نمونه هایی از توابع نمایی تابع نمایی، خواص و نمودار آن - هایپر مارکت دانش

تمرکز توجه:

تعریف. تابع گونه نامیده می شود تابع نمایی .

اظهار نظر. حذف از مقادیر پایه آاعداد 0; 1 و مقادیر منفی آبا شرایط زیر توضیح داده می شود:

خود بیان تحلیلی تبردر این موارد معنای خود را حفظ می کند و می تواند در حل مشکلات استفاده شود. مثلاً برای بیان x yنقطه x = 1; y = 1 وارد منطقه می شود ارزش های قابل قبول.

ساخت نمودار توابع: و.



نمودار یک تابع نمایی
y =آ ایکس، a > 1	y =آ ایکس , 0< a < 1

ویژگی های تابع نمایی

ویژگی های تابع نمایی	y =آ ایکس، a > 1	y =آ ایکس , 0< a < 1
دامنه تابع
2. محدوده عملکرد
3. فواصل مقایسه با واحد	در ایکس> 0، a ایکس > 1	در ایکس > 0, 0< a ایکس < 1
	در ایکس < 0, 0< a ایکس < 1	در ایکس < 0, a ایکس > 1
4. زوج، فرد.	تابع نه زوج است و نه فرد (یک تابع از شکل کلی).
5. یکنواختی.	یکنواخت افزایش می یابد آر	به صورت یکنواخت کاهش می یابد آر
6. افراط.	تابع نماییهیچ افراطی ندارد
7. مجانبی	محور O ایکسمجانبی افقی است.
8. برای هر ارزش واقعی ایکسو y;

وقتی جدول پر می شود، وظایف به موازات پر شدن حل می شوند.

کار شماره 1. (برای یافتن دامنه تعریف یک تابع).

چه مقادیر آرگومان برای توابع معتبر است:

کار شماره 2. (برای یافتن محدوده مقادیر یک تابع).

شکل نمودار تابع را نشان می دهد. دامنه تعریف و محدوده مقادیر تابع را مشخص کنید:

کار شماره 3. (برای نشان دادن فواصل مقایسه با یک).

هر یک از توان های زیر را با یکی مقایسه کنید:

کار شماره 4. (بررسی تابع برای یکنواختی).

اعداد واقعی را با اندازه مقایسه کنید مترو nاگر:

کار شماره 5. (بررسی تابع برای یکنواختی).

در مورد مبنای نتیجه گیری کنید آ، اگر:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x

نمودارهای توابع نمایی نسبت به یکدیگر برای x > 0، x = 0، x چگونه هستند< 0?

نمودارهای تابع زیر در یک صفحه مختصات رسم می شوند:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x.

نمودارهای توابع نمایی نسبت به یکدیگر برای x > 0، x = 0، x چگونه هستند< 0?

عدد یکی از مهم ترین ثابت ها در ریاضیات. طبق تعریف، آن است برابر با حد توالی با نامحدود افزایش n . تعیین هوارد شد لئونارد اویلر در سال 1736. او 23 رقم اول این عدد را به صورت اعشاری محاسبه کرد و خود عدد به افتخار ناپیر "عدد غیر پیر" نامگذاری شد.

عدد هنقش ویژه ای در تحلیل ریاضی دارد. تابع نمایی با پایه ه, توان نامیده می شود و تعیین شده است y = e x.

اولین نشانه ها شماره هآسان به خاطر سپردن: دو، کاما، هفت، سال تولد لئو تولستوی - دو بار، چهل و پنج، نود، چهل و پنج.

مشق شب:

کلموگروف بند 35; شماره 445-447; 451; 453.

الگوریتم ساخت نمودار توابع حاوی یک متغیر را در زیر علامت مدول تکرار کنید.

حل اکثر مسائل ریاضی به یک روش یا روش دیگر شامل تبدیل عبارات عددی، جبری یا تابعی است. موارد فوق به ویژه در مورد تصمیم اعمال می شود. در نسخه های آزمون دولتی واحد در ریاضیات، این نوع مسئله به ویژه شامل وظیفه C3 است. یادگیری حل وظایف C3 نه تنها برای موفقیت مهم است قبولی در آزمون دولتی یکپارچه، بلکه به این دلیل که این مهارت هنگام مطالعه یک درس ریاضی در دبیرستان مفید خواهد بود.

هنگام تکمیل وظایف C3، باید تصمیم بگیرید انواع مختلفمعادلات و نابرابری ها از جمله آنها می توان به منطقی، غیر منطقی، نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، شامل ماژول های (مقادیر مطلق) و همچنین ترکیبی اشاره کرد. این مقاله انواع اصلی معادلات و نابرابری های نمایی و همچنین روش های مختلفتصمیمات آنها در مورد حل انواع دیگر معادلات و نابرابری ها در بخش "" در مقالات اختصاص داده شده به روش های حل مسائل C3 از گزینه های آزمون دولتی یکپارچهریاضیات

قبل از شروع به تجزیه و تحلیل خاص معادلات و نابرابری های نمایی، به عنوان یک معلم ریاضی، پیشنهاد می کنم برخی از آنها را بررسی کنید مطالب نظری، که به آن نیاز خواهیم داشت.

تابع نمایی

تابع نمایی چیست؟

عملکرد فرم y = تبر، جایی که آ> 0 و آ≠ 1 نامیده می شود تابع نمایی.

پایه ای ویژگی های تابع نمایی y = تبر:

نمودار یک تابع نمایی

نمودار تابع نمایی است توان:

نمودار توابع نمایی (شارها)

حل معادلات نمایی

نشان دهندهمعادلاتی نامیده می شوند که در آنها متغیر مجهول فقط در توان های برخی توان ها یافت می شود.

