Rasyonel sayıların hesaplanması. Sayılar. Rasyonel sayılar

Badamshinskaya lise №2

metodik geliştirme

matematik
6. sınıfta

"Rasyonel sayılarla işlemler"

tedarikli

matematik öğretmeni

Babenko Larisa Grigoryevna

İle. Badamşa
2014

Ders konusu:« Rasyonel sayılarla işlemler».

ders türü :

Bilginin genelleştirilmesi ve sistematik hale getirilmesi dersi.

Dersin Hedefleri:

eğitici:

Öğrencilerin pozitif ve negatif sayılar üzerindeki eylem kuralları hakkındaki bilgilerini genelleştirme ve sistematik hale getirme;

Egzersiz yapma sürecinde kuralları uygulama yeteneğini pekiştirmek;

Bağımsız çalışma için beceriler geliştirmek;

gelişmekte olan:

Mantıksal düşünme, matematiksel konuşma, hesaplama becerileri geliştirin; - edinilen bilgileri uygulamalı problemlerin çözümüne uygulama becerisini geliştirmek; - genişleyen ufuklar;

eğitimciler:

Konuyla ilgili bilişsel ilgi eğitimi.

Teçhizat:

Her öğrenci için görev metinleri, ödevler içeren sayfalar;

Matematik. 6. sınıf için ders kitabı Eğitim Kurumları/

N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - M., 2010.

Ders planı:

Organizasyon zamanı.

sözlü çalışmak

Sayılarla toplama ve çıkarma kurallarının tekrarı farklı işaretler. Bilgi güncellemesi.

Ders kitabındaki görevleri çözme

Test uygulaması

Dersi özetlemek. ödev ayarlama

Refleks

dersler sırasında

Organizasyon zamanı.

Öğretmen ve öğrencileri selamlıyorum.

Ders konusunun sunumu, derste çalışma planı.

Bugün alışılmadık bir dersimiz var. Bu dersimizde rasyonel sayılarla işlemlerin tüm kurallarını ve toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapma becerisini hatırlayacağız.

Dersimizin sloganı bir Çin benzetmesi olacak:

“Söyle bana, unutayım;

Bana göster, hatırlayayım;

Bırak ben yapayım, anlarım"

Seni bir yolculuğa davet etmek istiyorum.

Gün doğumunun açıkça görülebildiği alanın ortasında dar, ıssız bir ülke uzanıyordu - bir sayı çizgisi. Kimse nerede başladığını bilmiyor ve kimse nerede bittiğini bilmiyor. Ve bu ülkeyi ilk dolduranlar doğal sayılardı. Doğal sayılar nedir ve nasıl temsil edilirler?

Cevap:

1, 2, 3, 4, ... .. nesneleri saymak için veya homojen nesneler arasında bir nesnenin sıra numarasını belirtmek için kullanılan sayılara doğal ( doğal () denir.N ).

sözlü sayma

88-19 72:8 200-60

Cevaplar: 134; 61; 2180.

Sayıları sonsuz sayıdaydı, ancak ülkenin genişliği küçük olmasına rağmen uzunluğu sonsuzdu, böylece her şey birden sonsuza sığıyordu ve ilk durumu, bir doğal sayılar kümesini oluşturuyordu.

Bir görev üzerinde çalışmak.

Ülke olağanüstü güzeldi. Bölgesi boyunca muhteşem bahçeler bulunuyordu. Bunlar kiraz, elma, şeftalidir. Bunlardan biri şimdi bir göz atacağız.

Her üç günde bir kirazda yüzde 20 daha fazla olgun kiraz oluyor. Gözlemin başında 250 olgun kiraz varsa, bu kiraz 9 günde kaç olgun meyve verir?

Cevap: Bu kirazda 9 günde 432 olgun meyve olur (300; 360; 432).

Bağımsız iş.

İlk devletin topraklarına bazı yeni sayılar yerleşmeye başladı ve bu sayılar doğal sayılarla birlikte yeni bir durum oluşturdu, hangisinin görevi çözerek öğreneceğiz.

Öğrencilerin masalarında iki sayfa var:

1. Hesaplayın:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1) 48-54 2) 37-(-37) 3) -52,7+42,7 4) -6x1/3

1) -12x (-6) 2) -90: (-15) 3) -25 + 45 4) 6 - (-10)

Egzersiz yapmak: tüm doğal sayılardan elinizi çekmeden arka arkaya bağlanın ve ortaya çıkan harfi adlandırın.

