Chiunque abbia avuto a che fare, almeno indirettamente, con la geometria degli oggetti spaziali nell'interior design e nell'architettura, probabilmente conosce bene il principio della sezione aurea. Fino a poco tempo fa, diversi decenni fa, la popolarità della sezione aurea era così alta che numerosi sostenitori delle teorie mistiche e della disposizione del mondo la chiamano la regola armonica universale.
L'essenza della proporzione universale
Sorprendentemente diverso. La ragione dell'atteggiamento parziale, quasi mistico nei confronti di una dipendenza numerica così semplice erano diverse proprietà insolite:
- Un gran numero di oggetti nel mondo vivente, da un virus a una persona, hanno proporzioni di base del corpo o degli arti molto vicine al valore della sezione aurea;
- La dipendenza di 0,63 o 1,62 è caratteristica solo per gli esseri biologici e alcune varietà di cristalli, oggetti inanimati, dai minerali agli elementi del paesaggio, hanno la geometria della sezione aurea estremamente raramente;
- Le proporzioni auree nella struttura del corpo si sono rivelate le più ottimali per la sopravvivenza di veri oggetti biologici.
Oggi la sezione aurea si trova nella struttura del corpo degli animali, nelle conchiglie e nei gusci dei molluschi, nelle proporzioni di foglie, rami, tronchi e apparati radicali in un numero piuttosto elevato di arbusti ed erbe.
Molti seguaci della teoria dell'universalità della sezione aurea hanno ripetutamente tentato di dimostrare che le sue proporzioni sono le più ottimali per organismi biologici nel contesto della loro esistenza.
Solitamente viene data come esempio la struttura della conchiglia di Astreae Heliotropium, uno dei molluschi marini. La conchiglia è una conchiglia di calcite arrotolata a spirale con una geometria che quasi coincide con le proporzioni della sezione aurea.
Un esempio più comprensibile e ovvio è un normale uovo di gallina.
Alla sezione aurea corrisponderà anche il rapporto tra i parametri principali, vale a dire fuoco grande e piccolo, o distanze da punti equidistanti della superficie al centro di gravità. Allo stesso tempo, la forma del guscio dell'uovo di un uccello è la più ottimale per la sopravvivenza di un uccello come specie biologica. In questo caso, la forza del guscio gioca un ruolo tutt'altro che principale.
Per vostra informazione! La sezione aurea, chiamata anche proporzione universale della geometria, è stata ottenuta come risultato di un numero enorme di misurazioni pratiche e confronti delle dimensioni di piante, uccelli, animali reali.
Origine della proporzione universale
Gli antichi matematici greci Euclide e Pitagora conoscevano il rapporto della sezione aurea. In uno dei monumenti architettura antica- La piramide di Cheope ha un rapporto tra lati e base, i singoli elementi e i bassorilievi murali sono realizzati secondo la proporzione universale.
La tecnica della sezione aurea era ampiamente utilizzata nel Medioevo da artisti e architetti, mentre l'essenza della proporzione universale era considerata uno dei segreti dell'universo ed era accuratamente nascosta al profano medio. La composizione di molti dipinti, sculture ed edifici è stata costruita rigorosamente secondo le proporzioni della sezione aurea.
Per la prima volta l'essenza della proporzione universale fu documentata nel 1509 dal frate francescano Luca Pacioli, dotato di brillanti capacità matematiche. Ma il vero riconoscimento è avvenuto dopo che lo scienziato tedesco Zeising ha condotto uno studio completo delle proporzioni e della geometria del corpo umano, sculture antiche, opere d'arte, animali e piante.
Nella maggior parte degli oggetti viventi, alcune dimensioni del corpo sono soggette alle stesse proporzioni. Nel 1855, gli scienziati hanno concluso che le proporzioni della sezione aurea sono una sorta di standard per l'armonia del corpo e della forma. Stiamo parlando, prima di tutto, di esseri viventi, per la natura morta la sezione aurea è molto meno comune.
Come hai ottenuto il rapporto aureo
Il rapporto aureo è più facile da immaginare come il rapporto tra due parti dello stesso oggetto di diverse lunghezze, separate da un punto.
In poche parole, quante lunghezze di un piccolo segmento si adatteranno a uno grande, o il rapporto tra la più grande delle parti e l'intera lunghezza di un oggetto lineare. Nel primo caso, il rapporto del rapporto aureo è 0,63, nel secondo l'aspect ratio è 1,618034.
In pratica la sezione aurea è solo una proporzione, il rapporto tra segmenti di una certa lunghezza, i lati di un rettangolo o altre forme geometriche, caratteristiche dimensionali correlate o coniugate di oggetti reali.
Inizialmente, le proporzioni auree sono state derivate empiricamente utilizzando costruzioni geometriche. Esistono diversi modi per costruire o derivare una proporzione armonica:
Per vostra informazione! A differenza del classico rapporto aureo, la versione architettonica implica le proporzioni del segmento nella proporzione di 44:56.
Se la versione standard della sezione aurea per gli esseri viventi, la pittura, la grafica, le sculture e gli edifici antichi è stata calcolata come 37:63, allora la sezione aurea in architettura con tardo XVII secolo, 44:56 cominciò ad essere usato sempre più spesso. La maggior parte degli esperti considera il cambiamento a favore di proporzioni più "quadrate" come la diffusione della costruzione di grattacieli.
Il segreto principale del rapporto aureo
Se le manifestazioni naturali della sezione universale nelle proporzioni dei corpi di animali e umani, la base del fusto delle piante può ancora essere spiegata dall'evoluzione e dall'adattabilità all'influenza ambiente esterno, poi la scoperta della sezione aurea nella costruzione delle case dei secoli XII-XIX fu una certa sorpresa. Inoltre, il famoso Partenone greco antico fu costruito nel rispetto della proporzione universale, molte case e castelli di ricchi nobili e persone benestanti nel Medioevo furono costruiti deliberatamente con parametri molto vicini al rapporto aureo.
La sezione aurea in architettura
Molti degli edifici sopravvissuti fino ad oggi testimoniano che gli architetti del Medioevo conoscevano l'esistenza della sezione aurea e, naturalmente, quando costruivano una casa, erano guidati dai loro primitivi calcoli e dipendenze, con i quali cercato di raggiungere la massima forza. Si manifestò particolarmente il desiderio di costruire le case più belle e armoniose negli edifici delle residenze dei regnanti, chiese, municipi ed edifici di particolare importanza sociale nella società.
Ad esempio, la famosa cattedrale di Notre Dame nelle sue proporzioni ha molte sezioni e catene dimensionali corrispondenti alla sezione aurea.
Anche prima della pubblicazione della sua ricerca nel 1855 da parte del professor Zeising, alla fine del XVIII secolo, i famosi complessi architettonici dell'ospedale Golitsyn e dell'edificio del Senato a San Pietroburgo, la casa Pashkov e il palazzo Petrovsky a Mosca furono costruiti utilizzando le proporzioni della sezione aurea.
Naturalmente, le case con la stretta osservanza della regola della sezione aurea sono state costruite prima. Vale la pena menzionare il monumento di architettura antica della Chiesa dell'Intercessione sul Nerl, mostrato nel diagramma.
Tutti loro sono uniti non solo da un'armoniosa combinazione di forme e alta qualità costruzione, ma anche, prima di tutto, la presenza della sezione aurea nelle proporzioni dell'edificio. La straordinaria bellezza dell'edificio diventa ancora più misteriosa se si tiene conto dell'età, l'edificio della Chiesa dell'Intercessione risale al XIII secolo, ma l'edificio ha ricevuto il suo aspetto architettonico moderno all'inizio del XVII secolo a causa di restauro e ristrutturazione.
Caratteristica della sezione aurea per una persona
L'antica architettura di edifici e case del Medioevo rimane attraente e interessante per uomo moderno per molte ragioni:
- Lo stile artistico individuale nel design delle facciate evita il timbro moderno e l'ottusità, ogni edificio è un'opera d'arte;
- Uso di massa per decorare e decorare statue, sculture, stucchi, combinazioni insolite di soluzioni costruttive di epoche diverse;
- Le proporzioni e le composizioni dell'edificio attirano l'attenzione sugli elementi più importanti dell'edificio.