برای راه حل ها معادلات نماییشما باید قضیه ساده زیر را بدانید و بتوانید از آن استفاده کنید:

قضیه 1.معادله نمایی آ f(ایکس) = آ g(ایکس) (جایی که آ > 0, آ≠ 1) معادل معادله است f(ایکس) = g(ایکس).

علاوه بر این، به خاطر سپردن فرمول ها و عملیات اصلی با درجه مفید است:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

مثال 1.معادله را حل کنید:

راه حل:ما از فرمول های بالا و جایگزینی استفاده می کنیم:

سپس معادله تبدیل می شود:

ممیز از دریافتی معادله درجه دوممثبت:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

یعنی این معادله دو ریشه دارد. ما آنها را پیدا می کنیم:

با حرکت به سمت تعویض معکوس، دریافت می کنیم:

معادله دوم ریشه ندارد، زیرا تابع نمایی در کل دامنه تعریف کاملاً مثبت است. بیایید مورد دوم را حل کنیم:

با در نظر گرفتن آنچه در قضیه 1 گفته شد، به معادله معادل می رویم: ایکس= 3. این پاسخ کار خواهد بود.

پاسخ: ایکس = 3.

مثال 2.معادله را حل کنید:

راه حل:معادله هیچ محدودیتی در محدوده مقادیر مجاز ندارد، زیرا عبارت رادیکال برای هر مقداری معنا دارد. ایکس(تابع نمایی y = 9 4 -ایکسمثبت و مساوی صفر نیست).

معادله را با تبدیل های معادل با استفاده از قوانین ضرب و تقسیم توان ها حل می کنیم:

آخرین انتقال مطابق با قضیه 1 انجام شد.

پاسخ:ایکس= 6.

مثال 3.معادله را حل کنید:

راه حل:هر دو طرف معادله اصلی را می توان بر 0.2 تقسیم کرد ایکس. این انتقال معادل خواهد بود، زیرا این عبارت برای هر مقداری بزرگتر از صفر است ایکس(تابع نمایی در حوزه تعریف خود کاملاً مثبت است). سپس معادله به شکل زیر در می آید:

پاسخ: ایکس = 0.

مثال 4.معادله را حل کنید:

راه حل:ما با استفاده از قوانین تقسیم و ضرب توان ها که در ابتدای مقاله آورده شده است، معادله را به یک معادله ابتدایی با استفاده از تبدیل های معادل ساده می کنیم:

تقسیم دو طرف معادله بر 4 ایکسمانند مثال قبلی، تبدیلی معادل است، زیرا این عبارت برای هیچ مقداری برابر با صفر نیست. ایکس.

پاسخ: ایکس = 0.

مثال 5.معادله را حل کنید:

راه حل:تابع y = 3ایکس، ایستاده در سمت چپ معادله، در حال افزایش است. تابع y = —ایکس 2/3- در سمت راست معادله در حال کاهش است. به این معنی که اگر نمودارهای این توابع با هم تلاقی کنند، حداکثر یک نقطه. در این مورد، به راحتی می توان حدس زد که نمودارها در نقطه تلاقی می کنند ایکس= -1. هیچ ریشه دیگری وجود نخواهد داشت.

پاسخ: ایکس = -1.

مثال 6.معادله را حل کنید:

راه حل:ما معادله را با استفاده از تبدیل‌های معادل ساده می‌کنیم و در همه جا در نظر داریم که تابع نمایی برای هر مقداری به شدت بزرگ‌تر از صفر است. ایکسو با استفاده از قواعد محاسبه حاصلضرب و ضریب توان ها در ابتدای مقاله:

پاسخ: ایکس = 2.

حل نابرابری های نمایی

نشان دهندهنابرابری هایی نامیده می شوند که در آنها متغیر مجهول فقط در نماهای برخی از توان ها وجود دارد.

برای راه حل ها نابرابری های نماییدانستن قضیه زیر الزامی است:

قضیه 2.اگر آ> 1، سپس نابرابری آ f(ایکس) > آ g(ایکس) معادل نابرابری به همین معنی است: f(ایکس) > g(ایکس). اگر 0< آ < 1, то نابرابری نمایی آ f(ایکس) > آ g(ایکس) معادل نابرابری به معنای مخالف است: f(ایکس) < g(ایکس).

مثال 7.حل نابرابری:

راه حل:بیایید نابرابری اصلی را به شکل زیر ارائه کنیم:

بیایید هر دو طرف این نابرابری را بر 3 2 تقسیم کنیم ایکس، در این حالت (به دلیل مثبت بودن تابع y= 3 2ایکس) علامت نابرابری تغییر نمی کند:

بیایید از جایگزین استفاده کنیم:

سپس نابرابری به شکل زیر در می آید:

بنابراین، راه حل نابرابری بازه است:

با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، دریافت می کنیم:

با توجه به مثبت بودن تابع نمایی، نابرابری سمت چپ به طور خودکار برآورده می شود. با استفاده از خاصیت شناخته شده لگاریتم، به نابرابری معادل می رویم:

از آنجایی که پایه درجه یک عدد بزرگتر از یک است، معادل (با قضیه 2) انتقال به نابرابری زیر است:

بنابراین، ما در نهایت دریافت می کنیم پاسخ:

مثال 8.حل نابرابری:

راه حل:با استفاده از خواص ضرب و تقسیم توان ها، نابرابری را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم:

با در نظر گرفتن این جایگزینی، نابرابری به شکل زیر در می آید:

با ضرب صورت و مخرج کسر در 7، نابرابری معادل زیر را بدست می آوریم:

بنابراین، مقادیر زیر متغیر نابرابری را برآورده می کند تی:

سپس، با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، دریافت می کنیم:

از آنجایی که پایه درجه در اینجا بزرگتر از یک است، انتقال به نابرابری معادل خواهد بود (توسط قضیه 2):

بالاخره می رسیم پاسخ:

مثال 9.حل نابرابری:

راه حل:

هر دو طرف نابرابری را با عبارت زیر تقسیم می کنیم:

همیشه بزرگتر از صفر است (به دلیل مثبت بودن تابع نمایی) بنابراین نیازی به تغییر علامت نابرابری نیست. ما گرفتیم:

t واقع در بازه:

با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، متوجه می شویم که نابرابری اصلی به دو حالت تقسیم می شود:

نابرابری اول به دلیل مثبت بودن تابع نمایی راه حلی ندارد. بیایید مورد دوم را حل کنیم:

مثال 10.حل نابرابری:

راه حل:

شاخه های سهمی y = 2ایکس+2-ایکس 2 به سمت پایین هدایت می شوند، بنابراین از بالا با مقداری که در راس خود به آن می رسد محدود می شود:

شاخه های سهمی y = ایکس 2 -2ایکس 2+ در اندیکاتور به سمت بالا هدایت می شوند، به این معنی که از پایین با مقداری که در راس خود می رسد محدود می شود:

در همان زمان، تابع نیز از پایین محدود شده است y = 3 ایکس 2 -2ایکس+2 که در سمت راست معادله است. او به هدف خود می رسد کمترین مقداردر همان نقطه سهمی در توان، و این مقدار برابر با 3 1 = 3 است. بنابراین، نابرابری اصلی تنها زمانی می تواند صادق باشد که تابع سمت چپ و تابع سمت راست مقداری برابر با 3 بگیرند. در همان نقطه (توسط تقاطع محدوده مقادیر این توابع فقط این عدد است). این شرط در یک نقطه برآورده می شود ایکس = 1.

پاسخ: ایکس= 1.

برای اینکه یاد بگیریم تصمیم بگیریم معادلات نماییو نابرابری هابرای حل آنها باید مدام آموزش داد. وسایل کمک آموزشی مختلف، کتاب های مسئله ریاضیات ابتدایی، مجموعه مسائل رقابتی، کلاس های ریاضی در مدرسه و همچنین درس های انفرادی با مربی حرفه ای می توانند در این کار دشوار به شما کمک کنند. از صمیم قلب برای شما آرزوی موفقیت در آمادگی و نتایج عالی در آزمون دارم.

سرگئی والریویچ

P.S. مهمانان عزیز! لطفا درخواست حل معادلات خود را در نظرات ننویسید. متأسفانه من مطلقاً برای این کار وقت ندارم. چنین پیام حذف خواهد شد. لطفا مقاله را بخوانید. شاید در آن پاسخ به سؤالاتی پیدا کنید که به شما اجازه نمی دهد کار خود را به تنهایی حل کنید.

هایپر مارکت دانش >>ریاضی >>ریاضی پایه دهم >>

تابع نمایی، خواص و نمودار آن

بیایید عبارت 2x را در نظر بگیریم و مقادیر آن را برای مقادیر مختلف منطقی متغیر x پیدا کنیم، به عنوان مثال، برای x = 2.

به طور کلی، مهم نیست که چه معنای منطقی را به متغیر x نسبت می دهیم، همیشه می توانیم مقدار عددی متناظر عبارت 2 x را محاسبه کنیم. بنابراین، ما می توانیم در مورد نمایی صحبت کنیم کارکرد y=2 x، بر روی مجموعه Q از اعداد گویا تعریف شده است:

بیایید به برخی از ویژگی های این تابع نگاه کنیم.

ملک 1.- افزایش عملکرد ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم.
مرحله اول.اجازه دهید ثابت کنیم که اگر r مثبت است عدد گویا، سپس 2 r > 1.
دو حالت ممکن است: 1) r یک عدد طبیعی است، r = n; 2) غیر قابل کاهش معمولی کسر,

در سمت چپ آخرین نابرابری داریم و در سمت راست 1. این بدان معناست که آخرین نابرابری را می توان به شکل بازنویسی کرد.

بنابراین، در هر صورت، نابرابری 2 r > 1 برقرار است، این همان چیزی است که باید ثابت شود.

فاز دوم.بگذارید x 1 و x 2 اعداد باشند و x 1 و x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(تفاوت x 2 - x 1 را با حرف r نشان دادیم).

از آنجایی که r یک عدد گویا مثبت است، پس با آنچه در مرحله اول ثابت شد، 2 r > 1، یعنی. 2 r -1 > 0. عدد 2x" نیز مثبت است، به این معنی که حاصلضرب 2 x-1 (2 Г -1) نیز مثبت است. بنابراین ما ثابت کردیم که نابرابری 2 Xg -2x" > 0.

بنابراین، از نابرابری x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

ملک 2.محدود از پایین و نه محدود از بالا.
مرزبندی تابع از زیر از نابرابری 2 x > 0 حاصل می شود که برای هر مقدار x از دامنه تعریف تابع معتبر است. در عین حال، هر چه باشد عدد مثبتمهم نیست که چه چیزی، شما همیشه می توانید یک توان x را طوری انتخاب کنید که نابرابری 2 x >M برآورده شود - که مشخص کننده نامحدود بودن تابع از بالا است. اجازه دهید تعدادی مثال بزنیم.

ملک 3.نه کوچکترین و نه بزرگترین ارزش را دارد.

بدیهی است که این تابع از بیشترین اهمیت برخوردار نیست، زیرا همانطور که قبلاً دیدیم، در بالا محدود نشده است. اما از پایین محدود شده است، چرا حداقل مقدار ندارد؟

فرض کنید 2 r کوچکترین مقدار تابع است (r مقداری است شاخص منطقی). بیایید یک عدد گویا q را در نظر بگیریم<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

همه اینها خوب است، شما می گویید، اما چرا تابع y-2 x را فقط روی مجموعه اعداد گویا در نظر می گیریم، چرا آن را مانند سایر توابع شناخته شده در کل خط اعداد یا در برخی بازه های پیوسته در نظر نمی گیریم. خط شماره؟ چه چیزی ما را متوقف می کند؟ بیایید به وضعیت فکر کنیم.

