n1.doc
ÖLÇÜM SONUÇLARININ İŞLENMESİ
HATA TEORİSİNDEN ÖZET
Mutlak ve Bağıl Hatalar
Hiçbir fiziksel nicelik kesinlikle doğru bir şekilde ölçülemez: Deney ne kadar dikkatli kurulursa kurulsun, niceliğin ölçülen değeri X ondan farklı olacak gerçek değer X. Bu değerler arasındaki fark, mutlak hata (veya mutlak hata * ) ölçümler X :
X = x - x. (1)
Mutlak hata boyutsal bir değerdir: ölçülen değerin kendisi ile aynı birimlerde ifade edilir (örneğin, uzunluk ölçümünün mutlak hatası metre cinsinden, akım şiddeti amper cinsinden vb. olarak ifade edilir). (1) numaralı ifadeden aşağıdaki gibi, X hem olumlu hem de olumsuz olabilir.
değeri olmasına rağmen Xölçülen değerin gerçek değerden nasıl farklı olduğunu gösterir, mutlak hata tek başına yapılan ölçümün doğruluğunu tam olarak karakterize edemez. Örneğin, mesafe ölçümünün mutlak hatasının 1'e eşit olduğu bilinsin. m. Coğrafi noktalar arasındaki mesafe (birkaç kilometre mertebesinde) ölçülmüşse, böyle bir ölçümün doğruluğunun çok yüksek olduğu kabul edilmelidir; odanın boyutları ölçülmüşse (bir düzine metreyi geçmeyecek şekilde), o zaman ölçüm çok kabaca gerçekleştirildi. Doğruluğu karakterize etmek için bir kavram var göreceli hata (veya göreceli hata) E, mutlak hata modülünün ölçülen değere oranıdır:
bariz ki göreceli hata boyutsuz bir miktardır; çoğu zaman yüzde olarak ifade edilir.
Ölçüm hatalarını belirlerken aşağıdakileri akılda tutmak önemlidir. (1) ve (2) numaralı ifadeler, ölçülen miktarın gerçek değerini içerir X, tam olarak bilmek imkansız - bu nedenle, değerleri X ve E prensipte doğru bir şekilde hesaplanamaz. sadece yapabilirsin tahmin etmek bu değerler, yani onları yaklaşık olarak değişen kesinlik derecelerinde bulun. Bu nedenle, hataların belirlenmesi ile ilgili tüm hesaplamalar yaklaşık (tahmini) nitelikte olmalıdır.
Rastgele ve araçsal hatalar
Ölçümler sırasında meydana gelen çeşitli hatalar hem kökenlerine hem de tezahürlerinin doğasına göre sınıflandırılabilir.
Kaynaklarına göre, hatalar araçsal ve metodik olarak ayrılır.
Enstrümantal hatalar, kullanılan ölçüm aletleri ve cihazlarının kusurlu olmasından kaynaklanmaktadır. Bu hatalar daha doğru enstrümanlar kullanılarak azaltılabilir. Böylece parçanın boyutu bir cetvel veya kumpas ile ölçülebilir. Açıkçası, ikinci durumda, ölçüm hatası birinciden daha küçüktür.
Gerçek olması nedeniyle metodolojik hatalar ortaya çıkar. fiziksel süreçler her zaman teorik modellerinden bir dereceye kadar farklıdır. Örneğin, bir matematiksel sarkacın salınım periyodu formülü, yalnızca sonsuz küçük salınım genliği için tam olarak doğrudur; Bir top viskoz bir sıvı içinde hareket ettiğinde sürtünme kuvvetini belirleyen Stokes formülü, yalnızca mükemmel bir küresel şekil durumunda geçerlidir vb. Keşfet ve dikkate al metodolojik hata aynı miktarı tamamen farklı bir bağımsız yöntemle ölçerek mümkündür.
Hataların tezahürünün doğası gereği sistematik ve rastgeledir.
Sistematik bir hata hem enstrümanlardan hem de ölçüm tekniğinden kaynaklanabilir. iki tane var özellikler. Birincisi, sistematik hata her zaman ya olumlu ya da olumsuzdur ve işaretini deneyimden deneyime değiştirmez. İkincisi, ölçüm sayısı artırılarak sistematik hata azaltılamaz. Örneğin, yokluğunda dış etkilerölçüm cihazının oku değeri gösterir X 0 , sıfır dışında, diğer tüm ölçümlerde şuna eşit bir sistematik hata olacaktır. X 0 .
Rastgele hata hem araçsal hem de metodolojik olabilir. Görünüşünün nedenini belirlemek zordur ve çoğu zaman imkansızdır (çeşitli parazitler, rastgele şoklar, titreşimler, cihazda yanlış alınan bir okuma vb. olabilir). Rastgele hata hem olumlu hem de olumsuz olabilir ve işaretini deneyimden deneyime beklenmedik bir şekilde değiştirir. Ölçüm sayısı artırılarak değeri azaltılabilir.
Ölçüm hatalarının ayrıntılı analizi, tek bir tarifi olmayan karmaşık bir iştir. Bu nedenle, her durumda, bu analiz farklı şekillerde gerçekleştirilir. Bununla birlikte, ilk yaklaşımda, sistematik bir hata hariç tutulursa, geri kalanı şartlı olarak aşağıdaki iki türe indirgenebilir: araçsal ve rastgele.
enstrüman odası
Aşağıda, hata, ölçüm aletleri ve aygıtlarından kaynaklanan rastgele bir hata olarak adlandırılacaktır ve rastgele
- nedeni bilinmeyen bir hata. Enstrümantal ölçüm hatası X olarak belirtilecektir
X, rastgele – olarak s x.
Rastgele hata tahmini. Güven aralığı
Rastgele bir hatayı tahmin etme yöntemi, olasılık teorisinin hükümlerine dayanmaktadır ve matematiksel istatistik. Rastgele bir hatayı ancak aynı miktarda tekrarlanan ölçümler yapıldığında tahmin etmek mümkündür.
Yapılan ölçümler sonucunda, P miktar değerleri X: X 1 , X 2 , …, X P. ile belirtmek 
orta aritmetik değer
. (3)
Olasılık teorisinde, ölçüm sayısındaki artışla kanıtlanmıştır. Pölçülen değerin aritmetik ortalama değeri gerçeğe yaklaşır:
Az sayıda ölçümle ( P 10) ortalama değer, gerçek değerden önemli ölçüde farklı olabilir. Değerin ölçülen değeri ne kadar doğru karakterize ettiğini bilmek için, sözde belirlemek gerekir. güven aralığı sonuç.
