يمكن لأي عدد منطقي. الأعداد النسبية التعريف والأمثلة

من المحتمل أن يجيب أطفال المدارس الأكبر سناً وطلاب الرياضيات على هذا السؤال بسهولة. ولكن بالنسبة لأولئك الذين هم بعيدون عن هذه المهنة، سيكون الأمر أكثر صعوبة. ما هو حقا؟

الجوهر والتسمية

الأعداد النسبية هي تلك التي يمكن تمثيلها ككسر عادي. يتم تضمين الإيجابية والسلبية والصفر أيضًا في هذه المجموعة. يجب أن يكون بسط الكسر عددًا صحيحًا، ويجب أن يكون المقام عددًا صحيحًا

يُشار إلى هذه المجموعة في الرياضيات بالرمز Q وتسمى "مجال الأعداد العقلانية". ويشمل جميع الأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية، المشار إليها على التوالي بـ Z وN. يتم تضمين المجموعة Q نفسها في المجموعة R. وهذا الحرف هو الذي يشير إلى ما يسمى الحقيقي أو

أداء

كما ذكرنا سابقًا، الأعداد النسبية هي مجموعة تتضمن جميع القيم الصحيحة والكسرية. يمكن تقديمها في أشكال مختلفة. أولاً، في شكل كسر عادي: 5/7، 1/5، 11/15، إلخ. بالطبع، يمكن أيضًا كتابة الأعداد الصحيحة بشكل مماثل: 6/2، 15/5، 0/1، - 10/2، إلخ. ثانيًا، هناك نوع آخر من التمثيل وهو الكسر العشري بجزء كسري نهائي: 0.01، -15.001006، وما إلى ذلك. ربما يكون هذا أحد الأشكال الأكثر شيوعًا.

ولكن هناك أيضًا جزء ثالث - جزء دوري. هذا النوع ليس شائعًا جدًا، لكنه لا يزال مستخدمًا. على سبيل المثال، يمكن كتابة الكسر 10/3 بالشكل 3.33333... أو 3,(3). في هذه الحالة، سيتم اعتبار التمثيلات المختلفة أرقامًا متشابهة. الكسور التي تساوي بعضها البعض ستُسمى أيضًا بنفس الاسم، على سبيل المثال 3/5 و6/10. يبدو أنه أصبح من الواضح ما هي الأعداد العقلانية. ولكن لماذا يستخدم هذا المصطلح للإشارة إليهم؟

أصل الاسم

كلمة "عقلاني" في اللغة الروسية الحديثة لها معنى مختلف قليلاً بشكل عام. إنه أشبه بـ "معقول" و "مدروس". لكن المصطلحات الرياضية قريبة من المعنى المباشر لذلك، ففي اللاتينية كلمة "نسبة" هي "نسبة" أو "كسر" أو "قسمة". وبالتالي، فإن الاسم يجسد جوهر الأعداد العقلانية. غير أن المعنى الثاني

ليس بعيدًا عن الحقيقة.

الإجراءات معهم

عند حل المسائل الرياضية، نواجه دائمًا أرقامًا عقلانية دون أن نعرفها بأنفسنا. ولديهم عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام. وكلها تتبع إما من تعريف المجموعة أو من الأفعال.

أولًا، الأعداد النسبية لها خاصية العلاقة الترتيبية. وهذا يعني أنه لا يمكن أن تكون هناك سوى علاقة واحدة بين رقمين - إما أن يكونا متساويين أو أن أحدهما أكبر أو أقل من الآخر. إنه:

أو أ = ب ;أو أ > ب،أو أ< b.

بالإضافة إلى ذلك، فإن تعددية العلاقة تنبع أيضًا من هذه الخاصية. وهذا هو، إذا أأكثر ب, بأكثر ج، الذي - التي أأكثر ج. في اللغة الرياضية يبدو الأمر كما يلي:

(أ > ب) ^ (ب > ج) => (أ > ج).

