d) sonuç olarak atmak son rakam yuvarlayarak (sonucun şüpheli basamağının basamağı, terimlerin şüpheli basamağının en büyük basamağıyla çakışır).

Örnek: 5,4382 10 5 - 2,918 10 3 + 35,8 + 0,064.

Bu sayılarda, son önemli basamaklar şüphelidir (yanlış olanlar zaten atılmıştır). Bunları 543820 - 2918 + 35.8 + 0.064 şeklinde yazıyoruz.

Görüldüğü gibi birinci terimde şüpheli 2 sayısı en yüksek basamağa (onlar) sahiptir. Diğer tüm sayıları bir sonraki basamağa yuvarlayıp ekleyerek, şunu elde ederiz:

543820 - 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5 .

Kural 2 Yaklaşık sayıları çarparken (bölerken) şunları yapmalısınız:

a) en az anlamlı basamaklı sayıyı (sayıları) seçin ( ÖNEMLİ - sıfır dışındaki sayılar ve aralarındaki sıfırlar);

b) geri kalan sayıları, a paragrafında tahsis edilenden bir önemli basamak fazla olacak şekilde yuvarlayın (bir yedek basamak kaydedilir);

c) elde edilen sayıları çarpın (bölün);

d) sonuç olarak, en az anlamlı basamaklı sayıda (sayılarda) olduğu kadar çok anlamlı basamak bırakın.

Örnek: .

Kural 3 Bir güce yükseltirken, kökü çıkarırken, sonuç olarak, orijinal sayıda olduğu kadar çok sayıda önemli basamak kaydedilir.

Örnek: .

Kural 4 Bir sayının logaritmasını bulurken, logaritmanın mantisi, orijinal sayıdaki kadar anlamlı basamak içermelidir:

Örnek: .

son girişte mutlak hatalar sadece bırakılmalıdır önemli bir rakam. (Bu rakam 1 çıkarsa, ondan sonra başka bir rakam kaydedilir).

Ortalama değer, mutlak hata ile aynı haneye yuvarlanır.

Örneğin: V\u003d (375,21 0,03) cm3 \u003d (3,7521 0,0003) cm3.

ben\u003d (5,530 0,013) A, A = J.

İş emri

Silindir çapının belirlenmesi.

1. Bir kumpas ile 7 kez ölçün ( farklı yerler ve yönler) silindir çapı. Sonuçları bir tabloya kaydedin.

ÖLÇÜM HATALARININ TEMEL TAHMİNLERİ

Ölçüm, fiziksel bir niceliğin değerini, özel teknik araçlar - ölçüler, ölçü aletleri - yardımıyla ampirik olarak bulmaktır.

Bir ölçü, belirli bir boyutta fiziksel bir niceliği yeniden üreten bir ölçü aracıdır - bir ölçü birimi, çoklu veya kesirli değeri. Örneğin ağırlıklar 1 kg, 5 kg, 10 kg.

Bir ölçüm cihazı, bir gözlemci tarafından doğrudan algılanabilecek bir formda bir ölçüm bilgisi sinyali üretmek için tasarlanmış bir ölçüm cihazıdır. Ölçüm cihazı, ölçülen değeri ölçümlerle doğrudan veya dolaylı olarak karşılaştırmanıza olanak tanır. Ölçümler ayrıca doğrudan ve dolaylı olarak ayrılır.

Doğrudan ölçümlerde, miktarın istenen değeri doğrudan ana (deneysel) verilerden bulunur.

Dolaylı ölçümlerde, bir niceliğin istenen değeri, bu nicelik ile doğrudan ölçüme tabi tutulan nicelikler arasındaki bilinen bir ilişki temelinde bulunur. Ölçüm ilkesi, ölçümlerin dayandığı fiziksel fenomenlerin toplamıdır.

Ölçüm yöntemi - ilkeleri ve ölçüm araçlarını kullanmak için bir dizi yöntem. Anlam fiziksel miktar, ideal olarak niteliksel ve niceliksel olarak verilen nesnenin karşılık gelen özelliğini yansıtacak olan, fiziksel niceliğin gerçek değeridir. Fiziksel bir niceliğin ölçülerek bulunan değeri, ölçümün sonucudur.

Ölçüm sonucunun ölçülen miktarın gerçek değerinden sapması ölçüm hatasıdır.

Mutlak ölçüm hatası, ölçülen miktarın birimleri cinsinden ifade edilen ve sonuç ile ölçülen miktarın gerçek değeri arasındaki farka eşit olan ölçüm hatasıdır. Mutlak hatanın ölçülen miktarın gerçek değerine oranı, bağıl ölçüm hatasıdır.

