Rasyonel sayılar konusundaki kurallar. Rasyonel sayıların tanımı

Bu yazıda keşfetmeye başlayacağız rasyonel sayılar. Burada tanımları vereceğiz rasyonel sayılar gerekli açıklamaları yapıp rasyonel sayılara örnekler vereceğiz. Bundan sonra verilen bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceğine odaklanacağız.

Sayfada gezinme.

Rasyonel sayıların tanımı ve örnekleri

Bu bölümde rasyonel sayıların çeşitli tanımlarını vereceğiz. İfadelerdeki farklılıklara rağmen, bu tanımların tümü aynı anlama sahiptir: tıpkı tam sayıların doğal sayıları, onların zıttlarını ve sıfır sayısını birleştirmesi gibi, rasyonel sayılar da tam sayıları ve kesirleri birleştirir. Başka bir deyişle rasyonel sayılar tam ve kesirli sayıları genelleştirir.

İle başlayalım rasyonel sayıların tanımları, bu en doğal şekilde algılanır.

Belirtilen tanımdan rasyonel bir sayının şu olduğu anlaşılmaktadır:

Herhangi bir doğal sayı n. Aslında herhangi bir doğal sayıyı sıradan bir kesir olarak temsil edebilirsiniz, örneğin 3=3/1.
Herhangi bir tam sayı, özellikle sıfır sayısı. Aslında herhangi bir tam sayı pozitif kesir, negatif kesir veya sıfır olarak yazılabilir. Örneğin, 26=26/1, .
Herhangi bir ortak kesir (pozitif veya negatif). Bu, rasyonel sayıların verilen tanımıyla doğrudan doğrulanır.
Herhangi bir karışık sayı. Aslında, karışık bir sayıyı her zaman uygunsuz bir kesir olarak temsil edebilirsiniz. Örneğin ve.
Herhangi bir sonlu ondalık kesir veya sonsuz periyodik kesir. Bunun nedeni, belirtilen ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesidir. Örneğin, ve 0,(3)=1/3.

Ayrıca, periyodik olmayan herhangi bir sonsuz ondalık kesirin, ortak bir kesir olarak temsil edilemeyeceği için rasyonel bir sayı OLMADIĞI da açıktır.

Artık rahatlıkla verebiliriz rasyonel sayılara örnekler. 4, 903, 100,321 sayıları doğal sayılar olduğundan rasyonel sayılardır. 58, −72, 0, −833,333,333 tam sayıları da rasyonel sayılara örnektir. Ortak kesirler 4/9, 99/3 de rasyonel sayılara örnektir. Rasyonel sayılar da sayıdır.

Yukarıdaki örneklerden hem pozitif hem de negatif rasyonel sayıların olduğu ve sıfır rasyonel sayısının ne pozitif ne de negatif olduğu açıktır.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısa bir biçimde formüle edilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar z/n kesri olarak yazılabilen sayılardır; burada z bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır.

Rasyonel sayıların bu tanımının önceki tanıma eşdeğer olduğunu kanıtlayalım. Bir kesir çizgisini bir bölme işareti olarak düşünebileceğimizi biliyoruz, o zaman tam sayıları bölmenin özelliklerinden ve tam sayıları bölme kurallarından aşağıdaki eşitliklerin geçerliliği takip edilir ve. İşte bunun kanıtı.

Bu tanımdan yola çıkarak rasyonel sayılara örnekler verelim. −5, 0, 3 ve sayıları rasyonel sayılardır, çünkü bunlar sırasıyla bir tamsayı payı ve doğal paydası ile kesirler olarak yazılabilinir.

Rasyonel sayıların tanımı aşağıdaki formülle verilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen sayılardır.

Bu tanım aynı zamanda ilk tanıma da eşdeğerdir, çünkü her sıradan kesir sonlu veya periyodik bir ondalık kesire karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir ve herhangi bir tam sayı, ondalık noktadan sonra sıfır bulunan bir ondalık kesirle ilişkilendirilebilir.

Örneğin 5, 0, −13 sayıları rasyonel sayılara örnektir çünkü aşağıdaki ondalık kesirler olarak yazılabilirler: 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 ve −7, (18).

Bu noktanın teorisini aşağıdaki ifadelerle bitirelim:

tamsayılar ve kesirler (pozitif ve negatif) rasyonel sayılar kümesini oluşturur;
her rasyonel sayı, bir tamsayı payı ve bir doğal paydası olan bir kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, belirli bir rasyonel sayıyı temsil eder;
her rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, bir rasyonel sayıyı temsil eder.

Bu sayı rasyonel midir?

Önceki paragrafta, herhangi bir doğal sayının, herhangi bir tam sayının, herhangi bir sıradan kesirin, herhangi bir karışık sayının, herhangi bir sonlu ondalık kesirin yanı sıra herhangi bir periyodik ondalık kesirin rasyonel bir sayı olduğunu öğrendik. Bu bilgi, bir dizi yazılı sayıdan rasyonel sayıları “tanımamızı” sağlar.

Peki ya sayı bazı şeklinde veya şeklinde verilirse, bu sayının rasyonel olup olmadığı sorusuna nasıl cevap verilir? Çoğu durumda cevap vermek çok zordur. Bazı düşünce yönlerini belirtelim.

Sayı yalnızca rasyonel sayı ve işaretleri içeren sayısal bir ifade olarak verilirse Aritmetik işlemler(+, −, · ve:) ise bu ifadenin değeri rasyonel bir sayıdır. Bu, rasyonel sayılarla yapılan işlemlerin nasıl tanımlandığından kaynaklanmaktadır. Örneğin ifadedeki tüm işlemleri yaptıktan sonra 18 rasyonel sayısını elde ederiz.

Bazen ifadeleri basitleştirdikten ve daha fazlasını yaptıktan sonra karmaşık tip belirli bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemek mümkün hale gelir.

Daha ileri gidelim. Her doğal sayı rasyonel olduğundan 2 sayısı rasyonel bir sayıdır. Peki ya sayı? Mantıklı mı? Hayır, bunun rasyonel bir sayı olmadığı, irrasyonel bir sayı olduğu ortaya çıktı (bu gerçeğin çelişkili kanıtı, aşağıda referans listesinde listelenen 8. sınıf cebir ders kitabında verilmiştir). Ayrıca kanıtlanmıştır ki Kare kök Bir doğal sayının rasyonel sayı olması, yalnızca kökün bir doğal sayının tam karesi olan bir sayı içerdiği durumlarda rasyonel bir sayıdır. Örneğin, 81 = 9 2 ve 1 024 = 32 2 olduğundan ve sayıları rasyonel sayılardır ve 7 ve 199 sayıları doğal sayıların tam kareleri olmadığından ve sayıları rasyonel değildir.

Sayı rasyonel mi değil mi? Bu durumda bu sayının rasyonel olduğunu fark etmek kolaydır. Sayı rasyonel mi? Bir tam sayının k'inci kökünün, yalnızca kök işaretinin altındaki sayının bir tamsayının k'inci kuvveti olması durumunda rasyonel sayı olduğu kanıtlanmıştır. Dolayısıyla beşinci kuvveti 121 olan bir tam sayı bulunmadığından rasyonel bir sayı değildir.

Çelişki yöntemi, bazı sayıların logaritmasının bazı nedenlerden dolayı rasyonel sayılar olmadığını kanıtlamanıza olanak tanır. Örneğin - sayısının rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlayalım.

Bunun tersini varsayalım, yani bunun rasyonel bir sayı olduğunu ve m/n sıradan kesri olarak yazılabildiğini varsayalım. Daha sonra aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz: . Son eşitlik imkansızdır çünkü sol tarafta tek sayı 5 n ve sağ tarafta çift sayı 2 m var. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır, dolayısıyla rasyonel bir sayı değildir.

Sonuç olarak, sayıların rasyonelliğini veya irrasyonelliğini belirlerken ani sonuçlara varmaktan kaçınılması gerektiğini özellikle belirtmekte fayda var.

Örneğin, irrasyonel sayılar π ve e'nin çarpımının irrasyonel bir sayı olduğunu hemen iddia etmemelisiniz; bu "görünüşte açık" ama kanıtlanmadı. Bu şu soruyu gündeme getiriyor: "Bir ürün neden rasyonel sayı olsun?" Ve neden olmasın, çünkü çarpımı rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılara bir örnek verebilirsiniz: .

Sayıların ve daha birçok sayının rasyonel olup olmadığı da bilinmiyor. Örneğin, irrasyonel gücü rasyonel bir sayı olan irrasyonel sayılar vardır. Örnek olarak, formun bir derecesini sunuyoruz, bu derecenin tabanı ve üssü rasyonel sayılar değil, ve 3 rasyonel bir sayıdır.

Kaynakça.

Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Rasyonel sayılar kümesi

Rasyonel sayılar kümesi gösterilir ve aşağıdaki gibi yazılabilir:

Farklı gösterimlerin aynı kesri temsil edebileceği ortaya çıktı, örneğin ve , (aynı doğal sayıyla çarpılarak veya bölünerek birbirinden elde edilebilecek tüm kesirler aynı rasyonel sayıyı temsil eder). Bir kesrin payını ve paydasını en büyük ortak bölenlerine bölerek bir rasyonel sayının indirgenemez tek bir temsilini elde edebileceğimizden, bunların kümesinden küme olarak bahsedebiliriz. indirgenemez payı ve doğal paydası karşılıklı asal olan kesirler:

İşte sayıların en büyük ortak böleni ve .

Rasyonel sayılar kümesi, tamsayılar kümesinin doğal bir genellemesidir. Bir rasyonel sayının paydası varsa tam sayı olduğunu görmek kolaydır. Rasyonel sayılar kümesi her yerde yoğun olarak sayı ekseninde bulunur: herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı (ve dolayısıyla sonsuz bir rasyonel sayılar kümesi) vardır. Bununla birlikte, rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir kardinaliteye sahip olduğu (yani, tüm elemanları yeniden numaralandırılabileceği) ortaya çıktı. Bu arada, eski Yunanlıların kesir olarak ifade edilemeyen sayıların varlığına ikna olduklarını da belirtelim (örneğin, karesi 2 olan rasyonel bir sayının olmadığını kanıtladılar).

Terminoloji

Resmi tanımlama

Biçimsel olarak rasyonel sayılar, eğer denklik ilişkisine göre çiftlerin denklik sınıfları kümesi olarak tanımlanır. Bu durumda toplama ve çarpma işlemleri şu şekilde tanımlanır:

İlgili tanımlar

Doğru, yanlış ve karışık kesirler

Doğru Payı paydasından küçük olan kesire kesir denir. Uygun kesirler modülo birden küçük rasyonel sayıları temsil eder. Uygun olmayan kesre denir yanlış ve daha büyük veya daha büyük bir rasyonel sayıyı temsil eder bire eşit modulo.

Uygunsuz bir kesir, bir tam sayı ile uygun bir kesrin toplamı olarak gösterilebilir. karışık fraksiyon . Örneğin, . Temel aritmetikte kullanılmasına rağmen benzer bir gösterim (toplama işareti eksik), gösterimin benzerliği nedeniyle katı matematik literatüründe kaçınılır. karışık fraksiyon bir tamsayı ile bir kesrin çarpımı için gösterimle.

Atış yüksekliği

Ortak bir atışın yüksekliği bu kesrin pay ve paydasının modülünün toplamıdır. Bir rasyonel sayının yüksekliği bu sayıya karşılık gelen indirgenemez adi kesrin pay modülü ve paydasının toplamıdır.

Örneğin bir kesrin yüksekliği . Kesir kadar azaltılabileceği için karşılık gelen rasyonel sayının yüksekliği eşittir.

Bir yorum

Terim kesir (kesir) Bazen [ belirtmek] teriminin eşanlamlısı olarak kullanılır rasyonel sayı ve bazen tam sayı olmayan herhangi bir sayının eşanlamlısı. İkinci durumda, kesirli ve rasyonel sayılar farklı şeylerdir, çünkü o zaman tam sayı olmayan rasyonel sayılar, kesirli sayıların yalnızca özel bir durumudur.

Özellikler

Temel özellikler

Rasyonel sayılar kümesi, tam sayıların özelliklerinden kolayca türetilebilen on altı temel özelliği karşılar.

Düzenlilik. Herhangi bir rasyonel sayı için, aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamanıza izin veren bir kural vardır: "", "" veya "". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: iki pozitif sayı ve iki tamsayı ve ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; iki pozitif olmayan sayı ve iki pozitif olmayan sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidirler negatif sayılar Ve ; aniden olumsuz değil de olumsuz olursa, o zaman .
Kesirleri Ekleme
Ekleme işlemi. toplama kuralı miktar sayılar ve ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplam. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
Çarpma işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için sözde bir şey vardır. çarpma kuralı bu da onları bazı rasyonel sayılarla eşleştirir. Bu durumda sayının kendisi çağrılır. iş sayılar ve ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma işlemi. Çarpma kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için, daha az ve daha azsa daha az, eşit ve eşitse, o zaman eşittir.
Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
Eklemenin ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
Kullanılabilirlik zıt sayılar. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
Karşılıklı sayıların varlığı. Sıfırdan farklı herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir.
Sıra ilişkisi ile çarpma işlemi arasındaki bağlantı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları aynı pozitif rasyonel sayıyla çarpılabilir.
Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz.

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tamsayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek anlamlı olacaktır.

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir. Böyle bir yapının bir örneği aşağıdaki basit algoritmadır. Sonsuz bir tablo oluşturulur sıradan kesirler, bir kesirin bulunduğu her -'inci sütunun her -'inci satırında. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri, hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve sütun numarasıdır.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı başka bir doğal sayıyla ilişkilendirilir. Yani kesirlere 1 numarası, kesirlere 2 numarası vb. atanır. Yalnızca indirgenemez kesirlerin numaralandırıldığına dikkat edilmelidir. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.

Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.

Elbette rasyonel sayıları numaralandırmanın başka yolları da var. Örneğin bunun için Kalkin-Wilf ağacı, Stern-Broko ağacı veya Farey serisi gibi yapıları kullanabilirsiniz.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade bazı karışıklıklara neden olabilir, çünkü ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi görünmektedir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Ayrıca bakınız


	Bütün sayılar

Rasyonel sayılar

Gerçek sayılar Karışık sayılar Kuaterniyonlar

Notlar

Edebiyat

I. Kushnir. Okul çocukları için matematik el kitabı. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Küme teorisine ve genel topolojiye giriş. - M.: bölüm. ed. fizik ve matematik Aydınlatılmış. ed. "Bilim", 1977
I. L. Khmelnitsky. Cebirsel sistemler teorisine giriş

Rasyonel sayılar

Çeyrekler

Düzenlilik. A Ve B kişinin aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamasına izin veren bir kural vardır: "< », « >" veya " = ". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: negatif olmayan iki sayı ve iki tam sayı ve ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve ; eğer aniden A olumsuz değil ama B- negatif o halde A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Kesirleri Ekleme
Ekleme işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var toplama kuralı C. Üstelik sayının kendisi C isminde miktar sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplam. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
Çarpma işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var çarpma kuralı onlara bazı rasyonel sayılar atar C. Üstelik sayının kendisi C isminde iş sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma işlemi. Çarpma kuralı şuna benzer: .
Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için A , B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C. 6435">Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
Eklemenin ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
Karşılıklı sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların numaralandırılması

Bu algoritmaların en basiti şuna benzer. Her birinde sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Ben her birinde -inci satır J kesrin bulunduğu inci sütun. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri ile gösterilir; burada Ben- hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve J- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı başka bir doğal sayıyla ilişkilendirilir. Yani, 1/1 kesri 1 sayısına, 2/1 kesri 2 sayısına vb. atanır. Yalnızca indirgenemez kesirlerin numaralandırıldığına dikkat edilmelidir. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü herhangi bir rasyonel sayıyla ifade edilemez.

1 / formunun rasyonel sayıları N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek, rasyonel sayıların herhangi bir geometrik mesafeyi ölçmek için kullanılabileceği yönünde yanıltıcı bir izlenim yaratmaktadır. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.

Notlar

Edebiyat

I. Kushnir. Okul çocukları için matematik el kitabı. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Küme teorisine ve genel topolojiye giriş. - M.: bölüm. ed. fizik ve matematik Aydınlatılmış. ed. "Bilim", 1977
I. L. Khmelnitsky. Cebirsel sistemler teorisine giriş

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010.

) pozitif veya negatif işareti(tamsayılar ve kesirler) ve sıfır. Rasyonel sayılara ilişkin daha kesin bir kavram şu şekildedir:

Rasyonel sayı- temsil edilen sayı sıradan kesir a/n, payın nerede M tamsayılardır ve payda N- tamsayılar, örneğin 2/3.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler rasyonel sayılar kümesine dahil DEĞİLDİR.

a/b, Nerede A∈ Z (A tamsayılara aittir), B∈ N (B doğal sayılara aittir).

Rasyonel sayıların gerçek hayatta kullanılması.

İÇİNDE gerçek hayat Rasyonel sayılar kümesi bazı tam sayılarla bölünebilen nesnelerin parçalarını saymak için kullanılır. Örneğin tüketilmeden önce parçalara ayrılan kekler veya diğer yiyecekler veya uzatılmış nesnelerin mekansal ilişkilerinin kabaca tahmin edilmesi için kullanılır.

Rasyonel sayıların özellikleri.

Rasyonel sayıların temel özellikleri.

1. Düzenlilik A Ve B aralarındaki 3 ilişkiden 1'ini ve yalnızca birini açıkça tanımlamanıza izin veren bir kural var: "<», «>" veya "=". Bu kural - sıralama kuralı ve bunu şu şekilde formüle edin:

2 pozitif sayı a=m a / n a Ve b=mb /nb 2 tamsayı ile aynı ilişkiye sahiptirler anne⋅ hayır Ve m b⋅ hayır;
2 negatif sayı A Ve B 2 pozitif sayı ile aynı oranda ilişkilidirler |b| Ve |bir|;
Ne zaman A olumlu ve B- negatif o zaman a>b.

∀ a,b∈ Soru(a) ∨ a>b∨ a=b)

2. Ekleme işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada toplama kuralı onlara belirli bir rasyonel sayı atar C. Üstelik sayının kendisi C- Bu toplam sayılar A Ve B ve şu şekilde gösterilir (a+b) toplama.

Toplama Kuralıöyle görünüyor:

anne/n a + m b/n b =(ma bir⋅ n b + m b⋅ hayır bir)/(n bir⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Çarpma işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada çarpma kuralı onları belirli bir rasyonel sayıyla ilişkilendirir C. c sayısına denir iş sayılar A Ve B ve belirtmek (a⋅b) ve bu numarayı bulma işlemine denir çarpma işlemi.

Çarpma kuralıöyle görünüyor: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ hayır.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi üç rasyonel sayı için A, B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C.

∀ ABC∈ Soru(a) ∧ B ⇒ A ∧ (bir = b∧ b = c⇒ bir = c)

5. Toplamanın değişebilirliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. İlave ilişkisellik. 3 rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.

∀ ABC∈ S (a+b)+c=a+(b+c)

7. Sıfır varlığı. 0 rasyonel sayısı vardır, eklendiğinde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Soru a+0=a

8. Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının zıt rasyonel sayısı vardır ve bunlar toplandığında sonuç 0 olur.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ A

10. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği. 3 rasyonel sayının çarpılma sırasının sonuca hiçbir etkisi yoktur.

∀ ABC∈ Soru(a)⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Birim kullanılabilirliği. 1 rasyonel sayısı vardır ve çarpma işleminde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Qa⋅ 1=a

12. Kullanılabilirlik karşılıklı sayılar . Sıfır dışındaki her rasyonel sayının ters bir rasyonel sayısı vardır ve çarpıldığında 1 elde edilir. .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı. Çarpma işlemi, dağıtım yasasını kullanarak toplama işlemiyle ilgilidir:

∀ ABC∈ Soru(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Sıra ilişkisi ile toplama işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına aynı rasyonel sayı eklenir.

∀ ABC∈ Soru ⇒ a+c

15. Sıra ilişkisi ile çarpma işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları, negatif olmayan aynı rasyonel sayıyla çarpılabilir.

∀ ABC∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Arşimed Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, o kadar çok birim almak kolaydır ki toplamları daha büyük olur A.