ثانيا، هناك عمليات حسابيةمع الأعداد النسبية، أي الجمع والطرح والقسمة وبالطبع الضرب. وفي الوقت نفسه، في عملية التحولات، يمكن أيضا تحديد عدد من الخصائص.

أ + ب = ب + أ (تغيير أماكن المصطلحات، التبادلية)؛
0 + أ = أ + 0 ;
(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (الترابط)؛
أ + (-أ) = 0؛
أب = با؛
(أ ب) ج = أ (ج) (التوزيع)؛
أ × 1 = 1 × أ = أ؛
أ س (1 / أ) = 1 (في هذه الحالة لا يساوي 0)؛
(أ + ب) ج = أس + أب؛
(أ > ب) ^ (ج > 0) => (أك> قبل الميلاد).

عندما نتحدث عن الأعداد العادية وليس الأعداد الصحيحة، فإن العمل معها يمكن أن يسبب بعض الصعوبات. وبالتالي، فإن الجمع والطرح ممكنان فقط إذا كانت المقامات متساوية. إذا كانت مختلفة في البداية، فيجب عليك العثور على الكسر المشترك عن طريق ضرب الكسر بأكمله بأرقام معينة. غالبًا ما تكون المقارنة ممكنة فقط في حالة استيفاء هذا الشرط.

القسمة والضرب الكسور العاديةمصنوعة وفقا لقواعد بسيطة إلى حد ما. ليس من الضروري التخفيض إلى قاسم مشترك. يتم ضرب البسط والمقامات بشكل منفصل، وفي عملية تنفيذ الإجراء، إن أمكن، يجب تقليل الكسر وتبسيطه قدر الإمكان.

وأما القسمة، فهذا الإجراء يشبه الإجراء الأول مع اختلاف بسيط. بالنسبة للكسر الثاني، يجب أن تجد العكس، أي

"اقلبها. وبالتالي، يجب ضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني، والعكس صحيح.

وأخيرًا، هناك خاصية أخرى متأصلة في الأعداد العقلانية تسمى بديهية أرخميدس. في كثير من الأحيان يوجد أيضًا اسم "المبدأ" في الأدبيات. إنه صالح لمجموعة كاملة من الأعداد الحقيقية، ولكن ليس في كل مكان. وبالتالي، فإن هذا المبدأ لا ينطبق على بعض مجموعات الوظائف العقلانية. في الأساس، تعني هذه البديهية أنه نظرًا لوجود كميتين a وb، يمكنك دائمًا أخذ ما يكفي من a لتجاوز b.

منطقة التطبيق

لذلك، بالنسبة لأولئك الذين تعلموا أو تذكروا ما هي الأرقام العقلانية، يصبح من الواضح أنها تستخدم في كل مكان: في المحاسبة والاقتصاد والإحصاء والفيزياء والكيمياء وغيرها من العلوم. وبطبيعة الحال، لديهم أيضا مكان في الرياضيات. لا نعرف دائمًا أننا نتعامل معهم، فنحن نستخدم الأرقام العقلانية باستمرار. حتى الأطفال الصغار، الذين يتعلمون حساب الأشياء، أو يقطعون تفاحة إلى قطع، أو يقومون بأعمال بسيطة أخرى، يواجهونها. إنهم يحيطون بنا حرفيًا. ومع ذلك، فهي ليست كافية لحل بعض المشاكل؛ على وجه الخصوص، باستخدام نظرية فيثاغورس كمثال، يمكن للمرء أن يفهم الحاجة إلى إدخال هذا المفهوم

تعيين الأرقام المنطقية

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد النسبية ويمكن كتابتها على النحو التالي:

اتضح أن الرموز المختلفة يمكن أن تمثل نفس الكسر، على سبيل المثال، (جميع الكسور التي يمكن الحصول عليها من بعضها البعض عن طريق الضرب أو القسمة على نفس العدد الطبيعي تمثل نفس العدد النسبي). نظرًا لأنه من خلال قسمة بسط ومقام الكسر على القاسم المشترك الأكبر لهما، يمكننا الحصول على تمثيل واحد غير قابل للاختزال لعدد نسبي، فيمكننا التحدث عن مجموعتهما كمجموعة غير القابل للاختزالالكسور ذات البسط الصحيح والمقام الطبيعي:

هنا هو القاسم المشترك الأكبر للأرقام و .