Ölçme hatasına katkı, ölçme aletlerinin hataları (araçsal veya aletsel hata), ölçme yönteminin kusurlu olması, aletin skalasındaki okuma hatası, dış etkilerölçüm araçları ve nesneleri üzerinde, bir kişinin ışık ve ses sinyallerine tepkisindeki gecikme.

Hataların tezahürünün doğasına göre, sistematik ve rastgele olarak ayrılırlar. Rastgele bir olay, bir dizi faktör verildiğinde gerçekleşebilecek veya olmayabilecek bir olaydır.

Rastgele hata - aynı değerin tekrarlanan ölçümleriyle rastgele değişen ölçüm hatasının bir bileşeni. Karakteristik özellik rastgele hatalar, sabit ölçüm koşulları altında hatanın büyüklüğündeki ve işaretindeki değişikliktir.

Sistematik hata - aynı değerin tekrarlanan ölçümleri sırasında sabit kalan veya düzenli olarak değişen ölçüm hatasının bir bileşeni. Sistematik hatalar, ilke olarak, daha doğru araçlar ve yöntemler kullanılarak düzeltmeler yoluyla ortadan kaldırılabilir (pratikte sistematik bir hatayı tespit etmek her zaman kolay olmasa da). Bireysel ölçümlerin rastgele hatalarını dışlamak imkansızdır; rastgele fenomenlerin matematiksel teorisi (olasılık teorisi) yalnızca birinin büyüklüklerinin makul bir tahminini oluşturmasına izin verir.

Doğrudan ölçüm hataları

Sistematik hataların hariç tutulduğunu ve ölçüm sonuçlarındaki hataların yalnızca rastgele olduğunu varsayalım. Harflerle belirtiyoruz - fiziksel bir niceliğin ölçümlerinin sonuçları, gerçek değer hangisine eşittir . Bireysel ölçümlerin sonuçlarının mutlak hataları belirtilir:

Eşitliğin (1) elde edilen sol ve sağ taraflarını toplayarak şunu elde ederiz:

(2)

Rastgele hatalar teorisi, deneysel olarak doğrulanmış varsayımlara dayanmaktadır:

hatalar sürekli bir dizi değer alabilir;

de büyük sayılar aynı büyüklükte rastgele hataları ölçer, ancak farklı işaret eşit sıklıkta görüşmek;

Bir hatanın meydana gelme olasılığı, büyüklüğü arttıkça azalır. Hataların ölçülen değere göre küçük ve bağımsız olması da gereklidir.

Varsayım (1)'e göre, n   ölçüm sayısı ile şunu elde ederiz:

,

Ancak boyutların sayısı her zaman sonludur ve bilinmiyor. Ancak pratik amaçlar için, gerçek değere çok yakın bir fiziksel niceliğin değerini deneysel olarak bulmak yeterlidir. gerçek olanın yerine kullanılabilir. Soru, bu yaklaşımın derecesinin nasıl tahmin edileceğidir?

Olasılık teorisine göre, bir dizi ölçümün aritmetik ortalaması bireysel ölçümlerin sonuçlarından daha güvenilir, çünkü farklı yönlerde gerçek değerden rastgele sapmalar eşit derecede olasıdır. 2a genişliği aralığında a i değerinin ortaya çıkma olasılığı  için, 2a i aralığına düşen a i değerlerinin göreceli oluşum sıklığını anlıyorum. sonsuzluğa meyleden deneyler (ölçümler). Açıkçası, belirli bir olayın olasılığı bire eşittir, imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır, yani. 0    %100.

İstenen değerin (gerçek değeri) (a - a, a + a) aralığında yer alma olasılığına güven olasılığı (güvenilirlik)  ve karşılık gelen  aralığı (a - a, a + a) - güven aralığı; hata değeri a ne kadar küçük olursa, ölçülen değerin bu hata tarafından tanımlanan aralıkta yer alma olasılığı o kadar küçük olur. Karşıt ifade de doğrudur: sonucun güvenilirliği ne kadar düşükse, istenen değerin güven aralığı o kadar dardır.

Büyük n için (pratik olarak n  100 için), belirli bir güvenilirlik  için güven aralığının yarı genişliği şuna eşittir:

, (3)

 = 0.68'de K() = 1;  = 0.95'te K() = 2; K() = 3 ile  = 0,997.

