Genel nüfus ve örneklem. Genel ve örnek popülasyonlar. Örnekleme Yöntemi

100 tl ilk sipariş bonusu

İşin türünü seçin Mezuniyet çalışması Ders çalışmasıÖzet Yüksek lisans tezi Uygulama raporu Makale Raporu İnceleme Ölçek Monografi Problem çözme İş planı Soruların cevapları yaratıcı iş Deneme Çizim Denemeler Çeviri Sunumlar Yazma Diğer Metnin benzersizliğini artırma doktora tezi Laboratuvar işiçevrimiçi yardım

fiyat isteyin

Genel popülasyon, örnekleme yöntemiyle incelenen nesnelerin ve / veya fenomenlerin istatistiksel kümesinin tamamıdır. kamusal yaşam ortak nitel özelliklere veya nicel değişkenlere sahip olmak.

Toplam gözlem nesnesi sayısı (insanlar, haneler, işletmeler, Yerleşmeler belirli bir takım özelliklere (cinsiyet, yaş, gelir, sayı, ciro vb.) sahip olan, yer ve zaman ile sınırlı. Popülasyon örnekleri:
- Tüm Moskova sakinleri (2002 nüfus sayımına göre 10,6 milyon kişi)
- Muskovit erkekler (2002 nüfus sayımına göre 4,9 milyon kişi)
- Tüzel kişiler Rusya (2005 başında 2,2 milyon)
- Gıda ürünleri satan perakende satış yerleri (2008 yılı başında 20 bin), vb.

G.S.'nin doğru tanımı. ve özellikleri, araştırma tasarımının seçimi için son derece önemlidir - temsili bir örneklem oluşturmak için bir strateji ( santimetre.). en önemli özellikler G.S. kapsamı ve tanımlanacak öğelerin mevcudiyetidir.

Hacim açısından, sonlu ve sonsuz G.S.'yi ayırmak gelenekseldir. Bu ayrım tamamen tekniktir, temsili bir olasılıksal (rastgele) numunenin hacmini ve hatalarını tahmin etme prosedürlerinin özelliklerinden kaynaklanmaktadır. sayısı örneklem büyüklüğü ile karşılaştırılabilir olan nihai olarak kabul edilir. Örnek boyutu F.S. popülasyonunun yüzde birkaçını aşarsa, örnekleme hatası F.S. boyutu için ayarlanarak tahmin edilmelidir.

Temsili bir rasgele numunenin hacmine kıyasla hacmi orantısız bir şekilde büyük olan sonsuz GS denir. Açıkça söylemek gerekirse, tüm G.S. sosyal bilimlerde sınırlıdır (sayıları birkaç milyar olsa bile), ancak pratikte G.S. kabul edilebilir bir hata düzeyi sağlayan örneklem büyüklüğü, sayısının %1-2'sini geçmiyorsa sonsuz olarak kabul edilebilir. Bazen sonsuzluk kavramı doğrudan G.S.'nin hacmiyle, örneğin yüz binden fazla nesneyle ilişkilendirilir.

Aidiyeti bariz veya kolayca tespit edilen G.S.'lere özel denir. Belirli G.S. hacmi belirlemek ve nispeten elde etmek kolaydır tam listeöğelerinin - örnekleme çerçevesi (bkz. örnekleme temeli). Örneğin, şehrin yetişkin sakinlerinin bir listesi adres tablosunda ve öğrencilerin listelerinde bulunabilir. büyük şehir- üniversitelerde. Eğer belirli bir G.S. çok büyükse (örneğin, bir ülkenin nüfusu), tümüne ilişkin listeler elde edilebilir. yapısal parçalar. Rastgele temsili bir örneğin oluşturulması ( santimetre.) belirli G.S. teknik olarak her zaman mümkündür; zaman, kalifiye personel veya malzeme kaynaklarının eksikliğinden dolayı sorunlar ortaya çıkabilir.

Aidiyeti ancak hedeflenen işlemler veya özel çalışmalar sonucunda tespit edilebilen G.S.'lere farazi denir. Böyle G.S. örneğin, KYS izleyicileri (bir kişinin belirli bir reklamı görüp görmediğini ona sormadan bilemezsiniz), belirli türden hayranları içerir akvaryum balığı, dar bir problemdeki uzmanlar vb. Bazı varsayımsal G.S.'nin hacmini belirlemek için. özel çalışmalara da ihtiyaç vardır. Temsili bir rastgele örnek oluşturma olasılığı ( santimetre.) varsayımsal G.S. büyük hacim birçok durumda sorunludur.

NÜFUS PARAMETRESİ- genel popülasyonun herhangi bir niceliksel özelliğini belirtmek için kullanılan istatistiksel bir terim ( santimetre.). Beklenen değer ( santimetre.), varyans ( santimetre.), olasılık ( santimetre.) pozitif yanıt, iki rastgele değişken arasındaki korelasyon katsayısı ( santimetre.) G.S.P. Benzer örnek özellikleri ( santimetre.) örnekleme istatistikleri olarak adlandırılır ( santimetre.).

Örnek (Örnek popülasyon) -Çalışmaya katılım için genel popülasyondan seçilen belirli bir prosedür kullanılarak bir dizi vaka (denekler, nesneler, olaylar, örnekler).
Popülasyonun tamamı hakkında bir sonuca varmak için çalışma için seçilen popülasyondaki nesnelerin bir kısmı. Örneklemi inceleyerek varılan sonucun evrenin tamamına yayılabilmesi için örneğin temsili özellik taşıması gerekir.

Örnek özellikler:

Numunenin niteliksel özellikleri - tam olarak kimi seçiyoruz ve bunun için hangi numune oluşturma yöntemlerini kullanıyoruz.

Örneklemin kantitatif özelliği kaç tane durum seçtiğimiz yani örneklem büyüklüğüdür.

Örnek boyut— örneğe dahil edilen vakaların sayısı. İstatistiki nedenlerle vaka sayısının en az 30-35 olması önerilmektedir.

Bir dizi homojen nesne, niceliksel veya niteliksel olarak ölçülen, onları karakterize eden bazı özelliklerle ilişkili olarak sıklıkla incelenir.

Örneğin, bir parça partisi varsa, o zaman parçanın GOST'a göre boyutu nicel bir işaret olabilir ve parçanın standartlığı bir kalite işareti olabilir.

Gerekirse standartlara uygunluk açısından kontrol edilirler, bazen tam bir ankete başvururlar, ancak pratikte bu nadiren kullanılır. Örneğin, genel nüfus incelenmekte olan çok sayıda nesne içeriyorsa, sürekli bir araştırma yapmak pratik olarak imkansızdır. Bu durumda, tüm popülasyondan belirli sayıda nesne (eleman) seçilir ve bunlar incelenir. Böylece genel ve örnek bir popülasyon vardır.

