كيفية حل المعادلات الكسرية. المعادلات مع قواعد حل الكسور

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، والإجراءات القانونية، و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

يتم استخدام القاسم المشترك الأصغر لتبسيط هذه المعادلة.يتم استخدام هذه الطريقة عندما لا تتمكن من كتابة معادلة معينة بتعبير منطقي واحد على كل جانب من المعادلة (واستخدم طريقة الضرب المتقاطعة). تُستخدم هذه الطريقة عندما تحصل على معادلة عقلانية تحتوي على 3 كسور أو أكثر (في حالة وجود كسرين، فمن الأفضل استخدام الضرب المتقاطع).

ابحث عن المقام المشترك الأصغر للكسور (أو المضاعف المشترك الأصغر).نوز هو أصغر عدد، وهو قابل للقسمة على كل مقام بالتساوي.

في بعض الأحيان يكون NPD رقمًا واضحًا. على سبيل المثال، إذا أعطيت المعادلة: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6، فمن الواضح أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 3 و2 و6 هو 6.
إذا لم يكن المرض غير واضح، فاكتب مضاعفات المقام الأكبر وابحث بينهم عن مضاعف للمقامات الأخرى. في كثير من الأحيان يمكن العثور على NOD ببساطة عن طريق ضرب مقامين. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة x/8 + 2/6 = (x - 3)/9، فإن NOS = 8*9 = 72.
إذا كان واحد أو أكثر من المقامات يحتوي على متغير، تصبح العملية أكثر تعقيدا إلى حد ما (ولكنها ليست مستحيلة). في هذه الحالة، NOC عبارة عن تعبير (يحتوي على متغير) مقسومًا على كل مقام. على سبيل المثال، في المعادلة 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1)، لأن هذا التعبير مقسوم على كل مقام: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3س(س-1)/س = 3(س-1).

اضرب كلاً من البسط والمقام لكل كسر برقم يساوي نتيجة قسمة NOC على المقام المقابل لكل كسر. بما أنك تضرب البسط والمقام بنفس الرقم، فأنت تضرب الكسر فعليًا في 1 (على سبيل المثال، 2/2 = 1 أو 3/3 = 1).

لذا في مثالنا، اضرب x/3 في 2/2 لتحصل على 2x/6، واضرب 1/2 في 3/3 لتحصل على 3/6 (الكسر 3x +1/6 لا يحتاج إلى الضرب لأنه المقام هو 6).
تابع بالمثل عندما يكون المتغير في المقام. في مثالنا الثاني، NOZ = 3x(x-1)، لذا اضرب 5/(x-1) في (3x)/(3x) لتحصل على 5(3x)/(3x)(x-1)؛ 1/x مضروبًا في 3(x-1)/3(x-1) وتحصل على 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) مضروبًا في (x-1)/(x-1) وتحصل على 2(x-1)/3x(x-1).

ابحث عن x.الآن بعد أن قمت بتبسيط الكسور إلى مقام مشترك، يمكنك التخلص من المقام. للقيام بذلك، اضرب كل طرف من المعادلة بالمقام المشترك. ثم قم بحل المعادلة الناتجة، أي ابحث عن "x". وللقيام بذلك، قم بعزل المتغير في أحد طرفي المعادلة.

في مثالنا: 2س/6 + 3/6 = (3س +1)/6. يمكنك إضافة 2 كسور مع نفس القاسملذا اكتب المعادلة بالشكل: (2س+3)/6=(3س+1)/6. اضرب طرفي المعادلة في 6 وتخلص من المقامات: 2x+3 = 3x +1. حل واحصل على x = 2.
في مثالنا الثاني (مع وجود متغير في المقام)، تبدو المعادلة (بعد الاختزال إلى مقام مشترك): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (س-1)/3س(س-1). بضرب طرفي المعادلة في N3، تتخلص من المقام وتحصل على: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1)، أو 15x = 3x - 3 + 2x -2، أو 15x = x - 5 حل واحصل على: x = -5/14.

"حل المعادلات العقلانية الكسرية"

أهداف الدرس:

التعليمية:

تشكيل مفهوم المعادلات العقلانية الكسرية. النظر في طرق مختلفة لحل المعادلات العقلانية الكسرية؛ النظر في خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية، بما في ذلك شرط أن الكسر يساوي الصفر؛ تعليم حل المعادلات العقلانية الكسرية باستخدام الخوارزمية؛ التحقق من مستوى إتقان الموضوع عن طريق إجراء اختبار.

التنموية:

تطوير القدرة على العمل بشكل صحيح مع المعرفة المكتسبة والتفكير المنطقي؛ تنمية المهارات الفكرية والعمليات العقلية - التحليل والتوليف والمقارنة والتعميم؛ تنمية المبادرة والقدرة على اتخاذ القرارات وعدم التوقف عند هذا الحد؛ تنمية التفكير النقدي. تنمية المهارات البحثية.