Kesinlikle doğru bir ölçüm mümkün olmadığı için, ifadenin doğru olma olasılığı “ x'in tam olarak eşit bir değeri var” sıfıra eşittir. İfadenin olasılığı " x'in bir değeri var” bire (%100) eşittir. Bu nedenle, herhangi bir ara ifadenin doğruluk olasılığı 0 ile 1 aralığındadır. Ölçümün amacı, önceden belirlenmiş bir olasılıkla, böyle bir aralığı bulmaktır.
(0 güven aralığı ve onunla ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olan değer
– güven seviyesi
(veya güvenilirlik faktörü). Formül (3) ile hesaplanan ortalama değer, aralığın ortası olarak alınır. Güven aralığının genişliğinin yarısı rastgele bir hatadır s x(Şek. 1).
Şekil 1 (dosyanın sonuna bakın)
Şek. bir, bir, b Diğer şeylerin eşit olması durumunda, gerçek değerin güven aralığına düşme olasılığını artırmak için, ikincisinin genişliğini artırmanın gerekli olduğu açıkça gösterilmiştir (değeri “kaplama” olasılığı). X yukarıda daha geniş aralık). Bu nedenle, değer t n ,
daha büyük olmalı, güven seviyesi o kadar yüksek
.
Açıkçası, güven aralığının genişliği (ve dolayısıyla hata s x) miktarın bireysel ölçümlerinin ne kadar olduğuna bağlıdır X i ortalama değerden. Ortalamaya göre ölçüm sonuçlarının “dağılımı” şu şekilde karakterize edilir: kök ortalama kare hatası formülü ile bulunan
, (4)
nerede 
.
İstenen güven aralığının genişliği, hatanın ortalama karekökü ile doğru orantılıdır:
. (5)
orantı faktörü t n , aranan Öğrenci katsayısı; deney sayısına bağlı P ve güven seviyesi .
Deney sayısı arttıkça ortalama değer gerçeğe daha yakın hale gelir; yani aynı olasılıkla güven aralığı daha dar alınabilir (bkz. Şekil 1, AC) – böylece, büyüme ile P sudent katsayısı düşmelidir.
Öğrencinin katsayı değerlerine bağlı olarak tablosu P ve bu kılavuzun ekinde verilmiştir.
Güven düzeyinin, ölçüm sonucunun doğruluğu ile hiçbir ilgisi olmadığına dikkat edilmelidir. Değer
güvenilirlik gereksinimlerine göre önceden belirlenir. Çoğu teknik deneyde ve laboratuvar uygulamasında, değer
0.95'e eşit olarak alınır.
Bir miktarı ölçerken rastgele bir hatanın hesaplanması X aşağıdaki sırayla gerçekleştirilir:
1) ölçülen değerlerin toplamı hesaplanır ve ardından miktarın ortalama değeri formül (3)'e göre hesaplanır;
2) her biri için i th deney, ölçülen ve ortalama değerler arasındaki farkın yanı sıra bu farkın karesi (sapma) hesaplanır ( X i) 2 ;
3) kare sapmaların toplamı bulunur ve ardından ortalama kare hatanın kökü bulunur formül (4)'e göre;
4) belirli bir güven düzeyine göre ve deney sayısı P tablodan. Uygulamanın P-1'i, Öğrenci katsayısının karşılık gelen değeri seçilir t n , ve kararlı rastgele hata s x formül (5)'e göre.
Hesaplamaların kolaylığı ve ara sonuçların doğrulanması için veriler, örneği aşağıda verilen bir tabloya girilir.
tablo 1
| Deneyim numarası | … | X | X | ( X) 2 |
| 1 | … | |||
| 2 | … | |||
| … | … | |||
| P | … | |||
| = | = |
Her özel durumda, değer X belirli bir fiziksel anlamı ve karşılık gelen ölçü birimleri vardır. Örneğin, hızlanma olabilir serbest düşüş g (Hanım 2), sıvı viskozitesi
(baba
İle birlikte) vb. Tablonun eksik sütunları. 1, karşılık gelen değerleri hesaplamak için gerekli ara ölçülen değerleri içerebilir X.
örnek 1
Hızlanmayı belirlemek için a vücut hareketleri ölçülen süre t onların yolunu geçmek S başlangıç hızı yok. Bilinen ilişkiyi kullanma 
, hesaplama formülünü elde ederiz
. (6)
Yol Ölçüm Sonuçları S ve zaman t Tablonun ikinci ve üçüncü sütunlarında verilmiştir. 2. Formül (6)'yı kullanarak hesaplamaları yaptıktan sonra dolduruyoruz
ivme değerlerine sahip dördüncü sütun a i ve bu sütunun altına yazdığımız toplamlarını “ = ” hücresinde bulun. Sonra ortalama değeri hesaplıyoruz 
formül (3)'e göre:
.
Tablo 2
| Deneyim numarası | S, m | t, c | a, Hanım 2 | a, Hanım 2 | (a) 2 , (Hanım 2) 2 |
| 1 | 5 | 2,20 | 2,07 | 0,04 | 0,0016 |
| 2 | 7 | 2,68 | 1,95 | -0,08 | 0,0064 |
| 3 | 9 | 2,91 | 2,13 | 0,10 | 0,0100 |
| 4 | 11 | 3,35 | 1,96 | -0,07 | 0,0049 |
| = | 8,11 | = | 0,0229 |
Her değerden çıkarma a i ortalama, farkları bulun a i ve bunları tablonun beşinci sütununa koyun. Bu farklılıkların karesini alarak son sütunu doldururuz. Sonra kare sapmaların toplamını hesaplıyoruz ve ikinci hücreye “ = ” yazıyoruz. Formül (4)'e göre, ortalama karekök hatasını belirleriz:
.
Güven olasılığının değeri verildiğinde = 0.95, deney sayısı için P= 4 tablodan. P-1 uygulaması Öğrenci katsayısının değerini seçer t n , = 3.18; Son olarak, formül (5)'i kullanarak ivmenin ölçülmesindeki rastgele hatayı tahmin ediyoruz.
s a= 3.180.0437 0,139 (Hanım 2 ) .
Cihaz hatalarını belirleme yöntemleri
Ölçüm cihazlarının temel özellikleri, ölçüm limiti ve bölme değeri ile - esas olarak elektrikli ölçüm cihazları için - doğruluk sınıfıdır.
Ölçüm sınırı P- bu maksimum değer Belirli bir alet ölçeği kullanılarak ölçülebilen miktar. Ölçüm limiti ayrıca belirtilmemişse terazi sayısallaştırılarak belirlenir. Yani, eğer Şekil. 2, bir miliammetre ölçeğini gösterir, ardından ölçüm limiti 100'dür. mA.