مجموعة الأعداد النسبية هي تعميم طبيعي لمجموعة الأعداد الصحيحة. من السهل أن نرى أنه إذا كان للعدد النسبي مقام، فهو عدد صحيح. توجد مجموعة الأعداد النسبية في كل مكان بكثافة على محور الأعداد: بين أي رقمين نسبيين مختلفين يوجد رقم نسبي واحد على الأقل (وبالتالي مجموعة لا حصر لها من الأعداد النسبية). ومع ذلك، فقد اتضح أن مجموعة الأعداد النسبية لها عدد أساسي قابل للعد (أي أنه يمكن إعادة ترقيم جميع عناصرها). ولنلاحظ بالمناسبة أن اليونانيين القدماء كانوا مقتنعين بوجود أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر (على سبيل المثال، أثبتوا أنه لا يوجد عدد نسبي مربعه 2).

المصطلح

تعريف رسمي

رسميًا، يتم تعريف الأرقام العقلانية على أنها مجموعة فئات التكافؤ من الأزواج فيما يتعلق بعلاقة التكافؤ if. وفي هذه الحالة يتم تعريف عمليتي الجمع والضرب على النحو التالي:

التعريفات ذات الصلة

الكسور الصحيحة وغير الصحيحة والمختلطة

صحيح الكسر الذي بسطه أقل من مقامه يسمى كسرا. تمثل الكسور المناسبة أرقامًا منطقية أقل من واحد. يسمى الكسر غير الصحيح خطأويمثل عددا عقلانيا أكبر من أو يساوي واحد modulo.

يمكن تمثيل الكسر غير الحقيقي كمجموع عدد صحيح وكسر حقيقي، يسمى جزء مختلط . على سبيل المثال، . يتم تجنب الترميز المماثل (مع فقدان علامة الجمع)، على الرغم من استخدامه في الحساب الأولي، في الأدبيات الرياضية الصارمة بسبب تشابه الترميز جزء مختلطمع تدوين منتج عدد صحيح وكسر.

ارتفاع النار

ارتفاع اللقطة المشتركة هو مجموع معامل البسط والمقام لهذا الكسر. ارتفاع الرقم العقلاني هو مجموع معامل البسط ومقام الكسر العادي غير القابل للاختزال المقابل لهذا الرقم.

على سبيل المثال، ارتفاع الكسر هو . ارتفاع الرقم العقلاني المقابل يساوي , حيث يمكن تقليل الكسر بمقدار .

تعليق

شرط جزء (جزء)أحيانا [ تحديد] يستخدم كمرادف للمصطلح رقم منطقيوأحيانًا يكون مرادفًا لأي رقم غير صحيح. في الحالة الأخيرة، تعد الأعداد الكسرية والكسرية شيئان مختلفان، حيث أن الأعداد الكسرية غير الصحيحة هي مجرد حالة خاصة من الأعداد الكسرية.

ملكيات

الخصائص الأساسية

تلبي مجموعة الأعداد النسبية ستة عشر خاصية أساسية، والتي يمكن استخلاصها بسهولة من خصائص الأعداد الصحيحة.

