اعداد متضاد: تعریف، تعیین، مثال. اعداد مقابل چیست؟

§ 1 مفهوم عدد مثبت

در این درس یاد می گیرید که به چه اعدادی متضاد می گویند، چگونه عدد مقابل را پیدا کنید، و همچنین چه اعداد صحیح و اعداد گویا.

بیا شروع کنیم با کار عملی. روی خط مختصات، نقاط A(2) و B(-2) را علامت بزنید. آنها متقارن هستند و مرکز تقارن این نقاط مبدأ مختصات O(0) است، زیرا فاصله OA=OB است.

می بینیم که مختصات نقاط متقارن در مورد مبدا اعدادی هستند که فقط در علامت متفاوت هستند. چنین اعدادی متضاد نامیده می شوند.

تعریف دیگری از اعداد مقابل وجود دارد. مقادیر مطلق اعداد 2 و -2 چیست؟ برابر 2. بنابراین، اعداد مقابل اعدادی هستند که دارای ماژول های یکسان هستند، اما از نظر علامت متفاوت هستند.

برای نشان دادن مخالف یک عدد از علامت منفی که در مقابل عدد داده شده نوشته شده است استفاده کنید. یعنی عدد مقابل a به صورت −a نوشته می شود. به عنوان مثال، عدد 0.24 مقابل عدد −0.24 است، عدد -25 برابر عدد −(−25) است، اما عدد 25- در خط مختصات مقابل 25 است که به معنای -(-25) = 25 است. از این نتیجه می شود که -( -a) = a و a = -(-a).

§ 2 خواص اعداد مقابل

اجازه دهید برخی از خصوصیات اعداد مخالف را برجسته کنیم.

عکس یک عدد مثبت منفی است و عکس یک عدد منفی مثبت است. این قابل درک است، زیرا نقاط خط مختصات مربوط به اعداد مخالف در طرف مقابل مبدا قرار دارند.

اگر عدد a مخالف عدد b باشد، b مقابل a است - این از خاصیت تقارن نقاط روی خط مختصات ناشی می شود.

بیایید به خط مختصات بپردازیم. چند نقطه را می توان روی یک خط مختصات مشخص کرد که با خط داده شده نسبت به مبدا متقارن باشد؟ فقط یکی. یعنی برای هر عدد فقط یک عدد مقابل وجود دارد.

فقط یک عدد مخالف خودش است - این عدد 0 است، زیرا 0 = -0 (بنابراین، نوشتن -0 مرسوم نیست).

اعداد با ویژگی مشترکیک مجموعه (یا گروه) تشکیل دهید، هر مجموعه نام خاص خود را دارد.

به یاد داشته باشیم که اعدادی که هنگام شمارش استفاده می کنیم، اعداد طبیعی نامیده می شوند؛ آنها مجموعه اعداد طبیعی را تشکیل می دهند.

برای هر عدد طبیعی می توانید عدد مقابل آن را پیدا کنید. اعداد طبیعی، متضادهای آنها و عدد 0 را اعداد صحیح می گویند.

اعداد کسری نیز می توانند مثبت یا منفی باشند. همه اعداد صحیح و همه کسرها را اعداد گویا می نامند. آنها همچنین می گویند که آنها با هم مجموعه اعداد گویا را تشکیل می دهند.

بیایید دو گروه دیگر از اعداد را برجسته کنیم. بیایید یک خط مختصات بگیریم. اگر بخشی از خط را که اعداد منفی روی آن قرار دارند حذف کنیم، پرتویی با اعداد مثبت و نقطه مرجع 0 باقی می ماند. به 0. بنابراین، نه اعداد مثبت- اینها همه اعداد منفی و عدد 0 هستند، یعنی اعدادی که کمتر یا مساوی 0 هستند.

امروز یاد گرفتیم که اعداد متضاد، صحیح، گویا، غیر منفی و غیر مثبت چیست و یاد گرفتیم که عدد مقابل یک عدد معین را پیدا کنیم.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. ریاضی پایه ششم: طرح درسبه کتاب درسی I.I. زوباروا، A.G. موردکوویچ //نویسنده-کامپایل L.A. توپیلینا. Mnemosyne 2009
2. ریاضیات. کلاس ششم: کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی. I.I. زوباروا، A.G. موردکوویچ - M.: Mnemosyne، 2013.
3. ریاضیات. پایه ششم: کتاب درسی دانش آموزان موسسات آموزش عمومی. /ن.یا. Vilenkin، V.I. ژخوف، A.S. چسنوکوف، S.I. شوارتزبورد. - M.: Mnemosyne، 2013.
4. کتابچه راهنمای ریاضیات - http://lyudmilanik.com.ua
5. راهنمای دانش آموز به دبیرستان http://shkolo.ru

