için görevler aritmetik ilerleme eski çağlarda zaten vardı. Ortaya çıktılar ve pratik bir ihtiyaçları olduğu için bir çözüm talep ettiler.
Yani, papirüslerden birinde Antik Mısır matematiksel içeriğe sahip olan - Rhind papirüsü (MÖ XIX yüzyıl) - şu görevi içerir: on ölçü ekmeği, her biri arasındaki farkın bir ölçünün sekizde biri olması koşuluyla, on kişiye bölün.
Ve eski Yunanlıların matematik eserlerinde aritmetik ilerlemeyle ilgili zarif teoremler vardır. Yani, İskenderiyeli Çingeneler (II. ilginç görevler ve on dördüncü kitabı Euclid's Elements'e ekleyerek, şu fikri formüle etti: "Üye sayısı çift olan bir aritmetik dizide, 2. yarının üyelerinin toplamı 1. yarının üyelerinin toplamından 1'in karesi kadar büyüktür. Üye sayısının /2'si."
an dizisi gösterilir. Dizinin numaraları üyeleri olarak adlandırılır ve genellikle bu üyenin seri numarasını gösteren indeksli harflerle gösterilir (a1, a2, a3 ... okuyun: “a 1”, “a 2”, “a 3” vb.)
Dizi sonsuz veya sonlu olabilir.
Aritmetik ilerleme nedir? Bir önceki terim (n) ile aynı diziliş farkı olan d sayısı toplanarak elde edildiği anlaşılır.
eğer d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, o zaman böyle bir ilerlemenin artan olduğu kabul edilir.
Bir aritmetik ilerlemenin, ilk terimlerinden yalnızca birkaçı dikkate alındığında sonlu olduğu söylenir. çok çok sayıdaüyeler zaten sonsuz bir ilerlemedir.
Herhangi bir aritmetik ilerleme aşağıdaki formülle verilir:
an =kn+b, b ve k ise bazı sayılardır.
Tersi olan ifade kesinlikle doğrudur: dizi benzer bir formülle veriliyorsa, bu tam olarak şu özelliklere sahip bir aritmetik ilerlemedir:
- İlerlemedeki her üye, bir önceki üyenin ve bir sonraki üyenin aritmetik ortalamasıdır.
- Tersi: 2. terimden başlayarak, her terim bir önceki ve sonraki terimin aritmetik ortalaması ise, yani. koşul karşılanırsa, verilen dizi aritmetik bir ilerlemedir. Bu eşitlik aynı zamanda bir ilerleme işaretidir, bu nedenle genellikle ilerlemenin karakteristik bir özelliği olarak adlandırılır.
Aynı şekilde, bu özelliği yansıtan teorem doğrudur: bir dizi, yalnızca bu eşitlik 2.'den başlayarak dizinin herhangi bir üyesi için doğruysa aritmetik bir dizidir.
Bir aritmetik dizideki herhangi bir dört sayı için karakteristik özellik, n + m = k + l ise (m, n, k, dizi sayılarıdır) an + am = ak + al formülü ile ifade edilebilir.
Bir aritmetik ilerlemede, gerekli herhangi bir (N'inci) terim, aşağıdaki formül uygulanarak bulunabilir:
Örneğin: aritmetik ilerlemedeki ilk terim (a1) verilir ve üçe eşittir ve fark (d) dörte eşittir. Bu ilerlemenin kırk beşinci dönemini bulmanız gerekiyor. a45 = 1+4(45-1)=177
an = ak + d(n - k) formülü belirlememizi sağlar n. üye aritmetik ilerleme, bilinmesi koşuluyla k'inci teriminden herhangi biri boyunca.
Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı (1. n üyenin sonlu ilerleme) aşağıdaki gibi hesaplanır:
Sn = (a1+an) n/2.
1. terim de biliniyorsa, hesaplama için başka bir formül uygundur:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
n terim içeren bir aritmetik ilerlemenin toplamı şu şekilde hesaplanır:
Hesaplamalar için formül seçimi, görevlerin koşullarına ve ilk verilere bağlıdır.
1,2,3,...,n,... gibi herhangi bir sayının doğal serisi, aritmetik ilerlemenin en basit örneğidir.
Aritmetik ilerlemeye ek olarak, kendine has özellikleri ve özellikleri olan geometrik bir dizi de vardır.