تعليم:

تعزيز الاهتمام المعرفي بالموضوع؛ تعزيز الاستقلال في حل المشاكل التعليمية؛ تعزيز الإرادة والمثابرة لتحقيق النتائج النهائية.

نوع الدرس: الدرس - شرح المادة الجديدة.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية.

مرحبا يا شباب! هناك معادلات مكتوبة على السبورة، انظر إليها بعناية. هل يمكنك حل كل هذه المعادلات؟ أي منها ليست ولماذا؟

تسمى المعادلات التي يكون فيها الجانب الأيسر والأيمن عبارة عن تعبيرات عقلانية كسرية معادلات عقلانية كسرية. ما رأيك أن ندرس في الفصل اليوم؟ صياغة موضوع الدرس. لذا، افتحوا دفاتر ملاحظاتكم واكتبوا موضوع الدرس "حل المعادلات الكسرية".

2. تحديث المعرفة. مسح أمامي، العمل الشفهي مع الفصل.

والآن سنكرر المادة النظرية الرئيسية التي سنحتاجها لدراسة موضوع جديد. الرجاء الإجابة على الأسئلة التالية:

1. ما هي المعادلة؟ ( المساواة مع متغير أو متغيرات.)

2. ما اسم المعادلة رقم 1؟ ( خطي.) طريقة لحل المعادلات الخطية. ( انقل كل شيء به المجهول إلى الجانب الأيسر من المعادلة، وكل الأرقام إلى اليمين. إعطاء مصطلحات مماثلة. ابحث عن عامل غير معروف).

3. ما اسم المعادلة رقم 3؟ ( مربع.) طرق حل المعادلات التربيعية. ( عزل مربع كامل باستخدام الصيغ باستخدام نظرية فيتا ونتائجها الطبيعية.)

4. ما هي النسبة؟ ( المساواة بين النسبتين.) الخاصية الرئيسية للنسبة. ( وإذا كانت النسبة صحيحة، فإن حاصل ضرب الحدود القصوى يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى.)

5. ما هي الخصائص المستخدمة عند حل المعادلات؟ ( 1. إذا قمت بنقل حد في معادلة من جزء إلى آخر، مع تغيير إشارته، فسوف تحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة. 2. إذا تم ضرب طرفي المعادلة أو قسمتهما على نفس الرقم غير الصفر، فستحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.)

6. متى يساوي الكسر الصفر؟ ( الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا والمقام ليس صفرًا..)

3. شرح المواد الجديدة.

حل المعادلة رقم 2 في دفاترك وعلى السبورة.

إجابة: 10.

ما هي المعادلة المنطقية الكسرية التي يمكنك محاولة حلها باستخدام خاصية التناسب الأساسية؟ (رقم 5).

(س-2)(س-4) = (س+2)(س+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

س2-6س-س2-5س = 6-8

حل المعادلة رقم 4 في دفاترك وعلى السبورة.

إجابة: 1,5.

ما هي المعادلة الكسرية التي يمكنك محاولة حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة في المقام؟ (رقم 6).

د=1›0، x1=3، x2=4.

إجابة: 3;4.

حاول الآن حل المعادلة رقم 7 باستخدام إحدى الطرق التالية.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
س(س-5)(س2-2س-5-(س+5))=0			س2-2س-5-س-5=0
س(س-5)(س2-3س-10)=0
س=0 س-5=0 س2-3س-10=0
x1=0 x2=5 د=49

إجابة: 0;5;-2.			إجابة: 5;-2.

اشرح لماذا حدث هذا؟ لماذا يوجد ثلاثة جذور في حالة واحدة واثنان في الحالة الأخرى؟ ما هي الأرقام جذور هذه المعادلة العقلانية الكسرية؟

حتى الآن، لم يواجه الطلاب مفهوم الجذر الدخيل، ومن الصعب جدًا عليهم أن يفهموا سبب حدوث ذلك. إذا لم يتمكن أحد في الفصل من تقديم شرح واضح لهذا الموقف، فإن المعلم يطرح أسئلة إرشادية.

في المعادلتين رقم 2 و 4 هناك أرقام في المقام، رقم 5-7 عبارة عن تعبيرات ذات متغير

قيمة المتغير الذي تصبح عنده المعادلة صحيحة

قم بإجراء فحص

عند الاختبار، لاحظ بعض الطلاب أنه يجب عليهم القسمة على صفر. وخلصوا إلى أن الرقمين 0 و 5 ليسا جذور هذه المعادلة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك طريقة لحل المعادلات العقلانية الكسرية تسمح لنا بإزالة هذا الخطأ؟ نعم، تعتمد هذه الطريقة على شرط أن يكون الكسر يساوي صفرًا.

x2-3x-10=0، D=49، x1=5، x2=-2.

إذا كانت x=5، فإن x(x-5)=0، مما يعني أن 5 جذر خارجي.

إذا كانت x=-2، فإن x(x-5)≠0.

إجابة: -2.

دعونا نحاول صياغة خوارزمية لحل المعادلات العقلانية الكسرية بهذه الطريقة. يقوم الأطفال بصياغة الخوارزمية بأنفسهم.

