أرقام نسبية
أرباع
- الانتظام. أو بهناك قاعدة تسمح لك بتحديد علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاث بينها بشكل فريد: "<
», « >"أو" = ". تسمى هذه القاعدة قاعدة الطلبويتم صياغته على النحو التالي: رقمان غير سالبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ; رقمين غير موجبين أو بترتبط بنفس العلاقة بين رقمين غير سالبين و ؛ إذا فجأة أغير سلبية، ولكن ب- سلبي إذن أ > ب. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
إضافة الكسور
- عملية الإضافة.لأي أرقام نسبية أو بهناك ما يسمى قاعدة الجمع ج. وفي الوقت نفسه، الرقم نفسه جمُسَمًّى كميةأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لها الشكل التالي:
.
- عملية الضرب.لأي أرقام عقلانية أو بهناك ما يسمى قاعدة الضرب، الذي يعين لهم عددا عقلانيا ج. وفي الوقت نفسه، الرقم نفسه جمُسَمًّى عملأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. تبدو قاعدة الضرب كما يلي:
.
- انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثية من الأعداد النسبية أ , بو جلو أأقل بو بأقل ج، الذي - التي أأقل ج، و إذا أيساوي بو بيساوي ج، الذي - التي أيساوي ج. 6435">إبدالية الجمع. تغيير أماكن المصطلحات العقلانية لا يغير المجموع.
- ترابط الإضافة.الترتيب الذي تتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
- وجود الصفر.هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
- وجود أرقام متضادة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
- إبدالية الضرب.تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
- رابطة الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
- توافر الوحدة.هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
- وجود أرقام متبادلة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
- توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع.يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
- ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة.يمكن إضافة نفس العدد النسبي إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
- بديهية أرخميدس.مهما كان العدد العقلاني أ، يمكنك أن تأخذ العديد من الوحدات التي يتجاوز مجموعها أ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">
خصائص إضافية
لا يتم تمييز جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد النسبية على أنها خصائص أساسية، لأنها، بشكل عام، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إثباتها بناءً على الخصائص الأساسية المعطاة أو مباشرة عن طريق تعريف بعض الأشياء الرياضية . هناك الكثير من هذه الخصائص الإضافية. ومن المنطقي أن نذكر هنا القليل منها فقط.
Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
إمكانية عد المجموعة
ترقيم الأعداد النسبية
لتقدير عدد الأعداد النسبية، تحتاج إلى العثور على أصل مجموعتها. من السهل إثبات أن مجموعة الأعداد النسبية قابلة للعد. للقيام بذلك، يكفي إعطاء خوارزمية تعداد الأعداد العقلانية، أي إنشاء تناقض بين مجموعات الأعداد العقلانية والطبيعية.
أبسط هذه الخوارزميات تبدو هكذا. يتم إنشاء جدول لا نهاية له الكسور العادية، على كل أنا-السطر في كل منهما يالعمود العاشر الذي يقع فيه الكسر. وللتأكد من ذلك، من المفترض أن يتم ترقيم صفوف وأعمدة هذا الجدول بدءاً من واحد. يتم الإشارة إلى خلايا الجدول بـ أين أنا- رقم صف الجدول الذي توجد فيه الخلية و ي- رقم العمود.
يتم اجتياز الجدول الناتج باستخدام "الثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.
يتم البحث عن هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد الموضع التالي بناءً على المطابقة الأولى.
في عملية مثل هذا الاجتياز، يرتبط كل رقم نسبي جديد برقم طبيعي آخر. أي أن الكسر 1/1 مخصص للرقم 1، والكسر 2/1 للرقم 2، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أنه يتم ترقيم الكسور غير القابلة للاختزال فقط. العلامة الرسمية لعدم قابلية الاختزال هي أن القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر يساوي واحدًا.
باتباع هذه الخوارزمية، يمكننا تعداد جميع الأعداد النسبية الموجبة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد. من السهل إنشاء تنازع بين مجموعات الأعداد النسبية الإيجابية والسلبية عن طريق تعيين نقيض لكل رقم نسبي. الذي - التي. مجموعة الأرقام العقلانية السالبة قابلة للعد أيضًا. اتحادهم قابل للعد أيضًا من خلال خاصية المجموعات المعدودة. مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد أيضًا كاتحاد مجموعة قابلة للعد مع مجموعة محدودة.
