Rasyonel sayıların işareti. Sayılar. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar

çeyrek

düzenlilik A Ve B aralarında benzersiz bir şekilde üç ilişkiden birini ve yalnızca birini tanımlamanıza izin veren bir kural vardır: "< », « >' veya ' = '. Bu kural denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: iki negatif olmayan sayı ve iki tamsayı ile aynı ilişki ile ilişkilidir ve ; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişki ile ilişkilidir ve ; eğer aniden A negatif olmayan ve B- negatif, o zaman A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
kesirlerin toplamı
ekleme işlemi. Herhangi rasyonel sayılar A Ve B sözde var toplama kuralı C. Ancak, sayının kendisi C isminde toplam sayılar A Ve B ve gösterilir ve böyle bir sayı bulma işlemine denir. toplama. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
çarpma işlemi Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var çarpma kuralı, bu onları bir rasyonel sayı ile yazışmaya sokar C. Ancak, sayının kendisi C isminde iş sayılar A Ve B ve gösterilir ve böyle bir sayı bulma işlemine de denir. çarpma işlemi. Çarpma kuralı aşağıdaki gibidir: .
Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir üçlü rasyonel sayı için A , B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C. 6435">Toplamanın değişme özelliği. Rasyonel terimlerin yerleri değişince toplam değişmez.
Eklemenin ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayı, toplandığında 0 veren zıt bir rasyonel sayıya sahiptir.
Çarpmanın değişmeliliği. Rasyonel faktörlerin yerlerini değiştirerek ürün değişmez.
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
Bir birimin varlığı.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
Karşılıklıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayı, çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayıya sahiptir.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle tutarlıdır:
Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir. /resimler/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, o kadar çok birim alabilirsin ki toplamları A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler, temel özellikler olarak seçilmez, çünkü genel olarak konuşursak, artık doğrudan tamsayıların özelliklerine dayanmazlar, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan tanımıyla kanıtlanabilirler. bazı matematiksel nesneler. Bu tür birçok ek özellik var. Burada bunlardan sadece birkaçını zikretmek mantıklıdır.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Sayılabilirliği ayarla

Rasyonel sayıların numaralandırılması

Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için, kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için, rasyonel sayıları numaralandıran, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturan bir algoritma vermek yeterlidir.

Bu algoritmalardan en basiti aşağıdaki gibidir. Sonsuz bir tablo derleniyor sıradan kesirler, her birinde Ben-inci satır her birinde J inci kolonu bir kesirdir. Kesinlik için, bu tablonun satır ve sütunlarının birden numaralandırıldığı varsayılır. Tablo hücreleri gösterilir, burada Ben- hücrenin bulunduğu tablonun satır numarası ve J- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" tarafından yönetilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve bir sonraki pozisyon ilk maça göre seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde, her yeni rasyonel sayı bir sonraki doğal sayıya atanır. Yani, 1 / 1 kesirlerine 1 sayısı, 2 / 1 kesirlerine - 2 sayısı vb. İndirgenemezliğin biçimsel işareti, kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşitliğidir.

Bu algoritmayı takiben, tüm pozitif rasyonel sayılar sıralanabilir. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme yapmak, basitçe her rasyonel sayıya karşıtını atayarak kolaydır. O. negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri de sayılabilir kümelerin özelliği ile sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi, sayılabilir bir küme ile sonlu bir kümenin birleşimi olarak da sayılabilir.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliği ile ilgili ifade biraz şaşkınlığa neden olabilir, çünkü ilk bakışta bunun doğal sayılar kümesinden çok daha büyük olduğu izlenimi edinilir. Aslında durum böyle değil ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı var.

Rasyonel sayıların yetersizliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü herhangi bir rasyonel sayı ile ifade edilmez.

1 / şeklinde rasyonel sayılar N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek, rasyonel sayıların genel olarak herhangi bir geometrik mesafeyi ölçebileceği yanıltıcı bir izlenim yaratır. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.

notlar

Edebiyat

I. Kushnir. Okul çocukları için matematik el kitabı. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Aleksandrov. Küme teorisine ve genel topolojiye giriş. - M.: kafa. ed. Fizik-Matematik Aydınlatılmış. ed. "Bilim", 1977
I. L. Khmelnitsky. Cebirsel sistemler teorisine giriş

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010

tamsayılar

Doğal sayıların tanımı pozitif tam sayılardır. Doğal sayılar, nesneleri saymak ve diğer birçok amaç için kullanılır. İşte rakamlar:

Bu doğal bir sayı dizisidir.
Sıfır bir doğal sayı mıdır? Hayır, sıfır bir doğal sayı değildir.
Kaç tane doğal sayı vardır? Sonsuz bir doğal sayılar kümesi vardır.
En küçük doğal sayı kaçtır? Bir, en küçük doğal sayıdır.
En büyük doğal sayı kaçtır? Belirlenemez, çünkü sonsuz bir doğal sayılar kümesi vardır.

Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Böylece, a ve b doğal sayılarının toplamı:

Doğal sayıların ürünü bir doğal sayıdır. Yani, a ve b doğal sayılarının çarpımı:

c her zaman bir doğal sayıdır.

Doğal sayıların farkı Her zaman bir doğal sayı yoktur. Eklenen, çıkandan büyükse, doğal sayıların farkı bir doğal sayıdır, aksi takdirde değildir.

Doğal sayıların bölümü Her zaman bir doğal sayı yoktur. a ve b doğal sayıları için ise

c'nin bir doğal sayı olması, a'nın b'ye eşit olarak bölünebileceği anlamına gelir. Bu örnekte, a bölen, b bölen, c bölümdür.

Bir doğal sayının böleni, ilk sayının eşit olarak bölünebildiği doğal sayıdır.

Her doğal sayı 1'e ve kendisine bölünebilir.

Basit doğal sayılar sadece 1'e ve kendilerine bölünebilir. Burada tamamen bölünmüş demek istiyoruz. Örnek, sayılar 2; 3; 5; 7 sadece 1'e ve kendisine bölünür. Bunlar basit doğal sayılardır.

Bir asal sayı olarak kabul edilmez.

Birden büyük ve asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. örnekler bileşik sayılar:

Bir bileşik sayı olarak kabul edilmez.

Doğal sayılar kümesi birdir, asal sayılar ve bileşik sayılar.

Doğal sayılar kümesi gösterilir Latin harfi N.

Doğal sayıların toplama ve çarpma özellikleri:

toplamanın değişme özelliği

eklemenin ilişkisel özelliği

(a + b) + c = a + (b + c);

çarpmanın değişmeli özelliği

çarpmanın ilişkisel özelliği

(ab)c = a(bc);

çarpmanın dağılma özelliği

A (b + c) = ab + ac;

Bütün sayılar

Tamsayılar doğal sayılardır, sıfır ve doğal sayıların tersidir.

Doğal sayıların karşısında olan sayılar tam sayılardır. negatif sayılar, Örneğin:

1; -2; -3; -4;...

Tam sayılar kümesi Latin harfi Z ile gösterilir.

Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar tam sayılar ve kesirlerdir.

Herhangi bir rasyonel sayı periyodik bir kesir olarak gösterilebilir. Örnekler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Herhangi bir tamsayının periyodu sıfır olan periyodik bir kesir olduğu örneklerden görülebilir.

Herhangi bir rasyonel sayı, m/n kesri olarak temsil edilebilir, burada m tam sayı n doğal sayı. Bir önceki örnekteki 3,(6) sayısını böyle bir kesir olarak gösterelim.

Lise öğrencileri ve matematik uzmanlık öğrencilerinin bu soruyu kolayca yanıtlaması muhtemeldir. Ancak mesleği gereği bundan uzak olanlar için daha zor olacaktır. Gerçekten nedir?

Öz ve atama

Rasyonel sayılar, kesir olarak gösterilebilen sayılardır. Pozitif, negatif ve sıfır da bu sete dahildir. Bir kesrin payı bir tam sayı, paydası ise

Bu küme matematikte Q olarak gösterilir ve "rasyonel sayılar alanı" olarak adlandırılır. Sırasıyla Z ve N olarak gösterilen tüm tam sayıları ve doğal sayıları içerir. Q kümesinin kendisi R kümesine dahildir.

Verim

Daha önce de belirtildiği gibi, rasyonel sayılar tüm tamsayı ve kesirli değerleri içeren bir kümedir. Onlar sunulabilir değişik formlar. Birincisi, sıradan bir kesir biçiminde: 5/7, 1/5, 11/15, vb. Elbette tamsayılar da benzer bir biçimde yazılabilir: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, vb. İkinci olarak, başka bir temsil türü ondalık son bir kesirli kısım ile: 0.01, -15.001006, vb. Bu belki de en yaygın biçimlerden biridir.

Ama bir de üçüncü var - periyodik bir kesir. Bu tür çok yaygın değildir, ancak yine de kullanılmaktadır. Örneğin, 10/3 kesri 3,33333... veya 3,(3) şeklinde yazılabilir. Bu durumda, farklı temsiller benzer sayılar olarak kabul edilecektir. Eşit kesirler de çağrılacaktır, örneğin, 3/5 ve 6/10. Görünüşe göre rasyonel sayıların ne olduğu netleşti. Peki bu terim neden onlara atıfta bulunmak için kullanılıyor?

adın kökeni

Modern Rusça'da "rasyonel" kelimesinin genellikle biraz farklı bir anlamı vardır. Daha ziyade "makul", "düşünülür". Ancak matematiksel terimler bunun doğrudan anlamına yakındır.Latince'de "oran", "oran", "kesir" veya "bölme" dir. Böylece isim, rasyonel sayıların özünü yansıtır. Ancak ikinci anlamı

gerçeklerden uzak değil.

Onlarla yapılan işlemler

Matematik problemlerini çözerken, kendimiz bilmeden sürekli olarak rasyonel sayılarla karşılaşırız. Ve bir dizi ilginç özelliği var. Hepsi ya bir kümenin tanımından ya da eylemlerden gelir.

İlk olarak, rasyonel sayılar sıra ilişkisi özelliğine sahiptir. Bu, iki sayı arasında yalnızca bir oranın bulunabileceği anlamına gelir - ya birbirlerine eşittirler ya da biri diğerinden daha büyük veya daha küçüktür. yani:

veya bir = b veya bir > b veya A< b.

Üstelik bu özellik, ilişkinin geçişliliğini de ima eder. yani, eğer A Daha B, B Daha C, O A Daha C. Matematik dilinde şöyle görünür:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

İkincisi, var Aritmetik işlemler rasyonel sayılarla, yani toplama, çıkarma, bölme ve tabii ki çarpma. Aynı zamanda, dönüşüm sürecinde bir takım özellikler de ayırt edilebilir.

a + b = b + a (terimlerin yer değiştirmesi, değişme);
0 + bir = bir + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (ilişkilendirilebilirlik);
bir + (-a) = 0;
ab=ba;
(ab)c = a(bc) (dağılım);
bir x 1 = 1 x bir = bir;
a x (1 / a) = 1 (bu durumda a, 0'a eşit değildir);
(a + b)c = ac + ab;
(a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Sıradan ve değil veya tamsayılar söz konusu olduğunda, bunlarla yapılan işlemler belirli zorluklara neden olabilir. Yani, toplama ve çıkarma ancak paydalar eşitse mümkündür. Başlangıçta farklılarsa, tüm kesrin belirli sayılarla çarpılmasını kullanarak ortak bir tane bulmalısınız. Karşılaştırma, çoğu zaman yalnızca bu koşul yerine getirildiğinde mümkündür.

Adi kesirlerin bölünmesi ve çarpılması oldukça basit kurallara göre yapılır. Ortak bir paydaya indirgeme gerekli değildir. Paylar ve paydalar ayrı ayrı çarpılırken işlemin gerçekleştirilmesinde mümkünse kesrin mümkün olduğunca küçültülmesi ve sadeleştirilmesi gerekir.

Bölmeye gelince, bu eylem, küçük bir farkla birincisine benzer. İkinci kesir için tersini bulmalısın, yani,

"Çevir onu. Bu nedenle, birinci kesrin payının ikinci kesrin paydasıyla çarpılması gerekecektir ve bunun tersi de geçerlidir.

Son olarak, rasyonel sayıların doğasında bulunan bir başka özellik de Arşimet aksiyomu olarak adlandırılır. "İlke" terimi de literatürde sıklıkla bulunur. Tüm gerçek sayılar kümesi için geçerlidir, ancak her yerde geçerli değildir. Bu nedenle, bu ilke bazı rasyonel fonksiyon koleksiyonları için çalışmaz. Özünde, bu aksiyom, a ve b olmak üzere iki niceliğin varlığı göz önüne alındığında, her zaman b'yi geçecek kadar a alabileceğiniz anlamına gelir.

uygulama alanı

Böylece, rasyonel sayıların ne olduğunu öğrenmiş veya hatırlamış olanlar için, bunların her yerde kullanıldığı açıktır: muhasebe, ekonomi, istatistik, fizik, kimya ve diğer bilimlerde. Doğal olarak matematikte de yerleri vardır. Onlarla uğraştığımızı her zaman bilmeden, sürekli olarak rasyonel sayılar kullanırız. Nesneleri saymayı, bir elmayı parçalara ayırmayı veya diğer basit eylemleri gerçekleştirmeyi öğrenen küçük çocuklar bile onlarla karşılaşır. Kelimenin tam anlamıyla bizi çevreliyorlar. Yine de bazı problemleri çözmek için yeterli değiller, özellikle Pisagor teoremini örnek olarak kullanarak, kavramı tanıtmanın gereğini anlayabiliriz.

Bu makale "Rasyonel sayılar" konusunun incelenmesine ayrılmıştır. Aşağıda rasyonel sayıların tanımları, örnekleri ve bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceği anlatılmaktadır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasyonel sayılar. Tanımlar

Rasyonel sayıların tanımını vermeden önce, diğer sayı kümelerinin ne olduğunu ve birbirleriyle nasıl ilişkili olduklarını hatırlayalım.

Doğal sayılar, karşıtları ve sıfır sayısıyla birlikte bir tamsayılar kümesi oluşturur. Buna karşılık, tamsayı kesirli sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesini oluşturur.

Tanım 1. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, pozitif ortak kesir a b , negatif ortak kesir a b veya sıfır sayısı olarak temsil edilebilen sayılardır.

Böylece, rasyonel sayıların bir dizi özelliğini bırakabiliriz:

Herhangi bir doğal sayı bir rasyonel sayıdır. Açıkçası, her doğal sayı n bir kesir olarak temsil edilebilir 1 n .
0 sayısı da dahil olmak üzere herhangi bir tam sayı bir rasyonel sayıdır. Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı ve negatif tam sayı, sırasıyla pozitif veya negatif bir adi kesir olarak kolayca temsil edilebilir. Örneğin, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
Herhangi bir pozitif veya negatif ortak kesir a b bir rasyonel sayıdır. Bu, doğrudan yukarıdaki tanımdan kaynaklanmaktadır.
Herhangi karışık numara rasyoneldir. Aslında, sonuçta, karışık bir sayı sıradan bir uygunsuz kesir olarak temsil edilebilir.
Herhangi bir sonlu veya periyodik ondalık kesir, ortak bir kesir olarak gösterilebilir. Bu nedenle, her periyodik veya son ondalık bir rasyonel sayıdır.
Sonsuz ve yinelenmeyen ondalık sayılar rasyonel sayılar değildir. Sıradan kesirler biçiminde temsil edilemezler.

Rasyonel sayılara örnekler verelim. 5 , 105 , 358 , 1100055 sayıları doğal, pozitif ve tam sayıdır. Sonuçta bunlar rasyonel sayılar. - 2 , - 358 , - 936 sayıları negatif tam sayılardır ve tanım gereği rasyoneldirler. Yaygın kesirler 3 5 , 8 7 , - 35 8 de rasyonel sayılara örnektir.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha özlü bir şekilde formüle edilebilir. Rasyonel sayı nedir sorusuna tekrar cevap verelim.

Tanım 2. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, z'nin bir tam sayı, n'nin bir doğal sayı olduğu, ± z n'nin bir kesri olarak gösterilebilen sayılardır.

Bu tanımın önceki rasyonel sayılar tanımına eşdeğer olduğu gösterilebilir. Bunu yapmak için, bir kesrin çubuğunun bölme işaretiyle aynı olduğunu unutmayın. Tamsayıların bölme kurallarını ve özelliklerini dikkate alarak aşağıdaki adil eşitsizlikleri yazabiliriz:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Böylece, biri yazabilir:

z n = z n , p p ve z > 0 0 , p p ve z = 0 - z n , p p ve z< 0

Aslında bu kayıt bir kanıttır. İkinci tanımdan yola çıkarak rasyonel sayılara örnekler veriyoruz. - 3 , 0 , 5 , -7 55 , 0 , 0125 ve - 1 3 5 sayılarını dikkate alın . Tüm bu sayılar rasyoneldir, çünkü bir tamsayı payı ve bir doğal paydası olan bir kesir olarak yazılabilirler: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Rasyonel sayıların tanımının eşdeğer bir biçimini daha sunuyoruz.

Tanım 3. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen bir sayıdır.

Bu tanım, doğrudan bu paragrafın ilk tanımından sonra gelir.

Bu öğeyi özetlemek ve bir özet oluşturmak için:

Pozitif ve negatif kesirli ve tam sayılar, rasyonel sayılar kümesini oluşturur.
Her rasyonel sayı, payı bir tam sayı ve paydası bir doğal sayı olan bir kesir olarak gösterilebilir.
Her rasyonel sayı ondalık kesir olarak da temsil edilebilir: sonlu veya sonsuz periyodik.

Hangi sayı rasyoneldir?

Daha önce öğrendiğimiz gibi, herhangi bir doğal sayı, tamsayı, düzenli ve yanlış sıradan kesir, periyodik ve son ondalık kesir rasyonel sayılardır. Bu bilgiyle donanmış olarak, bir sayının rasyonel olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz.

Bununla birlikte, pratikte, genellikle sayılarla değil, kökler, kuvvetler ve logaritmalar içeren sayısal ifadelerle uğraşmak gerekir. Bazı durumlarda "Bir sayı rasyonel midir?" açık olmaktan uzaktır. Bu soruyu nasıl cevaplayacağımıza bir göz atalım.

Bir sayı, yalnızca rasyonel sayıları ve aralarındaki aritmetik işlemleri içeren bir ifade olarak verilirse, ifadenin sonucu bir rasyonel sayıdır.

Örneğin, 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) ifadesinin değeri bir rasyonel sayıdır ve 18'e eşittir.

Böylece, karmaşık bir sayısal ifadeyi basitleştirmek, verdiği sayının rasyonel olup olmadığını belirlemenizi sağlar.

Şimdi kökün işaretini ele alalım.

M sayısının n derecesinin kökü olarak verilen m n sayısının, yalnızca m bazı doğal sayıların n'inci kuvveti olduğunda rasyonel olduğu ortaya çıktı.

Bir örneğe bakalım. 2 sayısı rasyonel değildir. Oysa 9, 81 rasyonel sayılardır. 9 ve 81, sırasıyla 3 ve 9 sayılarının tam kareleridir. 199 , 28 , 15 1 sayıları rasyonel sayılar değildir çünkü kök işareti altındaki sayılar herhangi bir doğal sayının tam karesi değildir.

Şimdi daha fazlasını alalım zor durum. 243 5 sayısı rasyonel midir? 3'ün beşinci kuvvetini yükseltirseniz, 243 elde edersiniz, yani orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Dolayısıyla bu sayı rasyoneldir. Şimdi 121 5 sayısını ele alalım. Beşinci kuvveti 121 verecek hiçbir doğal sayı olmadığı için bu sayı rasyonel değildir.

Bir sayının a'nın b tabanına göre logaritmasının rasyonel sayı olup olmadığını bulmak için çelişki yöntemini uygulamak gerekir. Örneğin, log 2 5 sayısının rasyonel olup olmadığını bulalım. Bu sayının rasyonel olduğunu varsayalım. Öyleyse, log 2 5 \u003d m n sıradan bir kesir olarak yazılabilir Logaritmanın özelliklerine ve derecenin özelliklerine göre, aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

5 = 2 günlük 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Açıkçası, sol ve sağ taraflar sırasıyla tek ve çift sayılar içerdiğinden, son eşitlik imkansızdır. Dolayısıyla yapılan varsayım yanlıştır ve log 2 5 sayısı bir rasyonel sayı değildir.

Rakamların rasyonalitesini ve irrasyonelliğini belirlerken ani kararlar verilmemesi gerektiğini belirtmekte fayda var. Örneğin, irrasyonel sayıların bir çarpımının sonucu her zaman bir irrasyonel sayı değildir. Açıklayıcı bir örnek: 2 · 2 = 2 .

İrrasyonel bir kuvvete yükseltildiğinde rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılar da vardır. 2 log 2 3 şeklinde bir kuvvette taban ve üs irrasyonel sayılardır. Ancak sayının kendisi rasyoneldir: 2 log 2 3 = 3 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Rasyonel sayılar

çeyrek

düzenlilik A Ve B aralarında benzersiz bir şekilde üç ilişkiden birini ve yalnızca birini tanımlamanıza izin veren bir kural vardır: "< », « >' veya ' = '. Bu kural denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: iki negatif olmayan sayı ve iki tamsayı ile aynı ilişki ile ilişkilidir ve ; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişki ile ilişkilidir ve ; eğer aniden A negatif olmayan ve B- negatif, o zaman A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
kesirlerin toplamı
ekleme işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var toplama kuralı C. Ancak, sayının kendisi C isminde toplam sayılar A Ve B ve gösterilir ve böyle bir sayı bulma işlemine denir. toplama. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
çarpma işlemi Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var çarpma kuralı, bu onları bir rasyonel sayı ile yazışmaya sokar C. Ancak, sayının kendisi C isminde iş sayılar A Ve B ve gösterilir ve böyle bir sayı bulma işlemine de denir. çarpma işlemi. Çarpma kuralı aşağıdaki gibidir: .
Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir üçlü rasyonel sayı için A , B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C. 6435">Toplamanın değişme özelliği. Rasyonel terimlerin yerleri değişince toplam değişmez.
Eklemenin ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayı, toplandığında 0 veren zıt bir rasyonel sayıya sahiptir.
Çarpmanın değişmeliliği. Rasyonel faktörlerin yerlerini değiştirerek ürün değişmez.
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
Bir birimin varlığı.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
Karşılıklıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayı, çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayıya sahiptir.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle tutarlıdır:
Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir. /resimler/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, o kadar çok birim alabilirsin ki toplamları A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Sayılabilirliği ayarla

Rasyonel sayıların numaralandırılması

Bu algoritmalardan en basiti aşağıdaki gibidir. Sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Ben-inci satır her birinde J inci kolonu bir kesirdir. Kesinlik için, bu tablonun satır ve sütunlarının birden numaralandırıldığı varsayılır. Tablo hücreleri gösterilir, burada Ben- hücrenin bulunduğu tablonun satır numarası ve J- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" tarafından yönetilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve bir sonraki pozisyon ilk maça göre seçilir.

Rasyonel sayıların yetersizliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü herhangi bir rasyonel sayı ile ifade edilmez.

notlar

Edebiyat

I. Kushnir. Okul çocukları için matematik el kitabı. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Aleksandrov. Küme teorisine ve genel topolojiye giriş. - M.: kafa. ed. Fizik-Matematik Aydınlatılmış. ed. "Bilim", 1977
I. L. Khmelnitsky. Cebirsel sistemler teorisine giriş

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010