İncir. 2
Bölme değeri C- ölçeğin en küçük bölümüne karşılık gelen ölçülen miktarın değeri. Ölçek sıfırdan başlıyorsa, o zaman
,
nerede N toplam bölüm sayısıdır. Örneğin, Şek. 2 N= 50. Bu ölçek, ölçüm limiti 5 olan bir ampermetreye aitse ANCAK, o zaman bölüm fiyatı 5/50 = 0.1 ( ANCAK). Ölçek bir termometreye aitse ve ile derecelendirilmişse İTİBAREN, daha sonra bölüm fiyatı C = 100/50 = 2 ( İTİBAREN). Birçok elektrikli ölçüm cihazının çeşitli ölçüm limitleri vardır. Bir limitten diğerine geçerken, terazi bölümünün fiyatı da değişir.
Doğruluk sınıfı K Mutlak aletsel hatanın, yüzde olarak ifade edilen, ölçeğin ölçüm limitine oranıdır:
. (7)
Doğruluk sınıfının değeri ("%" sembolü olmadan) kural olarak elektrikli ölçüm cihazlarında belirtilir.
Ölçüm cihazının tipine bağlı olarak mutlak enstrümantal hata aşağıdaki yöntemlerden biri ile belirlenir.
1. Hata doğrudan cihazda gösterilir. Yani, mikrometrede “0.01 mm” yazısı var. Bu cihaz örneğin bir topun çapını ölçmek için kullanılıyorsa D (laboratuvar işi 1.2), sonra ölçüm hatası D = 0,01 mm. Mutlak hata genellikle sıvı (cıva, alkol) termometrelerde, kumpaslarda vb. gösterilir.
2. Doğruluk sınıfı cihaz üzerinde belirtilmiştir. Bu miktarın tanımına göre, formül (7)'den şunları elde ederiz:
. (8)
Örneğin, doğruluk sınıfı 2.5 ve ölçüm limiti 600 olan bir voltmetre için AT mutlak alet voltajı ölçüm hatası
.
3. Cihazda ne mutlak hata ne de doğruluk sınıfı belirtilmiyorsa, cihazın çalışmasının doğasına bağlı olarak değeri belirlemenin iki yolu vardır. X:
a)ölçülen değerin değerinin göstergesi, ölçeğin bölümlerine karşılık gelen yalnızca belirli (ayrık) konumları işgal edebilir (örneğin, Dijital saat, kronometreler, nabız sayaçları vb.). Bu tür cihazlar ayrık eylem cihazları, ve onların mutlak hatası, ölçek bölme değerine eşittir: X = C. Yani, zaman aralığını ölçerken t 0,2 bölme değerine sahip kronometre İle birlikte hata t = 0,2 İle birlikte;
b)ölçülen değerin değerinin göstergesi, ölçekte herhangi bir yeri işgal edebilir (cetveller, şerit metreler, ok ölçekleri, termometreler vb.). Bu durumda, mutlak araçsal hata, bölme değerinin yarısına eşittir:
X = C/2. Cihaz tarafından alınan okumaların doğruluğu, yeteneklerini aşmamalıdır. Örneğin, Şekil 2'de gösterildiğinde. Cihazın okunun 3 pozisyonu 62.5 veya 63.0 olarak yazılmalıdır - her iki durumda da hata bölme değerinin yarısını geçmeyecektir. 62.7 veya 62.8 gibi girişler mantıklı değil.
Şek. 3
4. Belirli bir deneyde herhangi bir değer ölçülmemişse, ancak bağımsız olarak ölçülmüşse ve yalnızca değeri biliniyorsa, o zaman parametre ayarla. Bu nedenle, çalışma 2.1'de, havanın viskozite katsayısını belirlemek için, bu tür parametreler kılcalın boyutlarıdır, Young'ın ışığın girişimi üzerindeki deneyinde (çalışma 5.1) - yarıklar arasındaki mesafe, vb. Verilen parametrenin hatasının, bu parametrenin değerinin verildiği sayının son basamağının biriminin yarısına eşit olduğu varsayılır. Örneğin, kılcal yarıçap r milimetrenin yüzde biri doğrulukla verilir, sonra hatası
r = 0,005 mm.
Dolaylı ölçüm hataları
Çoğu fiziksel deneyde, istenen değer ve doğrudan herhangi bir aletle ölçülmez, ancak bir dizi ara değerin ölçümünden hesaplanır x,
y,
z,…
Hesaplama, belirli bir formüle göre gerçekleştirilir; Genel görünüm olarak yazılabilir
ve = ve (x, y, z,… ). (9)
Bu durumda, değer olduğu söylenir ve sonuç dolaylı ölçüm Farklı x, y, z,… , sonuçlar nelerdir doğrudan ölçümler. Örneğin, 1.2 çalışmasında sıvının viskozite katsayısı formülle hesaplanır
, (10)
nerede w top malzemesinin yoğunluğudur; ve sıvının yoğunluğudur; g- yerçekimi ivmesi; D topun çapıdır; t sıvıya düşme zamanı; ben- gemideki işaretler arasındaki mesafe. Bu durumda, doğrudan ölçümlerin sonuçları miktarlardır. ben, D ve t ve viskozite katsayısı dolaylı bir ölçümün sonucudur. Miktarları w , ve ve g verilen parametrelerdir.
Dolaylı ölçümün mutlak hatası ve doğrudan ölçüm hatalarına bağlıdır x, y, z… ve işlevin türü (9) üzerinde. Kural olarak, değer ve formun bir formülü ile tahmin edilebilir
nerede katsayılar k x , k y , k z,… miktarın bağımlılık türüne göre belirlenir ve itibaren x, y, z,… Aşağıdaki tablo. 3, en yaygın temel işlevler için bu katsayıları bulmanızı sağlar ( a, b, c, n sabitler verilir).
Tablo 3
| ve(X) | kx |
|
|  |
 |  |
 |  |
|
|  |
 |  |
|
| |
Uygulamada, bağımlılık (9) çoğunlukla bir güç fonksiyonu biçimindedir.
kimin üsleri k, m, n,… – gerçek (pozitif veya negatif, tamsayı veya kesirli) sayılar; İTİBAREN sabit bir katsayıdır. Bu durumda, mutlak araçsal hata ve formüle göre tahmin edilir
nerede 
- miktarın ortalama değeri ve; 
miktarların doğrudan ölçümlerinin göreceli araçsal hatalarıdır. x, y, z,… Formül (12)'de ikame için, seçiyoruz en temsili, yani ortalama değerlere yakın x, y, z,…
(12) gibi formüller kullanılarak hesaplama yapılırken aşağıdakiler akılda tutulmalıdır.
1. Ölçülen nicelikler ve bunların mutlak hataları (örneğin, X ve X) aynı birimlerde ifade edilmelidir.
