x değeri sen hatayı karakterize eder ∆ sen, hata nedeniyle ∆ x. Hata bileşenleri ∆ benzer şekilde belirlenir sen, diğer argümanlar tarafından tanıtıldı. Toplam hata ∆ sen dolaylı ölçümler sen her bir argümanın katkıda bulunduğu bileşenlerinin ikinci dereceden toplamı veya modülo toplamı kullanılarak hesaplanır:
. (12)
. (13)
İlişki (12) iki koşul karşılandığında uygulanır. İlk olarak, argümanların hatası, aralarında hakim faktörün bulunmadığı birçok faktörün etkisinden kaynaklanmaktadır. İkincisi, argümanların hataları istatistiksel olarak ilişkili değildir. Diğer durumlarda (13) bağıntısı kullanılır. Bununla birlikte, toplama kuralı (13) genellikle dolaylı ölçümlerin hatasının fazla tahmin edilen bir değerine yol açar. Hata toplamı hakkında daha fazla ayrıntı Bölüm 8'de verilmiştir.
Örnek. DC devrenin bir bölümündeki direnç değeri, bu bölümdeki akım ve voltajın doğrudan ölçümlerinin sonuçlarından belirlensin. Akım ve voltajın ölçülmesindeki hata birçok faktörün (sıcaklık, ampermetre ve voltmetrenin iç dirençleri, elektriksel gürültü, güç kaynağı kararsızlığı vb.) etkisinden kaynaklanıyorsa, hataları toplarken formülü kullanmak daha iyidir. (12) Doğrudan ölçümlerin hatası esas olarak güç kaynağının iç direncindeki rastgele bir değişiklikten kaynaklanıyorsa, formül (13)'ü uygulamak daha iyidir.
İlişkiler (9-12), dolaylı ölçümleri işlemek için iki algoritmanın kullanılmasına izin verir. Bunlardan birinde kısmi türevler için analitik ifadeler bulmak gerekir, diğerinde sadece sayısal yöntemler kullanılır. Ek 3, uygulamada sıklıkla karşılaşılan bazı fonksiyonel ilişkiler için ilk yoldaki hatayı hesaplamak için formüller içermektedir.
Dolaylı ölçümleri işlemek için algoritma
Ölçülen miktarın bilinen bağımlılığına göre
doğrudan ölçümler kullanarak, hesaplayın
fonksiyonun gerçek değeri - formül (9)
Hata bileşenlerini şu şekilde hesaplayın:
veya
tüm argümanlara göre kısmi türevleri bulun
ve hatanın bileşenlerini hesaplayın - formül (11)
Bir fonksiyonun toplam hatasını hesaplayın - formül (12)
Yuvarlamadan sonra, işlem ölçümlerinin sonucu
; 
; ?
Sık ölçülen miktar p işlevsel bir bağımlılık parametresidir y=f(x,p) miktarları x ve y Tek gözlemlerle yapılan bir dizi doğrudan ölçümün sonucu olarak bulunanlar. Bu durumda, dolaylı ölçümlerin hatasının rastgele bileşeni 
işleme ile belirlenir hesaplanmış değerler 
işleme yöntemine göre doğrudan ölçümler(burada m=1..M, burada M değerlerin tekli gözlemlerinin sayısıdır
x ve y).
Kural olarak, fonksiyonun dolaylı ölçümlerinin hatası, daha fazla hata argümanlarının doğrudan ölçümleri. Ancak bazı özel durumlarda bu kural ihlal edilebilir. Salınım periyodunu ölçme örneğini kullanarak böyle özel bir durumu ele alalım.
Örnek. izin ver doğrudan ölçüm bir kronometre kullanarak salınım periyodu T=2.0±0.2 s değerini aldı. Aynı kronometre ile süre, N=100 salınımın gerçekleştiği t=200±0.2 s süresi sabitlenerek dolaylı olarak ölçülebilir. O zaman T=t/N periyodu, yani. T=2.000±0,002 sn. Ölçümden bahsettiğimiz için bu durumda toplam ölçüm hatasının araçsal hatadan daha az olduğunu söylemek yanlış olur. farklı boyutlar yani: zamanın doğrudan ölçümü ve dönemin dolaylı ölçümü. İkinci tip ölçüm, araçsal hata ile doğrudan ilgili değildir.
4. YAKLAŞIK SAYILARIN YUVARLAMASI.
önemsiz baştaki sıfırlar bir sayının rakamlarıdır ondalık kesirler, 1'den küçük ve sayının sonundaki sıfırlar, yuvarlamadan sonra atılan rakamların yerini alır. Kalan sayılar denir anlamlı.
şüpheli rakamölçüm sonucu, hata değerinde anlamlı bir rakamla en anlamlı basamağa karşılık gelen rakamdaki rakamdır. Şüpheli sayının solundaki sayılara denir. sadık, ve sağda - vefasız.
Örnekler.
Sayılar 536±6; 0,00234±0,0002; 1,00±0,03; 2000±30 üç anlamlı basamak içerir. 299793±1 sayısı 3·10 5 değerine yuvarlanırken 207'lik bir hataya izin verildi, bu nedenle ortaya çıkan sayıda yüzlerce şüpheli bir rakamdır ve bu nedenle son iki sıfır önemsizdir.
Hata genellikle tek bir anlamlı şekilde ve yalnızca özellikle kritik ölçümlerde - iki olarak ifade edilir.
Yuvarlama hatası ve gerçek değer .
Hata anlamlı bir rakama yuvarlanır. Bu rakam şüpheli. hata değeri doğru sayılara sahip değil .
Gerçek değer basamağı, hatanın önemli rakamının basamağına eşit olan en yakın basamağa yuvarlanır. Gerçek değerin son basamağı şüpheli, sayıların geri kalanı doğrudur.
Özellikle doğru ölçümler için, ilk rakam 4'ten küçükse hata iki anlamlı basamağa ve ilk rakam 3'ten büyükse bir rakama yuvarlanır. Bazen ikinci rakam olarak 0 veya 5 bırakılır.
Alet ölçeğinden okunan kayıt numaraları .
Cihazın ölçeğinden okunan ölçülen değerin sayısal değerinde, yalnızca doğru sayılar ve şüpheli bir rakam kaydedilir, basamağı cihazın enstrümantal hatasının değeri ile belirlenir.
Yuvarlama sayıları.
Tam sayılar için fazladan basamaklar sıfırlarla değiştirilir ve ondalık kesirler atılır. Sıfırla değiştirilecek veya atılacak en önemli basamak 5'ten küçükse, kalan basamaklar değiştirilmez. Belirtilen rakam 5'ten büyükse, kalan son rakam 1 artırılır. Sıfır ile değiştirilecek veya atılacak rakam 5 ise, yuvarlama şu şekilde yapılır: son rakam yuvarlanan sayıda çift ise değişmez, tek ise 1 artar.
Hesaplarda yuvarlama.
Ara hesaplamaların sonuçlarını kaydederken, bir yedek basamak kaydedilir - şüpheli olanın sağındaki basamak. Yaklaşık sayıları toplama ve çıkarma işleminde, sonucun şüpheli basamağının basamağı, terimlerin şüpheli basamaklarının basamaklarının en büyüğü ile çakışır. Çarpma ve bölmenin sonucu, en az sayıda anlamlı basamak içeren orijinal verilerde olduğu kadar çok sayıda anlamlı basamak içerir. Bir güce yükseltildiğinde
yaklaşık bir sayının (kökünün çıkarılması) sonucu, tabanda olduğu kadar çok anlamlı basamağa sahip olmalıdır (radikal ifade). Bir logaritma alırken, mantis, orijinal sayıda olduğu kadar çok sayıda anlamlı basamak saklar. İşlenenlerden biri tam bir sayıysa, basamaklarının sayısı işlemin sonucunun yuvarlanmasını etkilemez. Hesaplamalarda tablo verileri kullanılıyorsa, tüm sayıları doğrudur.
ikinci dereceden toplama
İkinci dereceden toplamda, sayılardan biri diğerinden 3 veya daha fazla kez küçükse, ihmal edilebilir.