در این مقاله به بررسی خواهیم پرداخت اعداد مخالف. در اینجا به این سؤال پاسخ خواهیم داد که چه اعدادی را متضاد می نامند، نشان می دهیم که چگونه متضاد یک عدد معین تعیین می شود و مثال هایی ارائه می دهیم. ما همچنین نتایج اصلی مشخصه اعداد مخالف را لیست خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعیین اعداد متضاد

این به ما کمک می کند تا ایده ای از اعداد متضاد داشته باشیم.

اجازه دهید نقطه ای M را در خط مختصات، متفاوت از مبدا علامت گذاری کنیم. ما می توانیم با کنار گذاشتن متوالی یک قطعه واحد و همچنین دهمین، صدم و غیره آن از مبدأ در جهت نقطه M به نقطه M برسیم. اگر همان تعداد قطعه واحد و سهم آن را در جهت مخالف رسم کنیم، به نقطه دیگری می رسیم که با حرف N مشخص می شود. بیایید برای نشان دادن اعمالمان مثالی بزنیم (شکل زیر را ببینید). برای رسیدن به نقطه M روی خط مختصات، دو پاره واحد و 4 پاره را که یک دهم واحد را تشکیل می‌دهند، در جهت منفی کنار گذاشتیم. حال بیایید دو پاره واحد و 4 قطعه را که یک دهم واحد را تشکیل می دهند در جهت مثبت قرار دهیم. این به ما نقطه N را می دهد.

ما تقریباً آماده درک تعریف اعداد متضاد هستیم؛ تنها چیزی که باقی می ماند بحث در مورد چند تفاوت است.

می دانیم که هر نقطه در خط مختصات مربوط به یک عدد واقعی است، بنابراین، هر دو نقطه M و نقطه N با برخی از اعداد واقعی مطابقت دارند. بنابراین اعداد مربوط به نقاط M و N را مخالف می گویند.

به طور جداگانه، لازم است در مورد نقطه O - مبدأ گفت. نقطه O مربوط به عدد 0 است. عدد صفر مخالف خودش در نظر گرفته می شود.

حالا میتونیم صدا کنیم تعیین اعداد متضاد.

تعریف.

اگر بتوان به نقاط خط مختصات مربوط به این اعداد با کنار گذاشتن همان تعداد قطعه واحد از مبدا در جهات مخالف و همچنین کسری از یک پاره واحد، به نقاطی از خط مختصات مربوط به این اعداد و همچنین کسری از یک پاره واحد رسید. خود

علامت گذاری اعداد مقابل و مثال ها

وقت ورود است نمادهای اعداد مقابل.

برای نشان دادن مخالف یک عدد از علامت منفی که در مقابل عدد داده شده نوشته شده است استفاده کنید. یعنی عدد مقابل عدد a به صورت −a نوشته می شود. برای مثال، عدد مقابل 0.24 −0.24 است و عدد مقابل −25 −(−25) است.

بدهیم نمونه هایی از اعداد مقابل. جفت اعداد 17 و −17 (یا −17 و 17) نمونه‌ای از اعداد صحیح مقابل هستند. اعداد و اعداد گویا مخالف هستند. نمونه های دیگر از اعداد گویا مخالف جفت اعداد 5.126 و -5.126 هستند. و همچنین 0، (1201) و -0، (1201). باقی می ماند که چند نمونه از عکس آن ذکر شود

در این مقاله سعی خواهیم کرد بفهمیم که اعداد متضاد چیست. ما به طور کلی توضیح خواهیم داد که آنها چه هستند، نشان خواهیم داد که چه عناوین خاصی برای آنها استفاده می شود، و به چند نمونه نگاه می کنیم. در قسمت آخر ماده، ویژگی های اصلی اعداد متضاد را فهرست می کنیم.