2. Hesaplamalar, yüksek hesaplama doğruluğu gerektirmez ve tahmini nitelikte olmalıdır. Böylece, radikal ifadeye dahil edilen miktarlar ve kare ( kE x , ben y , nE z,…) genellikle iki anlamlı basamağa yuvarlanır (sıfırın yalnızca soldan önce sıfır olmayan en az bir basamak varsa, sıfırın anlamlı bir basamak olduğunu hatırlayın). Ayrıca, bu değerlerden biri (örneğin, | kE x|) modulo diğerlerinin en büyüğünü aşıyor (| ben y | , | nE z| ,…) üç kereden fazla, formül (12) kullanılarak yapılan hesaplamalara başvurmadan, mutlak hatayı şuna eşit almak mümkündür. 
. Bunlardan biri diğerlerinin en küçüğünden üç kat daha küçükse formül (12)'ye göre hesaplamada ihmal edilebilir.
Örnek 2
Vücudun ivmesini belirlerken (örnek 1'e bakın), yol S 1 bölme fiyatı olan bir mezura ile ölçülmüştür mm, ve zaman t- elektronik kronometre. Ardından, 3. paragraftaki ifadelere göre, a,b(s. 13) kuralları, doğrudan ölçümlerin hatalarına eşit olacaktır.
S= 0,5 mm = 0,0005 m;
t = 0,01 İle birlikte.
Hesaplama formülü (6) bir güç fonksiyonu olarak yazılabilir.
a(S,t ) = 2S 1 t – 2 ;
daha sonra, (12)'ye dayanarak, ivmenin dolaylı ölçüm hatası a ifade ile belirlenir
Ölçülen miktarların en temsili değerleri olarak alıyoruz (bkz. Tablo 2) S 8 m; t 3 İle birlikte ve ağırlık katsayılarını hesaba katarak, doğrudan ölçümlerin göreli araçsal hatalarının mutlak değerini tahmin edin:
;
.
Açıkçası, bu durumda, değer E S ihmal edilebilir ve hatayı kabul edebilir a eşit
.
Örnek 3
Bir sıvının viskozite katsayısının belirlenmesine dönelim (iş 1.2). Hesaplama formülü (10) şu şekilde temsil edilebilir:
nerede 
. Ardından, araçsal hatayı tahmin etmek için
, (12)'ye göre, ifadeyi elde ederiz.
nerede 
.
İşaretler arasındaki mesafeye izin ver ben 0,5 bölme değerine sahip bir santimetre bant ile ölçülmüştür santimetre, topun çapı - bir mikrometre ile, düşme zamanı - elektronik bir kronometre ile. O zamanlar
ben = 0,25 santimetre;
D = 0,01 mm;
t = 0,01 İle birlikte. Ölçülen değerlerin şöyle olduğunu varsayalım: ben 80 cm;
D 4 mm;
t 10 İle birlikte; 
baba
İle birlikte. Formül (13)'te yer alan miktarları tahmin edelim:
Değeri ihmal etmek E t, formül (13) ile hesaplayacağız:
Tam hata. Nihai ölçüm sonucu
Miktarın ölçülmesinde rastgele ve araçsal hataların değerlendirilmesi sonucunda X değerleri ile karakterize edilen iki güven aralığı elde edildi s x
ve
X. Ortaya çıkan güven aralığı ile karakterize edilir tam mutlak hata
, miktarlar arasındaki orana bağlı olarak s x
ve
X, aşağıdaki şekilde bulunur.
Hatalardan biri diğerinin üç katından fazlaysa (örneğin, s x > 3 X), sonra toplam hata bu daha büyük değere eşit olarak alınır (yukarıdaki örnekte, s x). Eğer değerler s x ve X birbirine yakınsa toplam hata şu şekilde hesaplanır:
. (14)
Nihai ölçüm sonucunun kaydı aşağıdaki zorunlu unsurları içermelidir.
1) Formun güven aralığı
güven seviyesinin değerini gösteren . Değerler ve , parantezlerden alınan aynı ölçü birimlerinde ifade edilir.
2) Anlam toplam göreli hata
,
yüzde olarak ifade edilir ve onluğa yuvarlanır.
Toplam hata iki anlamlı rakama yuvarlanır. Yuvarlamadan sonra elde edilen sayı 4, 5 veya 6 ile bitiyorsa başka yuvarlama yapılmaz; ikinci anlamlı rakam 1, 2, 3, 7, 8 veya 9 ise, değeri bir anlamlı rakama yuvarlanır (örnekler: a)
0.2642 0.26; b)
3.177 3.2 3; içinde) 7.8310 - 7 810 - 7, vb.). Bundan sonra, ortalama değer aynı hassasiyetle yuvarlanır.
Örnek 4
Vücudun hareketinin ivmesinin belirlenmesi sonucunda (örnek 1 ve 2) ortalama ivme değeri = 2.03 Hanım 2, rastgele hata s a
=
0,139 Hanım 2 güvenle
=
0.95 ve alet hatası
a= 0,0136 Hanım 2. Çünkü
a on kattan fazla daha az s a, o zaman ihmal edilebilir ve yuvarlatılmış toplam mutlak hata 'ye eşit alınabilir. s a 0.14 Hanım 2. Göreceli hatayı tahmin edelim:
ve son ölçüm sonucunu yazın:
Örnek 5 Sesin hızını belirlerken izin verin ve(lab 4.2) aşağıdaki sonuçları elde etti: ortalama = 343.3 Hanım; rastgele hata s ve = 8,27 Hanım de = 0.90; mutlak alet hatası ve = 1,52 Hanım. Açıktır ki bu durumda değer ve ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir s ve, ve formül (14) ile hesaplama gerekli değildir. Yuvarlamadan sonraki toplam hata s ve 8 Hanım; yuvarlatılmış ortalama 343 Hanım. Toplam göreli hata
.
Nihai ölçüm sonucu şu şekildedir:
Örnek 6
Dalga boyu belirlenirken
elde edilen lazer radyasyonu (iş 5.1):
= 0,95;
= 1,8610 - 5 mm. Bu durumda araçsal ve rastgele hataların değerleri birbirine yakındır, dolayısıyla toplam hatayı formül (14) kullanarak bulabiliriz:
Yuvarlatılmış ortalama olacak 
mm. Toplam göreli hatayı tahmin edelim
ve nihai sonucu yazın:
E = 4,4 %.
L 
Sayfa 1
Mutlak belirleme hatası 0 01 μg fosforu geçmez. Bu yöntem tarafımızca nitrik, asetik, hidroklorik ve sülfürik asitler ve asetondaki fosforu ön buharlaştırma ile belirlemek için kullanılmıştır.