Testin cevapları:

5 68 15 60

72 6 20 16

Soru: Bu işaret ne anlama geliyor? Hangi sayılara tam sayı denir?

Cevaplar: 1) Sola, ilk devletin topraklarından, 0 sayısı yerleşti, soluna -1, hatta sola -2, vb. sonsuzluğa. Doğal sayılarla birlikte, bu sayılar yeni bir genişletilmiş durum, tamsayılar kümesi oluşturdu.

2) Doğal sayılar, zıt sayıları ve sıfıra tam sayı denir ( Z ).

Öğrenilenlerin tekrarı.

1) Masalımızın bir sonraki sayfası büyülü. Hataları düzelterek büyüsünü bozacağız.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

Yanıtlar:

-27 4 27 0 (-27) = 0

-50 8 4 -36: 6

2) Hikayeyi dinlemeye devam ediyoruz.

Sayı doğrusundaki boş yerlere 2/5 kesirleri eklendi; -4/5; 3.6; −2,2;… Kesirler, ilk yerleşimcilerle birlikte, rasyonel sayılar kümesinin başka bir genişletilmiş durumunu oluşturdu. ( Q)

1) Hangi sayılara rasyonel denir?

2) Herhangi bir tamsayı, ondalık kesir, rasyonel sayı mıdır?

3) Herhangi bir tam sayının, herhangi bir ondalık kesrin bir rasyonel sayı olduğunu gösterin.

Tahtadaki görev: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

Yanıtlar:

1) Oran olarak yazılabilen bir sayı a bir tam sayı ve p bir doğal sayı olmak üzere rasyonel sayı olarak adlandırılır .

2) Evet.

3) .

Artık tam ve kesirli, pozitif ve negatif sayıları ve hatta sıfır sayısını biliyorsunuz. Tüm bu sayılara rasyonel denir, bu da Rusça'ya çevrildiğinde " akla boyun eğer."

Rasyonel sayılar

pozitif sıfır negatif

tamsayı kesirli tamsayı kesirli

Gelecekte matematiği (ve sadece matematiği değil) başarılı bir şekilde incelemek için, işaret kuralları da dahil olmak üzere rasyonel sayılarla aritmetik işlemlerin kurallarını iyi bilmek gerekir. Ve onlar çok farklı! Bir süre kafan karışsın.

Fizkultminutka.

Dinamik duraklama.

Öğretmen: Her işin bir molaya ihtiyacı vardır. Hadi dinlenelim!

Bazı kurtarma egzersizleri yapalım:

1) Bir, iki, üç, dört, beş -

Bir kere! Kalk, çek

İki! eğilmek, eğilmek,

Üç! Ellerde üç alkış

Üç baş sallama.

Dört - kollar daha geniş.

Beş - ellerinizi sallayın. Altı - masada sessizce oturun.

(Çocuklar metnin içeriğine göre öğretmeni takip eder.)

2) Çabuk kırpın, gözlerinizi kapatın ve bu şekilde beşe kadar sayın. 5 kez tekrarlayın.

3) Gözlerinizi sıkıca kapatın, üçe kadar sayın, açın ve beşe kadar sayarak mesafeye bakın. 5 kez tekrarlayın.

Tarihi sayfa.

Hayatta, bir peri masalında olduğu gibi, insanlar yavaş yavaş rasyonel sayıları "keşfetti". İlk başta nesneleri sayarken doğal sayılar ortaya çıktı. İlk başta, birkaç tane vardı. İlk başta sadece 1 ve 2 sayıları ortaya çıktı "solist", "güneş", "dayanışma" kelimeleri Latince "solus" (bir) kelimesinden gelir. Birçok kabilede başka rakam yoktu. "3" yerine "bir-iki", "4" - "iki-iki" yerine "iki-iki" dediler. Ve böylece altıya kadar. Ve sonra çok şey vardı. İnsanlar ganimeti bölüştürürken, nicelik ölçerken kesirlerle karşılaştı. Kesirlerle işlemleri kolaylaştırmak için icat edildi ondalık sayılar. Avrupa'da 1585'te Hollandalı bir matematikçi tarafından tanıtıldı.

Denklem çalışması

Bir matematikçinin soyadını denklemleri çözerek ve koordinat doğrusu boyunca verilen koordinata karşılık gelen harfi bularak öğreneceksiniz.

