Görev 1(alan hesaplaması hakkında eğri yamuk).

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi xOy'de, x ekseni, düz çizgiler x \u003d a, x \u003d b (eğrisel bir yamuk) ile sınırlanmış bir şekil verilir (şekle bakın). eğrisel yamuk.
Çözüm. Geometri bize çokgenlerin alanlarını ve bir dairenin bazı kısımlarını (bölüm, parça) hesaplamak için tarifler verir. Geometrik değerlendirmeleri kullanarak, gerekli alanın yalnızca yaklaşık bir değerini aşağıdaki gibi tartışarak bulabileceğiz.

[a; b] (eğrisel bir yamuğun tabanı) n eşit parçaya; bu bölme x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 noktalarının yardımıyla yapılabilir. Bu noktalardan y eksenine paralel doğrular çizelim. Daha sonra verilen eğrisel yamuk n parçaya, n dar sütuna bölünecektir. Tüm yamuğun alanı, sütunların alanlarının toplamına eşittir.

K-inci sütunu ayrı ayrı düşünün, yani. tabanı bir segment olan eğrisel yamuk. Bunu tabanı aynı ve yüksekliği f(x k)'ye eşit olan bir dikdörtgenle değiştirelim (şekle bakın). Dikdörtgenin alanı \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), burada \(\Delta x_k \) segmentin uzunluğudur; derlenen çarpımı, k'inci sütunun alanının yaklaşık bir değeri olarak düşünmek doğaldır.

Şimdi aynısını diğer tüm sütunlar için yaparsak, aşağıdaki sonuca varırız: Belirli bir eğrisel yamuğun S alanı, n dikdörtgenden oluşan basamaklı bir şeklin S n alanına yaklaşık olarak eşittir (şekle bakın):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \noktalar + f(x_k)\Delta x_k + \noktalar + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Burada, notasyonun tekdüzeliği adına, a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - segment uzunluğu , \(\Delta x_1 \) - segment uzunluğu , vb; yukarıda anlaştığımız gibi, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Yani, \(S \approx S_n \) ve bu yaklaşık eşitlik ne kadar doğruysa, n o kadar büyük olur.
Tanım olarak, eğrisel yamuğun istenen alanının dizinin sınırına (S n) eşit olduğu varsayılır:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Görev 2(bir noktayı taşımak hakkında)
Bir malzeme noktası düz bir çizgide hareket eder. Hızın zamana bağımlılığı v = v(t) formülü ile ifade edilir. Bir noktanın [a; b].
Çözüm. Hareket düzgün olsaydı, problem çok basit bir şekilde çözülürdü: s = vt, yani. s = v(b-a). Düzensiz hareket için, önceki problemin çözümünün dayandığı aynı fikirlerin kullanılması gerekir.
1) Zaman aralığını [a; b] n eşit parçaya.
2) Bir zaman aralığı düşünün ve bu zaman aralığında hızın sabit olduğunu varsayalım, örneğin tk zamanında. Yani, v = v(t k) olduğunu varsayıyoruz.
3) Zaman aralığı boyunca nokta yer değiştirmesinin yaklaşık değerini bulun, bu yaklaşık değer s k ile gösterilecektir.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Yer değiştirme s'nin yaklaşık değerini bulun:
\(s \yaklaşık S_n \) nerede
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \noktalar + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Gerekli yer değiştirme, dizinin limitine eşittir (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Özetleyelim. Çeşitli problemlerin çözümleri aynı matematiksel modele indirgenmiştir. Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarından birçok problem, çözüm sürecinde aynı modele yol açmaktadır. Yani bu matematiksel modelözel olarak çalışılması gerekir.

belirli bir integral kavramı

[ a; b]:
1) segmenti böl [a; b] n eşit parçaya;
2) toplam $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ hesapla

Matematiksel analiz sırasında, sürekli (veya parçalı sürekli) bir fonksiyon durumunda bu sınırın var olduğu kanıtlanmıştır. O aradı y = f(x) fonksiyonunun [a; b] ve şu şekilde gösterilir:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a ve b sayılarına entegrasyonun sınırları denir (sırasıyla alt ve üst).

Yukarıda tartışılan görevlere geri dönelim. Problem 1'de verilen alan tanımı şimdi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
burada S, yukarıdaki şekilde gösterilen eğrisel yamuğun alanıdır. Bu nedir belirli integralin geometrik anlamı.