Mutlak belirleme hatası 0 2 - 0 3 mg'dır.
Önerilen yöntemle çinko-manganez ferritlerde çinko tayinindeki mutlak hata, % 0 2 rel'i geçmez.
C2 - C4 hidrokarbonlarının belirlenmesindeki mutlak hata, gazdaki içerikleri % 0 2 - %50 olduğunda, sırasıyla % 0 01 - % 0'dır.
Burada Ay, a'nın tanımındaki Evet hatasından kaynaklanan r/ tanımındaki mutlak hatadır. Örneğin, bir sayının karesinin göreli hatası, sayının kendisinin belirlenmesindeki hatanın iki katıdır ve sayının küp kökü altındaki göreli hatası, sayının belirlenmesindeki hatanın sadece üçte biridir.
Tv ve Ts'nin sırasıyla restore edilmiş ve gerçek kazanın zamanı olduğu TV - Ts'nin başlangıç zamanının belirlenmesinde mutlak hataların karşılaştırılması için bir ölçü seçerken daha karmaşık hususlar gereklidir. Burada benzetme yaparak, kirliliğin geçişi sırasında bir kaza kaydeden izleme noktalarına gerçek bir deşarjdan kirlilik zirvesine ulaşmak için ortalama süreyi kullanabiliriz Tsm. Kazaların gücünün belirlenmesinin güvenilirliğinin hesaplanması, sırasıyla Mv ve Ms'nin geri yüklenen ve gerçek güçler olduğu nispi hata MV - Ms / Mv'nin hesaplanmasına dayanır. Son olarak, bir acil durum tahliyesinin süresinin belirlenmesindeki nispi hata, rv - rs / re değeri ile karakterize edilir, burada rv ve rs, sırasıyla kazaların yeniden oluşturulmuş ve gerçek süreleridir.
Tv ve Ts'nin sırasıyla restore edilmiş ve gerçek kazanın zamanı olduğu TV - Ts'nin başlangıç zamanının belirlenmesinde mutlak hataların karşılaştırılması için bir ölçü seçerken daha karmaşık hususlar gereklidir. Burada benzetme yaparak, kirliliğin geçişi sırasında bir kaza kaydeden izleme noktalarına gerçek bir deşarjdan kirlilik zirvesine ulaşmak için ortalama süreyi kullanabiliriz Tsm. Kazaların gücünün belirlenmesinin güvenilirliğinin hesaplanması, Mv ve Ms'nin sırasıyla geri yüklenen ve gerçek güçler olduğu göreceli hata Mv - Ms / Ms'nin hesaplanmasına dayanır. Son olarak, bir acil durum tahliyesinin süresinin belirlenmesindeki göreceli hata, rv - rs / rs değeri ile karakterize edilir, burada rv ve rs, kazaların sırasıyla yeniden oluşturulmuş ve gerçek süreleridir.
Aynı mutlak ölçüm hatası ile ax miktarının belirlenmesindeki mutlak hata, yöntemin duyarlılığı arttıkça azalmaktadır.
Hataların temeli rastgele olmadığı için sistematik hatalar, vantuzların belirlenmesindeki toplam mutlak hata teorik olarak %10'a ulaşabilir Gerekli miktar hava. Yalnızca kabul edilemez derecede gevşek fırınlarda (A 0 25) genel olarak kabul edilen yöntem az çok tatmin edici sonuçlar verir. Tarif edilenler, yoğun fırınların hava dengesini azaltırken genellikle negatif değerler vantuz.
Pet değerinin belirlenmesindeki hatanın analizi, bunun 4 bileşenden oluştuğunu gösterdi: matrisin kütlesini, numune kapasitesini, ağırlığını belirlemedeki mutlak hata ve numunenin kütlesindeki dalgalanmalardan kaynaklanan bağıl hata. denge değeri.
GKhP-3 gaz analizörü kullanılarak gazların seçimi, hacimlerinin sayılması ve analizine ilişkin tüm kurallara tabi olarak, CO2 ve O2 içeriğinin belirlenmesindeki toplam mutlak hata, gerçek değerlerinin %0 2 - 0 %4'ünü geçmemelidir.
Tablodan. 1 - 3, başlangıç maddeleri için kullandığımız verilerin, farklı kaynaklar, bu miktarları belirlemede mutlak hatalar içinde yer alan nispeten küçük farklılıklara sahiptir.
Rastgele hatalar mutlak veya göreli olabilir. Ölçülen değerin boyutuna sahip olan rastgele hataya mutlak belirleme hatası denir. Tüm bireysel ölçümlerin mutlak hatalarının aritmetik ortalaması, analiz yönteminin mutlak hatası olarak adlandırılır.
İzin verilen sapma veya güven aralığının değeri keyfi olarak ayarlanmaz, ancak belirli ölçüm verilerinden ve kullanılan aletlerin özelliklerinden hesaplanır. Tek bir ölçümün sonucunun bir miktarın gerçek değerinden sapmasına, mutlak belirleme hatası veya basitçe hata denir. Mutlak hatanın ölçülen değere oranı, genellikle yüzde olarak ifade edilen bağıl hata olarak adlandırılır. Tek bir ölçümün hatasını bilmek bağımsız bir öneme sahip değildir ve herhangi bir ciddi deneyde, deneyin hatasının hesaplandığı birkaç paralel ölçüm yapılmalıdır. Ölçüm hataları, oluşum nedenlerine bağlı olarak üç türe ayrılır.
Bir miktarın ölçümü bir işlemdir, bunun sonucunda ölçülen değerin standart (ölçü birimi) olarak alınan karşılık gelen değerden kaç kat daha büyük (veya daha az) olduğunu buluruz. Tüm ölçümler iki türe ayrılabilir: doğrudan ve dolaylı.
DOĞRUDAN bunlar, doğrudan ilgi çekici olan ölçümlerdir. fiziksel miktar(kütle, uzunluk, zaman aralıkları, sıcaklık değişimi vb.).
DOLAYLI - bunlar, belirli bir işlevsel bağımlılıkla ilişkili diğer niceliklerin doğrudan ölçümlerinin sonuçlarından bizi ilgilendiren miktarın belirlendiği (hesaplandığı) ölçümlerdir. Örneğin, hızın belirlenmesi düzenli hareket belirli bir süre boyunca katedilen mesafenin ölçülmesiyle, vücut yoğunluğunun vücut kütlesi ve hacminin ölçülmesiyle, vb.