خوارزمية حل المعادلات العقلانية الكسرية:

1. انقل كل شيء إلى الجانب الأيسر.

2. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.

3. إنشاء نظام: الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط يساوي صفرًا والمقام لا يساوي صفرًا.

4. حل المعادلة.

5. التحقق من عدم المساواة لاستبعاد الجذور الدخيلة.

6. اكتب الإجابة.

المناقشة: كيفية صياغة الحل إذا كنت تستخدم الخاصية الأساسية للتناسب وضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك. (أضف إلى الحل: استبعد من جذوره ما يختفي القاسم المشترك).

4. الفهم الأولي للمواد الجديدة.

العمل في ازواج. يختار الطلاب كيفية حل المعادلة بأنفسهم اعتمادًا على نوع المعادلة. فروض من الكتاب المدرسي "الجبر 8"، 2007: رقم 000 (ب، ج، ط)؛ رقم 000(أ، د، ز). يراقب المعلم إكمال المهمة، ويجيب على أي أسئلة تطرأ، ويقدم المساعدة للطلاب ذوي الأداء المنخفض. الاختبار الذاتي: الإجابات مكتوبة على السبورة.

ب) 2 – جذر خارجي. الجواب: 3.

ج) 2 – جذر خارجي. الجواب: 1.5.

أ) الإجابة: -12.5.

ز) الإجابة: 1؛1.5.

5. تحديد الواجبات المنزلية.

2. تعلم خوارزمية حل المعادلات الكسرية.

3. حل في دفاتر رقم 000 (أ، د، هـ)؛ رقم 000(ز، ح).

4. حاول حل الرقم 000(أ) (اختياري).

6. إكمال مهمة مراقبة حول الموضوع المدروس.

يتم العمل على قطع من الورق.

مهمة المثال:

أ) أي من المعادلات عقلانية كسرية؟

ب) الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط ______________________ والمقام _________.

س) هل الرقم -3 هو جذر المعادلة رقم 6؟

د) حل المعادلة رقم 7.

معايير التقييم للمهمة:

يتم إعطاء "5" إذا أكمل الطالب أكثر من 90٪ من المهمة بشكل صحيح. "4" - 75%-89% "3" - 50%-74% "2" تُمنح للطالب الذي أكمل أقل من 50% من المهمة. لا يتم إعطاء تقييم 2 في المجلة، 3 اختياري.

7. التأمل.

اكتب في أوراق العمل المستقلة ما يلي:

1- إذا كان الدرس ممتعاً ومفهوماً بالنسبة لك؛ 2 - مثير للاهتمام، ولكن ليس واضحا؛ 3 - ليست مثيرة للاهتمام، ولكنها مفهومة؛ 4- غير مثير للاهتمام، غير واضح.

8. تلخيص الدرس.

لذلك، تعرفنا اليوم في الدرس على المعادلات العقلانية الكسرية، وتعلمنا حل هذه المعادلات بطرق مختلفة، واختبرنا معرفتنا بمساعدة العمل التعليمي المستقل. سوف تتعلم نتائج عملك المستقل في الدرس التالي، وفي المنزل ستتاح لك الفرصة لتعزيز معرفتك.

ما هي طريقة حل المعادلات العقلانية الكسرية، في رأيك، الأسهل والأكثر سهولة والأكثر عقلانية؟ بغض النظر عن طريقة حل المعادلات الكسرية، ما الذي يجب أن تتذكره؟ ما هو "المكر" في المعادلات العقلانية الكسرية؟

شكرا للجميع، انتهى الدرس.

دعونا نواصل الحديث عن حل المعادلات. في هذه المقالة سوف نتناول التفاصيل حول المعادلات العقلانيةومبادئ حل المعادلات العقلانية بمتغير واحد. أولاً، دعونا نتعرف على نوع المعادلات التي تسمى عقلانية، ونقدم تعريفًا للمعادلات العقلانية الكاملة والكسرية، ونعطي أمثلة. بعد ذلك، سنحصل على خوارزميات لحل المعادلات المنطقية، وبالطبع سننظر في حلول الأمثلة النموذجية مع جميع التفسيرات اللازمة.

التنقل في الصفحة.

استنادا إلى التعريفات المذكورة، نعطي عدة أمثلة على المعادلات العقلانية. على سبيل المثال، x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, ، كلها معادلات عقلانية.

يتضح من الأمثلة الموضحة أن المعادلات المنطقية، وكذلك المعادلات من الأنواع الأخرى، يمكن أن تكون بمتغير واحد، أو بمتغيرين، أو ثلاثة، إلخ. المتغيرات. وفي الفقرات التالية سنتحدث عن حل المعادلات المنطقية بمتغير واحد. حل المعادلات في متغيرينوهم عدد كبيرتستحق اهتماما خاصا.

بالإضافة إلى قسمة المعادلات المنطقية على عدد المتغيرات المجهولة، يتم تقسيمها أيضًا إلى أعداد صحيحة وكسرية. دعونا نعطي التعريفات المقابلة.