برای توضیح مفهوم اضداد، ابتدا باید یک خط مختصات را به تصویر بکشیم. بیایید نقطه M را روی آن در نظر بگیریم (اما نه در همان ابتدای شمارش معکوس). فاصله آن تا صفر برابر با تعداد معینی از بخش های واحد خواهد بود که به نوبه خود می توان آنها را به دهم و صدم تقسیم کرد. اگر فاصله یکسانی از مبدا را در جهت خلاف جهتی که M در آن قرار دارد اندازه گیری کنیم، می توانیم به نقطه مشابه دیگری برسیم. اسمش را بگذاریم N. به عنوان مثال، از M تا صفر فاصله 2.4 واحد واحد است، و از N تا صفر یکسان است. به تصویر نگاه کنید:

به یاد داشته باشید که هر نقطه از یک خط مختصات را می توان تنها با یک عدد واقعی مرتبط کرد. در این حالت، نقاط M و N ما با اعداد خاصی مطابقت دارند که مخالف نامیده می شوند. هر عددی به جز صفر یک عدد مقابل دارد. از آنجایی که این شروع شمارش معکوس است، برعکس خودش در نظر گرفته می شود.

بیایید تعریف اعداد متضاد را بنویسیم:

تعریف 1

در مقابلاعدادی نامیده می شوند که با چنین نقاطی در خط مختصات مطابقت دارند که اگر فاصله یکسانی از مبدا را در جهات مختلف (مثبت و منفی) علامت گذاری کنیم به آنها خواهیم رسید. صفر در مبدأ است و در مقابل خودش قرار دارد.

اعداد مقابل چگونه نشان داده می شوند؟

در این بخش به معرفی نمادهای اولیه برای چنین اعدادی می پردازیم. اگر عدد خاصی داریم و باید عکس آن را بنویسیم، برای این کار از منهای استفاده می کنیم.

مثال 1

فرض کنید عدد ما a است، بنابراین متضاد آن a (منهای a) است. دقیقاً به همین ترتیب ، برای 0.26 برعکس - 0.26 است و برای 145 - 145 خواهد بود. اگر خود عدد اصلی منفی باشد، به عنوان مثال، - 9، آنگاه عکس آن را به صورت - (- 9) می نویسیم.

چه مثال های دیگری از اعداد متضاد می توانید بیاورید؟ بیایید اعداد صحیح را در نظر بگیریم: 12 و - 12. اعداد گویا متضاد 3 2 11 و - 3 2 11، و همچنین 8، 128 و − 8، 128، 0، (18901) و − 0، (18901)، و غیره هستند. مقادیر عبارات عددی 2 + 1 و - 2 + 1.

اعداد غیر منطقی مقابل نیز e و - e خواهند بود.

ویژگی های اساسی اعداد متضاد

چنین اعدادی ویژگی های خاصی دارند. در زیر لیستی از آنها را همراه با توضیحات ارائه خواهیم کرد.

تعریف 2

1. اگر عدد اصلی مثبت باشد، عکس آن منفی خواهد بود.

این جمله واضح است و از نمودار بالا نتیجه می گیرد: چنین اعدادی در طرف مقابل خط مرجع قرار دارند. اگر مفاهیم اعداد مثبت و منفی را فراموش کرده اید، به مطالبی که قبلا منتشر کردیم نگاه کنید.

از این قاعده می توان جمله بسیار مهم دیگری را استنباط کرد. در شکل تحت اللفظی، نماد آن به این شکل است: برای هر مثبت a درست خواهد بود - (- a) = a. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چرا این مهم است.

بیایید عدد 5 را بگیریم. با استفاده از خط مختصات می بینید که عدد مقابل 5 است و بالعکس. با استفاده از نمادی که در بالا نشان دادیم، عدد مقابل - 5 را به صورت - (- 5) می نویسیم. به نظر می رسد که - (- 5) = 5. از این رو نتیجه گیری: اعداد متضاد فقط با وجود علامت منفی با یکدیگر تفاوت دارند.

2. خاصیت زیر را معمولاً خاصیت تقارن می نامند. همچنین می توان آن را از همان تعریف اعداد متضاد به دست آورد. به نظر می رسد این است:

تعریف 3

اگر مقداری a مخالف b باشد، b مقابل a است.

بدیهی است که این گفته نیازی به شواهد اضافی ندارد.

3. خاصیت سوم اعداد مقابل می گوید:

تعریف 4

هر عدد واقعی فقط یک عدد مقابل دارد.

این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که نقاط روی یک خط مختصات نمی توانند همزمان با تعداد زیادی مطابقت داشته باشند.

تعریف 5

4. ماژول های اعداد مخالف برابر هستند.

این از تعریف ماژول به دست می آید. منطقی است که نقاط روی یک خط متناظر با هر اعداد متضاد در همان فاصله از نقطه مرجع باشند.

تعریف 6

5. اگر اعداد مقابل را جمع کنیم 0 بدست می آید.

به معنای واقعی کلمه، این عبارت شبیه a + (- a) = 0 است.