Her doğal sayı ise N gerçek bir sayıyla eşleş BİR , sonra verildiğini söylüyorlar sayı dizisi :
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR , . . . .
Dolayısıyla, sayısal bir dizi, doğal bir argümanın bir fonksiyonudur.
Sayı A 1 isminde dizinin ilk üyesi , sayı A 2 — dizinin ikinci üyesi , sayı A 3 — üçüncü ve benzeri. Sayı BİR isminde n. üye diziler ve doğal sayı N — onun numarası .
İki komşu üyeden BİR Ve BİR +1 üye dizileri BİR +1 isminde sonraki (karşı BİR ), A BİR — öncesi (karşı BİR +1 ).
Bir dizi belirtmek için, herhangi bir sayıya sahip bir dizi üyesi bulmanızı sağlayan bir yöntem belirtmeniz gerekir.
Genellikle sıra ile verilir n'inci terim formülleri , yani bir sıra üyesini numarasına göre belirlemenizi sağlayan bir formül.
Örneğin,
Pozitif tek sayıların dizisi formülle verilebilir.
BİR= 2N- 1,
ve dönüşümlü sıralama 1 Ve -1 - formül
B N = (-1)N +1 . ◄
Sıra belirlenebilir yinelenen formül, yani, dizinin herhangi bir üyesini, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar ifade eden bir formül.
Örneğin,
Eğer A 1 = 1 , A BİR +1 = BİR + 5
A 1 = 1,
A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Eğer bir 1= 1, bir 2 = 1, BİR +2 = BİR + BİR +1 , daha sonra sayısal dizinin ilk yedi üyesi aşağıdaki gibi ayarlanır:
bir 1 = 1,
bir 2 = 1,
3 = bir 1 + bir 2 = 1 + 1 = 2,
4 = bir 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,
A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sıralar olabilir son Ve sonsuz .
sıra denir nihai eğer sonlu sayıda üyeye sahipse. sıra denir sonsuz eğer sonsuz sayıda üyesi varsa.
Örneğin,
iki basamaklı doğal sayılar dizisi:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
son.
Asal sayı dizisi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
sonsuz. ◄
sıra denir artan , ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden büyükse.
sıra denir azalan , ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha azsa.
Örneğin,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . artan bir dizidir;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . azalan bir dizidir. ◄
Artan sayı ile elemanları azalmayan veya tersine artmayan bir diziye denir. monoton dizi .
Özellikle monoton diziler, artan diziler ve azalan dizilerdir.
Aritmetik ilerleme
Aritmetik ilerleme her üyesi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayının eklendiği bir dizi çağrılır.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR, . . .
herhangi bir doğal sayı için ise aritmetik bir ilerlemedir N koşul karşılanıyor:
BİR +1 = BİR + D,
Nerede D - bir numara.
Böylece, belirli bir aritmetik ilerlemenin sonraki ve önceki üyeleri arasındaki fark her zaman sabittir:
bir 2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = BİR +1 - BİR = D.
Sayı D isminde aritmetik ilerlemenin farkı.
Bir aritmetik ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.
Örneğin,
Eğer A 1 = 3, D = 4 , ardından dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:
bir 1 =3,
bir 2 = bir 1 + D = 3 + 4 = 7,
3 = bir 2 + D= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,
A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
İlk terimle aritmetik ilerleme için A 1 ve fark D o N
BİR = bir 1 + (N- 1)D.
Örneğin,
aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun
1, 4, 7, 10, . . .
bir 1 =1, D = 3,
30 = bir 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
bir n-1 = bir 1 + (N- 2)D,
BİR= bir 1 + (N- 1)D,
BİR +1 = A 1 + nd,
o zaman belli ki
| BİR=
| bir n-1 + bir n+1
|
| 2
|
ikinciden başlayarak aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.
a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bazı aritmetik dizilerin ardışık üyeleridir.
Örneğin,
BİR = 2N- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.
Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:
BİR = 2N- 7,
bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
Buradan,
| bir n+1 + bir n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = BİR,
|
| 2
| 2
|
◄
Dikkat N -bir aritmetik dizinin inci üyesi yalnızca aracılığıyla bulunamaz A 1 , aynı zamanda herhangi bir önceki bir k
BİR = bir k + (N- k)D.
