Calcolo dei numeri razionali. Numeri. Numeri razionali

Badamshinskaya Scuola superiore №2

Sviluppo metodologico

matematica
in 6a elementare

"Azioni con numeri razionali"

preparato

insegnante di matematica

Babenko Larisa Grigorievna

Con. Badamsha
2014

Argomento della lezione:« Operazioni con i numeri razionali».

Tipo di lezione :

Lezione di generalizzazione e sistematizzazione della conoscenza.

Obiettivi della lezione:

educativo:

Riassumere e sistematizzare la conoscenza degli studenti sulle regole delle operazioni con numeri positivi e negativi;

Rafforzare la capacità di applicare le regole durante gli esercizi;

Sviluppare capacità di lavoro autonomo;

sviluppando:

Sviluppare il pensiero logico, il discorso matematico e le abilità computazionali; - sviluppare la capacità di applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi applicati; - ampliare i propri orizzonti;

alzando:

Coltivare l’interesse cognitivo per l’argomento.

Attrezzatura:

Fogli con testi di compiti, compiti per ogni studente;

Matematica. Libro di testo per la 6a elementare istituzioni educative/

N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – M., 2010.

Piano della lezione:

Organizzare il tempo.

Lavora oralmente

Rivedere le regole per aggiungere e sottrarre numeri con segni diversi. Aggiornamento della conoscenza.

Risolvere compiti secondo il libro di testo

Esecuzione del test

Riassumendo la lezione. Impostazione dei compiti

Riflessione

Durante le lezioni

Organizzare il tempo.

Saluti dal docente e dagli studenti.

Riporta l'argomento della lezione, il piano di lavoro per la lezione.

Oggi abbiamo una lezione insolita. In questa lezione ricorderemo tutte le regole delle operazioni con i numeri razionali e la capacità di eseguire operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Il motto della nostra lezione sarà una parabola cinese:

“Dimmelo e lo dimenticherò;

Mostramelo e ricorderò;

Lasciamelo fare e capirò”.

Voglio invitarti in un viaggio.

Nel mezzo dello spazio dove l'alba era chiaramente visibile, si estendeva una zona stretta e disabitata: una linea numerica. Non si sa dove sia iniziato e non si sa dove sia finito. E i primi a popolare questo Paese furono i numeri naturali. Quali numeri sono chiamati numeri naturali e come vengono designati?

Risposta:

I numeri 1, 2, 3, 4,…..usati per contare oggetti o per indicare il numero di serie di un oggetto tra oggetti omogenei sono detti naturali (N ).

Conteggio verbale

88-19 72:8 200-60

Risposte: 134; 61; 2180.

Ce n'erano un numero infinito, ma il paese, sebbene piccolo in larghezza, era infinito in lunghezza, così che tutto dall'uno all'infinito si adattava e formava il primo stato, un insieme di numeri naturali.

Lavorare su un compito.

Il paese era straordinariamente bello. Magnifici giardini erano disseminati in tutto il suo territorio. Queste sono ciliegia, mela, pesca. Daremo un'occhiata a uno di loro ora.

Ogni tre giorni ci sono il 20% in più di ciliegie mature. Quanti frutti maturi avrà questa ciliegia dopo 9 giorni, se all'inizio dell'osservazione c'erano 250 ciliegie mature?

Risposta: su questa ciliegia ci saranno 432 frutti maturi in 9 giorni (300; 360; 432).

Lavoro indipendente.

Alcuni nuovi numeri iniziarono a stabilirsi sul territorio del primo stato, e questi numeri, insieme a quelli naturali, formarono un nuovo stato, scopriremo quale risolvendo il compito.

Gli studenti hanno due fogli sui banchi:

1. Calcola:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6x1/3

1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)

Esercizio: Collega tutti i numeri naturali in sequenza senza alzare la mano e dai un nome alla lettera risultante.

Risposte al test:

5 68 15 60

72 6 20 16

Domanda: Cosa significa questo simbolo? Quali numeri sono chiamati interi?

Risposte: 1) A sinistra, dal territorio del primo stato, si stabilì il numero 0, a sinistra -1, ancora più a sinistra -2, ecc. all'infinito. Questi numeri, insieme ai numeri naturali, formavano un nuovo stato esteso, l'insieme dei numeri interi.

2) I numeri naturali, i loro numeri opposti e lo zero sono chiamati interi ( Z ).

Ripetizione di quanto appreso.

1) La pagina successiva della nostra fiaba è incantata. Disincantiamolo, correggendo gli errori.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

Risposte:

-27 4 27 0 (-27) = 0

-50 8 4 -36: 6

2) Continuiamo ad ascoltare la storia.

Nei posti liberi sulla linea numerica sono state aggiunte le frazioni 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;... Le frazioni, insieme ai primi coloni, formarono il successivo stato espanso: un insieme di numeri razionali. ( Q)

1)Quali numeri sono detti razionali?

2) Qualunque frazione intera o decimale è un numero razionale?

3) Mostrare che qualsiasi numero intero, qualsiasi frazione decimale è un numero razionale.

Compito sulla lavagna: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

Risposte:

1) Un numero che può essere scritto come rapporto , dove a è un intero e n è un numero naturale, è detto numero razionale .

2) Sì.

3) .

Ora conosci i numeri interi e frazionari, positivi e negativi e persino il numero zero. Tutti questi numeri sono chiamati razionali, che tradotto in russo significa “ soggetto alla mente."

Numeri razionali

positivo zero negativo

intero frazionario intero frazionario

Per poter studiare con successo la matematica (e non solo la matematica) in futuro, è necessario avere una buona conoscenza delle regole delle operazioni aritmetiche con numeri razionali, comprese le regole dei segni. E sono così diversi! Non ci vorrà molto per confondersi.

Minuto di educazione fisica.

Pausa dinamica.

Insegnante: Qualsiasi lavoro richiede una pausa. Riposiamoci!

Facciamo esercizi di recupero:

1) Uno, due, tre, quattro, cinque -

Una volta! Alzati, tirati su,

Due! Piegarsi, raddrizzarsi,

Tre! Tre battiti di mani,

Tre cenni della testa.

Quattro significa mani più larghe.

Cinque: agita le braccia. Sei: siediti in silenzio alla tua scrivania.

(I bambini eseguono movimenti seguendo l'insegnante in base al contenuto del testo.)

2) Sbatti le palpebre velocemente, chiudi gli occhi e siediti contando fino a cinque. Ripeti 5 volte.

3) Chiudi bene gli occhi, conta fino a tre, aprili e guarda lontano, contando fino a cinque. Ripeti 5 volte.

Pagina storica.

Nella vita, come nelle fiabe, le persone “scoprono” i numeri razionali gradualmente. All'inizio, quando si contavano gli oggetti, apparivano i numeri naturali. All'inizio erano pochi. Inizialmente sorsero solo i numeri 1 e 2. Le parole “solista”, “sole”, “solidarietà” derivano dal latino “solus” (uno). Molte tribù non avevano altri numeri. Invece di “3” hanno detto “uno-due”, invece di “4” hanno detto “due-due”. E così via fino alle sei. E poi è arrivato "molto". Le persone si imbattevano nelle frazioni quando dividevano il bottino e quando misuravano le quantità. Per facilitare il lavoro con le frazioni, sono state inventate decimali. Furono introdotti in Europa nel 1585 da un matematico olandese.

Lavorare sulle equazioni

Scoprirai il nome di un matematico risolvendo equazioni e utilizzando la linea delle coordinate per trovare la lettera corrispondente a una determinata coordinata.

1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y – 3,4 = -7,4

4) – 0,8: x = -0,4 5)a · (-8) =0 6)M + (- )=

E A T M I O V R N U S

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Risposte:

6 (C) 4)2 (B)

-2 (T) 5) 0 (I)

-4(E)6)4(H)

STEVIN - matematico e ingegnere olandese (Simon Stevin)

Pagina storica.

Insegnante:

Senza conoscere il passato nello sviluppo della scienza, è impossibile comprenderne il presente. Le persone hanno imparato a eseguire operazioni con numeri negativi anche prima della nostra era. I matematici indiani immaginavano numeri positivi come “proprietà” e i numeri negativi come “debiti”. È così che il matematico indiano Brahmagupta (VII secolo) stabilì alcune regole per eseguire operazioni con numeri positivi e negativi:

"La somma di due proprietà è proprietà"

"La somma di due debiti è un debito"

“La somma della proprietà e del debito è pari alla loro differenza”

“Il prodotto di due beni o due debiti è la proprietà”, “Il prodotto di beni e debiti è il debito”.

Ragazzi, per favore traducete le antiche regole indiane in un linguaggio moderno.

Il messaggio dell'insegnante:

Come se non ci fosse calore nel mondo senza il sole,

Senza neve invernale e senza foglie di fiori,

Non esistono operazioni senza segni in matematica!

Ai bambini viene chiesto di indovinare quale segno di azione manca.

Esercizio. Inserisci il carattere mancante.

− 1,3 2,8 = 1,5

− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9

Risposte: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :

Lavoro indipendente(scrivi le risposte ai compiti sul foglio):

Confronta i numeri

trovare i loro moduli

confrontare con zero

trova la loro somma

trovare la loro differenza

trovare il lavoro

trova il quoziente

scrivi i numeri opposti

trova la distanza tra questi numeri

10) quanti numeri interi si trovano tra loro

11) trova la somma di tutti i numeri interi situati tra loro.

Criteri di valutazione: tutto è stato risolto correttamente – “5”

1-2 errori - “4”

3-4 errori - “3”

più di 4 errori - “2”

Lavoro individuale utilizzando le carte(in aggiunta).

Carta 1. Risolvi l'equazione: 8,4 – (x – 3,6) = 18

Scheda 2. Risolvi l'equazione: -0,2x · (-4) = -0,8

Scheda 3. Risolvi l'equazione: =

Risposte alle carte :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

Gioco "Esame".

Gli abitanti del paese vivevano felici, giocavano, risolvevano problemi, equazioni e ci invitavano a giocare per tirare le somme dei risultati.

Gli studenti si avvicinano alla lavagna, prendono una carta e rispondono alla domanda scritta sul retro.

Domande:

1. Quale dei due numeri negativi è considerato più grande?

2. Formulare la regola per dividere i numeri negativi.

3. Formulare la regola per moltiplicare i numeri negativi.

4. Formulare una regola per moltiplicare numeri con segni diversi.

5. Formulare una regola per dividere i numeri con segni diversi.

6. Formulare la regola per aggiungere numeri negativi.

7. Formulare una regola per aggiungere numeri con segni diversi.

8.Come trovare la lunghezza di un segmento su una linea di coordinate?

9.Quali numeri sono chiamati interi?

10. Quali numeri sono chiamati razionali?

Riassumendo.

Insegnante: Oggi compiti a casa sarà creativo:

Prepara un messaggio “Numeri positivi e negativi intorno a noi” o componi una fiaba.

« Grazie per la lezione!!!"

NUMERI REALI II

§ 36 Azioni sui numeri razionali

Come sai, due frazioni M / N E K / l sono uguali, cioè rappresentano lo stesso numero razionale, se e solo se ml = nk .

Ad esempio, 1/3 = 2/6, poiché 1 6 = 3 2; -5/7 = 10/-14 poiché (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, poiché 0 5 = 1 0, ecc.

Ovviamente, per qualsiasi numero intero R , diverso da 0,

: M / N = M R / N R

Ciò segue dall'ovvia uguaglianza T (P R ) = P (T R ). Pertanto, qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come un rapporto tra due numeri numero infinito modi. Per esempio,

5 = 5/1 = -10/-2 = 15/3 ecc.,

1/7 = 2/-14 = -3/21 = -100/700 ecc.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 ecc.

Nell'insieme di tutti i numeri razionali sono possibili le operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione (eccetto la divisione per zero). Ricordiamo come vengono determinate queste azioni.

Somma di due numeri razionali M / N E K / l è determinato dalla formula:

Prodotto di due numeri razionali M / N E K / l è determinato dalla formula:

M / N K / l = mk / n.l (2)

Poiché lo stesso numero razionale può essere scritto in più modi (ad esempio, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...), sarebbe necessario dimostrare che la somma e il prodotto dei numeri razionali non dipendono da come sono scritti i termini o i fattori. Per esempio,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

ecc. Tuttavia, la considerazione di questi problemi va oltre lo scopo del nostro programma.

Quando si aggiungono e si moltiplicano numeri razionali, si osservano le seguenti leggi fondamentali:

1) commutativo Legge (o commutativa) dell’addizione

M / N + K / l = K / l + M / N

2) associativo Legge (o associativa) dell'addizione:

( M / N + K / l ) + P / Q = M / N + ( K / l + P / Q )

3) commutativo legge (o commutativa) della moltiplicazione:

M / N K / l = K / l M / N

4) associativo legge (o associativa) della moltiplicazione:

( M / N K / l ) P / Q = M / N ( K / l P / Q )

5) distributivo Legge (o distributiva) della moltiplicazione relativa all'addizione:

( M / N + K / l ) P / Q = M / N P / Q + K / l P / Q

Addizione e moltiplicazione sono operazioni algebriche basilari. Per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, queste azioni sono definite come l'inverso dell'addizione e della moltiplicazione.

La differenza di due numeri razionali M / N E K / l viene chiamato questo numero X , che è in totale con K / l dà M / N . In altre parole, la differenza M / N - K / l

K / l + X = M / N

Si può dimostrare che tale equazione ha sempre una radice e solo una:

Quindi, la differenza di due numeri M / N E K / l si trova dalla formula:

Se i numeri M / N E K / l sono uguali tra loro, allora la loro differenza diventa zero; se questi numeri non sono uguali tra loro, la loro differenza è positiva o negativa. A M / N - K / l > 0 si dice che sia un numero M / N più numero K / l ; Se M / N - K / l < 0, то говорят, что число M / N meno numero K / l .

Il quoziente di un numero razionale M/ N da un numero razionale K/ l viene chiamato questo numero X, che nel prodotto con K/ l dà M/ N . In altre parole, privato M/ N : K/ l è definita come la radice dell'equazione

K/ l X = M/ N .

Se K/ l =/= 0, allora questa equazione ha una radice singola

X = ml/ nk

Se K/ l = 0, allora questa equazione non ha alcuna radice (per M/ N =/= 0), o ha infinite radici (con M/ N = 0). Per rendere l'operazione di divisione univocamente fattibile, concordiamo di non considerare affatto la divisione per zero. Quindi, dividendo un numero razionale M/ N da un numero razionale K/ l sempre definito a meno che K/ l =/= 0. Allo stesso tempo

M/ N : K/ l = ml/ nk

Esercizi

295. Calcolare nel modo più razionale e indicare quali leggi d'azione utilizzare;

a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .

b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10

Disegno. Operazioni aritmetiche rispetto ai numeri razionali.

Testo:

Regole per le operazioni con numeri razionali:
. Quando si sommano numeri con gli stessi segni, è necessario sommare i loro moduli e metterli davanti alla somma segno generale;
. quando si sommano due numeri con segni diversi, da un numero con modulo maggiore, sottrarre il numero con modulo minore e anteporre il segno del numero con modulo maggiore davanti alla differenza risultante;
. Quando si sottrae un numero da un altro, è necessario aggiungere al minuendo il numero opposto a quello da sottrarre: a - b = a + (-b)
. quando si moltiplicano due numeri con gli stessi segni, i loro moduli vengono moltiplicati e un segno più viene posto davanti al prodotto risultante;
. quando si moltiplicano due numeri con segni diversi, i loro moduli vengono moltiplicati e viene posto un segno meno davanti al prodotto risultante;
. quando si dividono numeri con lo stesso segno, il modulo del dividendo si divide per il modulo del divisore e si antepone un segno più al quoziente risultante;
. quando si dividono numeri con segni diversi, il modulo del dividendo si divide per il modulo del divisore e si antepone il segno meno al quoziente risultante;
. Quando si divide e si moltiplica zero per qualsiasi numero diverso da zero, il risultato è zero:
. Non puoi dividere per zero.

In questa lezione ricorderemo le proprietà fondamentali delle operazioni con i numeri. Non solo esamineremo le proprietà di base, ma impareremo anche come applicarle ai numeri razionali. Consolideremo tutte le conoscenze acquisite risolvendo esempi.

Proprietà di base delle operazioni con i numeri:

Le prime due proprietà sono proprietà di addizione, le due successive sono proprietà di moltiplicazione. La quinta proprietà vale per entrambe le operazioni.

Non c'è nulla di nuovo in queste proprietà. Erano validi sia per i numeri naturali che per quelli interi. Sono vere anche per i numeri razionali e lo saranno anche per i numeri che studieremo in seguito (ad esempio, i numeri irrazionali).

Proprietà di permutazione:

La riorganizzazione dei termini o dei fattori non modifica il risultato.

Proprietà combinate:, .

L'aggiunta o la moltiplicazione di più numeri può essere eseguita in qualsiasi ordine.

Proprietà di distribuzione:.

La proprietà collega entrambe le operazioni: addizione e moltiplicazione. Inoltre, se viene letto da sinistra a destra, viene chiamata regola per l'apertura delle parentesi e, se in rovescio- la regola di mettere tra parentesi il fattore comune.

Le due proprietà seguenti descrivono elementi neutri per addizione e moltiplicazione: aggiungere zero e moltiplicare per uno non cambia il numero originale.

Altre due proprietà che descrivono elementi simmetrici per l'addizione e la moltiplicazione, la somma dei numeri opposti è zero; lavoro numeri reciprociè uguale a uno.

Proprietà successiva: . Se un numero viene moltiplicato per zero, il risultato sarà sempre zero.

L'ultima proprietà che esamineremo è: .

Moltiplicando il numero per , otteniamo numero opposto. Questa proprietà ha una caratteristica speciale. Tutte le altre proprietà considerate non possono essere dimostrate utilizzando le altre. La stessa proprietà può essere dimostrata utilizzando i precedenti.

Moltiplicando per

Dimostriamo che se moltiplichiamo un numero per otteniamo il numero opposto. Per questo utilizziamo la proprietà di distribuzione: .

Questo è vero per qualsiasi numero. Sostituiamo e al posto del numero:

A sinistra tra parentesi c'è la somma dei numeri reciprocamente opposti. La loro somma è zero (abbiamo una tale proprietà). A sinistra adesso. A destra otteniamo: .

Ora abbiamo lo zero a sinistra e la somma di due numeri a destra. Ma se la somma di due numeri è zero, allora questi numeri sono reciprocamente opposti. Ma il numero ha un solo numero opposto: . Quindi, ecco di cosa si tratta: .

La proprietà è stata dimostrata.

Tale proprietà, che può essere dimostrata utilizzando le proprietà precedenti, si chiama teorema

Perché qui non ci sono proprietà di sottrazione e divisione? Ad esempio, si potrebbe scrivere la proprietà distributiva per la sottrazione: .

Ma poiché:

La sottrazione di qualsiasi numero può essere scritta equivalentemente come addizione sostituendo il numero con il suo opposto:

La divisione può essere scritta come moltiplicazione per il suo reciproco:

Ciò significa che le proprietà di addizione e moltiplicazione possono essere applicate alla sottrazione e alla divisione. Di conseguenza, l'elenco delle proprietà da ricordare è più breve.

Tutte le proprietà che abbiamo considerato non sono esclusivamente proprietà dei numeri razionali. Anche altri numeri, ad esempio quelli irrazionali, obbediscono a tutte queste regole. Ad esempio, la somma del suo numero opposto è zero: .

Ora passeremo alla parte pratica, risolvendo diversi esempi.

Numeri razionali nella vita

Vengono chiamate quelle proprietà degli oggetti che possiamo descrivere quantitativamente, designare con un certo numero valori: lunghezza, peso, temperatura, quantità.

La stessa quantità può essere denotata sia da un numero intero che da un numero frazionario, positivo o negativo.

Ad esempio, la tua altezza m è un numero frazionario. Ma possiamo dire che è uguale a cm: questo è già un numero intero (Fig. 1).

Riso. 1. Illustrazione ad esempio

Un altro esempio. Temperatura negativa sulla scala Celsius sarà positivo sulla scala Kelvin (Fig. 2).

Riso. 2. Illustrazione ad esempio

Quando si costruisce il muro di una casa, una persona può misurarne la larghezza e l'altezza in metri. Produce quantità frazionarie. Eseguirà tutti gli ulteriori calcoli con numeri frazionari (razionali). Un'altra persona può misurare tutto nel numero di mattoni in larghezza e altezza. Avendo ricevuto solo valori interi, eseguirà i calcoli con numeri interi.

Le quantità stesse non sono né intere né frazionarie, né negative né positive. Ma il numero con cui descriviamo il valore di una quantità è già abbastanza specifico (ad esempio negativo e frazionario). Dipende dalla scala di misurazione. E quando passiamo dai valori reali a modello matematico, quindi lavoriamo con un tipo specifico di numeri

Cominciamo con l'addizione. I termini possono essere riorganizzati nel modo che ci risulta più conveniente e le azioni possono essere eseguite in qualsiasi ordine. Se termini con segni diversi terminano con la stessa cifra, è conveniente eseguire prima le operazioni con essi. Per fare ciò, invertiamo i termini. Per esempio:

Frazioni comuni con stessi denominatori facile da piegare.

I numeri opposti si sommano a zero. I numeri con la stessa coda decimale sono facili da sottrarre. Usando queste proprietà, così come la legge commutativa dell'addizione, puoi rendere più semplice il calcolo del valore, ad esempio, della seguente espressione:

I numeri con code decimali complementari sono facili da aggiungere. Con parti intere e frazionarie numeri misti conveniente lavorare separatamente. Usiamo queste proprietà quando calcoliamo il valore della seguente espressione:

Passiamo alla moltiplicazione. Ci sono coppie di numeri facili da moltiplicare. Usando la proprietà commutativa, puoi riorganizzare i fattori in modo che siano adiacenti. È possibile contare immediatamente il numero di aspetti negativi di un prodotto e trarre una conclusione sul segno del risultato.

Considera questo esempio:

Se uno dei fattori è uguale a zero, allora il prodotto è uguale a zero, ad esempio: .

Il prodotto dei numeri reciproci è uguale a uno e la moltiplicazione per uno non cambia il valore del prodotto. Considera questo esempio:

Consideriamo un esempio che utilizza la proprietà distributiva. Se apri le parentesi, ogni moltiplicazione è facile.

Proprietà di base delle operazioni con i numeri:

Le prime due proprietà sono proprietà di addizione, le due successive sono proprietà di moltiplicazione. La quinta proprietà vale per entrambe le operazioni.

Proprietà di permutazione:

La riorganizzazione dei termini o dei fattori non modifica il risultato.

Proprietà combinate:, .

L'aggiunta o la moltiplicazione di più numeri può essere eseguita in qualsiasi ordine.

Proprietà di distribuzione:.

La proprietà collega entrambe le operazioni: addizione e moltiplicazione. Inoltre, se lo leggi da sinistra a destra, allora si chiama regola per aprire le parentesi e, se nella direzione opposta, si chiama regola per posizionare il fattore comune fuori parentesi.

Le due proprietà seguenti descrivono elementi neutri per addizione e moltiplicazione: aggiungere zero e moltiplicare per uno non cambia il numero originale.

Altre due proprietà che descrivono elementi simmetrici per l'addizione e la moltiplicazione, la somma dei numeri opposti è zero; il prodotto dei numeri reciproci è uguale a uno.

Proprietà successiva: . Se un numero viene moltiplicato per zero, il risultato sarà sempre zero.

L'ultima proprietà che esamineremo è: .

Moltiplicando un numero per , otteniamo il numero opposto. Questa proprietà ha una caratteristica speciale. Tutte le altre proprietà considerate non possono essere dimostrate utilizzando le altre. La stessa proprietà può essere dimostrata utilizzando i precedenti.

Moltiplicando per

Dimostriamo che se moltiplichiamo un numero per otteniamo il numero opposto. Per questo utilizziamo la proprietà di distribuzione: .

Questo è vero per qualsiasi numero. Sostituiamo e al posto del numero:

A sinistra tra parentesi c'è la somma dei numeri reciprocamente opposti. La loro somma è zero (abbiamo una tale proprietà). A sinistra adesso. A destra otteniamo: .

La proprietà è stata dimostrata.

Tale proprietà, che può essere dimostrata utilizzando le proprietà precedenti, si chiama teorema

Perché qui non ci sono proprietà di sottrazione e divisione? Ad esempio, si potrebbe scrivere la proprietà distributiva per la sottrazione: .

Ma poiché:

La sottrazione di qualsiasi numero può essere scritta equivalentemente come addizione sostituendo il numero con il suo opposto:

La divisione può essere scritta come moltiplicazione per il suo reciproco:

Ciò significa che le proprietà di addizione e moltiplicazione possono essere applicate alla sottrazione e alla divisione. Di conseguenza, l'elenco delle proprietà da ricordare è più breve.

Ora passeremo alla parte pratica, risolvendo diversi esempi.

Numeri razionali nella vita

Vengono chiamate quelle proprietà degli oggetti che possiamo descrivere quantitativamente, designare con un certo numero valori: lunghezza, peso, temperatura, quantità.

La stessa quantità può essere denotata sia da un numero intero che da un numero frazionario, positivo o negativo.

Ad esempio, la tua altezza m è un numero frazionario. Ma possiamo dire che è uguale a cm: questo è già un numero intero (Fig. 1).

Riso. 1. Illustrazione ad esempio

Un altro esempio. Una temperatura negativa sulla scala Celsius sarà positiva sulla scala Kelvin (Fig. 2).

Riso. 2. Illustrazione ad esempio

Le quantità stesse non sono né intere né frazionarie, né negative né positive. Ma il numero con cui descriviamo il valore di una quantità è già abbastanza specifico (ad esempio negativo e frazionario). Dipende dalla scala di misurazione. E quando passiamo dalle quantità reali a un modello matematico, lavoriamo con un tipo specifico di numeri

Le frazioni comuni con denominatori simili sono facili da aggiungere.

I numeri con code decimali complementari sono facili da aggiungere. È conveniente lavorare separatamente con le parti intere e frazionarie di numeri misti. Usiamo queste proprietà quando calcoliamo il valore della seguente espressione:

Considera questo esempio:

Se uno dei fattori è uguale a zero, allora il prodotto è uguale a zero, ad esempio: .

Il prodotto dei numeri reciproci è uguale a uno e la moltiplicazione per uno non cambia il valore del prodotto. Considera questo esempio:

Consideriamo un esempio che utilizza la proprietà distributiva. Se apri le parentesi, ogni moltiplicazione è facile.