Ölçüm sonuçlarının yuvarlanmasına ilişkin örnekler verelim.
| Yuvarlamadan önce kaydedin | Yuvarlamadan sonra kayıt |
| 123357±678 A/m. | 123400±700 A/m. |
| 123357±678 V. | 123.4±0.7 kV. |
| 237.46±0.13 mm | 237,5±0,1 mm. |
| 0.00283±0.00034 kg. | (2.8±0.3)10-3 kg. |
| 1.045±0.000003 sn. | 1.045000±0.000003 sn. |
| 359623±307 sn. | (359,6±0,3)10 3 sn. |
| 0.000000047±0.0000000098 m. | 50±10 nm. |
| 67,8910 -7 ±49,310 -8 A | 6,8±0,5 µA. |
| 589±0.69 N. | 589.0±0.7 N. |
| 589±0.078 K. | 589.00±0.08 H. |
5. ÖLÇÜM SONUÇLARININ İŞLENMESİ ÖRNEKLERİ
Örnek 5.1. Doğrudan ölçümlerin işlenmesi.
Voltmetre 10 okuma voltajı U olarak ölçtü elektrik devresi. Doğruluk sınıfı K=2,5 olan voltmetrenin maksimum skala değeri A=200 V'tur. Ölçüm sonuçları tabloda sunulmaktadır. Gerilim tahmininin %98 güvenilirliğini sağlayarak ölçüm sonuçlarını işleyin.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| U, V | 145 | 140 | 145 | 105 | 130 | 150 | 150 | 155 | 175 | 160 |
Enstrümantal hatayı hesaplıyoruz
Belirli bir güven düzeyi için?=98% ve okuma sayısı N=10 için t 98;10 =2 katsayısını belirleriz (Ek 1).
Ortalama değeri hesaplayın
Okumaların standart sapmasını hesaplıyoruz
Kayıplar için okumaları kontrol edin.
Anormal sayı 4 numaralı sayıdır. Ortalama değerden normalleştirilmiş U 4 sapmasını hesaplıyoruz
Ek 3'e göre, alınan okumanın eksik sayılamayacağı deney sayısı 17'dir. Bu sayı N=10'dan büyüktür. Bu nedenle, U=105 V okuması bir kayıptır ve işlenmiş seriden çıkarılmalıdır.
Yeni voltaj okumaları serisi (N=9, t 98;9 = 2.9)
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| U, V | 145 | 140 | 145 | 130 | 150 | 150 | 155 | 175 | 160 |
Yeni ortalamayı hesaplayın
Standart sapmayı hesaplayın
Hatanın rastgele bileşenini hesaplıyoruz
Toplam hatayı hesaplayın
mutlak
Akraba
Yuvarlamadan sonra voltaj ölçüm sonucu şu şekilde yazılır:
U=(150±10)B, ?=7%, ?=98%
Örnek 5.2. Doğrudan ölçümlerin sonuçlarının birleştirilmesi.
Aynı iletkenin direnci üç farklı koşulda ölçülmüştür. Ölçüm sonuçları şu şekilde sunulur:
R 1 \u003d (11 ± 2) Ohm.
R 2 \u003d (12 ± 2) Ohm.
R 3 \u003d (10 ± 3) Ohm.
Bu ölçümlerin birleştirilmesi gerekir.
Her ölçümün istatistiksel ağırlığını (katkısını) bulun
1/ohm 2,
1/ohm 2,
1/ohm 2,
Yeni bir direnç tahmini bulma
Yeni bir hata tahmini bulma
Eklem Direnci Değerlendirmesi Sonucu
R=(11±1) Ohm.
Örnek 5.3.
Doğrudan ölçümler, bir malzeme noktasının çevresi etrafında düzgün dönüşün kütle m, yarıçap R ve doğrusal hız v değerlerini bulmuştur. Maddi bir noktaya etki eden merkezkaç kuvveti F'nin değerini tahmin etmek gerekir.
M=(310±6) g, R=(104±5) mm, v=(30±1) m/s 
Dolaylı ölçümlerin hatasını hesaplamak için üç yöntem düşünün
Argümanlarına göre ölçülen niceliğin türevlerinin hesaplanmasını kullanan bir algoritma.
kN.
Kısmi türevleri buluyoruz ve argümanların ortalama değerleri için değerlerini hesaplıyoruz.
Her argümandan hatanın bileşenlerini hesaplıyoruz
H 
H
H
Toplam hatayı hesaplıyoruz
Akraba
Argümanlarıyla ölçülen değer artışlarının hesaplanmasını kullanan bir algoritma.
Kuvvetin ortalama değerini hesaplıyoruz
Bir fonksiyonun artışlarını argümanlarına göre hesaplıyoruz
Toplam hatayı hesaplıyoruz
Akraba
Yuvarlamadan sonra dolaylı ölçümlerin sonucunu yazarız
Mutlak hata değerlerinin eklenmesini kullanan algoritma
Kuvvetin ortalama değerini hesaplıyoruz
Argümanların göreceli hatalarını hesaplıyoruz
Ek 2'deki formüllere göre fonksiyonun bağıl hatasını hesaplıyoruz.
Fonksiyonun mutlak hatasını hesaplıyoruz
Yuvarlamadan sonra dolaylı ölçümlerin sonucunu yazarız
Örnek 5.4. Dolaylı ölçümlerin sonuçlarının işlenmesi.
Bu örnekte, iki algoritma kullanarak dolaylı ölçümlerin hatalarını hesaplamanın karmaşıklığını karşılaştırıyoruz. Ölçülen niceliğin argümanlara karmaşık bir işlevsel bağımlılığı durumunu düşünün.
Bir seri salınım devresinin elemanlarının değerlerinin doğrudan ölçümlerle bulunmasına izin verin. Aktif direnç R=(10±1) Ohm. Endüktans L=(30.0±1.5) mH. Kapasiteler C=(100±2) uF. Zorlanmış salınımlar devrede ?=1000 rad/s frekansında uyarılır. EMF kaynağının genliği? = 10 V. Akım genliği ile devre elemanlarının parametreleri arasındaki ilişki, ilişki ile belirlenir:
EMF genliği? ve frekans? büyük bir doğrulukla ölçülür ve sabitler olarak kabul edilebilir.
Argümanlarıyla ölçülen değer artışlarının hesaplanmasını kullanan bir algoritma
Fonksiyon artışlarını hesapla
Toplam hatayı hesaplıyoruz
Akraba
Yuvarlamadan sonra dolaylı ölçümlerin sonucunu yazarız
Argümanlarına göre ölçülen miktarın türevlerinin hesaplanmasını kullanan bir algoritma
Akımın ortalama değerini hesaplıyoruz
Fonksiyonların türevlerini hesaplıyoruz
Argümanların ortalama değerlerinden türevlerin değerlerini hesaplayın
Fonksiyonların hata bileşenlerini hesaplıyoruz
Toplam hatayı hesaplıyoruz
Akraba
Yuvarlamadan sonra dolaylı ölçümlerin sonucunu yazarız
Örnek 5.5. Dolaylı ölçümlerin sonuçlarının işlenmesi.
Bu örnekte, argümanların hatalarının istatistiksel ilişkisinin, işlevlerinin dolaylı ölçümlerinin sonucu üzerindeki etkisini ele alacağız.
Bir miktar dahili dirence sahip bir DC EMF kaynağı, eşleşen bir güçle yüklenir. aktif yük(Maksimum güç serbest bırakılırsa yüke eşleştirilmiş denir, bu durumda yük direnci EMF kaynağının iç direncine eşittir).
Doğrudan ölçümler, yükte N=10 akım I ve voltaj U değerini buldu. Akımın enstrümantal ölçüm hatası ∆I a =0,005 A, voltaj - ∆U a =0,05 V. Akım ve voltaj tahminlerinin güvenilirliği %95 olmalıdır. Dolaylı ölçümler kullanarak kaynaktan tüketilen güç P'yi belirlemek gerekir. Joule-Lenz yasasına göre 
.
Akım ve voltajın ölçülen değerlerindeki saçılmanın ana nedeninin, kaynağın kararsızlığı olduğu ve EMF'sinde ve iç direncinde rastgele değişikliklere yol açtığı bilinmektedir. Bu nedenle, yükteki akım ve voltajdaki değişiklikler, aynı nedenden dolayı üretildikleri için istatistiksel olarak ilişkili (ilişkili) olacaktır. Bu durumda akım ve gerilim hatalarının toplamı ikinci dereceden değil, mutlak olarak yapılmalıdır.
Güç hesaplamalarının sırasını düşünün.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| ben, bir | 0.265 | 0.255 | 0.225 | 0.245 | 0.235 | 0.210 | 0.260 | 0.240 | 0.210 | 0.215 |
| U, V | 6.55 | 6.40 | 5.60 | 6.20 | 5.95 | 5.20 | 6.55 | 6.00 | 5.30 | 5.40 |
Belirli bir güven olasılığı? = %95 ve okuma sayısı N = 10 için, güven faktörü t 95; 10 = 2,3 olarak belirlenir (Ek 1.)