تعريف.

المعادلة العقلانيةمُسَمًّى جميع، إذا كان كلا الجانبين الأيسر والأيمن عبارة عن تعبيرات عقلانية صحيحة.

تعريف.

إذا كان أحد أجزاء المعادلة العقلانية على الأقل التعبير الكسري، فتسمى هذه المعادلة عقلانية جزئيا(أو عقلاني كسري).

من الواضح أن المعادلات الكاملة لا تحتوي على قسمة على متغير، بل على العكس من ذلك، تحتوي المعادلات الكسرية بالضرورة على قسمة على متغير (أو متغير في المقام). إذن 3س+2=0 و (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– هذه معادلات عقلانية كاملة، وكلا جزأينها عبارة عن تعبيرات كاملة. A و x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 أمثلة على المعادلات المنطقية الكسرية.

وفي ختام هذه النقطة، دعونا ننتبه إلى أن المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية المعروفة حتى الآن هي معادلات عقلانية كاملة.

حل المعادلات الكاملة

أحد الأساليب الرئيسية لحل المعادلات بأكملها هو اختزالها إلى معادلات مكافئة المعادلات الجبرية. يمكن القيام بذلك دائمًا عن طريق إجراء التحويلات المكافئة التالية للمعادلة:

أولا، يتم نقل التعبير من الجانب الأيمن من المعادلة الصحيحة الأصلية إلى الجانب الأيسر مع الإشارة المعاكسة للحصول على صفر على الجانب الأيمن؛
بعد ذلك، على الجانب الأيسر من المعادلة النموذج القياسي الناتج.

والنتيجة هي معادلة جبرية تعادل معادلة الأعداد الصحيحة الأصلية. وهكذا، في أبسط الحالات، يتم تقليل حل المعادلات بأكملها إلى حل المعادلات الخطية أو التربيعية، وفي الحالة العامة، إلى حل معادلة جبرية من الدرجة n. من أجل الوضوح، دعونا نلقي نظرة على حل المثال.

مثال.

أوجد جذور المعادلة بأكملها 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

حل.

دعونا نختصر حل هذه المعادلة بأكملها إلى حل معادلة جبرية مكافئة. للقيام بذلك، أولًا، ننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار، ونتيجة لذلك نصل إلى المعادلة 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. وثانيًا، نقوم بتحويل التعبير المتكون على الجانب الأيسر إلى شكل قياسي متعدد الحدود من خلال استكمال ما يلزم: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. وبالتالي، يتم تقليل حل المعادلة الصحيحة الأصلية إلى الحل معادلة من الدرجة الثانيةس 2 −5 x−6=0 .

نحسب المميز د=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49، فهي موجبة، مما يعني أن المعادلة لها جذرين حقيقيين، وهو ما نجده باستخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية:

لنكون متأكدين تماما، دعونا نفعل ذلك التحقق من الجذور الموجودة للمعادلة. أولاً نتحقق من جذر 6، ونستبدله بدلاً من المتغير x في المعادلة الصحيحة الأصلية: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3وهو نفسه 63=63 هذه معادلة عددية صحيحة، وبالتالي فإن x=6 هو بالفعل جذر المعادلة. الآن نتحقق من الجذر −1، لدينا 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3، من حيث، 0=0 . عندما تكون x=−1، تتحول المعادلة الأصلية أيضًا إلى مساواة عددية صحيحة، وبالتالي فإن x=−1 هي أيضًا جذر للمعادلة.

إجابة:

6 , −1 .

وهنا تجدر الإشارة أيضًا إلى أن مصطلح "درجة المعادلة الكاملة" يرتبط بتمثيل المعادلة بأكملها على شكل معادلة جبرية. دعونا نعطي التعريف المقابل:

تعريف.

قوة المعادلة بأكملهاتسمى درجة المعادلة الجبرية المكافئة.

ووفقا لهذا التعريف فإن المعادلة بأكملها من المثال السابق لها الدرجة الثانية.

كان من الممكن أن تكون هذه نهاية حل المعادلات العقلانية بأكملها، إن لم يكن لشيء واحد…. وكما هو معروف فإن حل المعادلات الجبرية ذات الدرجة الأعلى من الثانية يرتبط بصعوبات كبيرة، وبالنسبة للمعادلات الجبرية ذات الدرجة الأعلى من الرابعة لا يوجد الصيغ العامةجذور لذلك، لحل معادلات كاملة من الثالث والرابع وأكثر درجات عاليةفي كثير من الأحيان يتعين عليك اللجوء إلى طرق الحل الأخرى.

في مثل هذه الحالات، يتم اتباع نهج لحل المعادلات العقلانية بأكملها طريقة التخصيم. في هذه الحالة، يتم الالتزام بالخوارزمية التالية:

أولاً، يتأكدون من وجود صفر على الجانب الأيمن من المعادلة، وللقيام بذلك، يقومون بنقل التعبير من الجانب الأيمن من المعادلة بأكملها إلى اليسار؛
بعد ذلك، يتم تقديم التعبير الناتج على الجانب الأيسر كمنتج لعدة عوامل، مما يسمح لنا بالانتقال إلى مجموعة من عدة معادلات أبسط.