خط اعداد نه تنها شامل اعداد گویا، بلکه غیر منطقی نیز می شود. برای توابع مورد مطالعه قبلی، این ما را اذیت نکرد. به عنوان مثال، ما مقادیر تابع y = x2 را برای مقادیر منطقی و غیرمنطقی x به یک اندازه به راحتی پیدا کردیم: کافی بود مقدار داده شده x را مربع کنیم.

اما با تابع y=2 x وضعیت پیچیده تر است. اگر به آرگومان x معنای منطقی داده شود، در اصل x را می توان محاسبه کرد (دوباره به ابتدای پاراگراف برگردید، جایی که دقیقاً این کار را انجام دادیم). اگر به آرگومان x معنای غیر منطقی داده شود چه؟ مثلا چگونه محاسبه کنیم؟ ما هنوز این را نمی دانیم.
ریاضیدانان راهی برای خروج پیدا کرده اند. آنها اینگونه استدلال کردند.

مشخص است که دنباله ای از اعداد گویا را در نظر بگیرید - تقریب اعشاری از یک عدد بر اساس نقطه ضعف:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

واضح است که 1.732 = 1.7320 و 1.732050 = 1.73205. برای جلوگیری از چنین تکراری، آن دسته از اعضای دنباله ای را که به عدد 0 ختم می شوند، کنار می گذاریم.

سپس یک دنباله افزایشی بدست می آوریم:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

بر این اساس، توالی افزایش می یابد

تمام عبارات این دنباله اعداد مثبت کمتر از 22 هستند، یعنی. این دنباله محدود است با توجه به قضیه وایرشتراس (نگاه کنید به § 30)، اگر دنباله ای در حال افزایش و محدود باشد، آنگاه همگرا می شود. علاوه بر این، از § 30 می دانیم که اگر دنباله ای همگرا شود، این کار را فقط تا یک حد انجام می دهد. توافق شد که این محدودیت واحد باید مقدار یک عبارت عددی در نظر گرفته شود. و مهم نیست که یافتن مقدار تقریبی عبارت عددی 2 بسیار دشوار است. مهم است که این یک عدد خاص باشد (بالاخره، ما ترسی نداشتیم که بگوییم، به عنوان مثال، این ریشه یک معادله منطقی است، ریشه یک معادله مثلثاتی، بدون اینکه واقعاً به این اعداد فکر کنید:
بنابراین، ما متوجه شدیم که ریاضیدانان چه معنایی را در نماد 2^ قرار می دهند. به طور مشابه، می توانید تعیین کنید که a چیست و به طور کلی چیست، a یک عدد غیر منطقی و a > 1 است.
اما اگر 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
اکنون می‌توان نه تنها در مورد قدرت‌هایی با شارح‌های عقلانی دلخواه، بلکه در مورد قدرت‌هایی با شارحان واقعی دلخواه صحبت کرد. ثابت شده است که درجه هایی با هر توان واقعی دارای تمام ویژگی های معمول درجه هستند: هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، توان ها جمع می شوند، هنگام تقسیم، آنها کم می شوند، زمانی که یک درجه را به توان می بریم، ضرب می شوند. و غیره. اما مهمترین چیز این است که اکنون می توانیم در مورد تابع y-ax تعریف شده در مجموعه همه اعداد واقعی صحبت کنیم.
بیایید به تابع y = 2 x برگردیم و نمودار آن را بسازیم. برای انجام این کار، بیایید جدولی از مقادیر تابع y=2x ایجاد کنیم:

بیایید نقاط روی صفحه مختصات را علامت گذاری کنیم (شکل 194)، آنها یک خط مشخص را مشخص می کنند، بیایید آن را رسم کنیم (شکل 195).

ویژگی های تابع y - 2 x:
1)
2) نه زوج است و نه فرد. 248
3) افزایش می یابد؛

5) نه بزرگترین و نه کوچکترین مقادیر را دارد.
6) پیوسته؛
7)
8) محدب رو به پایین.

اثبات دقیق ویژگی های فهرست شده تابع y-2 x در درس ریاضیات عالی ارائه شده است. برخی از این ویژگی ها را قبلاً به یک درجه یا دیگری مورد بحث قرار دادیم، برخی از آنها به وضوح توسط نمودار ساخته شده نشان داده شده اند (شکل 195 را ببینید). به عنوان مثال، عدم برابری یا عجیب بودن یک تابع از نظر هندسی با عدم تقارن نمودار به ترتیب نسبت به محور y یا نسبت به مبدا مرتبط است.

هر تابعی به شکل y = a x، که در آن a > 1، خواص مشابهی دارد. در شکل 196 در یک سیستم مختصات ساخته شد، نمودارهای توابع y=2 x، y=3 x، y=5 x.

حالا بیایید تابع را در نظر بگیریم و جدولی از مقادیر برای آن ایجاد کنیم:

بیایید نقاط روی صفحه مختصات را علامت گذاری کنیم (شکل 197)، آنها یک خط مشخص را مشخص می کنند، بیایید آن را رسم کنیم (شکل 198).

ویژگی های عملکرد

1)
2) نه زوج است و نه فرد.
3) کاهش می یابد؛
4) از بالا محدود نمی شود، از پایین محدود می شود.
5) نه بزرگترین و نه کوچکترین مقدار وجود دارد.
6) پیوسته؛
7)
8) محدب رو به پایین.
هر تابعی به شکل y = a x خواص مشابهی دارد، جایی که O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
لطفا توجه داشته باشید: نمودارهای تابع آن ها y=2 x، متقارن حول محور y (شکل 201). این نتیجه عبارت کلی است (نگاه کنید به § 13): نمودارهای توابع y = f(x) و y = f(-x) در مورد محور y متقارن هستند. به طور مشابه، نمودارهای توابع y = 3 x and

برای خلاصه کردن آنچه گفته شد، تعریفی از تابع نمایی ارائه می دهیم و مهمترین ویژگی های آن را برجسته می کنیم.

تعریف.تابعی از فرم را تابع نمایی می نامند.
ویژگی های اصلی تابع نمایی y = a x

نمودار تابع y=a x برای a> 1 در شکل نشان داده شده است. 201 و برای 0<а < 1 - на рис. 202.

منحنی نشان داده شده در شکل. 201 یا 202 توان نامیده می شود. در واقع، ریاضیدانان معمولاً خود تابع نمایی را y = a x می نامند. بنابراین اصطلاح «نما» به دو معنا به کار می‌رود: هم برای نام‌گذاری تابع نمایی و هم برای نام‌گذاری نمودار تابع نمایی. معمولاً معنی واضح است که آیا ما در مورد یک تابع نمایی صحبت می کنیم یا نمودار آن.

به ویژگی هندسی نمودار تابع نمایی y=ax توجه کنید: محور x مجانب افقی نمودار است. درست است، این بیانیه معمولاً به شرح زیر روشن می شود.
محور x مجانب افقی نمودار تابع است

به عبارت دیگر

اولین نکته مهم دانش‌آموزان اغلب اصطلاحات را اشتباه می‌گیرند: تابع قدرت، تابع نمایی. مقایسه کنید:

اینها نمونه هایی از توابع قدرت هستند.

اینها نمونه هایی از توابع نمایی هستند.

به طور کلی، y = x r، که در آن r یک عدد خاص است، یک تابع توان است (آگومان x در پایه درجه موجود است).
y = a، که در آن a یک عدد خاص است (مثبت و متفاوت از 1)، یک تابع نمایی است (آگومان x در توان موجود است).

یک تابع "عجیب" مانند y = x" نه نمایی و نه توان در نظر گرفته می شود (گاهی اوقات نمایی نامیده می شود).

نکته مهم دوم معمولاً یک تابع نمایی با پایه a = 1 یا با پایه a که نابرابری a را برآورده می کند در نظر نمی گیرد.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 و a واقعیت این است که اگر a = 1 باشد، پس برای هر مقدار x برابری Ix = 1 برقرار است. جالب نیست. اگر a = 0، آنگاه 0x = 0 برای هر مقدار مثبت x، یعنی تابع y = 0 را می گیریم که برای x> 0 تعریف شده است - این نیز جالب نیست. اگر در نهایت، a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

قبل از اینکه به حل مثال ها بپردازید، توجه داشته باشید که تابع نمایی با تمام توابعی که تاکنون مطالعه کرده اید تفاوت قابل توجهی دارد. برای مطالعه کامل یک شی جدید، باید آن را از زوایای مختلف، در موقعیت های مختلف در نظر بگیرید، بنابراین نمونه های زیادی وجود خواهد داشت.
مثال 1.

راه حل، الف) با داشتن نمودارهایی از توابع y = 2 x و y = 1 در یک سیستم مختصات، متوجه می شویم (شکل 203) که آنها یک نقطه مشترک دارند (0؛ 1). این بدان معنی است که معادله 2x = 1 دارای یک ریشه واحد x =0 است.

بنابراین، از معادله 2x = 2°، x = 0 به دست می آید.

ب) با داشتن نمودارهایی از توابع y = 2 x و y = 4 در یک سیستم مختصات، متوجه می شویم (شکل 203) که آنها یک نقطه مشترک دارند (2؛ 4). این بدان معنی است که معادله 2x = 4 دارای یک ریشه واحد x = 2 است.

بنابراین، از معادله 2 x = 2 2، x = 2 می گیریم.

ج) و د) بر اساس همین ملاحظات، نتیجه می گیریم که معادله 2 x = 8 دارای یک ریشه است و برای یافتن آن، نیازی به ساخت نمودارهای توابع مربوطه نیست.

واضح است که x = 3، زیرا 2 3 = 8. به همین ترتیب، ما تنها ریشه معادله را پیدا می کنیم

بنابراین، از معادله 2x = 2 3، x = 3 و از معادله 2 x = 2 x، x = -4 را دریافت می کنیم.
ه) نمودار تابع y = 2 x در بالای نمودار تابع y = 1 برای x > 0 قرار دارد - این به وضوح در شکل قابل خواندن است. 203. این بدان معنی است که راه حل نابرابری 2x > 1 بازه است
و) نمودار تابع y = 2 x در زیر نمودار تابع y = 4 در x قرار دارد.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
احتمالاً متوجه شده‌اید که مبنای همه نتیجه‌گیری‌هایی که هنگام حل مثال 1 انجام می‌شود، خاصیت یکنواختی (افزایش) تابع y = 2 x است. استدلال مشابه به ما امکان می دهد اعتبار دو قضیه زیر را تأیید کنیم.

راه حل.می‌توانید به این صورت ادامه دهید: نموداری از تابع y-3 x بسازید، سپس آن را از محور x با ضریب 3 بکشید، و سپس نمودار حاصل را 2 واحد مقیاس به بالا ببرید. اما راحت تر است که از این واقعیت استفاده کنیم که 3- 3 * = 3 * + 1، و بنابراین، نموداری از تابع y = 3 x * 1 + 2 بسازیم.

بیایید، همانطور که بارها در چنین مواردی انجام داده‌ایم، به یک سیستم مختصات کمکی با مبدأ در نقطه (-1؛ 2) برویم - خطوط نقطه‌دار x = - 1 و 1x = 2 در شکل. 207. بیایید تابع y=3* را به سیستم مختصات جدید "پیوند" کنیم. برای انجام این کار، نقاط کنترل را برای عملکرد انتخاب کنید ، اما ما آنها را نه در سیستم مختصات قدیمی، بلکه در سیستم مختصات جدید خواهیم ساخت (این نقاط در شکل 207 مشخص شده اند). سپس یک توان از نقاط می سازیم - این نمودار مورد نیاز خواهد بود (شکل 207 را ببینید).
برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع داده شده در بخش [-2, 2]، از این واقعیت استفاده می کنیم که تابع داده شده در حال افزایش است و بنابراین کوچکترین و بزرگترین مقدار خود را به ترتیب در انتهای چپ و راست بخش
بنابراین:

مثال 4.حل معادله و نامساوی:

راه حل، الف) اجازه دهید نمودارهایی از توابع y=5* و y=6-x در یک سیستم مختصات بسازیم (شکل 208). آنها در یک نقطه تلاقی می کنند. با قضاوت در نقاشی، این نقطه (1؛ 5) است. بررسی نشان می دهد که در واقع نقطه (1؛ 5) هم معادله y = 5* و هم معادله y = 6-x را برآورده می کند. آبسیسا این نقطه به عنوان تنها ریشه معادله داده شده عمل می کند.

بنابراین، معادله 5 x = 6 - x دارای یک ریشه واحد x = 1 است.

ب) و ج) توان y-5x بالای خط مستقیم y=6-x قرار دارد، اگر x>1 باشد، این به وضوح در شکل قابل مشاهده است. 208. این بدان معنی است که راه حل نابرابری 5*>6 را می توان به صورت زیر نوشت: x>1. و راه حل نابرابری 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
پاسخ: a)x = 1; ب) x> 1; ج) x<1.

مثال 5.یک تابع داده شده است ثابت کنیم که
راه حل.با توجه به شرایطی که داریم.

بیایید مقدار عبارت را برای مقادیر مختلف گویا متغیر x=2 پیدا کنیم. 0; -3؛ -

توجه داشته باشید که مهم نیست چه عددی را جایگزین متغیر x می کنیم، همیشه می توانیم مقدار این عبارت را پیدا کنیم. این بدان معنی است که ما یک تابع نمایی را در نظر می گیریم (E برابر است با سه به توان x) که بر روی مجموعه اعداد گویا تعریف شده است: .

بیایید با تهیه جدولی از مقادیر آن، نموداری از این تابع بسازیم.

بیایید یک خط صاف که از این نقاط می گذرد رسم کنیم (شکل 1)

با استفاده از نمودار این تابع، ویژگی های آن را در نظر می گیریم:

3. در کل منطقه تعریف افزایش می یابد.

محدوده مقادیر از صفر تا به علاوه بی نهایت.

8. تابع به سمت پایین محدب است.

اگر نمودار توابع را در یک سیستم مختصات بسازیم. y=(y برابر دو به توان x، y برابر با پنج به توان x، y برابر با هفت به توان x)، سپس می بینید که آنها دارای ویژگی های مشابه y= هستند. (y برابر است با سه به توان x) (شکل .2)، یعنی تمام توابع شکل y = (y برابر است با توان x، برای بزرگتر از یک) چنین خواهند داشت. خواص

بیایید تابع را رسم کنیم:

1. تدوین جدول مقادیر آن.

اجازه دهید نقاط به دست آمده را در صفحه مختصات علامت گذاری کنیم.

بیایید یک خط صاف از این نقاط عبور کنیم (شکل 3).

با استفاده از نمودار این تابع، ویژگی های آن را نشان می دهیم:

1. حوزه تعریف مجموعه تمام اعداد حقیقی است.

2. نه زوج است و نه فرد.

3. در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

4. نه بزرگترین و نه کوچکترین مقادیر را دارد.

5. محدود در زیر، اما نه محدود در بالا.

6. پیوسته در کل دامنه تعریف.

7. محدوده مقادیر از صفر تا به علاوه بی نهایت.

8. تابع به سمت پایین محدب است.

به طور مشابه، اگر نمودارهای تابع را در یک سیستم مختصات رسم کنیم. y = (y برابر است با نصف توان x، y برابر است با یک پنجم توان x، y برابر است با یک هفتم توان x)، سپس می توانید متوجه شوید که آنها همان خصوصیات y = (y برابر است با یک سوم توان x (شکل 4)، یعنی تمام توابع شکل y = (y برابر است با یک تقسیم بر a به توان x، با بزرگتر از صفر اما کمتر از یک) چنین ویژگی هایی را خواهد داشت.

بیایید نمودارهای توابع را در یک سیستم مختصات بسازیم

این بدان معنی است که نمودارهای توابع y=y= نیز متقارن خواهند بود (y برابر است با a به توان x و y برابر است با یک تقسیم بر a به توان x) برای همان مقدار a.

اجازه دهید آنچه را که گفته شد با تعریف تابع نمایی و نشان دادن ویژگی های اصلی آن خلاصه کنیم:

تعریف:تابعی به شکل y= که (a برابر است با توان x که a مثبت و متفاوت از یک است)، تابع نمایی نامیده می شود.

لازم است تفاوت بین تابع نمایی y= و تابع توان y=, a=2,3,4,… را به خاطر بسپارید. هم به صورت شنیداری و هم بصری تابع نمایی ایکسیک قدرت است و برای یک تابع قدرت ایکساساس است.

مثال 1: معادله را حل کنید (سه به توان x معادل 9 است)

(Y برابر با سه به توان X و Y برابر با نه) شکل 7

توجه داشته باشید که آنها یک نقطه مشترک M (2;9) دارند (em با مختصات دو؛ نه)، که به این معنی است که آبسیسا نقطه، ریشه این معادله خواهد بود. یعنی معادله یک ریشه دارد x=2.