Genel adı, incelemeye veya incelemeye konu olan tüm nesnelerin bütünüdür. Genel popülasyon, kural olarak, sınırlı sayıda öğe içerir, ancak çok büyükse, matematiksel hesaplamaları basitleştirmek için, tüm popülasyonun sayılamayan sayıda nesneden oluştuğu varsayılır.

Örnek veya örnek popülasyon, tüm popülasyondan seçilen öğelerin bir parçasıdır. Örnekleme tekrarlanabilir veya tekrarlanmayabilir. İlk durumda, genel popülasyona geri döner, ikinci durumda değildir. Uygulamada, tekrarlanmayan rastgele seçim daha sık kullanılır.

Popülasyon ve örneklem, temsiliyet yoluyla birbirleriyle ilişkili olmalıdır. Başka bir deyişle, örneklem popülasyonunun özelliklerinin tüm popülasyonun özelliklerini güvenle belirleyebilmesi için, örneklem öğelerinin bunları mümkün olduğunca doğru bir şekilde temsil etmesi gerekir. Başka bir deyişle, örnek temsili (temsilci) olmalıdır.

Numune çok farklı yerlerden rastgele alınırsa az ya da çok temsil edici olacaktır. Büyük bir sayı tüm agrega. Bu, sözde büyük sayılar yasası temelinde tartışılabilir. Bu durumda, tüm elemanların örneğe dahil edilme olasılığı eşittir.

Mevcut Çeşitli seçenekler seçim. Tüm bu yöntemler prensip olarak iki seçeneğe ayrılabilir:

Seçenek 1. Öğeler, popülasyon bölümlere ayrılmadığında seçilir. Bu varyant, basit rasgele tekrarlanan ve tekrarlanmayan seçimleri içerir.
Seçenek 2. Genel popülasyon kısımlara bölünür ve elemanların seçimi yapılır. Bunlar tipik, mekanik ve seri seçimleri içerir.

Basit rasgele - öğelerin tüm popülasyondan birer birer rasgele çıkarıldığı seçim.

Tipik, öğelerin tüm popülasyondan değil, tüm "tipik" kısımlarından seçildiği bir seçimdir.

Mekanik - bu, tüm popülasyon grup sayısına bölündüğünde böyle bir seçimdir, sayıya eşitörneklemde olması gereken elementler seçilir ve buna göre her gruptan bir element seçilir. Örneğin, makine tarafından yapılan parçaların %25'inin seçilmesi gerekiyorsa, o zaman dörtte bir parça seçilir ve parçaların %4'ü gerekiyorsa, her yirmi beşte bir parça seçilir ve bu böyle devam eder. Aynı zamanda, bazen mekanik seçilimin yeterli sağlamayabileceğini de söylemek gerekir.

Seri - bu, öğelerin birer birer değil, sürekli araştırmaya tabi tutulan "seri" halinde tüm popülasyondan seçildiği bir seçimdir. Örneğin, parçalar çok sayıda otomatik makine tarafından üretildiğinde, yalnızca birkaç makinenin ürünleriyle ilgili olarak tam bir inceleme yapılır. İncelenen özelliğin farklı serilerde çok az değişkenliği varsa seri seçim kullanılır.

Hatayı azaltmak için, bir örneklem yardımıyla genel popülasyonun tahminleri kullanılır. Ayrıca, seçici kontrol hem tek aşamalı hem de çok aşamalı olabilir, bu da anketin güvenilirliğini artırır.

Nüfus

İstatistiksel popülasyon, maddi olarak var olan nesnelerden (Çalışanlar, işletmeler, ülkeler, bölgeler) oluşur, bir nesnedir istatistiksel araştırma. Nüfus- kütle karakterine, tipikliğe, niteliksel tekdüzeliğe ve varyasyonun varlığına sahip bir dizi birim.

Nüfus birimi- istatistiksel popülasyonun her belirli birimi.

Bir ve aynı istatistiksel popülasyon, bir özellikte homojen ve diğerinde heterojen olabilir.

Niteliksel tekdüzelik- popülasyonun tüm birimlerinin herhangi bir temelde benzerliği ve geri kalan her şeyde farklılık.

İstatistiksel bir popülasyonda, popülasyonun bir birimi ile diğeri arasındaki farklar daha çok nicel niteliktedir. Popülasyonun farklı birimlerinin öznitelik değerlerindeki nicel değişikliklere varyasyon denir.

Özellik Varyasyonu- nüfusun bir biriminden diğerine geçiş sırasında bir işaretin (nicel bir işaret için) nicel değişimi.

imza- bu, gözlemlenebilen veya ölçülebilen birimlerin, nesnelerin ve olayların bir özelliği, özelliği veya diğer özelliğidir. İşaretler niceliksel ve niteliksel olarak ayrılır. Bir özelliğin değerinin popülasyonun bireysel birimlerindeki çeşitliliği ve değişkenliğine denir. varyasyon.

Niteliksel özellikler ölçülebilir değildir (nüfusun cinsiyete göre bileşimi). Nicel özellikler sayısal bir ifadeye sahiptir (nüfusun yaşa göre bileşimi).

dizin- bu, belirli zaman ve yer koşullarında amaç için birimlerin veya kümelerin herhangi bir özelliğinin genelleştirici niceliksel ve niteliksel bir özelliğidir.

Puan kartı- incelenen olguyu kapsamlı bir şekilde yansıtan bir dizi göstergedir.

Örneğin, maaşı düşünün:

İşaret - ücretler
İstatistiki nüfus - tüm çalışanlar
Toplam birim - her işçi
Niteliksel homojenlik - tahakkuk eden maaş
Özellik varyasyonu - bir dizi sayı

Genel popülasyon ve ondan örnek

İstatistiksel araştırmanın temeli, bir veya daha fazla özelliğin ölçülmesi sonucunda elde edilen bir dizi veridir. Bir dizi gözlemle istatistiksel olarak temsil edilen, gerçekten gözlemlenen nesneler kümesi rastgele değişken, dır-dir örnekleme ve varsayımsal olarak mevcut (düşünülmüş) - Genel popülasyon. Genel popülasyon sonlu olabilir (gözlem sayısı N = sabit) veya sonsuz ( N = ∞) ve genel popülasyondan bir örnek her zaman sınırlı sayıda gözlemin sonucudur. Bir örneği oluşturan gözlem sayısına denir. örnek boyut. Örnek boyutu yeterince büyükse n→∞) örnek kabul edilir büyük, aksi halde buna örnek denir sınırlı hacim. Numune dikkate alınır küçük, tek boyutlu bir rasgele değişkeni ölçerken, örneklem büyüklüğü 30'u geçmiyorsa ( N<= 30 ) ve aynı anda birkaç ölçüm yaparken ( k) çok boyutlu bir uzay ilişkisindeki özellikler Nİle k geçmez 10 (n/k< 10) . Örnek formlar varyasyon serisi eğer onun üyeleri sipariş istatistikleri, yani rastgele değişkenin örnek değerleri X artan düzende sıralanır (sıralanır), özelliğin değerleri denir seçenekler.