Örneğin,
İçin A 5 yazılabilir
5 = bir 1 + 4D,
5 = bir 2 + 3D,
5 = 3 + 2D,
5 = 4 + D. ◄
BİR = bir nk + kd,
BİR = bir n+k - kd,
o zaman belli ki
| BİR=
| A nk
+a n+k
|
| 2
|
aritmetik dizinin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik dizinin ondan eşit uzaklıkta bulunan üyelerinin toplamının yarısına eşittir.
Ek olarak, herhangi bir aritmetik ilerleme için eşitlik doğrudur:
bir m + bir n = bir k + bir l,
m + n = k + l.
Örneğin,
aritmetik ilerlemede
1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, Çünkü
2 + 12= 4 + 34 = 38,
bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ◄
sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ BİR,
Birinci N aritmetik dizinin üyeleri, uç terimlerin toplamının yarısının terim sayısına göre çarpımına eşittir:
Bundan, özellikle, terimleri toplamanın gerekli olup olmadığı sonucu çıkar.
bir k, bir k +1 , . . . , BİR,
o zaman önceki formül yapısını korur:
Örneğin,
aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Bir aritmetik ilerleme verilirse, o zaman miktarlar A 1 , BİR, D, N VeS N iki formülle bağlantılı:
Bu nedenle, bu niceliklerden üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.
Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. burada:
- Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
- Eğer D < 0 , o zaman azalıyor;
- Eğer D = 0 , dizi durağan olacaktır.
Geometrik ilerleme
geometrik ilerleme her terimi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile çarpılan bir dizi çağrılır.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .
herhangi bir doğal sayı için geometrik bir ilerlemedir N koşul karşılanıyor:
bn +1 = bn · Q,
Nerede Q ≠ 0 - bir numara.
Böylece, bu geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.
Sayı Q isminde geometrik ilerlemenin paydası.
Bir geometrik ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.
Örneğin,
Eğer B 1 = 1, Q = -3 , ardından dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:
b 1 = 1,
b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 ve payda Q o N -th terimi aşağıdaki formülle bulunabilir:
bn = B 1 · q n -1 .
Örneğin,
geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
bn = b 1 · q n -1 ,
bn +1 = B 1 · q n,
o zaman belli ki
bn 2 = bn -1 · bn +1 ,
ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.
Tersi de doğru olduğundan, aşağıdaki iddia geçerlidir:
a, b ve c sayıları, ancak ve ancak birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bazı geometrik dizilerin ardışık üyeleridir.
Örneğin,
formül tarafından verilen dizinin olduğunu kanıtlayalım bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:
bn= -3 2 N,
bn -1 = -3 2 N -1 ,
bn +1 = -3 2 N +1 .
Buradan,
bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,
ki bu da gerekli iddiayı kanıtlıyor. ◄
Dikkat N Geometrik ilerlemenin inci terimi yalnızca B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir terim bk , bunun için formülü kullanmak yeterlidir
bn = b k · q n - k.
Örneğin,
İçin B 5 yazılabilir
b5 = b 1 · Q 4 ,
b5 = b2 · q 3,
b5 = b3 · q2,
b5 = b4 · Q. ◄
bn = b k · q n - k,
bn = bn - k · q k,
o zaman belli ki
bn 2 = bn - k· bn + k
ikinciden başlayarak bir geometrik dizinin herhangi bir üyesinin karesi, bu dizinin ondan eşit uzaklıktaki elemanlarının çarpımına eşittir.
Ek olarak, herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:
b m· bn= b k· b l,
M+ N= k+ ben.
Örneğin,
katlanarak
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn
Birinci N paydalı bir geometrik ilerlemenin üyeleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:
Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre
sn= not 1
Terimleri toplamamız gerekirse,
b k, b k +1 , . . . , bn,
sonra formül kullanılır:
| sn- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + bn = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - Q
|
Örneğin,
katlanarak 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Geometrik bir ilerleme verilirse, nicelikler B 1 , bn, Q, N Ve sn iki formülle bağlantılı:
Bu nedenle, bu niceliklerden herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.
İlk terim ile geometrik ilerleme için B 1 ve payda Q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluk özellikleri :
- Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artar:
B 1 > 0 Ve Q> 1;
B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;
- Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa bir ilerleme azalmaktadır:
B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;
B 1 < 0 Ve Q> 1.