1) -2,5 + x \u003d 3,5 2) -0,3 x \u003d 0,6 3) y - 3,4 \u003d -7,4

4) - 0,8: x \u003d -0,4 5) a (-8) \u003d 0 6)M + (- )=

E A T M I O V R N U S

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Yanıtlar:

6 (C) 4)2 (B)

-2 (T) 5) 0 (Ben)

-4(E) 6)4(H)

STEVIN - Hollandalı matematikçi ve mühendis (Simon Stevin)

Tarihi sayfa.

Öğretmen:

Bilimin gelişmesinde geçmişi bilmeden bugününü anlamak mümkün değildir. İnsanlar negatif sayılarla hareket etmeyi çağımızdan önce bile öğrendiler. Hintli matematikçiler hayal etti pozitif sayılar"mülk" olarak ve negatif sayılar "borçlar" olarak. Hintli matematikçi Brahmagupta (7. yüzyıl), pozitif ve negatif sayılarla işlem yapmak için bazı kuralları şöyle özetledi:

"İki özelliğin toplamı mülkiyettir"

"İki borcun toplamı bir borçtur"

"Mal ve borcun toplamı, aralarındaki fark kadardır",

“İki malın veya iki borcun ürünü maldır”, “Mal ile borcun ürünü borçtur”.

Millet, lütfen eski Hint kurallarını modern dile çevirin.

Öğretmenin mesajı:

Güneş olmadan dünyada sıcaklık olmayacağına göre,

Kış karı olmadan ve olmadan çiçek yaprakları,

Yani matematikte işaretsiz eylem yoktur!

Çocuklardan hangi eylem işaretinin eksik olduğunu tahmin etmeleri istenir.

Egzersiz yapmak. Eksik karakteri girin.

− 1,3 2,8 = 1,5

− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9

Cevaplar: 1) + 2) ∙ 3) - 4) : 5) - 6) :

Bağımsız iş(sayfada görevlerin cevaplarını yazın):

Numaraları karşılaştır

modüllerini bul

sıfır ile karşılaştır

toplamlarını bul

farklarını bulmak

iş bul

özel bul

zıt sayıları yaz

bu sayılar arasındaki mesafeyi bulun

10) aralarında kaç tamsayı bulunur

11) aralarında bulunan tüm tam sayıların toplamını bulun.

Değerlendirme kriterleri: her şeye doğru karar verildi - "5"

1-2 hata - "4"

3-4 hata - "3"

4'ten fazla hata - "2"

Bireysel kart çalışması(bunlara ek olarak).

Kart 1. Denklemi çözün: 8.4 - (x - 3.6) \u003d 18

Kart 2. Denklemi çözün: -0,2x · (-4) = -0,8

Kart 3. Denklemi çözün: =

kartlara cevaplar :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

Oyun "Sınav".

Ülkenin sakinleri mutlu bir şekilde yaşadılar, oyunlar oynadılar, problemler çözdüler, denklemler ve özetlemek gerekirse bize oyun teklif ettiler.

Öğrenciler tahtaya gelirler, bir kart alırlar ve arkasında yazılı olan soruyu cevaplarlar.

Sorular:

1. İki negatif sayıdan hangisi büyük kabul edilir?

2. Negatif sayıları bölmek için kuralı formüle edin.

3. Negatif sayıları çarpmak için kuralı formüle edin.

4. Farklı işaretli sayıları çarpmak için bir kural formüle edin.

5. Farklı işaretlere sahip sayıları bölmek için bir kural formüle edin.

6. Negatif sayıları toplama kuralını formüle edin.

7. Farklı işaretli sayıları toplamak için bir kural formüle edin.

8. Bir koordinat doğrusu üzerinde bir parçanın uzunluğu nasıl bulunur?

9. Hangi sayılara tam sayı denir?

10. Hangi sayılara rasyonel denir?

Özetleme.

Öğretmen: Bugün Ev ödevi yaratıcı olacak:

“Etrafımızdaki pozitif ve negatif sayılar” mesajı hazırlayın veya bir peri masalı oluşturun.

« Ders için teşekkürler!!!"

GERÇEK SAYILAR II

§ 36 Rasyonel sayılarla ilgili işlemler

Bildiğiniz gibi, iki kesir M / N Ve k / ben eşittir, yani aynı rasyonel sayıyı temsil eder, ancak ve ancak ml = nk .

Örneğin 1 / 3 = 2 / 6, çünkü 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 çünkü (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5 çünkü 0 5 = 1 0 vb.