قد يسبب البيان حول قابلية عد مجموعة الأعداد العقلانية بعض الالتباس، لأنه للوهلة الأولى يبدو أنها أكثر شمولاً بكثير من مجموعة الأعداد الطبيعية. في الواقع، الأمر ليس كذلك، فهناك أعداد طبيعية كافية لتعداد جميع الأعداد العقلانية.
عدم وجود أرقام عقلانية
لا يمكن التعبير عن الوتر لمثل هذا المثلث بأي رقم نسبي
الأعداد النسبية للنموذج 1 / نككل نيمكن قياس كميات صغيرة بشكل تعسفي. تخلق هذه الحقيقة انطباعًا مضللًا بأن الأرقام العقلانية يمكن استخدامها لقياس أي مسافات هندسية. ومن السهل إظهار أن هذا غير صحيح.
ملحوظات
الأدب
- أنا كوشنير. دليل الرياضيات لأطفال المدارس. - كييف: أستارتا، 1998. - 520 ص.
- بي إس ألكساندروف. مقدمة لنظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. - م: الفصل. إد. الفيزياء والرياضيات أشعل. إد. "العلم"، 1977
- آي إل خميلنيتسكي. مقدمة في نظرية النظم الجبرية
روابط
مؤسسة ويكيميديا. 2010.
الأعداد الصحيحة
تعريف الأعداد الطبيعية هو الأعداد الصحيحة أرقام إيجابية. تستخدم الأعداد الطبيعية لحساب الأشياء والعديد من الأغراض الأخرى. هذه هي الأرقام:
هذه سلسلة طبيعية من الأرقام.
هل الصفر عدد طبيعي؟ لا، الصفر ليس عدداً طبيعياً.
كم عدد الأعداد الطبيعية الموجودة؟ هناك عدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية.
ما هو أصغر عدد طبيعي؟ واحد هو أصغر عدد طبيعي.
ما هو أكبر عدد طبيعي؟ ومن المستحيل تحديد ذلك، لأن هناك عدد لا حصر له من الأعداد الطبيعية.
مجموع الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن، نضيف الأعداد الطبيعية a وb:
حاصل ضرب الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن حاصل ضرب العددين الطبيعيين a وb:
ج هو دائما عدد طبيعي.
الفرق بين الأعداد الطبيعية ليس هناك دائما عدد طبيعي. وإذا كان الطرح أكبر من المطروح فإن الفرق بين الأعداد الطبيعية يكون عددا طبيعيا، وإلا فلا يكون.
حاصل قسمة الأعداد الطبيعية ليس دائمًا عددًا طبيعيًا. إذا كان للأعداد الطبيعية أ و ب
حيث أن c عدد طبيعي، فهذا يعني أن a يقبل القسمة على b. في هذا المثال، a هو المقسوم، b هو المقسوم عليه، c هو حاصل القسمة.
المقسوم على عدد طبيعي هو عدد طبيعي يقبل به الرقم الأول القسمة على الكل.
كل عدد طبيعي يقبل القسمة على الواحد وعلى نفسه.
الأعداد الطبيعية الأولية لا تقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسها. ونعني هنا الانقسام بالكامل. مثال، أرقام 2؛ 3؛ 5؛ 7 لا يقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسه. هذه أرقام طبيعية بسيطة.
واحد لا يعتبر عددا أوليا.
تسمى الأرقام الأكبر من الواحد وغير الأولية أرقامًا مركبة. أمثلة على الأعداد المركبة:
واحد لا يعتبر رقما مركبا.
مجموعة الأعداد الطبيعية هي واحد الأعداد الأوليةوالأرقام المركبة.
يشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية حرف لاتينين.
خواص جمع وضرب الأعداد الطبيعية:
خاصية التبديل من إضافة
الخاصية النقابية للإضافة
(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)؛
الخاصية التبادلية للضرب
الخاصية الترابطية للضرب
(أ)ج = أ(قبل الميلاد)؛
خاصية التوزيع للضرب
أ (ب + ج) = أب + أس؛
الأعداد الكلية
الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية، الصفر، وأضداد الأعداد الطبيعية.
وعكس الأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة السالبة، على سبيل المثال:
1; -2; -3; -4;...
يُشار إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z.
أرقام نسبية
الأعداد النسبية هي أعداد صحيحة وكسور.
يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر دوري. أمثلة:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
يتضح من الأمثلة أن أي عدد صحيح هو كسر دوري دورته صفر.