مثال 2: معادله را حل کنید

در یک سیستم مختصات، دو نمودار از تابع y= می سازیم (y برابر با پنج به توان x و y برابر با یک بیست و پنجم است) شکل 8. نمودارها در یک نقطه T (-2؛ (te با مختصات منهای دو؛ یک بیست و پنجم) قطع می شوند. این بدان معنی است که ریشه معادله x = -2 است (عدد منهای دو).

مثال 3: نابرابری را حل کنید

در یک سیستم مختصات دو نمودار از تابع y= می سازیم

(Y برابر با سه به توان X و Y برابر با بیست و هفت).

شکل 9 نمودار تابع در بالای نمودار تابع y=at قرار دارد

x بنابراین، راه حل نابرابری بازه (از منهای بی نهایت تا سه) است.

مثال 4: نابرابری را حل کنید

در یک سیستم مختصات، دو نمودار از تابع y= می سازیم (y برابر با یک چهارم توان x و y برابر با شانزده است). (شکل 10). نمودارها در یک نقطه K (-2;16) قطع می شوند. این بدان معنی است که راه حل نابرابری بازه (-2؛ (از منهای دو تا به علاوه بی نهایت) است، زیرا نمودار تابع y= زیر نمودار تابع در x قرار دارد.

استدلال ما به ما امکان می دهد اعتبار قضایای زیر را تأیید کنیم:

موضوع 1: اگر درست باشد اگر و فقط اگر m=n باشد.

قضیه 2: اگر درست باشد اگر و فقط اگر، نابرابری درست است اگر و فقط اگر (شکل *)

قضیه 4: اگر درست باشد اگر و فقط اگر (شکل**)، نابرابری درست است اگر و فقط اگر قضیه 3: اگر درست باشد اگر و فقط اگر m=n باشد.

مثال 5: تابع y= را رسم کنید

بیایید تابع را با اعمال ویژگی درجه y= تغییر دهیم

بیایید یک سیستم مختصات اضافی بسازیم و در سیستم مختصات جدید نموداری از تابع y = بسازیم (y برابر دو برابر توان x است) شکل 11.

مثال 6: معادله را حل کنید

در یک سیستم مختصات دو نمودار از تابع y= می سازیم

(Y برابر با هفت به توان X و Y برابر با هشت منهای X است) شکل 12.

نمودارها در یک نقطه E (1؛ (e با مختصات یک؛ هفت) همدیگر را قطع می کنند. این به این معنی است که ریشه معادله x = 1 (x برابر با یک) است.

مثال 7: نابرابری را حل کنید

در یک سیستم مختصات دو نمودار از تابع y= می سازیم

(Y برابر یک چهارم توان X و Y برابر X به اضافه پنج است). نمودار تابع y= در زیر نمودار تابع y=x+5 قرار می گیرد که جواب نامساوی بازه x (از منهای یک تا به علاوه بی نهایت) باشد.

درس شماره2

موضوع: تابع نمایی، خواص و نمودار آن.

هدف:کیفیت تسلط بر مفهوم "تابع نمایی" را بررسی کنید. توسعه مهارت در تشخیص تابع نمایی، با استفاده از خواص و نمودارهای آن، آموزش دانش آموزان برای استفاده از اشکال تحلیلی و گرافیکی برای ثبت تابع نمایی. محیط کار را در کلاس فراهم کنید.

تجهیزات:تابلو، پوستر

فرم درس: درس کلاس

نوع درس: درس عملی

نوع درس: درس مهارت ها و توانایی های تدریس

طرح درس

1. لحظه سازمانی

2. کار مستقل و بررسی تکالیف

3. حل مسئله

4. جمع بندی

5. تکالیف

در طول کلاس ها.

1. لحظه سازمانی :

سلام. دفترچه های خود را باز کنید، تاریخ امروز و موضوع درس "تابع نمایی" را یادداشت کنید. امروز ما به مطالعه تابع نمایی، خواص و نمودار آن ادامه خواهیم داد.

2. کار مستقل و بررسی تکالیف .

هدف:بررسی کیفیت تسلط بر مفهوم "تابع نمایی" و بررسی تکمیل بخش نظری تکالیف

روش:تکلیف آزمایشی، بررسی پیشانی

به عنوان تکلیف، اعدادی از کتاب مسائل و یک پاراگراف از کتاب درسی به شما داده شد. ما اکنون اجرای اعداد شما را از کتاب درسی بررسی نمی کنیم، اما شما دفترچه های خود را در پایان درس تحویل می دهید. اکنون این نظریه در قالب یک آزمون کوچک مورد آزمایش قرار خواهد گرفت. کار برای همه یکسان است: لیستی از توابع به شما داده می شود، باید دریابید که کدام یک از آنها نشانگر هستند (زیر آنها را خط بکشید). و در کنار تابع نمایی باید بنویسید که در حال افزایش یا کاهش است.

انتخاب 1

پاسخ

ب)

د) - تصاعدی، کاهشی

گزینه 2

پاسخ

د) - تصاعدی، کاهشی

د) - تصاعدی، افزایشی

گزینه 3

پاسخ

آ) - تصاعدی، افزایشی

ب) - تصاعدی، کاهشی

گزینه 4

پاسخ

آ) - تصاعدی، کاهشی

که در) - تصاعدی، افزایشی

حالا بیایید با هم به یاد بیاوریم که کدام تابع نمایی نامیده می شود؟

تابعی از شکل , Where and , تابع نمایی نامیده می شود.

دامنه این عملکرد چیست؟

همه اعداد واقعی

محدوده تابع نمایی چقدر است؟

همه اعداد حقیقی مثبت

اگر پایه توان بزرگتر از صفر اما کمتر از یک باشد کاهش می یابد.

در چه صورت یک تابع نمایی در دامنه تعریف خود کاهش می یابد؟

اگر پایه توان بزرگتر از یک باشد افزایش می یابد.

3. حل مسئله

هدف: برای ایجاد مهارت در تشخیص یک تابع نمایی با استفاده از ویژگی ها و نمودارهای آن، به دانش آموزان آموزش استفاده از اشکال تحلیلی و گرافیکی برای نوشتن تابع نمایی.

روش: نمایش حل مسائل معمولی توسط معلم، کار شفاهی، کار روی تخته سیاه، کار در دفترچه یادداشت، گفتگو بین معلم و دانش آموزان.

هنگام مقایسه 2 یا چند عدد می توان از ویژگی های تابع نمایی استفاده کرد. به عنوان مثال: شماره 000. مقادیر را مقایسه کنید و اگر a) ..gif" width="37" height="20 src=">، پس این کار نسبتاً پیچیده ای است: ما باید ریشه مکعبی 3 و 9 را بگیریم و آنها را با هم مقایسه کنیم. اما می دانیم که افزایش می یابد، این به نوبه خود به این معنی است که با افزایش آرگومان، مقدار تابع افزایش می یابد، یعنی فقط باید مقادیر آرگومان را با هم مقایسه کنیم و بدیهی است که (را می توان روی پوستری نشان داد که تابع نمایی افزایشی را نشان می دهد). و همیشه هنگام حل چنین مثال هایی ابتدا پایه تابع نمایی را تعیین می کنید، آن را با 1 مقایسه می کنید، یکنواختی را تعیین می کنید و به مقایسه آرگومان ها می پردازید. در مورد تابع نزولی: وقتی آرگومان افزایش می‌یابد، مقدار تابع کاهش می‌یابد، بنابراین، هنگام حرکت از نابرابری آرگومان‌ها به نابرابری توابع، علامت نابرابری را تغییر می‌دهیم. بعد شفاهی حل می کنیم: ب)

که در)

ز)

- شماره 000. اعداد: الف) و

بنابراین، تابع افزایش می یابد، سپس

چرا ؟

افزایش عملکرد و

بنابراین، تابع در حال کاهش است، سپس

هر دو تابع در کل دامنه تعریف خود افزایش می یابند، زیرا با پایه قدرت بیشتر از یک نمایی هستند.

معنای پشت آن چیست؟

ما نمودارها را می سازیم:

کدام عملکرد در هنگام تلاش سریعتر افزایش می یابد https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر کاهش می یابد https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص ارزش بیشتری دارد؟

د)، https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. ابتدا اجازه دهید محدوده تعریف این توابع را دریابیم. آیا آنها منطبق هستند؟

بله دامنه این توابع همه اعداد حقیقی هستند.

محدوده هر یک از این توابع را نام ببرید.

محدوده این توابع منطبق است: همه اعداد حقیقی مثبت.

نوع یکنواختی هر تابع را تعیین کنید.

هر سه تابع در کل دامنه تعریف خود کاهش می یابند، زیرا با پایه توان های کمتر از یک و بزرگتر از صفر نمایی هستند.

چه نقطه خاصی در نمودار یک تابع نمایی وجود دارد؟

معنای پشت آن چیست؟

مبنای درجه یک تابع نمایی هرچه باشد، اگر توان دارای 0 باشد، مقدار این تابع 1 است.

ما نمودارها را می سازیم:

بیایید نمودارها را تجزیه و تحلیل کنیم. نمودار توابع چند نقطه تقاطع دارند؟

کدام عملکرد هنگام تلاش سریعتر کاهش می یابد https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

کدام عملکرد در هنگام تلاش سریعتر افزایش می یابد https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص ارزش بیشتری دارد؟

چرا توابع نمایی با پایه های مختلف فقط یک نقطه تقاطع دارند؟

توابع نمایی در کل دامنه تعریف خود کاملاً یکنواخت هستند، بنابراین فقط در یک نقطه می توانند قطع شوند.

کار بعدی بر روی استفاده از این ویژگی متمرکز خواهد بود. شماره 000. بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع داده شده را در بازه داده شده a) پیدا کنید. به یاد داشته باشید که یک تابع کاملاً یکنواخت مقادیر حداقل و حداکثر خود را در انتهای یک بخش معین می گیرد. و اگر تابع در حال افزایش است، پس آن است بالاترین ارزشدر انتهای سمت راست بخش، و کوچکترین آن در انتهای سمت چپ بخش خواهد بود (نمایش روی پوستر، با استفاده از مثال یک تابع نمایی). اگر تابع در حال کاهش باشد، بزرگترین مقدار آن در انتهای سمت چپ بخش، و کوچکترین مقدار آن در انتهای سمت راست بخش خواهد بود (نمایش روی پوستر، با استفاده از مثال یک تابع نمایی). تابع در حال افزایش است، زیرا، بنابراین، کوچکترین مقدار تابع در نقطه https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" خواهد بود. >. نکات ب ) ، V) د) دفترچه ها را خودتان حل کنید، به صورت شفاهی بررسی می کنیم.

دانش آموزان تکلیف را در دفترچه خود حل می کنند

عملکرد کاهشی

بیشترین مقدار تابع در بخش

کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه

افزایش عملکرد

کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه

بیشترین مقدار تابع در بخش

- شماره 000. بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع داده شده را در بازه داده شده a) بیابید. . این کار تقریباً مشابه کار قبلی است. اما آنچه در اینجا داده می شود یک قطعه نیست، بلکه یک پرتو است. ما می دانیم که تابع در حال افزایش است و در کل خط اعداد نه بزرگترین و نه کوچکترین مقدار را دارد https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">، و به سمت میل می کند، یعنی روی پرتو تابع at به 0 میل می کند، اما کوچکترین مقدار خود را ندارد، اما بیشترین مقدار را در نقطه دارد. . نکات ب) ، V) ، G) دفترچه ها را خودتان حل کنید، شفاهی بررسی می کنیم.