Örnek. Rastgele seçilen hemen hemen aynı nesne kümesi - Moskova'nın bir idari bölgesinin ticari bankaları, bu bölgedeki tüm ticari bankaların genel popülasyonundan ve Moskova'daki tüm ticari bankaların genel popülasyonundan bir örneklem olarak kabul edilebilir. , ülkedeki ticari bankaların bir örneğinin yanı sıra vb.

Temel örnekleme yöntemleri

İstatistiksel sonuçların güvenilirliği ve sonuçların anlamlı bir şekilde yorumlanması şunlara bağlıdır: temsil edilebilirlikörnekler, yani bu numunenin temsili olarak kabul edilebileceği genel popülasyonun özelliklerinin sunumunun eksiksizliği ve yeterliliği. Nüfusun istatistiksel özelliklerinin incelenmesi iki şekilde organize edilebilir: sürekli Ve tutarsız gözlem sürekli gözlem hepsinin incelenmesini içerir birimler okudu agregalar, A sürekli olmayan (seçici) gözlem- sadece bir kısmı.

Örneklemeyi düzenlemenin beş ana yolu vardır:

1. basit rastgele seçim, nesnelerin genel nesne popülasyonundan rastgele seçildiği (örneğin, bir tablo veya bir rastgele sayı üreteci kullanılarak) ve olası örneklerin her birinin eşit olasılığa sahip olduğu. Bu tür örnekler denir aslında rastgele;

2. düzenli bir prosedür yoluyla basit seçim mekanik bir bileşen kullanılarak yapılır (örneğin tarihler, haftanın günleri, apartman numaraları, alfabedeki harfler vb.) ve bu şekilde elde edilen örneklere denir. mekanik;

3. tabakalı seçim, hacmin genel popülasyonunun hacmin alt kümelerine veya katmanlarına (katmanlarına) bölünmesi gerçeğinden oluşur, böylece . Katmanlar, istatistiksel özellikler açısından homojen nesnelerdir (örneğin, nüfus, yaş grubuna veya sosyal sınıfa göre katmanlara ayrılır; işletmeler - endüstriye göre). Bu durumda, örnekler denir tabakalı(aksi takdirde, tabakalı, tipik, bölgeli);

4. yöntemler seri seçim oluşturmak için kullanılır seri veya iç içe örnekler. Bir "bloğu" veya bir dizi nesneyi aynı anda incelemek gerektiğinde uygundurlar (örneğin, bir mal sevkiyatı, belirli bir serinin ürünleri veya ülkenin bölgesel-idari bölümündeki bir nüfus). Seri seçimi rastgele veya mekanik bir şekilde yapılabilir. Aynı zamanda, belirli bir mal partisinin veya tüm bir bölgesel birimin (bir konut veya mahalle) sürekli bir araştırması yapılır;

5. kombine(adımlı) seçim, birkaç seçim yöntemini aynı anda birleştirebilir (örneğin, katmanlı ve rastgele veya rastgele ve mekanik); böyle bir örnek denir kombine.

Seçim türleri

İle akıl bireysel, grup ve kombine seçim vardır. -de bireysel seçimörneklem setinde genel popülasyonun bireysel birimleri seçilir; grup seçimi- niteliksel olarak homojen birim grupları (serileri) ve kombine seçim Birinci ve ikinci tiplerin bir kombinasyonunu içerir.

İle yöntem seçim ayırt tekrarlanan ve tekrarlanmayanörnek.

tekrarlanamazörneğe düşen birimin orijinal popülasyona geri dönmediği ve sonraki seçime katılmadığı seçim denir; genel popülasyonun birim sayısı ise N seçim sürecinde azalır. -de tekrarlanan seçim yakalanmışörneklemde, kayıttan sonra birim genel popülasyona iade edilir ve böylece sonraki seçim prosedüründe kullanılmak üzere diğer birimlerle birlikte eşit bir fırsat elde eder; genel popülasyonun birim sayısı ise N değişmeden kalır (yöntem sosyo-ekonomik çalışmalarda nadiren kullanılır). Ancak, büyük bir N (N → ∞) için formüller tekrarlanmamış seçim şuna yakındır: tekrarlanan seçim ve ikincisi neredeyse daha sık kullanılır ( N = sabit).

Genel ve örneklem popülasyonunun parametrelerinin temel özellikleri

Çalışmanın istatistiksel sonuçlarının temeli, rastgele bir değişkenin dağılımıdır, gözlenen değerler ise (x 1, x 2, ..., x n) rastgele değişkenin gerçekleşmeleri olarak adlandırılır X(n - örneklem büyüklüğü). Bir rasgele değişkenin genel popülasyondaki dağılımı teoriktir, doğası gereği idealdir ve örnek analoğu ampirik dağıtım. Bazı teorik dağılımlar analitik olarak verilmiştir, örn. onların seçenekler rastgele değişkenin olası değerleri uzayındaki her noktadaki dağılım fonksiyonunun değerini belirleyin. Bir örneklem için dağılım fonksiyonunu belirlemek zor ve bazen imkansızdır, bu nedenle seçenekler ampirik verilerden tahmin edilir ve daha sonra teorik dağılımı açıklayan analitik bir ifadeyle değiştirilir. Bu durumda, varsayım (veya hipotez) dağılımın türü hakkında hem istatistiksel olarak doğru hem de hatalı olabilir. Ancak her durumda, örneklemden yeniden oluşturulan ampirik dağılım, gerçek olanı yalnızca kabaca karakterize eder. En önemli dağıtım parametreleri şunlardır: beklenen değer ve dağılım.

Dağılımlar doğası gereği sürekli Ve ayrık. En iyi bilinen sürekli dağılım normal. Seçici parametre analogları ve bunun için: ortalama değer ve ampirik varyans. Sosyo-ekonomik araştırmalardaki ayrıklar arasında en sık kullanılan alternatif (ikilik) dağıtım. Bu dağılımın beklenti parametresi göreceli değeri (veya paylaşmak) çalışılan özelliğe sahip popülasyon birimleri (harf ile gösterilir); Bu özelliğe sahip olmayan nüfusun oranı harf ile gösterilir. q (q = 1 - p). Alternatif dağılımın varyansının da ampirik bir analoğu vardır.

