قاعدة ضرب عدد صحيح في كسر. الكسور. ضرب وقسمة الكسور

ضرب وقسمة الكسور.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

هذه العملية أجمل بكثير من عملية الجمع والطرح! لأنه أسهل. للتذكير، لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسطين (سيكون هذا هو بسط النتيجة) والمقامات (سيكون هذا هو المقام). إنه:

على سبيل المثال:

كل شيء بسيط للغاية. ومن فضلك لا تبحث عن قاسم مشترك! ولا داعي له هنا..

لقسمة كسر على كسر، عليك أن تعكس ثانية(وهذا مهم!) قم بكسرها وضربها، أي:

على سبيل المثال:

إذا صادفت الضرب أو القسمة مع الأعداد الصحيحة والكسور، فلا بأس. كما هو الحال مع عملية الجمع، فإننا نقوم بعمل كسر من عدد صحيح به واحد في المقام - وهيا بنا! على سبيل المثال:

في المدرسة الثانوية، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور مكونة من ثلاثة طوابق (أو حتى من أربعة طوابق!). على سبيل المثال:

كيف يمكنني أن أجعل هذا الكسر يبدو لائقًا؟ نعم، بسيط جدا! استخدام القسمة على نقطتين:

لكن لا تنسى ترتيب القسمة! على عكس الضرب، هذا مهم جدًا هنا! وبطبيعة الحال، لن نخلط بين 4: 2 أو 2: 4. ولكن من السهل ارتكاب خطأ في جزء من ثلاثة طوابق. يرجى ملاحظة على سبيل المثال:

في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):

وفي الثاني (التعبير على اليمين):

هل تشعر بالفرق؟ 4 و 1/9!

ما الذي يحدد ترتيب القسمة؟ إما بأقواس، أو (كما هنا) بطول الخطوط الأفقية. تطوير عينك. وإذا لم يكن هناك قوسين أو شرطات، مثل:

ثم القسمة والضرب بالترتيب من اليسار إلى اليمين!

وتقنية أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات ذات الدرجات، سيكون ذلك مفيدًا جدًا لك! لنقسم الواحد على أي كسر، على سبيل المثال، على 13/15:

لقد انقلبت اللقطة! وهذا يحدث دائمًا. عند قسمة 1 على أي كسر، يكون الناتج هو نفس الكسر، فقط رأسًا على عقب.

هذا كل شيء بالنسبة للعمليات مع الكسور. الأمر بسيط للغاية، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. ملحوظة نصيحة عمليةوسيكون هناك عدد أقل منهم (الأخطاء)!

نصائح عملية:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه! ليس كلمات شائعة، ليست التمنيات الطيبة! وهذه ضرورة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في امتحان الدولة الموحدة كمهمة كاملة ومركزة وواضحة. من الأفضل أن تكتب اثنين خطوط اضافيةفي المسودة، بدلاً من العبث عند إجراء الحسابات الذهنية.

2. في الأمثلة مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى تتوقف.

4. نقوم بتقليل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى تعبيرات عادية باستخدام القسمة على نقطتين (نتبع ترتيب القسمة!).

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.

فيما يلي المهام التي يجب عليك إكمالها بالتأكيد. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم المواد المتعلقة بهذا الموضوع والنصائح العملية. قم بتقدير عدد الأمثلة التي تمكنت من حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! بدون آلة حاسبة! واستخلاص النتائج الصحيحة..

تذكر - الإجابة الصحيحة هي المستلمة من المرة الثانية (وخاصة الثالثة) لا تحسب!هذه هي الحياة القاسية.

لذا، حل في وضع الامتحان ! بالمناسبة، هذا تحضير لامتحان الدولة الموحدة. نحل المثال، نتحقق منه، نحل المثال التالي. لقد قررنا كل شيء - فحصنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. لكن فقط ثمانظر إلى الإجابات.