Problem 2'de verilen t = a'dan t = b'ye kadar olan zaman aralığında düz bir çizgi üzerinde v = v(t) hızıyla hareket eden bir noktanın s yer değiştirmesinin tanımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Newton - Leibniz formülü

Başlamak için şu soruyu cevaplayalım: belirli bir integral ile ters türev arasındaki ilişki nedir?

Cevap 2. problemde bulunabilir. Bir yandan, t = a'dan t = b'ye kadar bir zaman aralığında düz bir çizgi boyunca v = v(t) hızıyla hareket eden bir noktanın yer değiştirmesi s ve şu şekilde hesaplanır: formül
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Öte yandan, hareket eden noktanın koordinatı hızın ters türevidir - bunu s(t) olarak gösterelim; dolayısıyla yer değiştirme s, s = s(b) - s(a) formülü ile ifade edilir. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
burada s(t), v(t) için ters türevdir.

Matematiksel analiz sırasında aşağıdaki teorem ispatlandı.
teorem. y = f(x) fonksiyonu [a; b], ardından formül
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
burada F(x), f(x) için ters türevdir.

Bu formül genellikle denir Newton-Leibniz formülüİngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz'in (1646-1716) onuruna, birbirlerinden bağımsız olarak ve neredeyse aynı anda aldılar.

Uygulamada, F(b) - F(a) yazmak yerine \(\left. F(x)\right|_a^b \) notasyonunu kullanırlar (buna bazen çift ​​​​ikame) ve buna göre Newton-Leibniz formülünü şu biçimde yeniden yazın:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Belirli bir integrali hesaplarken, önce ters türevi bulun ve sonra bir çift ikame yapın.

Newton-Leibniz formülüne dayanarak, belirli bir integralin iki özelliği elde edilebilir.

Mülk 1. Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerin toplamına eşittir:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Mülk 2. Sabit çarpan, integral işaretinden çıkarılabilir:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Belirli bir integral kullanarak düzlem şekillerin alanlarını hesaplama

İntegrali kullanarak, sadece eğrisel yamukların değil, aynı zamanda birden fazla düz şekillerin alanını da hesaplayabilirsiniz. karmaşık tip, şekilde gösterilen gibi. P şekli, x = a, x = b düz çizgileri ve y = f(x), y = g(x) sürekli fonksiyonlarının grafikleri ve [a; b] eşitsizliği \(g(x) \leq f(x) \) tutar. Böyle bir şeklin S alanını hesaplamak için aşağıdaki gibi hareket edeceğiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Böylece, şeklin S alanı x = a, x = b düz çizgileri ve y = f(x), y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri ile sınırlıdır, doğru parçası üzerinde süreklidir ve herhangi bir x için bölüm [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği sağlanır, formülle hesaplanır
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (ters türevler) tablosu