Dağılım türüne ve popülasyon birimlerini seçme yöntemine bağlı olarak, dağılım parametrelerinin özellikleri farklı şekilde hesaplanır. Teorik ve ampirik dağılımlar için başlıcaları Tablo'da verilmiştir. 9.1.

Örnek paylaşım k nörnek popülasyonun birim sayısının genel popülasyonun birim sayısına oranıdır:

k n = n/N.

Örnek paylaşım wçalışılan özelliğe sahip birimlerin oranıdır Xörneklem büyüklüğüne N:

w = n n / n.

Örnek. 1000 birim içeren mal partisinde, %5 numune ile örnek kesir k n mutlak değerde 50 birimdir. (n = N*0,05); bu numunede 2 kusurlu ürün bulunursa, o zaman örnek kesir w 0,04 olacaktır (w = 2/50 = 0,04 veya %4).

Örneklem popülasyonu genel popülasyondan farklı olduğu için, örnekleme hataları.

Tablo 9.1 Genel ve örnek popülasyonların ana parametreleri

Nüfus- kütle karakterine, tipikliğe, niteliksel tekdüzeliğe ve varyasyonun varlığına sahip bir dizi birim.

İstatistiksel popülasyon, maddi olarak var olan nesnelerden (Çalışanlar, işletmeler, ülkeler, bölgeler) oluşur, bir nesnedir.

Nüfus birimi- istatistiksel popülasyonun her belirli birimi.

Bir ve aynı istatistiksel popülasyon, bir özellikte homojen ve diğerinde heterojen olabilir.

Niteliksel tekdüzelik- herhangi bir özellik için popülasyonun tüm birimlerinin benzerliği ve geri kalan her şey için farklılık.

Özellik Varyasyonu- nüfusun bir biriminden diğerine geçiş sırasında bir işaretin (nicel bir işaret için) nicel değişimi.

Niteliksel özellikler ölçülebilir değildir (nüfusun cinsiyete göre bileşimi). Nicel özellikler sayısal bir ifadeye sahiptir (nüfusun yaşa göre bileşimi).

dizin- bu, belirli zaman ve yer koşullarında amaç için birimlerin veya kümelerin herhangi bir özelliğinin genelleştirici niceliksel ve niteliksel bir özelliğidir.

Puan kartı incelenmekte olan olguyu kapsamlı bir şekilde yansıtan bir dizi göstergedir.

Örneğin, maaşı düşünün:

İşaret - ücretler
İstatistiki nüfus - tüm çalışanlar
Nüfusun birimi her işçidir
Niteliksel homojenlik - tahakkuk eden maaş
Özellik varyasyonu - bir dizi sayı

Genel popülasyon ve ondan örnek

Temel, bir veya daha fazla özelliğin ölçülmesi sonucunda elde edilen bir dizi veridir. Rastgele bir değişkenin bir dizi gözlemiyle istatistiksel olarak temsil edilen fiilen gözlemlenen nesneler kümesi, örnekleme ve varsayımsal olarak var olan (düşünülmüş) - Genel popülasyon. Genel popülasyon sonlu olabilir (gözlem sayısı N = sabit) veya sonsuz ( N = ∞) ve genel popülasyondan bir örnek her zaman sınırlı sayıda gözlemin sonucudur. Bir örneği oluşturan gözlem sayısına denir. örnek boyut. Örnek boyutu yeterince büyükse n→∞) örnek kabul edilir büyük, aksi halde buna örnek denir sınırlı hacim. Numune dikkate alınır küçük, tek boyutlu bir rasgele değişkeni ölçerken, örneklem büyüklüğü 30'u geçmiyorsa ( N<= 30 ) ve aynı anda birkaç ölçüm yaparken ( k) çok boyutlu bir uzay ilişkisindeki özellikler Nİle k geçmez 10 (n/k< 10) . Örnek formlar varyasyon serisi eğer onun üyeleri sipariş istatistikleri, yani rastgele değişkenin örnek değerleri X artan düzende sıralanır (sıralanır), özelliğin değerleri denir seçenekler.

Temel örnekleme yöntemleri

İstatistiksel sonuçların güvenilirliği ve sonuçların anlamlı bir şekilde yorumlanması şunlara bağlıdır: temsil edilebilirlikörnekler, yani bu numunenin temsili olarak kabul edilebileceği genel popülasyonun özelliklerinin sunumunun eksiksizliği ve yeterliliği. Nüfusun istatistiksel özelliklerinin incelenmesi iki şekilde organize edilebilir: sürekli Ve süreksiz sürekli gözlem hepsinin incelenmesini içerir birimler okudu agregalar, A sürekli olmayan (seçici) gözlem- sadece bir kısmı.

Örneklemeyi düzenlemenin beş ana yolu vardır:

3. tabakalı seçim, hacmin genel popülasyonunun hacmin alt kümelerine veya katmanlarına (katmanlarına) bölünmesi gerçeğinden oluşur, böylece . Tabakalar istatistiksel özellikler açısından homojen nesnelerdir (örneğin, nüfus yaş grubuna veya sosyal sınıfa göre tabakalara ayrılır; işletmeler endüstriye göre). Bu durumda, örnekler denir tabakalı(aksi takdirde, tabakalı, tipik, bölgeli);

5. kombine(adımlı) seçim, birkaç seçim yöntemini aynı anda birleştirebilir (örneğin, katmanlı ve rastgele veya rastgele ve mekanik); böyle bir örnek denir kombine.

Seçim türleri

İle akıl bireysel, grup ve kombine seçim vardır. -de bireysel seçimörneklem setinde genel popülasyonun bireysel birimleri seçilir; grup seçimi niteliksel olarak homojen birim grupları (serileri) ve kombine seçim Birinci ve ikinci tiplerin bir kombinasyonunu içerir.

İle yöntem seçim ayırt tekrarlanan ve tekrarlanmayanörnek.