Açıkçası, herhangi bir tamsayı için R , 0'a eşit değil,

: M / N = M R / N R

Bu bariz eşitlikten çıkar T (P R ) = P (T R ). Bu nedenle, herhangi bir rasyonel sayı, iki sayının oranı olarak temsil edilebilir. sonsuz sayı yollar. Örneğin,

5 \u003d 5 / 1 \u003d -10 / -2 \u003d 15 / 3, vb.,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 vb.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 vb.

Tüm rasyonel sayılar kümesinde toplama, çarpma, çıkarma ve bölme işlemleri (sıfıra bölme hariç) uygulanabilir. Bu eylemlerin nasıl tanımlandığını hatırlayın.

İki rasyonel sayının toplamı M / N Ve k / ben formül tarafından belirlenir:

İki rasyonel sayının çarpımı M / N Ve k / ben formül tarafından belirlenir:

M / N k / ben = mk / nl (2)

Aynı rasyonel sayı birkaç girdiyi kabul ettiğinden (örneğin, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...), rasyonel sayıların toplamının ve çarpımının, terimlerin veya faktörler yazılır. Örneğin,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

vb. Ancak, bu soruların değerlendirilmesi programımızın kapsamı dışındadır.

Rasyonel sayıları toplarken ve çarparken aşağıdaki temel yasalara uyulur:

1) değişmeli(veya değişmeli) toplama yasası

M / N + k / ben = k / ben + M / N

2) çağrışımsal(veya ilişkisel) toplama yasası:

( M / N + k / ben ) + P / Q = M / N + ( k / ben + P / Q )

3) değişmeli(veya değişmeli) çarpma yasası:

M / N k / ben = k / ben M / N

4) çağrışımsal(veya birleştirici) çarpma yasası:

( M / N k / ben ) P / Q = M / N ( k / ben P / Q )

5) dağıtıcı(veya dağıtıcı) toplamaya göre çarpma yasası:

( M / N + k / ben ) P / Q = M / N P / Q + k / ben P / Q

Toplama ve çarpma temel cebirsel işlemlerdir. Çıkarma ve bölme ise, bu işlemler toplama ve çarpmanın tersi olarak tanımlanır.

İki rasyonel sayı arasındaki fark M / N Ve k / ben bu numara denir X , hangi ile birlikte k / ben verir M / N . Başka bir deyişle, fark M / N - k / ben

k / ben + X = M / N

Böyle bir denklemin her zaman bir kökü olduğu ve ayrıca yalnızca bir kökü olduğu kanıtlanabilir:

Yani iki sayı arasındaki fark M / N Ve k / ben formüle göre bulunur:

eğer sayılar M / N Ve k / ben birbirine eşittir, o zaman farkları yok olur; bu sayılar birbirine eşit değilse, farkları pozitif veya negatiftir. -de M / N - k / ben > 0 sayı söyle M / N daha fazla sayı k / ben ; eğer M / N - k / ben < 0, то говорят, что число M / N sayıdan az k / ben .

Bir rasyonel sayının bölme bölümü M / N bir rasyonel sayıya k / ben bu numara denir X, hangi üründe k / ben verir M / N . Başka bir deyişle, özel M / N : k / ben denklemin kökü olarak tanımlanır

k / ben X = M / N .

Eğer k / ben =/= 0, o zaman bu denklemin tek bir kökü vardır

X = ml / nk

Eğer k / ben = 0, o zaman bu denklemin ya hiç kökü yoktur (için M / N =/= 0) veya sonsuz sayıda kökü vardır (için M / N = 0). Bölme işlemini benzersiz bir şekilde mümkün kılmak dileğiyle, sıfıra bölmeyi hiç düşünmemeyi kabul ediyoruz. Böylece, bir rasyonel sayıyı bölmek M / N bir rasyonel sayıya k / ben sürece her zaman tanımlanmış k / ben =/= 0. Bu durumda

M / N : k / ben = ml / nk

Egzersizler

295. En rasyonel şekilde hesaplayın ve bu durumda hangi eylem yasalarının kullanılması gerektiğini belirtin;

a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16).

b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10

Çizim. Aritmetik işlemler rasyonel sayılar üzerinden

Metin:

Rasyonel sayılarla işlem kuralları:
. aynı işaretli sayıları toplarken modüllerini topla ve toplamın önüne koy ortak işaret;
. büyük bir modüle sahip bir sayıdan farklı işaretlere sahip iki sayı toplanırken, daha küçük bir modüle sahip bir sayı çıkarılır ve daha büyük bir modüle sahip sayının işareti, ortaya çıkan farkın önüne yerleştirilir;
. bir sayıyı diğerinden çıkarırken, çıkarılan sayının tersini eklemeniz gerekir: a - b \u003d a + (-b)
. aynı işaretlere sahip iki sayıyı çarparken, modülleri çarpılır ve ortaya çıkan çarpımın önüne bir artı işareti konur;
. farklı işaretli iki sayıyı çarparken modülleri çarpılır ve elde edilen çarpımın önüne eksi işareti konur;
. aynı işaretli sayıları bölerken, bölünen katsayı bölen katsayıya bölünür ve elde edilen bölümün önüne bir artı işareti konur;
. farklı işaretlere sahip sayıları bölerken, bölen modülü bölen modülüne bölünür ve elde edilen bölümün önüne bir eksi işareti konur;
. Sıfırı sıfır olmayan herhangi bir sayı ile bölmek ve çarpmak sıfırla sonuçlanır:
. sıfıra bölemezsiniz.

Bu dersimizde sayılarla ilgili eylemlerin temel özelliklerini hatırlayacağız. Sadece temel özellikleri tekrar etmeyeceğiz, aynı zamanda bunları rasyonel sayılara nasıl uygulayacağımızı da öğreneceğiz. Örnekleri çözerek edinilen tüm bilgileri pekiştireceğiz.

Sayılarla yapılan işlemlerin temel özellikleri:

İlk iki özellik toplama özellikleri, sonraki ikisi ise çarpma özellikleridir. Beşinci özellik her iki işlem için de geçerlidir.

Bu özelliklerde yeni bir şey yok. Hem doğal hem de tamsayılar için geçerliydiler. Rasyonel sayılar için de geçerlidirler ve daha sonra inceleyeceğimiz sayılar (örneğin irrasyonel sayılar) için de geçerli olacaklardır.

Permütasyon özellikleri:

Terimlerin veya faktörlerin yeniden düzenlenmesinden sonuç değişmez.

Kombinasyon özellikleri:, .

Birden fazla sayıyı toplama veya çarpma herhangi bir sırayla yapılabilir.

Dağıtım özelliği:.

Özellik, her iki işlemi de birbirine bağlar - toplama ve çarpma. Ayrıca soldan sağa doğru okursanız parantez açma kuralı denir ve eğer içindeyse ters taraf- ortak çarpanı parantezden çıkarma kuralı.

Sonraki iki özellik açıklar nötr elemanlar toplama ve çarpma için: sıfır eklemek ve bir ile çarpmak orijinal sayıyı değiştirmez.

açıklayan iki özellik daha simetrik elemanlar toplama ve çarpma için zıt sayıların toplamı sıfırdır; iş karşılıklı sayılar bire eşittir.

Sonraki özellik: . Bir sayı sıfır ile çarpılırsa sonuç her zaman sıfır olur.

Bakacağımız son özellik .

Sayıyı ile çarparsak, zıt sayı. Bu özelliğin bir özelliği var. Dikkate alınan diğer tüm özellikler, geri kalanı kullanılarak kanıtlanamadı. Aynı özellik öncekiler kullanılarak ispatlanabilir.

ile çarpma

Bir sayıyı ile çarparsak karşıt sayıyı elde ettiğimizi ispatlıyoruz. Bunun için dağıtım özelliğini kullanıyoruz: .

Herhangi bir sayı için doğrudur. Sayı yerine ve :

Solda köşeli parantez içinde karşılıklı zıt sayıların toplamı var. Toplamları sıfırdır (böyle bir özelliğimiz var). Şimdi ayrıldı. Sağda şunu elde ederiz: .

Şimdi solda sıfır ve sağda iki sayının toplamı var. Ancak iki sayının toplamı sıfır ise bu sayılar birbirinin zıttıdır. Ancak sayının yalnızca bir karşıt sayısı vardır: . Yani - bu: .

Özellik kanıtlanmıştır.

Önceki özellikler kullanılarak kanıtlanabilen böyle bir özelliğe denir. teorem

Burada neden çıkarma ve bölme özelliği yok? Örneğin, çıkarma için dağılma özelliği yazılabilir: .