مثال 2

در اینجا نمونه هایی از این محاسبات آورده شده است:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

همانطور که می بینید، این قانون برای همه اعداد - اعداد صحیح، گویا، غیر منطقی و غیره کار می کند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

یک مفهوم جالب از برنامه درسی مدرسه اعداد متضاد است که هم از نظر ریاضی و هم از نظر هندسی قابل بررسی است. درک این موضوع مطالعه ریاضیات را ساده می کند و به شما امکان می دهد به سرعت با برخی از مشکلات کنار بیایید - بنابراین ما به این خواهیم پرداخت که چه اعدادی متضاد نامیده می شوند و چه قوانینی برای آنها کار می کنند.

ماهیت این اصطلاح چیست؟

برای درک معنای اعداد مقابل، اجازه دهید برای لحظه ای به هندسه بپردازیم. بیایید یک خط مختصات بکشیم و نقطه صفر را روی آن علامت گذاری کنیم و سپس دو علامت دیگر روی خط بگذاریم - به عنوان مثال، "2" با سمت راستو "-2" در سمت چپ صفر. البته، از هر دو نقطه فاصله تا مبدأ دقیقاً یکسان خواهد بود - و این را می توان به راحتی با اندازه گیری ها تأیید کرد. "2" و "-2" فاصله یکسانی از صفر دارند، اما در جهات مختلف - بر این اساس، آنها کاملاً مخالف یکدیگر هستند.

نکته همین است. اعداد می توانند به اندازه دلخواه بزرگ یا کوچک، کامل یا کسری باشند. با این حال، هر یک از آنها دارای یک عدد مشخص است که دقیقا مخالف آن است. تعریف را می توان به صورت زیر ارائه کرد - اگر در خط مختصات از دو نقطه قرار گرفته در دو طرف صفر، فاصله مساوی با مبدا کنار گذاشت - این نقاط، یا به طور دقیق تر، اعداد مربوط به آنها مخالف خواهند بود. .

چه قوانینی را می توان از تعریف استخراج کرد؟

شایان ذکر است که چند گزاره مطلق در مورد موضوع مورد بررسی را به خاطر بسپارید:

• اصل اضداد برای دو عدد به دو صورت کار می کند. به عنوان مثال، عدد 3 مقابل عدد -3 است - و بنابراین فقط عدد 3 مقابل عدد -3 است و نه هیچ.
• یک عدد نمی تواند دو متضاد داشته باشد - همیشه فقط یکی وجود دارد.
• اعداد با علائم مختلف می توانند مخالف یکدیگر باشند. اگر عددی مثبت باشد، عدد مقابل آن علامت منفی خواهد داشت - به عنوان مثال، 5 و -5. همین کار در آن کار می کند سمت معکوس- برای عددی با علامت منفی، همیشه عکس آن با علامت مثبت خواهد بود - مثلاً 6- و 6.
• دو عدد متضاد یکسان هستند قدر مطلق، یا ماژول. به عبارت دیگر، اگر برای عدد 4

موضوع

نوع درس

• مطالعه و جذب اولیه مواد جدید

اهداف درس

تعاریف اعداد مثبت، منفی و مخالف را یاد بگیرید.

هنگام حل تمرین، هنگام حل معادلات، اعداد متضاد را پیدا کنید

رشدی - برای توسعه توجه دانش آموزان، پشتکار، پشتکار، تفکر منطقی، گفتار ریاضی.

آموزشی - از طریق درس، نگرش توجه نسبت به یکدیگر را پرورش دهید، توانایی گوش دادن به رفقا، کمک متقابل و استقلال را القا کنید.

اهداف درس

اعداد متضاد را دریابید

یاد بگیرید که از این مفهوم در هنگام حل مسائل استفاده کنید

مهارت حل مسئله دانش آموزان را آزمایش کنید.

طرح درس

1. معرفی.

2. بخش نظری

3. بخش عملی.

4. تکالیف.

5. حقایق جالب

معرفی

به تصاویر نگاه کنید و تفاوت آنها را در یک کلمه توصیف کنید.

تصاویر متضادها را نشان می دهند.

- این دو عدد از نظر قدر مطلق مساوی هستند، اما دارای نشانه های مختلف، به عنوان مثال. 5 و -5.

بخش نظری

ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چیست اعداد منفی. نگاه کن ویدئو:

نقاط با مختصات 5 و -5 از نقطه O به یک اندازه فاصله دارند و در دو طرف مقابل آن قرار دارند. برای رسیدن از نقطه O به این نقاط باید مسافت های مشابه را طی کنید، اما در جهت مخالف. اعداد 5 و -5 نامیده می شوند اعداد مخالف: 5 برعکس 5- و -5 مخالف 5 است.