احسب:

هل قررت؟

نحن نبحث عن الإجابات التي تطابق لك. لقد كتبتها عمدا في حالة من الفوضى، بعيدا عن الإغراء، إذا جاز التعبير... وها هي الإجابات، مكتوبة بفواصل منقوطة.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

الآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء، فأنا سعيد من أجلك! الحسابات الأساسية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك أن تفعل أشياء أكثر خطورة. ان لم...

لذلك لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) قلة المعرفة و (أو) عدم الانتباه. لكن هذا قابلة للحل مشاكل.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

في سياق الثانوية و المدرسة الثانويةدرس الطلاب موضوع "الكسور". ومع ذلك، فإن هذا المفهوم أوسع بكثير مما هو مذكور في عملية التعلم. اليوم، يتم العثور على مفهوم الكسر في كثير من الأحيان، ولا يمكن لأي شخص حساب أي تعبير، على سبيل المثال، ضرب الكسور.

ما هو الكسر؟

تاريخيًا، نشأت الأعداد الكسرية نتيجة للحاجة إلى القياس. كما تبين الممارسة، غالبا ما تكون هناك أمثلة لتحديد طول القطعة وحجم المستطيل المستطيل.

في البداية، يتم تعريف الطلاب بمفهوم الحصة. على سبيل المثال، إذا قسمت البطيخة إلى 8 أجزاء، فسيحصل كل شخص على ثمن البطيخة. هذا الجزء من الثمانية يسمى حصة.

تسمى الحصة التي تساوي ½ من أي قيمة بالنصف؛ ⅓ - الثالث؛ ¼ - ربع. السجلات ذات الشكل 5/8، 4/5، 2/4 تسمى الكسور العادية. ينقسم الكسر العادي إلى بسط ومقام. بينهما هو شريط الكسر، أو شريط الكسر. يمكن رسم الخط الكسري إما كخط أفقي أو مائل. في هذه الحالة، فإنه يدل على علامة القسمة.

يمثل المقام عدد الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكمية أو الكائن إليها؛ والبسط هو عدد الأسهم المتطابقة التي تم أخذها. البسط مكتوب فوق خط الكسر والمقام مكتوب تحته.

هو الأكثر ملاءمة للعرض الكسور المشتركةعلى الشعاع الإحداثي. إذا تم تقسيم قطعة الوحدة إلى 4 أجزاء متساوية، قم بتسمية كل جزء حرف لاتيني، ثم يمكن أن تكون النتيجة ممتازة المواد البصرية. لذا، فإن النقطة أ تظهر حصة تساوي 1/4 من قطعة الوحدة بأكملها، والنقطة ب تمثل 2/8 من قطعة معينة.

أنواع الكسور

يمكن أن تكون الكسور أرقامًا عادية وعشرية ومختلطة. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تقسيم الكسور إلى صحيحة وغير صحيحة. هذا التصنيف مناسب أكثر للكسور العادية.

الكسر الصحيح هو العدد الذي بسطه أقل من مقامه. وبناء على ذلك، فإن الكسر غير الحقيقي هو عدد بسطه أكبر من مقامه. النوع الثاني عادة ما يتم كتابته كرقم مختلط. يتكون هذا التعبير من عدد صحيح وجزء كسري. على سبيل المثال، 1½. 1 جزء صحيح، ½ جزء كسري. ومع ذلك، إذا كنت بحاجة إلى إجراء بعض التلاعب بالتعبير (تقسيم أو ضرب الكسور، أو تقليلها أو تحويلها)، فسيتم تحويل الرقم المختلط إلى كسر غير حقيقي.

صحيح التعبير الكسريدائمًا أقل من واحد، وغير صحيح - أكبر من أو يساوي 1.

أما هذا التعبير فنقصد به السجل الذي يمثل فيه أي رقم يمكن التعبير عن مقام تعبيره الكسري بواحد بعدة أصفار. إذا كان الكسر صحيحًا، فإن الجزء الصحيح بالتدوين العشري سيكون مساويًا للصفر.