Ölçümlerin ortak bir özelliği, ölçülen miktarın gerçek değerini elde etmenin imkansızlığıdır, ölçüm sonucu her zaman bir tür hata (hata) içerir. Bu temelde sınırlı olarak açıklanmıştır ölçüm doğruluğu, ve ölçülen nesnelerin kendilerinin doğası. Bu nedenle, elde edilen sonucun gerçek değere ne kadar yakın olduğunu belirtmek için, elde edilen sonuçla birlikte ölçüm hatası belirtilir.
Örneğin, ölçtüğümüz odak uzaklığı lensler f ve bunu yazdı
f = (256 ± 2) mm (1)
Bu, odak uzaklığının 254 ile 258 arasında olduğu anlamına gelir. mm. Ama aslında bu eşitlik (1) olasılıksal bir anlama sahiptir. Değerin belirtilen sınırlar içinde olduğunu tam olarak söyleyemeyiz, bunun yalnızca belirli bir olasılığı vardır, bu nedenle (1) eşitliği, bu oranın anlamlı olduğu olasılığın bir göstergesi ile desteklenmelidir (aşağıda bunu formüle edeceğiz). ifadesi daha kesin).
Hataların değerlendirilmesi gereklidir, çünkü ne olduklarını bilmeden deneyden kesin sonuçlar çıkarmak imkansızdır.
Genellikle mutlak ve bağıl hatayı hesaplar. Mutlak hata Δx, ölçülen büyüklüğün μ gerçek değeri ile ölçüm sonucu x arasındaki farktır, yani. Δx = μ - x
Mutlak hatanın ölçülen ε = (μ - x)/μ değerinin gerçek değerine oranına bağıl hata denir.
Mutlak hata, ölçüm için seçilen yöntemin hatasını karakterize eder.
Göreceli hata, ölçümlerin kalitesini karakterize eder. Ölçüm doğruluğu, göreceli hatanın karşılığıdır, yani. 1/e.
§ 2. Hataların sınıflandırılması
Tüm ölçüm hataları üç sınıfa ayrılır: ıskalar (brüt hatalar), sistematik ve rastgele hatalar.
KAYIP, bireysel gözlemlerde ölçüm koşullarının keskin bir şekilde ihlalinden kaynaklanır. Bu, cihazın sarsılması veya kırılması, deneycinin büyük bir yanlış hesaplaması, öngörülemeyen parazit vb. ile ilişkili bir hatadır. brüt bir hata genellikle bir veya iki boyuttan fazla görünmez ve büyüklük olarak diğer hatalardan keskin bir şekilde farklıdır. Bir ıskanın varlığı, ıska içeren sonucu büyük ölçüde çarpıtabilir. En kolay yol, kaymanın nedenini belirlemek ve ölçüm işlemi sırasında ortadan kaldırmaktır. Ölçüm işlemi sırasında bir fiş hariç tutulmadıysa, bu, varsa, her bir gözlem dizisinde brüt bir hatayı nesnel olarak tanımlamayı mümkün kılan özel kriterler kullanılarak ölçüm sonuçları işlenirken yapılmalıdır.
Sistematik hata, aynı değerin tekrarlanan ölçümleri sırasında sabit kalan ve düzenli olarak değişen ölçüm hatasının bir bileşenidir. Sistematik hatalar, örneğin, yavaş değişen bir sıcaklıkta yapılan bir sıvı veya gazın hacmini ölçerken termal genleşme dikkate alınmadığında ortaya çıkar; kütle ölçülürken, havanın kaldırma kuvvetinin tartılan cisim ve ağırlıklar üzerindeki etkisi dikkate alınmazsa, vb.
Cetvelin ölçeği yanlış (düzensiz) uygulanırsa sistematik hatalar gözlenir; termometrenin farklı kısımlardaki kılcal damarları farklı bir kesite sahiptir; yokluğu ile elektrik akımı ampermetre aracılığıyla, cihazın oku sıfırda değil, vb.
Örneklerden de görülebileceği gibi, sistematik hata belirli nedenlerden kaynaklanır, değeri sabit kalır (alet ölçeğinin sıfır kayması, eşit olmayan ölçekler) veya belirli (bazen oldukça karmaşık) bir yasaya göre değişir (düzensizlik). ölçek, termometre kılcal damarının düzensiz kesiti vb.).
Sistematik hatanın "deneyci hatası" kelimelerinin yerini alan yumuşatılmış bir ifade olduğunu söyleyebiliriz.
Bu hatalar şu nedenle oluşur:
- yanlış ölçüm aletleri;
- gerçek kurulum idealden biraz farklıdır;
- fenomen teorisi tamamen doğru değil, yani. hiçbir etki dikkate alınmamıştır.
İlk durumda ne yapacağımızı biliyoruz, kalibrasyon veya mezuniyet gerekiyor. Diğer iki durumda hazır tarif bulunmuyor. Fiziği ne kadar iyi bilirseniz, o kadar çok deneyime sahip olursanız, bu tür etkileri tespit etme ve dolayısıyla onları ortadan kaldırma olasılığınız o kadar artar. Genel kurallar, sistematik hataları belirlemek ve ortadan kaldırmak için herhangi bir reçete yoktur, ancak bazı sınıflandırmalar yapılabilir. Dört tür sistematik hatayı ayırt ederiz.
- Doğası sizin tarafınızdan bilinen ve değeri bulunan sistematik hatalar, bu nedenle, değişikliklerin getirilmesiyle hariç tutulmuştur. Örnek. Eşit olmayan terazilerde tartmak. Kol uzunlukları farkı 0.001 olsun mm. 70'lik bir rocker uzunluğu ile mm ve tartılan vücut ağırlığı 200 G sistematik hata 2.86 olacaktır mg. Bu ölçümün sistematik hatası, özel ağırlıklandırma yöntemleri (Gauss yöntemi, Mendeleev yöntemi vb.) uygulanarak ortadan kaldırılabilir.
- Belirli bir değerden küçük veya ona eşit olduğu bilinen sistematik hatalar. Bu durumda, cevabı kaydederken maksimum değerleri gösterilebilir. Örnek. Mikrometreye iliştirilmiş pasaport şöyle diyor: “İzin verilen hata ± 0.004 mm. Sıcaklık +20 ± 4 ° C'dir. Bu, pasaportta belirtilen sıcaklıklarda bu mikrometre ile bir vücudun boyutlarını ölçerken, ± 0.004'ü geçmeyen mutlak bir hataya sahip olacağımız anlamına gelir. mm Herhangi bir ölçüm sonucu için.
Çoğu zaman, belirli bir alet tarafından verilen maksimum mutlak hata, aletin ölçeğinde, çoğunlukla bir daire içinde alınan ilgili sayı ile gösterilen aletin doğruluk sınıfı ile gösterilir.
Doğruluk sınıfını gösteren sayı, yüzde olarak ifade edilen, cihazın maksimum mutlak hatasını gösterir. en büyük değerölçeğin üst sınırında ölçülen değer.