Ama beri:

herhangi bir sayının çıkarılması, sayının tersi ile değiştirilerek, eşdeğer olarak bir toplama olarak yazılabilir:

bölme, bir sayının tersi ile çarpma olarak yazılabilir:

Bu, toplama ve çarpma özelliklerinin çıkarma ve bölmeye uygulanabileceği anlamına gelir. Sonuç olarak, hatırlanması gereken özelliklerin listesi daha kısadır.

Ele aldığımız tüm özellikler yalnızca rasyonel sayıların özellikleri değildir. Tüm bu kurallar, örneğin irrasyonel sayılar gibi diğer sayılara tabidir. Örneğin, toplam ve karşıt sayısı sıfıra eşittir:.

Şimdi pratik kısma geçeceğiz, birkaç örnek çözeceğiz.

hayattaki rasyonel sayılar

Nicel olarak tanımlayabildiğimiz, bir sayı ile gösterebileceğimiz nesnelerin özelliklerine denir. miktarları: uzunluk, ağırlık, sıcaklık, miktar.

Bir ve aynı değer hem bir tamsayı hem de pozitif veya negatif bir kesirli sayı ile gösterilebilir.

Örneğin, boyunuz m kesirli bir sayıdır. Ancak cm'ye eşit olduğunu söyleyebilirsiniz - bu zaten bir tam sayıdır (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek resim

Bir örnek daha. negatif sıcaklık Celsius ölçeğinde, Kelvin ölçeğinde pozitif olacaktır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Örnek resim

Bir evin duvarını inşa ederken, bir kişi genişliğini ve yüksekliğini metre cinsinden ölçebilir. Kesirli değerler üretir. Diğer tüm hesaplamaları kesirli (rasyonel) sayılarla yapacaktır. Başka bir kişi, tuğla sayısındaki her şeyi genişlik ve yükseklikte ölçebilir. Yalnızca tamsayı değerleri aldıktan sonra, tamsayılarla hesaplamalar yapacaktır.

Değerlerin kendileri ne tam, ne kesirli, ne negatif ne de pozitiftir. Ancak bir niceliğin değerini tanımladığımız sayı zaten oldukça belirgindir (örneğin, negatif ve kesirli). Ölçüm ölçeğine bağlıdır. Ve gerçek değerlerden hareket ettiğimizde matematiksel model, sonra belirli bir sayı türüyle çalışırız

Ekleyerek başlayalım. Terimler istediğimiz gibi yeniden düzenlenebilir ve eylemler herhangi bir sırayla gerçekleştirilebilir. Farklı işaretlerin terimleri bir rakamla bitiyorsa, önce onlarla işlem yapmak uygundur. Bunu yapmak için terimleri değiştiririz. Örneğin:

ile ortak kesirler aynı paydalar katlanması kolay.

Zıt sayıların toplamı sıfırdır. Aynı ondalık "kuyruğa" sahip sayıların çıkarılması kolaydır. Bu özelliklerin yanı sıra değişmeli toplama kanununu kullanarak, örneğin aşağıdaki ifade gibi bir değerin hesaplanmasını kolaylaştırmak mümkündür:

Tamamlayıcı ondalık kuyruklu sayılar kolayca toplanır. Tam ve kesirli parçalarla karışık sayılar ayrı çalışmak için uygun. Aşağıdaki ifadenin değerini değerlendirirken bu özellikleri kullanırız:

Çarpmaya geçelim. Çarpması kolay sayı çiftleri vardır. Değişme özelliğini kullanarak, faktörleri yan yana olacak şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz. Üründeki eksilerin sayısı hemen hesaplanabilir ve sonucun işareti hakkında bir sonuç çıkarılabilir.

Bu örneği göz önünde bulundurun:

Faktörlerden biri sıfıra eşitse, çarpım sıfıra eşittir, örneğin: .

Ters sayıların çarpımı bire eşittir ve bir ile çarpmak çarpımın değerini değiştirmez. Bu örneği göz önünde bulundurun:

Dağılma özelliğini kullanan bir örneği ele alalım. Parantezleri açarsanız, her çarpma işlemi kolayca gerçekleştirilir.

Sayılarla yapılan işlemlerin temel özellikleri:

İlk iki özellik toplama özellikleri, sonraki ikisi ise çarpma özellikleridir. Beşinci özellik her iki işlem için de geçerlidir.

Permütasyon özellikleri:

Terimlerin veya faktörlerin yeniden düzenlenmesinden sonuç değişmez.

