§ 1 Pojem kladného čísla
V tejto lekcii sa dozviete, aké čísla sa nazývajú protiklady, ako nájsť opačné číslo a čo sú celé čísla a racionálne čísla.
Začnime s praktická práca. Na súradnicovej čiare označte body A(2) a B(-2). Sú symetrické a stredom symetrie týchto bodov je počiatok O(0), keďže vzdialenosť OA=OB.
Vidíme, že súradnice bodov, ktoré sú symetrické podľa pôvodu, sú čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom. Takéto čísla sa nazývajú protiklady.
Existuje ďalšia definícia opačných čísel. Aké sú moduly čísel 2 a -2? Rovné 2. Opačné čísla sú teda čísla, ktoré majú rovnaké moduly, ale líšia sa znamienkom.
Na označenie čísla oproti danému číslu použite znamienko mínus, ktoré sa píše pred daným číslom. To znamená, že opak a sa píše ako −a. Napríklad číslo 0,24 je opačné k číslu −0,24, číslo -25 je opačné k číslu −(−25), ale číslo -25 na súradnici je opačné k číslu 25, čo znamená -(-25) = 25. Z toho vyplýva, že -( -a) = a a a = -(-a).
§ 2 Vlastnosti protiľahlých čísel
Vyberme si niektoré vlastnosti opačných čísel.
Číslo opačné k kladnému číslu je záporné a číslo opačné k zápornému číslu je kladné. Je to pochopiteľné, pretože body súradnicovej čiary zodpovedajúce opačným číslam sú na opačných stranách začiatku.
Ak je číslo a opačné k číslu b, potom b je opačné k a - vyplýva to z vlastnosti symetrie bodov na súradnicovej čiare.
Pozrime sa na súradnicovú čiaru. Koľko bodov je možné označiť na súradnicovej čiare, ktoré sú symetrické k danej vzhľadom na počiatok? Len jeden. To znamená, že pre každé číslo existuje iba jedno opačné číslo.
Iba jedno číslo je proti sebe - toto je číslo 0, pretože 0 \u003d -0 (preto nie je obvyklé písať -0).
Čísla s spoločný znak tvoria množinu (alebo skupinu), každá množina má svoj názov.
Pripomeňme, že čísla, ktoré používame pri počítaní, sa nazývajú prirodzené čísla, tvoria množinu prirodzených čísel.
Každé prirodzené číslo má svoje opačné číslo. Prirodzené čísla, ich opačné čísla a číslo 0 sa nazývajú celé čísla.
Zlomkové čísla môžu byť tiež kladné alebo záporné. Všetky celé čísla a všetky zlomky sa nazývajú racionálne čísla. Tiež hovoria, že spolu tvoria množinu racionálnych čísel.
Vyberme si ešte dve skupiny čísel. Zoberme si súradnicovú čiaru. Ak odstránime časť priamky, na ktorej sa nachádzajú záporné čísla, zostane lúč s kladnými číslami a referenčným číslom 0. Zvyšné čísla sa nazývajú nezáporné, teda čísla, ktoré sú väčšie alebo rovné. na 0. Preto nie kladné čísla sú všetky záporné čísla a číslo 0, teda čísla, ktoré sú menšie alebo rovné 0.
Dnes sme sa naučili, čo sú opačné, celé, racionálne, nezáporné, nekladné čísla, naučili sme sa nájsť číslo opačné k danému.
Zoznam použitej literatúry:
- Matematika. 6. ročník: učebné plány k učebnici I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-zostavovateľ L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
- Matematika. 6. ročník: žiacka učebnica vzdelávacie inštitúcie. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
- Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
- Matematická príručka - http://lyudmilanik.com.ua
- Príručka pre študentov v stredná škola http://shkolo.ru
V tomto článku budeme študovať opačné čísla. Tu odpovieme na otázku, aké čísla sa nazývajú protiklady, ukážeme, ako sa označuje číslo opačné k danému číslu a uvedieme príklady. Uvedieme aj hlavné výsledky, ktoré sú charakteristické pre opačné čísla.
