Compiti per progressione aritmetica esisteva già nell'antichità. Sono comparsi e hanno chiesto una soluzione perché avevano un bisogno pratico.
Quindi, in uno dei papiri Antico Egitto", che ha un contenuto matematico - il papiro Rhind (XIX secolo a.C.) - contiene il seguente compito: dividere dieci misure di pane tra dieci persone, a condizione che la differenza tra ciascuna di esse sia un ottavo della misura."
E nelle opere matematiche degli antichi greci si trovano eleganti teoremi legati alla progressione aritmetica. Così, Ipsicle di Alessandria (II secolo, che ammontava a molto compiti interessanti e che aggiunse il quattordicesimo libro agli Elementi di Euclide, formulò il pensiero: “In una progressione aritmetica che abbia un numero pari di termini, la somma dei termini della 2a metà è maggiore della somma dei termini della 1a per il quadrato di 1/2 del numero di termini.”
La sequenza è indicata con un. I numeri di una sequenza sono chiamati i suoi membri e sono solitamente designati da lettere con indici che indicano il numero di serie di questo membro (a1, a2, a3... leggi: “un 1°”, “un 2°”, “un 3°” e così via ).
La sequenza può essere infinita o finita.
Cos'è una progressione aritmetica? Con esso si intende quello ottenuto sommando il termine precedente (n) con lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.
Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, allora questa progressione è considerata crescente.
Una progressione aritmetica si dice finita se si prendono in considerazione solo i suoi primi termini. A molto grandi quantità membri è già una progressione infinita.
Qualsiasi progressione aritmetica è definita dalla seguente formula:
an =kn+b, mentre b e k sono alcuni numeri.
È assolutamente vera l'affermazione opposta: se una sequenza è data da una formula simile, allora è esattamente una progressione aritmetica che ha le proprietà:
- Ogni termine della progressione è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo.
- Inversa: se, a partire dal 2°, ogni termine è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo, cioè se la condizione è soddisfatta, questa sequenza è una progressione aritmetica. Questa uguaglianza è anche un segno di progressione, motivo per cui viene solitamente chiamata una proprietà caratteristica della progressione.
Allo stesso modo è vero il teorema che riflette questa proprietà: una successione è una progressione aritmetica solo se questa uguaglianza è vera per uno qualsiasi dei termini della successione, a cominciare dal 2°.
La proprietà caratteristica di quattro numeri qualsiasi di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula an + am = ak + al, se n + m = k + l (m, n, k sono numeri di progressione).
In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (N-esimo) può essere trovato utilizzando la seguente formula:
Ad esempio: il primo termine (a1) in una progressione aritmetica è dato e pari a tre, e la differenza (d) è pari a quattro. Devi trovare il quarantacinquesimo termine di questa progressione. a45 = 1+4(45-1)=177
La formula an = ak + d(n - k) ci permette di determinare ennesimo termine una progressione aritmetica attraverso uno qualsiasi dei suoi termini k-esimi, purché sia noto.
La somma dei termini di una progressione aritmetica (ovvero i primi n termini progressione finita) è calcolato come segue:
Sn = (a1+an) n/2.
Se è noto anche il primo termine, per il calcolo è conveniente un'altra formula:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
La somma di una progressione aritmetica che contiene n termini si calcola come segue:
La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni dei problemi e dai dati iniziali.
La serie naturale di qualsiasi numero, come 1,2,3,...,n,..., è l'esempio più semplice di progressione aritmetica.
Oltre alla progressione aritmetica esiste anche una progressione geometrica, che ha le sue proprietà e caratteristiche.
Se per ogni numero naturale N corrisponde a un numero reale UN , poi dicono che è dato sequenza numerica :
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN , . . . .
Quindi, la sequenza numerica è una funzione dell'argomento naturale.
Numero UN 1 chiamato primo termine della sequenza , numero UN 2 — secondo termine della sequenza , numero UN 3 — terzo e così via. Numero UN chiamato ennesimo termine sequenze e un numero naturale N — il suo numero .