لكتابة كسر عشري، عليك أولًا كتابة الجزء بأكمله، وفصله عن الكسر باستخدام فاصلة، ثم كتابة تعبير الكسر. يجب أن نتذكر أنه بعد العلامة العشرية، يجب أن يحتوي البسط على نفس عدد الأحرف الرقمية الموجودة في المقام.

مثال. عبر عن الكسر 7 21 / 1000 بالتدوين العشري.

خوارزمية لتحويل الكسر غير الحقيقي إلى عدد مختلط والعكس

من غير الصحيح كتابة كسر غير حقيقي في إجابة المسألة، لذا يجب تحويله إلى رقم كسري:

• قسمة البسط على المقام الموجود؛
• الخامس مثال محددحاصل غير مكتمل - كامل؛
• والباقي هو بسط الجزء الكسري، مع بقاء المقام دون تغيير.

مثال. تحويل الكسر غير الفعلي إلى رقم كسري: 47 / 5.

حل. 47: 5. حاصل القسمة الجزئي هو 9، والباقي = 2. إذن، 47 / 5 = 9 2 / 5.

في بعض الأحيان تحتاج إلى تمثيل رقم مختلط ككسر غير حقيقي. ثم تحتاج إلى استخدام الخوارزمية التالية:

• يتم ضرب الجزء الصحيح بمقام التعبير الكسري؛
• تتم إضافة المنتج الناتج إلى البسط؛
• تتم كتابة النتيجة في البسط، ويبقى المقام دون تغيير.

مثال. تمثيل الرقم في شكل مختلطككسر غير فعلي: 9 8 / 10.

حل. 9 × 10 + 8 = 90 + 8 = 98 هو البسط.

إجابة: 98 / 10.

ضرب الكسور

يمكن إجراء عمليات جبرية مختلفة على الكسور العادية. لضرب رقمين، عليك ضرب البسط في البسط، والمقام في المقام. علاوة على ذلك، فإن ضرب الكسور ذات المقامات المختلفة لا يختلف عن ضرب الكسور ذات المقامات نفسها.

يحدث أنه بعد العثور على النتيجة تحتاج إلى تقليل الكسر. من الضروري تبسيط التعبير الناتج قدر الإمكان. بالطبع، لا يمكن للمرء أن يقول إن الكسر غير الحقيقي في الإجابة هو خطأ، ولكن من الصعب أيضًا تسميته بالإجابة الصحيحة.

مثال. أوجد حاصل ضرب كسرين عاديين: ½ و20/18.

كما يتبين من المثال، بعد العثور على المنتج، يتم الحصول على تدوين كسري قابل للاختزال. يتم قسمة كل من البسط والمقام في هذه الحالة على 4، وتكون النتيجة هي 5/9.

ضرب الكسور العشرية

يختلف منتج الكسور العشرية تمامًا عن منتج الكسور العادية من حيث المبدأ. إذن يكون ضرب الكسور كما يلي:

• يجب كتابة كسرين عشريين واحدًا تحت الآخر بحيث تكون الأرقام الموجودة في أقصى اليمين واحدة أسفل الأخرى؛
• تحتاج إلى مضاعفة الأرقام المكتوبة، بغض النظر عن الفواصل، أي كأعداد طبيعية؛
• حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في كل رقم؛
• في النتيجة التي تم الحصول عليها بعد الضرب، تحتاج إلى حساب عدد الرموز الرقمية الموجودة في المجموع في كلا العاملين بعد العلامة العشرية من اليمين، ووضع علامة فاصلة؛
• إذا كان المنتج يحتوي على أرقام أقل، فأنت بحاجة إلى كتابة العديد من الأصفار أمامهم لتغطية هذا الرقم، ووضع فاصلة وإضافة الجزء بأكمله يساوي الصفر.

مثال. احسب حاصل ضرب كسرين عشريين: 2.25 و3.6.

حل.

ضرب الكسور المختلطة

لحساب ناتج اثنين كسور مختلطة، تحتاج إلى استخدام القاعدة لضرب الكسور:

• تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية؛
• أوجد حاصل ضرب البسطين؛
• العثور على منتج القواسم.
• اكتب النتيجة
• تبسيط التعبير قدر الإمكان.