Navigácia na stránke.
Definícia opačných čísel
Získať predstavu o opačných číslach nám pomôže.
Vyznačíme na súradnicovej čiare nejaký bod M, odlišný od počiatku. Do bodu M sa dostaneme postupným odložením z počiatku v smere k bodu M jeden segment, ako aj jeho desatinné, stotiny atď. Ak vyčleníme rovnaký počet segmentov jednotky a jej podielov v opačnom smere, dostaneme sa k ďalšiemu bodu, ktorý označíme písmenom N. Uveďme príklad ilustrujúci naše konanie (pozri obrázok nižšie). Aby sme sa dostali do bodu M na súradnicovej čiare, vyčleníme v zápornom smere dva segmenty jednotky a 4 segmenty, ktoré tvoria desatinu jednotky. Teraz si odložme dva samostatné segmenty a 4 segmenty, ktoré tvoria desatinu jedného segmentu v kladnom smere. Takže dostaneme bod N.
Sme takmer pripravení prijať definíciu opačných čísel, zostáva len diskutovať o niekoľkých nuansách.
Vieme, že každý bod súradnicovej čiary zodpovedá jednému reálnemu číslu, preto bod M aj bod N zodpovedajú niektorým reálnym číslam. Takže čísla zodpovedajúce bodom M a N sa nazývajú opačné.
Samostatne je potrebné povedať o bode O - pôvode. Bod O zodpovedá číslu 0 . Číslo nula sa považuje za jeho opak.
Teraz môžeme hlasovať definícia opačných čísel.
Definícia.
Dve čísla sa nazývajú opačné, ak body zodpovedajúce týmto číslam na súradnicovej línii možno dosiahnuť vyčlenením rovnakého počtu segmentov jednotiek v opačných smeroch od počiatku, ako aj zlomkov segmentu jednotky, pričom číslo 0 je opačné než sám.
Zápis opačných čísel a príklady
Je čas vstúpiť zápis opačných čísel.
Na označenie čísla oproti danému číslu použite znamienko mínus, ktoré sa píše pred daným číslom. To znamená, že opak a sa píše ako −a. Napríklad číslo 0,24 je oproti číslu −0,24 a číslo −25 je opačné číslo −(−25) .
Poďme priniesť príklady opačných čísel. Dvojica čísel 17 a -17 (alebo -17 a 17) je príkladom opačných celých čísel. Čísla a sú opačné racionálne čísla. Ďalšími príkladmi opačných racionálnych čísel sú dvojice čísel 5,126 a -5,126. ako aj 0,(1201) a -0,(1201) . Zostáva uviesť niekoľko príkladov opaku
V tomto článku sa pokúsime zistiť, čo sú opačné čísla. Vysvetlíme si, čo to vo všeobecnosti je, ukážeme si, aké označenia sa pre ne používajú, a rozoberieme niekoľko príkladov. V poslednej časti materiálu uvádzame hlavné vlastnosti opačných čísel.
Aby sme vysvetlili samotný pojem protikladov, musíme najprv nakresliť súradnicovú čiaru. Zoberme si na ňom bod M (len nie na samom začiatku odkazu). Jeho vzdialenosť k nule sa bude rovnať určitému počtu jednotkových segmentov, ktoré je možné rozdeliť na desatiny a stotiny. Ak nameriame rovnakú vzdialenosť od počiatku v opačnom smere, ako sa nachádza M, môžeme sa dostať do ďalšieho podobného bodu. Nazvime to N. Napríklad od M po nulu - vzdialenosť je 2, 4 segmenty jednotky a od N po nulu - tiež. Pozrite sa na obrázok:
Pripomeňme si, že každý bod na súradnicovej čiare môže byť spojený iba s jedným skutočným číslom. V tomto prípade našim bodom M a N zodpovedajú určité čísla, ktoré sa nazývajú opačné. Každé číslo má opačné číslo, okrem nuly. Keďže toto je pôvod, považuje sa za pravý opak.