Da due membri adiacenti UN E UN +1 membro della sequenza UN +1 chiamato successivo (in direzione UN ), UN UN — precedente (in direzione UN +1 ).
Per definire una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.
Spesso la sequenza viene specificata utilizzando formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro di una sequenza in base al suo numero.
Per esempio,
una sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula
UN= 2N- 1,
e la sequenza dell'alternanza 1 E -1 - formula
B N = (-1)N +1 . ◄
La sequenza può essere determinata formula ricorrente, cioè una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, fino ai membri precedenti (uno o più).
Per esempio,
Se UN 1 = 1 , UN UN +1 = UN + 5
UN 1 = 1,
UN 2 = UN 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
UN 3 = UN 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
UN 4 = UN 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
UN 5 = UN 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Se un 1= 1, un 2 = 1, UN +2 = UN + UN +1 , quindi i primi sette termini della sequenza numerica si stabiliscono come segue:
un 1 = 1,
un 2 = 1,
un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,
un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,
UN 6 = UN 4 + UN 5 = 3 + 5 = 8,
UN 7 = UN 5 + UN 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Le sequenze possono essere finale E infinito .
La sequenza viene chiamata ultimo , se ha un numero finito di membri. La sequenza viene chiamata infinito , se ha infiniti membri.
Per esempio,
sequenza di numeri naturali a due cifre:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
finale.
Sequenza di numeri primi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
infinito. ◄
La sequenza viene chiamata crescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.
La sequenza viene chiamata decrescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.
Per esempio,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — sequenza crescente;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — sequenza decrescente. ◄
Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono all'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .
Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.
Progressione aritmetica
Progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, al quale viene aggiunto lo stesso numero.
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN, . . .
è una progressione aritmetica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:
UN +1 = UN + D,
Dove D - un certo numero.
Pertanto, la differenza tra i termini successivi e precedenti di una data progressione aritmetica è sempre costante:
un 2 - UN 1 = un 3 - UN 2 = . . . = UN +1 - UN = D.
Numero D chiamato differenza di progressione aritmetica.
Per definire una progressione aritmetica è sufficiente indicarne il primo termine e la differenza.
Per esempio,
Se UN 1 = 3, D = 4 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:
un 1 =3,
un 2 = un 1 + D = 3 + 4 = 7,
un 3 = un 2 + D= 7 + 4 = 11,
un 4 = un 3 + D= 11 + 4 = 15,
UN 5 = UN 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
Per una progressione aritmetica con il primo termine UN 1 e la differenza D suo N
UN = un 1 + (N- 1)D.
Per esempio,
trovare il trentesimo termine della progressione aritmetica
1, 4, 7, 10, . . .
un 1 =1, D = 3,
un 30 = un 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = un 1 + (N- 2)D,
UN= un 1 + (N- 1)D,
UN +1 = UN 1 + nd,
poi ovviamente
| UN=
| un n-1 + un n+1
|
| 2
|
Ciascun membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedente e successivo.
i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.
Per esempio,
UN = 2N- 7 , è una progressione aritmetica.
Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:
UN = 2N- 7,
un n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
Quindi,
| un n+1 + un n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = UN,
|
| 2
| 2
|
◄
Notare che N L'esimo termine di una progressione aritmetica non si trova solo attraverso UN 1 , ma anche eventuali precedenti un k
UN = un k + (N- K)D.
Per esempio,
Per UN 5 può essere scritto
un 5 = un 1 + 4D,
un 5 = un 2 + 3D,
un 5 = un 3 + 2D,
un 5 = un 4 + D. ◄
UN = un nk + kd,
UN = un n+k - kd,
poi ovviamente
| UN=
| UN n-k
+a n+k
|
| 2
|
ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è pari alla metà della somma dei membri equidistanti di tale progressione aritmetica.
Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica vale la seguente uguaglianza:
un m + un n = un k + un l,
m + n = k + l.