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Öküz ekseni, bir eğri y \u003d f (x) ve iki düz çizgi ile sınırlanmış eğrisel bir yamuk düşünün: x \u003d a ve x \u003d b (Şekil 85). Rastgele bir x değeri alın (yalnızca a ve b değil). Buna h = dx artışını verelim ve AB ve CD düz çizgileri, Öküz ekseni ve söz konusu eğriye ait bir BD yayı ile sınırlanmış bir şeridi ele alalım. Bu şeride temel şerit adı verilir. Bir temel şeridin alanı, bir ACQB dikdörtgeninin alanından bir eğrisel üçgen BQD ile ve ikincisinin alanından farklıdır. daha az alan kenarları BQ = h=dx) QD=Ay ve alanı hAy = Ay dx'e eşit olan dikdörtgen BQDM. h kenarı azaldıkça, Du kenarı da azalır ve h ile eş zamanlı olarak sıfıra yönelir. Bu nedenle, BQDM alanı ikinci dereceden sonsuzdur. Temel şeridin alanı, alan artışıdır ve AB-AC==/(x) dx>'e eşit olan ACQB dikdörtgeninin alanı, alan farkıdır. Bu nedenle, diferansiyelini entegre ederek alanın kendisini buluruz. Ele alınan şeklin sınırları dahilinde, bağımsız değişken l: a'dan b'ye değişir, dolayısıyla gerekli alan 5, 5= \f (x) dx'e eşit olacaktır. (I) Örnek 1. y - 1 -x * parabolü, X \u003d - Fj-, x \u003d 1 düz çizgileri ve O * ekseni ile sınırlanan alanı hesaplayın (Şekil 86). Şek. 87. Şek. 86. 1 Burada f(x) = 1 - l?, integralin limitleri a = - ve t = 1, dolayısıyla 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Örnek 2. Sinüsoid tarafından sınırlanan alanı hesaplayın y = sinXy, Öküz ekseni ve düz çizgi (Şek. 87). Formül (I)'i uygulayarak, Öküz ekseni ile L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf elde ederiz (örneğin, orijin ile apsis i noktası arasında). Geometrik değerlendirmelerden, bu alanın önceki örneğin alanının iki katı olacağı açıktır. Ancak hesaplamaları yapalım: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Gerçekten de varsayımımızın adil olduğu ortaya çıktı. Örnek 4. Bir periyotta sinüsoid ve ^ ekseni Ox tarafından sınırlanan alanı hesaplayın (Şekil 88). Ön ras-şekil yargıları, alanın pr.2'dekinden dört kat daha büyük olacağını gösteriyor. Ancak, hesaplamaları yaptıktan sonra “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - çünkü 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Bu sonuç açıklama gerektiriyor. Konunun özünü açıklığa kavuşturmak için, aynı sinüzoidal y \u003d sin l: ile sınırlanan alanı ve l ile 2n arasında değişen Öküz eksenini de hesaplıyoruz. Formül (I) uygulayarak, elde ederiz Böylece bu alanın negatife döndüğünü görüyoruz. Örnek 3'te hesaplanan alanla karşılaştırdığımızda, mutlak değerlerinin aynı olduğunu ancak işaretlerinin farklı olduğunu görüyoruz. V özelliğini uygularsak (bkz. Bölüm XI, § 4), o zaman tesadüfen elde ederiz. Her zaman x ekseninin altındaki alan, bağımsız değişkenin soldan sağa doğru değişmesi koşuluyla, negatif integraller kullanılarak hesaplanarak elde edilir. Bu kursta, her zaman işaretlenmemiş alanları dikkate alacağız. Bu nedenle, az önce analiz edilen örnekteki cevap şu şekilde olacaktır: gerekli alan 2 + |-2| = 4. Örnek 5. Şekil l'de gösterilen BAB'nin alanını hesaplayalım. 89. Bu alan Öküz ekseni, y = - xr parabolü ve y - = -x + \ düz çizgisi ile sınırlıdır. Eğrisel bir yamuğun alanı Aranan OAB alanı iki bölümden oluşur: OAM ve MAB. A noktası, parabol ile düz çizginin kesişme noktası olduğundan, koordinatlarını 3 2 Y \u003d mx denklem sistemini çözerek bulacağız. (sadece A noktasının apsisini bulmamız gerekiyor). Sistemi çözerek l'yi buluruz; =~. Bu nedenle, alan parçalar halinde hesaplanmalıdır, önce pl. OAM ve ardından pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [yenisiyle değiştirme:

] =

Bu nedenle, uygun olmayan integral yakınsar ve değeri eşittir.

Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır

Şimdi integral hesabın uygulamalarının değerlendirilmesine dönüyoruz. Bu derste tipik ve en yaygın bir görevi analiz edeceğiz. Bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integral nasıl kullanılır?. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar - onu bulabilirler. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonlara sahip bir yazlık kulübeye yaklaşmanız ve alanını belirli bir integral kullanarak bulmanız gerekecek.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) anlamak belirsiz integral en azından ortalama düzeyde. Bu nedenle, aptallar önce dersi okumalıdır. Değil.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilme ve belirli integrali hesaplayabilme. Sayfada belirli integraller ile sıcak dostluk ilişkileri kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında çok fazla bilgiye ihtiyacınız yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., bu nedenle bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha alakalı bir konu olacaktır. Bu bağlamda, ana temel fonksiyonların grafiklerinin hafızasını tazelemek ve en azından düz bir çizgi, bir parabol ve bir hiperbol oluşturabilmek için yararlıdır. Bu, (birçok ihtiyaç) yardımı ile yapılabilir. metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.

Aslında herkes okuldan beri belirli bir integral kullanarak alanı bulma problemine aşinadır ve biz biraz ileri gideceğiz. Okul müfredatı. Bu makale hiç olmayabilir, ancak gerçek şu ki, sorun 100 vakadan 99'unda, bir öğrenci yüksek matematik dersinde ustalaşma hevesiyle nefret edilen bir kule tarafından eziyet edildiğinde ortaya çıkıyor.

Bu çalıştayın materyalleri basit, ayrıntılı ve minimum teori ile sunulmaktadır.

Eğrisel bir yamuk ile başlayalım.

Eğrisel yamuk eksenle sınırlanmış düz bir şekil, düz çizgiler ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiği. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil apsis:

O zamanlar eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. (Var olan) herhangi bir belirli integralin çok iyi bir geometrik anlamı vardır. derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söyledim. Ve şimdi başka bir ifade zamanı yararlı gerçek. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır..