Napíšme definíciu toho, čo sú opačné čísla:
Definícia 1
Naproti volajú sa čísla, ktoré zodpovedajú takým bodom na súradnicovej priamke, do ktorých sa dostaneme, ak označíme rovnakú vzdialenosť od počiatku v rôznych smeroch (kladnom a zápornom). Nula je na začiatku a je protikladná k sebe.
Ako sa označujú opačné čísla?
V tejto podkapitole predstavíme základný zápis takýchto čísel. Ak máme určité číslo a potrebujeme si zapísať jeho opak, použijeme na to mínus.
Príklad 1
Povedzme, že naše číslo je a, teda jeho opak je a (mínus a). Rovnakým spôsobom pre 0,26 je opak -0,26 a pre 145 to bude -145. Ak je pôvodné číslo samo záporné, napríklad - 9, potom napíšeme opak ako - (- 9) .
Aké ďalšie príklady opačných čísel môžete uviesť? Zoberme si celé čísla: 12 a - 12. Opačné racionálne čísla sú 3 2 11 a - 3 2 11, ako aj 8, 128 a - 8, 128, 0, (18901) a - 0, (18901) atď. Iracionálne čísla môžu byť aj opačné, napr. hodnoty číselné výrazy 2 + 1 a - 2 + 1 .
Opačné iracionálne čísla budú tiež e a - e .
Základné vlastnosti opačných čísel
Takéto čísla majú určité vlastnosti. Nižšie uvádzame ich zoznam s vysvetleniami.
Definícia 2
1. Ak je pôvodné číslo kladné, jeho opak bude záporný.
Toto tvrdenie je zrejmé a vyplýva z vyššie uvedeného grafu: takéto čísla sú na opačných stranách referencie na súradnicovej čiare. Ak ste zabudli na pojmy kladné a záporné čísla, pozrite si materiál, ktorý sme publikovali skôr.
Z tohto pravidla možno vyvodiť ďalšie veľmi dôležité tvrdenie. V doslovnom tvare je jeho zápis nasledovný: pre každé kladné a bude platiť − (− a) = a . Ukážme si na príklade, prečo je to dôležité.
Zoberme si číslo 5. Pomocou súradnicovej čiary môžete vidieť, že číslo je opačné - 5 a naopak. Pomocou zápisu, ktorý sme uviedli vyššie, napíšeme číslo opačne - 5 ako - (- 5). Ukazuje sa, že - (- 5) \u003d 5. Z toho vyplýva záver: opačné čísla sa od seba líšia iba prítomnosťou znamienka mínus.
2. Nasledujúca vlastnosť sa zvyčajne nazýva vlastnosť symetrie. Dá sa odvodiť aj zo samotnej definície opačných čísel. Znie to takto:
Definícia 3
Ak je nejaké číslo a opakom b, potom b je opakom a.
Je zrejmé, že toto tvrdenie nepotrebuje ďalší dôkaz.
3. Tretia vlastnosť opačných čísel hovorí:
Definícia 4
Každé reálne číslo má iba jedno opačné číslo.
Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že body súradnicovej čiary nemôžu zodpovedať mnohým číslam naraz.
Definícia 5
4. Moduly opačných čísel sú rovnaké.
Vyplýva to z definície modulu. Je logické, že body na čiare zodpovedajúce ľubovoľným opačným číslam sú v rovnakej vzdialenosti od referenčného bodu.
Definícia 6
5. Ak sčítame opačné čísla, dostaneme 0.
V doslovnej forme toto tvrdenie vyzerá ako a + (− a) = 0 .