الانتظام.بالنسبة لأي أرقام نسبية، هناك قاعدة تسمح لك بتحديد علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاثة بينها: "" أو "" أو "". تسمى هذه القاعدة قاعدة الطلبويتم صياغته على النحو التالي: رقمان موجبان ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ; رقمان غير موجبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل رقمين غير سالبين و ؛ إذا فجأة لم يكن سلبيا، ولكن - سلبي، ثم .
إضافة الكسور
عملية الإضافة. قاعدة الجمع كميةالأرقام و و يُشار إليها بـ ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لها الشكل التالي: .
عملية الضرب.لأي أرقام عقلانية هناك ما يسمى قاعدة الضرب، مما يجعلها متوافقة مع بعض الأرقام العقلانية. في هذه الحالة، يتم استدعاء الرقم نفسه عملالأرقام و و يُشار إليها بـ ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. قاعدة الضرب لها الشكل التالي: .
انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثي من الأعداد النسبية، وإذا أقل وأقل فأقل، وإذا كان متساويًا ومتساويًا فهو متساوٍ.
تبديلية الإضافة.تغيير مواضع الحدود العقلانية لا يغير المجموع.
ترابط الإضافة.الترتيب الذي يتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
وجود الصفر.هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
وجود أرقام متضادة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
إبدالية الضرب.تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
رابطة الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
توافر الوحدة.هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
وجود أرقام متبادلة.أي رقم نسبي غير الصفر له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع.يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة.يمكن إضافة نفس العدد النسبي إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية.
العلاقة بين علاقة الترتيب وعملية الضرب.يمكن ضرب الجانبين الأيمن والأيسر للمتباينة المنطقية في نفس العدد المنطقي الموجب.
بديهية أرخميدس.ومهما كان العدد النسبي، يمكنك أن تأخذ عددًا كبيرًا من الوحدات بحيث يتجاوز مجموعها.

خصائص إضافية

لا يتم تمييز جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد النسبية على أنها خصائص أساسية، لأنها، بشكل عام، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إثباتها بناءً على الخصائص الأساسية المعطاة أو مباشرة عن طريق تعريف بعض الأشياء الرياضية . هناك الكثير من هذه الخصائص الإضافية. ومن المنطقي أن نذكر هنا القليل منها فقط.

إمكانية عد المجموعة

لتقدير عدد الأعداد النسبية، تحتاج إلى العثور على أصل مجموعتها. من السهل إثبات أن مجموعة الأعداد النسبية قابلة للعد. للقيام بذلك، يكفي إعطاء خوارزمية تعداد الأعداد العقلانية، أي إنشاء تناقض بين مجموعات الأعداد العقلانية والطبيعية. مثال على هذا البناء هو الخوارزمية البسيطة التالية. يتم تجميع جدول لا نهاية له من الكسور العادية، في كل صف في كل عمود يوجد به الكسر. وللتأكد من ذلك، من المفترض أن يتم ترقيم صفوف وأعمدة هذا الجدول بدءاً من واحد. يتم تحديد خلايا الجدول، حيث يوجد رقم صف الجدول الذي توجد فيه الخلية، وهو رقم العمود.

يتم اجتياز الجدول الناتج باستخدام "الثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.

يتم البحث عن هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد الموضع التالي بناءً على المطابقة الأولى.

في عملية مثل هذا الاجتياز، يرتبط كل رقم نسبي جديد برقم طبيعي آخر. أي أنه يتم تعيين الرقم 1 للكسور، ويتم تعيين الرقم 2 للكسور، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أنه يتم ترقيم الكسور غير القابلة للاختزال فقط. العلامة الرسمية لعدم قابلية الاختزال هي أن القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر يساوي واحدًا.

باتباع هذه الخوارزمية، يمكننا تعداد جميع الأعداد النسبية الموجبة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد. من السهل إنشاء تنازع بين مجموعات الأعداد النسبية الإيجابية والسلبية عن طريق تخصيص نقيض لكل رقم نسبي. الذي - التي. مجموعة الأرقام العقلانية السالبة قابلة للعد أيضًا. اتحادهم قابل للعد أيضًا من خلال خاصية المجموعات المعدودة. مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد أيضًا كاتحاد مجموعة قابلة للعد مع مجموعة محدودة.

بالطبع، هناك طرق أخرى لتعداد الأعداد النسبية. على سبيل المثال، يمكنك استخدام هياكل مثل شجرة Kalkin-Wilf أو شجرة Stern-Broko أو سلسلة Farey لهذا الغرض.

قد يسبب البيان حول قابلية عد مجموعة الأعداد العقلانية بعض الارتباك، لأنه للوهلة الأولى يبدو أنها أكثر شمولاً من مجموعة الأعداد الطبيعية. في الواقع، الأمر ليس كذلك، فهناك أعداد طبيعية كافية لتعداد جميع الأعداد العقلانية.

عدم وجود أرقام عقلانية

أنظر أيضا


	الأعداد الكلية

أرقام نسبية

أرقام حقيقية ارقام مركبة الرباعيات

ملحوظات

الأدب

أنا كوشنير. دليل الرياضيات لأطفال المدارس. - كييف: أستارتا، 1998. - 520 ص.
بي إس ألكساندروف. مقدمة في نظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. - م: الفصل. إد. الفيزياء والرياضيات أشعل. إد. "العلم"، 1977
آي إل خميلنيتسكي. مقدمة في نظرية النظم الجبرية

تعريف الأعداد العقلانية

تشمل الأرقام المنطقية ما يلي:

الأعداد الطبيعية التي يمكن تمثيلها على شكل كسر. على سبيل المثال، $7=\frac(7)(1)$.
الأعداد الصحيحة، بما في ذلك الصفر، والتي يمكن تمثيلها ككسر موجب أو سالب، أو كصفر. على سبيل المثال، $19=\frac(19)(1)$، $-23=-\frac(23)(1)$.
الكسور المشتركة (إيجابية أو سلبية).
الأعداد الكسرية التي يمكن تمثيلها ككسر غير حقيقي. على سبيل المثال، $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ و $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
كسر عشري محدود وكسر دوري لا نهائي يمكن تمثيله ككسر. على سبيل المثال، $-7.73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

ملاحظة 1

لاحظ أن الكسر العشري اللانهائي غير الدوري لا ينتمي إلى أرقام منطقية، لأن ولا يمكن تمثيله ككسر عادي.

مثال 1

الأعداد الطبيعية $7، 670، 21\456$ هي أعداد نسبية.

الأعداد الصحيحة $76، –76، 0، –555\666$ هي أعداد منطقية.

الكسور الشائعة $\frac(7)(11)$، $\frac(555)(4)$، $-\frac(7)(11)$، $-\frac(100)(234)$ - أرقام منطقية .

وهكذا تنقسم الأعداد العقلانية إلى موجبة وسالبة. الرقم صفر عدد نسبي، ولكنه ليس رقمًا نسبيًا موجبًا أو سالبًا.

دعونا صياغة تعريف أكثر إيجازا للأرقام العقلانية.

التعريف 3

عاقِلهي أرقام يمكن تمثيلها على أنها دورية محدودة أو لا نهائية عدد عشري.

الاستنتاجات التالية يمكن استخلاصها:

تنتمي الأعداد الصحيحة والكسور الموجبة والسالبة إلى مجموعة الأعداد النسبية؛
يمكن تمثيل الأعداد النسبية ككسر يحتوي على بسط صحيح ومقام طبيعي وهو رقم نسبي؛
يمكن تمثيل الأعداد النسبية على أنها أي كسر عشري دوري يمثل عددًا نسبيًا.

كيفية تحديد ما إذا كان الرقم عقلانيًا

يتم تحديد الرقم كتعبير رقمي يتكون فقط من أرقام نسبية وعلامات العمليات الحسابية. في هذه الحالة، ستكون قيمة التعبير عددًا نسبيًا.
الجذر التربيعي لعدد طبيعي هو رقم نسبي فقط إذا كان الجذر يحتوي على رقم يمثل المربع الكامل لعدد طبيعي ما. على سبيل المثال، $\sqrt(9)$ و$\sqrt(121)$ هي أرقام نسبية، حيث أن $9=3^2$ و$121=11^2$.
الجذر $n$th لعدد صحيح هو رقم نسبي فقط إذا كان الرقم الموجود تحت علامة الجذر هو القوة $n$th لبعض الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال، $\sqrt(8)$ هو رقم نسبي، لأنه 8 دولار = 2 ^ 3 دولار.

على محور الأعداد، يتم توزيع الأعداد النسبية بشكل كثيف في كل مكان: بين كل رقمين نسبيين غير متساويين، يمكن تحديد موقع رقم نسبي واحد على الأقل (وبالتالي، مجموعة لا حصر لها من الأرقام النسبية). في الوقت نفسه، تتميز مجموعة الأرقام العقلانية بالأصل المعدود (أي أنه يمكن ترقيم جميع عناصر المجموعة). لقد أثبت اليونانيون القدماء أن هناك أرقامًا لا يمكن كتابتها على صورة كسر. لقد أظهروا أنه لا يوجد عدد نسبي مربعه يساوي 2$. ثم تبين أن الأعداد العقلانية غير كافية للتعبير عن جميع الكميات، مما أدى فيما بعد إلى ظهور الأعداد الحقيقية. مجموعة الأعداد النسبية، على عكس الأعداد الحقيقية، هي ذات بعد صفري.

أرقام نسبية

أرباع

الانتظام. أو بهناك قاعدة تسمح للشخص بالتعرف بشكل فريد على علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاث بينها: "< », « >"أو" = ". تسمى هذه القاعدة قاعدة الطلبويتم صياغته على النحو التالي: رقمان غير سالبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ; رقمين غير موجبين أو بترتبط بنفس العلاقة بين رقمين غير سالبين و ؛ إذا فجأة أغير سلبية، ولكن ب- سلبي إذن أ > ب. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
إضافة الكسور
عملية الإضافة.لأي أرقام عقلانية أو بهناك ما يسمى قاعدة الجمع ج. علاوة على ذلك، الرقم نفسه جمُسَمًّى كميةأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لها الشكل التالي: .
عملية الضرب.لأي أرقام عقلانية أو بهناك ما يسمى قاعدة الضرب، الذي يعين لهم عددا عقلانيا ج. علاوة على ذلك، الرقم نفسه جمُسَمًّى عملأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. تبدو قاعدة الضرب كما يلي: .
انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثية من الأعداد النسبية أ , بو جلو أأقل بو بأقل ج، الذي - التي أأقل ج، و إذا أيساوي بو بيساوي ج، الذي - التي أيساوي ج. 6435">إبدالية الجمع. تغيير أماكن المصطلحات العقلانية لا يغير المجموع.
ترابط الإضافة.الترتيب الذي يتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
وجود الصفر.هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
وجود أرقام متضادة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
إبدالية الضرب.تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
رابطة الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
توافر الوحدة.هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
وجود أرقام متبادلة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع.يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة.يمكن إضافة نفس العدد النسبي إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
بديهية أرخميدس.مهما كان العدد العقلاني أ، يمكنك أن تأخذ العديد من الوحدات التي يتجاوز مجموعها أ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

خصائص إضافية

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

إمكانية عد المجموعة

ترقيم الأعداد النسبية

أبسط هذه الخوارزميات تبدو هكذا. يتم تجميع جدول لا نهاية له من الكسور العادية على كل منها أنا-السطر في كل منهما يالعمود العاشر الذي يقع فيه الكسر. وللتأكد من ذلك، من المفترض أن يتم ترقيم صفوف وأعمدة هذا الجدول بدءاً من واحد. يتم الإشارة إلى خلايا الجدول بـ أين أنا- رقم صف الجدول الذي توجد فيه الخلية و ي- رقم العمود.

يتم اجتياز الجدول الناتج باستخدام "الثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.

يتم البحث عن هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد الموضع التالي بناءً على المطابقة الأولى.

في عملية مثل هذا الاجتياز، يرتبط كل رقم نسبي جديد برقم طبيعي آخر. وهذا يعني أن الكسر 1/1 مخصص للرقم 1، والكسر 2/1 للرقم 2، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أنه يتم ترقيم الكسور غير القابلة للاختزال فقط. العلامة الرسمية لعدم قابلية الاختزال هي أن القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر يساوي واحدًا.