Daha önce de gördüğümüz gibi doğal sayılar kümesi

toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır ve tamsayılar kümesi

toplama, çarpma ve çıkarma işlemlerine göre kapalıdır. Ancak bu kümelerin hiçbiri bölme işlemine göre kapalı değildir, çünkü tam sayıların bölünmesi 4/3, 7/6, -2/5 vb. durumlarda olduğu gibi kesirlerle sonuçlanabilir. Tüm bu kesirlerin kümesi rasyonel sayılar kümesini oluşturur. Böylece rasyonel sayı ( rasyonel kesir), a ve d'nin tam sayılar olduğu ve d'nin sıfıra eşit olmadığı formda temsil edilebilen bir sayıdır. Bu tanımla ilgili birkaç yorum yapalım.

1) d'nin sıfırdan farklı olmasını istedik. Bu gereklilik (matematiksel olarak eşitsizlik olarak yazılır) gereklidir çünkü burada d bir bölendir. Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun:

Dava 1. .

Durum 2...

Durum 1'de d, önceki bölümdeki anlamda bir bölendir, yani 7, 21'in tam bölenidir. Durum 2'de d hala bir bölendir ancak farklı bir anlamdadır, çünkü 7, 25'in tam böleni değildir. .

25'e bölen, 7'ye de bölen denirse, o zaman 3'ün bölümünü ve 4'ün geri kalanını elde ederiz. Yani burada bölen kelimesi daha çok kullanılmıştır. genel anlamda ve uygulanabilir Daha Bölüm'deki vakalardan daha fazlası. I. Ancak Durum 1 gibi durumlarda, Bölüm 1'de tanıtılan bölen kavramı. BEN; bu nedenle ch'de olduğu gibi gereklidir. I, d = 0 olasılığını hariç tutuyorum.

2) Rasyonel sayı ve rasyonel kesir ifadeleri eşanlamlı olsa da kesir sözcüğünün kendisinin bir pay ve paydadan oluşan herhangi bir cebirsel ifadeyi belirtmek için kullanıldığına dikkat edin;

3) Rasyonel sayının tanımı, “a ve d'nin tam sayılar ve olmak üzere, şeklinde gösterilebilen sayı” ifadesini içerir. Neden yerine “a ve d'nin tam sayı olduğu bir sayı” ifadesi getirilemiyor? Bunun nedeni aynı kesri ifade etmenin sonsuz sayıda yolu olmasıdır (örneğin 2/3 can) ayrıca 4/6, 6/9 veya veya 213/33 veya vb. olarak da yazılabilir ve rasyonel sayı tanımımızın onu ifade etmenin özel yoluna bağlı olmaması bizim için arzu edilir bir durumdur.

Kesir, pay ve payda aynı sayıyla çarpıldığında değeri değişmeyecek şekilde tanımlanır. Ancak bir kesrin rasyonel olup olmadığını yalnızca bakarak söylemek her zaman mümkün değildir. Örneğin sayıları düşünün

Seçtiğimiz girdideki bunların hiçbiri a ve d'nin tam sayı olduğu formda değil.

Bununla birlikte, ilk kesir üzerinde bir dizi aritmetik dönüşüm gerçekleştirebilir ve şunu elde edebiliriz:

Böylece orijinal kesre eşit bir kesir elde ederiz. Bu nedenle sayı rasyoneldir, ancak rasyonel bir sayının tanımı, a ve b'nin tam sayılar olduğu a/b biçiminde olmasını gerektiriyorsa rasyonel olmayacaktır. Kesir dönüşümü durumunda

bir sayıya yol açar. Sonraki bölümlerde bir sayının iki tam sayının oranı olarak ifade edilemeyeceğini ve bu nedenle rasyonel olmadığını veya irrasyonel olduğunun söylendiğini öğreneceğiz.

4) Her tam sayının rasyonel olduğuna dikkat edin. Az önce gördüğümüz gibi, bu durum 2 sayısı için de geçerlidir. Genel olarak keyfi tamsayılar durumunda, benzer şekilde bunların her birine 1 paydası atanabilir ve bunların rasyonel kesirler olarak temsili elde edilebilir.