Per esempio,
nella progressione aritmetica
1) UN 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (UN 9 + UN 11 )/2;
2) 28 = un 10 = un 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;
4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, Perché
un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,
un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ UN,
Primo N termini di una progressione aritmetica è pari al prodotto della metà della somma dei termini estremi e del numero di termini:
Da qui, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini
un k, un k +1 , . . . , UN,
quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:
Per esempio,
nella progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Se viene data una progressione aritmetica, allora le quantità UN 1 , UN, D, N ES N collegati da due formule:
Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.
Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In cui:
- Se D > 0 , allora è in aumento;
- Se D < 0 , allora è in diminuzione;
- Se D = 0 , allora la sequenza sarà stazionaria.
Progressione geometrica
Progressione geometrica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente moltiplicato per lo stesso numero.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .
è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:
b n +1 = b n · Q,
Dove Q ≠ 0 - un certo numero.
Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di una data progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.
Numero Q chiamato denominatore della progressione geometrica.
Per definire una progressione geometrica è sufficiente indicarne il primo termine e il denominatore.
Per esempio,
Se B 1 = 1, Q = -3 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:
b1 = 1,
b2 = b1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 e denominatore Q suo N L'esimo termine può essere trovato utilizzando la formula:
b n = B 1 · qn -1 .
Per esempio,
trovare il settimo termine della progressione geometrica 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b1 · qn -2 ,
b n = b1 · qn -1 ,
b n +1 = B 1 · qn,
poi ovviamente
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
ciascun membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è pari alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedente e successivo.
Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:
i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.
Per esempio,
Dimostriamo che la sequenza data dalla formula b n= -32 N , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:
b n= -32 N,
b n -1 = -32 N -1 ,
b n +1 = -32 N +1 .
Quindi,
b n 2 = (-32 N)2 = (-32 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
che dimostra l'affermazione desiderata. ◄
Notare che N L'esimo termine di una progressione geometrica non può essere trovato solo attraverso B 1 , ma anche qualsiasi membro precedente bk , per il quale è sufficiente utilizzare la formula
b n = bk · qn - K.
Per esempio,
Per B 5 può essere scritto
b5 = b1 · Q 4 ,
b5 = b2 · q3,
b5 = b3 · q2,
b5 = b4 · Q. ◄
b n = bk · qn - K,
b n = b n - K · qk,
poi ovviamente
b n 2 = b n - K· b n + K
il quadrato di qualsiasi termine di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei termini di tale progressione equidistanti da esso.
Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica vale l’uguaglianza:
b m· b n= bk· b l,
M+ N= K+ l.
Per esempio,
in progressione geometrica
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Perché
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n
Primo N membri di una progressione geometrica con denominatore Q ≠ 0 calcolato con la formula:
E quando Q = 1 - secondo la formula
S n= n.b 1
Tieni presente che se devi sommare i termini
bk, bk +1 , . . . , b n,
allora si usa la formula:
| S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + b n = bk · | 1 - qn -
K +1
| . |
| 1 - Q
|
Per esempio,
in progressione geometrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Se viene data una progressione geometrica, allora le quantità B 1 , b n, Q, N E S n collegati da due formule:
Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.
Per una progressione geometrica con il primo termine B 1 e denominatore Q avviene quanto segue proprietà di monotonia :
- la progressione è crescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
B 1 > 0 E Q> 1;
B 1 < 0 E 0 < Q< 1;
- La progressione è decrescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
B 1 > 0 E 0 < Q< 1;
B 1 < 0 E Q> 1.
Se Q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata: i suoi termini con numeri dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini con numeri pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.
Prodotto del primo N i termini di una progressione geometrica possono essere calcolati utilizzando la formula:
P.N= b1 · b2 · b3 · . . . · b n = (b1 · b n) N / 2 .
Per esempio,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progressione geometrica infinitamente decrescente
Progressione geometrica infinitamente decrescente chiamata progressione geometrica infinita il cui modulo del denominatore è inferiore 1 , questo è
|Q| < 1 .
Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Si adatta all'occasione
1 < Q< 0 .
Con un tale denominatore, la sequenza è alternata. Per esempio,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero a cui si avvicina senza limite la somma dei primi N membri di una progressione con aumento illimitato del numero N . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Per esempio,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relazione tra progressioni aritmetiche e geometriche
Le progressioni aritmetiche e geometriche sono strettamente correlate. Consideriamo solo due esempi.
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . D , Quello
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Per esempio,
1, 3, 5, . . . - progressione aritmetica con differenza 2 E
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progressione geometrica con denominatore 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . - progressione geometrica con denominatore Q , Quello
log a b 1, log a b 2, registrare un b 3, . . . - progressione aritmetica con differenza registrare unQ .
Per esempio,
2, 12, 72, . . . - progressione geometrica con denominatore 6 E
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progressione aritmetica con differenza lg 6 . ◄
Somma di una progressione aritmetica.
La somma di una progressione aritmetica è una cosa semplice. Sia nel significato che nella formula. Ma ci sono tutti i tipi di compiti su questo argomento. Da semplice a abbastanza solido.
Innanzitutto, comprendiamo il significato e la formula dell'importo. E poi decideremo. Per il tuo piacere.) Il significato dell'importo è semplice come un muggito. Per trovare la somma di una progressione aritmetica basta sommare con attenzione tutti i suoi termini. Se questi termini sono pochi, puoi aggiungerli senza alcuna formula. Ma se c'è molto, o molto... l'addizione è fastidiosa.) In questo caso la formula viene in soccorso.
La formula per l'importo è semplice:
Scopriamo che tipo di lettere sono incluse nella formula. Questo chiarirà molto le cose.
S n - la somma di una progressione aritmetica. Risultato dell'addizione tutti membri, con Primo Di scorso.È importante. Si sommano esattamente Tutto membri di fila, senza saltare o saltare. E, appunto, a partire da Primo. In problemi come trovare la somma del terzo e dell'ottavo termine, o la somma dei termini dal quinto al ventesimo... applicazione diretta le formule deluderanno.)
un 1 - Primo membro della progressione. Qui è tutto chiaro, è semplice Primo numero di riga.
UN- scorso membro della progressione. L'ultimo numero della serie. Non è un nome molto familiare, ma se applicato all’importo è molto adatto. Allora lo vedrai tu stesso.
N - numero dell'ultimo membro. È importante capire che nella formula questo numero coincide con il numero di termini aggiunti.
Definiamo il concetto scorso membro UN. Domanda complicata: quale membro sarà l'ultimo se dato infinito progressione aritmetica?)
Per rispondere con sicurezza è necessario comprendere il significato elementare della progressione aritmetica e... leggere attentamente il compito!)
Nel compito di trovare la somma di una progressione aritmetica, l'ultimo termine compare sempre (direttamente o indirettamente), che dovrebbe essere limitato. Altrimenti, un importo finale e specifico semplicemente non esiste. Per la soluzione non importa se la progressione è data: finita o infinita. Non importa come viene dato: una serie di numeri o una formula per l'ennesimo termine.
La cosa più importante è capire che la formula funziona dal primo termine della progressione fino al termine con numero N. In realtà, il nome completo della formula è simile al seguente: la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Il numero di questi primissimi membri, cioè N, è determinato esclusivamente dal compito. In un'attività, tutte queste preziose informazioni sono spesso crittografate, sì... Ma non importa, negli esempi seguenti sveliamo questi segreti.)
Esempi di compiti sulla somma di una progressione aritmetica.
Prima di tutto, informazioni utili:
La principale difficoltà nei compiti che comportano la somma di una progressione aritmetica risiede nella corretta determinazione degli elementi della formula.
Gli autori dei compiti crittografano proprio questi elementi con un'immaginazione illimitata.) La cosa principale qui è non avere paura. Comprendendo l'essenza degli elementi, è sufficiente decifrarli semplicemente. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio. Cominciamo con un compito basato su un vero GIA.
1. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a n = 2n-3.5. Trova la somma dei suoi primi 10 termini.
Buon lavoro. Facile.) Per determinare l'importo utilizzando la formula, cosa dobbiamo sapere? Primo membro un 1, ultimo termine UN, sì, il numero dell'ultimo membro N.
Dove posso trovare il numero dell'ultimo membro? N? Sì, proprio lì, a condizione! Dice: trova la somma primi 10 membri. Bene, con che numero sarà? scorso, decimo membro?) Non ci crederai, il suo numero è decimo!) Pertanto, invece di UN Sostituiremo nella formula un 10, e invece N- dieci. Ripeto, il numero dell'ultimo membro coincide con il numero dei soci.
Resta da determinare un 1 E un 10. Questo può essere facilmente calcolato utilizzando la formula per l'ennesimo termine, fornita nella dichiarazione del problema. Non sai come farlo? Frequenta la lezione precedente, senza questa non c'è modo.
un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S10.
Abbiamo scoperto il significato di tutti gli elementi della formula per la somma di una progressione aritmetica. Non resta che sostituirli e contare:
Questo è tutto. Risposta: 75.
Un altro compito basato sul GIA. Un po' più complicato:
2. Data una progressione aritmetica (a n), la cui differenza è 3,7; a1 =2,3. Trova la somma dei suoi primi 15 termini.
Scriviamo subito la formula della somma:
Questa formula ci consente di trovare il valore di qualsiasi termine in base al suo numero. Cerchiamo una semplice sostituzione:
un 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Resta da sostituire tutti gli elementi della formula con la somma di una progressione aritmetica e calcolare la risposta:
Risposta: 423.
A proposito, se nella formula della somma invece di UN Sostituiamo semplicemente la formula all'ennesimo termine e otteniamo:
Presentiamone di simili e otteniamo una nuova formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica:
 |
Come puoi vedere, l'ennesimo termine non è richiesto qui UN. In alcuni problemi questa formula aiuta molto, sì... Puoi ricordare questa formula. Oppure puoi semplicemente visualizzarlo al momento giusto, come qui. Dopotutto, devi sempre ricordare la formula per la somma e la formula per l'ennesimo termine.)
Ora il compito sotto forma di una breve crittografia):
3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a due cifre che sono multipli di tre.
Oh! Né il tuo primo membro, né l'ultimo, né alcuna progressione... Come vivere!?
Dovrai pensare con la tua testa ed estrarre dalla condizione tutti gli elementi della somma della progressione aritmetica. Sappiamo cosa sono i numeri a due cifre. Sono costituiti da due numeri.) Quale sarà il numero a due cifre Primo? 10, presumibilmente.) A ultima cosa numero a doppia cifra? 99, ovviamente! Quelli a tre cifre lo seguiranno...
Multipli di tre... Hm... Questi sono i numeri divisibili per tre, ecco! Dieci non è divisibile per tre, 11 non è divisibile... 12... è divisibile! Dunque, qualcosa sta emergendo. Puoi già scrivere una serie in base alle condizioni del problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Questa serie sarà una progressione aritmetica? Certamente! Ogni termine differisce dal precedente rigorosamente tre. Se aggiungi 2 o 4 a un termine, ad esempio, il risultato, ad es. il nuovo numero non è più divisibile per 3. Puoi determinare immediatamente la differenza della progressione aritmetica: d = 3. Tornerà utile!)
Quindi, possiamo tranquillamente annotare alcuni parametri di progressione:
Quale sarà il numero? N ultimo membro? Chi pensa che 99 si sbaglia di grosso... I numeri vanno sempre in fila, ma i nostri membri saltano sopra il tre. Non corrispondono.
Ci sono due soluzioni qui. Un modo è per i super laboriosi. Puoi scrivere la progressione, l'intera serie di numeri e contare il numero dei membri con il dito.) Il secondo modo è per chi è riflessivo. Devi ricordare la formula per l'ennesimo termine. Se applichiamo la formula al nostro problema, troviamo che 99 è il trentesimo termine della progressione. Quelli. n = 30.
