Pravidlá pre racionálne čísla. Definícia racionálnych čísel

V tomto článku začneme študovať racionálne čísla. Tu budeme definovať racionálne čísla, uveďte potrebné vysvetlenia a uveďte príklady racionálnych čísel. Potom sa zameriame na to, ako určiť, či je dané číslo racionálne alebo nie.

Navigácia na stránke.

Definícia a príklady racionálnych čísel

V tejto podkapitole uvádzame niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom vo formulácii majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla spájajú celé čísla a zlomkové čísla, rovnako ako celé čísla spájajú prirodzené čísla, ich opačné čísla a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé a zlomkové čísla.

Začnime s definície racionálnych čísel ktorý je vnímaný ako najprirodzenejší.

Zo znejúcej definície vyplýva, že racionálne číslo je:

Akékoľvek prirodzené číslo n . Akékoľvek prirodzené číslo môže byť skutočne reprezentované ako obyčajný zlomok, napríklad 3=3/1.
Akékoľvek celé číslo, najmä číslo nula. Akékoľvek celé číslo možno v skutočnosti zapísať buď ako kladný spoločný zlomok, alebo ako záporný spoločný zlomok, alebo ako nulu. Napríklad 26=26/1 , .
Akýkoľvek obyčajný zlomok (kladný alebo záporný). Priamo to hovorí daná definícia racionálnych čísel.
Akékoľvek zmiešané číslo. V skutočnosti je vždy možné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny spoločný zlomok. Napríklad a .
Akýkoľvek konečný desatinný alebo nekonečný periodický zlomok. Je to tak preto, že zadané desatinné zlomky sa prevedú na bežné zlomky. Napríklad , a 0, (3) = 1/3 .

Je tiež jasné, že žiadne nekonečné neopakujúce sa desatinné číslo NIE JE racionálne číslo, pretože ho nemožno reprezentovať ako spoločný zlomok.

Teraz môžeme ľahko priniesť príklady racionálnych čísel. Čísla 4, 903, 100 321 sú racionálne čísla, pretože sú to prirodzené čísla. Celé čísla 58 , −72 , 0 , −833 333 333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9, 99/3 sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Vyššie uvedené príklady ukazujú, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v kratšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla volacie čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok z/n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, že čiaru zlomku môžeme považovať za znak delenia, potom z vlastností delenia celých čísel a pravidiel delenia celých čísel vyplývajú nasledujúce rovnosti a . Čo je teda dôkazom.

Na základe tejto definície uvádzame príklady racionálnych čísel. Čísla −5 , 0 , 3 a sú racionálne čísla, pretože ich možno zapísať ako zlomky s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom tvaru resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť aj v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia je tiež ekvivalentná prvej definícii, pretože každý obyčajný zlomok zodpovedá konečnému alebo periodickému desatinnému zlomku a naopak a akékoľvek celé číslo môže byť spojené s desatinným zlomkom s nulami za desatinnou čiarkou.

Napríklad čísla 5 , 0 , −13 , sú príklady racionálnych čísel, pretože ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné miesta 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 a −7,(18) .

Teóriu tejto časti ukončíme nasledujúcimi tvrdeniami:

celé a zlomkové čísla (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok je racionálnym číslom;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje nejaké racionálne číslo.

Je toto číslo racionálne?

V predchádzajúcom odseku sme zistili, že akékoľvek prirodzené číslo, akékoľvek celé číslo, akýkoľvek obyčajný zlomok, akékoľvek zmiešané číslo, akýkoľvek konečný desatinný zlomok a tiež akýkoľvek periodický desatinný zlomok je racionálne číslo. Táto znalosť nám umožňuje „rozpoznať“ racionálne čísla z množiny zapísaných čísel.

Ale čo ak je číslo dané ako nejaké , alebo ako , atď., ako odpovedať na otázku, je dané číslo racionálne? V mnohých prípadoch je veľmi ťažké na ňu odpovedať. Ukážme si niekoľko smerov myšlienkového smeru.

