Bir dizi ölçümün aritmetik ortalama değeri
n arttıkça, ortalama değer
Gauss formülü aşağıdaki varsayımlardan türetilebilir:
- ölçüm hataları sürekli bir dizi değer alabilir;
- de büyük sayılar aynı büyüklükteki gözlem hataları, ancak farklı işaret eşit sıklıkta görüşmek;
- olasılık, yani hataların meydana gelme sıklığı, hatanın büyüklüğü arttıkça azalır. Başka bir deyişle, büyük hatalar küçük olanlardan daha az yaygındır.
Normal dağılım yasası aşağıdaki fonksiyonla tanımlanır:
burada σ kök ortalama kare hatasıdır; σ2 ölçüm varyansıdır; X ist - ölçülen değerin gerçek değeri.
Formül (1.13)'ün analizi, normal dağılım fonksiyonunun X = X true doğrusuna göre simetrik olduğunu ve X = X true'da bir maksimuma sahip olduğunu gösterir. (1.13) denkleminin sağ tarafına X yerine X ist koyarak bu maksimumun ordinatının değerini buluyoruz.
,
buradan σ azaldıkça y(X) artar. eğri altındaki alan
X'in ölçülen değerinin -∞ ila +∞ aralığında olma olasılığı 1'e eşit olduğundan sabit ve 1'e eşit kalmalıdır (bu özellik olasılık normalleştirme koşulu olarak adlandırılır).
Şek. 1.1, üç σ değeri (σ 3 > σ 2 > σ 1) ve bir X ist için üç normal dağılım fonksiyonunun grafiklerini gösterir. Normal dağılım iki parametre ile karakterize edilir: ortalama değer rastgele değişken, hangi sonsuzda çok sayıdaölçümleri (n → ∞) gerçek değeri ve varyansı σ ile çakışır. σ değeri, doğru olarak alınan ortalama değere göre hataların yayılmasını karakterize eder. Küçük σ değerlerinde, eğriler daha dik gider ve büyük ΔХ değerleri daha az olasıdır, yani ölçüm sonuçlarının gerçek değer bu durumda daha küçük.
Rastgele bir ölçüm hatasının büyüklüğünü tahmin etmenin birkaç yolu vardır. En yaygın tahmin, standart veya kök ortalama kare hatası aracılığıyla yapılır. Bazen ortalama aritmetik hata kullanılır.
Bir dizi n ölçüm üzerinden ortalamanın standart hatası (kök ortalama karesi) şu şekilde verilir:
Gözlem sayısı çok büyükse, rastgele rasgele dalgalanmalara tabi olan Sn miktarı, istatistiksel limit Sn olarak adlandırılan bazı sabit σ değerlerine yönelir:
Kök ortalama kare hatası olarak adlandırılan bu sınırdır. Yukarıda belirtildiği gibi, bu miktarın karesi, Gauss formülünde (1.13) yer alan ölçüm varyansı olarak adlandırılır.
σ değeri büyük pratik değer. Belirli bir fiziksel miktarın ölçümleri sonucunda aritmetik ortalamayı bulalım.<Х>ve bazı hatalar ΔX. Ölçülen miktar rastgele hataya tabiyse, ölçülen miktarın gerçek değerinin () aralığında olduğu koşulsuz olarak kabul edilemez.<Х>– ΔX,<Х>+ ΔХ) veya (<Х>– ΔX)< Х < (<Х>+ ΔХ)). Gerçek değerin bu aralığın dışında kalma olasılığı her zaman vardır.
Güven aralığı, değer aralığıdır (<Х>– ΔX,<Х>+ ΔХ), tanım gereği, gerçek değeri X sr'nin belirli bir olasılıkla düştüğü X değerinin.
Bir dizi ölçüm sonucunun güvenilirliği, ölçülen miktarın gerçek değerinin belirli bir güven aralığı içinde olma olasılığıdır. Ölçüm sonucunun güvenilirliği veya güven düzeyi, birimin kesri veya yüzdesi olarak ifade edilir.
α, ölçüm sonucunun gerçek değerden ΔX'ten büyük olmayan bir miktarda farklılık gösterme olasılığını göstersin. Bu genellikle şu şekilde yazılır:
R((<Х>– ΔX)< Х < (<Х>+ ΔХ)) = α
İfade (1.16), α'ya eşit bir olasılıkla, ölçüm sonucunun güven aralığının ötesine geçmediği anlamına gelir.<Х>– ΔХ'a kadar<Х>+ ΔX. Güven aralığı ne kadar büyükse, yani ölçüm sonucunun belirtilen hatası ΔX ne kadar büyükse, aranan X değeri bu aralığa o kadar güvenilir düşer. Doğal olarak, α'nın değeri n ölçüm sayısına bağlıdır. yanı sıra belirtilen hata ΔХ.