Diamo un'occhiata alla formula per la somma di una progressione aritmetica:
Guardiamo e ci rallegriamo.) Abbiamo estratto dalla dichiarazione del problema tutto il necessario per calcolare l'importo:
un 1= 12.
un 30= 99.
S n = S30.
Tutto ciò che resta è l'aritmetica elementare. Sostituiamo i numeri nella formula e calcoliamo:
Risposta: 1665
Un altro tipo di puzzle popolare:
4. Data una progressione aritmetica:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Trova la somma dei termini dal ventesimo al trentaquattro.
Guardiamo la formula per l'importo e... ci arrabbiamo.) La formula, lasciatemelo ricordare, calcola l'importo dal primo membro. E nel problema devi calcolare la somma dal ventesimo... La formula non funzionerà.
Ovviamente puoi scrivere l'intera progressione in una serie e aggiungere termini da 20 a 34. Ma... è in qualche modo stupido e richiede molto tempo, giusto?)
Esiste una soluzione più elegante. Dividiamo la nostra serie in due parti. La prima parte sarà dal primo mandato al diciannovesimo. Seconda parte - dai venti ai trentaquattro.È chiaro che se calcoliamo la somma dei termini della prima parte S 1-19, aggiungiamolo con la somma dei termini della seconda parte S 20-34, si ottiene la somma della progressione dal primo termine al trentaquattresimo S 1-34. Come questo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Da questo possiamo vedere che trovi la somma S 20-34 può essere fatto mediante una semplice sottrazione
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Vengono considerati entrambi gli importi sul lato destro dal primo membro, cioè la formula della somma standard è del tutto applicabile a loro. Iniziamo?
Estraiamo i parametri di progressione dalla dichiarazione del problema:
d = 1,5.
un 1= -21,5.
Per calcolare la somma dei primi 19 e dei primi 34 termini, avremo bisogno del 19° e del 34° termine. Li calcoliamo utilizzando la formula per l'ennesimo termine, come nel problema 2:
un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Non è rimasto niente. Dalla somma di 34 termini sottrai la somma di 19 termini:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Risposta: 262,5
Uno nota importante! C'è un trucco molto utile per risolvere questo problema. Invece del calcolo diretto di cosa hai bisogno (S 20-34), abbiamo contato qualcosa che sembrerebbe non necessario - S 1-19. E poi hanno deciso S 20-34, scartando il superfluo dal risultato completo. Questo tipo di “finta con le orecchie” spesso ti salva da problemi malvagi.)
In questa lezione abbiamo affrontato problemi per i quali è sufficiente comprendere il significato della somma di una progressione aritmetica. Bene, devi conoscere un paio di formule.)
Quando risolvi qualsiasi problema che coinvolga la somma di una progressione aritmetica, consiglio di scrivere immediatamente le due formule principali di questo argomento.
Formula per l'ennesimo termine:
Queste formule ti diranno immediatamente cosa cercare e in quale direzione pensare per risolvere il problema. Aiuta.
E ora i compiti per una soluzione indipendente.
5. Trova la somma di tutti i numeri a due cifre che non sono divisibili per tre.
Bello?) Il suggerimento è nascosto nella nota al problema 4. Bene, il problema 3 aiuterà.
6. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a 1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova la somma dei suoi primi 24 termini.
Insolito?) Questa è una formula ricorrente. Puoi leggerlo nella lezione precedente. Non ignorare il collegamento, tali problemi si riscontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.
7. Vasya ha risparmiato soldi per le vacanze. Fino a 4550 rubli! E ho deciso di regalare alla mia persona preferita (me stesso) qualche giorno di felicità). Vivi magnificamente senza negarti nulla. Spendi 500 rubli il primo giorno e ogni giorno successivo spendi 50 rubli in più rispetto al precedente! Fino a quando i soldi non finiscono. Quanti giorni di felicità ha avuto Vasya?