يمكن تمثيل أي عدد نسبي على شكل كسر m/n، حيث m عدد صحيح، نعدد طبيعي. لنتخيل الرقم 3,(6) من المثال السابق على أنه كسر.
من المحتمل أن يجيب أطفال المدارس الأكبر سناً وطلاب الرياضيات على هذا السؤال بسهولة. ولكن بالنسبة لأولئك الذين هم بعيدون عن هذه المهنة، سيكون الأمر أكثر صعوبة. ما هو حقا؟
الجوهر والتسمية
الأعداد النسبية هي تلك التي يمكن تمثيلها ككسر عادي. يتم تضمين الإيجابية والسلبية والصفر أيضًا في هذه المجموعة. يجب أن يكون بسط الكسر عددًا صحيحًا، كما يجب أن يكون المقام
يُشار إلى هذه المجموعة في الرياضيات بالرمز Q وتسمى "مجال الأعداد العقلانية". ويشمل جميع الأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية، المشار إليها على التوالي بـ Z وN. يتم تضمين المجموعة Q نفسها في المجموعة R. وهذا الحرف هو الذي يشير إلى ما يسمى الحقيقي أو
أداء
كما ذكرنا سابقًا، الأعداد النسبية هي مجموعة تتضمن جميع القيم الصحيحة والكسرية. يمكن تقديمها في أشكال مختلفة. أولاً، في شكل كسر عادي: 5/7، 1/5، 11/15، إلخ. بالطبع، يمكن أيضًا كتابة الأعداد الصحيحة بشكل مماثل: 6/2، 15/5، 0/1، - 10/2، الخ. ثانيا، نوع آخر من التمثيل هو عدد عشريبجزء كسري محدود: 0.01، -15.001006، وما إلى ذلك. ربما يكون هذا أحد الأشكال الأكثر شيوعًا.
ولكن هناك أيضًا جزء ثالث - جزء دوري. هذا النوع ليس شائعًا جدًا، لكنه لا يزال مستخدمًا. على سبيل المثال، يمكن كتابة الكسر 10/3 بالشكل 3.33333... أو 3,(3). في هذه الحالة، سيتم اعتبار التمثيلات المختلفة أرقامًا متشابهة. الكسور التي تساوي بعضها البعض ستُطلق عليها أيضًا نفس الاسم، على سبيل المثال 3/5 و6/10. يبدو أنه أصبح من الواضح ما هي الأعداد العقلانية. ولكن لماذا يستخدم هذا المصطلح بالذات للإشارة إليهم؟
أصل الاسم
كلمة "عقلاني" في اللغة الروسية الحديثة لها معنى مختلف قليلاً بشكل عام. إنه أشبه بـ "معقول" و "مدروس". لكن المصطلحات الرياضية قريبة من المعنى المباشر لذلك. في اللاتينية، "النسبة" هي "نسبة" أو "كسر" أو "قسمة". وبالتالي، فإن الاسم يجسد جوهر الأعداد العقلانية. غير أن المعنى الثاني
ليس بعيدًا عن الحقيقة.
الإجراءات معهم
عند حل المسائل الرياضية، نواجه دائمًا أرقامًا عقلانية دون أن نعرفها بأنفسنا. ولديهم عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام. وكلها تتبع إما من تعريف المجموعة أو من الأفعال.
أولًا، الأعداد النسبية لها خاصية العلاقة الترتيبية. وهذا يعني أنه لا يمكن أن تكون هناك سوى علاقة واحدة بين رقمين - إما أن يكونا متساويين أو أن أحدهما أكبر أو أقل من الآخر. إنه:
أو أ = ب ;أو أ > ب،أو أ< b.
بالإضافة إلى ذلك، فإن تعددية العلاقة تنبع أيضًا من هذه الخاصية. وهذا هو، إذا أأكثر ب, بأكثر ج، الذي - التي أأكثر ج. في اللغة الرياضية يبدو الأمر كما يلي:
(أ > ب) ^ (ب > ج) => (أ > ج).
ثانيا، هناك عمليات حسابيةمع الأعداد النسبية، أي الجمع والطرح والقسمة وبالطبع الضرب. وفي الوقت نفسه، في عملية التحولات، يمكن أيضا تحديد عدد من الخصائص.