تتطلب الخوارزمية المحددة لحل المعادلة بأكملها من خلال التحليل شرحًا تفصيليًا باستخدام مثال.

مثال.

حل المعادلة بأكملها (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 س (س 2 −10 س+13) .

حل.

أولا، كالعادة، ننقل التعبير من الطرف الأيمن إلى الجانب الأيسر من المعادلة، دون أن ننسى تغيير الإشارة، نحصل على (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . من الواضح هنا أنه ليس من المستحسن تحويل الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة إلى كثيرة الحدود من الصورة القياسية، لأن هذا سيعطي معادلة جبرية من الدرجة الرابعة من الصورة س 4 −12 س 3 +32 س 2 −16 س−13=0، والتي يصعب حلها.

من ناحية أخرى، من الواضح أنه على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة يمكننا x 2 −10 x+13 ، وبالتالي تقديمها كمنتج. لدينا (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. المعادلة الناتجة تعادل المعادلة الأصلية بأكملها، ويمكن استبدالها بدورها بمجموعة من معادلتين تربيعيتين x 2 −10·x+13=0 و x 2 −2·x−1=0. إن العثور على جذورها باستخدام صيغ الجذر المعروفة من خلال المميز ليس بالأمر الصعب، فالجذور متساوية. إنها الجذور المطلوبة للمعادلة الأصلية.

إجابة:

مفيد أيضًا في حل المعادلات العقلانية بأكملها طريقة إدخال متغير جديد. في بعض الحالات، يسمح لك بالانتقال إلى المعادلات التي تكون درجتها أقل من درجة المعادلة الأصلية بأكملها.

مثال.

أوجد الجذور الحقيقية للمعادلة العقلانية (س 2 +3 س+1) 2 +10=−2 (س 2 +3 س−4).

حل.

إن تحويل هذه المعادلة العقلانية بأكملها إلى معادلة جبرية ليس فكرة جيدة جدًا، بعبارة ملطفة، لأننا في هذه الحالة سنصل إلى ضرورة حل معادلة من الدرجة الرابعة ليس لها جذور عقلانية. ولذلك، سيكون عليك البحث عن حل آخر.

من السهل هنا أن ترى أنه يمكنك إدخال متغير جديد y واستبدال التعبير x 2 +3·x به. يقودنا هذا الاستبدال إلى المعادلة بأكملها (y+1) 2 +10=−2·(y−4) ، والتي، بعد نقل التعبير −2·(y−4) إلى الجانب الأيسر والتحويل اللاحق للتعبير المتكونة هناك، يتم اختزالها إلى معادلة تربيعية y 2 +4·y+3=0. من السهل العثور على جذور هذه المعادلة y=−1 و y=−3، على سبيل المثال، يمكن اختيارها بناءً على النظرية العكسية لنظرية فييتا.

ننتقل الآن إلى الجزء الثاني من طريقة إدخال متغير جديد، أي إجراء الاستبدال العكسي. بعد إجراء التعويض العكسي، نحصل على معادلتين x 2 +3 x=−1 و x 2 +3 x=−3، والتي يمكن إعادة كتابتها بالشكل x 2 +3 x+1=0 و x 2 +3 x+3 =0 . باستخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية، نجد جذور المعادلة الأولى. والمعادلة التربيعية الثانية ليس لها جذور حقيقية، لأن مميزها سالب (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

إجابة:

بشكل عام، عندما نتعامل مع معادلات كاملة ذات درجات عالية، يجب أن نكون مستعدين دائمًا للبحث عن طريقة غير قياسية أو تقنية مصطنعة لحلها.

حل المعادلات العقلانية الكسرية

أولاً، سيكون من المفيد فهم كيفية حل المعادلات المنطقية الكسرية من الصورة، حيث p(x) وq(x) عبارة عن تعبيرات عقلانية صحيحة. وبعد ذلك سنبين كيفية اختزال حل المعادلات العقلانية الكسرية الأخرى إلى حل المعادلات من النوع المشار إليه.

تعتمد إحدى طرق حل المعادلة على العبارة التالية: الكسر العددي u/v، حيث v هو رقم غير صفري (وإلا فسنواجهه، وهو غير محدد)، يساوي الصفر إذا وفقط إذا كان بسطه هو يساوي الصفر، إذن يكون، إذا وفقط إذا u=0 . وبموجب هذا البيان، يتم تقليل حل المعادلة إلى تحقيق شرطين p(x)=0 و q(x)≠0.

هذا الاستنتاج يتوافق مع ما يلي خوارزمية لحل معادلة عقلانية كسرية. لحل معادلة عقلانية كسرية من النموذج، تحتاج

حل المعادلة العقلانية بأكملها p(x)=0 ;
وتحقق مما إذا كان الشرط q(x)≠0 مستوفيًا لكل جذر تم العثور عليه، بينما

إذا كان صحيحا، فإن هذا الجذر هو جذر المعادلة الأصلية؛
إذا لم يتم استيفاءه، فهذا الجذر دخيل، أي أنه ليس جذر المعادلة الأصلية.

