Rasyonel ve kesirli rasyonel denklemleri tanıyalım, tanımlarını verelim, örnekler verelim ve ayrıca en yaygın problem türlerini analiz edelim.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rasyonel Denklem: Tanım ve Örnekler
Rasyonel ifadelerle tanışma, okulun 8. sınıfında başlar. Bu dönemde cebir derslerinde öğrenciler, notlarında rasyonel ifadeler içeren denklemlerle giderek daha fazla görev yapmaya başlıyorlar. Ne olduğuna dair hafızamızı tazeleyelim.
tanım 1
rasyonel denklem her iki tarafı da rasyonel ifadeler içeren bir denklemdir.
Çeşitli kılavuzlarda başka bir ifade bulabilirsiniz.
tanım 2
rasyonel denklem- bu, sol tarafının kaydı rasyonel bir ifade içeren ve sağ tarafı sıfır içeren bir denklemdir.
Rasyonel denklemler için verdiğimiz tanımlar aynı anlama geldikleri için eşdeğerdir. Sözlerimizin doğruluğu, herhangi bir rasyonel ifade için P ve Q denklemler P=Q ve P - Q = 0 eşdeğer ifadeler olacaktır.
Şimdi örneklere dönelim.
örnek 1
Rasyonel denklemler:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Rasyonel denklemler, tıpkı diğer türdeki denklemler gibi, 1'den birkaça kadar herhangi bir sayıda değişken içerebilir. Başlangıç olarak, denklemlerin sadece bir değişken içereceği basit örneklere bakacağız. Ve sonra görevi yavaş yavaş karmaşıklaştırmaya başlıyoruz.
Rasyonel denklemler iki büyük gruba ayrılır: tamsayı ve kesirli. Her bir grup için hangi denklemlerin geçerli olacağını görelim.
tanım 3
Sol ve sağ bölümlerinin kaydı tüm rasyonel ifadeleri içeriyorsa, rasyonel bir denklem bir tamsayı olacaktır.
Tanım 4
Parçalarından biri veya her ikisi de bir kesir içeriyorsa, rasyonel bir denklem kesirli olacaktır.
Kesirli rasyonel denklemler mutlaka bir değişkenle bölme içerir veya değişken paydada bulunur. Tamsayılı denklemlerin yazılmasında böyle bir bölünme yoktur.
Örnek 2
3 x + 2 = 0 ve (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 tam rasyonel denklemlerdir. Burada denklemin her iki kısmı da tamsayı ifadeleriyle temsil edilir.
1 x - 1 = x 3 ve x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 kesirli rasyonel denklemlerdir.
Tüm rasyonel denklemler, doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri içerir.
Tüm denklemleri çözme
Bu tür denklemlerin çözümü genellikle bunların eşdeğer cebirsel denklemlere dönüştürülmesine indirgenir. Bu, aşağıdaki algoritmaya göre denklemlerin eşdeğer dönüşümlerini gerçekleştirerek başarılabilir:
- ilk önce denklemin sağ tarafında sıfır alırız, bunun için denklemin sağ tarafında bulunan ifadeyi onun yerine aktarmamız gerekir. Sol Taraf ve işareti değiştirin;
- sonra denklemin sol tarafındaki ifadeyi standart form polinomuna dönüştürüyoruz.
Cebirsel bir denklem bulmalıyız. Bu denklem, orijinal denkleme göre eşdeğer olacaktır. Kolay durumlar, tüm denklemi doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme indirgeyerek sorunu çözmemize izin verir. Genel durumda, cebirsel bir derece denklemini çözeriz. n.
Örnek 3
Tüm denklemin köklerini bulmak gerekir 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Çözüm
Eşdeğer bir cebirsel denklem elde etmek için orijinal ifadeyi dönüştürelim. Bunu yapmak için denklemin sağ tarafında yer alan ifadeyi sol tarafa aktaracağız ve işareti ters çevireceğiz. Sonuç olarak şunları elde ederiz: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Şimdi sol taraftaki ifadeyi standart formun bir polinomuna çevireceğiz ve bu polinom ile gerekli işlemleri yapacağız:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
Orijinal denklemin çözümünü, formun ikinci dereceden bir denkleminin çözümüne indirmeyi başardık. x 2 − 5 x − 6 = 0. Bu denklemin diskriminantı pozitiftir: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Bu, iki gerçek kök olacağı anlamına gelir. Onları ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü kullanarak bulalım:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 veya x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 veya x 2 = - 1
Çözüm sürecinde bulduğumuz denklemin köklerinin doğruluğunu kontrol edelim. Aldığımız bu sayı için orijinal denklemi yerine koyarız: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 ve 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. İlk durumda 63 = 63 , saniyede 0 = 0 . kökler x=6 ve x = − 1 gerçekten de örnek durumda verilen denklemin kökleridir.
Cevap: 6 , − 1 .
"Bütün denklemin gücü" ne anlama geliyor ona bakalım. Bu terimle, tüm bir denklemi cebirsel bir biçimde temsil etmemiz gereken durumlarda sıklıkla karşılaşacağız. Konsepti tanımlayalım.
tanım 5
Bir tamsayı denkleminin derecesi orijinal bütün denkleme eşdeğer bir cebirsel denklemin derecesidir.
Yukarıdaki örnekteki denklemlere bakarsanız, şunları kurabilirsiniz: tüm bu denklemin derecesi ikincidir.
Kursumuz ikinci dereceden denklemleri çözmekle sınırlı olsaydı, konunun değerlendirilmesi burada tamamlanabilirdi. Ama her şey o kadar basit değil. Üçüncü dereceden denklemleri çözmek zorluklarla doludur. Ve dördüncü derecenin üzerindeki denklemler için hiç yok genel formüller kökler. Bu bağlamda, üçüncü, dördüncü ve diğer derecelerin tüm denklemlerinin çözümü, bir dizi başka teknik ve yöntem kullanmamızı gerektirir.
Tüm rasyonel denklemleri çözmek için en yaygın olarak kullanılan yaklaşım, çarpanlara ayırma yöntemine dayanmaktadır. Bu durumda eylemlerin algoritması aşağıdaki gibidir:
- ifadeyi sağdan sola aktarırız, böylece kaydın sağ tarafında sıfır kalır;
- sol taraftaki ifadeyi faktörlerin bir ürünü olarak temsil ediyoruz ve sonra bir dizi daha basit denkleme geçiyoruz.
(x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) denkleminin çözümünü bulun.
Çözüm
İfadeyi kaydın sağ tarafından zıt işaretli sol tarafa aktarıyoruz: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Sol tarafı standart formun bir polinomuna dönüştürmek, bize dördüncü dereceden cebirsel bir denklem vereceği gerçeğinden dolayı pratik değildir: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Dönüşümün kolaylığı, böyle bir denklemi çözmenin tüm zorluklarını haklı çıkarmaz.
Diğer yoldan gitmek çok daha kolay: ortak faktörü çıkarıyoruz x 2 − 10 x + 13 . Böylece formun bir denklemine ulaşırız (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Şimdi ortaya çıkan denklemi bir dizi iki ikinci dereceden denklemle değiştiriyoruz. x 2 − 10 x + 13 = 0 ve x 2 − 2 x − 1 = 0 ve ayrımcı aracılığıyla köklerini bulun: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Cevap: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Benzer şekilde, yeni bir değişken tanıtma yöntemini kullanabiliriz. Bu yöntem, orijinal tam denklemdekinden daha düşük güçlere sahip eşdeğer denklemlere geçmemizi sağlar.
Örnek 5
Denklemin kökleri var mı? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Çözüm
Şimdi bütün bir rasyonel denklemi cebirsel bir denkleme indirgemeye çalışırsak, rasyonel kökleri olmayan 4. dereceden bir denklem elde ederiz. Bu nedenle, diğer yoldan gitmemiz daha kolay olacaktır: denklemdeki ifadenin yerini alacak yeni bir y değişkeni tanıtın. x 2 + 3 x.
Şimdi tüm denklemle çalışacağız (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Denklemin sağ tarafını zıt işaretli sol tarafa aktarıyoruz ve gerekli dönüşümleri yapıyoruz. Alırız: y 2 + 4 y + 3 = 0. İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: y = − 1 ve y = - 3.
Şimdi ters ikame yapalım. iki denklem elde ederiz x 2 + 3 x = − 1 ve x 2 + 3 x = - 3 . Bunları x 2 + 3 x + 1 = 0 olarak yeniden yazalım ve x 2 + 3 x + 3 = 0. Elde edilen ilk denklemin köklerini bulmak için ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü kullanırız: - 3 ± 5 2 . İkinci denklemin diskriminantı negatiftir. Bu, ikinci denklemin gerçek köklerinin olmadığı anlamına gelir.
Cevap:- 3 ± 5 2
Bütün denklemler yüksek dereceler görevlerde oldukça sık karşılaşılır. Onlardan korkmaya gerek yok. Bir dizi yapay dönüşüm de dahil olmak üzere, bunları çözmek için standart olmayan bir yöntem uygulamaya hazır olmanız gerekir.
Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü
Bu alt konuyu değerlendirmemize, p (x) q (x) = 0 biçimindeki kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma ile başlıyoruz. p(x) ve q(x) tamsayı rasyonel ifadelerdir. Diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümü, her zaman belirtilen formdaki denklemlerin çözümüne indirgenebilir.
p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözmek için en sık kullanılan yöntem aşağıdaki ifadeye dayanmaktadır: sayısal kesir sen v, nerede v sıfırdan farklı, yalnızca kesrin payının sıfıra eşit olduğu durumlarda sıfıra eşit olan bir sayıdır. Yukarıdaki ifadenin mantığını izleyerek, p (x) q (x) = 0 denkleminin çözümünün iki koşulun sağlanmasına indirgenebileceğini söyleyebiliriz: p(x)=0 ve q(x) ≠ 0. Bunun üzerine, p (x) q (x) = 0 biçimindeki kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma oluşturulmuştur:
- tüm rasyonel denklemin çözümünü buluruz p(x)=0;
- Çözüm sırasında bulunan kökler için koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederiz. q(x) ≠ 0.
Bu koşul sağlanırsa kök bulunur, değilse kök soruna çözüm değildir.
Örnek 6
3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 denkleminin köklerini bulun.
Çözüm
Burada p (x) q (x) = 0 biçiminde, p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 olan bir kesirli rasyonel denklemle uğraşıyoruz. Lineer denklemi çözmeye başlayalım 3x - 2 = 0. Bu denklemin kökü x = 2 3.
Bulunan kökü kontrol edelim, koşulu sağlayıp sağlamadığını 5 x 2 - 2 ≠ 0. Bunu yapmak için, ifadeye sayısal bir değer koyun. Alırız: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
Koşul karşılandı. Demek oluyor x = 2 3 orijinal denklemin köküdür.
Cevap: 2 3 .
p (x) q (x) = 0 kesirli rasyonel denklemleri çözmek için başka bir seçenek var. Bu denklemin tüm denkleme eşdeğer olduğunu hatırlayın. p(x)=0 orijinal denklemin x değişkeninin kabul edilebilir değerleri aralığında. Bu, p(x) q(x) = 0 denklemlerinin çözümünde aşağıdaki algoritmayı kullanmamıza izin verir:
- denklemi çözün p(x)=0;
- x değişkeni için kabul edilebilir değer aralığını bulun;
- x değişkeninin kabul edilebilir değerleri bölgesinde bulunan kökleri orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleri olarak alıyoruz.
x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 denklemini çözün.
Çözüm
Başlamak için karar verelim ikinci dereceden denklem x 2 − 2 x − 11 = 0. Köklerini hesaplamak için, ikinci bir katsayı için kök formülünü kullanırız. alırız D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 ve x = 1 ± 2 3 .
Şimdi orijinal denklem için x'in ODV'sini bulabiliriz. Bunların hepsi hangi sayılar x 2 + 3 x ≠ 0. Aynı x (x + 3) ≠ 0, nereden x ≠ 0 , x ≠ − 3 .
Şimdi çözümün ilk aşamasında elde edilen x = 1 ± 2 3 köklerinin x değişkeninin kabul edilebilir değerleri aralığında olup olmadığını kontrol edelim. Neyin girdiğini görüyoruz. Bu, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü x = 1 ± 2 3 olduğu anlamına gelir.
Cevap: x = 1 ± 2 3
Açıklanan ikinci çözüm yöntemi ilkinden daha kolay x değişkeninin kabul edilebilir değerlerinin alanını ve denklemin köklerini bulmanın kolay olduğu durumlarda p(x)=0 mantıksız. Örneğin, 7 ± 4 26 9 . Kökler rasyonel olabilir, ancak büyük bir pay veya payda ile. Örneğin, 127 1101 ve − 31 59 . Bu, durumu kontrol etmek için zaman kazandırır. q(x) ≠ 0: ODZ'ye göre uymayan kökleri dışlamak çok daha kolaydır.
Denklemin kökleri ne zaman p(x)=0 tamsayılarsa, p (x) q (x) = 0 biçimindeki denklemleri çözmek için açıklanan algoritmalardan ilkini kullanmak daha uygundur. Tüm denklemin köklerini daha hızlı bulma p(x)=0 ve ardından koşulun onlar için karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin q(x) ≠ 0 ve ODZ'yi bulmayın ve ardından denklemi çözün p(x)=0 bu ODZ'de. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol yapmanın genellikle ODZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.
Örnek 8
Denklemin köklerini bulun (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .
Çözüm
Tüm denklemi göz önünde bulundurarak başlıyoruz (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ve köklerini bulmak. Bunu yapmak için, çarpanlara ayırma yoluyla denklem çözme yöntemini uygularız. Orijinal denklemin 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, üçü doğrusal ve biri kare. Kökleri buluyoruz: ilk denklemden x = 1 2, ikinciden x=6, üçüncüden - x \u003d 7, x \u003d - 2, dördüncüden - x = − 1.
Elde edilen kökleri kontrol edelim. Bu durumda ODZ'yi belirlemek bizim için zor, çünkü bunun için beşinci dereceden bir cebirsel denklemi çözmemiz gerekecek. Denklemin sol tarafında yer alan kesrin paydasının kaybolmaması durumunu kontrol etmek daha kolay olacaktır.
Sırayla, ifadedeki x değişkeninin yerine kökleri değiştirin. x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 ve değerini hesaplayın:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;
7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
Gerçekleştirilen doğrulama, orijinal kesirli rasyonel denklemin köklerinin 1 2 , 6 ve − 2 .
Cevap: 1 2 , 6 , - 2
Örnek 9
5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 kesirli rasyonel denklemin köklerini bulun.
Çözüm
denklemle başlayalım (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Köklerini bulalım. Bu denklemi ikinci dereceden ve doğrusal denklemlerin bir kombinasyonu olarak temsil etmek bizim için daha kolaydır. 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 ve x − 2 = 0.
Kökleri bulmak için ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülünü kullanırız. Birinci denklemden x = 7 ± 69 10 ve ikincisinden iki kök elde ederiz. x=2.
Koşulları kontrol etmek için köklerin değerini orijinal denklemde yerine koymak bizim için oldukça zor olacaktır. x değişkeninin LPV'sini belirlemek daha kolay olacaktır. Bu durumda, x değişkeninin DPV'si, koşulun sağlandığı sayılar dışında tüm sayılardır. x 2 + 5 x − 14 = 0. Şunları elde ederiz: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .
Şimdi bulduğumuz köklerin x değişkeni için kabul edilebilir değerler aralığına ait olup olmadığını kontrol edelim.
x = 7 ± 69 10 - kökleri aittir, bu nedenle, bunlar orijinal denklemin kökleridir ve x=2- ait değildir, bu nedenle yabancı bir köktür.
Cevap: x = 7 ± 69 10 .
p (x) q (x) = 0 biçimindeki kesirli rasyonel bir denklemin payının bir sayı içerdiği durumları ayrı ayrı inceleyelim. Bu gibi durumlarda, pay sıfırdan farklı bir sayı içeriyorsa, denklemin kökleri olmayacaktır. Bu sayı sıfıra eşitse, denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayı olacaktır.
Örnek 10
Kesirli rasyonel denklemi çözün - 3 , 2 x 3 + 27 = 0.
Çözüm
Bu denklemin kökleri olmayacak, çünkü denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfır olmayan bir sayı içeriyor. Bu, herhangi bir x değeri için, problem durumunda verilen kesrin değerinin sıfıra eşit olmayacağı anlamına gelir.
Cevap: kök yok.
Örnek 11
0 x 4 + 5 x 3 = 0 denklemini çözün.
Çözüm
Kesrin payı sıfır olduğundan, denklemin çözümü ODZ değişkeninden x'in herhangi bir değeri olacaktır.
Şimdi ODZ'yi tanımlayalım. Bunun için tüm x değerlerini içerecektir. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. denklem çözümleri x 4 + 5 x 3 = 0 vardır 0 ve − 5 , bu denklem denkleme eşdeğer olduğundan x 3 (x + 5) = 0, ve sırayla, iki denklem kümesine eşdeğerdir x 3 = 0 ve x + 5 = 0 bu köklerin göründüğü yer. İstenen kabul edilebilir değer aralığının herhangi bir x olduğu sonucuna varıyoruz. x=0 ve x = -5.
0 x 4 + 5 x 3 = 0 kesirli rasyonel denkleminin, sıfır ve - 5 dışında herhangi bir sayı olan sonsuz sayıda çözümü olduğu ortaya çıktı.
Cevap: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Şimdi keyfi bir formun kesirli rasyonel denklemleri ve bunları çözme yöntemleri hakkında konuşalım. olarak yazılabilirler r(x) = s(x), nerede r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir ve bunlardan en az biri kesirlidir. Bu tür denklemlerin çözümü, p (x) q (x) = 0 biçimindeki denklemlerin çözümüne indirgenir.
Denklemin sağ tarafındaki ifadeyi zıt işaretli sol tarafa aktararak eşdeğer bir denklem elde edebileceğimizi zaten biliyoruz. Bu, denklemin r(x) = s(x) denkleme eşdeğerdir r (x) - s (x) = 0. Rasyonel bir ifadenin rasyonel bir kesre nasıl dönüştürüleceğini de zaten tartıştık. Bu sayede denklemi kolayca dönüştürebiliriz. r (x) - s (x) = 0 p (x) q (x) formunun özdeş rasyonel fraksiyonuna .
Bu yüzden orijinal kesirli rasyonel denklemden hareket ediyoruz r(x) = s(x) nasıl çözüleceğini öğrendiğimiz p (x) q (x) = 0 biçimindeki bir denkleme.
Unutulmamalıdır ki, geçişler yapılırken r (x) - s (x) = 0 p (x) q (x) = 0'a ve sonra p(x)=0 x değişkeninin geçerli değer aralığının genişlemesini dikkate almayabiliriz.
Orijinal denklemin oldukça gerçekçi r(x) = s(x) ve denklem p(x)=0 dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer olmaktan çıkacaktır. O halde denklemin çözümü p(x)=0 bize yabancı olacak kökler verebilir r(x) = s(x). Bu bağlamda, her durumda, yukarıda açıklanan yöntemlerden herhangi biri ile bir kontrol yapılması gerekir.
Konuyu incelemenizi kolaylaştırmak için, formun kesirli rasyonel bir denklemini çözmek için tüm bilgileri bir algoritmaya genelleştirdik. r(x) = s(x):
- ifadeyi sağ taraftan zıt işaretle aktarır ve sağda sıfır alırız;
- kesirler ve polinomlarla sırayla eylemler gerçekleştirerek orijinal ifadeyi rasyonel bir p (x) q (x) kesrine dönüştürürüz;
- denklemi çözün p(x)=0;
- ODZ'ye ait olduklarını kontrol ederek veya orijinal denklemde yerine koyarak yabancı kökleri ortaya çıkarırız.
Görsel olarak, eylem zinciri şöyle görünecektir:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → bırakma r o n d e r o o n s
Örnek 12
Kesirli rasyonel denklemi x x + 1 = 1 x + 1 çözün.
Çözüm
Şimdi x x + 1 - 1 x + 1 = 0 denklemine geçelim. Denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi p (x) q (x) formuna dönüştürelim.
Bunu yapmak için, rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indirgemeli ve ifadeyi sadeleştirmeliyiz:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
- 2 x - 1 x (x + 1) = 0 denkleminin köklerini bulmak için denklemi çözmemiz gerekir. − 2 x − 1 = 0. Bir kök alıyoruz x = - 1 2.
Herhangi bir yöntemle kontrolü gerçekleştirmek bize kalır. İkisini de düşünelim.
Ortaya çıkan değeri orijinal denklemde değiştirin. - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 elde ederiz. Doğru sayısal eşitliğe geldik − 1 = − 1 . Demek oluyor x = − 1 2 orijinal denklemin köküdür.
Şimdi ODZ'yi kontrol edeceğiz. x değişkeni için kabul edilebilir değerler aralığını tanımlayalım. Bu, − 1 ve 0 hariç tüm sayı kümesi olacaktır (x = − 1 ve x = 0 olduğunda, kesirlerin paydaları kaybolur). aldığımız kök x = − 1 2 ODZ'ye aittir. Bu, orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.
Cevap: − 1 2 .
Örnek 13
x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x denkleminin köklerini bulun.
Çözüm
Kesirli rasyonel bir denklemle uğraşıyoruz. Bu nedenle algoritmaya göre hareket edeceğiz.
İfadeyi sağdan sola, zıt işaretli olarak taşıyalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Gerekli dönüşümleri yapalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
denkleme geliyoruz x=0. Bu denklemin kökü sıfırdır.
Bu kökün orijinal denklem için yabancı olup olmadığını kontrol edelim. Orijinal denklemdeki değeri değiştirin: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Gördüğünüz gibi, ortaya çıkan denklem mantıklı değil. Bu, 0'ın yabancı bir kök olduğu ve orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.
Cevap: kök yok.
Algoritmaya diğer eşdeğer dönüşümleri dahil etmediysek, bu onların kullanılamayacağı anlamına gelmez. Algoritma evrenseldir, ancak sınırlamak için değil, yardımcı olmak için tasarlanmıştır.
Örnek 14
7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 denklemini çözün
Çözüm
En kolay yol, verilen kesirli rasyonel denklemi algoritmaya göre çözmektir. Ama başka bir yol var. Düşünelim.
Sağ ve sol kısımlardan 7 çıkarın, şunu elde ederiz: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
Bundan, sol tarafın paydasındaki ifadenin sayıya eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz. karşılıklı sayı sağdan yani 3+1 2+1 5 - x 2 = 24 7 .
Her iki kısımdan da çıkarın 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analojiyle 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, buradan 1 5 - x 2 \u003d 1 3 ve ayrıca 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
Bulunan köklerin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını belirlemek için kontrol edelim.
Cevap: x = ± 2
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Konuyla ilgili sunum ve ders: "Rasyonel denklemler. Algoritma ve rasyonel denklemleri çözme örnekleri"
Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.
8. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Makarychev Yu.N. Mordkovich A.G. ders kitabı için el kitabı.
İrrasyonel denklemlere giriş
Çocuklar, ikinci dereceden denklemleri nasıl çözeceğimizi öğrendik. Ancak matematik bunlarla sınırlı değildir. Bugün rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Rasyonel denklemler kavramı birçok yönden kavrama benzerdir. rasyonel sayılar. Sadece sayılara ek olarak, şimdi bazı $x$ değişkenlerini tanıttık. Böylece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve tamsayıya çıkarma işlemlerinin olduğu bir ifade elde ederiz.$r(x)$ olsun rasyonel ifade. Böyle bir ifade, $x$ değişkeninde basit bir polinom veya polinomların bir oranı olabilir (rasyonel sayılarda olduğu gibi bölme işlemi tanıtılır).
$r(x)=0$ denklemi denir rasyonel denklem.
$p(x)$ ve $q(x)$ rasyonel ifadeler olduğu $p(x)=q(x)$ biçimindeki herhangi bir denklem de rasyonel denklem.
Rasyonel denklemleri çözme örneklerini düşünün.
örnek 1Denklemi çözün: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Çözüm.
Tüm ifadeleri sol tarafa taşıyalım: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Denklemin sol tarafı temsil edilirse normal sayılar, o zaman iki kesri ortak bir paydaya getirirdik.
Şunu yapalım: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Şu denklemi elde ettik: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Bir kesir, ancak ve ancak kesrin payı sıfır ve payda sıfırdan farklıysa sıfırdır. Sonra payı ayrı ayrı sıfıra eşitleyin ve payın köklerini bulun.
$3(x^2+2x-3)=0$ veya $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Şimdi kesrin paydasını kontrol edelim: $(x-3)*x≠0$.
Bu sayılardan en az biri sıfıra eşit olduğunda iki sayının çarpımı sıfıra eşittir. Ardından: $x≠0$ veya $x-3≠0$.
$x≠0$ veya $x≠3$.
Pay ve paydada elde edilen kökler uyuşmuyor. Yani yanıt olarak payın her iki kökünü de yazıyoruz.
Cevap: $x=1$ veya $x=-3$.
Birdenbire, payın köklerinden biri paydanın köküyle çakıştıysa, dışlanmalıdır. Bu tür köklere yabancı denir!
Rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:
1. Denklemde yer alan tüm ifadeler şuraya aktarılmalıdır: Sol Taraf eşittir işaretinden.2. Denklemin bu kısmını cebirsel bir kesre dönüştürün: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Elde edilen payı sıfıra eşitleyin, yani $p(x)=0$ denklemini çözün.
4. Paydayı sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi çözün. Paydanın kökleri payın kökleriyle çakışıyorsa, cevaptan çıkarılmalıdır.
Örnek 2
Denklemi çözün: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Çözüm.
Algoritmanın noktalarına göre çözeceğiz.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Payı sıfıra eşitleyin: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Paydayı sıfıra eşitleyin:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ve $x=-1$.
$x=1$ köklerinden biri payın köküyle çakıştı, o zaman yanıt olarak onu yazmıyoruz.
Cevap: $x=-1$.
Değişkenlerin değişimi yöntemini kullanarak rasyonel denklemleri çözmek uygundur. Hadi gösterelim.
Örnek 3
Denklemi çözün: $x^4+12x^2-64=0$.
Çözüm.
Bir ikame sunuyoruz: $t=x^2$.
O zaman denklemimiz şu şekli alacaktır:
$t^2+12t-64=0$ sıradan bir ikinci dereceden denklemdir.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Ters bir değiştirme yapalım: $x^2=4$ veya $x^2=-16$.
İlk denklemin kökleri bir çift sayıdır $x=±2$. İkincisinin kökü yoktur.
Cevap: $x=±2$.
Örnek 4
Denklemi çözün: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Çözüm.
Yeni bir değişken tanıtalım: $t=x^2+x+1$.
O zaman denklem şu şekilde olacaktır: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ardından, algoritmaya göre hareket edeceğiz.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - kökler eşleşmiyor.
Bir ters ikame sunuyoruz.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Her denklemi ayrı ayrı çözelim:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - hayır kökler.
Ve ikinci denklem: $x^2+x-2=0$.
Bu denklemin kökleri $x=-2$ ve $x=1$ sayıları olacaktır.
Cevap: $x=-2$ ve $x=1$.
Örnek 5
Denklemi çözün: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Çözüm.
Bir değiştirme sunuyoruz: $t=x+\frac(1)(x)$.
O zamanlar:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ veya $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Şu denklemi elde ettik: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Bu denklemin kökleri çifttir:
$t=-3$ ve $t=2$.
Ters ikameyi tanıtalım:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ayrı ayrı karar vereceğiz.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
İkinci denklemi çözelim:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Bu denklemin kökü $x=1$ sayısıdır.
Cevap: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Bağımsız çözüm için görevler
Denklemleri Çöz:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
Kesirli denklemlerin kendileri zor ve çok ilginç değildir. Kesirli denklem türlerini ve bunları çözmenin yollarını düşünün.
Kesirli denklemler nasıl çözülür - payda x
Bilinmeyenin payda olduğu kesirli bir denklem verilirse, çözüm ek koşullar gerektirmez ve gereksiz uğraşılmadan çözülür. Genel form böyle bir denklem x/a + b = c'dir, burada x bir bilinmeyendir, a, b ve c sıradan sayılardır.
x'i bulun: x/5 + 10 = 70.
Denklemi çözmek için kesirlerden kurtulmanız gerekir. Denklemin her bir terimini 5 ile çarpın: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ve 5 azaltılır, 10 ve 70 5 ile çarpılır ve şunu elde ederiz: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.
x'i bulun: x/5 + x/10 = 90.
Bu örnek, ilkinin biraz daha karmaşık bir versiyonudur. Burada iki çözüm var.
- Seçenek 1: Denklemin tüm terimlerini daha büyük bir payda ile çarparak kesirlerden kurtulun, yani 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
- Seçenek 2: Denklemin sol tarafını ekleyin. x/5 + x/10 = 90. Ortak payda 10'dur. 10'u 5'e bölün, x ile çarpın, 2x elde ederiz. 10 bölü 10, x ile çarpıldığında x: 2x+x/10 = 90 elde ederiz. Dolayısıyla 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Genellikle x'lerin eşittir işaretinin zıt taraflarında olduğu kesirli denklemler vardır. Böyle bir durumda, x ile tüm kesirleri bir yönde, sayıları başka bir yönde aktarmak gerekir.
- x'i bulun: 3x/5 = 130 - 2x/5.
- 2x/5'i zıt işaretle sağa hareket ettirin: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- 5x/5'i azaltırız ve şunu elde ederiz: x = 130.
Kesirli bir denklem nasıl çözülür - paydada x
Bu tür kesirli denklemler, ek koşulların yazılmasını gerektirir. Bu koşulların belirtilmesi, doğru kararın zorunlu ve ayrılmaz bir parçasıdır. Cevap (doğru olsa bile) basitçe sayılmayabileceğinden, onları ilişkilendirmeyerek riski üstlenirsiniz.
x'in paydada olduğu kesirli denklemlerin genel biçimi şudur: a/x + b = c, burada x bir bilinmeyendir, a, b, c sıradan sayılardır. x'in herhangi bir sayı olmayabileceğini unutmayın. Örneğin x sıfır olamaz çünkü 0'a bölemezsiniz. bu ne ek koşul, belirtmemiz gereken. Buna kabul edilebilir değerler aralığı denir, kısaltılmış - ODZ.
x'i bulun: 15/x + 18 = 21.
ODZ'yi x: x ≠ 0 için hemen yazıyoruz. Şimdi ODZ belirtildiğine göre, denklemi standart şemaya göre kesirlerden kurtularak çözüyoruz. Denklemin tüm terimlerini x ile çarpıyoruz. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Genellikle, paydanın yalnızca x'i değil, aynı zamanda onunla toplama veya çıkarma gibi başka işlemleri de içerdiği denklemler vardır.
x'i bulun: 15/(x-3) + 18 = 21.
Paydanın sıfıra eşit olamayacağını zaten biliyoruz, yani x-3 ≠ 0 anlamına gelir. “-” işaretini “+” olarak değiştirirken -3'ü sağ tarafa aktarırız ve x ≠ 3 elde ederiz. belirtilen.
Denklemi çözün, her şeyi x-3 ile çarpın: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
x'leri sağa, sayıları sola hareket ettirin: 24 = 3x => x = 8.
Şimdiye kadar sadece bilinmeyene göre tamsayılı denklemleri, yani paydalarının (varsa) bilinmeyeni içermediği denklemleri çözdük.
Genellikle paydalarında bilinmeyeni içeren denklemleri çözmeniz gerekir: bu tür denklemlere kesirli denir.
Bu denklemi çözmek için, her iki tarafı da bilinmeyeni içeren bir polinomla çarpıyoruz. Yeni denklem verilene eşdeğer olacak mı? Soruyu cevaplamak için, bu denklemi çözelim.
Her iki tarafını da ile çarparsak, şunu elde ederiz:
Birinci dereceden bu denklemi çözerek şunları buluruz:
Yani, denklem (2) tek bir köke sahiptir
Bunu denklem (1) ile değiştirerek şunu elde ederiz:
Dolayısıyla, aynı zamanda (1) denkleminin köküdür.
Denklem (1)'in başka kökü yoktur. Örneğimizde bu, örneğin (1) denklemindeki gerçeğinden görülebilir.
Bilinmeyen bölen, bölüm 2'ye bölünen temettü 1'e nasıl eşit olmalıdır, yani.
Dolayısıyla (1) ve (2) denklemlerinin tek bir kökü vardır ve bu nedenle eşdeğerdirler.
2. Şimdi aşağıdaki denklemi çözüyoruz:
En basit ortak payda: ; denklemin tüm terimlerini bununla çarpın:
İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:
Parantezleri genişletelim:
Benzer terimler getirerek, elimizde:
Bu denklemi çözerek şunları buluruz:
(1) denklemini değiştirerek şunu elde ederiz:
Sol tarafta ise bir anlam ifade etmeyen ifadeler aldık.
Bu nedenle, (1) denkleminin kökü değildir. Bu, (1) denklemlerinin eşdeğer olmadığı anlamına gelir.
Bu durumda, (1) denkleminin yabancı bir kök aldığını söylüyoruz.
(1) denkleminin çözümünü daha önce ele aldığımız denklemlerin çözümüyle karşılaştıralım (bkz. § 51). Bu denklemi çözerken, daha önce karşılaşılmamış iki işlem yapmak zorundaydık: ilk olarak, denklemin her iki tarafını bilinmeyen (ortak payda) içeren bir ifadeyle çarpmıştık ve ikincisi, cebirsel kesirleri aşağıdakileri içeren çarpanlara indirgedik. bir bilinmeyen.
Denklem (1) ile Denklem (2)'yi karşılaştırdığımızda, Denklem (2) için geçerli olan tüm x değerlerinin Denklem (1) için geçerli olmadığını görüyoruz.
(1) denklemi için bilinmeyenin kabul edilebilir değerleri olmayan 1 ve 3 sayılarıdır ve dönüşüm sonucunda denklem (2) için kabul edilebilir hale gelmiştir. Bu sayılardan biri (2) numaralı denklemin çözümü olarak ortaya çıktı, ancak elbette (1) numaralı denklemin çözümü olamaz. Denklem (1)'in çözümü yoktur.
Bu örnek, denklemin her iki tarafı da bilinmeyeni içeren bir faktörle çarpıldığında ve cebirsel kesirler verilene eşdeğer olmayan bir denklem elde edilebilir, yani: yabancı kökler görünebilir.
Bu nedenle, aşağıdaki sonucu çıkarıyoruz. Paydasında bilinmeyen içeren bir denklemi çözerken, elde edilen kökler orijinal denkleme ikame edilerek kontrol edilmelidir. Yabancı kökler atılmalıdır.
§ 1 Tam ve kesirli rasyonel denklemler
Bu dersimizde rasyonel denklem, rasyonel ifade, tamsayılı ifade, kesirli ifade gibi kavramları analiz edeceğiz. Rasyonel denklemlerin çözümünü düşünün.
Rasyonel bir denklem, sol ve sağ tarafların rasyonel ifadeler olduğu bir denklemdir.
Rasyonel ifadeler şunlardır:
kesirli.
Bir tamsayı ifadesi, toplama, çıkarma, çarpma ve sıfırdan farklı bir sayıya bölme işlemlerini kullanan sayılar, değişkenler, tamsayı güçlerinden oluşur.
Örneğin:
AT kesirli ifadeler bir değişkenle bölme veya değişkenli bir ifade vardır. Örneğin:
Kesirli bir ifade, içerdiği değişkenlerin tüm değerleri için bir anlam ifade etmez. Örneğin, ifade
x = -9'da mantıklı değil, çünkü x = -9'da payda sıfıra gidiyor.
Bu, rasyonel bir denklemin tamsayı ve kesirli olabileceği anlamına gelir.
Tamsayılı rasyonel denklem, sol ve sağ tarafların tamsayı ifadeleri olduğu rasyonel bir denklemdir.
Örneğin:
Bir kesirli rasyonel denklem, sol veya sağ tarafların kesirli ifadeler olduğu rasyonel bir denklemdir.
Örneğin:
§ 2 Bütün bir rasyonel denklemin çözümü
Bütün bir rasyonel denklemin çözümünü düşünün.
Örneğin:
Denklemin her iki tarafını, içerdiği kesirlerin paydalarının en küçük ortak paydası ile çarpın.