Akım ve voltajın ortalama değerini hesaplıyoruz
Ek 4'e göre, N=10 için yük üzerindeki akım ve voltajın ilişkisiz olma olasılığı sıfırdır. Bu nedenle, deneysel veriler akım ve gerilim hatası arasında bir ilişki olduğunu gösterir.
Akım ve voltaj hatalarının rastgele bileşenini hesaplıyoruz
,
,
Toplam hatayı hesaplıyoruz
Akraba
Yuvarlamadan sonra akım ve gerilim ölçüm sonuçlarını elde ederiz.
U=(5,9±0,4) B, ? U=%6, ?=%95
Güç ölçümünün bağıl hatasını hesaplıyoruz
Güç ölçümünün mutlak hatasını hesaplıyoruz
Kuadratik hataların toplamında, doğrudan ölçümlerin okumaları arasındaki korelasyon dikkate alınmaz. Bu, dolaylı ölçümlerin güvenilirliğinde bir azalmaya eşdeğer olan dolaylı ölçümlerin hatasının hafife alınmasına yol açabilir. Bazen hata azaltma öyle bir değere ulaşabilir ki güven aralığı gerçek değeri kapsamaz. Bu durumda, akım ve voltajın ölçülmesindeki hataların ikinci dereceden toplamı ile şunu elde ederiz:
P=(1.4±0.1) W, ?P=%7
Ele alınan problemde, gücün gerçek değeri
Karşılaştırma için, aynı ölçüm görevini ele alalım, ancak akım ve voltaj okumalarının yayılmasının çok sayıda baskın olmayan faktörden kaynaklandığı koşullar altında. Bu durumda, akım ve gerilim okumalarındaki hatalar istatistiksel olarak ilişkili değildir.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| ben, bir | 0.290 | 0.285 | 0.285 | 0.275 | 0.190 | 0.245 | 0.220 | 0.275 | 0.230 | 0.210 |
| U, V | 6.55 | 6.40 | 5.60 | 6.20 | 5.95 | 5.20 | 6.55 | 6.00 | 5.30 | 5.30 |
Belirli bir güven olasılığı?=%95 ve okuma sayısı N=10 için, güven faktörü t 95;10 =2.3 olarak belirlenir. Akım ve voltajın ortalama değerini hesaplıyoruz
Akım ve voltajın standart sapmasını hesaplıyoruz
Akım ve voltajın korelasyon katsayısını hesaplıyoruz
Ek 4'e göre belirli bir ölçüm sayısı ile yükteki akım ve gerilim hatalarının birbiriyle ilişkili olmama olasılığı %78'dir. Bu nedenle deneysel veriler, akım ve gerilim hataları arasında bir bağlantı olmadığını göstermektedir.
Hataları kontrol etme
Bu sonucun kayıp sayılamayacağı deney sayısı 14'tür (Ek 3). Bu sayı N=10'dan büyüktür. Bu nedenle, U 9 =8.2 V okuması bir kayıptır ve işlenen satırdan çıkarılmalıdır. Yeni satırda N=9 sayı ve t 95;9 =2.3 bulunur.
Yeni ortalamayı ve standart sapmayı hesaplayın
Hatanın rastgele bileşenini hesaplıyoruz
S sen >
=
0.76B ?
sen =
0.18B
?Ben= 0.03 A ?U= 0.4B
Toplam mutlak ve bağıl hataları hesaplıyoruz
? ben = 12%, ? sen = 7%.
Akım ve voltajın doğrudan ölçümlerinin sonucu
U=(5.7±0.4) B, ?=%7, ?=%95
Ortalama güç değerini hesaplıyoruz
= 1.43 W
Akım ve gerilim ölçüm hatalarının ikinci dereceden toplamı ile mutlak ve bağıl güç ölçüm hatalarını hesaplayın
Dolaylı güç ölçümlerinin sonucu
Argümanlar arasında bir korelasyon yoksa, hatalarının mutlak değerle toplamı, fonksiyonun dolaylı ölçümlerinin hatasının fazla tahmin edilmesine ve güven aralığının genişlemesine, yani. Ölçümlerin güvenilirliğini artırmak için. Hatanın bu şekilde fazla tahmin edilmesi kabul edilebilir. Bu durumda
?P=?I+?U= 12+7=19%.
?P=
P=1,4 0,19=0,3 W.
8.1.1 Ölçüm türleri (doğrudan, dolaylı, toplam, birleşik)
Ölçmenin amacı, ölçülen miktarın birimine oranını bulmak ve bu miktarın değerini elde etmektir. Ölçülen miktarın değerini elde etme yöntemine göre, ölçümler doğrudan, dolaylı, kümülatif ve birleşik olarak ayrılır.
Doğrudan ölçüm, fiziksel bir niceliğin istenen değerinin doğrudan deneysel verilerden elde edildiği bir ölçümdür.
Dolaylı ölçümler, aranan değerle işlevsel olarak ilişkili olan diğer fiziksel niceliklerin doğrudan ölçümlerinin sonuçlarına dayalı olarak bir fiziksel niceliğin istenen değerinin belirlenmesidir.
Agrega ölçümleri, aynı adı taşıyan birkaç niceliğin eşzamanlı ölçümleridir, bu niceliklerin çeşitli kombinasyonlarda ölçülmesiyle elde edilen bir denklem sistemi çözülerek niceliklerin istenen değerleri belirlenir.
Ortak ölçümler, aralarındaki ilişkiyi belirlemek için iki veya daha fazla farklı niceliğin eşzamanlı ölçümleridir.
Deneysel verilerden elde edilen ölçüm sonuçlarının istatistiksel olarak işlenmesinden önce:
a) bilinen sistematik hatalar hariç tutulur;
b) Büyük hatalar ve gaflar kontrol edilir ve hariç tutulur.
Ölçüm sonuçlarının istatistiksel olarak işlenmesi için genel prosedür:
a) ölçütlerden birine göre ampirik dağılımın normal yasaya tekabül ettiği hipotezini test etmek;
b) ölçüm sonuçlarının sayısal özelliklerinin belirlenmesi - ortalama aritmetik değer, dağılım veya standart sapma;
c) ölçüm sonucunun ortalama değerinin standart sapmasının ve ölçüm hatasının rastgele bileşeninin güven sınırlarının belirlenmesi;
*d) hariç tutulmayan sistematik hataların (NSP) sınırlarının ve bunların ölçüm sonucu üzerindeki etkilerinin belirlenmesi;
e) ölçüm sonucunun güven aralığının hesaplanması.
Doğrudan ölçümler için tek tek noktalar için hesaplama yapma prosedürü önceki bölümlerde ele alınmıştır (3,4,7). Diğer ölçüm türlerinin sonuçları için istatistiksel işlemenin özellikleri vardır.
Dolaylı ölçümlerin sonuçlarını işlemek için algoritmalar, argümanların ölçüm hatalarının karşılıklı etkisine (korelasyonuna) ve ölçülen değer ile argümanları arasındaki fonksiyonel ilişkinin türüne bağlı olarak kurulur.
Aşağıdaki koşul karşılanırsa, bağımsız değişkenlerin ölçüm hataları arasında bir korelasyon vardır:
burada n, her bir argümanın boyut sayısıdır;
t P - Güven olasılığı P ve serbestlik derecesi sayısı f = n - 2 için Student katsayısı;
r korelasyon katsayısıdır:
,
(8.2)
burada a hi , a ki sırasıyla h-th ve j-th olmak üzere i-inci ölçümün sonuçlarıdır. argüman
* (d) noktası, özellikle NSP'nin sınırlarını belirlemenin mümkün olduğu durumlarda gerçekleştirilir.
ölçülen argümanların ortalama değerleridir.
Argümanların ölçüm hatalarının bir korelasyonunu ve normal dağılımını kurarken, istatistiksel işlemenin sırası, ölçülen değerin argümanlarına fonksiyonel bağımlılığının türüne göre belirlenir.
Formun doğrusal bir işlevsel bağımlılığı ile
, (8.3)
burada b j, a j -inci argümanın katsayısıdır,
Ortalama ölçülen değerin RMS'si aşağıdaki formülle belirlenir:
, (8.4)
nerede 
– j'inci argüman için ortalamanın RMSD'si:
Doğrusal olmayan bir işlevsel bağımlılıkla: Ortalama ölçülen değerin RMS'si aşağıdaki formülle belirlenir:
,
(8.6)
nerede 
- fonksiyonel bağımlılığın birinci kısmi türevi 
a j -th bağımsız değişkeninin bağımsız değişkenlerinden ölçülen miktarın.