- أ + ب = ب + أ (تغيير أماكن المصطلحات، التبادلية)؛
- 0 + أ = أ + 0 ;
- (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (الترابط)؛
- أ + (-أ) = 0؛
- أب = با؛
- (أ ب) ج = أ (ج) (التوزيع)؛
- أ × 1 = 1 × أ = أ؛
- أ س (1 / أ) = 1 (في هذه الحالة لا يساوي 0)؛
- (أ + ب) ج = أس + أب؛
- (أ > ب) ^ (ج > 0) => (أك> قبل الميلاد).
عندما نتحدث عن الأعداد العادية وليس الأعداد الصحيحة، فإن العمل معها يمكن أن يسبب بعض الصعوبات. وبالتالي، فإن الجمع والطرح ممكنان فقط إذا كانت المقامات متساوية. إذا كانت مختلفة في البداية، فيجب عليك العثور على الكسر المشترك عن طريق ضرب الكسر بأكمله بأرقام معينة. غالبًا ما تكون المقارنة ممكنة فقط في حالة استيفاء هذا الشرط.
يتم تقسيم وضرب الكسور العادية وفقًا للكفاية قواعد بسيطة. ليس من الضروري التخفيض إلى قاسم مشترك. يتم ضرب البسط والمقام بشكل منفصل، وفي عملية تنفيذ الإجراء، إن أمكن، يجب تقليل الكسر وتبسيطه قدر الإمكان.
وأما القسمة، فهذا الإجراء يشبه الإجراء الأول مع اختلاف بسيط. بالنسبة للكسر الثاني، يجب أن تجد العكس، أي
"اقلبها. وبالتالي، يجب ضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني، والعكس صحيح.
وأخيرًا، هناك خاصية أخرى متأصلة في الأعداد العقلانية تسمى بديهية أرخميدس. في كثير من الأحيان يوجد أيضًا اسم "المبدأ" في الأدبيات. إنه صالح لمجموعة كاملة من الأعداد الحقيقية، ولكن ليس في كل مكان. وبالتالي، فإن هذا المبدأ لا ينطبق على بعض مجموعات الوظائف العقلانية. في الأساس، تعني هذه البديهية أنه نظرًا لوجود كميتين a وb، يمكنك دائمًا أخذ ما يكفي من a لتجاوز b.
منطقة التطبيق
لذلك، بالنسبة لأولئك الذين تعلموا أو تذكروا ما هي الأرقام العقلانية، يصبح من الواضح أنها تستخدم في كل مكان: في المحاسبة والاقتصاد والإحصاء والفيزياء والكيمياء وغيرها من العلوم. وبطبيعة الحال، لديهم أيضا مكان في الرياضيات. لا نعرف دائمًا أننا نتعامل معها، فنحن نستخدم الأرقام العقلانية باستمرار. حتى الأطفال الصغار، الذين يتعلمون حساب الأشياء، أو يقطعون تفاحة إلى قطع، أو يقومون بأعمال بسيطة أخرى، يواجهون هذه الأشياء. إنهم يحيطون بنا حرفيًا. ومع ذلك، فهي ليست كافية لحل بعض المشاكل، على وجه الخصوص، باستخدام نظرية فيثاغورس كمثال، يمكن للمرء أن يفهم الحاجة إلى تقديم هذا المفهوم
هذه المقالة مخصصة لدراسة موضوع "الأعداد النسبية". فيما يلي تعريفات الأعداد النسبية، مع إعطاء أمثلة، وكيفية تحديد ما إذا كان الرقم نسبيًا أم لا.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
أرقام نسبية. تعريفات
قبل إعطاء تعريف الأعداد النسبية، دعونا نتذكر ما هي مجموعات الأرقام الأخرى وكيف ترتبط ببعضها البعض.
تشكل الأعداد الطبيعية مع أضدادها والرقم صفر مجموعة الأعداد الصحيحة. وفي المقابل، تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة الكسرية مجموعة الأعداد النسبية.
التعريف 1. الأعداد النسبية
الأعداد النسبية هي أرقام يمكن تمثيلها ككسر مشترك موجب أ ب، أو كسر مشترك سالب أ ب، أو الرقم صفر.
وهكذا، يمكننا الاحتفاظ بعدد من خصائص الأعداد النسبية:
- أي عدد طبيعي هو عدد نسبي. من الواضح أن كل عدد طبيعي n يمكن تمثيله ككسر 1 n.