Bunun için:
1. 2, 3, 6 paydaları için ortak bir payda bulun. 6'ya eşittir;
2. Her kesir için ek bir faktör bulun. Bunu yapmak için ortak paydayı 6 her bir paydaya bölün.
kesir için ek çarpan
kesir için ek çarpan
3. Kesirlerin paylarını kendilerine karşılık gelen ek faktörlerle çarpın. Böylece denklemi elde ederiz.
bu denkleme eşdeğer olan
Soldaki parantezleri açalım, sağ tarafı sola kaydıralım, transfer sırasında terimin işaretini tersine çevirelim.
Polinomun benzer terimlerini veriyoruz ve
Denklemin lineer olduğunu görüyoruz.
Bunu çözerek x = 0,5 olduğunu buluruz.
§ 3 Kesirli rasyonel bir denklemin çözümü
Bir kesirli rasyonel denklemin çözümünü düşünün.
Örneğin:
1. Denklemin her iki tarafını, içerdiği rasyonel kesirlerin paydalarının en küçük ortak paydası ile çarpın.
x + 7 ve x - 1 paydalarının ortak paydasını bulun.
Ürünlerine (x + 7)(x - 1) eşittir.
2. Her rasyonel kesir için ek bir faktör bulalım.
Bunu yapmak için ortak paydayı (x + 7) (x - 1) her paydaya böleriz. Kesirler için ek çarpan
eşittir x - 1,
kesir için ek çarpan
x+7'ye eşittir.
3. Kesirlerin paylarını, karşılık gelen ek faktörleriyle çarpın.
Bu denkleme eşdeğer olan denklemi (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7) alıyoruz
4.Sol ve sağ iki terimliyi iki terimliyle çarpın ve aşağıdaki denklemi elde edin
5. Sağ kısmı sola aktarırız, tersine aktarırken her terimin işaretini değiştiririz:
6. Polinomun benzer üyelerini sunuyoruz:
7. Her iki parçayı da -1'e bölebilirsiniz. İkinci dereceden bir denklem elde ederiz:
8. Çözdükten sonra kökleri bulacağız
denklemde beri
sol ve sağ kısımlar kesirli ifadelerdir ve kesirli ifadelerde değişkenlerin bazı değerleri için payda kaybolabilir, daha sonra x1 ve x2 bulunduğunda ortak paydanın kaybolmadığını kontrol etmek gerekir.
x = -27'de ortak payda (x + 7)(x - 1) kaybolmaz, x = -1'de ortak payda da sıfır değildir.
Bu nedenle, hem -27 hem de -1 kökleri denklemin kökleridir.
Kesirli bir rasyonel denklemi çözerken, izin verilen değerlerin alanını hemen belirtmek daha iyidir. Ortak paydanın sıfıra gittiği değerleri ortadan kaldırın.
Bir kesirli rasyonel denklemi çözmenin başka bir örneğini düşünün.
Örneğin, denklemi çözelim
Denklemin sağ tarafındaki kesrin paydasını faktörlere ayırırız
denklemi elde ederiz
Paydalar (x - 5), x, x (x - 5) için ortak bir payda bulun.
x (x - 5) ifadesi olacaktır.
şimdi denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığını bulalım
Bunu yapmak için ortak paydayı sıfır x (x - 5) \u003d 0 ile eşitleriz.
x \u003d 0 veya x \u003d 5'te ortak paydanın kaybolduğunu bulduğumuz bir denklem elde ederiz.
Yani x = 0 veya x = 5 denklemimizin kökleri olamaz.
Artık ek çarpanlar bulabilirsiniz.
Rasyonel kesirler için ek çarpan
kesirler için ek çarpan
(x - 5) olacak,
ve kesrin ek faktörü
Payları karşılık gelen ek faktörlerle çarpıyoruz.
x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) denklemini elde ederiz.
Sağ ve soldaki parantezleri açalım, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Taşınacak terimlerin işaretini değiştirerek terimleri sağdan sola kaydıralım:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Ve benzer terimleri getirdikten sonra, x2 - 3x - 10 \u003d 0 ikinci dereceden denklemini elde ederiz. Bunu çözdükten sonra, x1 \u003d -2; x2 = 5.
Ancak, x = 5'te ortak payda x(x - 5)'in yok olduğunu zaten bulduk. Bu nedenle, denklemimizin kökü
x = -2 olacaktır.
§ dört Kısa özet ders
Hatırlanması önemli:
Kesirli rasyonel denklemleri çözerken aşağıdakileri yapmanız gerekir:
1. Denklemde yer alan kesirlerin ortak paydasını bulun. Ayrıca, kesirlerin paydaları çarpanlara ayrılabiliyorsa, onları çarpanlara ayırıp ortak paydayı bulun.
2. Denklemin her iki tarafını ortak bir payda ile çarpın: ek faktörleri bulun, payları ek faktörlerle çarpın.
3. Ortaya çıkan tüm denklemi çözün.
4. Ortak paydayı sıfıra çevirenleri köklerinden çıkarın.
Kullanılan literatür listesi:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Telyakovsky S.A. editörlüğünde Cebir: ders kitabı. 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar. - E.: Eğitim, 2013.
- Mordkovich A.G. Cebir. 8. Sınıf: İki parça halinde. Bölüm 1: Proc. genel eğitim için kurumlar. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Cebirde ders gelişmeleri: 8. Sınıf - M.: VAKO, 2010.
- Cebir 8. Sınıf: ders planları ders kitabına göre Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.comp. TL Afanasyev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Öğretmen, 2005.