مثال. أوجد حاصل ضرب 4½ و6 2/5.

ضرب عدد في كسر (الكسور في عدد)

بالإضافة إلى إيجاد حاصل ضرب كسرين وأعداد كسرية، هناك مهام تحتاج إلى ضربها في كسر.

لذلك، للعثور على المنتج عدد عشريوالعدد الطبيعي تحتاج إلى:

• اكتب الرقم تحت الكسر بحيث تكون الأرقام الموجودة في أقصى اليمين واحدة فوق الأخرى؛
• ابحث عن المنتج بغض النظر عن الفاصلة؛
• في النتيجة الناتجة، افصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري باستخدام فاصلة، مع حساب عدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في الكسر من اليمين.

لضرب كسر عادي في رقم، عليك إيجاد حاصل ضرب البسط والعامل الطبيعي. إذا كانت الإجابة تنتج كسرًا يمكن تصغيره، فيجب تحويله.

مثال. احسب حاصل ضرب 5/8 و12.

حل. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

إجابة: 7 1 / 2.

كما ترون من المثال السابق، كان من الضروري تقليل النتيجة الناتجة وتحويل التعبير الكسري غير الصحيح إلى رقم مختلط.

يتعلق ضرب الكسور أيضًا بإيجاد حاصل ضرب عدد في صورة مختلطة وعامل طبيعي. لضرب هذين الرقمين، يجب عليك ضرب الجزء الكامل من العامل المختلط بالرقم، وضرب البسط بنفس القيمة، وترك المقام دون تغيير. إذا لزم الأمر، تحتاج إلى تبسيط النتيجة الناتجة قدر الإمكان.

مثال. أوجد حاصل ضرب 9 5 / 6 و9.

حل. 9 5 / 6 × 9 = 9 × 9 + (5 × 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

إجابة: 88 1 / 2.

الضرب بعوامل 10، 100، 1000 أو 0.1؛ 0.01؛ 0.001

القاعدة التالية تتبع من الفقرة السابقة. لضرب كسر عشري في 10، 100، 1000، 10000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بعدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في العامل الذي يلي الواحد.

مثال 1. أوجد حاصل ضرب 0.065 و1000.

حل. 0.065 × 1000 = 0065 = 65.

إجابة: 65.

مثال 2. أوجد حاصل ضرب 3.9 و1000.

حل. 3.9 × 1000 = 3.900 × 1000 = 3900.

إجابة: 3900.

إذا كنت بحاجة إلى ضرب عدد طبيعي في 0.1؛ 0.01؛ 0.001; 0.0001، وما إلى ذلك، يجب عليك تحريك الفاصلة في المنتج الناتج إلى اليسار بعدد من الأحرف الرقمية يساوي عدد الأصفار قبل الواحد. إذا لزم الأمر، يتم كتابة عدد كاف من الأصفار قبل العدد الطبيعي.

مثال 1. أوجد حاصل ضرب 56 و0.01.

حل. 56 × 0.01 = 0056 = 0.56.

إجابة: 0,56.

مثال 2. أوجد حاصل ضرب 4 و0.001.

حل. 4 × 0.001 = 0004 = 0.004.

إجابة: 0,004.

لذلك، فإن العثور على منتج الكسور المختلفة لا ينبغي أن يسبب أي صعوبات، باستثناء حساب النتيجة؛ في هذه الحالة، لا يمكنك الاستغناء عن الآلة الحاسبة.

إن ضرب عدد صحيح في كسر ليس بالمهمة الصعبة. ولكن هناك بعض التفاصيل الدقيقة التي ربما تكون قد فهمتها في المدرسة، ولكنك نسيتها منذ ذلك الحين.

كيفية ضرب عدد صحيح في كسر - بعض المصطلحات

إذا كنت تتذكر ما هو البسط والمقام وكيف يختلف الكسر الصحيح عن الكسر غير الحقيقي، فتخط هذه الفقرة. إنه لأولئك الذين نسوا النظرية تمامًا.