Importante! Quando progettavano una casa e ne sviluppavano l'aspetto, gli architetti medievali usavano la regola della sezione aurea, usando inconsciamente le caratteristiche della percezione del subconscio umano.
Gli psicologi moderni hanno dimostrato sperimentalmente che la sezione aurea è una manifestazione di un desiderio inconscio o di una reazione umana a una combinazione o proporzione armoniosa di dimensioni, forma e persino colore. È stato condotto un esperimento durante il quale a un gruppo di persone sconosciute tra loro, che non avevano interessi comuni, di diverse professioni e fasce di età, sono state proposte una serie di prove, tra cui il compito di piegare un foglio di carta in le proporzioni più ottimali. Dai risultati del test è emerso che in 85 casi su 100 il foglio è stato piegato dai soggetti quasi esattamente secondo la sezione aurea.
Pertanto, la scienza moderna ritiene che il fenomeno della proporzione universale sia un fenomeno psicologico e non l'azione di forze metafisiche.
Utilizzo del fattore di sezione universale nel design e nell'architettura moderni
I principi dell'applicazione del rapporto aureo sono diventati estremamente popolari nella costruzione di case private negli ultimi anni. L'ecologia e la sicurezza dei materiali da costruzione sono state sostituite da un design armonioso e dalla corretta distribuzione dell'energia all'interno della casa.
L'interpretazione moderna della regola dell'armonia universale si è diffusa da tempo oltre i confini della solita geometria e forma di un oggetto. Oggi, non solo le catene dimensionali della lunghezza del portico e del frontone, i singoli elementi della facciata e l'altezza dell'edificio, ma anche l'area delle stanze, le aperture di finestre e porte e persino la combinazione di colori di l'interno della stanza è soggetto alla regola.
Il modo più semplice è costruire una casa armoniosa su base modulare. In questo caso, la maggior parte dei reparti e delle stanze sono realizzati sotto forma di blocchi o moduli indipendenti, progettati secondo la regola della sezione aurea. Costruire un edificio come un insieme di moduli armoniosi è molto più semplice che costruire un'unica scatola, in cui la maggior parte della facciata e degli interni deve rientrare nei rigidi limiti del rapporto aureo.
Un bel po' imprese edili i proprietari di case che progettano case private utilizzano i principi e i concetti del rapporto aureo per aumentare i budget e dare ai clienti l'impressione di uno studio approfondito del design della casa. Di norma, una casa del genere è dichiarata molto confortevole e armoniosa nell'uso. Il giusto rapporto tra le aree delle stanze garantisce comfort spirituale e ottima salute dei proprietari.
Se la casa è stata costruita senza tener conto dei rapporti ottimali della sezione aurea, è possibile riqualificare le stanze in modo che le proporzioni della stanza corrispondano al rapporto tra le pareti in un rapporto di 1: 1,61. Per fare ciò, i mobili possono essere spostati o possono essere installate ulteriori partizioni all'interno delle stanze. Allo stesso modo, le dimensioni delle aperture di finestre e porte vengono modificate in modo che la larghezza dell'apertura sia 1,61 volte inferiore all'altezza dell'anta. Allo stesso modo viene eseguita la progettazione di mobili, elettrodomestici, decorazione di pareti e pavimenti.
È più difficile scegliere una combinazione di colori. In questo caso, invece del solito rapporto di 63:37, i seguaci della regola d'oro hanno adottato un'interpretazione semplificata - 2/3. Cioè, lo sfondo del colore principale dovrebbe occupare il 60% dello spazio della stanza, non più del 30% è dato al colore dell'ombreggiatura e il resto è riservato a vari toni correlati, progettati per migliorare la percezione della soluzione cromatica.
Le pareti interne della stanza sono divise da una cintura o bordo orizzontale ad un'altezza di 70 cm, i mobili installati devono essere commisurati all'altezza dei soffitti secondo il rapporto aureo. La stessa regola vale per la distribuzione delle lunghezze, ad esempio la dimensione del divano non deve superare i 2/3 della lunghezza della parete, e l'area totale occupata dai mobili è rapportata all'area del stanza come 1: 1.61.
Il rapporto aureo è difficile da applicare in massa nella pratica a causa di un solo valore di sezione, quindi, quando si progettano edifici armoniosi, si ricorre spesso a una serie di numeri di Fibonacci. Ciò consente di espandere il numero opzioni proporzioni e forme geometriche degli elementi principali della casa. In questo caso, una serie di numeri di Fibonacci, interconnessi da una chiara relazione matematica, viene chiamata armonica o aurea.
Nel moderno metodo di progettazione abitativa basato sul principio della sezione aurea, oltre alla serie di Fibonacci, è ampiamente utilizzato il principio proposto dal famoso architetto francese Le Corbusier. In questo caso, come unità di misura iniziale viene scelta l'altezza del futuro proprietario o l'altezza media di una persona, in base alla quale vengono calcolati tutti i parametri dell'edificio e degli interni. Questo approccio ti consente di progettare una casa non solo armoniosa, ma anche veramente individuale.
Conclusione
In pratica, secondo le recensioni di chi ha deciso di costruire una casa secondo la regola della sezione aurea, un edificio ben costruito risulta essere davvero abbastanza comodo per vivere. Ma il costo dell'edificio dovuto al design individuale e all'uso di materiali da costruzione di dimensioni non standard aumenta del 60-70%. E non c'è nulla di nuovo in questo approccio, dal momento che la maggior parte degli edifici del secolo scorso sono stati costruiti appositamente per caratteristiche individuali futuri proprietari.
V. BELYANIN, Ph.D.
Scienza e vita // Illustrazioni
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La sezione aurea non viene "superata" a scuola. E quando uno degli autori dell'articolo in basso (V. Belyanin, Candidate of Technical Sciences) ha parlato della sezione aurea a un candidato che stava per entrare al MADI nel processo di preparazione agli esami presso l'istituto, il compito si è inaspettatamente suscitato vivo interesse e molte domande, a cui "in movimento" non c'erano risposte. Abbiamo deciso di cercarli insieme, e poi sono state scoperte le sottigliezze nella sezione aurea, che in precedenza erano sfuggite ai ricercatori. La creatività congiunta ha portato a un lavoro che conferma ancora una volta le possibilità creative dei giovani e ispira la speranza che il linguaggio della scienza non vada perduto.
I modelli della matematica, come i modelli dell'artista oi modelli del poeta, devono essere belli; le idee, come i colori o le parole, devono essere combinate armoniosamente. La bellezza è il primo criterio: non c'è posto al mondo per la brutta matematica.
JH Hardy
La bellezza di un problema matematico è uno degli stimoli più importanti per il suo incessante sviluppo e motivo della generazione di numerose applicazioni. A volte passano decine, centinaia e talvolta migliaia di anni, ma le persone trovano ancora e ancora svolte inaspettate in una soluzione ben nota e nella sua interpretazione. Uno di questi problemi longevi e affascinanti si è rivelato essere il problema del rapporto aureo (GS), che riflette gli elementi di grazia e armonia del mondo che ci circonda. Vale la pena ricordare, tra l'altro, che sebbene la proporzione stessa fosse nota anche a Euclide, il termine "sezione aurea" fu introdotto da Leonardo da Vinci (vedi "Scienza e vita").
Geometricamente, il rapporto aureo implica la divisione di un segmento in due parti disuguali in modo che la parte maggiore sia la media proporzionale tra l'intero segmento e la parte minore (Fig. 1).
Algebricamente, questo è espresso come segue:
Lo studio di questa proporzione ancor prima della sua soluzione mostra quello tra i segmenti UN E B ci sono almeno due correlazioni sorprendenti. Ad esempio, dalla proporzione (1) è facile ottenere un'espressione,
che imposta la proporzione tra i segmenti UN, B, la loro differenza e somma. Pertanto, possiamo dire diversamente della sezione aurea: due segmenti sono in relazione armonica se la loro differenza si riferisce al segmento più piccolo nello stesso modo in cui il segmento più grande si riferisce alla loro somma.
La seconda relazione si ottiene se si prende il segmento originale uguale a uno: UN + B= 1, che è molto spesso usato in matematica. In questo caso
UN 2 - B 2 = UN - B = ab.
Questi risultati implicano due relazioni sorprendenti tra i segmenti UN E B:
UN 2 - B 2 = UN - B = ab,(2)
che verrà utilizzato in futuro.
Passiamo ora alla soluzione della proporzione (1). In pratica si utilizzano due possibilità.
1. Denotare la relazione UN/B Attraverso. Quindi otteniamo l'equazione
X 2 - X - 1 = 0, (3)
Di solito viene considerata solo la radice positiva. X 1, che fornisce una divisione semplice e visiva del segmento in una data proporzione. In effetti, se prendiamo l'intero segmento come uno, utilizzando il valore di questa radice X 1, otteniamo UN ≈ 0,618,B≈ 0,382.
È la radice positiva X 1 equazione (3) è più spesso chiamata rapporto aureo O proporzione della sezione aurea. Viene chiamata la corrispondente divisione geometrica del segmento rapporto aureo(punto CON nella fig. 1).
Per comodità di quanto segue, indichiamo X 1 = D. Non esiste ancora una designazione generalmente accettata per la sezione aurea. Ciò è apparentemente dovuto al fatto che a volte è inteso come un altro numero, che sarà discusso di seguito.
Di solito lasciava da parte la radice negativa X 2 porta a una divisione meno visiva del segmento in due parti disuguali. Il punto è che dà un punto di divisione CON, che si trova al di fuori del segmento (la cosiddetta divisione esterna). Infatti, se UN + B= 1, quindi usando la radice X 2, otteniamo UN ≈ -1,618, B≈ 2,618. Pertanto, il segmento UN deve essere accantonato in direzione negativa (Fig. 2).
2. La seconda opzione per risolvere la proporzione (1) non differisce fondamentalmente dalla prima. Assumeremo la relazione incognita B/UN e denotarlo con si. Quindi otteniamo l'equazione
si 2 + si -1 = 0 , (4)
che ha radici irrazionali
Se UN + B= 1, quindi usando la radice si 1, otteniamo UN = si 1 ≈ 0,618, B≈ 0,382. Per la radice si 2 ottenere UN ≈ -1,618, B≈ 2,618. Divisione geometrica di un segmento in proporzione alla sezione aurea mediante radici si 1 e si 2 è del tutto identico alla versione precedente e corrisponde alla Fig. 1 e 2.
radice positiva si 1 fornisce direttamente la soluzione desiderata del problema, ed è anche chiamato rapporto aureo .
Per comodità indichiamo il valore della radice si 1 = D.
Così, in letteratura, il rapporto aureo è espresso matematicamente dal numero D 1.618 o numero D 0,618, tra i quali ci sono due sorprendenti relazioni:
gg= 1 e D - D = 1. (5)
È dimostrato che non esiste altra coppia di numeri simile con queste proprietà.
Usando entrambe le notazioni per il rapporto aureo, scriviamo le soluzioni delle equazioni (3) e (4) in una forma simmetrica: = D, = -D, = D, = -D.
Le proprietà insolite della sezione aurea sono descritte in dettaglio in letteratura. Sono così sorprendenti che hanno conquistato le menti di molti pensatori eccezionali e hanno creato un'aura di mistero intorno a loro.
La sezione aurea si trova nella configurazione di piante e minerali, nella struttura di parti dell'Universo e nella scala musicale. Riflette i principi globali della natura, penetrando tutti i livelli di organizzazione degli oggetti viventi e non viventi. È utilizzato in architettura, scultura, pittura, scienza, informatica, nella progettazione di articoli per la casa. Le creazioni che portano la configurazione della sezione aurea sembrano proporzionate e coerenti, sempre piacevoli alla vista, e il linguaggio matematico della stessa sezione aurea non è meno elegante ed elegante.
Oltre alle uguaglianze (5), dalla relazione (2) possiamo distinguere tre relazioni interessanti che hanno una certa perfezione e sembrano piuttosto attraenti ed esteticamente gradevoli:
(6)
La grandezza e la profondità della natura possono essere percepite non solo, ad esempio, contemplando le stelle o le cime delle montagne, ma anche scrutando alcune formule sorprendenti, molto apprezzate dai matematici per la loro bellezza. Questi includono rapporti eleganti del rapporto aureo, la fantastica formula di Eulero e iπ = -1 (dove io= √-1), una formula che definisce il famoso numero di Napier (base logaritmi naturali): e = lim(1 + 1/ N) n = 2,718 at N→ ∞, e molti altri.
Dopo aver risolto la proporzione (1), la sua idea sembra abbastanza semplice, ma, come spesso accade a molti, a prima vista compiti semplici, ci sono molte sottigliezze nascoste in esso. Una di queste notevoli sottigliezze, finora ignorate dai ricercatori, è la connessione delle radici delle equazioni (3) e (4) con gli angoli di tre meravigliosi triangoli.
Per vederlo, consideriamo come un segmento unidimensionale, diviso in proporzione al rapporto aureo, può essere facilmente trasformato in un'immagine bidimensionale a forma di triangolo. Per fare questo, usando prima la Fig. 1, messo da parte sul segmento AB lunghezza del segmento UN due volte - dal punto UN verso il punto IN e viceversa dal punto IN di fianco UN. Otteniamo due punti CON 1 e CON 2 dividendo il segmento AB da estremità diverse in proporzione alla sezione aurea (Fig. 3). Conteggio di segmenti uguali AC 1 e Sole 2 raggi e punti UN E IN i centri dei cerchi, disegna due archi finché non si intersecano nel punto più alto CON. Unendo i punti UN E CON, E IN E CON, ottenere un triangolo isoscele ABC con le parti AB = UN + B = 1, AC = = sole = UN = D≈ 0,618. Il valore degli angoli ai vertici UN E IN indichiamo α, al vertice CON- β. Calcoliamo questi angoli.
Secondo la legge dei coseni
(AB) 2 = 2(AC) 2 (1 - cosβ).
Sostituendo i valori numerici dei segmenti AB E AC in questa formula, otteniamo
Allo stesso modo, otteniamo
(8)
L'output del rapporto aureo su un'immagine bidimensionale ha permesso di collegare le radici delle equazioni (3) e (4) con gli angoli del triangolo ABC, che può essere chiamato il primo triangolo della sezione aurea.
Eseguiamo una costruzione simile utilizzando la Fig. 2. Se sulla continuazione del segmento AB rimandare dal punto IN a destra un segmento di dimensioni uguali al segmento UN, e ruota intorno ai centri UN E IN su entrambi i segmenti come raggi prima che si tocchino, otteniamo secondo triangolo rapporto aureo(figura 4) . In questo triangolo isoscele, il lato AB = UN + B= 1, lato AC = Sole = D≈1.618, e quindi, dalla formula del teorema del coseno, otteniamo
(9)
Angolo al vertice a CONè uguale a 36 o ed è correlato al rapporto aureo dal rapporto (8). Come nel caso precedente, gli angoli di questo triangolo sono legati alle radici delle equazioni (3) e (4).
Il secondo triangolo del rapporto aureo funge da elemento costitutivo principale di un pentagono convesso regolare e imposta le proporzioni di un pentagono a stella regolare (pentagramma), le cui proprietà sono discusse in dettaglio nel libro.
Il pentagono a stella è una figura simmetrica e, allo stesso tempo, nei rapporti dei suoi segmenti appare un rapporto aureo asimmetrico. Una tale combinazione di opposti attrae sempre con una profonda unità, la cui conoscenza permette di penetrare nelle leggi nascoste della natura e comprenderne l'eccezionale profondità e armonia. I Pitagorici, conquistati dalla consonanza dei segmenti nel pentagono stellare, lo scelsero come simbolo della loro comunità scientifica.
Sin dai tempi dell'astronomo I. Keplero (XVII secolo), a volte sono stati espressi diversi punti di vista su ciò che è più fondamentale: il teorema di Pitagora o il rapporto aureo. Il teorema di Pitagora è alla base della matematica, è uno dei suoi capisaldi. La sezione aurea è alla base dell'armonia e della bellezza dell'universo. A prima vista, è facile da capire e non ha molta completezza. Tuttavia, alcune delle sue proprietà inaspettate e profonde sono comprese solo in Ultimamente, che parla della necessità di rispettarne la sottigliezza nascosta e la possibile universalità. Il teorema di Pitagora e il rapporto aureo nel loro sviluppo sono strettamente intrecciati tra loro e proprietà geometriche e algebriche. Tra loro non c'è abisso, nessuna differenza fondamentale. Non competono, hanno scopi diversi.
È del tutto possibile che entrambi i punti di vista siano uguali, poiché esiste triangolo rettangolo, contenente una varietà di caratteristiche del rapporto aureo. In altre parole, esiste una figura geometrica che combina in modo abbastanza completo due incredibili fatti matematici: il teorema di Pitagora e il rapporto aureo.
Per costruire un tale triangolo, è sufficiente estendere il lato Sole triangolo ABC(Fig. 4) prima di attraversare il punto E con una perpendicolare ripristinata in un punto UN di fianco AB(figura 5).
In un triangolo isoscele interno ASSO angolo φ (angolo ASSO) è uguale a 144 o, e l'angolo ψ (angles EAC E AES) è uguale a 18 o. Lato AC = CE = SW = D. Usando il teorema di Pitagora, è facile ricavare la lunghezza della gamba
Usando questo risultato, arriviamo facilmente alla relazione
Quindi, viene trovata una connessione diretta della radice si 2 equazioni (4) - l'ultima delle radici delle equazioni (3) e (4) - con un angolo di 144 o. Per questo motivo, il triangolo ASSO può essere chiamato il terzo triangolo della sezione aurea.
Se in un meraviglioso triangolo rettangolo AVE disegnare una bisettrice dell'angolo TAXI all'intersezione con il fianco EV al punto F, lo vedremo lungo il lato AB ci sono quattro angoli: 36°, 72°, 108° e 144°, con i quali sono direttamente collegate le radici delle equazioni del rapporto aureo (relazioni (7) - (10)). Pertanto, il triangolo rettangolo presentato contiene l'intera galassia di triangoli equilateri che hanno le caratteristiche della sezione aurea. Inoltre, è davvero notevole che sull'ipotenusa ci siano due segmenti Unione Europea= D E Cf= 1.0 sono nella sezione aurea con FB = D. L'angolo ψ è correlato alle radici D E D equazioni (3) e (4) dalle relazioni
.
Le precedenti costruzioni di triangoli isosceli, i cui angoli sono associati alle radici delle equazioni del rapporto aureo, si basano sul segmento iniziale AB e le sue parti UN E B. Tuttavia, la sezione aurea consente di modellare non solo i triangoli sopra descritti, ma anche varie altre forme geometriche che portano elementi di relazioni armoniose.
Diamo due esempi di tali costruzioni. Innanzitutto, considera il segmento AB mostrato in fig. 1. Facciamo il punto CON- centro del cerchio, segmento B- raggio. Disegniamo un raggio B circonferenza e tangenti ad essa da un punto UN(figura 6). Collegamento dei punti di contatto E E F con un punto CON. Il risultato è un rombo asimmetrico AECF, in cui la diagonale AC lo divide in due triangoli rettangoli uguali ASSO E ACF.
Prestiamo maggiore attenzione a uno di essi, ad esempio, a un triangolo ASSO. In questo triangolo, l'angolo AES- dritto, ipotenusa AC = UN, gamba CE = B e gamba AE = √ab≈ 0.486, che segue dalla relazione (2). Pertanto, la gamba AEè la media geometrica (proporzionale) tra i segmenti UN E B, cioè esprime il centro geometrico di simmetria tra i numeri UN≈ 0,618 e B ≈ 0,382.
Troviamo i valori degli angoli di questo triangolo:
Come nei casi precedenti, gli angoli δ ed ε sono collegati tramite un coseno con le radici delle equazioni (3) e (4).
Nota che un rombo asimmetrico come un rombo AECF, ottenuto tracciando le tangenti dal punto IN ad un cerchio di raggio UN e centrato in un punto UN.
Rombo asimmetrico AECF ottenuto in modo diverso nel libro nell'analisi dei fenomeni di formazione e crescita nella fauna selvatica. Triangolo rettangolo AES chiamato in questo lavoro un triangolo "vivente", in quanto è in grado di generare immagini visive corrispondenti a vari elementi strutturali della natura, e servire come chiave nella costruzione di schemi geometrici per l'inizio dello sviluppo di alcuni organismi viventi.
Il secondo esempio è relativo al primo e al terzo triangolo della sezione aurea. Formiamo un rombo dai primi due triangoli uguali del rapporto aureo con angoli interni di 72 o e 108 o. Allo stesso modo, combiniamo due terzi triangoli uguali del rapporto aureo in un rombo con angoli interni di 36 o e 144 o. Se i lati di questi rombi sono uguali tra loro, allora possono riempire un piano infinito senza vuoti e sovrapposizioni. L'algoritmo corrispondente per riempire il piano è stato sviluppato alla fine degli anni '70 da R. Penrose, un fisico teorico dell'Università di Oxford. Inoltre, è risultato che nel mosaico risultante non è possibile individuare una cella elementare con un numero intero di rombi di ogni tipo, la cui traslazione permetterebbe di ottenere l'intero mosaico. Ma la cosa più notevole è stata che nella piastrellatura infinita di Penrose, il rapporto tra il numero di rombi "stretti" e il numero di quelli "larghi" è esattamente uguale al valore del rapporto aureo D = 0,61803...!
In questo esempio, tutte le radici della sezione aurea, espresse attraverso gli angoli, sono sorprendentemente combinate con uno dei casi di riempimento non banale di un piano infinito con due figure elementari: i rombi.
In conclusione, notiamo che i vari esempi precedenti della connessione tra le radici delle equazioni della sezione aurea e gli angoli dei triangoli illustrano il fatto che la sezione aurea è un problema più capiente di quanto si pensasse in precedenza. Se prima l'ambito del rapporto aureo era in definitiva considerato il rapporto tra segmenti e varie sequenze associate ai valori numerici delle sue radici (numeri di Fibonacci), ora si è scoperto che il rapporto aureo può generare una varietà di oggetti geometrici , e le radici delle equazioni hanno un'espressione trigonometrica esplicita.
Gli autori sono consapevoli che il punto di vista sopra espresso circa l'eleganza dei rapporti matematici associati al rapporto aureo riflette esperienze estetiche personali. Nella moderna letteratura filosofica, i concetti di estetica e bellezza sono interpretati in modo abbastanza ampio e sono usati piuttosto a livello intuitivo. Questi concetti sono principalmente legati all'arte. Il contenuto della creatività scientifica in termini estetici non è praticamente considerato in letteratura. In prima approssimazione ai parametri estetici ricerca scientifica può essere attribuito alla loro semplicità comparativa, alla loro simmetria intrinseca e alla capacità di generare immagini visive. Tutti questi parametri estetici corrispondono al compito, chiamato "proporzione aurea". In generale, i problemi dell'estetica nella scienza sono lungi dall'essere risolti, sebbene siano di grande interesse.
Si sente intuitivamente che la sezione aurea nasconde ancora i suoi segreti. Alcuni di loro, molto probabilmente, giacciono in superficie, in attesa dell'aspetto insolito dei loro nuovi ricercatori. Conoscere le proprietà della sezione aurea può servire come una buona base per le persone creative, dare loro fiducia scienza e dentro vita.
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Ogni persona che incontra la geometria degli oggetti nello spazio conosce bene il metodo della sezione aurea. È usato nell'arte, nell'interior design e nell'architettura. Anche nel secolo scorso, la sezione aurea si è rivelata così popolare che ora molti sostenitori della visione mistica del mondo le hanno dato un altro nome: la regola armonica universale. Vale la pena considerare le caratteristiche di questo metodo in modo più dettagliato. Ciò contribuirà a scoprire perché è interessato a diverse aree di attività contemporaneamente: arte, architettura, design.
L'essenza della proporzione universale
Il principio della sezione aurea è solo una dipendenza dei numeri. Tuttavia, molti sono prevenuti nei suoi confronti, attribuendo a questo fenomeno alcuni poteri mistici. La ragione sta nelle proprietà insolite della regola:
- Molti oggetti viventi hanno proporzioni del tronco e degli arti che si avvicinano alle indicazioni della sezione aurea.
- Le dipendenze 1.62 o 0.63 determinano i rapporti dimensionali solo per gli esseri viventi. Gli oggetti legati alla natura inanimata corrispondono molto raramente al significato della regola armonica.
- Le proporzioni auree della struttura corporea degli esseri viventi sono una condizione essenziale per la sopravvivenza di molte specie biologiche.
La sezione aurea può essere trovata nella struttura dei corpi di vari animali, tronchi d'albero e radici di arbusti. I sostenitori dell'universalità di questo principio stanno cercando di dimostrare che il suo significato è vitale per i rappresentanti del mondo vivente.
Puoi spiegare il metodo della sezione aurea usando l'immagine di un uovo di gallina. Il rapporto dei segmenti dalle punte della conchiglia, equidistanti dal centro di gravità, è uguale al rapporto aureo. L'indicatore più importante per la sopravvivenza degli uccelli è la forma dell'uovo e non la forza del guscio.
Importante! Il rapporto aureo viene calcolato in base alle misurazioni di molti oggetti viventi.
Origine della sezione aurea
I matematici conoscevano già la regola universale Grecia antica. Era usato da Pitagora ed Euclide. Nel famoso capolavoro architettonico - la piramide di Cheope, il rapporto tra le dimensioni della parte principale e la lunghezza dei lati, così come i bassorilievi e i dettagli decorativi, corrispondono alla regola armonica.
Il metodo della sezione aurea è stato adottato non solo dagli architetti, ma anche dagli artisti. Il mistero della proporzione armonica era considerato uno dei più grandi misteri.
Il primo a documentare la proporzione geometrica universale fu il frate francescano Luca Pacioli. La sua abilità in matematica era eccellente. La sezione aurea ha ottenuto un ampio riconoscimento dopo la pubblicazione dei risultati di Zeising sulla sezione aurea. Ha studiato le proporzioni del corpo umano, sculture antiche, piante.
Come è stata calcolata la sezione aurea?
Per capire cos'è il rapporto aureo, sarà utile una spiegazione basata sulle lunghezze dei segmenti. Ad esempio, all'interno di uno grande ce ne sono diversi piccoli. Quindi le lunghezze dei segmenti piccoli sono correlate alla lunghezza totale del segmento grande come 0,62. Tale definizione aiuta a capire in quante parti può essere suddivisa una certa linea in modo che rispetti la regola armonica. Un altro vantaggio dell'utilizzo di questo metodo è che puoi scoprire quale dovrebbe essere il rapporto tra il segmento più grande e la lunghezza dell'intero oggetto. Questo rapporto è 1,62.
Tali dati possono essere rappresentati come le proporzioni degli oggetti misurati. All'inizio sono stati cercati, selezionando empiricamente. Tuttavia, ora sono noti i rapporti esatti, quindi non sarà difficile costruire un oggetto in conformità con essi. La sezione aurea si trova nei seguenti modi:
- Costruisci un triangolo rettangolo. Dividi uno dei suoi lati, quindi disegna perpendicolari con archi secanti. Quando si eseguono i calcoli, è necessario costruire una perpendicolare da un'estremità del segmento, pari a ½ della sua lunghezza. Quindi un triangolo rettangolo è completato. Se segni un punto sull'ipotenusa, che mostrerà la lunghezza del segmento perpendicolare, allora un raggio uguale al resto della linea taglierà la base in due metà. Le linee risultanti saranno correlate tra loro secondo il rapporto aureo.
- I valori geometrici universali si ottengono anche in un altro modo: costruendo il pentagramma di Durer. È una stella che si trova in un cerchio. Contiene 4 segmenti, le cui lunghezze corrispondono alla regola della sezione aurea.
- In architettura, la proporzione armonica è usata in forma modificata. Per fare ciò, un triangolo rettangolo dovrebbe essere diviso lungo l'ipotenusa.
Importante! Rispetto al concetto classico del metodo del rapporto aureo, la versione dell'architetto ha un rapporto di 44:56.
Se nell'interpretazione tradizionale della regola armonica per la grafica, era calcolata come 37:63, allora 44:56 era più spesso usata per le strutture architettoniche. Ciò è dovuto alla necessità di costruire grattacieli.
Il segreto della sezione aurea
Se nel caso degli oggetti viventi la sezione aurea, che si manifesta nelle proporzioni del corpo di persone e animali, può essere spiegata dalla necessità di adattarsi all'ambiente, allora l'uso della regola delle proporzioni ottimali nel XII secolo costruire case era nuovo.
Il Partenone, conservato dai tempi dell'antica Grecia, fu eretto utilizzando il metodo della sezione aurea. Molti castelli dei nobili del Medioevo furono creati con parametri corrispondenti alla regola armonica.
La sezione aurea in architettura
I numerosi edifici dell'antichità sopravvissuti fino ai nostri giorni confermano che gli architetti del Medioevo conoscevano la regola armonica. È molto evidente il desiderio di mantenere una proporzione armoniosa nella costruzione di chiese, edifici pubblici significativi, residenze di persone reali.
Ad esempio, la cattedrale di Notre Dame è stata costruita in modo tale che molte delle sue sezioni corrispondano alla regola della sezione aurea. Puoi trovare molte opere architettoniche del XVIII secolo che furono costruite secondo questa regola. La regola è stata applicata anche da molti architetti russi. Tra questi c'era M. Kazakov, che ha creato progetti per tenute ed edifici residenziali. Ha progettato l'edificio del Senato e l'ospedale Golitsyn.
Naturalmente, le case con un tale rapporto di parti furono erette anche prima della scoperta della regola della sezione aurea. Ad esempio, tali edifici includono la Chiesa dell'Intercessione sul Nerl. La bellezza dell'edificio diventa ancora più misteriosa, dato che l'edificio della Chiesa dell'Intercessione fu eretto nel XVIII secolo. Tuttavia aspetto moderno edificio acquisito dopo il restauro.
Negli scritti sulla sezione aurea si dice che in architettura la percezione degli oggetti dipende da chi li osserva. Le proporzioni formate utilizzando la sezione aurea danno il rapporto più rilassato delle parti della struttura l'una rispetto all'altra.
Un sorprendente rappresentante di una serie di edifici conformi alla regola universale è il Partenone, un monumento architettonico eretto nel V secolo a.C. e. Il Partenone è disposto con otto colonne sulle facciate minori e diciassette su quelle maggiori. Il tempio è stato costruito in marmo nobile. Per questo motivo, l'uso della colorazione è limitato. L'altezza dell'edificio si riferisce alla sua lunghezza 0,618. Se dividi il Partenone secondo le proporzioni della sezione aurea, otterrai alcune sporgenze della facciata.
Tutte queste strutture hanno una cosa in comune: l'armonia della combinazione di forme e l'eccellente qualità costruttiva. Ciò è dovuto all'uso della regola armonica.
L'importanza della sezione aurea per una persona
L'architettura di edifici antichi e case medievali è piuttosto interessante per i designer moderni. Ciò è dovuto a tali motivi:
- Grazie al design originale delle case, puoi evitare fastidiosi cliché. Ognuno di questi edifici è un capolavoro architettonico.
- Applicazione di massa della regola per decorare sculture e statue.
- Grazie al rispetto delle proporzioni armoniche, l'occhio è attratto da dettagli più importanti.
Importante! Quando si creava un progetto di costruzione e si creava un aspetto esterno, gli architetti del Medioevo usavano proporzioni universali, basate sulle leggi della percezione umana.
Oggi gli psicologi sono giunti alla conclusione che il principio del rapporto aureo non è altro che una reazione umana a un certo rapporto di dimensioni e forme. In un esperimento, a un gruppo di soggetti è stato chiesto di piegare un foglio di carta in modo tale che i lati risultassero con proporzioni ottimali. In 85 risultati su 100, le persone hanno piegato il foglio quasi esattamente secondo la regola armonica.
Secondo gli scienziati moderni, gli indicatori della sezione aurea sono più nel campo della psicologia che caratterizzano le leggi del mondo fisico. Questo spiega perché c'è un tale interesse per lui da parte degli imbroglioni. Tuttavia, quando si costruiscono oggetti secondo questa regola, una persona li percepisce più comodamente.
Utilizzando il rapporto aureo nel design
I principi dell'utilizzo di una proporzione universale sono sempre più utilizzati nella costruzione di case private. Particolare attenzione è rivolta al rispetto delle proporzioni ottimali della struttura. Molta attenzione è rivolta alla corretta distribuzione delle attenzioni all'interno della casa.
L'interpretazione moderna della sezione aurea non si riferisce più solo alle regole della geometria e della forma. Oggi il principio delle proporzioni armoniche obbedisce non solo alle dimensioni dei dettagli della facciata, all'area delle stanze o alla lunghezza dei timpani, ma anche alla tavolozza dei colori utilizzata per creare l'interno.
È molto più facile costruire una struttura armoniosa su base modulare. Molti reparti e stanze in questo caso vengono eseguiti come blocchi separati. Sono progettati in stretta conformità con la regola armonica. Costruire un edificio come un insieme di moduli separati è molto più semplice che creare una singola scatola.
Molte aziende coinvolte nella costruzione di case di campagna, quando creano un progetto, seguono la regola armonica. Ciò consente ai clienti di dare l'impressione che la struttura dell'edificio sia stata elaborata in dettaglio. Tali case sono solitamente descritte come le più armoniose e comode da usare. A scelta ottimale dell'area delle stanze, gli inquilini si sentono psicologicamente calmi.
Se la casa è stata costruita senza tener conto delle proporzioni armoniche, è possibile creare un layout che sarà vicino a 1: 1,61 in termini di rapporto tra le dimensioni delle pareti. Per fare ciò, nelle stanze vengono installate partizioni aggiuntive o vengono riorganizzati i mobili.
Allo stesso modo, le dimensioni di porte e finestre vengono modificate in modo che l'apertura abbia una larghezza 1,61 volte inferiore al valore dell'altezza.
Più difficile scegliere i colori. In questo caso, puoi osservare il valore semplificato della sezione aurea - 2/3. Lo sfondo del colore principale dovrebbe occupare il 60% dello spazio della stanza. L'ombreggiatura occupa il 30% della stanza. La restante superficie viene sovraverniciata con toni vicini tra loro, esaltando la percezione del colore selezionato.
Le pareti interne delle stanze sono divise da una fascia orizzontale. Si trova a 70 cm dal pavimento. L'altezza dei mobili dovrebbe essere in armonia con l'altezza delle pareti. Questa regola vale anche per la distribuzione delle lunghezze. Ad esempio, un divano dovrebbe avere dimensioni che siano almeno i 2/3 della lunghezza della parete. Anche l'area della stanza, occupata da mobili, dovrebbe avere un certo valore. Si riferisce all'area totale dell'intera stanza come 1:1.61.
Il rapporto aureo è di difficile applicazione pratica a causa della presenza di un solo numero. È per questo. Progetto edifici armoniosi, utilizzo una serie di numeri di Fibonacci. Ciò fornisce una varietà di opzioni per forme e proporzioni dei dettagli costruttivi. Una serie di numeri di Fibonacci è anche chiamata quella d'oro. Tutti i valori corrispondono rigorosamente a una certa dipendenza matematica.
Oltre alla serie di Fibonacci, l'architettura moderna utilizza anche un altro metodo di progettazione: il principio stabilito dall'architetto francese Le Corbusier. Quando si sceglie questo metodo, l'unità di misura iniziale è l'altezza del proprietario della casa. Sulla base di questo indicatore, vengono calcolate le dimensioni dell'edificio e degli interni. Grazie a questo approccio, la casa non è solo armoniosa, ma acquisisce anche individualità.
Qualsiasi interno assumerà un aspetto più completo se si utilizzano cornici. Quando si utilizzano proporzioni universali, è possibile calcolarne le dimensioni. Gli indicatori ottimali sono 22,5, 14 e 8,5 cm La gronda deve essere installata secondo le regole della sezione aurea. Il lato piccolo dell'elemento decorativo va rapportato al lato maggiore in quanto lo è ai valori combinati dei due lati. Se il lato grande è pari a 14 cm, quello piccolo dovrebbe essere di 8,5 cm.
Puoi dare conforto alla stanza dividendo le superfici delle pareti con l'aiuto di specchi di gesso. Se il muro è diviso da un cordolo, l'altezza del listello del cornicione deve essere sottratta dalla restante parte più ampia del muro. Per creare uno specchio di lunghezza ottimale, è necessario ritirare la stessa distanza dal cordolo e dal cornicione.
Conclusione
Le case costruite secondo il principio della sezione aurea risultano davvero molto confortevoli. Tuttavia, il prezzo per la costruzione di tali edifici è piuttosto elevato, poiché il costo dei materiali da costruzione aumenta del 70% a causa delle dimensioni atipiche. Questo approccio non è affatto nuovo, poiché la maggior parte delle case del secolo scorso sono state create in base ai parametri dei proprietari.
Grazie all'utilizzo del metodo della sezione aurea nella costruzione e nella progettazione, gli edifici non sono solo confortevoli, ma anche durevoli. Sembrano armoniosi e attraenti. Anche l'interno è decorato secondo una proporzione universale. Questo ti permette di usare saggiamente lo spazio.
In tali stanze, una persona si sente il più a suo agio possibile. Puoi costruire tu stesso una casa usando il principio della sezione aurea. L'importante è calcolare i carichi sugli elementi della struttura e scegliere i materiali giusti.
Il metodo della sezione aurea viene utilizzato nell'interior design, posizionando elementi decorativi di determinate dimensioni nella stanza. Questo ti permette di dare comfort alla stanza. Anche le soluzioni di colore sono scelte secondo proporzioni armoniche universali.
Il saggio è stato completato da una studentessa dell'ottavo anno della palestra MOU n. 9 Vyushina Veronika
Ekaterinburg
1. Introduzione. La proporzione della sezione aurea. F e φ.
"La geometria ha due grandi tesori. Il primo è il teorema di Pitagora, il secondo è la divisione di un segmento nel rapporto estremo e medio"
Giovanni Keplero
I poligoni regolari hanno attirato l'attenzione degli antichi scienziati greci molto prima di Archimede. I Pitagorici, che scelsero il pentagramma, una stella a cinque punte, come emblema della loro unione, diedero una Grande importanza il problema della divisione di un cerchio in parti uguali, cioè la costruzione di un poligono regolare inscritto. Albrecht Durer (1471-1527), che divenne la personificazione del Rinascimento in Germania, fornisce un metodo teoricamente accurato per costruire un pentagono regolare, preso in prestito dalla grande opera di Tolomeo "Almagesto".
L'interesse di Durer per la costruzione di poligoni regolari riflette il loro uso nel Medioevo negli ornamenti arabi e gotici e, dopo l'invenzione delle armi da fuoco, nella disposizione delle fortezze.
I metodi medievali per la costruzione dei poligoni regolari erano approssimativi, ma erano (o non potevano essere) semplici: si preferivano metodi di costruzione che non richiedessero nemmeno di cambiare la soluzione del compasso. Anche Leonardo da Vinci ha scritto molto sui poligoni, ma è stato Dürer, non Leonardo, a tramandare ai posteri i metodi di costruzione medievali. Dürer, ovviamente, conosceva i "Principi" di Euclide, ma non presentò nella sua "Guida alla misurazione" (sulle costruzioni con compasso e righello) il metodo proposto da Euclide per costruire un pentagono regolare, teoricamente accurato, come tutti gli costruzioni. Euclide non tenta di dividere un dato arco circolare in tre parti uguali, e Dürer sapeva, anche se la prova fu trovata solo nel XIX secolo, che questo problema era irrisolvibile.
La costruzione di un pentagono regolare proposta da Euclide prevede la divisione di un segmento di retta nel rapporto medio ed estremo, che fu poi chiamata sezione aurea e attirò l'attenzione di artisti e architetti per diversi secoli.
Il punto B divide il segmento ABE nel rapporto medio ed estremo o forma il rapporto aureo se il rapporto tra la parte maggiore del segmento e quella minore è uguale al rapporto tra l'intero segmento e la parte maggiore.
Scritta come uguaglianza di rapporti, la sezione aurea ha la forma
AB/BE = AB/AE
Se poniamo AB=a e BE=a/F in modo che il rapporto aureo sia uguale a AB/BE=F, otteniamo il rapporto
Cioè, F soddisfa l'equazione
Questa equazione ha una radice positiva
Ф=(√5+1)/2=1.618034….
Si noti che 1/Ф = (√5 -1)/2, poiché (√5-1)(√5+1) =5-1=4. È consuetudine considerare φ=0.618034… come 1/Ф.
Ф e φ - forme maiuscole e minuscole della lettera greca "phi".
Questa designazione fu adottata in onore dell'antico scultore greco Fidia (V secolo a.C.), che supervisionò la costruzione del tempio del Partenone ad Atene. Nelle proporzioni di questo tempio, il numero φ è ripetutamente presente.
2.Storia della sezione aurea
È generalmente accettato che il concetto di divisione aurea sia stato introdotto nell'uso scientifico da Pitagora, antico filosofo greco e matematico (VI secolo aC). Si presume che Pitagora abbia preso in prestito la sua conoscenza della divisione aurea dagli egiziani e dai babilonesi. In effetti, le proporzioni della piramide di Cheope, dei templi, dei bassorilievi, degli oggetti domestici e delle decorazioni della tomba di Tutankhamon indicano che gli artigiani egiziani usavano i rapporti della divisione aurea durante la loro creazione. L'architetto francese Le Corbusier ha scoperto che nel rilievo del tempio del faraone Seti I ad Abydos e nel rilievo raffigurante il faraone Ramesse, le proporzioni delle figure corrispondono ai valori della divisione aurea. L'architetto Khesira, raffigurato su un rilievo di una tavola di legno dalla tomba del suo nome, tiene in mano strumenti di misura, in cui sono fissate le proporzioni della divisione aurea.
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I greci erano abili geometri. Anche l'aritmetica veniva insegnata ai loro figli con l'aiuto di figure geometriche. Il quadrato di Pitagora e la diagonale di questo quadrato erano la base per la costruzione di rettangoli dinamici.
Anche Platone (427...347 aC) conosceva la divisione aurea. Il suo dialogo "Timeo" è dedicato alle visioni matematiche ed estetiche della scuola di Pitagora e, in particolare, alle questioni della divisione aurea.
Il Partenone ha 8 colonne sui lati corti e 17 su quelli lunghi. Il rapporto tra l'altezza dell'edificio e la sua lunghezza è 0,618. Se dividiamo il Partenone secondo la "sezione aurea", otterremo alcune sporgenze della facciata. Durante i suoi scavi sono stati rinvenuti compassi, utilizzati da architetti e scultori del mondo antico. Il compasso pompeiano (Museo di Napoli) contiene anche le proporzioni della divisione aurea.
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Nell'antica letteratura che ci è pervenuta, la divisione aurea è stata menzionata per la prima volta negli "Inizi" di Euclide. Nel 2° libro degli "Inizi" viene data la costruzione geometrica della divisione aurea. Dopo Euclide, Ipsicle (II secolo a.C.), Pappo (III secolo d.C.) e altri studiarono la divisione aurea, che nell'Europa medievale conobbero grazie alle traduzioni arabe degli "Inizi" di Euclide. Il traduttore J. Campano di Navarra (III secolo) ha commentato la traduzione. I segreti della divisione aurea erano gelosamente custoditi, tenuti in stretta segretezza. Erano conosciuti solo dagli iniziati.
Durante il Rinascimento, l'interesse per la divisione aurea aumentò tra scienziati e artisti in relazione al suo uso, sia in geometria che in arte, specialmente in architettura. Leonardo da Vinci, artista e scienziato, ha visto che negli artisti italiani c'era una grande esperienza empirica, ma una mancanza di conoscenza. Concepì e iniziò a scrivere un libro sulla geometria, ma in quel momento apparve un libro del monaco Luca Pacioli e Leonardo abbandonò la sua idea. Secondo contemporanei e storici della scienza, Luca Pacioli fu un vero e proprio luminare, il più grande matematico italiano tra Fibonacci e Galileo.
Luca Pacioli era ben consapevole dell'importanza della scienza per l'arte. Nel 1496, su invito del duca di Moreau, venne a Milano, dove tenne lezioni di matematica. Leonardo da Vinci lavorava in quel periodo anche alla corte del Moro a Milano. Nel 1509 fu pubblicata a Venezia la Divina Proporzione di Luca Pacioli, con illustrazioni brillantemente eseguite, motivo per cui si ritiene che siano state realizzate da Leonardo da Vinci. Il libro era un inno entusiasta alla sezione aurea. Tra i tanti pregi della sezione aurea, il monaco Luca Pacioli non mancò di nominare la sua "essenza divina" come espressione della divina trinità: Dio Figlio, Dio Padre e Dio Spirito Santo (si capì che il piccolo segmento è la personificazione di Dio Figlio, il segmento più grande - il dio dello spirito santo).
Anche Leonardo da Vinci prestò molta attenzione allo studio della divisione aurea. Realizzò sezioni di un corpo stereometrico formato da pentagoni regolari, e ogni volta ottenne rettangoli con proporzioni in divisione aurea. Pertanto, ha dato a questa divisione il nome della sezione aurea. Quindi è ancora il più popolare.
Contemporaneamente, nel nord Europa, in Germania, Albrecht Dürer lavorava sugli stessi problemi. Abbozza un'introduzione alla prima bozza di un trattato sulle proporzioni. Dürer scrive: "È necessario che chi sa qualcosa lo insegni ad altri che ne hanno bisogno. Questo è quello che mi sono proposto di fare".
A giudicare da una delle lettere di Dürer, ha incontrato Luca Pacioli durante il suo soggiorno in Italia. Albrecht Dürer sviluppa in dettaglio la teoria delle proporzioni del corpo umano. Dürer assegnò alla sezione aurea un posto importante nel suo sistema di rapporti. L'altezza di una persona è divisa in proporzioni auree dalla linea della cintura, così come dalla linea tracciata attraverso la punta delle dita medie delle mani abbassate, la parte inferiore del viso - dalla bocca, ecc. Compasso proporzionale noto Dürer.
La costruzione di una serie di segmenti del rapporto aureo può essere fatta sia in direzione di aumento (serie crescente) sia in direzione di diminuzione (serie discendente).
La sezione aurea è una manifestazione universale di armonia strutturale. Si trova nella natura, nella scienza, nell'arte - in tutto ciò con cui una persona può entrare in contatto. Una volta conosciuta la regola d'oro, l'umanità non l'ha più tradita.
Definizione.
La definizione più capiente del rapporto aureo dice che la parte più piccola si riferisce a quella più grande, come la parte più grande si riferisce al tutto. Il suo valore approssimativo è 1,6180339887 In una percentuale arrotondata, le proporzioni delle parti del tutto saranno correlate dal 62% al 38%. Questo rapporto nelle forme di spazio e tempo opera.
Gli antichi vedevano la sezione aurea come un riflesso dell'ordine cosmico, e Johannes Kepler la definì uno dei tesori della geometria. scienza moderna considera la sezione aurea come "simmetria asimmetrica", definendola in senso lato una regola universale che riflette la struttura e l'ordine del nostro ordine mondiale.
Storia.
Gli antichi egizi avevano un'idea delle proporzioni auree, le conoscevano anche in Rus', ma per la prima volta il monaco della cipolla patcholi spiegò scientificamente la sezione aurea nel libro "Divine Proportion" (1509), che è stato presumibilmente illustrato da Leonardo da Vinci. Pacioli vedeva nella sezione aurea la divina trinità: lo spicchio piccolo personificava il figlio, quello grande il padre, e il tutto lo spirito santo.
Il nome del matematico italiano Leonardo Fibonacci è direttamente collegato alla regola della sezione aurea. Come risultato della risoluzione di uno dei problemi, lo scienziato arrivò a una sequenza di numeri ora nota come serie di Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc. Keplero attirò l'attenzione sul rapporto di questa sequenza con il rapporto aureo: "È disposto in modo tale che i due membri minori di questa proporzione infinita nella somma danno il terzo membro, e due ultimi membri qualsiasi, se aggiunti, danno il membro successivo e il membro successivo stessa proporzione è conservata all'infinito." Ora la serie di Fibonacci è la base aritmetica per calcolare le proporzioni della sezione aurea in tutte le sue manifestazioni
Numeri di Fibonacci - divisione armonica, una misura della bellezza. Il rapporto aureo in natura, uomo, arte, architettura, scultura, design, matematica, musica https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet
Anche Leonardo da Vinci ha dedicato molto tempo allo studio delle caratteristiche della sezione aurea, molto probabilmente il termine stesso gli appartiene. I suoi disegni di un corpo stereometrico formato da pentagoni regolari provano che ciascuno dei rettangoli ottenuti per sezione fornisce le proporzioni in divisione aurea.
Nel tempo, la regola del rapporto aureo si trasformò in una routine accademica e solo il filosofo Adolf Zeising nel 1855 la riportò a una seconda vita. Ha portato le proporzioni della sezione aurea all'assoluto, rendendole universali per tutti i fenomeni del mondo circostante. Tuttavia, la sua "estetica matematica" ha suscitato molte critiche.
Natura.
Anche senza entrare nei calcoli, la sezione aurea può essere facilmente trovata in natura. Quindi, il rapporto tra la coda e il corpo della lucertola, la distanza tra le foglie sul ramo cade sotto di essa, c'è una sezione aurea e ha la forma di un uovo, se viene tracciata una linea condizionale attraverso la sua parte più larga.
Lo scienziato bielorusso Eduard Soroko, che ha studiato le forme delle divisioni auree in natura, ha notato che tutto ciò che cresce e si sforza di prendere posto nello spazio è dotato delle proporzioni della sezione aurea. Secondo lui, una delle forme più interessanti è la spirale.
Anche Archimede, prestando attenzione alla spirale, derivò un'equazione basata sulla sua forma, che è ancora utilizzata nella tecnologia. Successivamente, Goethe notò l'attrazione della natura per le forme a spirale, chiamando la spirale "vita storta". Scienziati moderni hanno scoperto che tali manifestazioni di forme a spirale in natura come un guscio di lumaca, la disposizione dei semi di girasole, i modelli di rete, il movimento di un uragano, la struttura del DNA e persino la struttura delle galassie contengono la serie di Fibonacci.
Umano.
Gli stilisti e gli stilisti di abbigliamento fanno tutti i calcoli in base alle proporzioni della sezione aurea. L'uomo è una forma universale per testare le leggi della sezione aurea. Naturalmente, per natura, non tutte le persone hanno proporzioni ideali, il che crea alcune difficoltà con la selezione dei vestiti.
Nel diario di Leonardo da Vinci c'è il disegno di un uomo nudo inscritto in un cerchio, in due posizioni sovrapposte l'una all'altra. Sulla base degli studi dell'architetto romano Vitruvio, anche Leonardo cercò di stabilire le proporzioni del corpo umano. Successivamente, l'architetto francese Le Corbusier, utilizzando l'"Uomo vitruviano" di Leonardo, creò la propria scala di "proporzioni armoniche", che influenzò l'estetica dell'architettura del XX secolo.
Adolf Zeising, esplorando la proporzionalità dell'uomo, ha svolto un lavoro colossale. Misurò circa duemila corpi umani, oltre a molte statue antiche, e dedusse che la sezione aurea esprime la legge media. In una persona, quasi tutte le parti del corpo gli sono subordinate, ma l'indicatore principale della sezione aurea è la divisione del corpo dal punto dell'ombelico.
Come risultato delle misurazioni, il ricercatore ha scoperto che le proporzioni del corpo maschile 13: 8 sono più vicine al rapporto aureo rispetto alle proporzioni del corpo femminile - 8: 5.
Arte delle forme spaziali.
L'artista Vasily Surikov ha affermato che "c'è una legge immutabile nella composizione, quando nulla può essere rimosso o aggiunto all'immagine, anche un punto in più non può essere messo, questa è vera matematica". Per molto tempo gli artisti hanno seguito questa legge in modo intuitivo, ma dopo Leonardo da Vinci il processo di creazione di un dipinto non è più completo senza la risoluzione di problemi geometrici. Ad esempio, Albrecht Dürer ha utilizzato il compasso proporzionale da lui inventato per determinare i punti della sezione aurea.
Critico d'arte F. v. Kovalev, dopo aver studiato in dettaglio il dipinto di Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin nel villaggio di Mikhailovsky", osserva che ogni dettaglio della tela, sia esso un caminetto, una libreria, una poltrona o lo stesso poeta, è rigorosamente inscritto in proporzioni auree.
I ricercatori della sezione aurea studiano e misurano instancabilmente i capolavori dell'architettura, sostenendo che sono diventati tali perché creati secondo i canoni aurei: includono le grandi piramidi di Giza, la cattedrale di Notre Dame, la cattedrale di San Basilio, il Partenone.
E oggi, in qualsiasi arte delle forme spaziali, cercano di seguire le proporzioni della sezione aurea, poiché, secondo gli storici dell'arte, facilitano la percezione dell'opera e formano una sensazione estetica nello spettatore.
Parola, suono e film.
Moduli temporaneamente? Le arti a modo loro ci dimostrano il principio della divisione aurea. I critici letterari, ad esempio, hanno notato che il numero più popolare di versi nelle poesie dell'ultimo periodo dell'opera di Pushkin corrisponde alla serie di Fibonacci: 5, 8, 13, 21, 34.
La regola della sezione aurea si applica anche nelle singole opere del classico russo. Quindi il climax" regina di spade"è la scena drammatica di Herman e la contessa, che termina con la morte di quest'ultima. Ci sono 853 righe nella storia, e il culmine cade sulla riga 535 (853: 535 = 1, 6) - questo è il punto del rapporto aureo.
musicologo sovietico e. K. Rosenov nota la sorprendente accuratezza dei rapporti della sezione aurea nelle forme rigorose e libere delle opere di Johann Sebastian Bach, che corrisponde allo stile premuroso, concentrato e tecnicamente verificato del maestro. Questo vale anche per le opere eccezionali di altri compositori, dove il punto del rapporto aureo di solito rappresenta la soluzione musicale più sorprendente o inaspettata.
Il regista Sergei Eisenstein ha deliberatamente coordinato la sceneggiatura del suo film "Battleship Potemkin" con la regola della sezione aurea, dividendo il nastro in cinque parti. Nelle prime tre sezioni l'azione si svolge su una nave e nelle ultime due a Odessa. Il passaggio alle scene in città è il mezzo aureo del film.