Kombinasyon özellikleri:, .

Birden fazla sayıyı toplama veya çarpma herhangi bir sırayla yapılabilir.

Dağıtım özelliği:.

Özellik, her iki işlemi de birbirine bağlar - toplama ve çarpma. Ayrıca soldan sağa doğru okunursa parantez açma kuralı, ters yönde okunursa ortak çarpanı parantez dışına çıkarma kuralı denir.

Sonraki iki özellik açıklar nötr elemanlar toplama ve çarpma için: sıfır eklemek ve bir ile çarpmak orijinal sayıyı değiştirmez.

açıklayan iki özellik daha simetrik elemanlar toplama ve çarpma için zıt sayıların toplamı sıfırdır; karşılıklıların çarpımı bire eşittir.

Sonraki özellik: . Bir sayı sıfır ile çarpılırsa sonuç her zaman sıfır olur.

Bakacağımız son özellik .

Bir sayıyı ile çarparsak karşıt sayıyı elde ederiz. Bu özelliğin bir özelliği var. Dikkate alınan diğer tüm özellikler, geri kalanı kullanılarak kanıtlanamadı. Aynı özellik öncekiler kullanılarak ispatlanabilir.

ile çarpma

Bir sayıyı ile çarparsak karşıt sayıyı elde ettiğimizi ispatlıyoruz. Bunun için dağıtım özelliğini kullanıyoruz: .

Herhangi bir sayı için doğrudur. Sayı yerine ve :

Solda köşeli parantez içinde karşılıklı zıt sayıların toplamı var. Toplamları sıfırdır (böyle bir özelliğimiz var). Şimdi ayrıldı. Sağda şunu elde ederiz: .

Özellik kanıtlanmıştır.

Önceki özellikler kullanılarak kanıtlanabilen böyle bir özelliğe denir. teorem

Burada neden çıkarma ve bölme özelliği yok? Örneğin, çıkarma için dağılma özelliği yazılabilir: .

Ama beri:

herhangi bir sayının çıkarılması, sayının tersi ile değiştirilerek, eşdeğer olarak bir toplama olarak yazılabilir:

bölme, bir sayının tersi ile çarpma olarak yazılabilir:

Bu, toplama ve çarpma özelliklerinin çıkarma ve bölmeye uygulanabileceği anlamına gelir. Sonuç olarak, hatırlanması gereken özelliklerin listesi daha kısadır.

Şimdi pratik kısma geçeceğiz, birkaç örnek çözeceğiz.

hayattaki rasyonel sayılar

Nicel olarak tanımlayabildiğimiz, bir sayı ile gösterebileceğimiz nesnelerin özelliklerine denir. miktarları: uzunluk, ağırlık, sıcaklık, miktar.

Bir ve aynı değer hem bir tamsayı hem de pozitif veya negatif bir kesirli sayı ile gösterilebilir.

Örneğin, boyunuz m kesirli bir sayıdır. Ancak cm'ye eşit olduğunu söyleyebilirsiniz - bu zaten bir tam sayıdır (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek resim

Bir örnek daha. Celsius ölçeğinde negatif bir sıcaklık, Kelvin ölçeğinde pozitif olacaktır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Örnek resim

Değerlerin kendileri ne tam, ne kesirli, ne negatif ne de pozitiftir. Ancak bir niceliğin değerini tanımladığımız sayı zaten oldukça belirgindir (örneğin, negatif ve kesirli). Ölçüm ölçeğine bağlıdır. Ve gerçek değerlerden matematiksel bir modele geçtiğimizde, belirli bir sayı türüyle çalışıyoruz.

Aynı paydalara sahip ortak kesirler kolayca toplanır.

Tamamlayıcı ondalık kuyruklu sayılar kolayca toplanır. Karışık sayıların tamsayı ve kesirli kısımlarını ayrı ayrı çalışmak uygundur. Aşağıdaki ifadenin değerini değerlendirirken bu özellikleri kullanırız:

Bu örneği göz önünde bulundurun:

Faktörlerden biri sıfıra eşitse, çarpım sıfıra eşittir, örneğin: .

Ters sayıların çarpımı bire eşittir ve bir ile çarpmak çarpımın değerini değiştirmez. Bu örneği göz önünde bulundurun:

Dağılma özelliğini kullanan bir örneği ele alalım. Parantezleri açarsanız, her çarpma işlemi kolayca gerçekleştirilir.