البسط هو الجزء العلويالكسور هي ما نقسمه. المقام أقل. وهذا هو ما نقسم عليه.
الكسر الصحيح هو الذي بسطه أقل من مقامه. الكسر غير الحقيقي هو الذي بسطه أكبر من أو يساوي مقامه.

كيفية ضرب عدد صحيح في كسر

إن قاعدة ضرب عدد صحيح في كسر بسيطة للغاية - فنحن نضرب البسط في العدد الصحيح، لكن لا نلمس المقام. على سبيل المثال: اثنان مضروبًا في الخمس - نحصل على خمسين. أربعة في ثلاثة على ستة عشر يساوي اثني عشر على ستة عشر.

تخفيض

وفي المثال الثاني، يمكن تقليل الكسر الناتج.
ماذا يعني ذلك؟ يرجى ملاحظة أن كلًا من بسط هذا الكسر ومقامه يقبلان القسمة على أربعة. تسمى قسمة كلا الرقمين على قاسم مشترك بتقليل الكسر. نحصل على ثلاثة أرباع.

الكسور غير المناسبة

لكن لنفترض أننا ضربنا أربعة في خمسين. وتبين أنها ثمانية أخماس. وهذا كسر غير لائق.
بالتأكيد يجب إحضاره إلى الشكل الصحيح. للقيام بذلك، تحتاج إلى تحديد جزء كامل منه.
هنا تحتاج إلى استخدام القسمة مع الباقي. نحصل على واحد وثلاثة كباقي.
واحد صحيح وثلاثة أخماس هو الكسر الصحيح.

إن كتابة خمسة وثلاثين على ثمانية بالصورة الصحيحة أمر أكثر صعوبة قليلًا، وأقرب رقم إلى سبعة وثلاثين يقبل القسمة على ثمانية هو اثنان وثلاثون. عند القسمة نحصل على أربعة. اطرح اثنين وثلاثين من خمسة وثلاثين، وسنحصل على ثلاثة. النتيجة: أربعة كاملة وثلاثة أثمان.

المساواة بين البسط والمقام. وهنا كل شيء بسيط وجميل للغاية. إذا كان البسط والمقام متساويين، فالنتيجة هي واحد ببساطة.

هناك عملية أخرى يمكن إجراؤها باستخدام الكسور العادية وهي الضرب. سنحاول شرح قواعدها الأساسية عند حل المسائل، وإظهار كيفية ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي وكيفية ضرب ثلاثة كسور عادية أو أكثر بشكل صحيح.

دعونا أولا نكتب القاعدة الأساسية:

التعريف 1

إذا ضربنا كسرًا عاديًا واحدًا، فإن بسط الكسر الناتج سيكون مساويًا لمنتج بسط الكسور الأصلية، وسيكون المقام مساويًا لمنتج مقاميها. بشكل حرفي، بالنسبة للكسرين a / b و c / d، يمكن التعبير عن ذلك بالشكل a b · c d = a · c b · d.

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية تطبيق هذه القاعدة بشكل صحيح. لنفترض أن لدينا مربعًا طول ضلعه يساوي وحدة عددية واحدة. ثم ستكون مساحة الشكل 1 مربع. وحدة. إذا قسمنا المربع إلى مستطيلات متساوية أضلاعها تساوي 1 4 و 1 8 وحدات عددية، فسنحصل على أنه يتكون الآن من 32 مستطيلًا (لأن 4 8 = 32). وعليه فإن مساحة كل منهما ستكون 1 32 من مساحة الشكل بأكمله، أي. 1 32 قدم مربع وحدات.

لدينا جزء مظلل جوانبه تساوي 58 وحدات عددية و34 وحدات عددية. وفقا لذلك، لحساب مساحتها، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول بالثانية. ستكون مساوية لـ 5 8 · 3 4 متر مربع. وحدات. ولكن يمكننا ببساطة حساب عدد المستطيلات الموجودة في القطعة: هناك 15 منها، مما يعني أن المساحة الإجمالية هي 15 32 وحدة مربعة.