Ölçümlerde 0'dan 250'ye kadar bir skalaya sahip bir voltmetre kullanılmasına izin verin. AT, doğruluk sınıfı 1'dir. Bu, bu voltmetre ile ölçüm yapılırken yapılabilecek maksimum mutlak hatanın, bu alet ölçeğinde ölçülebilen en yüksek voltaj değerinin %1'inden fazla olmayacağı anlamına gelir, başka bir deyişle:
δ = ±0.01 250 AT= ±2,5 AT.
Elektrikli ölçüm cihazlarının doğruluk sınıfı, ölçeğin başından sonuna kadar hareket ederken değeri değişmeyen maksimum hatayı belirler. Bu durumda, bağıl hata önemli ölçüde değişir, çünkü ok neredeyse tüm ölçeğe saptığında aletler iyi bir doğruluk sağlar ve ölçeğin başında ölçüm yaparken bunu vermez. Bu nedenle tavsiye: enstrümanı (veya çok aralıklı enstrümanın ölçeğini), ölçümler sırasında enstrümanın oku ölçeğin ortasının ötesine geçecek şekilde seçin.
Cihazın doğruluk sınıfı belirtilmemişse ve pasaport verisi yoksa, cihazın maksimum hatası olarak cihazın en küçük ölçekli bölümünün fiyatının yarısı alınır.
Cetvellerin doğruluğu hakkında birkaç söz. Metal cetveller çok hassastır: ±0,05'ten fazla olmayan bir hatayla milimetre bölmeleri uygulanır mm, ve santimetre olanlar 0.1 doğruluktan daha kötü değil mm. Bu tür cetvellerin doğruluğu ile yapılan ölçümlerin hatası, pratik olarak gözle okuma hatasına eşittir (≤0.5 mm). Ahşap ve plastik cetveller kullanmamak daha iyidir, hataları beklenmedik şekilde büyük olabilir.
Çalışan bir mikrometre 0,01 doğruluk sağlar mm ve bir kumpas ile ölçüm hatası, bir okumanın yapılabileceği doğrulukla belirlenir, yani. sürmeli hassasiyet (genellikle 0.1 mm veya 0.05 mm).
- Ölçülen nesnenin özelliklerinden kaynaklanan sistematik hatalar. Bu hatalar genellikle rastgele hatalara indirgenebilir. Örnek.. Bazı malzemelerin elektriksel iletkenliği belirlenir. Böyle bir ölçüm için bir tür kusuru (kalınlaşma, çatlak, homojen olmama) olan bir tel parçası alınırsa, elektriksel iletkenliğin belirlenmesinde bir hata yapılacaktır. Tekrarlanan ölçümler aynı değeri verir, yani. sistematik bir hata var. Böyle bir telin birkaç bölümünün direncini ölçelim ve bu malzemenin elektrik iletkenliğinin, bireysel ölçümlerin elektriksel iletkenliğinden daha büyük veya daha az olabilen ortalama değerini bulalım, bu nedenle, bu ölçümlerde yapılan hatalar atfedilebilir. sözde rastgele hatalara.
- Varlığı bilinmeyen sistematik hatalar. Örnek.. Herhangi bir metalin yoğunluğunu belirleyin. İlk önce numunenin hacmini ve kütlesini bulun. Numunenin içinde hakkında hiçbir şey bilmediğimiz bir boşluk var. Herhangi bir sayıda ölçüm için tekrarlanacak olan yoğunluğun belirlenmesinde bir hata yapılacaktır. Verilen örnek basittir, hatanın kaynağı ve büyüklüğü çok zorlanmadan belirlenebilir. Bu tür hatalar, tamamen farklı bir yöntemle ve farklı koşullar altında ölçümler yapılarak ek çalışmalar yardımıyla tespit edilebilir.
RANDOM, aynı değerin tekrarlanan ölçümleriyle rastgele değişen ölçüm hatasının bileşenidir.
Aynı sabit, değişmeyen niceliğin tekrarlanan ölçümleri aynı özenle ve aynı koşullar altında yapıldığında, bir kısmı birbirinden farklı, bir kısmı da örtüşen ölçüm sonuçları alıyoruz. Ölçüm sonuçlarındaki bu tür farklılıklar, bunlarda rastgele hata bileşenlerinin varlığını gösterir.
Rastgele hata, her biri kendi içinde ölçüm sonucu üzerinde algılanamaz bir etkiye sahip olan birçok kaynağın eşzamanlı eyleminden kaynaklanır, ancak tüm kaynakların toplam etkisi oldukça güçlü olabilir.
Rastgele bir hata, belirli bir ölçüm eylemi için tahmin edilemeyen farklı mutlak değerler alabilir. Bu hata eşit olarak hem olumlu hem de olumsuz olabilir. Rastgele hatalar bir deneyde her zaman mevcuttur. Sistematik hataların olmaması durumunda, tekrarlanan ölçümlerin gerçek değer etrafında dağılmasına neden olurlar ( şek.14).
Ek olarak, sistematik bir hata varsa, ölçüm sonuçları doğru değil, önyargılı değere göre dağılacaktır ( şek.15).
Pirinç. 14 Şek. on beş
Bir kronometre yardımıyla sarkacın salınım periyodunu ölçtüğümüzü ve ölçümün birçok kez tekrarlandığını varsayalım. Kronometreyi başlatma ve durdurmadaki hatalar, referans değerindeki bir hata, sarkacın küçük düzensiz hareketi, tüm bunlar tekrarlanan ölçümlerin sonuçlarında bir saçılıma neden olur ve bu nedenle rastgele hatalar olarak sınıflandırılabilir.
Başka hata yoksa, bazı sonuçlar biraz fazla tahmin edilirken, diğerleri biraz hafife alınacaktır. Ancak buna ek olarak, saat de gerideyse, tüm sonuçlar hafife alınacaktır. Bu zaten sistematik bir hatadır.
Bazı faktörler aynı anda hem sistematik hem de rastgele hatalara neden olabilir. Böylece, kronometreyi açıp kapatarak, sarkacın hareketine göre saati başlatma ve durdurma anlarında küçük düzensiz bir yayılma oluşturabilir ve böylece rastgele bir hata oluşturabiliriz. Ancak, ayrıca, kronometreyi her açmak için acele edersek ve biraz geç kapatırsak, bu sistematik bir hataya yol açacaktır.
Rastgele hatalar, alet ölçeğinin bölümleri okunurken, bina temelinin sarsılması, hafif hava hareketinin etkisi vb. sırasındaki bir paralaks hatasından kaynaklanır.