Eğer Q< 0 , o zaman geometrik ilerleme işaret dönüşümlüdür: tek sayılı terimleri ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimleri zıt işarete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.
İlk ürün N geometrik bir ilerlemenin terimleri aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
P n= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .
Örneğin,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Sonsuz azalan geometrik ilerleme
Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz bir geometrik ilerleme olarak adlandırılır 1 , yani
|Q| < 1 .
Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor
1 < Q< 0 .
Böyle bir payda ile dizi işaret dönüşümlüdür. Örneğin,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı birincinin toplamının geldiği sayıyı söyle N sayısında sınırsız artış ile ilerleme koşulları N . Bu sayı her zaman sonludur ve formülle ifade edilir.
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Örneğin,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki
Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yakından ilişkilidir. Sadece iki örneği ele alalım.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , O
b bir 1 , b bir 2 , b bir 3 , . . . b d .
Örneğin,
1, 3, 5, . . . — farkla aritmetik ilerleme 2 Ve
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir Q , O
a b 1 günlüğü, a b 2 günlüğü, a b 3 günlüğü, . . . — farkla aritmetik ilerleme oturum açQ .
Örneğin,
2, 12, 72, . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir 6 Ve
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ◄
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı.
Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuda her türlü görev var. Temelden oldukça katıya.
İlk olarak, toplamın anlamını ve formülünü ele alalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Toplamın anlamı, böğürmek kadar basittir. Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm üyelerini dikkatlice toplamanız yeterlidir. Bu terimler azsa, herhangi bir formül olmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok şey varsa veya çok varsa ... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül kurtarır.
Toplam formülü basittir:
Formülde ne tür harflerin bulunduğunu bulalım. Bu çok şeyi netleştirecek.
sn aritmetik ilerlemenin toplamıdır. Toplama sonucu Tümüüyeler, ile Birinciİle son. Bu önemli. tam olarak topla Tüm boşluklar ve atlamalar olmadan arka arkaya üyeler. Ve tam olarak, başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşinciden yirminciye kadar olan terimlerin toplamını bulmak gibi bulmacalarda - doğrudan uygulama formüller hayal kırıklığı yaratıyor.)
bir 1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.
BİR- son ilerlemenin üyesi. Satırın son numarası. Çok tanıdık bir isim değil ama miktar olarak uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.
N son üyenin numarasıdır. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen üye sayısı ile çakışmaktadır.
kavramı tanımlayalım sonüye BİR. Doldurma sorusu: ne tür bir üye olacak son, verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?
Kendinden emin bir cevap için, bir aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve ... ödevi dikkatlice okumanız gerekir!)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde, son terim her zaman görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), hangisi sınırlandırılmalıdır. Aksi takdirde, sonlu, belirli bir miktar sadece yok.Çözüm için, ne tür bir ilerleme verildiği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayıyla veya n'inci üyenin formülüyle.
En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk teriminden numaralı terime kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında, formülün tam adı şöyle görünür: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca görev tarafından belirlenir. Görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet ... Ama hiçbir şey, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkaracağız.)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görev örnekleri.
Öncelikle, yardımcı bilgi:
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görevlerdeki ana zorluk, formül öğelerinin doğru belirlenmesidir.
Ödevlerin yazarları, bu unsurları sınırsız bir hayal gücü ile şifreler.) Buradaki en önemli şey korkmamaktır. Öğelerin özünü anlamak, sadece onları deşifre etmek için yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.
1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: an n = 2n-3.5. İlk 10 terimin toplamını bulun.
Aferin. Kolay.) Formüle göre miktarı belirlemek için neleri bilmemiz gerekiyor? İlk Üye bir 1, son dönem BİR, evet son terimin numarası N.
Son üye numarası nereden alınır? N? Evet, aynı yerde, durumda! toplamı bul diyor ilk 10 üye Peki hangi numara olacak son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR formülde yerine koyacağız 10, ama velakin N- on. Yine son üye sayısı ile üye sayısı aynıdır.
Karar vermek için kalır bir 1 Ve 10. Bu, problem ifadesinde verilen n'inci terimin formülü ile kolayca hesaplanır. Nasıl yapılacağını bilmiyor musun? Bu olmadan önceki dersi ziyaret edin - hiçbir şey.
bir 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
sn = S 10.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formülün tüm öğelerinin anlamını bulduk. Bunları değiştirmek ve saymak için kalır:
Hepsi bu kadar. Cevap: 75.