بما أن 5 3 = 15 و 8 4 = 32، فيمكننا كتابة المساواة التالية:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

إنه يؤكد القاعدة التي صاغناها لضرب الكسور العادية، والتي يتم التعبير عنها بـ a · c d = a · c b · d. إنه يعمل بنفس الطريقة بالنسبة للكسور الصحيحة وغير الصحيحة؛ يمكن استخدامه لضرب الكسور ذات المقامات المختلفة والمتطابقة.

دعونا نلقي نظرة على حلول العديد من المسائل التي تتضمن ضرب الكسور العادية.

مثال 1

اضرب 7 11 في 9 8.

حل

أولاً، لنحسب حاصل ضرب بسط الكسور المشار إليها بضرب 7 في 9. وصلنا 63 ثم نحسب حاصل ضرب المقامات ونحصل على: 11 · 8 = 88. دعونا نكتب رقمين والجواب هو: 63 88.

يمكن كتابة الحل بأكمله على النحو التالي:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

إجابة: 7 11 · 9 8 = 63 88.

إذا حصلنا على كسر قابل للاختزال في إجابتنا، فعلينا إكمال العملية الحسابية وإجراء اختزاله. إذا حصلنا على كسر غير حقيقي، علينا فصل الجزء كله عنه.

مثال 2

حساب منتج الكسور 4 15 و 55 6 .

حل

وفقًا للقاعدة المدروسة أعلاه، نحتاج إلى ضرب البسط في البسط، والمقام في المقام. سيبدو سجل الحل كما يلي:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

لقد حصلنا على جزء قابل للاختزال، أي. واحد يقبل القسمة على 10.

لنقم بتبسيط الكسر: 220 90 جي سي دي (220، 90) = 10، 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. ونتيجة لذلك، حصلنا على كسر غير حقيقي، نختار منه الجزء بأكمله ونحصل على رقم مختلط: 22 9 = 2 4 9.

إجابة: 4 15 55 6 = 2 4 9.

ولتسهيل الحساب، يمكننا أيضًا تبسيط الكسور الأصلية قبل إجراء عملية الضرب، والتي نحتاج من أجلها إلى تبسيط الكسر إلى الصورة a · c b · d. دعونا نحلل قيم المتغيرات إلى العوامل الأوليةوسوف نقوم بتقليل نفس تلك.

دعونا نشرح كيف يبدو هذا باستخدام بيانات من مهمة محددة.

مثال 3

احسب المنتج 4 15 55 6.

حل

دعونا نكتب العمليات الحسابية بناءً على قاعدة الضرب. سوف نحصل على:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

بما أن 4 = 2 2، 55 = 5 11، 15 = 3 5، 6 = 2 3، إذن 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

إجابة: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

التعبير العددي الذي يتم فيه ضرب الكسور العادية له خاصية تبادلية، أي أنه يمكننا تغيير ترتيب العوامل إذا لزم الأمر:

أ ب · ج د = ج د · أ ب = أ · ج ب · د

كيفية ضرب الكسر بعدد طبيعي

دعنا نكتب القاعدة الأساسية على الفور، ثم نحاول شرحها في الممارسة العملية.

التعريف 2

لضرب كسر عادي في عدد طبيعي، عليك ضرب بسط ذلك الكسر في هذا الرقم. في هذه الحالة، سيكون مقام الكسر الأخير مساويًا لمقام الكسر العادي الأصلي. يمكن كتابة ضرب جزء معين a b بعدد طبيعي n بالصيغة a b · n = a · n b.

من السهل فهم هذه الصيغة إذا كنت تتذكر أنه يمكن تمثيل أي عدد طبيعي ككسر عادي بمقامه يساوي واحد، إنه:

أ ب · ن = أ ب · ن 1 = أ · ن ب · 1 = أ · ن ب

دعونا نشرح فكرتنا بأمثلة محددة.