Bireysel ölçümlerin rastgele hatalarını hariç tutmak imkansız olsa da, rastgele olayların matematiksel teorisi, bu hataların nihai ölçüm sonucu üzerindeki etkisini azaltmamıza izin verir. Bunun için bir değil birkaç ölçüm yapılması gerektiği ve elde etmek istediğimiz hata değeri ne kadar küçükse o kadar çok ölçüm yapılması gerektiği aşağıda gösterilecektir.
Ölçüm verilerinden elde edilen rastgele hatanın, cihazın doğruluğu tarafından belirlenen hatadan önemli ölçüde daha az olduğu ortaya çıkarsa, açıkçası, büyüklüğünü daha da azaltmaya çalışmanın bir anlamı olmadığı akılda tutulmalıdır. yine de rastgele hata, ölçüm sonuçları bundan daha doğru olmayacaktır.
Aksine, rastgele hata aletsel (sistematik) hatadan büyükse, belirli bir ölçüm serisi için hata değerini azaltmak ve bu hatayı bir veya bir mertebeden daha az yapmak için ölçüm birkaç kez yapılmalıdır. alet hatası ile büyüklük.
Sayısal analizdeki en önemli sorulardan biri, bir hesaplama sırasında belirli bir noktada meydana gelen bir hatanın nasıl daha fazla yayıldığı, yani sonraki işlemler gerçekleştirildikçe etkisinin daha büyük veya daha küçük olup olmadığı sorusudur. Uç bir durum, neredeyse iki sayının çıkarılmasıdır. eşit sayılar: bu iki sayının çok küçük hataları olsa bile, farkın göreli hatası çok büyük olabilir. Böyle bir göreli hata, sonraki tüm aritmetik işlemlerde daha da yayılacaktır.
Hesaplama hatalarının (hatalarının) kaynaklarından biri, bit ızgarasının sonluluğu nedeniyle bir bilgisayardaki gerçek sayıların yaklaşık temsilidir. İlk veriler bir bilgisayarda yüksek doğrulukla sunulmasına rağmen, sayma sürecinde yuvarlama hatalarının birikmesi önemli bir sonuç hatasına yol açabilir ve bazı algoritmalar bir bilgisayarda gerçek hesaplama için tamamen uygun olmayabilir. Gerçek sayıların bir bilgisayarda gösterimi hakkında daha fazla bilgi edinebilirsiniz.
Hata Yayılımı
Hata yayılımı gibi bir problemle uğraşmanın ilk adımı olarak, işlemde yer alan niceliklerin ve hatalarının bir fonksiyonu olarak dört aritmetik işlemin her birinin sonucunun mutlak ve göreli hataları için ifadeler bulmak gerekir.
Mutlak hata
İlave
İki yaklaşım ve iki nicelik vardır ve bunlara karşılık gelen mutlak hatalar ve . Daha sonra, toplamanın bir sonucu olarak,
.ile gösterdiğimiz toplam hata şuna eşit olacaktır:
.Çıkarma
Aynı şekilde elde ederiz
.Çarpma işlemi
çarptığımızda
.Hatalar genellikle değerlerden çok daha küçük olduğundan, hataların çarpımını ihmal ederiz:
.ürün hatası olacak
.Bölüm
.Bu ifadeyi forma dönüştürüyoruz
.Parantez içindeki faktör bir diziye genişletilebilir
.İlkinden daha yüksek hata ürünleri veya hata dereceleri içeren tüm terimleri çarparak ve ihmal ederek,
.Sonuç olarak,
.Hatanın işaretinin yalnızca çok nadir durumlarda bilindiği açıkça anlaşılmalıdır. Örneğin, formülde toplama için bir artı, çıkarma için bir eksi olduğu için hatanın toplama ile arttığı ve çıkarma ile azaldığı bir gerçek değildir. Örneğin iki sayının hataları zıt işaretli ise durum tam tersi olacaktır yani toplama yaparken hata azalacak ve bu sayılar çıkarıldığında artacaktır.
göreli hata
Dört aritmetik işlemde mutlak hataların yayılması için formülleri türettikten sonra, göreli hatalar için karşılık gelen formülleri türetmek oldukça kolaydır. Toplama ve çıkarma için formüller, her orijinal sayının göreli hatasını açıkça içerecek şekilde değiştirildi.
İlave
.Çıkarma
.Çarpma işlemi
.Bölüm
.Aritmetik işleme iki yaklaşık değerle ve karşılık gelen hatalarla başlıyoruz ve . Bu hatalar herhangi bir kaynaktan olabilir. Değerler ve hatalar içeren deneysel sonuçlar olabilir; sonsuz bir sürece göre bir ön hesaplamanın sonuçları olabilirler ve bu nedenle kısıtlama hataları içerebilirler; önceki aritmetik işlemlerin sonuçları olabilir ve yuvarlama hataları içerebilirler. Doğal olarak, çeşitli kombinasyonlarda üç tür hatayı da içerebilirler.
Yukarıdaki formüller, dört aritmetik işlemin her birinin sonucunun hatası için bir fonksiyon olarak bir ifade verir; bunda yuvarlama hatası aritmetik işlem nerede dikkate alınmadı. Gelecekte, bu sonucun hatasının sonraki aritmetik işlemlerde nasıl yayıldığını hesaplamak gerekirse, dört formülden biri tarafından hesaplanan sonucun hatasını hesaplamak gerekir. yuvarlama hatasını ayrı olarak ekle.
Hesaplamalı süreçlerin grafikleri
Şimdi bazı aritmetik hesaplamalarda hata yayılımını hesaplamanın uygun bir yolunu düşünelim. Bu amaçla, işlem sırasını kullanarak bir hesaplamada göstereceğiz. saymak ve nihai sonucun toplam hatasını nispeten kolay bir şekilde belirlememizi sağlayacak katsayıları grafiğin oklarının yanına yazacağız. Bu yöntem, hesaplamalar sırasında ortaya çıkan herhangi bir hatanın toplam hataya katkısını belirlemeyi kolaylaştırması bakımından da uygundur.
Şekil 1. İşlem grafiği hesaplama
Üzerinde şek.1 hesaplama sürecinin bir grafiği gösterilmektedir. Grafik, oklar takip edilerek aşağıdan yukarıya doğru okunmalıdır. İlk olarak, yatay bir seviyede bulunan işlemler gerçekleştirilir, ardından daha yüksek seviyede bulunan işlemler vb. x ve yönce eklenip sonra çarpılır z. Grafikte gösterilen şek.1, yalnızca hesaplama sürecinin kendisinin bir görüntüsüdür. Sonucun toplam hatasını hesaplamak için bu grafiği okların yanına yazılan katsayılarla aşağıdaki kurallara göre tamamlamak gerekir.