Bu nedenle, rastgele bir hatanın büyüklüğünü karakterize etmek için iki sayı ayarlamak gerekir, yani:
- hatanın kendisinin büyüklüğü (veya güven aralığı);
- değer güven seviyesi(güvenilirlik).
Karşılık gelen güven olasılığını belirtmeden yalnızca hatanın büyüklüğünü belirtmek büyük ölçüde anlamsızdır, çünkü bu durumda verilerimizin ne kadar güvenilir olduğunu bilmiyoruz. Güven düzeyini bilmek, sonucun güvenilirlik derecesini değerlendirmenizi sağlar.
Gerekli güvenilirlik derecesi, yapılan değişikliklerin doğası tarafından verilmektedir. Ortalama karesel hata Sn, 0,68'lik bir güven olasılığına karşılık gelir, iki kat ortalama karesel hata (2σ), 0,95'lik bir güven olasılığına karşılık gelir ve üçlü (3σ), 0,997'ye karşılık gelir.
Güven aralığı olarak (X - σ, X + σ) aralığı seçilirse, yüz ölçüm sonucundan 68'inin mutlaka bu aralık içinde olacağını söyleyebiliriz (Şekil 1.2). Eğer ölçüm yaparken mutlak hata∆Х > 3σ, bu durumda bu ölçüm büyük hatalara veya kayıplara atfedilmelidir. 3σ değeri genellikle tek bir ölçümün sınırlayıcı mutlak hatası olarak alınır (bazen 3σ yerine ölçüm cihazının mutlak hatası alınır).
Güven aralığının herhangi bir değeri için karşılık gelen güven olasılığı Gauss formülü kullanılarak hesaplanabilir. Bu hesaplamalar yapılmış ve sonuçları Tablo'da özetlenmiştir. 1.1.
ε = ΔX/σ kök ortalama kare hatasının bir kesri olarak ifade edilen bir güven aralığı için güven olasılıkları α.
Sayfa 1
Aritmetik ortalama hata ft, sistematik hataların varlığını kontrol etmek için hesaplanır. Hem formül (7) hem de (7a) kullanılarak ft hesaplanırken, önemli ölçüde farklı sonuçlar elde edilirse, sistematik hataların varlığını varsaymak için sebep vardır.
Aritmetik ortalama hata, sistematik hatalar varsayıldığında kritik ölçümler için hesaplanır.
Aritmetik ortalama hata Ölçülen miktarın gerçek değeri A neredeyse her zaman bilinmez ve bu nedenle fark (2.1) ile her bir ölçümün hatasını belirlemek mümkün değildir.
Ancak aritmetik ortalama hatası, büyük hataların ölçüm sonucunun doğruluğu üzerindeki etkisini tam olarak yansıtmaz. Modern teori daha doğru bir tahminin sözde ortalama karekök hatası olduğunu gösterir.
Aritmetik ortalama hatası r'nin avantajı, hesaplanmasının basitliğidir. Yine de çoğu durumda, S, r'den daha sık kullanılır çünkü S, varyansın etkili bir tahmincisidir.
Saçılma özellikleri, aritmetik ortalama hatası, ortalama kare hatası, ölçüm sonuçları aralığı. Saçılma doğası gereği olasılıksal olduğundan, rastgele hatanın değerlerini belirtirken olasılık belirtilir.
Formül (6), aritmetik ortalama hatasının artık hataların karesi alınmadan ölçüm sonuçlarından hesaplanabileceğini göstermektedir.
Dairelerin yanındaki dar dikey ovaller, noktaların ordinatlarının belirlenmesindeki aritmetik ortalama hatalarının değerlerini gösterir.
Aritmetik ortalama hatası (göre mutlak değer) ve okuma aralığı.
Bu p / z değerleri, hata değerinin aritmetik ortalama hatanın değerinin üç katından büyük veya ona eşit olduğu reddedilebilir. Yukarıdaki yönteme göre yapılan hesaplamalar, incelenmekte olan alanlar için ilk verileri reddetme ihtiyacını ortaya çıkarmadı.
