Badamshinskaya stredná škola №2
matematiky
v 6. ročníku
"Akcie s racionálnymi číslami"
pripravený
učiteľ matematiky
Babenko Larisa Grigorievna
s. Badamsha
2014
Téma lekcie:« Operácie s racionálnymi číslami».
Typ lekcie :
Lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí.
Ciele lekcie:
vzdelávacie:
Zovšeobecňovať a systematizovať vedomosti žiakov o pravidlách konania na kladných a záporných číslach;
Upevniť schopnosť uplatňovať pravidlá v procese vykonávania cvičení;
Rozvíjať zručnosti pre samostatnú prácu;
vyvíja:
Rozvíjať logické myslenie, matematickú reč, výpočtové schopnosti; - rozvíjať schopnosť aplikovať získané poznatky pri riešení aplikovaných problémov; - rozšírenie obzorov;
pedagógovia:
Vzdelávanie kognitívneho záujmu o predmet.
Vybavenie:
Listy s textami úloh, zadaní pre každého žiaka;
Matematika. Učebnica pre 6. ročník vzdelávacie inštitúcie/
N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - M., 2010.
Plán lekcie:
Organizovanie času.
Pracujte ústne
Opakovanie pravidiel sčítania a odčítania čísel s rôzne znamenia. Aktualizácia znalostí.
Riešenie úloh v učebnici
Vykonanie testu
Zhrnutie lekcie. Stanovenie domácich úloh
Reflexia
Počas vyučovania
Organizovanie času.
Pozdrav učiteľa a študentov.
Prezentácia témy hodiny, plánu práce na hodine.
Dnes máme nezvyčajnú lekciu. V tejto lekcii si zapamätáme všetky pravidlá operácií s racionálnymi číslami a schopnosť vykonávať operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia.
Mottom našej lekcie bude čínske podobenstvo:
„Povedz mi a ja zabudnem;
Ukáž mi a ja si zapamätám;
Nechaj ma to urobiť a ja to pochopím"
Chcem vás pozvať na cestu.
Uprostred priestoru, kde bolo jasne vidieť východ slnka, sa rozprestierala úzka neobývaná krajina – číselná os. Nikto nevie, kde to začalo a nikto nevie, kde to končí. A prví, ktorí obývali túto krajinu, boli prirodzené čísla. Čo sú prirodzené čísla a ako sa zobrazujú?
odpoveď:
Čísla 1, 2, 3, 4, ... .. používané na počítanie predmetov alebo na označenie poradového čísla predmetu medzi homogénnymi predmetmi sa nazývajú prirodzené (N ).
Slovné počítanie
88-19 72:8 200-60
Odpovede: 134; 61; 2180.
Bolo ich nekonečne veľa, ale krajina, hoci malá na šírku, bola nekonečná na dĺžku, takže všetko zapadalo od jednej do nekonečna a tvorilo prvý stav, množinu prirodzených čísel.
Práca na úlohe.
Krajina bola neobyčajne krásna. Na celom jeho území sa nachádzali veľkolepé záhrady. Sú to čerešňa, jablko, broskyňa. Na jeden z nich sa teraz pozrieme.
Na čerešni je každé tri dni o 20 percent viac zrelých čerešní. Koľko zrelých plodov bude mať táto čerešňa za 9 dní, ak mala na začiatku pozorovania 250 zrelých čerešní?
Odpoveď: Za 9 dní bude na tejto čerešni 432 zrelých plodov (300; 360; 432).
Samostatná práca.
Na území prvého štátu sa začali usadzovať niektoré nové čísla a tieto čísla spolu s prirodzenými číslami tvorili nový štát, ktorý zistíme vyriešením úlohy.
Na študentských stoloch sú dva hárky:
1. Vypočítajte:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1) 48-54 2) 37-(-37) 3) -52,7+42,7 4) -6x1/3
1) -12x (-6) 2) -90: (-15) 3) -25 + 45 4) 6 - (-10)
Cvičenie: spájajte postupne bez toho, aby ste dali ruky preč od všetkých prirodzených čísel a pomenujte výsledné písmeno.
Odpovede na test:
5 68 15 60
72 6 20 16
otázka:Čo znamená tento symbol? Aké čísla sa nazývajú celé čísla?
Odpovede: 1) Vľavo sa od územia prvého štátu usadilo číslo 0, vľavo od neho -1, dokonca vľavo -2 atď. do nekonečna. Spolu s prirodzenými číslami tieto čísla vytvorili nový rozšírený stav, množinu celých čísel.
2) Prirodzené čísla, ich opačné čísla a nula sa nazývajú celé čísla ( Z ).
Opakovanie naučeného.
1) Ďalšia strana našej rozprávky je začarovaná. Odčarujeme to, opravíme chyby.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Odpovede:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36: 6
2) Pokračujeme v počúvaní príbehu.
Na voľných miestach číselného radu k nim pribudli zlomky 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;... Zlomky spolu s prvými osadníkmi tvorili ďalší rozšírený stav množiny racionálnych čísel. ( Q)
1) Aké čísla sa nazývajú racionálne?
2) Je akékoľvek celé číslo, desatinný zlomok, racionálne číslo?
3) Ukážte, že každé celé číslo, každý desatinný zlomok je racionálne číslo.
Úloha na tabuli: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Odpovede:
1) Číslo, ktoré možno zapísať ako pomer , kde a je celé číslo a p je prirodzené číslo, sa nazýva racionálne číslo .
2) Áno.
3) .
Teraz poznáte celé a zlomkové, kladné a záporné čísla a dokonca aj číslo nula. Všetky tieto čísla sa nazývajú racionálne, čo v preklade do ruštiny znamená „ podriadený mysli“.
kladná nula záporná
celé číslo zlomkové celé číslo zlomkové
Na úspešné štúdium matematiky (a nielen matematiky) v budúcnosti treba dobre poznať pravidlá aritmetických operácií s racionálnymi číslami, vrátane pravidiel znamienok. A sú také odlišné! Nechajte sa na chvíľu zmiasť.
Fizkultminutka.
Dynamická pauza.
učiteľ: Každá práca potrebuje prestávku. Poďme si oddýchnuť!
Urobme niekoľko regeneračných cvičení:
1) Jeden, dva, tri, štyri, päť -
Raz! Vstaň, zdvihni sa
Dva! ohnúť sa, zohnúť sa,
Tri! Tri tlesknutia do rúk
Tri hlavy prikývnu.
Štyri - ramená širšie.
Päť - mávnite rukami. Šesť – pokojne si sadnite za stôl.
(Deti nasledujú učiteľa podľa obsahu textu.)
2) Rýchlo žmurknite, zatvorte oči a posaďte sa takto do piatich. Opakujte 5-krát.
3) Pevne zatvorte oči, počítajte do troch, otvorte ich a pozerajte sa do diaľky, počítajte do päť. Opakujte 5-krát.
Historická stránka.
V živote, ako v rozprávke, ľudia „objavovali“ racionálne čísla postupne. Najprv pri počítaní predmetov vznikali prirodzené čísla. Spočiatku ich bolo málo. Najprv vznikli iba čísla 1 a 2. Slová „sólista“, „slnko“, „solidarita“ pochádzajú z latinského „solus“ (jeden). V mnohých kmeňoch neboli žiadne iné číslice. Namiesto "3" povedali "jeden-dva", namiesto "4" - "dva-dva". A tak ďalej až do šiestej. A potom toho bolo veľa. So zlomkami sa ľudia stretávali pri delení koristi, pri meraní veličín. Na uľahčenie operácií so zlomkami boli vynájdené desatinné miesta. V Európe ich zaviedol v roku 1585 holandský matematik.
Práca s rovnicami
Priezvisko matematika sa naučíte riešením rovníc a nájdením písmena zodpovedajúceho danej súradnici pozdĺž súradnicovej čiary.
1) -2,5 + x \u003d 3,5 2) -0,3 x \u003d 0,6 3) y - 3,4 \u003d -7,4
4) - 0,8: x \u003d -0,4 5) a (-8) \u003d 0 6)m + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Odpovede:
6 (C) 4) 2 (B)
-2 (T) 5) 0 (I)
-4(E)6)4(H)
STEVIN - holandský matematik a inžinier (Simon Stevin)
Historická stránka.
učiteľ:
Bez poznania minulosti vo vývoji vedy nie je možné pochopiť jej súčasnosť. Ľudia sa naučili vykonávať akcie so zápornými číslami ešte pred naším letopočtom. Predstavili si indickí matematici kladné čísla ako "majetok" a záporné čísla ako "dlhy". Tu je návod, ako indický matematik Brahmagupta (7. storočie) načrtol niektoré pravidlá na vykonávanie operácií s kladnými a zápornými číslami:
"Súčet dvoch vlastností je majetok"
"Súčet dvoch dlhov je dlh"
"Súčet majetku a dlhu sa rovná ich rozdielu",
„Súčinom dvoch majetkov alebo dvoch dlhov je majetok“, „Súčinom majetku a dlhu je dlh“.
Chlapci, prosím preložte staré indické pravidlá do moderného jazyka.
Správa učiteľa:
Keďže na svete nie je teplo bez slnka,
Bez zimného snehu a bez listy kvetov,
Takže v matematike neexistujú žiadne akcie bez znakov!
Deti majú hádať, ktorý akčný znak chýba.
Cvičenie. Vložte chýbajúci znak.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Odpovede: 1) + 2) ∙ 3) - 4) : 5) - 6) :
Samostatná práca(na hárok zapíšte odpovede na úlohy):
Porovnajte čísla
nájsť ich moduly
porovnať s nulou
nájsť ich sumu
nájsť ich rozdiel
nájsť prácu
nájsť si súkromník
napíšte opačné čísla
nájdite vzdialenosť medzi týmito číslami
10) koľko celých čísel sa medzi nimi nachádza
11) nájdite súčet všetkých celých čísel umiestnených medzi nimi.
Hodnotiace kritériá: všetko bolo rozhodnuté správne - "5"
1-2 chyby - "4"
3-4 chyby - "3"
viac ako 4 chyby - "2"
Individuálna práca s kartou(dodatočne).
Karta 1. Vyriešte rovnicu: 8,4 - (x - 3,6) \u003d 18
Karta 2. Vyriešte rovnicu: -0,2x · (-4) = -0,8
Karta 3. Vyriešte rovnicu: =
Odpovede na karty :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Hra "Skúška".
Obyvatelia krajiny žili šťastne, hrali hry, riešili úlohy, rovnice a aby sme to zhrnuli, ponúkajú nám hru.
Žiaci prídu k tabuli, vezmú si kartičku a odpovedia na otázku napísanú na zadnej strane.
otázky:
1. Ktoré z dvoch záporných čísel sa považuje za veľké?
2. Formulujte pravidlo na delenie záporných čísel.
3. Formulujte pravidlo pre násobenie záporných čísel.
4. Sformulujte pravidlo na násobenie čísel s rôznymi znamienkami.
5. Sformulujte pravidlo na delenie čísel s rôznymi znamienkami.
6. Formulujte pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
7. Formulujte pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami.
8. Ako zistiť dĺžku úsečky na súradnicovej čiare?
9. Aké čísla sa nazývajú celé čísla?
10. Aké čísla sa nazývajú racionálne?
Zhrnutie.
učiteľ: Dnes domáca úloha bude kreatívny:
Pripravte si správu „Pozitívne a záporné čísla okolo nás“ alebo zostavte rozprávku.
« Ďakujem za lekciu!!!"
REÁLNE ČÍSLA II
§ 36 Úkony na racionálnych číslach
Ako viete, dva zlomky m / n A k / l sú rovnaké, to znamená, že predstavujú rovnaké racionálne číslo vtedy a len vtedy ml = nk .
Napríklad 1 / 3 = 2 / 6, pretože 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14, pretože (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, pretože 0 5 = 1 0 atď.
Samozrejme, pre akékoľvek celé číslo r , nerovná sa 0,
: m / n = m r / n r
Vyplýva to zo zjavnej rovnosti T (P r ) = P (T r ). Preto každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako podiel dvoch čísel nekonečné číslo spôsoby. Napríklad,
5 \u003d 5 / 1 \u003d -10 / -2 \u003d 15 / 3 atď.,
1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 atď.
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 atď.
V množine všetkých racionálnych čísel sú možné operácie sčítania, násobenia, odčítania a delenia (okrem delenia nulou). Pripomeňme si, ako sú tieto akcie definované.
Súčet dvoch racionálnych čísel m / n A k / l sa určuje podľa vzorca:
Súčin dvoch racionálnych čísel m / n A k / l sa určuje podľa vzorca:
m / n k / l = mk / nl (2)
Keďže to isté racionálne číslo pripúšťa viacero zápisov (napr. 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...), bolo by potrebné ukázať, že súčet a súčin racionálnych čísel nezávisí od toho, ako sú členy resp. sú napísané faktory. Napríklad,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
atď. Zváženie týchto otázok však presahuje rámec nášho programu.
Pri sčítaní a násobení racionálnych čísel sa dodržiavajú tieto základné zákony:
1) komutatívny(alebo komutatívny) zákon sčítania
m / n + k / l = k / l + m / n
2) asociatívne(alebo asociatívny) zákon sčítania:
( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )
3) komutatívny(alebo komutatívny) zákon násobenia:
m / n k / l = k / l m / n
4) asociatívne(alebo asociatívny) zákon násobenia:
( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )
5) distributívny(alebo distributívny) zákon násobenia vzhľadom na sčítanie:
( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q
Sčítanie a násobenie sú základné algebraické operácie. Čo sa týka odčítania a delenia, tieto operácie sú definované ako inverzné sčítanie a násobenie.
Rozdiel medzi dvoma racionálnymi číslami m / n A k / l toto číslo sa volá X , ktorý spolu s k / l dáva m / n . Inými slovami, rozdiel m / n - k / l
k / l + X = m / n
Dá sa dokázať, že takáto rovnica má vždy koreň a navyše iba jeden:
Takže rozdiel medzi dvoma číslami m / n A k / l sa nachádza podľa vzorca:
Ak čísla m / n A k / l sú si navzájom rovní, potom ich rozdiel zaniká; ak sa tieto čísla navzájom nerovnajú, potom je ich rozdiel kladný alebo záporný. o m / n - k / l > 0 povedzte číslo m / n ďalšie číslo k / l ; ak m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n menej ako číslo k / l .
Podiel delenia racionálneho čísla m / n na racionálne číslo k / l toto číslo sa volá X, ktorý je vo výrobku s k / l dáva m / n . Inými slovami, súkromné m / n : k / l definovaný ako koreň rovnice
k / l X = m / n .
Ak k / l =/= 0, potom má táto rovnica jeden koreň
X = ml / nk
Ak k / l = 0, potom táto rovnica buď nemá žiadne korene (napr m / n =/= 0), alebo má nekonečne veľa koreňov (napr m / n = 0). Chceme, aby bola operácia delenia jedinečne uskutočniteľná, súhlasíme s tým, že nebudeme vôbec uvažovať o delení nulou. Teda delenie racionálneho čísla m / n na racionálne číslo k / l vždy definované, pokiaľ k / l =/= 0. V tomto prípade
m / n : k / l = ml / nk
Cvičenia
295. Vypočítajte čo najracionálnejším spôsobom a uveďte, ktoré zákony konania treba v tomto prípade použiť;
a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16).
b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10
Kreslenie. Aritmetické operácie nad racionálnymi číslami.
Text:
Pravidlá pre operácie s racionálnymi číslami:
. pri sčítavaní čísel s rovnakým znamienkom pridajte ich moduly a dajte ich pred súčet spoločné znamenie;
. pri sčítaní dvoch čísel s rôznymi znamienkami od čísla s veľkým modulom sa číslo s menším modulom odčíta a pred výsledný rozdiel sa umiestni znamienko čísla s väčším modulom;
. pri odčítaní jedného čísla od druhého je potrebné pridať opačné číslo k odčítavanému: a - b \u003d a + (-b)
. pri vynásobení dvoch čísel rovnakými znamienkami sa ich moduly vynásobia a pred výsledný produkt sa umiestni znamienko plus;
. pri násobení dvoch čísel s rôznymi znamienkami sa ich moduly vynásobia a pred výsledný produkt sa umiestni znamienko mínus;
. pri delení čísel s rovnakými znamienkami sa deliaci modul delí modulom deliča a pred výsledný kvocient sa umiestni znamienko plus;
. pri delení čísel s rôznymi znamienkami sa deliaci modul delí modulom deliča a pred výsledný kvocient sa umiestni znamienko mínus;
. Delenie a násobenie nuly akýmkoľvek nenulovým číslom vedie k nule:
. nemôžeš deliť nulou.
V tejto lekcii si pripomenieme základné vlastnosti akcií s číslami. Zopakujeme si nielen základné vlastnosti, ale naučíme sa ich aplikovať aj na racionálne čísla. Všetky poznatky získané riešením príkladov si upevníme.
Základné vlastnosti operácií s číslami:
Prvé dve vlastnosti sú vlastnosti sčítania, ďalšie dve sú vlastnosti násobenia. Piata vlastnosť platí pre obe operácie.
V týchto vlastnostiach nie je nič nové. Platili pre prirodzené aj celé čísla. Platia aj pre racionálne čísla a budú platiť aj pre čísla, ktoré budeme ďalej študovať (napríklad iracionálne čísla).
Permutačné vlastnosti:
Z preskupenia pojmov alebo faktorov sa výsledok nemení.
Vlastnosti kombinácie:, .
Sčítanie alebo násobenie viacerých čísel je možné vykonať v ľubovoľnom poradí.
Distribučná vlastnosť:.
Vlastnosť spája obe operácie – sčítanie a násobenie. Tiež, ak to čítate zľava doprava, potom sa to nazýva pravidlo pre otváranie zátvoriek, a ak je v opačná strana- pravidlo vyňatia spoločného činiteľa zo zátvoriek.
Nasledujúce dve vlastnosti popisujú neutrálne prvky pre sčítanie a násobenie: sčítanie nuly a násobenie jednotkou nezmení pôvodné číslo.
Ďalšie dve vlastnosti, ktoré popisujú symetrické prvky pre sčítanie a násobenie je súčet opačných čísel nula; práca recipročné čísla rovný jednej.
Ďalšia vlastnosť: . Ak sa číslo vynásobí nulou, výsledok bude vždy nula.
Posledná vlastnosť, na ktorú sa pozrieme, je .
Vynásobením čísla číslom dostaneme opačné číslo. Táto nehnuteľnosť má funkciu. Všetky ostatné uvažované vlastnosti nebolo možné dokázať pomocou zvyšku. Rovnakú vlastnosť možno dokázať pomocou predchádzajúcich.
Násobenie podľa
Dokážeme, že ak číslo vynásobíme , dostaneme opačné číslo. Používame na to distribučnú vlastnosť: .
Platí to pre akékoľvek čísla. Nahraďte namiesto čísla a :
Vľavo v zátvorkách je súčet vzájomne opačných čísel. Ich súčet je nula (máme takúto vlastnosť). Teraz vľavo. Na pravej strane dostaneme: 
.
Teraz máme nulu vľavo a súčet dvoch čísel vpravo. Ak je však súčet dvoch čísel nula, potom sú tieto čísla navzájom opačné. Ale číslo má len jedno opačné číslo: . Takže - toto je: .
Nehnuteľnosť bola preukázaná.
Takáto vlastnosť, ktorú je možné dokázať pomocou predchádzajúcich vlastností, sa nazýva tzv teorém
Prečo tu nie sú vlastnosti odčítania a delenia? Napríklad by sa dala napísať distributívna vlastnosť na odčítanie: .
Ale keďže:
- odčítanie ľubovoľného čísla možno ekvivalentne zapísať ako sčítanie, pričom sa číslo nahradí jeho opakom:
- delenie možno zapísať ako násobenie prevrátenou hodnotou čísla:
To znamená, že vlastnosti sčítania a násobenia možno aplikovať na odčítanie a delenie. V dôsledku toho je zoznam vlastností, ktoré si treba pamätať, kratší.
Všetky vlastnosti, ktoré sme uvažovali, nie sú výlučne vlastnosťami racionálnych čísel. Všetky tieto pravidlá podliehajú iným číslam, napríklad iracionálnym. Napríklad súčet a jeho opačné číslo sa rovná nule:.
Teraz prejdeme k praktickej časti, vyriešime pár príkladov.
Racionálne čísla v živote
Tie vlastnosti predmetov, ktoré vieme kvantitatívne popísať, označiť nejakým číslom, sa nazývajú množstvá: dĺžka, hmotnosť, teplota, množstvo.
Jedna a tá istá hodnota môže byť označená ako celé číslo, tak aj zlomkové číslo, kladné alebo záporné.
Napríklad vaša výška m je zlomkové číslo. Ale dá sa povedať, že sa rovná cm – to už je celé číslo (obr. 1).
Ryža. 1. Napríklad ilustrácia
Ešte jeden príklad. Negatívna teplota na Celziovej stupnici bude kladná na Kelvinovej stupnici (obr. 2).
Ryža. 2. Napríklad ilustrácia
Pri stavbe domovej steny môže jedna osoba merať šírku a výšku v metroch. Vytvára zlomkové hodnoty. Všetky ďalšie výpočty vykoná so zlomkovými (racionálnymi) číslami. Iná osoba môže merať všetko v počte tehál na šírku a výšku. Keď dostane iba celočíselné hodnoty, vykoná výpočty s celými číslami.
Hodnoty samotné nie sú ani celé, ani zlomkové, ani negatívne, ani pozitívne. Ale číslo, ktorým popisujeme hodnotu veličiny, je už celkom špecifické (napríklad záporné a zlomkové). Závisí to od mierky merania. A keď prejdeme od skutočných hodnôt k matematický model, potom pracujeme s konkrétnym typom čísel
Začnime s pridávaním. Termíny môžu byť preusporiadané, ako chceme, a akcie môžu byť vykonávané v akomkoľvek poradí. Ak výrazy rôznych znakov končia jednou číslicou, je vhodné najskôr vykonať akcie s nimi. Aby sme to dosiahli, vymeníme si podmienky. Napríklad:
Bežné zlomky s rovnakých menovateľovľahko zložiť.
Opačné čísla tvoria nulu. Čísla s rovnakými desatinnými „chvosty“ sa dajú ľahko odčítať. Pomocou týchto vlastností, ako aj komutatívneho zákona sčítania, je možné uľahčiť výpočet hodnoty, napríklad nasledujúci výraz:
Čísla s doplnkovými desatinnými koncami sa ľahko sčítavajú. S celými a zlomkovými časťami zmiešané čísla pohodlné pracovať samostatne. Tieto vlastnosti používame pri hodnotení hodnoty nasledujúceho výrazu:
Prejdime k násobeniu. Existujú dvojice čísel, ktoré sa dajú ľahko násobiť. Pomocou komutatívnej vlastnosti môžete preusporiadať faktory tak, aby boli vedľa seba. Počet mínusov v produkte sa dá okamžite vypočítať a vyvodiť záver o znamení výsledku.
Zvážte tento príklad:
Ak sa jeden z faktorov rovná nule, potom sa súčin rovná nule, napríklad: .
Súčin recipročných čísel sa rovná jednej a vynásobením jednou sa hodnota súčinu nemení. Zvážte tento príklad:
Uvažujme o príklade s použitím distribučnej vlastnosti. Ak otvoríte zátvorky, potom sa každé násobenie vykoná ľahko.
V tejto lekcii si pripomenieme základné vlastnosti akcií s číslami. Zopakujeme si nielen základné vlastnosti, ale naučíme sa ich aplikovať aj na racionálne čísla. Všetky poznatky získané riešením príkladov si upevníme.
Základné vlastnosti operácií s číslami:
Prvé dve vlastnosti sú vlastnosti sčítania, ďalšie dve sú vlastnosti násobenia. Piata vlastnosť platí pre obe operácie.
V týchto vlastnostiach nie je nič nové. Platili pre prirodzené aj celé čísla. Platia aj pre racionálne čísla a budú platiť aj pre čísla, ktoré budeme ďalej študovať (napríklad iracionálne čísla).
Permutačné vlastnosti:
Z preskupenia pojmov alebo faktorov sa výsledok nemení.
Vlastnosti kombinácie:, .
Sčítanie alebo násobenie viacerých čísel je možné vykonať v ľubovoľnom poradí.
Distribučná vlastnosť:.
Vlastnosť spája obe operácie – sčítanie a násobenie. Ak ho čítate zľava doprava, nazýva sa to pravidlo otvárania zátvoriek a ak sa číta v opačnom smere, nazýva sa to pravidlo vyraďovania spoločného činiteľa zo zátvoriek.
Nasledujúce dve vlastnosti popisujú neutrálne prvky pre sčítanie a násobenie: sčítanie nuly a násobenie jednotkou nezmení pôvodné číslo.
Ďalšie dve vlastnosti, ktoré popisujú symetrické prvky pre sčítanie a násobenie je súčet opačných čísel nula; súčin prevrátených hodnôt sa rovná jednej.
Ďalšia vlastnosť: . Ak sa číslo vynásobí nulou, výsledok bude vždy nula.
Posledná vlastnosť, na ktorú sa pozrieme, je .
Vynásobením čísla číslom dostaneme opačné číslo. Táto nehnuteľnosť má funkciu. Všetky ostatné uvažované vlastnosti nebolo možné dokázať pomocou zvyšku. Rovnakú vlastnosť možno dokázať pomocou predchádzajúcich.
Násobenie podľa
Dokážeme, že ak číslo vynásobíme , dostaneme opačné číslo. Používame na to distribučnú vlastnosť: .
Platí to pre akékoľvek čísla. Nahraďte namiesto čísla a :
Vľavo v zátvorkách je súčet vzájomne opačných čísel. Ich súčet je nula (máme takúto vlastnosť). Teraz vľavo. Na pravej strane dostaneme: .
Teraz máme nulu vľavo a súčet dvoch čísel vpravo. Ak je však súčet dvoch čísel nula, potom sú tieto čísla navzájom opačné. Ale číslo má len jedno opačné číslo: . Takže - toto je: .
Nehnuteľnosť bola preukázaná.
Takáto vlastnosť, ktorú je možné dokázať pomocou predchádzajúcich vlastností, sa nazýva tzv teorém
Prečo tu nie sú vlastnosti odčítania a delenia? Napríklad by sa dala napísať distributívna vlastnosť na odčítanie: .
Ale keďže:
- odčítanie ľubovoľného čísla možno ekvivalentne zapísať ako sčítanie, pričom sa číslo nahradí jeho opakom:
- delenie možno zapísať ako násobenie prevrátenou hodnotou čísla:
To znamená, že vlastnosti sčítania a násobenia možno aplikovať na odčítanie a delenie. V dôsledku toho je zoznam vlastností, ktoré si treba pamätať, kratší.
Všetky vlastnosti, ktoré sme uvažovali, nie sú výlučne vlastnosťami racionálnych čísel. Všetky tieto pravidlá podliehajú iným číslam, napríklad iracionálnym. Napríklad súčet a jeho opačné číslo sa rovná nule:.
Teraz prejdeme k praktickej časti, vyriešime pár príkladov.
Racionálne čísla v živote
Tie vlastnosti predmetov, ktoré vieme kvantitatívne popísať, označiť nejakým číslom, sa nazývajú množstvá: dĺžka, hmotnosť, teplota, množstvo.
Jedna a tá istá hodnota môže byť označená ako celé číslo, tak aj zlomkové číslo, kladné alebo záporné.
Napríklad vaša výška m je zlomkové číslo. Ale dá sa povedať, že sa rovná cm – to už je celé číslo (obr. 1).
Ryža. 1. Napríklad ilustrácia
Ešte jeden príklad. Záporná teplota na stupnici Celzia bude kladná na stupnici Kelvina (obr. 2).
Ryža. 2. Napríklad ilustrácia
Pri stavbe domovej steny môže jedna osoba merať šírku a výšku v metroch. Vytvára zlomkové hodnoty. Všetky ďalšie výpočty vykoná so zlomkovými (racionálnymi) číslami. Iná osoba môže merať všetko v počte tehál na šírku a výšku. Keď dostane iba celočíselné hodnoty, vykoná výpočty s celými číslami.
Hodnoty samotné nie sú ani celé, ani zlomkové, ani negatívne, ani pozitívne. Ale číslo, ktorým popisujeme hodnotu veličiny, je už celkom špecifické (napríklad záporné a zlomkové). Závisí to od mierky merania. A keď prejdeme od reálnych hodnôt k matematickému modelu, pracujeme so špecifickým typom čísel
Začnime s pridávaním. Termíny môžu byť preusporiadané, ako chceme, a akcie môžu byť vykonávané v akomkoľvek poradí. Ak výrazy rôznych znakov končia jednou číslicou, je vhodné najskôr vykonať akcie s nimi. Aby sme to dosiahli, vymeníme si podmienky. Napríklad:
Bežné zlomky s rovnakými menovateľmi sa ľahko sčítavajú.
Opačné čísla tvoria nulu. Čísla s rovnakými desatinnými „chvosty“ sa dajú ľahko odčítať. Pomocou týchto vlastností, ako aj komutatívneho zákona sčítania, je možné uľahčiť výpočet hodnoty, napríklad nasledujúci výraz:
Čísla s doplnkovými desatinnými koncami sa ľahko sčítavajú. Je vhodné pracovať oddelene s celými a zlomkovými časťami zmiešaných čísel. Tieto vlastnosti používame pri hodnotení hodnoty nasledujúceho výrazu:
Prejdime k násobeniu. Existujú dvojice čísel, ktoré sa dajú ľahko násobiť. Pomocou komutatívnej vlastnosti môžete preusporiadať faktory tak, aby boli vedľa seba. Počet mínusov v produkte sa dá okamžite vypočítať a vyvodiť záver o znamení výsledku.
Zvážte tento príklad:
Ak sa jeden z faktorov rovná nule, potom sa súčin rovná nule, napríklad: .
Súčin recipročných čísel sa rovná jednej a vynásobením jednou sa hodnota súčinu nemení. Zvážte tento príklad:
Uvažujme o príklade s použitím distribučnej vlastnosti. Ak otvoríte zátvorky, potom sa každé násobenie vykoná ľahko.