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bazı şekillerin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli integrali ele alalım. İntegrand, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyen çizimi tamamlayabilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir görev bildirimidir. İlk ve önemli ançözümler - çizim. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir plan oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: ilk tüm satırları (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca sonrasında- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyon grafikleri oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktasal inşaat tekniği bulunabilir referans malzemesi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada, dersimizle ilgili olarak çok yararlı olan materyalleri de bulabilirsiniz - hızlı bir şekilde bir parabol nasıl inşa edilir.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.
Bir çizim yapalım (ekseni denklemin tanımladığını unutmayın):

Eğrisel bir yamuk çıkarmayacağım, burada hangi alandan bahsettiğimiz açık. Çözüm şöyle devam ediyor:

Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - peki, yaklaşık 9 yazılacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman, belli ki, bir yerde bir hata yapılmıştı - 20 hücre, söz konusu şekle açıkça uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuz çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ve eksen

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eğrisel yamuk bulunursa ne yapılmalı aks altı?

Örnek 3

Çizgiler ve koordinat eksenleri ile sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel yamuk bulunursa aks altı(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), ardından alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Sizden sadece belirli bir integrali çözmeniz isteniyorsa geometrik anlam, o zaman negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde eksi görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırıdır.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak en iyisidir..

Hatları nokta nokta inşa etmek çok daha karlı ve hızlı olurken, entegrasyonun sınırları sanki “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli çizelgeler için nokta nokta oluşturma tekniği, yardım bölümünde ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya çıkarmadıysa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) limitleri bulmak için analitik yöntem hala bazen kullanılmalıdır. Ve böyle bir örneği de ele alacağız.

Görevimize geri dönüyoruz: önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Bir çizim yapalım:

Noktasal yapı ile entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik" olarak bulunduğunu tekrar ediyorum.

Ve şimdi çalışma formülü: Aralıkta sürekli bir işlev varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, daha sonra bu fonksiyonların grafikleri ve düz çizgilerle sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede olduğunu - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak - düşünmek gerekli değildir. Hangi grafiğin ÜSTTE olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarılması gerektiği açıktır.

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenen şekil yukarıdan bir parabol ve aşağıdan düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Aslında, alt yarı düzlemde eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir. . Eksen denklem tarafından verildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, sonra

Ve şimdi bağımsız bir karar için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle çevrili şeklin alanını bulun , .

Alanı belirli bir integral kullanarak hesaplamak için problem çözme sürecinde bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanını buldu, itaatkar hizmetkarınız birkaç kez bu şekilde batırdı. İşte gerçek hayattan bir vaka:

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Önce bir çizim yapalım:

…Eh, çizim berbat çıktı, ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanını bulmamız gereken şekil mavi ile gölgelendirilmiştir.(duruma dikkatlice bakın - şeklin nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle şeklin gölgeli alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" meydana gelir. yeşil!

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Yok canım:

1) Eksenin üzerindeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği bulunur.

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Bir anlamlı göreve daha geçelim.

Örnek 8

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri bir "okul" formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım:

Üst limitimizin “iyi” olduğu çizimden görülmektedir: .
Ancak alt sınır nedir? Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, bu pekala ortaya çıkabilir. Veya kök. Ya grafiği hiç doğru anlamazsak?

Bu gibi durumlarda, ek zaman harcamak ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak iyileştirmek gerekir.

Doğrunun ve parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:


,

Yok canım, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele ikamelerde ve işaretlerde kafa karıştırmamak, buradaki hesaplamalar en kolayı değil.

segmentte , karşılık gelen formüle göre:

Cevap:

Pekala, dersin sonunda, iki görevi daha zor olarak ele alacağız.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Çizimde bu şekli çizin.

Kahretsin, programı imzalamayı unuttum ve resmi yeniden yapıyorum, üzgünüm, hotz değil. Çekiliş değil kısacası gün bugün =)

Noktasal inşaat için bilmeniz gerekir dış görünüş sinüzoidler (ve genel olarak bilmek yararlıdır tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, içinde bulunabilirler. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), üzerinde grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının ilke olarak doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturulmasına izin verilir.

Burada entegrasyon limitleri ile ilgili herhangi bir sorun yoktur, bunlar doğrudan şu koşuldan kaynaklanır: - "x" sıfırdan "pi"ye değişir. Bir karar daha veriyoruz:

Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle: