قواعد حول موضوع الأعداد العقلانية. تعريف الأعداد العقلانية

في هذه المقالة سنبدأ بالاستكشاف أرقام نسبية. هنا سنقدم تعريفات أرقام نسبيةوسنقدم التوضيحات اللازمة ونعطي أمثلة على الأعداد النسبية. بعد ذلك، سنركز على كيفية تحديد ما إذا كان عدد معين نسبيًا أم لا.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة على الأعداد النسبية

في هذا القسم سنقدم عدة تعريفات للأعداد النسبية. على الرغم من الاختلافات في الصياغة، فإن كل هذه التعريفات لها نفس المعنى: الأعداد النسبية توحد الأعداد الصحيحة والكسور، تمامًا كما توحد الأعداد الصحيحة الأعداد الطبيعية وأضدادها والعدد صفر. وبعبارة أخرى، الأعداد النسبية تعميم الأعداد الصحيحة والكسرية.

دعنا نبدء ب تعريفات الأعداد النسبية، وهو ما يُنظر إليه بشكل طبيعي.

ويستنتج من التعريف المذكور أن العدد النسبي هو:

• أي عدد طبيعي ن. في الواقع، يمكنك تمثيل أي عدد طبيعي ككسر عادي، على سبيل المثال، 3=3/1.
• أي عدد صحيح، وبالأخص الرقم صفر. في الواقع، يمكن كتابة أي عدد صحيح على صورة كسر موجب، أو كسر سالب، أو صفر. على سبيل المثال، 26=26/1، .
• أي جزء عادي (إيجابي أو سلبي). يتم تأكيد ذلك مباشرة من خلال التعريف المحدد للأرقام العقلانية.
• أي عدد مختلط. في الواقع، يمكنك دائمًا تمثيل رقم مختلط ككسر غير حقيقي. على سبيل المثال، و.
• أي كسر عشري محدود أو كسر دوري لا نهائي. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن الكسور العشرية المشار إليها يتم تحويلها إلى كسور عادية. على سبيل المثال، و 0,(3)=1/3.

ومن الواضح أيضًا أن أي كسر عشري غير دوري لا نهائي ليس عددًا نسبيًا، لأنه لا يمكن تمثيله ككسر عادي.

الآن يمكننا أن نعطي بسهولة أمثلة على الأعداد النسبية. الأعداد 4، 903، 100،321 هي أعداد نسبية لأنها أعداد طبيعية. الأعداد الصحيحة 58، −72، 0، −833،333،333 هي أيضًا أمثلة على الأعداد النسبية. الكسور المشتركة 4/9، 99/3 هي أيضًا أمثلة على الأعداد النسبية. الأعداد النسبية هي أيضًا أرقام.

يتضح من الأمثلة السابقة أن هناك أعدادًا نسبية موجبة وسالبة، والعدد النسبي صفر ليس موجبًا ولا سالبًا.

يمكن صياغة التعريف أعلاه للأرقام العقلانية بشكل أكثر إيجازًا.

تعريف.

أرقام نسبيةهي أرقام يمكن كتابتها على شكل كسر z/n، حيث z عدد صحيح وn عدد طبيعي.

ولنثبت أن هذا التعريف للأعداد العقلانية يعادل التعريف السابق. نحن نعلم أنه يمكننا اعتبار خط الكسر علامة على القسمة، فمن خصائص قسمة الأعداد الصحيحة وقواعد قسمة الأعداد الصحيحة يتبع صحة المساواة التالية و. وهكذا، هذا هو الدليل.

دعونا نعطي أمثلة على الأرقام العقلانية بناء على هذا التعريف. الأعداد −5، 0، 3، هي أرقام منطقية، حيث يمكن كتابتها على شكل كسور ذات بسط صحيح ومقام طبيعي بالشكل و، على التوالي.

يمكن إعطاء تعريف الأعداد العقلانية في الصيغة التالية.

تعريف.

أرقام نسبيةهي أرقام يمكن كتابتها ككسر عشري دوري محدود أو لا نهائي.

وهذا التعريف أيضًا يعادل التعريف الأول، إذ أن كل كسر عادي يقابل كسرًا عشريًا منتهيًا أو دوريًا والعكس، ويمكن ربط أي عدد صحيح بكسر عشري به أصفار بعد العلامة العشرية.