- أي عدد صحيح، بما في ذلك الرقم 0، هو عدد نسبي. في الواقع، يمكن بسهولة تمثيل أي عدد صحيح موجب وأي عدد صحيح سالب ككسر عادي موجب أو سالب، على التوالي. على سبيل المثال، 15 = 15 1، - 352 = - 352 1.
- أي كسر عادي موجب أو سالب a b هو عدد نسبي. وهذا يتبع مباشرة من التعريف المذكور أعلاه.
- أي رقم مختلطعقلاني. في الواقع، يمكن تمثيل العدد المختلط ككسر عادي غير حقيقي.
- يمكن تمثيل أي كسر عشري محدود أو دوري ككسر. ولذلك، فإن كل كسر عشري دوري أو محدود هو عدد نسبي.
- الكسور العشرية اللانهائية وغير الدورية ليست أرقامًا منطقية. ولا يمكن تمثيلها في شكل كسور عادية.
دعونا نعطي أمثلة على الأعداد العقلانية. الأعداد 5، 105، 358، 1100055 هي أرقام طبيعية وموجبة وعدد صحيح. ومن الواضح أن هذه أرقام عقلانية. الأعداد - 2، - 358، - 936 هي أعداد صحيحة سالبة وهي أيضًا نسبية وفقًا للتعريف. الكسور المشتركة 3 5، 8 7، - 35 8 هي أيضًا أمثلة على الأعداد النسبية.
يمكن صياغة التعريف أعلاه للأرقام العقلانية بشكل أكثر إيجازًا. مرة أخرى سوف نجيب على السؤال، ما هو العدد النسبي؟
التعريف 2. الأعداد النسبية
الأعداد النسبية هي أرقام يمكن تمثيلها ككسر ± z n، حيث z عدد صحيح وn عدد طبيعي.
ويمكن إثبات أن هذا التعريف يعادل التعريف السابق للأعداد النسبية. للقيام بذلك، تذكر أن خط الكسر يعادل علامة القسمة. مع الأخذ في الاعتبار قواعد وخصائص قسمة الأعداد الصحيحة، يمكننا كتابة المتباينات العادلة التالية:
0 ن = 0 ÷ ن = 0 ; - م ن = (- م) ÷ ن = - م ن .
وهكذا يمكننا أن نكتب:
ض n = z n , p r و z > 0 0 , p r و z = 0 - z n , p r و z< 0
في الواقع، هذا التسجيل هو الدليل. دعونا نعطي أمثلة على الأرقام العقلانية بناءً على التعريف الثاني. خذ بعين الاعتبار الأرقام - 3، 0، 5، - 7 55، 0، 0125 و - 1 3 5. كل هذه الأرقام نسبية، حيث يمكن كتابتها على شكل كسر ببسط صحيح ومقام طبيعي: - 3 1، 0 1، - 7 55، 125 10000، 8 5.
دعونا نعطي صيغة أخرى مكافئة لتعريف الأعداد العقلانية.
التعريف 3. الأعداد النسبية
الرقم المنطقي هو رقم يمكن كتابته ككسر عشري دوري منته أو لا نهائي.
ويأتي هذا التعريف مباشرة من التعريف الأول لهذه الفقرة.
دعونا نلخص وصياغة ملخص لهذه النقطة:
- تشكل الكسور والأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة مجموعة الأعداد النسبية.
- يمكن تمثيل كل عدد نسبي ككسر عادي، يكون بسطه عددًا صحيحًا ومقامه عددًا طبيعيًا.
- يمكن أيضًا تمثيل كل رقم منطقي ككسر عشري: محدود أو دوري لا نهائي.
أي رقم هو العقلاني؟
كما اكتشفنا سابقًا، فإن أي عدد طبيعي، أو عدد صحيح، أو كسر عادي صحيح أو غير صحيح، أو كسر عشري دوري أو محدد، هي أرقام نسبية. وبالتسلح بهذه المعرفة، يمكنك بسهولة تحديد ما إذا كان عدد معين عقلانيًا أم لا.
ومع ذلك، في الممارسة العملية، لا يتعين على المرء في كثير من الأحيان التعامل مع الأرقام، ولكن مع التعبيرات الرقمية التي تحتوي على الجذور والقوى واللوغاريتمات. في بعض الحالات يكون الجواب على سؤال "هل العدد نسبي؟" أبعد ما يكون عن الوضوح. دعونا نلقي نظرة على طرق الإجابة على هذا السؤال.
إذا تم إعطاء رقم كتعبير يحتوي فقط على أرقام نسبية وعمليات حسابية بينها، فإن نتيجة التعبير هي رقم نسبي.
على سبيل المثال، قيمة التعبير 2 · 3 1 8 - 0، 25 0، (3) هي عدد نسبي ويساوي 18.
وبالتالي، فإن تبسيط التعبير الرقمي المعقد يسمح لك بتحديد ما إذا كان الرقم المعطى به عقلانيًا.
الآن دعونا نلقي نظرة على علامة الجذر.
اتضح أن الرقم m n المعطى كجذر للأس n للرقم m يكون عقلانيًا فقط عندما تكون m هي القوة n لعدد طبيعي ما.
لنلقي نظرة على مثال. الرقم 2 ليس عقلانيا. حيث أن 9، 81 أرقام نسبية. 9 و 81 هما مربعان كاملان للرقمين 3 و 9 على التوالي. الأعداد 199، 28، 15 1 ليست أرقامًا نسبية، لأن الأعداد الموجودة تحت علامة الجذر ليست مربعات كاملة لأي أعداد طبيعية.
الآن دعونا نأخذ المزيد حالة صعبة. هل 243 5 عدد نسبي؟ إذا قمت برفع 3 إلى القوة الخامسة، فستحصل على 243، لذلك يمكن إعادة كتابة التعبير الأصلي على النحو التالي: 243 5 = 3 5 5 = 3. ولذلك فإن هذا العدد منطقي. الآن لنأخذ الرقم 121 5. وهذا العدد غير نسبي، إذ لا يوجد عدد طبيعي رفعه إلى القوة الخامسة يعطي 121.
من أجل معرفة ما إذا كان لوغاريتم الرقم أ إلى الأساس ب هو رقم نسبي، تحتاج إلى تطبيق طريقة التناقض. على سبيل المثال، دعونا نكتشف ما إذا كان سجل الأرقام 2 5 عقلانيًا. لنفترض أن هذا الرقم عقلاني. إذا كان الأمر كذلك، فيمكن كتابته في شكل سجل كسر عادي 2 5 = m n. وفقًا لخصائص اللوغاريتم وخصائص الدرجة، تكون المساواة التالية صحيحة:
5 = 2 سجل 2 5 = 2 م ن 5 ن = 2 م
من الواضح أن المساواة الأخيرة مستحيلة لأن الجانبين الأيسر والأيمن يحتويان على أرقام فردية وزوجية على التوالي. ولذلك، فإن الافتراض الذي تم إجراؤه غير صحيح وlog 2 5 ليس عددًا نسبيًا.
تجدر الإشارة إلى أنه عند تحديد عقلانية الأرقام وعدم عقلانيتها، لا ينبغي اتخاذ قرارات مفاجئة. على سبيل المثال، نتيجة حاصل ضرب الأعداد غير النسبية لا تكون دائمًا عددًا غير نسبي. مثال توضيحي: 2 · 2 = 2.
هناك أيضًا أعداد غير نسبية، ورفعها إلى قوة غير نسبية يعطي عددًا كسريًا. في قوة النموذج 2 log 2 3، الأساس والأس هما أرقام غير نسبية. ومع ذلك، فإن الرقم نفسه نسبي: 2 log 2 3 = 3.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
أرقام نسبية
أرباع
- الانتظام. أو بهناك قاعدة تسمح لك بتحديد علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاث بينها بشكل فريد: "<
», « >"أو" = ". تسمى هذه القاعدة قاعدة الطلبويتم صياغته على النحو التالي: رقمان غير سالبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ; رقمين غير موجبين أو بترتبط بنفس العلاقة بين رقمين غير سالبين و ؛ إذا فجأة أغير سلبية، ولكن ب- سلبي إذن أ > ب. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
إضافة الكسور
- عملية الإضافة.لأي أرقام عقلانية أو بهناك ما يسمى قاعدة الجمع ج. وفي الوقت نفسه، الرقم نفسه جمُسَمًّى كميةأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لها الشكل التالي:
.
- عملية الضرب.لأي أرقام عقلانية أو بهناك ما يسمى قاعدة الضرب، الذي يعين لهم عددا عقلانيا ج. وفي الوقت نفسه، الرقم نفسه جمُسَمًّى عملأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. تبدو قاعدة الضرب كما يلي:
.
- انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثية من الأعداد النسبية أ , بو جلو أأقل بو بأقل ج، الذي - التي أأقل ج، و إذا أيساوي بو بيساوي ج، الذي - التي أيساوي ج. 6435">إبدالية الجمع. تغيير أماكن المصطلحات العقلانية لا يغير المجموع.
- ترابط الإضافة.الترتيب الذي تتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
- وجود الصفر.هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
- وجود أرقام متضادة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
- إبدالية الضرب.تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
- رابطة الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
- توافر الوحدة.هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
- وجود أرقام متبادلة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
- توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع.يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
- ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة.يمكن إضافة نفس العدد النسبي إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
- بديهية أرخميدس.مهما كان العدد العقلاني أ، يمكنك أن تأخذ العديد من الوحدات التي يتجاوز مجموعها أ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">
خصائص إضافية
لا يتم تمييز جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد النسبية على أنها خصائص أساسية، لأنها، بشكل عام، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إثباتها بناءً على الخصائص الأساسية المعطاة أو مباشرة عن طريق تعريف بعض الأشياء الرياضية . هناك الكثير من هذه الخصائص الإضافية. ومن المنطقي أن نذكر هنا القليل منها فقط.
Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
إمكانية عد المجموعة
ترقيم الأعداد النسبية
لتقدير عدد الأعداد النسبية، تحتاج إلى العثور على أصل مجموعتها. من السهل إثبات أن مجموعة الأعداد النسبية قابلة للعد. للقيام بذلك، يكفي إعطاء خوارزمية تعداد الأعداد العقلانية، أي إنشاء تناقض بين مجموعات الأعداد العقلانية والطبيعية.
أبسط هذه الخوارزميات تبدو هكذا. يتم تجميع جدول لا نهاية له من الكسور العادية على كل منها أنا-السطر في كل منهما يالعمود العاشر الذي يقع فيه الكسر. وللتأكد من ذلك، من المفترض أن يتم ترقيم صفوف وأعمدة هذا الجدول بدءاً من واحد. يتم الإشارة إلى خلايا الجدول بـ أين أنا- رقم صف الجدول الذي توجد فيه الخلية و ي- رقم العمود.
يتم اجتياز الجدول الناتج باستخدام "الثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.
يتم البحث عن هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد الموضع التالي بناءً على المطابقة الأولى.
في عملية مثل هذا الاجتياز، يرتبط كل رقم نسبي جديد برقم طبيعي آخر. أي أن الكسر 1/1 مخصص للرقم 1، والكسر 2/1 للرقم 2، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أنه يتم ترقيم الكسور غير القابلة للاختزال فقط. العلامة الرسمية لعدم قابلية الاختزال هي أن القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر يساوي واحدًا.
باتباع هذه الخوارزمية، يمكننا تعداد جميع الأعداد النسبية الموجبة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد. من السهل إنشاء تنازع بين مجموعات الأعداد النسبية الإيجابية والسلبية عن طريق تعيين نقيض لكل رقم نسبي. الذي - التي. مجموعة الأرقام العقلانية السالبة قابلة للعد أيضًا. اتحادهم قابل للعد أيضًا من خلال خاصية المجموعات المعدودة. مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد أيضًا كاتحاد مجموعة قابلة للعد مع مجموعة محدودة.
قد يسبب البيان حول قابلية عد مجموعة الأعداد العقلانية بعض الالتباس، لأنه للوهلة الأولى يبدو أنها أكثر شمولاً بكثير من مجموعة الأعداد الطبيعية. في الواقع، الأمر ليس كذلك، فهناك أعداد طبيعية كافية لتعداد جميع الأعداد العقلانية.
عدم وجود أرقام عقلانية
لا يمكن التعبير عن الوتر لمثل هذا المثلث بأي رقم نسبي
الأعداد النسبية للنموذج 1 / نككل نيمكن قياس كميات صغيرة بشكل تعسفي. تخلق هذه الحقيقة انطباعًا مضللًا بأن الأرقام العقلانية يمكن استخدامها لقياس أي مسافات هندسية. ومن السهل إظهار أن هذا غير صحيح.
ملحوظات
الأدب
- أنا كوشنير. دليل الرياضيات لأطفال المدارس. - كييف: أستارتا، 1998. - 520 ص.
- بي إس ألكساندروف. مقدمة لنظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. - م: الفصل. إد. الفيزياء والرياضيات أشعل. إد. "العلم"، 1977
- آي إل خميلنيتسكي. مقدمة في نظرية النظم الجبرية
روابط
مؤسسة ويكيميديا. 2010.