İkinci grubun formülleri tek parametriktir ve gaz yoğuşma sisteminin termodinamik çalışmasının sonucu olmadığında RC'nin tahmin edilmesine izin verir. Üçüncü grubun formüllerine göre aritmetik ortalama hesaplama hataları birbirinden çok az farklılık gösterir. (III.116) - (III.118) formüllerinin doğruluğu düşüktür, hesaplamadaki hatada aritmetik ortalama yaklaşımın pk'sinin yalnızca% 3 - 16'sı kadar bir azalma sağlarlar. Formüller (III.119) ve (III.120) pratik olarak ilk standart sapmayı azaltmaz.
Ölçüm doğruluğunu değerlendirmek için teori rastgele hatalar ayrıca bir dizi ölçümün sözde olası hatası g ve aritmetik ortalama hatası § içerir.
Şimdi, söz konusu seride, aritmetik ortalamadan en büyük sapmayı (u - 6 3) veren 2. boyut (271 3) olmadığını varsayalım. Bu ikisini karşılaştırırken son rakamlar ilk örnek için benzer hataların değerleri ile, serinin aritmetik ortalama hatasının bireysel varlığına çok daha az duyarlı olduğunu not ediyoruz. büyük hatalar, Cham kökü ortalama karesel hata a. Bu, serilerin aritmetik ortalama hatası yöntemiyle ölçümlerin güvenilirliğini değerlendirmenin önemli bir dezavantajıdır. Bu nedenle, basitlik avantajına rağmen, aritmetik ortalama hatası yöntemi nispeten nadiren kullanılır.
Ölçülü olsun bilinen değer büyüklük X. Doğal olarak, ölçüm sürecinde bulunan bu miktarın bireysel değerleri X1 , X2 ,… xn açıkçası tam olarak doğru değil, yani ile eşleşme X. O zaman değer mutlak hata olacaktır. Ben inci boyut. Ama sonucun gerçek değeri olduğundan X, kural olarak bilinmiyorsa, mutlak hatanın gerçek tahmini X yerine kullanılır ortalama , hangi formül ile hesaplanır:
 |
Ancak küçük örneklem büyüklükleri için
kullanılması tercih edilir medyan. Medyan (Ben) sonuçların yarısının değerinden küçük ve diğerinin değerinden büyük olduğu x rasgele değişkeninin değeri olarak adlandırılır. Ben. Hesaplamak Ben sonuçlar artan sırada düzenlenir, yani sözde varyasyon serisini oluştururlar. Tek sayıda ölçüm n için medyan, serinin orta teriminin değerine eşittir. Örneğin,
n=3 için
Çift n için, değer Ben iki ortalamanın değerleri toplamının yarısına eşittir. Örneğin,
n=4 için
hesaplama için S yanlış son ondalık basamaklı yuvarlatılmamış analiz sonuçlarını kullanın.
Çok büyük bir örneklem sayısıyla ( N>) rastgele hatalar normal Gauss dağılımı kullanılarak tanımlanabilir. küçük N dağılım normalden farklı olabilir. Matematiksel istatistiklerde, bu ek güvenilmezlik, değiştirilmiş bir simetrik T-dağıtım. bazı oranlar var T, serbestlik derecesi sayısına bağlı olarak Öğrenci katsayısı olarak adlandırılır ( F) ve güven düzeyi ( R) örneklemden genel popülasyona geçmenizi sağlar.
Ortalama sonucun standart sapması aşağıdaki formülle belirlenir:
Değer, ortalamanın güven aralığıdır. Seri analizler için, genellikle R= 0,95.
Tablo 1. Öğrenci katsayı değerleri ( T)
F |
||||
örnek 1 .
Numunedeki manganez içeriğinin on tespitinden, tek bir analizin standart sapmasını ve % Mn ortalama değerinin güven aralığını hesaplamak gerekir: 0.69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Çözüm. Formül (1)'e göre, analizin ortalama değeri hesaplanır.
tabloya göre f=n-1=9 için 1 (uygulama) bulun Öğrenci katsayısı (P=0.95) T=2.26 ve ortalamanın güven aralığını hesaplayın. Böylece, analizin ortalama değeri (0,679 ± 0,009)% Mn aralığı ile belirlenir.
Örnek 2 .
20°C'de bir karbamid çözeltisi üzerinde yapılan dokuz su buharı basıncı ölçümünün ortalaması 2,02 kPa'dır. Ölçümlerin örnek standart sapması s = 0,04 kPa. Dokuzun ortalaması ve %95 güven düzeyine karşılık gelen tek ölçüm için güven aralığının genişliğini belirleyin.