Çoğu zaman öğrenci laboratuvar uygulamalarında bulunan az sayıda ölçümle, (3)'teki K() katsayısı yalnızca 'ye değil, aynı zamanda ölçüm sayısına da n bağlıdır. Bu nedenle, her zaman yalnızca müsaitlik durumuna bağlı olacağız rastgele hata güven aralığının yarı genişliği formülle bulunur

(4)

(4) katsayısında t  n, Student katsayısı olarak adlandırılır. Öğrenci uygulamasında benimsenen  = 0.95 için t  n değerleri aşağıdaki gibidir:

Değer, bir dizi ölçümün aritmetik ortalamasının ortalama karekök hatası olarak adlandırılır.

Cihazın veya önlemin hatası genellikle pasaportunda veya cihazın ölçeğinde bir sembolle belirtilir. Genellikle alet hatası , eğer ölçüm hatası yalnızca alet hatasından kaynaklanıyorsa, ölçülen değerin 0,997'lik bir ölçüm olasılığıyla içinde tutulabileceği aralığın yarı genişliği olarak anlaşılır. Ölçüm sonucunun toplam (toplam) hatası olarak,  = 0,95 olasılıkla kabul ediyoruz

Mutlak hata, sonucun hangi işaretinin yanlışlık içerdiğini belirlemenizi sağlar. Bağıl hata, ölçülen değerin hangi oranının (yüzde) hata (güven aralığının yarısı) olduğu hakkında bilgi verir.

0'ın bir dizi doğrudan ölçümünün nihai sonucunu şu şekilde yazıyoruz:

.

Örneğin

(6)

Bu nedenle, ampirik olarak bulunan herhangi bir fiziksel nicelik şu şekilde temsil edilmelidir:

Ölçülen ve tablosal değerlerdeki hatalar, dolaylı olarak belirlenen bir değerin DX avg hatalarına neden olur ve DX avg'ye en büyük katkı, maksimum bağıl hata ile en az doğru değerler tarafından yapılır. d. Bu nedenle, dolaylı ölçümlerin doğruluğunu artırmak için doğrudan ölçümlerde eşit doğruluk elde etmek gerekir.

(d A, d B, d C, ...).

Dolaylı ölçüm hatalarını bulma kuralları:

1. Verilen bir fonksiyonun doğal logaritmasını bulun

log(X = f(A,B,C,…));

2. Bulunan değerden toplam farkı (tüm değişkenler üzerinden) bulun doğal logaritma verilen işlev;

3. Diferansiyel d'nin işaretini mutlak hata D'nin işaretiyle değiştirin;

4. Mutlak hatalarla karşılaşan tüm "eksileri" değiştirin DA, DB, DC, ... "profesyonellere".

Sonuç, en büyüğün formülüdür. bağıl hata d x dolaylı ölçülen değer X:

d x = = j (A av, Bav, Cav, …, DA av, DB av, DC av, …).(18)

Bulunan bağıl hataya göre d x tanımlamak mutlak hata dolaylı ölçüm:

DX cf \u003d d x. X cf . (19)

Dolaylı ölçümlerin sonucu standart formda kaydedilir ve sayısal eksende gösterilir:

X \u003d (X sr ± DX sr), birim. (yirmi)

Örnek:

akrabayı bul ve ortalama hatalar fiziksel miktar L, dolaylı olarak aşağıdaki formülle belirlenir:

, (21)

nerede π, g, t, k, α, β- değerleri ölçülen veya referans tablolarından alınan ve bir ölçüm sonuçları tablosuna ve tablo verilerine girilen miktarlar (Tablo 1'e benzer).

1. Ortalama değeri hesaplayın L cf, (21) 'de tablodaki ortalama değerleri değiştirerek - π cf, g cf, t cf, k cf, α cf, β cf.

2. En büyük bağıl hatayı belirleyin δL:

a). Formül (21) logaritmik hale getirilir:

b). Ortaya çıkan ifade (22) farklılaştırılır:

c) Diferansiyel d'nin işaretini Δ ile ve mutlak hataların önündeki "eksileri" - "artılarla" değiştirin ve en büyük göreli hata için ifadeyi elde edin δL:

d). Ortaya çıkan ifadede, girdi miktarlarının ortalama değerlerini ve bunların ölçüm sonuçları tablosundaki hatalarını değiştirerek, hesaplayın δL.

3. Ardından mutlak hatayı hesaplayın ΔLav:

Sonuç standart formda kaydedilir ve eksen üzerinde grafiksel olarak çizilir. L:

, birimler rev.