Príklad 2
Tu sú príklady takýchto výpočtov:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
Ako vidíte, toto pravidlo funguje pre všetky čísla - celé číslo, racionálne, iracionálne atď.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Zaujímavým pojmom zo školského kurzu sú opačné čísla, ktoré možno uvažovať matematicky aj geometricky. Pochopenie tejto témy zjednodušuje štúdium matematiky, umožňuje vám rýchlo sa vyrovnať s niektorými úlohami - preto zvážime, ktoré čísla sa nazývajú protiklady a aké pravidlá pre ne fungujú.
Čo je podstatou termínu?
Aby sme pochopili význam opačných čísel, vráťme sa na chvíľu ku geometrii. Nakreslíme súradnicovú čiaru a označíme na nej nulový bod a potom na čiaru umiestnime ďalšie dve značky - napríklad "2" s pravá strana a "-2" naľavo od nuly. Samozrejme, z oboch bodov bude vzdialenosť k začiatku úplne rovnaká - a to sa dá ľahko overiť meraniami. "2" a "-2" sú v rovnakej vzdialenosti od nuly, ale v rôznych smeroch - sú úplne proti sebe.
Toto je pointa. Čísla môžu byť ľubovoľne veľké alebo malé, celé alebo zlomkové. Každý z nich má však určitý počet, ktorý je jeho úplným opakom. Definícia môže byť daná nasledovne - ak na línii súradníc z dvoch bodov nastavených na oboch stranách nuly, môže byť od začiatku vyčlenená rovnaká vzdialenosť - tieto body, alebo skôr čísla, ktoré im zodpovedajú, budú opačné .
Aké pravidlá možno vyvodiť z definície?
Stojí za to pripomenúť si niekoľko bezpodmienečných vyhlásení týkajúcich sa uvažovanej témy:
- Princíp protikladov pre dve čísla funguje oboma spôsobmi. Napríklad číslo 3 je opačné k číslu -3 - a preto číslo -3 je opačné iba k číslu 3 a nie k žiadnemu inému.
- Číslo nemôže mať dva protiklady – vždy je len jeden.
- Oproti sebe môžu byť čísla s rôznymi znamienkami. Ak je číslo kladné, jeho opačné číslo bude so znamienkom mínus - napríklad 5 a -5. To isté funguje v opačná strana- pre číslo so znamienkom mínus to bude vždy opačne ako so znamienkom plus - napríklad -6 a 6.
- Dve opačné čísla majú rovnaké absolútna hodnota alebo modul. Inými slovami, ak pre číslo 4
Predmet
Typ lekcie
- štúdium a primárna asimilácia nového materiálu
Ciele lekcie
Spoznajte definície kladných a záporných, opačných čísel
Nájdite opačné čísla pri riešení cvičení, pri riešení rovníc
Rozvíjajúce – rozvíjať pozornosť žiakov, vytrvalosť, vytrvalosť, logické myslenie, matematickú reč.
Vzdelávacie - prostredníctvom lekcie pestovať pozorný postoj k sebe navzájom, vštepovať schopnosť počúvať súdruhov, vzájomnú pomoc, nezávislosť.
Ciele lekcie
Zistite, čo sú opačné čísla
Naučte sa používať tento koncept pri riešení problémov
Skontrolujte schopnosť študentov riešiť problémy.
Plán lekcie
1. Úvod.
2. Teoretická časť
3. Praktická časť.
4. Domáce úlohy.
5. Zaujímavosti
Úvod
Pozrite sa na obrázky a popíšte jedným slovom, aký je v nich rozdiel.
Obrázky ukazujú protiklady.
sú dve čísla, ktoré sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale majú rôzne znamenia, napr. 5 a -5.
Teoretická časť
Najprv si pripomeňme, čo je záporné čísla. Pozri video:
Body so súradnicami 5 a -5 sú rovnako vzdialené od bodu O a sú na jeho opačných stranách. Aby ste sa dostali z bodu O do týchto bodov, musíte prejsť rovnaké vzdialenosti, ale v opačných smeroch. Volajú sa čísla 5 a -5 opačné čísla: 5 je opakom -5 a -5 je opakom 5.