Çözüm. 0.95 ve f=8 güven düzeyi için Student's katsayısı t 2.31'dir. Verilen
ve şunu buluruz:
- güvenin genişliği. ortalama değer aralığı
- güvenin genişliği. tek bir değer ölçümü için aralık
Farklı içeriğe sahip numunelerin analiz sonuçları varsa, o zaman kısmi ortalamalardan S ortalama alarak, genel ortalamayı hesaplayabilirsiniz S. sahip olmak M numuneler ve her bir numune iletkeni için nj paralel tanımlar, sonuçlar bir tablo şeklinde sunulur:
Sayı |
Analiz numarası |
||
Hata - ölçüm sonucunun ölçülen değerin gerçek değerinden sapması. Çeşitli özelliklere bağlı olarak, hatalar türlere göre sınıflandırılır (Şekil 2.9).
Mutlak hata () - ölçülen () ile gerçek (gerçek) değer arasındaki farkla temsil edilen ve ölçülen değerin birimleriyle ifade edilen hata
bağıl hata() - mutlak hatanın ölçülen değerin gerçek (gerçek) değerine oranı ile temsil edilen ve yüzde olarak ifade edilen hata
Azaltılmış hata (), mutlak hatanın normalleştirme değerine () oranıdır.
Normalleştirme değeri, cihazın tek taraflı ölçeğinin sıfır değerinin veya cihazın iki basamaklı ölçeği olması durumunda ölçüm aralığının varlığında ölçümlerin üst sınırına eşit olarak alınır.
Sistematik hata - tekrarlanan ölçümler sırasında sabit kalan veya sayıya göre değişen bir hata.
Kalıcı sistematik hatalar genellikle ölçüm cihazlarının metrolojik güvenilirliğinin yüksek veya yetersiz göstergelerini gösterir, oluşturulabilir ve ortadan kaldırılabilir.Bazen sistematik hataları ortadan kaldırmak için bir düzeltme tablosu sunulur.
Düzenli olarak ortaya çıkan sistematik hatalar, ölçüm cihazlarının eskime süreçlerinden kaynaklanır, çünkü yüzeylerin silinmesi, oksidasyon vb. Bu tür hataların varlığı, ölçüm cihazlarının doğrulanmasını ve kalibrasyonunu gerektirir.
Rastgele hata - tekrarlanan ölçümler sırasında rastgele değişen hatalar. Bu hatalar tahmin edilemez, bu nedenle ölçülemez ve giderilemezler.Ancak, rastgele bir hatanın özelliklerinin yöntemlerle daha sonra belirlenmesiyle tekrarlanan ölçümlerle etkileri azaltılabilir. matematiksel istatistik. Rastgele hataların sıfıra yakınlığı, ölçümlerin yakınsaması olarak adlandırılır.
Statik hatalar - ölçümler sırasında ölçülen değer değişmediğinde ölçüm cihazlarının hatası. Bu durumda ölçülen miktarın gerçek değerinin değişmediği ve mutlak hatanın sabit kaldığı varsayılır.
Dinamik hata - ölçüm sırasında ölçülen değer değiştiğinde ölçüm cihazlarının hatası. Örneğin, sıcaklığı bir termometre ile ölçerken, cıvanın sıcaklığını değiştirmesi ve cıva kolonunun ölçekte karşılık gelen işarete ulaşması için zaman geçmesi gerekir. Bu süre zarfında ölçülen nesnenin sıcaklığı değişirse, dinamik bir hata oluşur.
Giderilebilir hatalar, belirlenebilen ve ortadan kaldırılabilen sistematik hatalardır. Düzeltilemez, sistematik ve rastgele hataları içerir, ancak rastgele hataların belirli bir kısmı giderilemez, dolayısıyla herhangi bir ölçüm sonucunun rastgeleliği.
Temel hatalar - karşılık gelen hatalar normal koşullarölçü aletlerinin uygulanması. Bu koşullar belirlenir normatif belgelerölçüm cihazlarının türleri veya bireysel türleri hakkında. Aşağıdaki dış koşullar çoğunlukla ayarlanır: ortam sıcaklığı, bağıl nem, atmosferik basınç. Standart kullanım koşullarına karşılık gelen temel hatanın izolasyonu, önemli faktörlerölçümlerin tekdüzeliğini sağlamak.