Doğrusal olmayan bir bağımlılığı doğrusallaştırırken, Taylor genişleme serisinin yuvarlanmasından metodik bir NSP ortaya çıkar - R:
nerede 
fonksiyonel bağımlılığın toplam ikinci dereceden diferansiyeli.
Metodolojik hata R, aşağıdaki durumlarda ihmal edilebilir:
. (8.8)
Aksi takdirde, nihai ölçüm sonucunda R dikkate alınmalıdır.
Korelasyon yokluğunda, deneysel verilerin dağılım tipi ve fonksiyonel bağımlılık ne olursa olsun, indirgeme yöntemi kullanılır:
Ölçülen miktarın mevcut değerleri hesaplanır:
(8.9)
nerede 
j-inci bağımsız değişkenin –i-th değeri.
Ortalama ölçülen değerin bir tahmini hesaplanır:
Ortalama ölçülen değerin tahmininin standart sapması hesaplanır:
.
(8.11)
Dolaylı ölçümlerin nihai sonucu bir güven aralığı şeklinde sunulur:
nerede 
- Belirli bir güven olasılığı Р için öğrenci katsayısı.
Kümülatif ve ortak ölçümlerin sonuçları, aşağıdaki formun bir denklem sisteminden elde edilir:
ölçümler sırasında elde edilen değerler nerede;
istenen değerlerdir.
Ölçüm sonuçlarının doğruluğunu artırmak için sistemin bilinmeyen sayısından daha fazla denklemi olması gerekir.
Koşullu denklemlerin ilk sistemi, aşağıdaki formun normal denklem sistemine indirgenir:
*nerede 
,
vb.
Sistemin (8.14) çözümü, bilinmeyen niceliklerin tahminleridir. 
. Bu değerleri koşullu denklemlerde yerine koyarak, artık hataları belirleyin 
ben , sözde "artıklar". Artıklar, bu büyüklüklerin güven aralıklarının hesaplandığı temel alınarak gerekli miktarların ölçüm hatalarını belirler.
* Ortak ölçümler yapılırken, kümülatif ölçümler durumunda, ölçülen değerlerin çeşitli kombinasyonları nedeniyle koşullu denklemler eşittir, denklemler eşit değildir ve ek bir özellik eklenir - ağırlık:
.
(8.15)
Tüm a, b, c, l miktarları katsayı ile çarpılır.
İyi çalışmalarınızı bilgi tabanına gönderin basittir. Aşağıdaki formu kullanın
Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri, genç bilim adamları size çok minnettar olacaktır.
http://www.allbest.ru/ adresinde barındırılmaktadır.
DERS ÇALIŞMASI
konuyla ilgili: "Fiziksel büyüklüklerin ölçüm hataları"
1. Ölçüm hataları
2. Doğrudan ölçümlerde doğrudan ölçülen miktarlardaki hataların tahmini
3. Dolaylı ölçümlerde hatanın değerlendirilmesi
4. Sonucun son kaydı
5. Grafik gösterimiölçüm sonuçları
7. Hata teorisinin unsurları. RMS hataları
Edebiyat
1. Ölçüm hataları
Hiçbir ölçüm kesinlikle doğru olamaz. Herhangi bir değeri ölçerek, her zaman bir hata (hata) ile bir sonuç elde ederiz. Başka bir deyişle, bir miktarın ölçülen değeri her zaman gerçek değerinden farklıdır. Deneycinin görevi sadece değerin kendisini bulmak değil, aynı zamanda ölçümde yapılan hatayı da değerlendirmektir. Oluşma özelliklerine ve nedenlerine bağlı olarak, sistematik ve rastgele hatalar ve özlüyor.
Aynı yöntemle aynı ölçüm aletleri kullanılarak tekrarlanan ölçümlerle sabit kalan hatalara sistematik denir.
Sistematik hatalar, aynı ölçümler birçok kez tekrarlandığında aynı şekilde hareket eden faktörlerden kaynaklanır. Ölçülen değerin gerçek değerden sapmasına karşılık gelirler, her zaman bir yönde - yukarı veya aşağı.
Sistematik hatalara, öncelikle, kullanılan aletlerin arızalanması veya yanlış çalıştırılması (örneğin, yanlış “sıfır” ayarı) neden olabilir. İkinci olarak, bunların nedeni, kullanılan ölçüm tekniğinin kusurlu olması veya incelenen fenomeni etkileyen sabit faktörlerin hesaba katılmaması olabilir. Örneğin, yüksek dış basınçta ölçümler yapılırsa, kristal erime sıcaklığının fazla tahmin edilen değerlerini elde etmek mümkündür.
Ölçüm işlemi sırasında ortaya çıkan hatalara ek olarak, yaklaşık (“basitleştirilmiş”) formüllerin kullanımı ile sistematik hatalar ve gerçek nesne ile kabul edilen model arasındaki farktan kaynaklanan hatalar ile ilişkilendirilir. Bu nedenle, örneğin yoğunluk belirlenirken, incelenen numune homojen değilse ve içinde boşluklar varsa, büyük bir sistematik hata oluşabilir.
Nedenleri belirledikten sonra, uygun bir düzeltme yapılarak sistematik hata ortadan kaldırılabilir. Sistematik bir hatayı tespit etmek ve nedenini belirlemek her zaman kolay değildir ve deneyi yapanın genellikle ek çalışmalar yapması gerekir. Fiziksel atölyenin görevlerinde olduğu varsayılmaktadır. sistematik hatalar sorunu ayarlarken en aza indirilir ve göz ardı edilebilirler.
Rastgele hatalar, aynı koşullar altında tekrarlanan ölçümlerle öngörülemeyen bir şekilde değişen hatalardır.
Rastgele hatalara birçok kontrol edilemeyen nedenler, etkisi her deneyde aynı değildir. Sonuç olarak, aynı koşullar altında aynı miktarı arka arkaya birkaç kez ölçerken, bu miktarın, hem yukarı hem de aşağı doğru rastgele gerçek değerden farklı olan bir dizi değer elde edilir.
Rastgele hataların doğası farklı olabilir: ölçüm cihazının göstergesinin sıfır konumunda dalgalanmalar; deneycinin duyularının kusurlu olması (örneğin, kronometreyi tam olarak doğru zamanda açamama); dış etkilerde rastgele kontrolsüz değişiklikler - sıcaklık, nem, basınç; dikkate alınması neredeyse imkansız olan elektrik devresindeki vb. alıcılar.
Rastgele hatalar bir deneyde her zaman mevcuttur.
Rastgele değişkenlerin davranışı, olasılık teorisinin konusu olan istatistiksel düzenliliklerle tanımlanır. Bir i olayının w i olasılığının istatistiksel tanımı, orandır.
nerede n- toplam deney sayısı, n i- olayın gerçekleştiği deneylerin sayısı i olmuş. Bu durumda, toplam deney sayısı çok büyük olmalıdır ( n--®Ґ). saat büyük sayılarölçümler, rastgele hatalar, ana özellikleri aşağıdaki olan normal bir dağılımı (Gauss dağılımını) takip eder:
1. Ölçülen değerin değerinin gerçek değerden sapması ne kadar büyük olursa, böyle bir sonucun olasılığı o kadar az olur.
2. Gerçek değerden her iki yönde sapmalar eşit derecede olasıdır.
Aşağıda verilen rasgele hataları hesaplama tarifleri, rasgele değişkenler için Gauss dağılımıyla olasılık teorisinin matematiksel aygıtına dayanmaktadır. Küçük (n = 310) ölçüm sayısı olan atölye koşullarında bu hesaplamaların her zaman tahmin edildiğini bilmelisiniz.
Enstrümantal hata, herhangi bir enstrümanın okumaları ile ölçülen miktarın gerçek değeri arasındaki farktır. Rastgele ve sistematik bileşenler içerebilir.
Kayıplar (veya büyük hatalar) genellikle, bireysel bir ölçümün sonucunun diğerlerinden keskin bir şekilde sapması ile kendini gösterir. Kayıplar esas olarak deneycinin yetersiz dikkatinden veya ölçüm cihazlarının arızalarından kaynaklanmaktadır. Bu tür ölçümlerin sonuçları atılır.
2. Doğrudan ölçümlerde doğrudan ölçülen miktarlardaki hataların tahmini
a) Rastgele hatalar. Temel konseptler.