على سبيل المثال، الأرقام 5، 0، −13، هي أمثلة على الأعداد النسبية لأنه يمكن كتابتها على هيئة الكسور العشرية التالية 5.0، 0.0، −13.0، 0.8، و-7، (18).

ولنختم نظرية هذه النقطة بالعبارات التالية:

• تشكل الأعداد الصحيحة والكسور (الموجبة والسالبة) مجموعة الأعداد العقلانية؛
• يمكن تمثيل كل رقم نسبي ككسر به بسط صحيح ومقام طبيعي، وكل كسر من هذا القبيل يمثل عددًا نسبيًا معينًا؛
• يمكن تمثيل كل رقم نسبي ككسر عشري دوري محدود أو لا نهائي، وكل كسر من هذا القبيل يمثل عددًا نسبيًا.

هل هذا الرقم عقلاني؟

في الفقرة السابقة اكتشفنا أن أي عدد طبيعي، أي عدد صحيح، أي كسر عادي، أي عدد مختلط، أي كسر عشري منته، وكذلك أي كسر عشري دوري هو عدد نسبي. تتيح لنا هذه المعرفة "التعرف" على الأعداد النسبية من مجموعة من الأعداد المكتوبة.

ولكن ماذا لو تم إعطاء الرقم على شكل بعض، أو على شكل، وما إلى ذلك، فكيف نجيب على سؤال ما إذا كان هذا العدد نسبيًا؟ في كثير من الحالات يكون من الصعب جدًا الإجابة. دعونا نشير إلى بعض اتجاهات الفكر.

إذا تم إعطاء الرقم كتعبير رقمي يحتوي فقط على أرقام وعلامات منطقية عمليات حسابية(+، −، · و:)، فإن قيمة هذا التعبير هي عدد نسبي. يتبع ذلك كيفية تعريف العمليات ذات الأعداد العقلانية. على سبيل المثال، بعد إجراء جميع العمليات في التعبير، نحصل على الرقم النسبي 18.

في بعض الأحيان، بعد تبسيط التعبيرات وأكثر من ذلك نوع معقديصبح من الممكن تحديد ما إذا كان رقم معين عقلانيًا.

دعنا نذهب أبعد من ذلك. الرقم 2 هو عدد نسبي، لأن أي عدد طبيعي هو عدد نسبي. ماذا عن الرقم؟ هل هو عقلاني؟ اتضح أنه لا، إنه ليس رقما عقلانيا، إنه رقم غير عقلاني (يرد إثبات هذه الحقيقة عن طريق التناقض في كتاب الجبر المدرسي للصف الثامن، المدرج أدناه في قائمة المراجع). وقد ثبت ذلك أيضاً الجذر التربيعيعدد طبيعي يكون رقمًا نسبيًا فقط في تلك الحالات التي يحتوي فيها الجذر على رقم يمثل المربع الكامل لبعض الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، و هي أرقام نسبية، حيث أن 81 = 9 2 و 1 024 = 32 2، والأرقام و ليست أرقام نسبية، حيث أن الرقمين 7 و 199 ليسا مربعين كاملين للأعداد الطبيعية.

هل العدد منطقي أم لا؟ في هذه الحالة، من السهل ملاحظة أن هذا العدد نسبي. هل الرقم منطقي؟ لقد ثبت أن الجذر k لأي عدد صحيح هو رقم نسبي فقط إذا كان الرقم الموجود تحت علامة الجذر هو القوة k لبعض الأعداد الصحيحة. وبالتالي فهو ليس عددًا نسبيًا، لأنه لا يوجد عدد صحيح قوته الخامسة هي 121.

تتيح لك طريقة التناقض إثبات أن لوغاريتمات بعض الأرقام ليست أرقامًا عقلانية لسبب ما. على سبيل المثال، دعونا نثبت أن - ليس عددًا نسبيًا.

لنفترض العكس، لنفترض أن هذا رقم نسبي ويمكن كتابته ككسر عادي m/n. ثم نعطي المعادلات التالية : . المساواة الأخيرة مستحيلة، لأنه على الجانب الأيسر هناك عدد فردي 5 ن، وعلى الجانب الأيمن الرقم الزوجي 2 م. لذلك، افتراضنا غير صحيح، وبالتالي ليس عددًا نسبيًا.

في الختام، تجدر الإشارة بشكل خاص إلى أنه عند تحديد عقلانية أو عدم عقلانية الأرقام، ينبغي للمرء الامتناع عن تقديم استنتاجات مفاجئة.

على سبيل المثال، لا ينبغي عليك التأكيد فورًا على أن حاصل ضرب الأعداد غير النسبية π وe هو عدد غير نسبي؛ فهذا "يبدو واضحًا"، ولكن لم يتم إثباته. وهذا يثير السؤال: "لماذا يكون المنتج عددًا نسبيًا؟" ولماذا لا، لأنك تستطيع أن تعطي مثالا على الأعداد غير النسبية التي حاصل ضربها يعطي عددا نسبيا: .

ومن غير المعروف أيضًا ما إذا كانت الأرقام والعديد من الأرقام الأخرى عقلانية أم لا. على سبيل المثال، هناك أرقام غير عقلانية قوتها غير المنطقية هي عدد عقلاني. للتوضيح، نقدم درجة من الشكل، وأساس هذه الدرجة والأس ليسا أرقامًا منطقية، ولكن، و3 هو رقم نسبي.

فهرس.

• الرياضيات.الصف السادس: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [ن. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة 22، المراجعة. - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

تعيين الأرقام المنطقية

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد النسبية ويمكن كتابتها على النحو التالي:

اتضح أن الرموز المختلفة يمكن أن تمثل نفس الكسر، على سبيل المثال، (جميع الكسور التي يمكن الحصول عليها من بعضها البعض عن طريق الضرب أو القسمة على نفس العدد الطبيعي تمثل نفس العدد النسبي). نظرًا لأنه من خلال قسمة بسط ومقام الكسر على القاسم المشترك الأكبر لهما، يمكننا الحصول على تمثيل واحد غير قابل للاختزال لعدد نسبي، فيمكننا التحدث عن مجموعتهما كمجموعة غير القابل للاختزالالكسور ذات البسط الصحيح والمقام الطبيعي:

هنا هو القاسم المشترك الأكبر للأرقام و .

مجموعة الأعداد النسبية هي تعميم طبيعي لمجموعة الأعداد الصحيحة. من السهل أن نرى أنه إذا كان للعدد النسبي مقام، فهو عدد صحيح. توجد مجموعة الأعداد النسبية في كل مكان بكثافة على محور الأعداد: بين أي رقمين نسبيين مختلفين يوجد رقم نسبي واحد على الأقل (وبالتالي مجموعة لا حصر لها من الأعداد النسبية). ومع ذلك، فقد اتضح أن مجموعة الأعداد النسبية لها عدد أساسي قابل للعد (أي أنه يمكن إعادة ترقيم جميع عناصرها). ولنلاحظ بالمناسبة أن اليونانيين القدماء كانوا مقتنعين بوجود أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر (على سبيل المثال، أثبتوا أنه لا يوجد عدد نسبي مربعه 2).

المصطلح

تعريف رسمي

رسميًا، يتم تعريف الأرقام العقلانية على أنها مجموعة فئات التكافؤ من الأزواج فيما يتعلق بعلاقة التكافؤ if. وفي هذه الحالة يتم تعريف عمليتي الجمع والضرب على النحو التالي:

التعريفات ذات الصلة

الكسور الصحيحة وغير الصحيحة والمختلطة

صحيح الكسر الذي بسطه أقل من مقامه يسمى كسرا. تمثل الكسور المناسبة أرقامًا منطقية أقل من واحد. يسمى الكسر غير الصحيح خطأويمثل عددا عقلانيا أكبر من أو يساوي واحد modulo.

يمكن تمثيل الكسر غير الحقيقي كمجموع عدد صحيح وكسر حقيقي، يسمى جزء مختلط . على سبيل المثال، . يتم تجنب الترميز المماثل (مع فقدان علامة الجمع)، على الرغم من استخدامه في الحساب الأولي، في الأدبيات الرياضية الصارمة بسبب تشابه الترميز جزء مختلطمع تدوين منتج عدد صحيح وكسر.

ارتفاع النار

ارتفاع اللقطة المشتركة هو مجموع معامل البسط والمقام لهذا الكسر. ارتفاع الرقم العقلاني هو مجموع معامل البسط ومقام الكسر العادي غير القابل للاختزال المقابل لهذا الرقم.

على سبيل المثال، ارتفاع الكسر هو . ارتفاع الرقم العقلاني المقابل يساوي , حيث يمكن تقليل الكسر بمقدار .

تعليق

شرط جزء (جزء)أحيانا [ تحديد] يستخدم كمرادف للمصطلح رقم منطقيوأحيانًا يكون مرادفًا لأي رقم غير صحيح. في الحالة الأخيرة، تعد الأعداد الكسرية والكسرية شيئان مختلفان، حيث أن الأعداد الكسرية غير الصحيحة هي مجرد حالة خاصة من الأعداد الكسرية.

ملكيات

الخصائص الأساسية

تلبي مجموعة الأعداد النسبية ستة عشر خاصية أساسية، والتي يمكن استخلاصها بسهولة من خصائص الأعداد الصحيحة.

1. الانتظام.بالنسبة لأي أرقام نسبية، هناك قاعدة تسمح لك بتحديد علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاثة بينها: "" أو "" أو "". تسمى هذه القاعدة قاعدة الطلبويتم صياغته على النحو التالي: رقمان موجبان ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ; رقمان غير موجبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل رقمين غير موجبين أرقام سلبيةو ؛ إذا فجأة لم يكن سلبيا، ولكن - سلبي، ثم .

   

   إضافة الكسور

2. عملية الإضافة. قاعدة الجمع كميةالأرقام و و يُشار إليها بـ ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لها الشكل التالي: .
3. عملية الضرب.لأي أرقام عقلانية هناك ما يسمى قاعدة الضرب، مما يجعلها متوافقة مع بعض الأرقام العقلانية. في هذه الحالة، يتم استدعاء الرقم نفسه عملالأرقام و و يُشار إليها بـ ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. قاعدة الضرب لها الشكل التالي: .
4. انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثي من الأعداد النسبية، وإذا أقل وأقل فأقل، وإذا كان متساويًا ومتساويًا فهو متساوٍ.
5. تبديلية الإضافة.تغيير مواضع الحدود العقلانية لا يغير المجموع.
6. ترابط الإضافة.الترتيب الذي يتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
7. وجود الصفر.هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
8. التوفر أرقام متضادة. أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
9. إبدالية الضرب.تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
10. رابطة الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
11. توافر الوحدة.هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
12. وجود أرقام متبادلة.أي رقم نسبي غير الصفر له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
13. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع.يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
14. ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة.يمكن إضافة نفس العدد النسبي إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية.
15. العلاقة بين علاقة الترتيب وعملية الضرب.يمكن ضرب الجانبين الأيمن والأيسر للمتباينة المنطقية في نفس العدد المنطقي الموجب.
16. بديهية أرخميدس.ومهما كان العدد النسبي، يمكنك أن تأخذ عددًا كبيرًا من الوحدات بحيث يتجاوز مجموعها.

خصائص إضافية

لا يتم تمييز جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد النسبية على أنها خصائص أساسية، لأنها، بشكل عام، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إثباتها بناءً على الخصائص الأساسية المعطاة أو مباشرة عن طريق تعريف بعض الأشياء الرياضية . هناك الكثير من هذه الخصائص الإضافية. ومن المنطقي أن نذكر هنا القليل منها فقط.

إمكانية عد المجموعة

لتقدير عدد الأعداد النسبية، تحتاج إلى العثور على أصل مجموعتها. من السهل إثبات أن مجموعة الأعداد النسبية قابلة للعد. للقيام بذلك، يكفي إعطاء خوارزمية تعداد الأعداد العقلانية، أي إنشاء تناقض بين مجموعات الأعداد العقلانية والطبيعية. مثال على هذا البناء هو الخوارزمية البسيطة التالية. يتم إنشاء جدول لا نهاية له الكسور العادية، في كل سطر في كل عمود يوجد كسر منه. وللتأكد من ذلك، من المفترض أن يتم ترقيم صفوف وأعمدة هذا الجدول بدءاً من واحد. يتم تحديد خلايا الجدول، حيث يوجد رقم صف الجدول الذي توجد فيه الخلية، وهو رقم العمود.

يتم اجتياز الجدول الناتج باستخدام "الثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.

يتم البحث عن هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد الموضع التالي بناءً على المطابقة الأولى.

في عملية مثل هذا الاجتياز، يرتبط كل رقم نسبي جديد برقم طبيعي آخر. أي أنه يتم تعيين الرقم 1 للكسور، ويتم تعيين الرقم 2 للكسور، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أنه يتم ترقيم الكسور غير القابلة للاختزال فقط. العلامة الرسمية لعدم قابلية الاختزال هي أن القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر يساوي واحدًا.

باتباع هذه الخوارزمية، يمكننا تعداد جميع الأعداد النسبية الموجبة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد. من السهل إنشاء تنازع بين مجموعات الأعداد النسبية الإيجابية والسلبية عن طريق تخصيص نقيض لكل رقم نسبي. الذي - التي. مجموعة الأرقام العقلانية السالبة قابلة للعد أيضًا. اتحادهم قابل للعد أيضًا من خلال خاصية المجموعات المعدودة. مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد أيضًا كاتحاد مجموعة قابلة للعد مع مجموعة محدودة.

بالطبع، هناك طرق أخرى لتعداد الأعداد النسبية. على سبيل المثال، يمكنك استخدام هياكل مثل شجرة Kalkin-Wilf أو شجرة Stern-Broko أو سلسلة Farey لهذا الغرض.

قد يسبب البيان حول قابلية عد مجموعة الأعداد العقلانية بعض الارتباك، لأنه للوهلة الأولى يبدو أنها أكثر شمولاً من مجموعة الأعداد الطبيعية. في الواقع، الأمر ليس كذلك، فهناك أعداد طبيعية كافية لتعداد جميع الأعداد العقلانية.

عدم وجود أرقام عقلانية

أنظر أيضا

الأعداد الكلية
	أرقام نسبية

أرقام حقيقية ارقام مركبة الرباعيات

ملحوظات

الأدب

• أنا كوشنير. دليل الرياضيات لأطفال المدارس. - كييف: أستارتا، 1998. - 520 ص.
• بي إس ألكساندروف. مقدمة في نظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. - م: الفصل. إد. الفيزياء والرياضيات أشعل. إد. "العلم"، 1977
• آي إل خميلنيتسكي. مقدمة في نظرية النظم الجبرية

أرقام نسبية

أرباع

1. الانتظام. أو بهناك قاعدة تسمح للشخص بالتعرف بشكل فريد على علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاث بينها: "< », « >"أو" = ". تسمى هذه القاعدة قاعدة الطلبويتم صياغته على النحو التالي: رقمان غير سالبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ; رقمين غير موجبين أو بترتبط بنفس العلاقة بين رقمين غير سالبين و ؛ إذا فجأة أغير سلبية، ولكن ب- سلبي إذن أ > ب. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   إضافة الكسور

2. عملية الإضافة.لأي أرقام عقلانية أو بهناك ما يسمى قاعدة الجمع ج. علاوة على ذلك، الرقم نفسه جمُسَمًّى كميةأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لها الشكل التالي: .
3. عملية الضرب.لأي أرقام عقلانية أو بهناك ما يسمى قاعدة الضرب، الذي يعين لهم عددا عقلانيا ج. علاوة على ذلك، الرقم نفسه جمُسَمًّى عملأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. تبدو قاعدة الضرب كما يلي: .
4. انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثية من الأعداد النسبية أ , بو جلو أأقل بو بأقل ج، الذي - التي أأقل ج، و إذا أيساوي بو بيساوي ج، الذي - التي أيساوي ج. 6435">إبدالية الجمع. تغيير أماكن المصطلحات العقلانية لا يغير المجموع.
5. ترابط الإضافة.الترتيب الذي يتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
6. وجود الصفر.هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
7. وجود أرقام متضادة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
8. إبدالية الضرب.تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
9. رابطة الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
10. توافر الوحدة.هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
11. وجود أرقام متبادلة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
12. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع.يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
13. ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة.يمكن إضافة نفس العدد النسبي إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. بديهية أرخميدس.مهما كان العدد العقلاني أ، يمكنك أن تأخذ العديد من الوحدات التي يتجاوز مجموعها أ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

خصائص إضافية

لا يتم تمييز جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد النسبية على أنها خصائص أساسية، لأنها، بشكل عام، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إثباتها بناءً على الخصائص الأساسية المعطاة أو مباشرة عن طريق تعريف بعض الأشياء الرياضية . هناك الكثير من هذه الخصائص الإضافية. ومن المنطقي أن نذكر هنا القليل منها فقط.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

إمكانية عد المجموعة

ترقيم الأعداد النسبية

لتقدير عدد الأعداد النسبية، تحتاج إلى العثور على أصل مجموعتها. من السهل إثبات أن مجموعة الأعداد النسبية قابلة للعد. للقيام بذلك، يكفي إعطاء خوارزمية تعداد الأعداد العقلانية، أي إنشاء تناقض بين مجموعات الأعداد العقلانية والطبيعية.

أبسط هذه الخوارزميات تبدو هكذا. يتم تجميع جدول لا نهاية له من الكسور العادية على كل منها أنا-السطر في كل منهما يالعمود العاشر الذي يقع فيه الكسر. وللتأكد من ذلك، من المفترض أن يتم ترقيم صفوف وأعمدة هذا الجدول بدءاً من واحد. يتم الإشارة إلى خلايا الجدول بـ أين أنا- رقم صف الجدول الذي توجد فيه الخلية و ي- رقم العمود.

يتم اجتياز الجدول الناتج باستخدام "الثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.

يتم البحث عن هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد الموضع التالي بناءً على المطابقة الأولى.

في عملية مثل هذا الاجتياز، يرتبط كل رقم نسبي جديد برقم طبيعي آخر. وهذا يعني أن الكسر 1/1 مخصص للرقم 1، والكسر 2/1 للرقم 2، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أنه يتم ترقيم الكسور غير القابلة للاختزال فقط. العلامة الرسمية لعدم قابلية الاختزال هي أن القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر يساوي واحدًا.

باتباع هذه الخوارزمية، يمكننا تعداد جميع الأعداد النسبية الموجبة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد. من السهل إنشاء تنازع بين مجموعات الأعداد النسبية الإيجابية والسلبية عن طريق تخصيص نقيض لكل رقم نسبي. الذي - التي. مجموعة الأرقام العقلانية السالبة قابلة للعد أيضًا. اتحادهم قابل للعد أيضًا من خلال خاصية المجموعات المعدودة. مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد أيضًا كاتحاد مجموعة قابلة للعد مع مجموعة محدودة.

قد يسبب البيان حول قابلية عد مجموعة الأعداد العقلانية بعض الارتباك، لأنه للوهلة الأولى يبدو أنها أكثر شمولاً من مجموعة الأعداد الطبيعية. في الواقع، الأمر ليس كذلك، فهناك أعداد طبيعية كافية لتعداد جميع الأعداد العقلانية.

عدم وجود أرقام عقلانية

لا يمكن التعبير عن الوتر لمثل هذا المثلث بأي رقم نسبي

الأعداد النسبية للنموذج 1 / نككل نيمكن قياس كميات صغيرة بشكل تعسفي. تخلق هذه الحقيقة انطباعًا مضللًا بأن الأرقام العقلانية يمكن استخدامها لقياس أي مسافات هندسية. ومن السهل إظهار أن هذا غير صحيح.

ملحوظات

الأدب

• أنا كوشنير. دليل الرياضيات لأطفال المدارس. - كييف: أستارتا، 1998. - 520 ص.
• بي إس ألكساندروف. مقدمة في نظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. - م: الفصل. إد. الفيزياء والرياضيات أشعل. إد. "العلم"، 1977
• آي إل خميلنيتسكي. مقدمة في نظرية النظم الجبرية

روابط

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

) هي أرقام موجبة أو إشارة سلبية(الأعداد الصحيحة والكسور) والصفر. يبدو المفهوم الأكثر دقة للأعداد العقلانية كما يلي:

رقم منطقي- الرقم الذي يمثله جزء عادي م / ن، حيث البسط مهي الأعداد الصحيحة، والمقام ن- الأعداد الصحيحة، على سبيل المثال 2/3.

لا يتم تضمين الكسور غير الدورية اللانهائية في مجموعة الأعداد النسبية.

أ / ب، أين أ∈ ز (أينتمي إلى الأعداد الصحيحة)، ب∈ ن (بينتمي إلى الأعداد الطبيعية).

استخدام الأعداد العقلانية في الحياة الواقعية.

في الحياه الحقيقيهتُستخدم مجموعة الأعداد النسبية لحساب أجزاء بعض الأشياء التي تقبل القسمة، على سبيل المثالأو الكعك أو الأطعمة الأخرى التي يتم تقطيعها إلى قطع قبل الاستهلاك، أو لتقدير العلاقات المكانية للأشياء الممتدة بشكل تقريبي.

خصائص الأعداد النسبية.

الخصائص الأساسية للأعداد العقلانية.

1. الانتظام أو بهناك قاعدة تسمح لك بتحديد علاقة واحدة فقط من بين العلاقات الثلاثة بينهما بشكل لا لبس فيه: "<», «>" أو "=". هذه القاعدة هي - قاعدة الطلبوصياغتها هكذا:

• 2 أرقام إيجابية أ=م أ /ن أو ب=م ب /ن بترتبط بنفس العلاقة مثل 2 الأعداد الصحيحة م أ⋅ ن بو م ب⋅ ن أ;
• 2 أرقام سلبية أو بترتبط بنفس نسبة رقمين موجبين |ب|و |أ|;
• متى أإيجابي و ب- سلبي إذن أ> ب.

∀ أ، ب∈ س(أ ∨ أ> ب∨ أ = ب)

2. عملية الإضافة. لجميع الأعداد النسبية أو بهنالك قاعدة الجمع، والذي يعين لهم رقم عقلاني معين ج. علاوة على ذلك، الرقم نفسه ج- هذا مجموعأعداد أو بويشار إليه بـ (أ+ب) خلاصة.

قاعدة الجمعيبدو مثل هذا:

م أ/ن أ + م ب/ن ب =(م أ⋅ ن ب + م ب⋅ ن أ)/(ن أ⋅ ن ب).

∀ أ، ب∈ س∃ !(أ+ب)∈ س

3. عملية الضرب. لجميع الأعداد النسبية أو بهنالك قاعدة الضرب، فهو يربطهم بعدد عقلاني معين ج. يسمى الرقم ج عملأعداد أو بوتدل (أ⋅ب)، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب.

قاعدة الضربيبدو مثل هذا: م ن أ⋅ م ب ن ب = م أ⋅ م ب ن أ⋅ ن ب.

∀أ،ب∈Q ∃(أ⋅ب)∈Q

4. انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثة أرقام نسبية أ, بو جلو أأقل بو بأقل ج، الذي - التي أأقل ج، و إذا أيساوي بو بيساوي ج، الذي - التي أيساوي ج.

∀ أ، ب، ج∈ س(أ ∧ ب ⇒ أ ∧ (أ = ب∧ ب = ج⇒ أ = ج)

5. تبديلية الإضافة. تغيير مواضع الحدود العقلانية لا يغير المجموع.

∀ أ، ب∈ س أ+ب=ب+أ

6. بالإضافة إلى الارتباط. الترتيب الذي تتم به إضافة 3 أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.

∀ أ، ب، ج∈ س (أ+ب)+ج=أ+(ب+ج)

7. وجود الصفر. يوجد رقم نسبي 0، وهو يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند إضافتها.

∃ 0 ∈ س∀ أ∈ س أ+0=أ

8. وجود أرقام متضادة. أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، وعندما يتم جمعهما تكون النتيجة 0.

∀ أ∈ س∃ (-أ)∈ س أ+(−أ)=0

9. إبدالية الضرب. تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.

∀ أ، ب∈ سؤال⋅ ب = ب⋅ أ

10. رابطة الضرب. الترتيب الذي يتم به ضرب 3 أرقام منطقية ليس له أي تأثير على النتيجة.

∀ أ، ب، ج∈ س(أ⋅ ب)⋅ ج=أ⋅ (ب⋅ ج)

11. توفر الوحدة. هناك رقم نسبي 1، وهو يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى في عملية الضرب.

∃ 1 ∈ س∀ أ∈ سؤال⋅ 1=أ

12. التوفر أرقام متبادلة . كل رقم نسبي غير الصفر له رقم نسبي معكوس، وبضربه نحصل على 1 .

∀ أ∈ س∃ أ−1∈ سؤال⋅ أ−1=1

13. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع. ترتبط عملية الضرب بالجمع باستخدام قانون التوزيع:

∀ أ، ب، ج∈ س(أ+ب)⋅ ج=أ⋅ ج+ب⋅ ج

14. العلاقة بين علاقة الترتيب وعملية الجمع. تتم إضافة نفس العدد العقلاني إلى الجانبين الأيسر والأيمن من عدم المساواة العقلاني.

∀ أ، ب، ج∈ سؤال ⇒ أ+ج

15. العلاقة بين علاقة الترتيب وعملية الضرب. يمكن ضرب الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية في نفس العدد العقلاني غير السالب.

∀ أ، ب، ج∈ س ج>0∧ أ ⇒ أ⋅ ج ⋅ ج

16. بديهية أرخميدس. مهما كان العدد العقلاني أفمن السهل أن تأخذ عددًا كبيرًا من الوحدات بحيث يصبح مجموعها أكبر أ.

كما رأينا من قبل، مجموعة الأعداد الطبيعية

مغلق تحت الجمع والضرب، ومجموعة الأعداد الصحيحة

مغلقة تحت الجمع والضرب والطرح. ومع ذلك، لا يتم إغلاق أي من هاتين المجموعتين عند القسمة، حيث أن تقسيم الأعداد الصحيحة يمكن أن يؤدي إلى كسور، كما في حالات 4/3، 7/6، -2/5، إلخ. مجموعة كل هذه الكسور تشكل مجموعة الأعداد النسبية. وبالتالي فإن العدد الرشيد ( جزء عقلاني) هو رقم يمكن تمثيله في النموذج، حيث a و d عددان صحيحان، و d لا يساوي الصفر. دعونا نبدي بعض التعليقات حول هذا التعريف.

1) طلبنا أن يكون d غير صفر. هذا الشرط (المكتوب رياضيًا على أنه عدم المساواة) ضروري لأن d هنا هو المقسوم عليه. خذ بعين الاعتبار الأمثلة التالية:

حالة 1. .

الحالة 2...

في الحالة 1، d هو مقسوم بمعنى الفصل السابق، أي 7 هو مقسوم دقيق على 21. في الحالة 2، d لا يزال مقسومًا عليه، ولكن بمعنى مختلف، حيث أن 7 ليس مقسومًا دقيقًا على 25 .

إذا كان 25 يسمى المقسوم و7 هو المقسوم عليه، فإننا نحصل على خارج القسمة 3 والباقي 4. لذلك، يتم استخدام كلمة المقسوم عليه هنا في المزيد بالمعنى العاموتنطبق على أكثرالحالات مما كانت عليه في الفصل. I. ومع ذلك، في حالات مثل الحالة 1، تم تقديم مفهوم المقسوم عليه في الفصل. أنا؛ ولذلك فمن الضروري، كما في الفصل. أنا أستبعد احتمال d = 0.

2) لاحظ أنه في حين أن التعبيرات العدد العقلاني والكسر العقلاني مترادفان، فإن كلمة الكسر نفسها تستخدم للدلالة على أي تعبير جبري يتكون من بسط ومقام، مثل

3) يتضمن تعريف العدد النسبي عبارة "رقم يمكن تمثيله بالشكل حيث a و d أعداد صحيحة و . لماذا لا يمكن استبداله بالتعبير "رقم من النموذج حيث a و d أعداد صحيحة و السبب في ذلك هو حقيقة أن هناك طرقًا لا حصر لها للتعبير عن نفس الكسر (على سبيل المثال، يمكن 2/3 يمكن كتابتها أيضًا بالشكل 4/6، أو 6/9، أو 213/33، أو، وما إلى ذلك)، ومن المرغوب فيه بالنسبة لنا ألا يعتمد تعريفنا للعدد النسبي على طريقة معينة للتعبير عنه.

يتم تعريف الكسر بحيث لا تتغير قيمته عند ضرب البسط والمقام بنفس الرقم. ومع ذلك، ليس من الممكن دائمًا معرفة ما إذا كان كسرًا عقلانيًا أم لا بمجرد النظر إلى الكسر. لنتأمل، على سبيل المثال، الأرقام

لم يكن أي منها في الإدخال الذي اخترناه بالصيغة حيث a و d عددان صحيحان.

ومع ذلك، يمكننا إجراء سلسلة من التحويلات الحسابية على الكسر الأول والحصول عليه

وهكذا نصل إلى كسر يساوي الكسر الأصلي، والذي . وبالتالي فإن الرقم نسبي، لكنه لن يكون عقلانيًا إذا كان تعريف العدد العقلاني يتطلب أن يكون الرقم على الشكل a/b، حيث a وb أعداد صحيحة. في حالة تحويل الكسر

يؤدي إلى عدد. وسنتعلم في الفصول اللاحقة أن العدد لا يمكن تمثيله كنسبة بين عددين صحيحين، وبالتالي فهو ليس عددًا نسبيًا أو يقال إنه غير نسبي.

4) لاحظ أن كل عدد صحيح عدد نسبي. كما رأينا للتو، هذا صحيح في حالة الرقم 2. في الحالة العامة للأعداد الصحيحة التعسفية، يمكن للمرء بالمثل تعيين مقام 1 لكل منها والحصول على تمثيلها ككسور عقلانية.