Ek hata - etkileyen miktarlardan biri sapma gösterdiğinde oluşan hata normal değer. ayırt etmek adettendir ek hatalar bireysel faktörler için: ek sıcaklık hatası, değişikliklerden kaynaklanan hata atmosferik basınç ve benzeri.
Enstrümantal hatalar - kusurları, tasarımları ve teknolojik özellikleri ve parazit gibi dış koşulların etkisi ile belirlenen ölçüm cihazlarının hataları. Araçsal hatalar, en önemli hata bileşenlerinden biridir ve sistematik veya rastgele olabilir.
Metodolojik hata - uygulanan ölçüm tekniğinin kusurlu olmasıyla belirlenen bir hata. Metodolojik hatalar, ölçüm nesnesinin modelinin ideal şekilde yeniden üretilmesinin imkansızlığını da içerir. Çoğu durumda metodik hatalar sistematiktir.
Öznel hata - kaynaklanan bir sayım hatası bireysel özelliklerölçümleri yapan özne (operatör). Bu hata, dikkat derecesi, operatörlerin konsantrasyonu ile belirlenir ve hem sistematik hem de rastgele olabilir.
İzin verilen hata, boyutu düzenleyici ve teknik belgeler tarafından belirlenen veya hesaplama ile belirlenen bir hatadır.
Kabul edilemez bir hata, ölçüm sonucunun güvenilir olmadığı ve dikkate alınamayacağı bir hatadır.
Kabul edilemez hatalar denir kaba hatalar veya hatalar Büyük hataların zamanında tespiti ve ortadan kaldırılması önemlidir.
Ölçüm sonucunu etkileyen herhangi bir faktörün etkisi altında büyük hatalar meydana gelebilir. Bununla birlikte, çoğu zaman büyük bir hatanın kaynağı, cihaz okumalarının yanlış okunması veya dış ortamdaki öngörülemeyen değişikliklerdir.
iki ana var Büyük hataları tespit etmenin yolu:
-de tek ölçümler Beklenen ölçüm sonucu yaklaşık olarak biliniyorsa, örneğin standartlar ve göstergeler kullanarak çalışan ölçüm aletlerini kontrol ederken veya bir nesneyi sistematik olarak ölçerken bir hata tespit edilebilir. fiziksel miktar pratik olarak değişmeyen;
-de çoklu ölçümler hata, gözlem sonuçlarının istatistiksel analizi ile belirlenebilir. Örneğin meyve ve sebze ürünlerinin doğal kaybı belirlenirken 10 veya daha fazla nesnenin kütlesi ölçülür. İlk ve son ölçümler arasında ortaya çıkan fark, ağırlık kaybını verir. Test cihazı hemen "düşen" dikkat çekiyor toplam sayısı sonuçlar.
Brüt hataları ortadan kaldırmanın yolları:
1. Tek ölçümler sırasında ortaya çıkan büyük hatalar, tekrarlanan ölçümler ve çoklu ölçümlere dönüştürülerek ortadan kaldırılabilir.
2. Ne zaman çoklu ölçümler Büyük hatalar, aşağıdaki yöntemler uygulanarak ortadan kaldırılır:
üç sigma kuralları;
ölçüm sonuçlarının matematiksel olarak işlenmesi.
Üç sigma kuralı, büyük bir hatanın üç sigmadan daha fazla olduğunu belirtir.
Sigma () - denklemle hesaplanan standart sapma
tek bir ölçümdeki miktarın gerçek değeri nerede; - tekrarlanan ölçüm sırasında ölçülen miktarın aritmetik ortalama değeri; -- ölçüm sayısı.
Bu, güven aralığını hesaplar. Normal dağılım yasasına göre güvenilir olarak kabul edilen ölçülen miktarın değerlerini içerir. Bu aralığın dışındaki değerler hatalı kabul edilir ve güvenilmez olarak hariç tutulur. Ölçüm sonucu, hariç tutulan değerler dikkate alınarak yeniden hesaplanır.
Örneğin, kuruyemişlerin ortalama ağırlığı ölçülürken 10 nüsha tartıldı. Şu sonuçlar elde edildi: 15, 19, 20, 21, 22, 18, 22, 20, 25, 17 gr Cevizlerin ortalama ağırlığı 19.9 gr; = 2. Güven aralığı(20 2 veya 18.2 ..22.2)'ye eşittir. Onun dışında değerler 15; 17; 18 ve 25 hariç tutulur ve 20.7 g'a eşit rafine bir sonuç elde edilir.
matematiksel işlemölçüm sonuçları standart tarafından düzenlenir.