Volajú sa dve čísla, ktoré sa od seba líšia iba znamienkami opačné čísla.
Napríklad 35 a -35 budú opačné čísla, pretože číslo 35 \u003d +35, čo znamená, že čísla 35 a -35 sa líšia iba znamienkami. Opačné čísla budú tiež 0,8 a -0,8, ¾ a -¾.
Vlastnosti opačných čísel
1). Ku každému číslu pripadá len jedno opačné číslo.
2). Číslo 0 je opakom samého seba.
3). Opakom a sa nazýva -a. Ak a = -7,8, potom -a = 7,8; ak a = 8,3, potom -a = -8,3; ak a = 0, potom -a = 0.
4). Záznam "-(-15)" znamená opak -15. Keďže opak -15 je 15, potom -(-15) = 15. Vo všeobecnosti -(-a) = a.
Volajú sa prirodzené čísla, ich opačné čísla a nula celé čísla.
opačné číslo n" vo vzťahu k číslu n je číslo, ktoré po pripočítaní k n dáva nulu.
n + n" = 0
Túto rovnosť možno prepísať takto:
n + n" - n = 0 - n alebo n" = - n
teda opačné čísla majú rovnaké moduly, ale opačné znamienka.
V súlade s tým sa číslo opačné k číslu n označuje − n. Keď je číslo kladné, jeho opačné číslo bude záporné a naopak.
1. Uveďte príklady opačných čísel.
2. Nakreslite ich na súradnicovú čiaru.
3. Čo je opakom -3,6; 7; 0; 9. 8.; -1/2
Praktická časť
Príklad
1) Označte body A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5,2), F(5,2), G(-6) na súradnicovej čiare , H( 7). 2) Medzi týmito bodmi nájdite a označte tie, ktoré sú symetrické vzhľadom na bod O (0). Čo možno povedať o súradniciach symetrických bodov?
Body symetrické vzhľadom na bod O(0): A(2) a B(-2), E(-5,2) a F(5,2)
Súradnice symetrického bodu sú čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom. Takéto čísla sa nazývajú opak.
Označte na súradnicovej čiare body A (-3), B (+6), C (+4,2), D (+3), E (-4,2), F (-6) Čo možno povedať o týchto číslach?
Z čísel 15; 2,5; - 2,5; - 18; 0; 45; - 45 vyber: a) prirodzené čísla; b) celé čísla; c) záporné čísla; d) kladné čísla; e) opačné čísla.
1) Zapíšte si číslo oproti číslu a.
2) Uveďte číslo oproti číslu a, ak:
a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;
A \u003d 6, -a \u003d - 2, -a \u003d 3.4.
1) Zapamätajte si, čo záznam znamená: - (- a).
2) Nahraďte * takým číslom, aby ste dostali správnu rovnosť: a) - (- 5) = *; b) 3 = - *.
Domáca úloha
1). Vyplňte tabuľku:
2). Nájdite: a) -m,
ak m = -8,
ak m = -16
ak -k = 27
ak -k = -35
ak c = 41
ak c = -3,6
3). Koľko párov opačných čísel sa nachádza medzi číslami -7,2 a 3,6. Označte na súradnicovej čiare.
4). Zistite meno vynikajúceho francúzskeho vedca:
Viete kde v Každodenný život stretávame sa s kladnými a zápornými číslami?
Zoznam použitých zdrojov
1. Matematická encyklopédia (v 5 zväzkoch). - M.: Sovietska encyklopédia, 2002. - T. 1.
2." Najnovší sprievodcaškolák" "DOM XXI storočia" 2008
3. Zhrnutie lekcie na tému " Opačné čísla“ Autor: Petrova V.P., učiteľka matematiky (5. – 9. ročník), Kyjev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematika pre 6. ročník, Učebnica pre strednú školu