دو عددی که فقط با علامت تفاوت دارند نامیده می شوند اعداد مخالف.

به عنوان مثال، اعداد مقابل 35 و -35 خواهند بود، زیرا عدد 35 = +35 است، به این معنی که اعداد 35 و -35 فقط در علائم متفاوت هستند. اعداد مخالف نیز 0.8 و -0.8، ¾ و -¾ خواهند بود.

خواص اعداد متضاد

1). برای هر عدد فقط یک عدد مقابل وجود دارد.

2). عدد 0 برعکس خودش است.

3). عدد مقابل a را -a نشان می دهند. اگر a = -7.8، -a = 7.8. اگر a = 8.3، -a = -8.3. اگر a = 0، آنگاه -a = 0.

4). علامت "-(-15)" به معنای عدد مقابل 15- است. از آنجایی که عکس 15- 15 است، پس -(-15) = 15. به طور کلی -(-a) = a.

اعداد طبیعی، متضاد و صفر آنها نامیده می شوند اعداد صحیح.

عدد مقابل n" در رابطه با عدد n عددی است که وقتی به n اضافه شود صفر می شود.

n + n" = 0

این برابری را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

n + n" - n = 0 - nیا n" = - n

بدین ترتیب، اعداد مخالفدارای ماژول های یکسان، اما علائم مخالف.

بر این اساس، عدد مقابل n را − n نشان می دهند. وقتی عددی مثبت باشد عدد مقابل آن منفی خواهد بود و بالعکس.

1- برای اعداد متضاد مثال بزنید.

2. آنها را روی یک خط مختصات بکشید.

3. عدد مقابل -3.6 را نام ببرید. 7; 0; 8/9; -1/2

بخش عملی

مثال

1) روی خط مختصات نقاط A(2)، B(-2)، C(+4)، D(-3)، E(-5.2)، F(5.2)، G(-6)، H( 7). 2) از میان این نقاط، نقاطی را که نسبت به نقطه O(0) متقارن هستند، پیدا و نشان دهید. در مورد مختصات نقاط متقارن چه می توان گفت؟

نقاط متقارن با توجه به نقطه O(0): A(2) و B(-2)، E(- 5.2) و F(5.2)

مختصات نقاط متقارناعدادی هستند که فقط در علامت تفاوت دارند. چنین اعدادی نامیده می شوند مقابل

نقاط A(-3)، B(+6)، C(+4.2)، D(+3)، E(-4.2)، F(-6) را روی خط مختصات علامت بزنید، در مورد این اعداد چه می توانید بگویید. ??

از اعداد 15; 2.5; - 2.5; - 18; 0; 45; - 45 انتخاب کنید: الف) اعداد طبیعی. ب) اعداد صحیح؛ ج) اعداد منفی؛ د) اعداد مثبت؛ د) اعداد متضاد

1) عدد مقابل عدد a را بنویسید.

2) عدد مقابل عدد a را مشخص کنید اگر:

a=5، a=-3، a=0، a=-2/5;

A = 6، -a = - 2، -a = 3.4.

1) معنی مدخل را به خاطر بسپارید: - (- a).

2) برای بدست آوردن برابری صحیح به جای * عددی قرار دهید: a) - (- 5) = *; ب) 3 = – *.

مشق شب

1). جدول را پر کنید:

2). پیدا کنید: a) -m،

اگر m = -8،

اگر m = -16

اگر -k = 27

اگر -k = -35

اگر c=41 باشد

اگر c = -3.6

3). چند جفت اعداد متضاد بین اعداد -7.2 و 3.6 قرار دارند. روی خط مختصات علامت بزنید.

4). نام دانشمند برجسته فرانسوی را بشناسید:

میدونی کجاست زندگی روزمرهآیا با اعداد مثبت و منفی مواجه می شویم؟

فهرست منابع استفاده شده

1. دایره المعارف ریاضی (در 5 جلد). - م.: دایره المعارف شوروی، 2002. - T. 1.
2." آخرین دایرکتوریدانش آموز" "خانه قرن بیست و یکم" 2008
3. خلاصه درس در مورد موضوع " اعداد متضاد" نویسنده: پتروا V.P.، معلم ریاضیات (کلاس 5-9)، کیف
4. N.Ya.Vilenkin، A.S. چسنوکوف، S.I. شوارتسبورد، وی. آی. ژخوف، ریاضیات برای کلاس ششم، کتاب درسی دبیرستان