مثال 4

احسب الناتج 2 27 ضرب 5.

حل

وبضرب بسط الكسر الأصلي في العامل الثاني، نحصل على 10. وبموجب القاعدة المذكورة أعلاه، سوف نحصل على 10 27 نتيجة لذلك. الحل كاملا موجود في هذه التدوينة:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

إجابة: 2 27 5 = 10 27

عندما نضرب عددًا طبيعيًا في كسر، فغالبًا ما يتعين علينا اختصار النتيجة أو تمثيلها كرقم مختلط.

مثال 5

الحالة: احسب الناتج 8 في 5 12.

حل

وفقا للقاعدة أعلاه، نضرب العدد الطبيعي في البسط. ونتيجة لذلك، نحصل على 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. يحتوي الكسر الأخير على علامات قابلية القسمة على 2، لذا نحتاج إلى تصغيره:

م م م (40، 12) = 4، إذن 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

الآن كل ما علينا فعله هو اختيار الجزء بأكمله وكتابة الإجابة الجاهزة: 10 3 = 3 1 3.

في هذا الإدخال يمكنك رؤية الحل بأكمله: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

يمكننا أيضًا تبسيط الكسر عن طريق تحليل البسط والمقام إلى عوامل أولية، وستكون النتيجة نفسها تمامًا.

إجابة: 5 12 8 = 3 1 3.

التعبير العددي الذي يتم فيه ضرب عدد طبيعي بكسر له أيضًا خاصية الإزاحة، أي أن ترتيب العوامل لا يؤثر على النتيجة:

أ ب · ن = ن · أ ب = أ · ن ب

كيفية ضرب ثلاثة كسور عادية أو أكثر

يمكننا أن نمتد إلى عملية ضرب الكسور العادية بنفس الخصائص التي تتميز بها عملية ضرب الأعداد الطبيعية. وهذا يأتي من تعريف هذه المفاهيم.

بفضل معرفة خصائص التجميع والإبدال، يمكنك ضرب ثلاثة كسور عادية أو أكثر. ومن المقبول إعادة ترتيب العوامل لمزيد من الراحة أو ترتيب الأقواس بطريقة تسهل العد.

دعونا نعرض بمثال كيف يتم ذلك.

مثال 6

اضرب الكسور الأربعة المشتركة 1 20 و12 5 و3 7 و5 8.

الحل: أولاً، دعونا نسجل العمل. نحصل على 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . علينا ضرب كل البسط وكل المقامات معًا: 1 ​​20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

قبل أن نبدأ الضرب، يمكننا أن نسهل الأمر على أنفسنا قليلًا، ونقوم بتحليل بعض الأعداد إلى عوامل أولية لمزيد من الاختزال. سيكون هذا أسهل من تقليل الكسر الناتج الجاهز بالفعل.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

إجابة: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.

مثال 7

اضرب 5 أعداد 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

حل

للراحة، يمكننا تجميع الكسر 7 8 مع الرقم 8، والرقم 12 مع الكسر 5 36، لأن الاختصارات المستقبلية ستكون واضحة لنا. ونتيجة لذلك سوف نحصل على:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

إجابة: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

آخر مرة تعلمنا كيفية جمع وطرح الكسور (انظر الدرس "جمع وطرح الكسور"). كان الجزء الأصعب من تلك الإجراءات هو جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

الآن حان الوقت للتعامل مع الضرب والقسمة. والخبر السار هو أن هذه العمليات أبسط من الجمع والطرح. أولاً، دعونا نفكر في أبسط حالة، عندما يكون هناك كسران موجبان بدون جزء صحيح منفصل.

لضرب كسرين، يجب عليك ضرب بسطهما ومقاميهما بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد، وسيكون الرقم الثاني هو المقام.

لتقسيم كسرين، عليك ضرب الكسر الأول في الكسر الثاني "المقلوب".

تعيين:

ويترتب على التعريف أن تقسيم الكسور يؤدي إلى الضرب. "لقلب" الكسر، ما عليك سوى تبديل البسط والمقام. لذلك، طوال الدرس، سننظر بشكل أساسي في الضرب.