عدم وجود أرقام عقلانية

لا يمكن التعبير عن الوتر لمثل هذا المثلث بأي رقم نسبي

الأعداد النسبية للنموذج 1 / نككل نيمكن قياس كميات صغيرة بشكل تعسفي. تخلق هذه الحقيقة انطباعًا مضللًا بأن الأرقام العقلانية يمكن استخدامها لقياس أي مسافات هندسية. ومن السهل إظهار أن هذا غير صحيح.

ملحوظات

الأدب

أنا كوشنير. دليل الرياضيات لأطفال المدارس. - كييف: أستارتا، 1998. - 520 ص.
بي إس ألكساندروف. مقدمة في نظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. - م: الفصل. إد. الفيزياء والرياضيات أشعل. إد. "العلم"، 1977
آي إل خميلنيتسكي. مقدمة في نظرية النظم الجبرية

روابط

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

الأعداد الصحيحة

تعريف الأعداد الطبيعية هو الأعداد الصحيحة أرقام إيجابية. تُستخدم الأعداد الطبيعية لحساب الأشياء ولأغراض أخرى كثيرة. هذه هي الأرقام:

هذه سلسلة طبيعية من الأرقام.
هل الصفر عدد طبيعي؟ لا، الصفر ليس عدداً طبيعياً.
كم عدد الأعداد الطبيعية الموجودة؟ هناك عدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية.
ما هو أصغر عدد طبيعي؟ واحد هو أصغر عدد طبيعي.
ما هو أكبر عدد طبيعي؟ ومن المستحيل تحديد ذلك، لأن هناك عددا لا حصر له من الأعداد الطبيعية.

مجموع الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن، نضيف الأعداد الطبيعية a وb:

حاصل ضرب الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن حاصل ضرب العددين الطبيعيين a وb:

ج هو دائما عدد طبيعي.

الفرق بين الأعداد الطبيعية ليس هناك دائما عدد طبيعي. فإذا كان الطرح أكبر من المطروح فإن الفرق بين الأعداد الطبيعية يكون عددا طبيعيا، وإلا فلا يكون.

حاصل قسمة الأعداد الطبيعية ليس دائمًا عددًا طبيعيًا. إذا كان للأعداد الطبيعية أ و ب

حيث أن c عدد طبيعي، فهذا يعني أن a يقبل القسمة على b. في هذا المثال، a هو المقسوم، b هو المقسوم عليه، c هو حاصل القسمة.

المقسوم على عدد طبيعي هو عدد طبيعي يقبل به الرقم الأول القسمة على الكل.

كل عدد طبيعي يقبل القسمة على الواحد وعلى نفسه.

الأعداد الطبيعية الأولية لا تقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسها. ونعني هنا الانقسام بالكامل. مثال، أرقام 2؛ 3؛ 5؛ 7 لا يقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسه. هذه أرقام طبيعية بسيطة.

واحد لا يعتبر عددا أوليا.

تسمى الأرقام الأكبر من الواحد وغير الأولية أرقامًا مركبة. أمثلة الأرقام المركبة:

واحد لا يعتبر رقما مركبا.

مجموعة الأعداد الطبيعية هي واحد الأعداد الأوليةوالأرقام المركبة.

يشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية حرف لاتينين.

خواص جمع وضرب الأعداد الطبيعية:

خاصية التبديل من إضافة

الخاصية النقابية للإضافة

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)؛

الخاصية التبادلية للضرب

الخاصية الترابطية للضرب

(أ ب) ج = أ (قبل الميلاد)؛

خاصية التوزيع للضرب

أ (ب + ج) = أب + أس؛

الأعداد الكلية

الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية، الصفر، وأضداد الأعداد الطبيعية.

وعكس الأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة السالبة، على سبيل المثال:

1; -2; -3; -4;...

يُشار إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z.

أرقام نسبية

الأعداد النسبية هي أعداد صحيحة وكسور.

يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر دوري. أمثلة:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

يتضح من الأمثلة أن أي عدد صحيح هو كسر دوري دورته صفر.

يمكن تمثيل أي عدد نسبي على شكل كسر m/n، حيث m عدد صحيح، نعدد طبيعي. لنتخيل الرقم 3,(6) من المثال السابق على أنه كسر.