È difficile?) La formula aggiuntiva del problema 2 aiuterà.
Risposte (allo sbando): 7, 3240, 6.
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I. V. Yakovlev | Materiali matematici | MathUs.ru
Progressione aritmetica
Una progressione aritmetica è un tipo speciale di sequenza. Pertanto, prima di definire una progressione aritmetica (e poi geometrica), occorre brevemente discuterla concetto importante sequenza numerica.
Sotto sequenza
Immagina un dispositivo sullo schermo in cui vengono visualizzati determinati numeri uno dopo l'altro. Diciamo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Questo insieme di numeri è proprio un esempio di sequenza.
Definizione. Una sequenza numerica è un insieme di numeri in cui a ogni numero può essere assegnato un numero univoco (ovvero associato a un singolo numero naturale)1. Il numero n è chiamato l'ennesimo termine della sequenza.
Quindi, nell'esempio sopra, il primo numero è 2, questo è il primo membro della sequenza, che può essere indicato con a1; il numero cinque ha il numero 6 è il quinto termine della sequenza, che può essere indicato con a5. In generale, l'ennesimo termine di una sequenza è indicato con an (o bn, cn, ecc.).
Una situazione molto conveniente è quando l'n-esimo termine della sequenza può essere specificato da una formula. Ad esempio, la formula an = 2n 3 specifica la sequenza: 1; 1; 3; 5; 7; : : : La formula an = (1)n specifica la sequenza: 1; 1; 1; 1; : : :
Non tutti gli insiemi di numeri sono una sequenza. Pertanto, un segmento non è una sequenza; contiene “troppi” numeri da rinumerare. Anche l'insieme R di tutti i numeri reali non è una successione. Questi fatti sono dimostrati nel corso dell'analisi matematica.
Progressione aritmetica: definizioni fondamentali
Ora siamo pronti per definire una progressione aritmetica.
Definizione. Una progressione aritmetica è una sequenza in cui ciascun termine (a partire dal secondo) è uguale alla somma del termine precedente e di un numero fisso (chiamato differenza della progressione aritmetica).
Ad esempio, sequenza 2; 5; 8; undici; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 2 e differenza 3. Sequenza 7; 2; 3; 8; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 7 e differenza 5. Sequenza 3; 3; 3; : : : è una progressione aritmetica con differenza pari a zero.
Definizione equivalente: la successione an è detta progressione aritmetica se la differenza an+1 an è un valore costante (indipendente da n).
Una progressione aritmetica si dice crescente se la sua differenza è positiva, decrescente se la sua differenza è negativa.
1 Ma ecco una definizione più concisa: una successione è una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali. Ad esempio, una sequenza di numeri reali è una funzione f: N ! R.
Per impostazione predefinita, le sequenze sono considerate infinite, ovvero contengono un numero infinito di numeri. Ma nessuno ci disturba a considerare successioni finite; infatti, qualsiasi insieme finito di numeri può essere chiamato una sequenza finita. Ad esempio, la sequenza finale è 1; 2; 3; 4; 5 è composto da cinque numeri.
Formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica
È facile comprendere che una progressione aritmetica è completamente determinata da due numeri: il primo termine e la differenza. Sorge quindi la domanda: come, conoscendo il primo termine e la differenza, trovare un termine arbitrario di una progressione aritmetica?
Non è difficile ottenere la formula richiesta per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Lascia che un
progressione aritmetica con differenza d. Abbiamo: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
In particolare scriviamo: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
e ora diventa chiaro che la formula per an è: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Problema 1. Nella progressione aritmetica 2; 5; 8; undici; : : : trova la formula per l'ennesimo termine e calcola il centesimo termine.
Soluzione. Secondo la formula (1) abbiamo:
an = 2 + 3(n1) = 3n1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Proprietà e segno della progressione aritmetica
Proprietà della progressione aritmetica. In progressione aritmetica e per qualsiasi
In altre parole, ciascun membro di una progressione aritmetica (a partire dal secondo) è la media aritmetica dei membri vicini.