دعونا نلقي نظرة على مثال لاستخدام الخوارزمية المعلنة عند حل معادلة عقلانية كسرية.

مثال.

أوجد جذور المعادلة.

حل.

هذه معادلة عقلانية كسرية، وبالصيغة حيث p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

وفقًا لخوارزمية حل المعادلات الكسرية من هذا النوع، نحتاج أولاً إلى حل المعادلة 3 x−2=0. هذه معادلة خطية جذرها x=2/3.

يبقى التحقق من هذا الجذر، أي التحقق مما إذا كان يلبي الشرط 5 x 2 −2≠0. نعوض بالرقم 2/3 في التعبير 5 x 2 −2 بدلاً من x ونحصل على . تم استيفاء الشرط، لذا فإن x=2/3 هو جذر المعادلة الأصلية.

إجابة:

2/3 .

يمكنك الاقتراب من حل معادلة عقلانية كسرية من موضع مختلف قليلاً. هذه المعادلة تعادل المعادلة الصحيحة p(x)=0 على المتغير x للمعادلة الأصلية. أي أنه يمكنك الالتزام بهذا خوارزمية لحل معادلة عقلانية كسرية :

حل المعادلة p(x)=0 ;
العثور على ODZ للمتغير x؛
تأخذ جذورًا تنتمي إلى منطقة القيم المقبولة - فهي الجذور المطلوبة للمعادلة العقلانية الكسرية الأصلية.

على سبيل المثال، دعونا نحل معادلة كسرية باستخدام هذه الخوارزمية.

مثال.

حل المعادلة.

حل.

أولاً، نحل المعادلة التربيعية x 2 −2·x−11=0. ويمكن حساب جذورها باستخدام صيغة الجذر للمعامل الزوجي الثاني الذي لدينا د 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12، و .

ثانيا، نجد ODZ للمتغير x للمعادلة الأصلية. يتكون من جميع الأرقام التي x 2 +3·x≠0، وهي نفس x·(x+3)≠0، حيث x≠0، x≠−3.

يبقى التحقق مما إذا كانت الجذور الموجودة في الخطوة الأولى مدرجة في ODZ. بالطبع نعم. ومن ثم، فإن المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية لها جذرين.

إجابة:

لاحظ أن هذا النهج أكثر ربحية من الأول إذا كان من السهل العثور على ODZ، وهو مفيد بشكل خاص إذا كانت جذور المعادلة p(x) = 0 غير منطقية، على سبيل المثال، أو عقلانية، ولكن مع بسط كبير إلى حد ما و / أو المقام، على سبيل المثال، 127/1101 و-31/59. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في مثل هذه الحالات، سيتطلب التحقق من الشرط q(x)≠0 جهدًا حسابيًا كبيرًا، ومن الأسهل استبعاد الجذور الدخيلة باستخدام ODZ.

في حالات أخرى، عند حل المعادلة، خاصة عندما تكون جذور المعادلة p(x) = 0 أعدادًا صحيحة، يكون من المربح أكثر استخدام الخوارزمية الأولى من الخوارزميات المحددة. أي أنه من المستحسن العثور على الفور على جذور المعادلة بأكملها p(x)=0، ثم التحقق مما إذا كان الشرط q(x)≠0 مستوفيًا لهم، بدلاً من العثور على ODZ، ثم حل المعادلة p(x)=0 على ODZ هذا. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في مثل هذه الحالات يكون التحقق أسهل عادةً من العثور على DZ.

دعونا نفكر في حل مثالين لتوضيح الفروق الدقيقة المحددة.

مثال.

أوجد جذور المعادلة.

حل.

أولا، دعونا نجد جذور المعادلة بأكملها (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0، مؤلفة باستخدام بسط الكسر. الجهه اليسرىهذه المعادلة هي منتج، واليد اليمنى صفر، لذلك، وفقًا لطريقة حل المعادلات من خلال التحليل، فإن هذه المعادلة تعادل مجموعة من أربع معادلات 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . ثلاث من هذه المعادلات خطية وواحدة تربيعية، ويمكننا حلها. من المعادلة الأولى نجد x=1/2، من الثانية - x=6، من الثالثة - x=7، x=−2، من الرابعة - x=−1.

من خلال العثور على الجذور، من السهل جدًا التحقق مما إذا كان مقام الكسر الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية يختفي، ولكن تحديد ODZ، على العكس من ذلك، ليس بهذه البساطة، لأنه سيتعين عليك حل مسألة معادلة جبرية من الدرجة الخامسة. ولذلك، فإننا سوف نتخلى عن العثور على ODZ لصالح التحقق من الجذور. للقيام بذلك، نستبدلهم واحدًا تلو الآخر بدلاً من المتغير x في التعبير س 5 −15 س 4 +57 س 3 −13 س 2 +26 س+112، تم الحصول عليها بعد الاستبدال، وقارنها بالصفر: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

وبالتالي، 1/2، 6 و-2 هي الجذور المطلوبة للمعادلة الكسرية الأصلية، و7 و-1 هي جذور خارجية.