Bazı rasgele değişken a'nın aynı koşullar altında n kez ölçülmesine izin verin. Ölçüm sonuçları bir dizi n farklı sayı verdi
Miktarın en olası değeri için ve genellikle ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalamasını alın
Nasıl daha fazla sayıölçümler, ortalama değer gerçek değere ne kadar yakınsa.
i. ölçümün mutlak hatası değerdir.
Mutlak hata boyutsal bir değerdir. Mutlak hataların n değerleri arasında hem pozitif hem de negatif olanlarla mutlaka karşılaşılır.
i. ölçümün bağıl hatası, değerdir.
fiziksel miktar hata güven aralığı
Göreceli hata boyutsuz bir niceliktir. Genellikle göreli hata yüzde olarak ifade edilir, bunun için e i%100 ile çarp. Göreceli hatanın değeri, ölçüm doğruluğunu karakterize eder.
Ortalama mutlak hata şu şekilde tanımlanır:
Toplamanın gerekliliğini vurguluyoruz mutlak değerler(modüller) miktarlar -- D a i. Aksi takdirde, aynı sıfır sonucu elde edilecektir.
Ortalama bağıl hata değerdir
Çok sayıda ölçüm ile.
b) Güven aralığı ve güven düzeyi.
Ölçüm sonuçlarını işleme görevi, ölçülen değerin gerçek değerini içeren aralığın sınırlarını belirlemektir. Bu aralık, gerçeğin en iyi tahmini olarak alınan aritmetik ortalamasına göre belirlenir.
Herhangi bir miktarın ölçüm sonucunun aşağıdaki kayıt şekli kabul edilir. a:
a = (b aİle birlikte -- ± -- D a) birimler ölçümler ( e%),
D nerede a- bir şekilde belirlenen bu aralığın sınırı.
Olasılık teorisi, bilinen bir w olasılığı ile, bireysel ölçümlerin sonuçlarının bulunduğu aralığın boyutunu belirlemeyi mümkün kılar. Bu olasılık denir güven seviyesi, ve karşılık gelen aralığa güven aralığı denir.
Ölçüm sayısı n yeterince büyükse, güven olasılığı, ölçülen değerin güven aralığı içinde olduğu ölçümlerin toplam sayısının n oranını ifade eder. Her güven olasılığı w, kendi güven aralığına karşılık gelir.
Örneğin, sayısal eksende, sonuçları noktalarla belirtiriz. n= 10 koşullu ölçüm. Ortalama etrafında kümelenirler b aİle birlikte.
10 üzerinden 5 deneysel değerin bulunduğu güven aralığını parantez içinde belirtiyoruz, yani. güven olasılığı w 1 %50. Köşeli parantezler w 2 %80 olasılığı için güven aralığına karşılık gelir. Güven aralığı ne kadar genişse, o aralıkta sonuç alma olasılığı o kadar yüksektir. Olasılık teorisinde, güven aralığının değeri, güven olasılığı ve ölçüm sayısı arasında nicel bir ilişki kurulur.
Güven aralığı olarak ortalama hataya karşılık gelen aralığı seçersek, yani D bir = bD a s, daha sonra yeterince büyük sayıda ölçüm için güven düzeyine karşılık gelir w%60. Ölçüm sayısındaki azalma ile, böyle bir güven aralığına karşılık gelen güven olasılığı (b aİle birlikte -- ± --bD a c) azalır.
Böylece güven aralığını tahmin etmek için rastgele değişken ortalama hatayı kullanabilirsiniz -- bD aİle birlikte . Son paragrafta titiz bir güven aralıkları teorisi verilmiştir.
c) Enstrümantal hata.
Enstrümantal hata, enstrümanın pasaport özelliğidir. Bu tipteki tüm cihaz seti için, incelenen partinin cihazlarının okumalarının referans cihazın okumalarıyla (kalibrasyonla) karşılaştırılmasıyla belirlenir. Elde edilen değerlerin en büyüğü aletsel hatanın değeri olarak alınır.
Ayrı bir cihazla çalışırken, enstrümantal hatanın spesifik değeri bilinmemektedir, ancak cihazın pasaport verilerinde belirtilen bilinen sınırlar içindedir.
İşaretçi elektrikli ölçüm aletleri için hata, doğruluk sınıfına göre belirlenir. Çoğu aletin doğruluk sınıfı, üst ölçek limitinin değerinin yüzdesi olarak ifade edilen, aletin mümkün olan maksimum bağıl hatasına eşittir. Böyle bir cihazın doğruluk sınıfının değeri, ölçeğinin yanında bir sayı şeklinde işaretlenmiştir (daire içine alınmamış veya yıldızla işaretlenmemiş!).
Doğruluk sınıfını belirtin e maksimum. Tanıma dayalı olarak,
D nerede x i varış . - mümkün olan maksimum mutlak araçsal hata i inci boyut, x maksimum- ölçüm cihazının ölçeğinin üst sınırının değeri.
Bu nedenle şu şekildedir:
ve i-inci ölçümün maksimum bağıl enstrümantal hatası formülle hesaplanır
Bu nedenle, örneğin, V max \u003d 300 V'a kadar voltajı ölçmek için tasarlanmış, doğruluk sınıfı 0,2 olan bir voltmetre için, üst ölçüm sınırındaki maksimum göreceli enstrümantal hata% 0,2'dir. Ve voltaj V = 50 V ölçülürken, maksimum bağıl hata %1,2'ye yükselir. Bu nedenle, sıfıra yakın ölçüm yapıldığında (skalanın ilk yarısında), ölçüm doğruluğu önemli ölçüde azalır. Ölçeğin ilk bölümündeki ölçümler istenmeyen bir durumdur.
Yukarıdaki formüllerle belirlenen aletsel hatalar, aletin olası maksimum hatasını temsil eder. Belirli bir ölçümün hatası daha küçük olabilir.
Doğruluk sınıfı belirtilmemişse, araçsal hata olarak ölçekteki en küçük bölümün fiyatının yarısı alınabilir. Genellikle bu değer doğruluk sınıfı ile uyumludur.
Dijital elektrikli ölçüm cihazlarının hatası genellikle cihazın pasaportunda belirtilir.
d) Rastgele ve araçsal hatalar dikkate alınarak güven aralığı.
Belirli bir değerin tek bir ölçümü ile rastgele bir hata belirlemek imkansızdır ve güven aralığının sınırı, araçsal hatanın değeri ile belirlenir.
Bu durumda, hataya yöntemin hatası denir.
Çoklu ölçümlerde güven aralığı limiti, rastgele hata ve aletlerin yarattığı hata dikkate alınarak belirlenir. Bu hataya deneysel hata denir.
Deneysel hatayı tahmin etmek için şu formül kullanılabilir:
(ayrıca bkz. sayfa 22).
Doğal olarak, terimlerden biri diğerinden çok daha büyükse, değerlendirmede belirleyici olacaktır. eğer çok sayıdaölçümlerde aletsel hata rastgele ölçüm hatasından çok daha büyüktür, kullanılan aleti daha doğru bir aletle değiştirmek gerekir. Enstrümantal hata rastgele hatadan çok daha azsa, sonucun doğruluğunu artırmak için ölçüm sayısı artırılabilir. Enstrümantal hata rastgele ölçüm hatasıyla karşılaştırılabilir ise, o zaman açıkçası ölçüm sayısını arttırmanın bir anlamı yoktur. Bu nedenle, ölçüm yapmadan önce enstrümantal hatanın değerlendirilmesi tavsiye edilir.
3. Dolaylı ölçümler için hata tahminiveben
Çoğu durumda, deneycinin ilgilendiği miktar doğrudan ölçülemez, ancak birkaç doğrudan ölçülebilir nicelik kullanılarak yapılan hesaplamalarla elde edilir. Bu tür ölçümlere dolaylı denir. İlgilendiğimiz miktar a, doğrudan ölçülen bir dizi nicelik x, y, z, .... hakkında bilgi gerektiren bir formülle hesaplansın:
a = f(x, y, z, ....).
Burada f (x, y, z, ....), hesaplama formülü ile belirlenen (henüz somutlaştırılmamış) bir fonksiyondur.
Ölçümlerde iki durum ortaya çıkabilir.
a) Sabit parametrelerle dolaylı ölçümler.
Fiziksel pratik görevlerin çoğunda, ölçüm işlemi sırasında gerçek değerleri sabit (sabit parametreler) olan x, y, z, .... nicelikleri tekrar tekrar ölçülür. Örneğin, bir maddenin yoğunluğu, aynı numunenin kütle ve lineer boyutlarının tekrarlanan ölçümleriyle belirlenir.