نتيجة للضرب، يمكن أن ينشأ جزء قابل للاختزال (وغالبا ما ينشأ) - بالطبع، يجب تخفيضه. إذا تبين بعد كل التخفيضات أن الكسر غير صحيح، فيجب تسليط الضوء على الجزء بأكمله. لكن ما لن يحدث بالتأكيد مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق متقاطعة، العوامل الأكبر والمضاعفات المشتركة الأصغر.

حسب التعريف لدينا:

ضرب الكسور بالأجزاء الكاملة والكسور السالبة

إذا كانت الكسور تحتوي على جزء صحيح، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وعندها فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.

إذا كان هناك ناقص في بسط الكسر أو في المقام أو أمامه، فيمكن إخراجه من الضرب أو حذفه نهائياً وفق القواعد الآتية:

1. زائد بواسطة ناقص يعطي ناقص؛
2. اثنان من السلبيات يجعلان إيجابيا.

حتى الآن، لم يتم تطبيق هذه القواعد إلا عند جمع وطرح الكسور السالبة، عندما كان من الضروري التخلص من الجزء بأكمله. بالنسبة للعمل، يمكن تعميمها من أجل "حرق" العديد من العيوب في وقت واحد:

1. نقوم بشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالات القصوى، يمكن أن يعيش واحد ناقص - الشخص الذي لم يكن هناك رفيقة؛
2. إذا لم يكن هناك أي سلبيات متبقية، فقد اكتملت العملية - يمكنك البدء في الضرب. وإذا لم يتم شطب السالب الأخير لعدم وجود زوج له، فإننا نخرجه خارج حدود الضرب. والنتيجة هي جزء سلبي.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

نحول جميع الكسور إلى كسور غير حقيقية، ثم نحذف السالب من الضرب. نضرب ما تبقى حسب القواعد المعتادة. نحن نحصل:

اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يظهر أمام الكسر مع الجزء الكامل المميز يشير على وجه التحديد إلى الكسر بأكمله، وليس فقط الجزء بأكمله (وهذا ينطبق على المثالين الأخيرين).

لاحظ أيضا أرقام سلبية: عند الضرب، يتم وضعها بين قوسين. يتم ذلك من أجل فصل السالب عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.

تقليل الكسور على الطاير

الضرب هو عملية كثيفة العمالة للغاية. الأرقام هنا كبيرة جدًا، ولتبسيط المشكلة، يمكنك محاولة تقليل الكسر بشكل أكبر قبل الضرب. في الواقع، في جوهرها، تعتبر بسط ومقامات الكسور عوامل عادية، وبالتالي يمكن اختزالها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

حسب التعريف لدينا:

وفي جميع الأمثلة، يتم تحديد الأعداد التي تم تخفيضها وما تبقى منها باللون الأحمر.

يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى، تم تخفيض المضاعفات بالكامل. وتبقى في مكانها وحدات لا تحتاج عمومًا إلى كتابتها. في المثال الثاني، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل، لكن إجمالي عدد الحسابات انخفض.

ومع ذلك، لا تستخدم هذه التقنية أبدًا عند جمع وطرح الكسور! نعم، في بعض الأحيان توجد أرقام مماثلة تريد تقليلها فقط. هنا انظر:

لا يمكنك أن تفعل ذلك!

يحدث الخطأ بسبب حقيقة أنه عند إضافة بسط الكسر يظهر المجموع وليس حاصل ضرب الأرقام. وبالتالي، من المستحيل تطبيق الخاصية الأساسية للكسر، لأن هذه الخاصية تتعامل بشكل خاص مع ضرب الأعداد.

ببساطة لا توجد أسباب أخرى لتقليل الكسور، وبالتالي فإن الحل الصحيح للمسألة السابقة يبدو كما يلي:

الحل الصحيح:

كما ترون، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدا. بشكل عام، كن حذرا.