GIA'ya dayalı başka bir görev. Biraz daha karmaşık:
2. Farkı 3.7 olan bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; 1 \u003d 2.3. İlk 15 terimin toplamını bulun.
Hemen toplam formülünü yazıyoruz:
Bu formül, herhangi bir üyenin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:
15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Formüldeki tüm öğeleri aritmetik ilerlemenin toplamı ile değiştirmek ve cevabı hesaplamak için kalır:
Cevap: 423.
Bu arada, toplam formülü yerine BİR sadece n'inci terimin formülünü değiştirin, şunu elde ederiz:
Benzerlerini verirsek, aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı için yeni bir formül elde ederiz:
 |
Gördüğünüz gibi burada n'inci terim gerekli değil. BİR. Bazı görevlerde bu formül çok yardımcı oluyor, evet ... Bu formülü hatırlayabilirsiniz. Ve burada olduğu gibi doğru zamanda çekebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülü ve n'inci terimin formülü her şekilde hatırlanmalıdır.)
Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):
3. Üçün katı olan tüm pozitif iki basamaklı sayıların toplamını bulun.
Nasıl! İlk üye yok, son üye yok, ilerleme yok... Nasıl yaşanır!?
Kafanızla düşünmeniz ve bir aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını koşuldan çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayılar nedir - biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) Hangi iki basamaklı sayı olur? Birinci? 10, muhtemelen.) son şey iki haneli sayı? 99, tabii ki! Üç haneli olanlar onu takip edecek...
Üçün katları... Hm... Bunlar üçe tam olarak bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünebilir! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Zaten sorunun durumuna göre bir dizi yazabilirsiniz:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bu dizi aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç kat farklıdır. Terime 2 veya 4 eklenirse sonuç, yani yeni bir sayı artık 3'e bölünmeyecek. Yığına aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3. Kullanışlı!)
Böylece, bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:
sayı ne olacak N son üye? 99'un ölümcül bir şekilde yanıldığını düşünen herkes ... Sayılar - her zaman üst üste gelirler ve üyelerimiz ilk üçün üzerinden atlar. Eşleşmiyorlar.
Burada iki çözüm var. Bir yol süper çalışkan içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini çizebilir ve parmağınızla terim sayısını sayabilirsiniz.) İkinci yol, düşünenler içindir. n'inci terim için formülü hatırlamanız gerekir. Formül problemimize uygulanırsa, 99'un ilerlemenin otuzuncu üyesi olduğunu elde ederiz. Onlar. n = 30.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formüle bakıyoruz:
Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorunun durumundan miktarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:
bir 1= 12.
30= 99.
sn = S 30.
Geriye temel aritmetik kalıyor. Formüldeki sayıları değiştirin ve hesaplayın:
Cevap: 1665
Başka bir popüler bulmaca türü:
4. Bir aritmetik ilerleme verilir:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Yirmi ile otuz dördüncü arasındaki terimlerin toplamını bulun.
Toplam formülüne bakıyoruz ve ... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatmama izin verin, toplamı hesaplıyor birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekir yirminci yıldan beri... Formül işe yaramayacak.
Elbette tüm ilerlemeyi arka arkaya boyayabilir ve üyeleri 20'den 34'e koyabilirsiniz. Ama ... bir şekilde aptalca ve uzun bir süre çıkıyor, değil mi?)
Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki kısma ayıralım. ilk bölüm olacak birinci dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmi ila otuz dört. Açıktır ki, birinci kısmın terimlerinin toplamını hesaplarsak S 1-19, ikinci kısımdaki üyelerin toplamına ekleyelim S 20-34, birinci terimden otuz dördüncü terime ilerlemenin toplamını elde ederiz S 1-34. Bunun gibi:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Bu toplamı bulmak için gösterir S 20-34 basit çıkarma ile yapılabilir
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sağ taraftaki her iki toplam da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlar için oldukça uygulanabilir. Başlıyor muyuz?
İlerleme parametrelerini görev koşulundan çıkarıyoruz:
d = 1.5.
bir 1= -21,5.