Bu durumda, miktarın ortalama değeri a ortalama değerlerin formülüne ikame edilerek elde edilir b xİle birlikte , -- b yİle birlikte , -- b zİle birlikte , .... ölçülmüş değerler:
ve nicelik hatalarını hesaplarken ve f fonksiyonunun tipine bağlı olarak mutlak veya bağıl hataların hesaplanmasıyla başlayın (x, y, z, ....).
AT Genel görünüm görev aşağıdaki gibidir. Miktarlar kümesinin bilinmesine izin verin x±D x, y±D y, z±D z... , nerede -- D x, D y, D z-önceki paragrafta açıklandığı gibi belirlenen doğrudan ölçüm hataları. Bir miktarın mutlak hatası nasıl belirlenir a? Doğrudan ölçüm hatalarının çoğu zaman ölçülen değerlerden çok daha az olduğunu ve bunların yüzde birkaçına veya daha azına tekabül ettiğini dikkate alıyoruz. Şunlar. pD x n«n x P , pD y n«n y P , pD z n«n z P ... Daha sonra resmi olarak hatayı ölçülen değerin küçük bir artışı olarak kabul edebiliriz, sembolleri değiştirin: D x dx, D ydy, D zdz, ... D ada- ve--D değerini bulmak için a diferansiyel hesabın matematiksel aygıtını kullanın--
Burada, genel türev alma kurallarına göre hesaplanan kısmi türevdir. Tanımlandığında, fonksiyonun diğer tüm argümanları f(Ayrıca x) sabit ve ortalama değerlerine eşit kabul edilmelidir. Terim, toplam hataya dahil edilen hataya karşılık geliyor mu? a sadece miktarları ölçmenin yanlışlığı x(diğer tüm miktarları varsayarsak: y, z, ....- hatasız ölçüldü). Diğer tüm terimler benzer bir anlama sahiptir. Böylece, miktarın mutlak hatasını tahmin etmek için a dolaylı ölçümlerle, formülle mümkündür
Değerin göreli hatasını hemen belirlemek için a, böl D aüzerinde a ve ifadenin uygun bir şekilde dönüştürülebileceğini dikkate alın.
Hesaplama formülü, ölçülen değerlerle birlikte tablo verileri veya referans sabitleri de içeriyorsa, değerin hatasını hesaplarken, a, onların hataları da dikkate alınmalıdır. Hataları özel olarak belirtilmemişse, genellikle ilk eksik hanede beş birimi geçmediği kabul edilir. Örneğin, serbest düşüşü hızlandırmak için:
g\u003d 9.8 m / s 2? D g\u003d 0,05 m / s 2,
g\u003d 9.81 m / s 2? D g\u003d 0,005 m / s 2.
Mutlak hata hesaplandıktan sonra sonucun bağıl hatası belirlenir.
Hesaplamalarda sıklıkla karşılaşılan bazı ölçülen değer kombinasyonlarının hatasını tahmin etmek için bir tablo.
Tablo 1.
Okuyucunun dikkatini bazı noktalara çekelim. önemli noktalar masada.
1. Rastgele ölçüm hatalarının eşit olasılıkla pozitif ve negatif olabileceğini dikkate alıyoruz. Bu nedenle ölçülen değerleri toplarken ve çıkarırken mutlak hatalar ekleyin.
2. İki niceliği çıkarırken, bağıl hata paydadaki iki nicelik arasındaki farkı içerir. Bu değerler yakınsa, farkın nispi hatası, her bir değerin nispi hatasını ayrı ayrı önemli ölçüde aşabilir. Doğruluk kaybını önlemek için, değere yakın miktarları çıkarmak gerektiğinde bu tür ölçüm ve hesaplamalardan kaçınılmalıdır.
3. Miktarları çarparken ve bölerken, göreceli hatalar eklenir.
Yani, hesaplama formülü bir tek terimli olduğunda ve toplamlar ve farklılıklar mevcutsa, o zaman ayrı faktörler şeklinde, önce mutlak değil, a değerinin göreceli hatasını hesaplamak daha kolaydır. Hesaplama formülü bir polinom şeklindeyse, mutlak hatanın hesaplanmasıyla başlamanız tavsiye edilir.
4. Üslü olduğunda n, öyle ki n n 1, göreli hata artar n Bayram
Örneğin, hesaplamadaki hatanın formülle hesaplanmasını düşünün.
Aşağıdaki şemaya göre yürütmek en uygunudur.
belirtmek
ve,
burada s 1 , s 2 , v 0 , t, a ölçülen değerlerin ortalama değerleridir.
O zamanlar
; ;
;
ve sonunda
.
b) Değişken parametrelerle dolaylı ölçümler.
Bazı problemlerde, aynı değeri a = f (x, y, z, ....) belirlerken, aynı parametreleri x, y, z, .... n kez ölçmek yerine, temelde farklı değerlerde n ölçüm (değişken parametreler) x 1 , x 2 , ... , x n x ve bunlara karşılık gelen y, z, ... değerleri. Örneğin, bir maddenin yoğunluğu, birkaç numunenin kütle ve lineer boyutlarının tekli ölçümleriyle belirlenir.
Bu durumda hesaplamalar aşağıdaki gibi yapılır. a değeri her deney için ayrı ayrı hesaplanır: a 1 \u003d a (x 1, y 1, z 1 ...), a 2 \u003d (x 2, y 2, z 2 ...) ... a n \u003d a ( x n , y n , z n ...) - ve doğrudan ölçümlerde olduğu gibi işlenir. Sonuç olarak, ortalama a değeri belirlenir:
ve karşılık gelen ortalama rastgele hata bD aİle birlikte.
Cihaz hatası D a varış ek olarak hesaplanır. Paragraf a)'da ele alınan yöntemle belirlemek için, değerin mutlak veya göreli hatası için bir formül türetilir. a. Bu formülde olarak D x, D y, D z, .... enstrümantal hataları ikame D x varış, D y varış, D z varış, ... , ancak x, y, z.... ikame değerler x i,y i, z i, .... deneylerden herhangi biri. Enstrümantal hatanın çok fazla tahmin edilen veya eksik tahmin edilen bir değerini elde etmemek için, ara (minimum değil) ile bir deney ve maksimum değil) parametre değerleri x i,y i, z i, ....
Deneyin toplam hatası, doğrudan ölçümler için şu şekilde tanımlanır:
.
4. Önihai sonuç kaydı
Ölçümleri işlerken hesaplamaların doğruluğu
Ölçümlerin işlenmesi sonucunda, doğruluğu yalnızca ölçüm işlemi sırasında yapılan hata ile belirlenen ölçülen miktarın her zaman yaklaşık bir değeri elde edilir ve hiçbir hesaplama bu doğruluğu iyileştiremez. Bu nedenle, anlamlı basamak sayısı açısından ölçüm işleminin nihai sonucu, ölçüm işleminde elde edilen doğruluğa karşılık gelmelidir.
Nihai sonucu sayısal olarak yazarken aşağıdaki kurallara uymayı kabul ediyoruz (ayrıca bkz. s. 21).
1. Hatada sadece ilk anlamlı rakam bırakılır. İlk anlamlı basamak bir ise, iki anlamlı basamak yazılmasına izin verilir ve kalanlar yuvarlama ile atılır.
2. Ölçülen değerin ortalama değeri, hata değerine göre yuvarlanır. Yuvarlama kuralları normaldir.
Evet, numara c= 4.862452±0.12465 yazılmalıdır:
c= 4,86±0,12,
ve sayı d= 242.87546±0.0094265 yazılmalıdır:
d= 242.875±0.009.
Sonucu kaydetme örnekleri:
v = (210±8) m/s (e = %4)
veya v = (2.10±0.08) . 10 2 m/s (e = %4) - standart form.
R = (49.8±0.3) . 10 3 ohm (e = %0,6)
R = (49,8±0,3) kOhm (e = %0,6)
R = (4,98±0,03) . 10 4 Ohm (e = %0,6) - standart form.
Unutulmamalıdır ki son rakamlardaki sıfırlar anlamlı rakamlardır. Dolayısıyla, 2.86 ve 2.86000 sayıları doğruluklarında eşdeğer değildir.
Hesaplamalarda dolaylı ölçümler yapıldığında, matematiksel işlemler farklı doğrulukla belirlenen yaklaşık sayıların üzerinde. Bu durumda aşağıdaki yuvarlama ve hesaplama kurallarına uyulur.