Genel ve örneklem popülasyonunun parametrelerinin temel özellikleri

Çalışmanın istatistiksel sonuçlarının temeli, rastgele bir değişkenin dağılımıdır, gözlenen değerler ise (x 1, x 2, ..., x n) rastgele değişkenin gerçekleşmeleri olarak adlandırılır X(n, örneklem büyüklüğüdür). Bir rasgele değişkenin genel popülasyondaki dağılımı teoriktir, doğası gereği idealdir ve örnek analoğu ampirik dağıtım. Bazı teorik dağılımlar analitik olarak verilmiştir, örn. onların seçenekler rastgele değişkenin olası değerleri uzayındaki her noktadaki dağılım fonksiyonunun değerini belirleyin. Bir örneklem için dağılım fonksiyonunu belirlemek zor ve bazen imkansızdır, bu nedenle seçenekler ampirik verilerden tahmin edilir ve daha sonra teorik dağılımı açıklayan analitik bir ifadeyle değiştirilir. Bu durumda, varsayım (veya hipotez) dağılımın türü hakkında hem istatistiksel olarak doğru hem de hatalı olabilir. Ancak her durumda, örneklemden yeniden oluşturulan ampirik dağılım, gerçek olanı yalnızca kabaca karakterize eder. En önemli dağıtım parametreleri şunlardır: beklenen değer ve dağılım.

Örnek paylaşım k nörnek popülasyonun birim sayısının genel popülasyonun birim sayısına oranıdır:

k n = n/N.

Örnek paylaşım wçalışılan özelliğe sahip birimlerin oranıdır Xörneklem büyüklüğüne N:

w = n n / n.

Örneklem popülasyonu genel popülasyondan farklı olduğu için, örnekleme hataları.

Tablo 9.1 Genel ve örnek popülasyonların ana parametreleri

Örnekleme hataları

Herhangi bir (katı ve seçici) iki tür hata meydana gelebilir: kayıt ve temsil edilebilirlik. hatalar kayıt sahip olabilmek rastgele Ve sistematik karakter. Rastgele hatalar birçok farklı kontrol edilemeyen nedenden oluşur, doğası gereği kasıtsızdır ve genellikle birbirini dengeler (örneğin, odadaki sıcaklık dalgalanmalarından dolayı cihaz okumalarındaki değişiklikler).

Sistematik numunedeki nesneleri seçme kurallarını ihlal ettikleri için hatalar taraflıdır (örneğin, ölçüm cihazının ayarlarını değiştirirken ölçümlerdeki sapmalar).

Örnek. Kentteki nüfusun sosyal durumunu değerlendirmek için ailelerin %25'inin incelenmesi planlanmıştır. Bununla birlikte, her dördüncü dairenin seçimi sayısına göre yapılıyorsa, tüm dairelerin tek bir tipten (örneğin, tek odalı daireler) seçilmesi tehlikesi vardır, bu da sistematik bir hataya yol açar ve sonuçları bozar; hata rastgele olacağından daire numarasının kura ile seçilmesi daha çok tercih edilir.

Temsil hataları sadece seçici gözleme özgüdür, kaçınılamaz ve örneğin genel olanı tam olarak yeniden üretmemesinin bir sonucu olarak ortaya çıkarlar. Örneklemden elde edilen göstergelerin değerleri, genel popülasyondaki (veya sürekli gözlem sırasında elde edilen) aynı değerlerin göstergelerinden farklıdır.

örnekleme hatası parametrenin genel popülasyondaki değeri ile örnek değeri arasındaki farktır. Nicel bir özelliğin ortalama değeri şuna eşittir: ve paylaşım (alternatif özellik) için - .

Örnekleme hataları yalnızca örnek gözlemlerin doğasında vardır. Bu hatalar ne kadar büyükse ampirik dağılım teorik dağılımdan o kadar farklıdır. Ampirik dağılımın parametreleri ve rastgele değişkenlerdir, bu nedenle örnekleme hataları da rastgele değişkenlerdir, farklı örnekler için farklı değerler alabilirler ve bu nedenle hesaplamak gelenekseldir. ortalama hata.

Ortalama örnekleme hatasıörnek ortalamasının matematiksel beklentiden standart sapmasını ifade eden bir değerdir. Rastgele seçim ilkesine tabi olan bu değer, öncelikle örneklem büyüklüğüne ve özelliğin varyasyon derecesine bağlıdır: özelliğin varyasyonu ne kadar büyük ve küçükse (dolayısıyla, değeri), değeri o kadar küçük ortalama örnekleme hatası Genel ve örnek popülasyonların varyansları arasındaki oran aşağıdaki formülle ifade edilir:

onlar. yeterince büyük için, bunu varsayabiliriz. Ortalama örnekleme hatası, örnek popülasyonun parametresinin genel popülasyonun parametresinden olası sapmalarını gösterir. Masada. 9.2, farklı gözlem düzenleme yöntemleri için ortalama örnekleme hatasını hesaplamaya yönelik ifadeleri gösterir.

Tablo 9.2 Farklı numune türleri için numune ortalamasının ve oranının ortalama hatası (m)

Sürekli bir özellik için grup içi örnek varyanslarının ortalaması nerede;

Payın grup içi dağılımlarının ortalaması;

— seçilen seri sayısı, — toplam seri sayısı;

inci serinin ortalaması nerede;

- sürekli bir özellik için tüm numunenin genel ortalaması;

inci serideki özelliğin oranı nerede;

— özelliğin tüm numune üzerindeki toplam payı.

Bununla birlikte, ortalama hatanın büyüklüğü yalnızca belirli bir olasılıkla Р (Р ≤ 1) değerlendirilebilir. Lyapunov A.M. örneklem ortalamalarının dağılımının ve dolayısıyla yeterince büyük bir sayı ile genel ortalamadan sapmalarının, genel popülasyonun sonlu bir ortalamaya ve sınırlı bir varyansa sahip olması koşuluyla, yaklaşık olarak normal dağılım yasasına uyduğunu kanıtladı.

Matematiksel olarak, ortalama için bu ifade şu şekilde ifade edilir:

ve kesir için ifade (1) şu şekli alacaktır:

Nerede - Orada marjinal örnekleme hatası ortalama örnekleme hatasının bir katı olan , ve çokluk faktörü, W.S. tarafından önerilen Student kriteridir ("güven faktörü"). Gosset ("Öğrenci" takma adı); farklı numune boyutları için değerler özel bir tabloda saklanır.

Bazı t değerleri için Ф(t) fonksiyonunun değerleri şunlardır:

Bu nedenle, ifade (3) aşağıdaki gibi okunabilir: olasılıkla P = 0,683 (%68,3)örneklem ile genel ortalama arasındaki farkın, ortalama hatanın bir değerini geçmeyeceği iddia edilebilir. m(t=1), olasılıkla P = 0,954 (%95,4)- iki ortalama hatanın değerini aşmaması m (t = 2) , olasılıkla P = 0,997 (%99,7)- üç değeri geçmeyecek m (t = 3) . Böylece, bu farkın ortalama hata değerinin üç katını aşma olasılığı, hata seviyesi ve fazla değil 0,3% .