İlk 19 ve ilk 34 terimlerin toplamlarını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları 2. problemdeki gibi n'inci terimin formülüne göre sayıyoruz:
19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Hiçbir şey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Cevap: 262.5
Bir önemli Not! Bu sorunu çözmede çok kullanışlı bir özellik var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacın var (S 20-34), saydık Görünüşe göre neye gerek yok - S 1-19. Ve sonra belirlediler S 20-34, gereksizleri tam sonuçtan atarak. Böyle bir "kulaklı numara" genellikle kötü bulmacalardan kurtarır.)
Bu derste, bir aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemleri inceledik. Pekala, birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için herhangi bir sorunu çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.
n'inci terimin formülü:
Bu formüller size sorunu çözmek için nelere bakmanız, hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.
Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.
5. Üçe bölünmeyen tüm iki basamaklı sayıların toplamını bulun.
Harika mı?) İpucu, 4. problemin notunda gizli. 3. problem yardımcı olacaktır.
6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5.5; bir n+1 = bir n +0,5. İlk 24 terimin toplamını bulun.
Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu bir önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür bulmacalar genellikle GIA'da bulunur.
7. Vasya Tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevilen kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinizi hiçbir şeyden mahrum bırakmadan güzelce yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Para bitene kadar. Vasya kaç gün mutlu oldu?
Zor mu?) Görev 2'den ek bir formül yardımcı olacaktır.
Cevaplar (dağınık): 7, 3240, 6.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
IV Yakovlev | Matematiğin Materyalleri | MathUs.ru
Aritmetik ilerleme
Aritmetik ilerleme, özel bir dizi türüdür. Bu nedenle, aritmetik (ve sonra geometrik) ilerlemeyi tanımlamadan önce kısaca tartışmamız gerekir. önemli kavram sayı dizisi.
sonraki
Ekranında bazı sayıların arka arkaya görüntülendiği bir cihaz hayal edin. 2 diyelim; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Böyle bir sayı dizisi sadece bir dizi örneğidir.
Tanım. Sayısal bir dizi, her bir sayıya benzersiz bir sayı atanabilen (yani, tek bir doğal sayıya karşılık gelen) bir sayılar kümesidir1. n numaralı sayıya dizinin n. üyesi denir.
Dolayısıyla, yukarıdaki örnekte, ilk sayı, dizinin ilk üyesi olan ve a1 ile gösterilebilen 2 sayısına sahiptir; beş sayısı, dizinin beşinci üyesi olan ve a5 olarak gösterilebilen 6 sayısına sahiptir. Genel olarak, bir dizinin n'inci üyesi bir (veya bn , cn , vb.) İle gösterilir.
Çok uygun bir durum, dizinin n'inci üyesinin bir formülle belirlenebildiği zamandır. Örneğin, an = 2n 3 formülü diziyi belirtir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formülü diziyi tanımlar: 1; 1; 1; 1; : : :
Her sayı dizisi bir dizi değildir. Dolayısıyla, bir segment bir dizi değildir; yeniden numaralandırılacak ¾çok fazla¿ sayı içeriyor. Tüm gerçek sayıların R kümesi de bir dizi değildir. Bu gerçekler matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Aritmetik ilerleme: temel tanımlar
Şimdi bir aritmetik ilerlemeyi tanımlamaya hazırız.
Tanım. Aritmetik ilerleme, her terimin (ikinciden başlayarak) bir önceki terimin ve bazı sabit sayıların (aritmetik ilerlemenin farkı olarak adlandırılır) toplamına eşit olduğu bir dizidir.
Örneğin, sıra 2; 5; 8; on bir; : : : ilk terimi 2 ve farkı 3 olan bir aritmetik ilerlemedir. Dizi 7; 2; 3; 8; : : : ilk terimi 7 ve farkı 5 olan bir aritmetik ilerlemedir. Dizi 3; 3; 3; : : : sıfır farkla aritmetik ilerlemedir.
Eşdeğer tanım: Bir an dizisi, an+1 an farkı sabit bir değerse (n'ye bağlı değil) aritmetik ilerleme olarak adlandırılır.
Bir aritmetik dizinin farkı pozitif ise artan, negatif ise azalan olduğu söylenir.
1 Ve işte daha özlü bir tanım: dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur. Örneğin, gerçek sayıların dizisi f: N! R.
Varsayılan olarak diziler sonsuz kabul edilir, yani sonsuz sayıda sayı içerir. Ancak hiç kimse sonlu dizileri de dikkate alma zahmetine girmez; aslında, herhangi bir sonlu sayı kümesi sonlu bir dizi olarak adlandırılabilir. Örneğin, son dizi 1; 2; 3; 4; 5, beş sayıdan oluşur.
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülü
Bir aritmetik ilerlemenin tamamen iki sayı tarafından belirlendiğini anlamak kolaydır: ilk terim ve fark. Bu nedenle, şu soru ortaya çıkıyor: ilk terimi ve farkı bilerek, aritmetik ilerlemenin keyfi bir terimini nasıl bulursunuz?
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için istenen formülü elde etmek zor değildir. izin ver
fark ile aritmetik ilerleme d. Sahibiz: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Özellikle şunu yazıyoruz: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
ve şimdi an'ın formülünün şu olduğu açık hale geliyor: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Görev 1. Aritmetik ilerlemede 2; 5; 8; on bir; : : : n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi hesaplayın.
Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti
aritmetik ilerlemenin özelliği. Aritmetik ilerlemede a herhangi biri için
Başka bir deyişle, aritmetik ilerlemenin her bir üyesi (ikinciden başlayarak), komşu üyelerin aritmetik ortalamasıdır.
Kanıt. Sahibiz: | ||||
bir n 1+ bir n+1 | (bir d) + (bir + d) | |||
gerekli olan da buydu.
Daha genel olarak, aritmetik ilerleme an eşitliği sağlar
bir n = bir n k+ bir n+k
herhangi bir n > 2 ve herhangi bir doğal k için< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Bir dizinin aritmetik dizi olması için formül (2)'nin yalnızca gerekli değil, aynı zamanda yeterli bir koşul olduğu ortaya çıktı.
Bir aritmetik ilerlemenin işareti. Eşitlik (2) tüm n > 2 için geçerliyse, an dizisi aritmetik bir ilerlemedir.
Kanıt. (2) formülünü aşağıdaki gibi yeniden yazalım:
bir na n 1= bir n+1a n:
Bu, an+1 an farkının n'ye bağlı olmadığını gösterir ve bu sadece an dizisinin aritmetik bir ilerleme olduğu anlamına gelir.
Bir aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti, tek bir ifade olarak formüle edilebilir; kolaylık sağlamak için bunu üç sayı için yapacağız (bu, problemlerde sıklıkla meydana gelen bir durumdur).
Bir aritmetik ilerlemenin karakterizasyonu. Üç sayı a, b, c, ancak ve ancak 2b = a + c ise aritmetik bir ilerleme oluşturur.
Problem 2. (Moskova Devlet Üniversitesi, İktisat Fakültesi, 2007) Belirtilen sırayla üç sayı 8x, 3x2 ve 4 azalan bir aritmetik ilerleme oluşturur. X'i bulun ve bu ilerlemenin farkını yazın.
Çözüm. Bir aritmetik ilerlemenin özelliği gereği, elimizde:
2(3x2 ) = 8x4 , 2x2 + 8x10 = 0 , x2 + 4x5 = 0 , x = 1; x=5:
x = 1 ise 6 farkla 8, 2, 4 azalan dizi elde edilir. x = 5 ise 40, 22, 4 artan dizi elde edilir; bu dava çalışmıyor.
Cevap: x = 1, fark 6'dır.
Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı
Efsaneye göre, öğretmen çocuklara 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmalarını söyledikten sonra sessizce gazeteyi okumak için oturdu. Ancak birkaç dakika içinde bir çocuk sorunu çözdüğünü söyledi. Daha sonra tarihin en büyük matematikçilerinden biri olan 9 yaşındaki Carl Friedrich Gauss'du.
Küçük Gauss'un fikri şuydu. İzin vermek
Ö = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Bu toplamı ters sırayla yazalım:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
ve şu iki formülü ekleyin:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Parantez içindeki her terim 101'e eşittir ve toplamda 100 terim vardır.
2S = 101 100 = 10100;
Toplam formülünü türetmek için bu fikri kullanırız.
S = a1 + a2 + : : : + an + an n n: (3)
Formül (3)'ün yararlı bir modifikasyonu, n'inci terim an = a1 + (n 1)d'nin formülü yerine konularak elde edilir:
2a1 + (n 1)d | |||||
Görev 3. 13'e bölünebilen tüm pozitif üç basamaklı sayıların toplamını bulun.
Çözüm. 13'ün katı olan üç basamaklı sayılar, ilk terim 104 ve fark 13 ile aritmetik bir ilerleme oluşturur; Bu ilerlemenin n. terimi:
bir = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
İlerlememizin kaç üye içerdiğini öğrenelim. Bunu yapmak için eşitsizliği çözeriz:
bir 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Yani ilerlememizde 69 üye var. Formül (4)'e göre gerekli miktarı buluyoruz:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Veya aritmetik - bu, özellikleri bir okul cebir kursunda incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. Bu makale, bir aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusunu ayrıntılı olarak tartışmaktadır.
Bu ilerleme nedir?
Sorunun değerlendirilmesine geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neyin tartışılacağını anlamaya değer.
Önceki her sayıdan bir değer ekleyerek (çıkararak) elde edilen herhangi bir gerçek sayı dizisine cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Matematik diline tercüme edilen bu tanım şu şekli alır:
Burada i, a i serisinin elemanının sıra sayısıdır. Böylece, yalnızca bir ilk sayıyı bilerek, tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.
İncelenen sayı dizileri için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolayca gösterilebilir:
bir n \u003d bir 1 + d * (n - 1).
Yani sırayla n'inci elemanın değerini bulmak için ilk elemana d farkını 1 n-1 kez ekleyin.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül
Belirtilen miktar için formülü vermeden önce, basit bir özel durumu düşünmeye değer. Doğal sayıların 1'den 10'a ilerlemesi verildiğinde, toplamlarını bulmanız gerekir. İlerlemede (10) az sayıda terim olduğu için, sorunu kafa kafaya çözmek, yani tüm öğeleri sırayla toplamak mümkündür.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
İlginç bir şeyi dikkate almaya değer: her terim bir sonrakinden aynı d \u003d 1 değeriyle farklı olduğundan, o zaman birincinin onuncu, ikincinin dokuzuncu ile ikili toplamı aynı sonucu verecektir. . Gerçekten mi:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Gördüğünüz gibi bu toplamlardan sadece 5 tane var yani dizideki eleman sayısından tam olarak iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın sonucuyla (11) çarparak, ilk örnekte elde edilen sonuca geleceksiniz.
Bu argümanları genelleştirirsek, aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:
S n \u003d n * (bir 1 + bir n) / 2.
Bu ifade, bir satırdaki tüm elemanları toplamanın hiç gerekli olmadığını, ilk a 1 ve son a n'nin değerini ve ayrıca toplam sayısı terimler
Gauss'un bu eşitliği ilk olarak okul öğretmeni tarafından belirlenen probleme bir çözüm ararken düşündüğüne inanılıyor: ilk 100 tam sayıyı toplamak.
m'den n'ye kadar olan elemanların toplamı: formül
Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik dizinin (ilk öğelerin) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna cevap verir, ancak görevlerde genellikle ilerlemenin ortasında bir dizi sayı toplamak gerekir. Nasıl yapılır?
Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu şu örneği ele almaktır: m'den n'ye kadar olan terimlerin toplamını bulmak gerekli olsun. Problemi çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye belirli bir bölümünü yeni bir şekilde sunmak gerekir. sayı serisi. böyle gösterim m-th terim a m ilk olacak ve bir n n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda toplam için standart formül uygulanarak aşağıdaki ifade elde edilir:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Formül kullanma örneği
Bir aritmetik ilerlemenin toplamını nasıl bulacağınızı bilmek, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.
Aşağıda sayısal bir dizi var, 5'ten başlayıp 12'ye kadar olan üyelerinin toplamını bulmalısınız:
Verilen sayılar d farkının 3'e eşit olduğunu gösterir. n'inci eleman için ifadeyi kullanarak dizinin 5. ve 12. üyelerinin değerlerini bulabilirsiniz. Anlaşıldı:
5 \u003d 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Söz konusu cebirsel ilerlemenin sonundaki sayıların değerlerini bilmek ve ayrıca dizide hangi sayıları işgal ettiklerini bilmek, önceki paragrafta elde edilen toplam için formülü kullanabilirsiniz. Elde etmek:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Bu değerin farklı bir şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: önce standart formülü kullanarak ilk 12 öğenin toplamını bulun, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 öğenin toplamını hesaplayın ve ardından ikinciyi ilk toplamdan çıkarın. .