1. Yaklaşık sayıları toplarken ve çıkarırken, sonuç olarak, en az basamaklı sayının içerdiği kadar basamak kaydedilir.
2. Çarpma ve bölme yaparken, sonuç, en az anlamlı basamağa sahip sayının içerdiği sayıda anlamlı basamağı korur.
3. Bazı fonksiyonların değerlerinin hesaplanmasının sonucu
yaklaşık x sayısı, x'teki kadar anlamlı basamak içermelidir.
4. Ara hesaplamalarda, bir veya iki anlamlı rakamın daha kullanılmasına (“bir marjla”) izin verilir.
5. Ölçüm sonuçlarının grafiksel sunumu
Grafikler hazırlanırken aşağıdaki kurallara uyulmalıdır.
1. Grafik, sunulan düzenliliğin fiziksel içeriğinin açık olacağı bir yazı içermelidir.
2. Koordinat eksenleri boyunca ölçekler ve orijinler, bağımlılık görüntüsünün çizimi çizim alanının büyük bir bölümünü kaplayacak şekilde seçilir. Bu durumda, eksenlerin kesişme noktasında, miktarların sıfır değerlerinin olması gerekmez.
Bir ölçek seçerken, çizim doğruluğunun ölçüm doğruluğundan daha düşük olmaması gerektiği unutulmamalıdır.
3. Grafikle çalışmak için uygun olacak şekilde, koordinat eksenlerinde eşit ölçekli bölümler çizilir. Deneyde elde edilen değerler belirtilmemiştir.
4. Koordinat eksenlerinin sonunda belirtilmelidir. sözleşmeler bekleyen değerler ve virgülle ayrılmış, ölçü birimleri.
5. Miktarların (noktaların) deneysel değerleri, hatalarla birlikte açıkça çizilir - karşılık gelen eksene paralel olarak yerleştirilmiş güven aralığı uzunluğuna sahip bölümler:
Eğriyi seçilen ölçekte çizerken, her iki koordinat ekseni boyunca güven aralıkları görünmüyorsa, deneysel noktalar, deneysel verilere karşılık gelen noktada ortalanmış küçük daireler (üçgenler vb.) olarak işaretlenir.
6. Deneysel eğri, deney noktalarının hepsinin veya çoğunun güven aralıkları boyunca düzgün bir şekilde çizilir, böylece deney noktaları en yakın ve eğrinin farklı taraflarında eşit olarak bulunur.
7. Grafikte teorik bir eğri görüntüleniyorsa, hesaplandığı formül belirtilir.
8. Grafiğin bir alanında birkaç eğri görüntülerken, bunların her biri başka bir şekilde numaralandırılır veya vurgulanır. Alanın serbest bölümünde uygun açıklamalar verilmiştir.
6. Bir laboratuvar testi için rapor hazırlanmasına ilişkin önerileraher ikisi de
Laboratuvar raporu aşağıdaki içeriğe sahip olmalıdır:
1. İşin adı.
2. Özet iş hedefleri.
3. Alet ve ekipman listesi.
4. Kurulum şeması.
5. Çalışma formüllerinin türetilmesiyle birlikte yöntem teorisinin kısa bir özeti.
6. Deneysel sonuçların ölçüm birimleri ve aletsel hata ile birlikte kaydedilmesi. Sonraki hesaplamalar için gereken kurulum parametrelerinin kaydı (ayrıca birimleri ve hataları gösterir).
7. Laboratuvar çalışması için metodolojik geliştirmede tanımlanan göreve uygun olarak tablolar, sayılar, grafikler şeklinde sunulan işlenmiş ölçüm sonuçları.
8. Hataların hesaplanması.
9. Sonuçların analizi: tablo verileriyle, teoriyle, diğer deneylerden elde edilen verilerle karşılaştırma - hataları da hesaba katarak.
10. Sonuçlar.
7. Hata teorisinin unsurları. RMS nhakkındagünahkarlık
a) Dağıtım fonksiyonu. Gauss dağılımı ve özellikleri.
Bazı rastgele değişken x: x 1 , x 2 , ... x n'nin n ölçümünün aynı yöntemle ve aynı özenle yapıldığını varsayalım. x ile x + dx arasında oldukça dar bir aralıkta yer alan elde edilen sonuçların dn sayısının aşağıdakilerle orantılı olması beklenebilir:
- alınan dx aralığının değeri;
- toplam sayısıölçümler
Böylece, biri şunu yazabilir
dn = f (x) n dx,
burada f (x), rastgele değişkenlerin değerlerinin farklı aralıklarla dağılımını karakterize eden bir fonksiyondur.
Bir x değerinin x ile x + dx arasında yer alma olasılığı dw(x) aşağıdaki gibi tanımlanır:
(ölçü sayısı ile n--®Ґ).
f(x) fonksiyonuna dağılım fonksiyonu veya olasılık yoğunluğu denir.
Hata teorisinin bir varsayımı olarak, doğrudan ölçümlerin sonuçlarının ve çok sayıda rastgele hatalarının normal dağılım yasasına uyduğu varsayılır.
Gauss tarafından bulunan sürekli bir rastgele değişken x'in dağılım fonksiyonu aşağıdaki forma sahiptir:
, nerede -- ve -- s ----- dağıtım parametreleri .
Parametre -- m -- normal dağılım ortalama değer b'ye eşittir x Rastgele bilinen bir dağılım fonksiyonu için integral tarafından belirlenen rastgele bir değişkenden
.
Böylece, m değeri -- ölçülen miktarın en olası değeridir x,şunlar. onun en iyi tahmini.
Normal dağılımın s 2-- parametresi varyansa eşittir D genellikle aşağıdaki integral tarafından belirlenen rastgele değişken
.
Varyansın kareköküne rastgele değişkenin standart sapması denir.
Rastgele değişken - bsc'nin ortalama sapması (hatası), aşağıdaki gibi dağıtım işlevi kullanılarak belirlenir.
Gauss dağılım fonksiyonundan hesaplanan ortalama ölçüm hatası, -bsc, standart sapma değeri ile ilişkilidir. s-- sonraki yol: < s > = 0,8-- s .
s--ve--m-- parametreleri aşağıdaki gibi ilişkilidir:
.
Bu ifade, standart sapma s'yi bulmanızı sağlar -- eğer normal bir dağılım eğrisi varsa.
Gauss fonksiyonunun grafiği şekillerde gösterilmiştir. İşlev f(x) noktasında çizilen koordinata göre simetriktir x= m; noktasında maksimumdan geçer x= m ve bir bükülme noktası m--±s'ye sahiptir. Bu nedenle, dağılım, dağılım fonksiyonunun genişliğini karakterize eder veya rastgele bir değişkenin değerlerinin gerçek değerine göre ne kadar geniş dağıldığını gösterir. Ölçümler ne kadar doğru olursa, bireysel ölçümlerin sonuçları da gerçek değere o kadar yakın olur, yani. s değeri daha azdır. Şekil A işlevi gösterir f(x) üç değer için .
Bir eğri ile sınırlanan bir şeklin alanı f(x) ve noktalardan çizilen dikey çizgiler x 1 ve x 2 (Şekil B) , sayısal olarak ölçüm sonucunun D aralığına denk gelme olasılığına eşittir x = x 1 -x 2, güven düzeyi olarak adlandırılır. Tüm eğrinin altındaki alan f(x), rastgele bir değişkenin 0 ile -Ґ aralığına düşme olasılığına eşittir, yani.
,
çünkü belirli bir olayın olasılığı bire eşittir.
Normal dağılımı kullanarak, hata teorisi iki ana problemi ortaya çıkarır ve çözer. Birincisi, ölçümlerin doğruluğunun bir değerlendirmesidir. İkincisi, ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalama değerinin doğruluğunun bir değerlendirmesidir.
b) Ölçüm sonuçlarının doğruluğu.
Hata teorisindeki ölçümlerin doğruluğu, bir güven aralığı ile karakterize edilir. (x>--±--D x) w, şuna eşit bir güven olasılığı ile w, tek bir ölçümün sonucu aralık içindedir. Bu olasılık aynı zamanda güven aralığına giren sonuçların göreli oranına da eşittir (bkz. sayfa 4-5).
Bu nedenle, rastgele hatanın büyüklüğünü karakterize etmek için, güven aralığının büyüklüğü ve güven olasılığının büyüklüğü olmak üzere iki sayı ayarlamak gerekir. . Karşılık gelen güven olasılığı olmadan yalnızca hatanın büyüklüğünü belirtmek büyük ölçüde anlamsızdır.
biliniyorsa ortalama hata bsc ölçümleri, olarak yazılan güven aralığı (<x> ±--bsc) w, güven olasılığı ile belirlenir-- w= 0,57.