إجابة:

1/2 , 6 , −2 .

مثال.

أوجد جذور المعادلة العقلانية الكسرية.

حل.

أولا، دعونا نجد جذور المعادلة (5 × 2 −7 x−1) (x−2)=0. هذه المعادلة تعادل مجموعة من المعادلتين: المربع 5 × 2 −7 x−1=0 والخطي x−2=0. باستخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية نجد جذرين، ومن المعادلة الثانية نحصل على x=2.

التحقق مما إذا كان المقام يذهب إلى الصفر عند القيم الموجودة لـ x أمر مزعج للغاية. وتحديد نطاق القيم المسموح بها للمتغير x في المعادلة الأصلية أمر بسيط للغاية. ولذلك، سوف نعمل من خلال ODZ.

في حالتنا، يتكون ODZ للمتغير x للمعادلة العقلانية الكسرية الأصلية من جميع الأرقام باستثناء تلك التي يكون الشرط x 2 +5·x−14=0 مستوفيًا لها. جذور هذه المعادلة التربيعية هي x=−7 و x=2، والتي نستخلص منها نتيجة حول ODZ: فهي تتكون من كل x بحيث .

يبقى التحقق مما إذا كانت الجذور التي تم العثور عليها و x=2 تنتمي إلى نطاق القيم المقبولة. الجذور تنتمي، وبالتالي، هي جذور للمعادلة الأصلية، و x=2 لا تنتمي، وبالتالي، فهي جذر خارجي.

إجابة:

سيكون من المفيد أيضًا التطرق بشكل منفصل إلى الحالات التي يكون فيها رقم في البسط في معادلة عقلانية كسرية من النموذج، أي عندما يتم تمثيل p(x) برقم ما. حيث

إذا كان هذا الرقم غير الصفر، فإن المعادلة ليس لها جذور، لأن الكسر يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان بسطه يساوي صفرًا؛
إذا كان هذا الرقم هو صفر، فإن جذر المعادلة هو أي رقم من ODZ.

مثال.

حل.

نظرًا لأن بسط الكسر الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة يحتوي على رقم غير صفري، فلا يمكن أن تكون قيمة هذا الكسر مساوية للصفر لأي x. وبالتالي، هذه المعادلة ليس لها جذور.

إجابة:

لا جذور.

مثال.

حل المعادلة.

حل.

يحتوي بسط الكسر الموجود على الجانب الأيسر من هذه المعادلة الكسرية على صفر، وبالتالي فإن قيمة هذا الكسر هي صفر لأي x يكون لها معنى. بمعنى آخر، حل هذه المعادلة هو أي قيمة x من ODZ لهذا المتغير.

يبقى تحديد هذا النطاق من القيم المقبولة. ويشمل جميع قيم x التي x 4 +5 x 3 ≠0. حلول المعادلة x 4 +5 x 3 =0 هي 0 و −5، حيث أن هذه المعادلة تعادل المعادلة x 3 (x+5)=0، وهي بدورها تعادل الجمع بين المعادلتين x 3 =0 و x +5=0، حيث تظهر هذه الجذور. ولذلك، فإن النطاق المطلوب للقيم المقبولة هو أي x باستثناء x=0 وx=−5.

وبالتالي، فإن المعادلة الكسرية لها عدد لا نهائي من الحلول، وهي جميع الأعداد ما عدا صفر وسالب خمسة.

إجابة:

أخيرًا، حان الوقت للحديث عن حل المعادلات العقلانية الكسرية ذات الشكل التعسفي. يمكن كتابتها بالصورة r(x)=s(x)، حيث r(x) وs(x) عبارة عن تعبيرات عقلانية، وواحد منها على الأقل كسري. وبالنظر إلى المستقبل، لنفترض أن حلهم يتلخص في حل معادلات بالشكل المألوف لنا بالفعل.

ومن المعروف أن نقل حد من جزء من المعادلة إلى آخر بالإشارة المعاكسة يؤدي إلى معادلة مكافئة، وبالتالي فإن المعادلة r(x)=s(x) تعادل المعادلة r(x)−s(x )=0.

ونعلم أيضًا أن أي شيء يساوي هذا التعبير ممكنًا. وبالتالي، يمكننا دائمًا تحويل التعبير الكسرى الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة r(x)−s(x)=0 إلى جزء عقلاني متساوٍ تمامًا من النموذج.

لذلك ننتقل من المعادلة الكسرية الأصلية r(x)=s(x) إلى المعادلة، وحلها كما اكتشفنا أعلاه يختصر إلى حل المعادلة p(x)=0.

ولكن هنا من الضروري أن نأخذ في الاعتبار حقيقة أنه عند استبدال r(x)−s(x)=0 بـ ثم بـ p(x)=0، قد يتوسع نطاق القيم المسموح بها للمتغير x .

وبالتالي، فإن المعادلة الأصلية r(x)=s(x) والمعادلة p(x)=0 التي وصلنا إليها قد يتبين أنهما غير متساويتين، وبحل المعادلة p(x)=0، يمكننا الحصول على جذور ستكون جذورًا خارجية للمعادلة الأصلية r(x)=s(x) . يمكنك تحديد الجذور الدخيلة وعدم تضمينها في الإجابة إما عن طريق إجراء فحص أو عن طريق التحقق من أنها تنتمي إلى ODZ للمعادلة الأصلية.

دعونا نلخص هذه المعلومات في خوارزمية لحل المعادلة الكسرية r(x)=s(x). لحل المعادلة الكسرية r(x)=s(x) ، تحتاج

احصل على صفر على اليمين عن طريق تحريك التعبير من الجانب الأيمن بالإشارة المعاكسة.
قم بإجراء العمليات على الكسور ومتعددات الحدود على الجانب الأيسر من المعادلة، وبالتالي تحويلها إلى كسر منطقي من النموذج.
حل المعادلة ع(س)=0.
تحديد وإزالة الجذور الدخيلة، ويتم ذلك عن طريق استبدالها في المعادلة الأصلية أو عن طريق التحقق من انتمائها إلى ODZ للمعادلة الأصلية.

ولمزيد من الوضوح، سنعرض السلسلة الكاملة لحل المعادلات العقلانية الكسرية:
.

دعونا نلقي نظرة على حلول عدة أمثلة مع شرح تفصيلي لعملية الحل من أجل توضيح كتلة المعلومات المحددة.

مثال.

حل معادلة عقلانية كسرية.

حل.

سنتصرف وفقًا لخوارزمية الحل التي تم الحصول عليها للتو. وننقل أولًا الحدود من الجانب الأيمن للمعادلة إلى اليسار، ونتيجة لذلك ننتقل إلى المعادلة.

في الخطوة الثانية، علينا تحويل التعبير الكسري الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة إلى صورة كسر. للقيام بذلك، نقوم بإجراء المدلى بها الكسور العقلانيةإلى قاسم مشترك وتبسيط التعبير الناتج: . لذلك نأتي إلى المعادلة.

في الخطوة التالية، علينا حل المعادلة −2·x−1=0. نجد س=−1/2.

يبقى التحقق مما إذا كان الرقم الذي تم العثور عليه −1/2 ليس جذرًا خارجيًا للمعادلة الأصلية. للقيام بذلك، يمكنك التحقق من أو إيجاد قيمة VA للمتغير x في المعادلة الأصلية. دعونا نوضح كلا النهجين.

لنبدأ بالفحص. نعوض بالرقم −1/2 في المعادلة الأصلية بدلاً من المتغير x، ونحصل على نفس الشيء، −1=−1. يعطي الاستبدال المساواة العددية الصحيحة، لذا فإن x=−1/2 هو جذر المعادلة الأصلية.

سنوضح الآن كيفية تنفيذ النقطة الأخيرة من الخوارزمية من خلال ODZ. نطاق القيم المسموح بها للمعادلة الأصلية هو مجموعة جميع الأرقام باستثناء −1 و 0 (عند x=−1 و x=0 تختفي مقامات الكسور). ينتمي الجذر x=−1/2 الموجود في الخطوة السابقة إلى ODZ، وبالتالي فإن x=−1/2 هو جذر المعادلة الأصلية.

إجابة:

−1/2 .

دعونا ننظر إلى مثال آخر.

مثال.

أوجد جذور المعادلة.

حل.

نحن بحاجة إلى حل معادلة عقلانية كسرية، فلنستعرض جميع خطوات الخوارزمية.

أولا، ننقل المصطلح من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر، فنحصل على .

ثانياً، نقوم بتحويل التعبير المتكون على الجانب الأيسر: . ونتيجة لذلك نصل إلى المعادلة س=0.

جذره واضح - صفر.

في الخطوة الرابعة، يبقى معرفة ما إذا كان الجذر الموجود خارجًا عن المعادلة الكسرية الأصلية. عندما يتم استبداله في المعادلة الأصلية، يتم الحصول على التعبير. من الواضح أن هذا غير منطقي لأنه يحتوي على القسمة على صفر. ومن هنا نستنتج أن 0 هو جذر خارجي. ومن ثم، فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.

7، الأمر الذي يؤدي إلى مكافئ. من هذا يمكننا أن نستنتج أن التعبير الموجود في مقام الطرف الأيسر يجب أن يكون مساويًا لمقام الطرف الأيمن، أي . الآن نطرح من طرفي الثلاثي : . قياسا، من أين، وأكثر من ذلك.

يوضح الفحص أن كلا الجذرين الموجودين هما جذور المعادلة الكسرية الأصلية.

إجابة:

فهرس.

الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف 8. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
الجبر:الصف التاسع: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2009. - 271 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-021134-5.