Ak je číslo uvedené ako číselný výraz, ktorý obsahuje iba racionálne čísla a znamienka aritmetické operácie(+, −, · a:), potom hodnota tohto výrazu je racionálne číslo. Vyplýva to z toho, ako sú definované operácie s racionálnymi číslami. Napríklad po vykonaní všetkých operácií vo výraze dostaneme racionálne číslo 18 .

Niekedy po zjednodušení výrazov a pod komplexný typ, je možné určiť, či je dané číslo racionálne.

Poďme ďalej. Číslo 2 je racionálne číslo, pretože každé prirodzené číslo je racionálne. A čo číslo? Je to racionálne? Ukazuje sa, že nie - nie je to racionálne číslo, je to iracionálne číslo (dôkaz tejto skutočnosti protirečením je uvedený v učebnici algebry pre ročník 8, ktorá je uvedená nižšie v zozname odkazov). Aj to bolo dokázané Odmocnina z prirodzeného čísla je racionálne číslo len v tých prípadoch, keď je odmocninou číslo, ktoré je druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad a sú racionálne čísla, pretože 81=9 2 a 1024=32 2 a čísla a nie sú racionálne, pretože čísla 7 a 199 nie sú dokonalé štvorce prirodzených čísel.

Je číslo racionálne alebo nie? V tomto prípade je ľahké vidieť, že preto je toto číslo racionálne. Je číslo racionálne? Je dokázané, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod znamienkom odmocniny je k-tou mocninou nejakého celého čísla. Preto to nie je racionálne číslo, pretože neexistuje celé číslo, ktorého piata mocnina je 121.

Metóda protirečenia nám umožňuje dokázať, že logaritmy niektorých čísel z nejakého dôvodu nie sú racionálne čísla. Napríklad, dokážme, že - nie je racionálne číslo.

Predpokladajme opak, teda predpokladajme, že ide o racionálne číslo a možno ho zapísať ako obyčajný zlomok m/n. Potom a dajte nasledujúce rovnosti: . Posledná rovnosť je nemožná, pretože na jej ľavej strane je nepárne číslo 5 n a na pravej strane je párne číslo 2 m . Preto je náš predpoklad nesprávny, teda nejde o racionálne číslo.

Na záver je vhodné zdôrazniť, že pri objasňovaní racionality alebo iracionality čísel sa treba zdržať náhlych záverov.

Napríklad by sme nemali hneď tvrdiť, že súčin iracionálnych čísel π a e je iracionálne číslo, je to „akoby zrejmé“, ale nie dokázané. To vyvoláva otázku: „Prečo by bol súčin racionálnym číslom“? A prečo nie, veď môžete uviesť príklad iracionálnych čísel, ktorých súčin dáva racionálne číslo:.

Nie je tiež známe, či čísla a mnohé ďalšie čísla sú racionálne alebo nie. Napríklad existujú iracionálne čísla, ktorých iracionálna sila je racionálne číslo. Pre ilustráciu uveďme stupeň tvaru , základ tohto stupňa a exponent nie sú racionálne čísla, ale , a 3 je racionálne číslo.

Bibliografia.

Matematika. 6. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya, Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Množina racionálnych čísel

Množina racionálnych čísel sa označuje a možno ju zapísať takto:

Ukazuje sa, že rôzne položky môžu reprezentovať rovnaký zlomok, napríklad a , (všetky zlomky, ktoré možno navzájom získať vynásobením alebo delením rovnakým prirodzeným číslom, predstavujú rovnaké racionálne číslo). Keďže delením čitateľa a menovateľa zlomku ich najväčším spoločným deliteľom možno získať jediné neredukovateľné zobrazenie racionálneho čísla, možno o ich množine hovoriť ako o množine neredukovateľné zlomky so spoločným celým číslom a prirodzeným menovateľom:

Tu je najväčší spoločný deliteľ čísel a .

Množina racionálnych čísel je prirodzeným zovšeobecnením množiny celých čísel. Je ľahké vidieť, že ak má racionálne číslo menovateľa, potom je to celé číslo. Množina racionálnych čísel sa nachádza všade husto na číselnej osi: medzi akýmikoľvek dvoma rôznymi racionálnymi číslami je aspoň jedno racionálne číslo (a teda nekonečná množina racionálnych čísel). Ukazuje sa však, že množina racionálnych čísel má spočítateľnú mohutnosť (to znamená, že všetky jej prvky možno prečíslovať). Všimnite si, mimochodom, aj starí Gréci boli presvedčení o existencii čísel, ktoré nemožno znázorniť ako zlomok (napríklad dokázali, že neexistuje žiadne racionálne číslo, ktorého druhá mocnina je 2).

Terminológia

Formálna definícia

Formálne sú racionálne čísla definované ako množina tried ekvivalencie párov vzhľadom na vzťah ekvivalencie if . V tomto prípade sú operácie sčítania a násobenia definované takto:

Súvisiace definície

Správne, nesprávne a zmiešané frakcie

správne Zlomok sa nazýva, ak je modul v čitateli menší ako modul v menovateli. Vlastné zlomky predstavujú racionálne čísla, modulo menšie ako jedna. Zlomok, ktorý nie je správny, sa nazýva nesprávne a predstavuje racionálne číslo väčšie ako alebo rovný jednej modulo.

Nevlastný zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet celého čísla a nazývaného vlastného zlomku zmiešaná frakcia . Napríklad, . Podobný zápis (s chýbajúcim znakom sčítania), hoci sa používa v elementárnej aritmetike, sa v striktnej matematickej literatúre vyhýba kvôli podobnosti zápisu zmiešaná frakcia so zápisom súčinu celého čísla a zlomku.

Výška záberu

Výška bežného zlomku je súčet modulu čitateľa a menovateľa tohto zlomku. Výška racionálneho čísla je súčet modulov čitateľa a menovateľa neredukovateľného obyčajného zlomku zodpovedajúceho tomuto číslu.

Napríklad výška zlomku je . Výška zodpovedajúceho racionálneho čísla je , pretože zlomok sa zníži o .

Komentár

Termín zlomkové číslo (zlomok) Niekedy [ špecifikovať] sa používa ako synonymum výrazu racionálne číslo a niekedy synonymum pre akékoľvek iné ako celé číslo. V druhom prípade sú zlomkové a racionálne čísla odlišné veci, pretože potom sú necelé racionálne čísla len špeciálnym prípadom zlomkových čísel.

Vlastnosti

Základné vlastnosti

Množina racionálnych čísel spĺňa šestnásť základných vlastností, ktoré možno ľahko získať z vlastností celých čísel.

Poriadok. Pre akékoľvek racionálne čísla existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať medzi nimi jeden a len jeden z troch vzťahov: "", "" alebo "". Toto pravidlo sa nazýva objednávacie pravidlo a je formulovaný takto: dve kladné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve kladné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve kladné čísla záporné čísla A ; ak zrazu nezáporné, ale - negatívne, tak .
súčet zlomkov
operácia sčítania. sumačné pravidlo súčetčísla a a sú označené ako a proces nájdenia takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sčítacie pravidlo má nasledujúcu formu: .
operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom . Samotné číslo sa volá prácačísla a a sú označené a proces nájdenia takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia má nasledujúci tvar: .
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre akúkoľvek trojicu racionálnych čísel , a ak je menšia ako a menšia ako , potom menšia ako , a ak sa rovná a rovná sa , potom sa rovná .
Komutatívnosť sčítania. Od zmeny miest racionálnych pojmov sa súčet nemení.
Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
Dostupnosť opačné čísla. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných. Každé nenulové racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo.
Spojenie poradového vzťahu s operáciou násobenia.Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým kladným racionálnym číslom.
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo môžete vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne.

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.

Nastavte počítateľnosť

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, to znamená, že vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel. Nasledujúci jednoduchý algoritmus môže slúžiť ako príklad takejto konštrukcie. Zostavuje sa nekonečná tabuľka obyčajné zlomky, v každom -tom riadku v každom -tom stĺpci je zlomok . Pre jednoznačnosť sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde je číslo riadka tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a číslo stĺpca.

Výslednú tabuľku spravuje "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.

V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom je priradené číslo 1, zlomkom číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.

Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné vlastnosťou spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Samozrejme, existujú aj iné spôsoby, ako vyčísliť racionálne čísla. Napríklad na to môžete použiť štruktúry ako Calkin - strom Wilf, strom Stern - Brokaw alebo séria Farey.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

pozri tiež


	Celé čísla

Racionálne čísla

Reálne čísla Komplexné čísla Kvaternióny

Poznámky

Literatúra

I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov

Racionálne čísla

štvrtí

Poriadok. a A b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “< », « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva objednávacie pravidlo a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a A b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
súčet zlomkov
operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a A b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a A b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu: .
operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a A b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a A b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné: .
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b A c Ak a menej b A b menej c, To a menej c, A keď a rovná sa b A b rovná sa c, To a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počítateľnosť

Číslovanie racionálnych čísel

Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre jednoznačnosť sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výslednú tabuľku spravuje "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.

V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Poznámky

Literatúra

I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.

) sú čísla s kladným resp negatívny znak(celé a zlomkové) a nula. Presnejší koncept racionálnych čísel znie takto:

racionálne číslo je číslo, ktoré je zastúpené obyčajný zlomok m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n- celé čísla, napríklad 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.

a/b, Kde a∈ Z (a patrí medzi celé čísla) b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).

Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.

IN skutočný život množina racionálnych čísel sa používa na počítanie častí niektorých celočíselných deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné potraviny, ktoré sú pred konzumáciou nakrájané na kúsky, alebo pre hrubý odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.

Vlastnosti racionálnych čísel.

Základné vlastnosti racionálnych čísel.

1. poriadkumilovnosť a A b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať medzi nimi 1-ale iba jeden z 3 vzťahov: “<», «>" alebo "=". Toto pravidlo je - objednávacie pravidlo a formuluj to takto:

2 kladné čísla a=m a /n a A b=mb/nb súvisí rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ nb A m b⋅ n a;
2 záporné čísla a A b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 kladné čísla |b| A |a|;
Kedy a pozitívne a b- teda negatívny a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operácia sčítania. Pre všetky racionálne čísla a A b Existuje sumačné pravidlo, čo ich dáva do súladu s určitým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c- Toto súčetčísla a A b a označuje sa ako (a+b) zhrnutie.

Sumačné pravidlo vyzerá takto:

m a/n a + mb/nb = (m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. operácia násobenia. Pre všetky racionálne čísla a A b Existuje pravidlo násobenia, spája ich s určitým racionálnym číslom c. Volá sa číslo c prácačísla a A b a označujú (a⋅b), a proces hľadania tohto čísla sa nazýva násobenie.

pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b A c Ak a menej b A b menej c, To a menej c, A keď a rovná sa b A b rovná sa c, To a rovná sa c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutatívnosť sčítania. Od zmeny miest racionálnych pojmov sa súčet nemení.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asociativita sčítania. Poradie sčítania 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a

8. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ich sčítaním vznikne 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0

9. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.

∀ a,b∈ Qa⋅ b = b⋅ a

10. Asociativita násobenia. Poradie násobenia 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, zachováva každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Qa⋅ 1 = a

12. Dostupnosť recipročné čísla . Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .

∀ a∈ Q∃ a-1∈ Qa⋅ a-1=1

13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distribučného zákona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti sa pridá rovnaké racionálne číslo.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Spojenie poradového vzťahu s operáciou násobenia. Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.

∀ a,b,c∈ Qc > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, je ľahké vziať toľko jednotiek, že ich súčet bude väčší a.

Ako sme videli, množina prirodzených čísel

je uzavretá pod sčítaním a násobením a množinou celých čísel

uzavreté pod sčítaním, násobením a odčítaním. Žiadna z týchto množín však nie je uzavretá delením, pretože delenie celých čísel môže viesť k zlomkom, ako v prípade 4/3, 7/6, -2/5 atď. Množina všetkých takýchto zlomkov tvorí množinu racionálnych čísel. Takže racionálne číslo ( racionálny zlomok) je číslo, ktoré možno znázorniť ako , kde a a d sú celé čísla a d sa nerovná nule. Urobme niekoľko poznámok k tejto definícii.

1) Požadovali sme, aby d bolo iné ako nula. Táto požiadavka (matematicky zapísaná ako nerovnica ) je nevyhnutná, pretože tu d je deliteľ. Zvážte nasledujúce príklady:

Prípad 1.

Prípad 2.

V prípade 1 je d deliteľ v zmysle predchádzajúcej kapitoly, t. j. 7 je presný deliteľ čísla 21. V prípade 2 je d stále deliteľ, ale v inom zmysle, keďže 7 nie je presným deliteľom čísla. 25.

Ak sa 25 nazýva deliteľné a 7 sa nazýva deliteľ, potom dostaneme podiel 3 a zvyšok 4. Takže slovo deliteľ sa tu používa vo viacerých všeobecný zmysel a vzťahuje sa na viac prípadoch ako v kap. I. Avšak v prípadoch, ako je prípad 1, pojem deliteľa zavedený v Ch. I; preto je potrebné, ako v kap. I, vylučuje možnosť d = 0.

2) Všimnite si, že zatiaľ čo výrazy racionálne číslo a racionálny zlomok sú synonymá, samotné slovo zlomok sa používa na označenie akéhokoľvek algebraického výrazu pozostávajúceho z čitateľa a menovateľa, ako je napr.

3) Definícia racionálneho čísla zahŕňa výraz „číslo, ktoré možno znázorniť ako , kde a a d sú celé čísla a . Prečo sa to nedá nahradiť výrazom „číslo tvaru, kde a a d sú celé čísla a dôvodom je skutočnosť, že existuje nekonečne veľa spôsobov, ako vyjadriť ten istý zlomok (napríklad 2/3 môžu aj byť zapísané ako 4/6, 6/9, alebo alebo 213/33, alebo atď.) a je pre nás žiaduce, aby naša definícia racionálneho čísla nezávisela od konkrétneho spôsobu jeho vyjadrenia.

Zlomok je definovaný tak, že jeho hodnota sa nemení, keď sa čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým číslom. Nie vždy je však možné len pohľadom na daný zlomok zistiť, či je racionálny alebo nie. Zoberme si napríklad čísla

Žiadna z nich v nami zvolenom zápise nemá tvar , kde a a d sú celé čísla.

Môžeme však vykonať sériu aritmetických transformácií na prvom zlomku a dostať

Dostaneme sa teda k zlomku rovnému pôvodnému zlomku, pre ktorý . Číslo je teda racionálne, ale nebolo by racionálne, keby definícia racionálneho čísla vyžadovala, aby číslo malo tvar a/b, kde a a b sú celé čísla. V prípade konverzného zlomku

viesť k číslu. V ďalších kapitolách sa dozvieme, že číslo nemožno reprezentovať ako pomer dvoch celých čísel, a preto nie je racionálne, alebo sa o ňom hovorí, že je iracionálne.

4) Všimnite si, že každé celé číslo je racionálne. Ako sme práve videli, platí to v prípade čísla 2. Vo všeobecnom prípade ľubovoľných celých čísel možno podobne každému z nich priradiť menovateľa 1 a získať ich reprezentáciu ako racionálne zlomky.