Standart sapma s biliniyorsa -- ölçüm sonuçlarının dağılımı, belirtilen aralık (x>±--) şeklindedir. t w s) w, nerede t w- Gauss dağılımına göre hesaplanan güven olasılığının değerine bağlı katsayı.
En sık kullanılan miktarlar D x= t w s Tablo 2'de verilmiştir.
Tablo 2.
Uygulamada, yürütürken sınırlı sayıdaölçüleri bilmiyoruz. Kesin değer varyans, ancak yalnızca değerini tahmin edebiliriz. Standart sapmanın en iyi tahmini s ortalamadır kare hatasınölçümler nS:
Bu değer istatistiksel olarak -- s -- de n--®Ґ .
Böylece, kaçınılmaz olarak değiştiriyoruz s-in'in değeri yaklaşık değerine güven aralığı nS. Aynı zamanda unutulmamalıdır ki daha az sayıölçümler, bu yaklaşım daha kötü. Bu nedenle, teori, bir güven olasılığı ile güven aralığını doğru bir şekilde belirlemek için w= 0.9, en az 40 ölçüm gerektirir.)
c) Ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalamasının doğruluğu.
Yukarıda, bireysel bir ölçümün sonucunun miktarın gerçek değerinden sapma olasılığını düşündük. x. Ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalamasının gerçek değerden ne kadar sapabileceğini bilmek de aynı derecede önemlidir. Bu sapma aynı zamanda bir güven aralığı (
Açıkçası, eğer değer x ile normal bir dağılıma sahiptir matematiksel beklenti m ve dağılım
s 2 , ardından ortalama değeri
m beklentisi ile normal bir dağılıma sahiptir
ve dağılım s 2 / n. Şunlar. rastgele
aritmetik ortalamanın hatası, tek bir ölçümün hatasından daha azdır.
Tahmin olarak ise
s kök ortalama kare hatası kullanılır nS, daha sonra ortalama değerin sapmasını tahmin etmek için, aritmetik ortalamanın ortalama karekök hatası nS
:
Değer nS
istatistiksel olarak sıfıra eğilimlidir n®Ґ.
Hata teorisinde, az sayıda ölçüm için ( n< 30), которое реально имеет место в работах физического практикума, в доверительный интервал необходимо ввести коэффициентt w,n, Öğrenci katsayısı denir. Daha sonra güven aralığı (<x> ± t w,n nS
) w.
sayı ne kadar küçükse nölçümler, ortalama değer gerçek değerden ne kadar fazla sapabilir. Yani aynı güven düzeyi için wÖğrenci oranı azaldıkça artmalı n, tablo 3'e bakın.
Tablo 3
???n |
||||||||||||||
d) Toplam hata. Dolaylı ölçümlerde hata.
Teoriye göre, tamamen bağımsız rastgele ve araçsal hatalar ile toplam deneysel hata şu şekilde hesaplanır:
.
Bu durumda, her iki hata da aynı güven olasılığına sahip güven aralıkları belirlemelidir. Araçsal hata, kendi aralığını w = 0,9 güven düzeyiyle belirler. Ortaya çıkan deneysel hatayı hesaba katmanın başka yolları da vardır.
Dolaylı ölçümlerde, ortalama kare mutlak hata formülle hesaplanır.
D nerede x, D y, D z,.... deneyin toplam ortalama kare hatalarıdır.
Dolaylı a değerinin bağıl hatasını hesaplama formülü kareleri içerir. göreceli hatalar. Örneğin, hesaplama formülü ile verilen a değeri için
,
k sayısal bir katsayı olduğunda, hata teorisi tarafından belirlenen bağıl hata:
,
ne takip ediyor
Edebiyat
1. A.N. Seidel. Fiziksel büyüklüklerin ölçüm hataları. L., Nauka, 1985.
2. L.G. Dedenko. V.V. Kerzhentsev. matematiksel işleme ve deneysel sonuçların sunumu. M., Moskova Devlet Üniversitesi Yayınevi, 1977.
3. Fiziksel atölye. Mekanik ve moleküler fizik. Düzenleyen V.I. Iveronova. M., Nauka, 1967.
4. PV Novitsky, I.A. Zograf. Ölçüm sonuçlarındaki hataların tahmini. L., Energoatomizdat, 1991.
5. Laboratuvar çalışmaları Moskova Devlet Üniversitesi'nin doğal fakülteleri için fizik dersinde. Mekanik. M., Mosk. un-t. 1997.
6. Metodik geliştirme genel fizik uygulaması. Ölçüm hataları. Komp. D.V. Belov. Moskova, Moskova Devlet Üniversitesi, 1993.
Allbest.ru'da barındırılıyor
Benzer Belgeler
Fiziksel niceliklerin ölçülmesi ve hataların sınıflandırılması. Doğrudan ve dolaylı ölçümlerde hataların belirlenmesi. Ölçüm sonuçlarının grafiksel işlenmesi. İlişki tanımı özgül ısı kapasiteleri Clement ve Desormes yöntemi ile gazlar.
eğitim kılavuzu, eklendi 06/22/2015
Büyük hatalar için kriterler. Standart sapmanın aralık tahmini. Dolaylı ve doğrudan ölçüm türlerinin sonuçlarının işlenmesi. Ölçüm sistemi hatalarının istatistiksel özelliklerini hesaplama yöntemi. Doğruluk sınıfının belirlenmesi.
dönem ödevi, 17/05/2015 eklendi
Fiziksel büyüklüklerin doğrudan ve dolaylı ölçüm türleri. Mutlak, bağıl, sistematik, rastgele ve aritmetik ortalama hatalar, sonucun standart sapması. Kumpaslarla yapılan hesaplamalardaki hatanın değerlendirilmesi.
deneme, 12/25/2010 eklendi
Fiziksel bir niceliğin özü, ölçümlerinin sınıflandırılması ve özellikleri. Fiziksel büyüklüklerin statik ve dinamik ölçümleri. Doğrudan, dolaylı ve ortak ölçümlerin sonuçlarının işlenmesi, sunum biçiminin normalleştirilmesi ve belirsizliğin değerlendirilmesi.
dönem ödevi, eklendi 03/12/2013
Plaka malzemesinin yoğunluğunu belirleme özellikleri, doğrudan ve dolaylı ölçümlerin hatasının hesaplanmasının analizi. Ana hata türleri: sistematik, rastgele, yuvarlama hataları ve özlüyor. Doğrudan ve dolaylı ölçümlerde hatalar.
test, 14/04/2014 eklendi
Ölçülen değerin nokta ve aralık tahmini. Doğrudan ve dolaylı ölçümler için mutlak hatanın hesaplanması. Hataların istatistiksel dağılımı, Gauss dağılımı. Ölçümlerin hazırlanması ve gerçekleştirilmesi. Sayısal sonuçları yuvarlama kuralları.
eğitim kılavuzu, 26/12/2016 eklendi
Bir malzeme noktasının kinematiğini incelemek ve serbest düşüşün ivmesini ölçmede hataları tahmin etme yöntemlerine hakim olmak. Serbest düşüş ölçümleri için kullanılan deney düzeneğinin açıklaması. Dolaylı ölçümlerin hatalarının tahmini.
laboratuvar çalışması, eklendi 21.12.2015
Fiziksel nicelik kavramı ve özü, niteliksel ve niceliksel ifadeleri. Ana ölçüm ölçeği türlerinin özellikleri: isimler, sıra, farklılıklar (aralıklar) ve oranlar, özellikleri. Logaritmik ve biyofiziksel ölçeklerin özellikleri.
özet, 13/11/2013 eklendi
Birimlerin, tiplerin ve ölçü aletlerinin yapısal sınıflandırma modeli. Hata türleri, Microsoft Excel'de değerlendirilmesi ve işlenmesi. Yönlendirici, manyetoelektrik cihaz, kızılötesi termometre, taşınabilir terazilerin doğruluk sınıfının belirlenmesi.
dönem ödevi, eklendi 04/06/2015
Fiziksel büyüklük sistemleri ve birimleri, büyüklüklerinin ve değerlerinin rolü, sınıflandırmanın özellikleri. Ölçülerin birliği kavramı. Fiziksel büyüklük birimlerinin standartlarının özellikleri. Miktar birimlerinin boyutlarının iletilmesi: sistemin özellikleri ve kullanılan yöntemler.