Masada. 9.3 Marjinal örnekleme hatasının hesaplanması için formüller verilmiştir.

Tablo 9.3 Ortalama için marjinal örnekleme hatası (D) ve farklı örnekleme türleri için orantı (p)

Örnek Sonuçları Popülasyona Genişletme

Numune gözleminin nihai amacı, genel popülasyonu karakterize etmektir. Küçük örneklem boyutları için, parametrelerin ampirik tahminleri ( ve ) gerçek değerlerinden ( ve ) önemli ölçüde sapabilir. Bu nedenle, parametrelerin ( ve ) örnek değerleri için gerçek değerlerin ( ve ) bulunduğu sınırları belirlemek gerekli hale gelir.

Güven aralığı genel popülasyonun bazı parametrelerinden θ, bu parametrenin 1'e yakın bir olasılıkla rastgele bir değer aralığı olarak adlandırılır ( güvenilirlik) bu parametrenin gerçek değerini içerir.

marjinal hataörnekler Δ genel popülasyonun özelliklerinin sınır değerlerini ve bunların güvenilirlik aralığı, şuna eşittir:

Sonuç olarak güven aralığıçıkarılarak elde edilir marjinal hataörnek ortalamadan (pay) ve en üsttekini ekleyerek.

Güven aralığı ortalama için marjinal örnekleme hatasını kullanır ve belirli bir güven düzeyi için aşağıdaki formülle belirlenir:

Bu, belirli bir olasılıkla R, güven seviyesi olarak adlandırılır ve değer tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. T, ortalamanın gerçek değerinin ila aralığında olduğu iddia edilebilir. ve payın gerçek değeri ile aralığındadır.

Üç standart güven düzeyi için güven aralığını hesaplarken P=%95, P=%99 ve P=%99,9 değeri ile seçilir. Serbestlik derecesi sayısına bağlı uygulamalar. Örnek boyutu yeterince büyükse, bu olasılıklara karşılık gelen değerler T eşittir: 1,96, 2,58 Ve 3,29 . Böylece, marjinal örnekleme hatası, genel popülasyonun özelliklerinin marjinal değerlerini ve bunların güven aralıklarını belirlememizi sağlar:

Sosyo-ekonomik çalışmalarda seçici gözlem sonuçlarının genel popülasyona dağılımı, tüm türlerinin ve gruplarının temsiliyetinin eksiksiz olmasını gerektirdiğinden, kendine has özelliklere sahiptir. Böyle bir dağılım olasılığının temeli, hesaplamadır. bağıl hata:

Nerede Δ % - göreceli marjinal örnekleme hatası; , .

Örnek bir gözlemi popülasyona yaymanın iki ana yöntemi vardır: doğrudan dönüştürme ve katsayı yöntemi.

Öz doğrudan dönüşümörneklem ortalamasını!\overline(x) popülasyonun büyüklüğü ile çarpmaktır.

Örnek. Şehirdeki ortalama yürümeye başlayan çocuk sayısı bir örnekleme yöntemiyle tahmin edilsin ve bir kişi kadar olsun. Şehirde 1000 genç aile varsa, belediye kreşinde ihtiyaç duyulan yer sayısı, bu ortalamanın genel nüfus büyüklüğü N = 1000 ile çarpılmasıyla elde edilir, yani. 1200 koltuk olacak.

katsayılar yöntemi sürekli gözlem verilerini açıklığa kavuşturmak için seçici gözlem yapıldığında kullanılması tavsiye edilir.

Bunu yaparken şu formül kullanılır:

burada tüm değişkenler popülasyonun büyüklüğüdür:

Gerekli örneklem büyüklüğü

Tablo 9.4 Farklı örnekleme organizasyonu türleri için gerekli örnek büyüklüğü (n)

İzin verilen örnekleme hatasının önceden belirlenmiş bir değeriyle bir örnekleme anketi planlarken, gerekli olanın doğru bir şekilde tahmin edilmesi gerekir. örnek boyut. Bu miktar, kabul edilebilir bir hata seviyesini garanti eden belirli bir olasılığa dayalı olarak seçici gözlem sırasında izin verilen hata temelinde belirlenebilir (gözlemenin organize edilme şekli dikkate alınarak). Gerekli örneklem büyüklüğünü (n) belirlemek için formüller, doğrudan marjinal örnekleme hatası formüllerinden kolayca elde edilebilir. Dolayısıyla, marjinal hatanın ifadesinden:

örneklem büyüklüğü doğrudan belirlenir N:

Bu formül, azalan marjinal örnekleme hatasıyla Δ Student t testinin varyansı ve karesiyle orantılı olan gerekli örneklem büyüklüğünü önemli ölçüde artırır.

Spesifik bir gözlem düzenleme yöntemi için, gerekli örneklem büyüklüğü Tabloda verilen formüllere göre hesaplanır. 9.4.

Pratik Hesaplama Örnekleri

Örnek 1. Sürekli bir kantitatif özellik için ortalama değerin ve güven aralığının hesaplanması.

Bankadaki alacaklılarla uzlaşma hızını değerlendirmek için, 10 ödeme belgesinden rastgele bir örnek alındı. Değerlerinin eşit olduğu ortaya çıktı (gün cinsinden): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20.

Olasılıkla gerekli P = 0.954 marjinal hatayı belirlemek Δ ortalama hesaplama süresinin örnek ortalaması ve güven sınırları.

Çözüm. Ortalama değer, Tablodaki formülle hesaplanır. Örnek popülasyon için 9.1

Dispersiyon, Tablodaki formüle göre hesaplanır. 9.1.

Günün ortalama kare hatası.

Ortalamanın hatası aşağıdaki formülle hesaplanır:

onlar. ortalama değer x ± m = 12,0 ± 2,3 gün.

Ortalamanın güvenilirliği

Sınırlama hatası, Tablodaki formülle hesaplanır. 9.3 popülasyonun büyüklüğü bilinmediği için yeniden seçim için ve P = 0.954 güven seviyesi.

Böylece, ortalama değer `x ± D =`x ± 2m = 12.0 ± 4.6'dır, yani gerçek değeri 7,4 ila 16,6 gün arasındadır.

Öğrenci masasının kullanımı. Uygulama, n = 10 - 1 = 9 serbestlik derecesi için elde edilen değerin, a anlamlılık düzeyi a £ 0,001 ile güvenilir olduğu sonucuna varmamızı sağlar, yani Ortaya çıkan ortalama değer, 0'dan önemli ölçüde farklıdır.

Örnek 2. Olasılık tahmini (genel pay) r.