Prova. Abbiamo: | ||||
un n 1+ un n+1 | (e) + (e + d) | |||
che è ciò che era richiesto.
Più in generale, la progressione aritmetica soddisfa l'uguaglianza
un n = un n k+ un n+k
per ogni n > 2 e ogni k naturale< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Si scopre che la formula (2) serve non solo come condizione necessaria ma anche sufficiente affinché la sequenza sia una progressione aritmetica.
Segno di progressione aritmetica. Se l'uguaglianza (2) vale per tutti gli n > 2, allora la successione an è una progressione aritmetica.
Prova. Riscriviamo la formula (2) come segue:
a na n 1= a n+1a n:
Da ciò si vede che la differenza an+1 an non dipende da n, e questo significa appunto che la successione an è una progressione aritmetica.
La proprietà e il segno di una progressione aritmetica possono essere formulati sotto forma di un'unica affermazione; Per comodità lo faremo per tre numeri (questa è la situazione che spesso si verifica nei problemi).
Caratterizzazione di una progressione aritmetica. Tre numeri a, b, c formano una progressione aritmetica se e solo se 2b = a + c.
Problema 2. (MSU, Facoltà di Economia, 2007) Tre numeri 8x, 3x2 e 4 nell'ordine indicato formano una progressione aritmetica decrescente. Trova x e indica la differenza di questa progressione.
Soluzione. Per la proprietà della progressione aritmetica abbiamo:
2(3x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Se x = 1, allora otteniamo una progressione decrescente di 8, 2, 4 con una differenza di 6. Se x = 5, allora otteniamo una progressione crescente di 40, 22, 4; questo caso non è adatto.
Risposta: x = 1, la differenza è 6.
Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
La leggenda narra che un giorno la maestra disse ai bambini di fare la somma dei numeri da 1 a 100 e si sedette tranquillamente a leggere il giornale. Tuttavia, nel giro di pochi minuti, un ragazzo disse di aver risolto il problema. Si trattava di Carl Friedrich Gauss, 9 anni, in seguito uno dei più grandi matematici della storia.
L'idea del piccolo Gauss era la seguente. Permettere
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Scriviamo questo importo in ordine inverso:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
e aggiungi queste due formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Ogni termine tra parentesi è uguale a 101 e in totale ce ne sono 100. Pertanto
2S = 101 100 = 10100;
Usiamo questa idea per derivare la formula della somma
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Un'utile modifica della formula (3) si ottiene sostituendo in essa la formula dell'n-esimo termine an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n1)d | |||||
Problema 3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a tre cifre divisibili per 13.
Soluzione. I numeri di tre cifre multipli di 13 formano una progressione aritmetica con il primo termine pari a 104 e la differenza pari a 13; L’ennesimo termine di questa progressione ha la forma:
an = 104 + 13(n1) = 91 + 13n:
Scopriamo quanti termini contiene la nostra progressione. Per fare ciò, risolviamo la disuguaglianza:
un 6 999; 91+13n 6 999;
n6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:
Quindi, ci sono 69 membri nella nostra progressione. Utilizzando la formula (4) troviamo l'importo richiesto:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.
Che tipo di progressione è questa?
Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.
Qualsiasi sequenza di numeri reali ottenuta aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:
Qui i è il numero seriale dell'elemento della riga a i. Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.
Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.
Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula
Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi calcolarne la somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo dello stesso valore d = 1, la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.
Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Questa espressione dimostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga; è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n , nonché numero totale n termini.
Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza mentre cercava una soluzione a un problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.
Somma degli elementi da m a n: formula
La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?
Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti rappresentare il segmento dato da m a n della progressione come nuovo serie di numeri. In tal modo m-esima rappresentazione il termine a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Esempio di utilizzo delle formule
Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.
Di seguito una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:
I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:
a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;
a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.
Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, nonché sapendo quali numeri della serie occupano, è possibile utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Risulterà:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.