1000 ailenin sosyal statüsünü araştıran mekanik örnekleme yöntemiyle, düşük gelirli ailelerin oranının ağırlık = 0,3 (%30)(örnek şuydu: 2% , yani n/N = 0,02). Güven düzeyi ile gerekli p = 0,997 bir gösterge tanımlayın R Bölge genelinde düşük gelirli aileler.

Çözüm. Sunulan fonksiyon değerlerine göre Ф(t) belirli bir güven düzeyi için bul P = 0.997 Anlam t=3(bkz. formül 3). Marjinal paylaşım hatası w Tablodaki formülle belirleyin. 9.3 tekrarsız numune alma için (mekanik numune alma her zaman tekrarsızdır):

göreli örnekleme hatasını sınırlama % olacak:

Bölgede düşük gelirli ailelerin olma olasılığı (genel pay) p=w±Δw ve güven sınırları p çift eşitsizliğe göre hesaplanır:

w — Δw ≤ p ≤ w — Δw, yani p'nin gerçek değeri şurada bulunur:

0,3 — 0,014 < p <0,3 + 0,014, а именно от 28,6% до 31,4%.

Böylece, 0,997 olasılıkla, bölgedeki tüm aileler içinde düşük gelirli ailelerin oranının %28,6 ile %31,4 arasında değiştiği söylenebilir.

Örnek 3 Bir aralık serisi tarafından belirtilen ayrık bir özellik için ortalama değerin ve güven aralığının hesaplanması.

Masada. 9.5. siparişlerin üretimi için başvuruların işletme tarafından uygulanma zamanlamasına göre dağılımı belirlenir.

Tablo 9.5 Oluşma zamanına göre gözlemlerin dağılımı

Çözüm. Ortalama sipariş tamamlama süresi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Ortalama süre şöyle olacaktır:

= (3*20 + 9*80 + 24*60 + 48*20 + 72*20)/200 = 23,1 ay

Tablonun sondan bir önceki sütunundaki p i üzerindeki verileri kullanırsak aynı yanıtı alırız. 9.5 formülü kullanarak:

Son derecelendirme için aralığın ortasının, 60 - 36 = 24 aya eşit olan önceki derecelendirme aralığının genişliği ile yapay olarak tamamlanarak bulunduğuna dikkat edin.

Dağılım formülle hesaplanır

Nerede x ben- aralık serisinin ortası.

Bu nedenle!!\sigma = \frac (20^2 + 14^2 + 1 + 25^2 + 49^2)(4) ve standart hata .

Ortalamanın hatası, aylar için formülle hesaplanır, yani. ortalama!!\overline(x) ± m = 23,1 ± 13,4'tür.

Sınırlama hatası, Tablodaki formülle hesaplanır. 0.954 güven düzeyi için popülasyon büyüklüğü bilinmediği için yeniden seçim için 9.3:

Yani ortalama:

onlar. gerçek değeri 0 ila 50 ay arasındadır.

Örnek 4 Ticari bir bankada şirketin N = 500 işletmesinin alacaklıları ile uzlaşma hızını belirlemek için, rastgele tekrarlanmayan seçim yöntemini kullanarak seçici bir çalışma yapmak gerekir. Deneme tahminleri standart sapma s'nin 10 gün olduğunu gösteriyorsa, P = 0.954 olasılıkla örnek ortalama hatası 3 günü geçmeyecek şekilde gerekli örnek büyüklüğünü n belirleyin.

Çözüm. Gerekli çalışmaların sayısını n belirlemek için Tablodan tekrarsız seçim formülünü kullanırız. 9.4:

İçinde, t değeri, Р = 0.954 güven düzeyi için belirlenir. 2'ye eşittir. Ortalama kare değeri s = 10, popülasyon büyüklüğü N = 500 ve ortalamanın marjinal hatası Δ x = 3. Bu değerleri formülde değiştirerek şunu elde ederiz:

onlar. gerekli parametreyi - alacaklılarla ödemelerin hızını - tahmin etmek için 41 işletmeden oluşan bir örnek oluşturmak yeterlidir.

Seçici araştırma yapma ihtiyacı çeşitli nedenlerden kaynaklanabilir:

genellikle incelenen olgunun tam bir çalışması çok pahalı ve uzundur;

bazen tam bir çalışmada alınan bilgileri kullanma fırsatı, hazırlanma süreci tamamlanmadan tükenebilir;

bazı durumlarda ürünün kalitesinin kontrol edilmesi sonucunda incelenen nesne yok edilir.

Örnek:

popülasyonun okuldaki tüm öğrenciler olduğunu varsayalım (20 sınıftan 600 kişi, her sınıfta 30 kişi). Çalışmanın konusu sigaraya karşı tutumdur.

Nüfus hakkında bilgi almanız gereken bir dizi nesnedir.

Genel popülasyon, araştırmacıyı ilgilendiren niteliklere, özelliklere sahip tüm nesnelerden oluşur. Bazen genel nüfus, belirli bir bölgenin tüm yetişkin nüfusudur (örneğin, potansiyel seçmenlerin bir adaya karşı tutumu incelenirken), çoğu zaman çalışmanın hedeflerini belirleyen birkaç kriter belirlenir. Örneğin, haftada en az bir kez belirli bir marka el kremi kullanan ve aile üyesi başına en az 5.000 ruble geliri olan 10-89 yaş arası kadınlar.

Örnek genel popülasyondan çıkarılan küçük bir nesne kümesidir.

Örnekleme seti, çalışma için gerekli olan, genel popülasyondan belirli bir prosedürle seçilen minimum sonuçtur (vakalar, özneler, nesneler, olaylar, örnekler).

Örnekler:

Firmanın müşterilerinin yeniliklere tepkisini tanımlarken, firmanın tüm müşterileri genel nüfusu temsil eder. Çağrılan müşteriler bir örneklem oluşturur.

Çok sayıda işlem yapan firmaları denetlerken, seçilen işlem sayısını incelemekle yetinmek gerekir. Firmanın tüm işlemleri, seçilen genel popülasyonu oluşturur - örnek.

genel nüfus, belirli bir yılın tüm askere alınanlarından oluşur.

Belirli bir zamanda belirli bir işletmede üretilen tüm lambalar genel bir popülasyon oluşturur. Kontrol için seçilen lambalar isteğe bağlıdır.

Numune, temsili veya temsili olmayan olarak kabul edilebilir. Örnek, büyük bir insan grubunu incelerken temsili olacaktır, eğer bu grup içinde farklı alt grupların temsilcileri varsa, ancak bu şekilde doğru sonuçlar çıkarılabilir. .

Temsil edilebilirlik - örneklemin özelliklerinin, popülasyonun veya bir bütün olarak genel popülasyonun özelliklerine uygunluğu. Temsil edilebilirlik, belirli bir örneklemin dahil edilmesiyle çalışmanın sonuçlarının toplandığı popülasyonun tamamına ne kadar genellenebileceğini belirler.

Temsil edilebilirlik, bir örneklemin, çalışmanın amaçları açısından önemli olan genel popülasyonun parametrelerini temsil etme özelliği olarak da tanımlanabilir.

Örnek: 60 lise öğrencisinden oluşan bir örneklem, her sınıftan 3 öğrenciyi içerecek olan aynı 60 kişilik bir örneklemden çok daha kötü bir şekilde popülasyonu temsil etmektedir. Bunun temel nedeni sınıflardaki eşit olmayan yaş dağılımıdır. Bu nedenle, birinci durumda, örneklemin temsil edilebilirliği düşüktür ve ikinci durumda temsil edilebilirlik yüksektir (ceteris paribus). .

Görev 1. 253.000 uygun vatandaştan oluşan bir şehirde, gelecekteki seçmenlerin siyasi sempatilerini araştırın.

Çözüm

Örneklem, büyük bir alışveriş merkezinden ayrılan her 15 müşteriyle görüşülerek oluşturulabilir. Böyle bir örnek, alışveriş merkezini ziyaret edenlerin görüşlerini yansıtacaktır, ancak şehrin tüm sakinlerinin bakış açısını yansıtması pek mümkün değildir.

Başka bir örnekleme yöntemi de, telefon rehberinden numaralar alarak her 100 şehir sakini için bir telefon anketi yapmaktır. Bu tür sistematik örnekleme, telefonu olan, evinde olan ve telefonlara cevap veren bir grup insanın bakış açısı hakkında bilgi sağlayacaktır. Ancak şehrin tüm sakinlerinin görüşlerini yansıtmamaktadır.

Başka bir örnekleme yöntemi, birkaç siyasi parti tarafından düzenlenen bir mitingde katılımcılarla röportaj yapmak olabilir. Böyle bir örnek, şehrin siyasi yaşamına aktif olarak katılan sakinler hakkında bilgi sağlayacaktır.

Bu nedenle, tüm popülasyonu temsil edecek bu tür örnekleme yöntemlerine ihtiyacımız var, yani örnek temsili (temsilci) olmalıdır.

Görev 2. Numunenin temsili olup olmadığını belirleyin:

1) yıl için şehirdeki kazalar hakkında istatistiksel bir rapor hazırlamak gerekirse, Haziran ayındaki araba kazalarının sayısı;

2) ülkede kişi başına düşen araba sayısını hesaplarken şehir sakinleri;

3) Bir gençlik televizyon programının reytingini belirlerken 40 ila 50 yaş arası kişiler.

Çözüm

1) Numune temsili değildir. Yazın yollarda kar ve buz olmaz ve bu kazaların ana nedenlerinden biridir.

2) Numune temsili değildir. Şehirde kırsal alanlara göre çok daha fazla araba olduğu açık. Bu dikkate alınmalıdır.

3) Numune temsili değildir. 40 ila 50 yaş arasındaki kişilerin, genç kitleye yönelik bir programa ilgi göstermesi pek olası değildir. Böyle bir örnek kullanıldığında, derecelendirme önemli ölçüde düşebilir, ancak bu, gerçek durumu yansıtmaz. Örnek bir popülasyon oluşturmak için çeşitli seçim yöntemleri kullanılır. İstatistiksel veriler kullanılabilecek şekilde sunulmalıdır.

Popülasyon ve numune parametreleri

N, N 1 , N 2 vb. katmanlara bölünmüş genel popülasyondur.

Strata istatistiksel özellikler açısından homojen nesneleri temsil eder (örneğin, nüfus yaş gruplarına veya sosyal sınıfa göre katmanlara ayrılır; işletmeler endüstriye göre). Bu durumda numuneler tabakalı olarak adlandırılır.

N - örneklem büyüklüğü.

Çalışmanın istatistiksel sonuçlarının temeli, X rasgele değişkeninin dağılımıdır, gözlenen x 1 , x 2 , x 3 değerleri ise rasgele değişken x'in gerçekleşmeleri olarak adlandırılır.

Rastgele değişken X'in genel popülasyondaki dağılımı teoriktir, doğası gereği idealdir ve örnek muadili ampirik dağılımdır.

Bir numune için dağılım fonksiyonunu belirlemek zor ve bazen imkansızdır, bu nedenle parametreler ampirik verilerden tahmin edilir ve daha sonra teorik dağılımı açıklayan analitik bir ifadeyle değiştirilirler. Bu durumda, dağılımın türü hakkındaki varsayım hem istatistiksel olarak doğru hem de hatalı olabilir.

Ancak her durumda, örneklemden yeniden oluşturulan ampirik dağılım, gerçek olanı yalnızca kabaca karakterize eder.

Dağılımların en önemli parametreleri matematiksel beklentidir.A ve varyans σ2veri dağılımının bir ölçüsüdür.

Standart sapmaσ - gözlemsel verilerin veya kümelerin ortalama değerden sapma derecesi.

Görev 3. Mikhail, arkadaşlarıyla birlikte köpeklerinin boyunu (kaldırma tarafından) ölçmeye karar verdi. Bul: ortalama değer; büyüme sapması.

Çözüm

Matematiksel beklenti veya ortalama değer aşağıdaki formülle bulunabilir:

Şimdi her köpeğin boyunun ortalama veya matematiksel beklentiden sapmasını hesaplıyoruz, yani varyansı hesaplıyoruz.

Standart sapma, varyansın sadece kareköküdür.

σ \ = 147,32

Yani standart sapmayı bilerek neyin "normal boy" olduğunu ve neyin çok uzun ve çok küçük bir köpek olduğunu biliyoruz.

Cevap: 394, 21.704; 147.32.

Görev 4. Fabrika tarafından üretilen aynı güce sahip büyük bir lamba grubundan rastgele alınan aynı güce sahip 50 elektrik lambasının son kullanma tarihinin kontrol laboratuvarında gözlemlenmesi, yerleşik garantinin ihlali hakkında aşağıdaki verilere yol açtı.yanma süresi:

sapma H

Gerçek sapmayı yansıtan 10 küçük dağılım inci garantiden yanan ampullerin süresi.

Çözüm.

ortalama sapma

Böylece, istenen normal dağılım aşağıdaki parametre değerleri ile karakterize edilir: a = 0.4;σ2 = 318; σ = 17.8.

Dolayısıyla olasılık yoğunluğu:

Bu yoğunluğa karşılık gelen dağılım işlevi şöyle görünecektir: